diseño reactor lecho fluidizado

2. MODELOS MATEMATICOS PARA REACTORES QUIMICOS

Como se planteó en el 1er. curso de Ing. de Reactores, el reactor constituye la parte más importante de la planta química. Los problemas de su diseño conciernen la definición del tipo de reactor, tamaño y sus condiciones de operación. Para decidir lo anterior, es indispensable contar con el modelo matemático, que consiste fundamentalmente en los balances de materia y de energía.

Conviene recordar algunos principios adquiridos durante el estudio de reactores con una sola fase (homogéneos).

* La ecuación de diseño se deriva del balance de materia realizado sobre una especie. De preferencia, se toma el reactivo limitante como base.

* Debemos seleccionar un volumen, donde se apliquen los balances, en el que la concentración y la temperatura sean constantes (volumen de control).

Así, teníamos para los dos casos de reactores ideales de flujo continuo :

RCTA. Consideramos mezclado perfecto, así en cualquier punto la concentración y la temperatura son las mismas. El balance de materia se planteará para el reactivo base A, sobre un elemento de volumen VR, pues en éste la concentración y la temperatura no varían.

FA0 VFA

R

Figura 3.1. RCTA

FA0 + FA - (-rAS)VR =0 (2.1.)

RT. No existe mezclado axial, flujo tipo pistón (tapón), no laminar. Por consiguiente, la concentración y la temperatura no son constantes en todo el volumen, variando con respecto a la longitud (paralela a entradas y salidas). Esto nos sugiere que el balance de materia se realice para un elemento de volumen dVR, donde éstas sean constantes.

FA0

Q0

VR

FA

Q

.

Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 1

Figura 3.2. RTFA

XAV R

FA

d

+ FAd

XA + XAd

Figura 3.3. Elemento dVR de RT

El BM se plantea para un elemento diferencial de reactor dVR, de la siguiente manera :

FA - ( FA + dFA) - (-rA)dVR =0 (2.2.)o bien, simplificando

dFA = -(-rA)dVR (2.2’.)

En realidad, los balances de materia y de energía planteados para reactores homogéneos corresponden a casos particulares de las ecuaciones de conservación de materia y de energía, abordadas durante los cursos de fenómenos de transporte. Las soluciones de las ecuaciones generales de masa, energía y cantidad de movimiento representan el modelo para cualquier reactor. Sin embargo, en Ingeniería Química se puede simplificar las ecuaciones de conservación, pues la solución de éstas muchas veces no es trivial.

Por otro lado, en el trayecto de este curso se abordarán las soluciones de las ecuaciones de conservación para reactores en más de 1 fase (heterogéneos). Sin pretender una clasificación formal, mencionaremos algunos tipos de reactores frecuentemente encontrados en la industria química.

2.1. Clasificación de reactores heterogéneos

Entre los reactores heterogéneos más comunes, tenemos aquellos donde intervienen al menos dos fases. Generalmente un fluido que reacciona sobre un lecho o cama de catalizador. Este último puede estar inmóvil (reactor empacado de lecho fijo), o en movimiento pero sin salir del reactor (reactor de lecho fluidizado) o bien, el catalizador puede entrar y salir del reactor continuamente (reactor de lecho transportado). Las figuras 3.4. a 3.6. esquematizan cada uno de estos reactores. Kunii y Levenspiel [1] proponen una clasificación completa de los diferentes regímenes de flujo para los lechos catalíticos.

fluidocatalizador sólido

Fig. 3.4. Reactor de lecho fijo


fluidocatalizador sólido fluidizado

Fig. 3.5. Reactor de lecho fluidizado

fluidocatalizador sólido entrando y saliendo del reactor

Fig. 3.6. Reactor de lecho transportado

Existen también reactores donde se presentan más de dos fases y entre estos tenemos :

fluido 1

catalizador sólido

fluido 2

Fig. 3.7. Reactor de lecho percolador (trickle bed)

catalizador en suspensión líquida

gas

Fig. 3.8. Reactor de suspensión (slurry)

Al final del curso se analizarán los modelos matemáticos para cada reactor heterogéneo y sus diferentes particularidades, en relación con su uso.


II.2. Ecuaciones de conservación

Se detallará fundamentalmente el desarrollo de la ecuación de conservación para transferencia de masa, recordando algunos conceptos matemáticos para una mejor comprensión de la notación empleada. Así, del curso de transferencia de masa se sabe que :

transporte de

masa

transporte por

difusión

transporte por

convección

El transporte total de materia para la especie A, por ejemplo en la dirección z, que pasa por un área transversal Az se define como el flux de A, NAz. Sus

unidades son mol/unidad de tiempo*unidad de área y es una magnitud vectorial, aunque por comodidad se evitará la notación correspondiente.

N Az dirección z

Az

La ecuación 3.3. representa el flujo total de materia por unidad de área (flux) en la dirección z, incluyendo los dos componentes mencionado anteriormente.

NAz JAz CAvz (3.3.)

En general, para un elemento diferencial VR=xyz, tenemos

y

y

x

z

x

z

NAz

NAy

NAx

Fig. 3.9. Elemento VRcon flux de materia en las diferentes direcciones

Podemos escribir el balance de materia :

Flux entrando de A.área tranversal c/ dirección-

Flux saliendo de A.área tranversal c/dirección

- moles consumidas de A VR moles acumuladas de A VR


NAxyzx NAxyz

x+xNAyxz

y NAyxz

y+y

NAzxy z NAzxy z+z ( rA)xyz =t

(CAxyz)(2.4.)

La ecuación 2.4. se divide entre xyz y se toma el límite para cuando cada incremento tiende a cero (ver Cap.18 de Bird et al. [2]) , resultando :

-x

NAx -y

NAy -z

NAz ( rA) =CA

t(2.5.)

que en notación vectorial se escribe :

-NA ( rA) =CA

t(2.6.)

Regresando al caso particular del reactor tubular de flujo pistón operando al estado estable, se puede deducir la ecuación de diseño a partir de la ecuación 2.6. En este reactor solamente hay transferencia de materia en la dirección z

NAx = 0,NAy = 0 y el término de acumulación vale cero, CA

t0 , entonces :

d

dzNAz ( rA ) = 0 (2.7.)

multiplicando ambos términos de la ecn. 2.7. por Azdz,

d(AzNAz )

dzdz( rA )Azdz = 0 (2.8.)

Re-arreglando 3.8. y substituyendo la relación dVR=Azdz,

d(AzNAz )

dz

dz

dz=

d(AzNAz )

dVR ( rA) (2.9.)

Substituyendo para el flux, NAz JAz CAvz , donde

JAz DzdCA

dz(Ley de Fick) (2.10)

donde Dz es el coeficiente de difusividad de A en la dirección z, no forzosamente molecular en naturaleza.

d(AzvzCA )

dVR

d AzDzdCA

dz

Az

dVR= ( rA) (2.11.)


introduciendo la relación FA=AzvzCA para el 1er. término y dVR=Azdz, para el 2do. término de la ecn. 2.11. y simplificando obtenemos :

dFA

dVR Dz

d2CA

dz2 = ( rA ) (2.12.)

El segundo término en la ecuación 2.12. representa el transporte de materia axial debido a la difusión. A este fenómeno se le conoce como dispersión axial y debido a que Dz es igual a cero en un reactor de flujo pistón, entonces se puede escribir :

dFA = ( rA )dVR (2.13.)

que coincide con la ecuación de balance de materia presentada al inicio del capítulo (ecn.2.2’.). Resulta claro que las ecuaciones de conservación de materia, energía y cantidad de movimiento pueden aplicarse para modelar cualquier reactor y sus soluciones dependerán de cada caso particular. Conviene entonces presentar ahora las ecuaciones de conservación para sistemas reactivos con geometría cilíndrica, pues se adaptan más a la morfología de la mayoría de los sistemas.

zNAz

r

z

rNAr

Fig. 3.10. Elemento VR para geometría cilíndrica

para un elemento diferencial VR=2r rz, por el BM/A tenemos :

Flux entrando de A.área tranversal c/ dirección-

Flux saliendo de A.área tranversal c/dirección

- moles consumidas de A VR moles cambiando de fase de A VR

moles acumuladas de A VR

Debe notarse el término de cambio de fase para la especie A (gi.f.), pues frecuentemente ocurre en los reactores heterogéneos. Siguiendo una metodología similar a la ecuación en geometría rectangular llegamos a la ecuación :

-NAzAz

zdz -

NArAr

xdr ( rA )dVR gi.f.dVR =

(CAVR )

t(2.14.)


Dividiendo la ecuación 2.14. entre dVR, e invirtiendo signos tenemos :1

dVR

NAzAz

zdz +

1

dVR

NArAr

xdr ( rA )gi.f. = -

1

dVR

(CAVR )

t(2.15.)

Substituyendo:

NAz JAz CAvz DzdCA

dz

CAvz , donde Dz =cte. en z (2.16.)

NAr JAr CAvr DrdCA

drCAvr vr 0 (2.17.)

como VR=2r rz , entonces dVR=2r drdz, simplificando la ecn. 2.17.

vzCAAz

Azz Dz

2CA

z2 Dr

r

r

rCA

z

( rA)ri.f. = -

1

dVR

(CAVR )

t(2.18.)

como FA = vzCAAz y dVR = Azdz , tenemos finalmente

FA

VR

Dz2CA

z2 Dr

rr

rCA

z

( rA )ri.f. = -

1VR

(nA )

t

1 2 3 4 5 6 (2.19.)

Para cada término podemos decir :1 , cantidad asociada al cambio de flujo molar de A con respecto al

volumen del reactor,2 , término asociado con la dispersión axial (en la dirección z), no

forzosamente de origen molecular y debida sobre todo, a efectos de turbulencia,3 , magnitud relacionada con la dispersión radial (en la dirección r), al

igual que el caso anterior, no siempre de origen molecular y originada por efectos de turbulencia,

4 , término correspondiente a la desaparición o generación de especies, definido en unidades coherentes con el volumen de control sobre el que se hace el análisis, se puede denotar en este caso rv,

5 , contabiliza las moles que cambian de fase, es decir, aquella masa que se transfiere desde o hacia una fase diferente a la que se analiza, 6 , indica la acumulación de moles de la especie A en el sistema.

Mediante un proceso análogo se llega a la ecuación de conservación de la energía para un sistema con geometría cilíndrica,


vzT

z Kz

2T

z2 Kr

r

r

rT

z

qc

ˆ C p

qi.f.

ˆ C p= -

T

t

1 2 3 4 5 6 (2.20.)

La interpretación de la ecuación 2.20 es similar a la 2.19 :1 , cantidad asociada al cambio de temperatura con respecto a la

dirección z,2 , término asociado con la dispersión térmica axial (en la dirección z),

debida a efectos de turbulencia, Kz es la difusividad térmica en la dirección z,3 , magnitud relacionada con la dispersión radial (en la dirección r), al

igual que el caso anterior, Kr es la difusividad térmica en la dirección radial,4 , término correspondiente a la desaparición o generación de calor debido a la

reacción química rv,

qc = (- ˆ H rxn)rv (2.21.)

5 , contabiliza el calor transferido entre diferentes fases, es decir, aquella energía que se transfiere desde o hacia una fase diferente a la que se analiza, 6 , indica la acumulación de energía en el sistema.

Finalmente, se tiene la ecuación de conservación de cantidad de movimiento en términos de la velocidad de fluido :

vz vz z

P

z+

1

r

r*

r= -

vz t

(2.22.)

donde t* representa el esfuerzo de corte.

Si se tratara de un flujo laminar con un gradiente de presión, al estado estable se tendrá :

P

z+

1

r

r*

r= 0 (2.23.)

El perfil de velocidades resultante de la solución a la ecuación 2.23 tiene forma parabólica y lo define la ecuación. 2.24.

vz P dR

2

2

4l1 2r

dR

2

2v z 1 2r

dR

2

(2.24.)

Para un flujo turbulento, la solución de la ecuación tiene la forma :


vz v z 1 2rdR

n

n (2.25.)

En ambos casos :P = caida de presión en el reactor

dR , ldimensiones del reactor

viscosidad del fluido

Frecuentemente, para el caso de la transferencia de masa se acostumbra expresar la ecuación de diseño en función del número adimensional de Péclet (Pe), pues éste nos permite cuantificar la dispersión. En otras palabras, este término permite estimar el grado de mezclado tanto en la dirección axial como en la dirección radial. Para ilustrar lo anterior, se considerará la ecuación de conservación de materia 2.19., para un reactor tubular operando al estado estable.

FA

VR Dz

2CA

z2 Dr

r

r

rCA

z

rv ri.f. = -

1

VR

(nA )

t(2.19.)

Si se desprecia la transferencia de masa en la dirección radial y no hay acumulación ni transferncia de A desde o hacia otra fase :Dr

r

r

rCA

z

0 ri.f. = 0 -

1

VR

(nA)

t0 , la ecuación se transforma :

rv Dzd2CA

dz2 dFA

dVR(2.26.)

substituyendo FA = vzCAAz y dVR = Azdz en 2.20. y suponiendo 1er. orden de reacción, la ecuación 2.21. describe un reactor tubular de flujo pistón con dispersión axial.

Dzd2CA

dz2 vzdCA

dzrv kCA (2.27.)

Si se introduce:

f =CA

CA0(conc.de A en alim.) y Z zl(longitud del reactor) y

agrupando Pez =lvz

Dz, número de Péclet basado en la longitud del reactor.

1

Pez

d2f

dZ2 df

dZk

l

vzf (2.28.)

De la solución de la ecuación 2.28 resulta :


Pez (Dz 0) Pez 0 (Dz )

PFR(no hay mezclado axial) CSTR (mezclado axial completo)

Algunos reactores catalíticos heterogéneos siguen cualquiera de los dos comportamientos ideales extremos : en algunos reactores de lecho fijo es posible considerar flujo muy aproximado al pistón, mientras que otros reactores pueden considerarse como perfectamente mezclados, modelándose como un RCTA. Estudios de distribución de tiempos de residencia nos permiten conocer de una manera sencilla si ocurre algunas de estas situaciones.

A continuación se analizará a través de un ejemplo, el diseño para un reactor heterogéneo donde se pueden utilizar las ecuaciones de balance de materia para un PFR y un RCTA. La descripción completa de las ecuaciones que describen los reactores heterogéneos se verá hacia el final del curso. Además, hasta ahora, no hemos enfatizado el hecho de que la expresión de velocidad de reacción es más compleja, pues incluye los fenómenos de transporte.

REACTORES HETEROGENEOS :LECHO FIJO CON FLUJO PISTON

=> ECN. DISEÑO PFRLECHO FLUIDIZADO O TRANSPORTADO PERFECTAMENTE

AGITADO=> ECN. DISEÑO CSTR

RECORDAR rv no es sencilla, incluye fenómenos de transporte

generalmente rp (=) moles consumidas/t. gr catalizador

Ejemplo 2.1. Se desea realizar la hidrodemetilación catalítica de tolueno en un reactor de lecho fijo, al que se alimenta 40% mol de H2, 20% de tolueno y 40% de

inertes. Se operará a 600ºC y 10 atm de presión total. Calcular el volumen necesario para alcanzar una producción de 10 grmol/min de benceno, a partir de un flujo volumétrico en la alimentción de 400 lt/min. la reacción que ocurre es

CH3-C6H5 + H2---> C6H6 + CH4.

En experimentos previos se obtuvo que la cinética de la reacción a 600ºC corresponde a la ecuación :

rp =1. 41.10 8PHPT

1+1.45PB +1.01PT

()grmol / grcatalizador.s

PH,PT ,PB = presiones parciales de H2, tolueno y benceno(SE TRATA DE LA VELOCIDAD GLOBAL OBSERVADA)


La densidad aparente del catalizador en el lecho es de 2.3 gr/cm3.

Solución

Para el reactor de lecho empacado, se puede suponer como punto de partida flujo pistón dentro del reactor y que la caida de presión es despreciable. De tal forma, que la ecuación de conservación de materia es similar al BM en un PFR.

r

z

FA0

Q0

Entonces, para el reactivo limitante (tolueno=A), se realiza un balance en un elemnto diferencial de lecho catalítico, dm.

FA

FA+dF A

dm

FA -(FA + dFA )- rpdm= 0 (A)

Simplificando (A) y expresando el flujo en función de la conversión, tenemos :

FA0dxA = rpdm (B)

A partir de (B) se obtiene mediante integración la masa de catalizador del lecho, aunque antes debe expresarse rp en función de la conversión.

m = FA0dxA

rpxA 0

x A

(C)

Se sabe que Pi=CiRT, considerando gas ideal para cada compuesto i, entonces :

PH = CHRT (D)PT = CTRT (E)PB = CBRT (F)

Por medio de una tabla estequiométrica (A=tolueno, B=hidrógeno, C=benceno) podemos expresar cada concentración en función de la conversión,


CA CA0(1 xA)

1 xA (G)

CB =CA0 B b

axA

(1 xA )(H)

CC =CA0 C

c

axA

(1 xA )(I)

Tenemos que =1+1-1-1= 0 0, B yB0

yA0

0.4

0.22 C

yC0

yA00 ,

substituyendo los valores anteriores en (G)-(I) e insertándolos en las ecuaciones (D)-(F), obtenemos :

PA = PA0(1- xA ) (J)PB =PA0(2 - xA ) (K)PC = PA0xA (L)

como PA0=yA0PTOT0=(0.2)(10) atm=2 atm y substituyendo (J)-(L) en la ecuación

cinética, se tiene :

rp =5.64.10 8(1 xA )(2 xA)

3.02 +0.88xA(M)

Antes de integrar debemos encontrar la conversión, a partir de la producción deseada,

FC = FA0xA . (N)donde :

FA0 =PA0Q0

RT0=

2(400)

0.082(873)=11.17 grmol / min

entonces

xA =FC

FA0=

10 grmol / min

11.17 grmol / min0.89

Substuyendo (M) y los valores de flujo de A en alimentación y conversión,

m =11.17(3.02+ 0.88xA)dxA

5.64.10 8(1 xA )(2 xA)0

0.89

21869 kg de catalizador

Si la densidad del catalizador en el lecho, b es de 2.3 kg/lt, el volumen del reactor se determina fácilmente :


VR =m

b=

21 869 kg

2.3 kg / lt

VR = 9 508 lt

Ejemplo 2.2. Se desea diseñar un reactor de lecho fluidizado para los mismos datos del ejemplo 2.1. (misma conversión e iguales condicioens de operación).

La única modificación consiste en el cambio en densidad aparente del catalizador en el lecho, siendo ésta de 0.4 gr/cm3.

Solución

Para el reactor de fludizado, se puede suponer un reactor perfectamente mezclado. La ecuación de diseño resultante es aquella analizada al inicio del capítulo.

FA0

Q0

FA0 -FA - rpm = 0 (A)

Substituyendo la definición de conversión y despejando m,

m =FA0(xA xA0)

rp(B)

Introduciendo los valores encontrados en el ejemplo 2.1. y la expresión de velocidad de reacción en función de la conversión en (B)

FA0 = 11.17 grmol / min, xA 0.89 xA0 0

rp =5.64.10 8(1 xA )(2 xA)

3.02 +0.88xA

entonces,

m =11.17(0.89)

5.64.10 8(1 0.89)(2 0.89)

3.02+ 0.880.89

97 087 kg de catalizador

Si la densidad del catalizador en el lecho, b es de 0.4 kg/lt, el volumen del reactor se determina igual que en el ejemplo precedente :


VR =m

b=

97 087 kg

0.4 kg / lt

VR = 2.4.105 lt

2.3. MODELOS PARA REACTORES NO IDEALES

Los reactores reales muchas veces no siguen los patrones de flujo, tal como lo suponemos cuando se realiza el diseño de un reactor ideal. Así, en los reactores continuos de tanque agitados se presentan regiones donde la concentración cambia con la posición, debido a una agitación imperfecta o bien, debido a la formación de vórtices. Para los reactores tubulares, algunas veces el flujo no es de tipo pistón perfecto y ocurren fenómenos como el mezclado en la dirección radial. Podemos mencionar algunas desviaciones al comportamiento hidrodinámico ideal o no idealidades :

-Canalización de fluido-Mezclado longitdinal-Regiones estancadas-Cortos circuitos (by pass)-Mezclado imperfecto de agitadores

Enfoques

Métodos exactos

Métodos aproximados

Experimentos con trazadores.

Simplificaciones REACTOR ISOTERMICO Q = Qo, = constante

R

inyección de traza

a) Cambio pulso

b) Cambio Escalón

- el trazador no debe perturbar el funcionamiento del reactor industrial

2.3.1. Definiciones


Para el trazador definimos : tiempo de residencia = edad + vida residual (esperanza)

tiempo transcurrido

desde quela partícula

de traza entró al reactor

resto del

tiempo que

estará

La distribución de tiempos de residencia (DTR) la definimos a través de la función J(), que se define como la fracción de las partículas de traza en el efluente que tienen un tiempo de residencia menor que .

Así DTR J ( ) = 0 J = 0 = oo J = 1

VR

Q tiempo medio de residencia

d J() fracción que tiene un tR entre y d

d J

d J 0

1

0

1

dJ 0

1

VR

Q (2.29.)

DOS CASOS

RCTA (CSTR)

RT (PFR)

misma edad

: :

2.3.2. Análisis de respuestas de reactores ideales

J ( ) no depende del experimento, sino que es propia de cada reactor

Cambio pulsoRT

Reactor tubular de flujo pistón

Co

t=o t

Entradaen un tiempo igual a cero inyectamos un pulso (a concentración conocida de trazador)


Reactor tubular de flujo pistón

C

t

Salidacomo tenemos un flujo pistón perfecto, las partículas de trazador salen todas a un mismo tiempot

IDEAL

Reactor tubular de flujo pistón no ideal

C

t

Salidacomo tenemos un flujo no forzosamente pistón, las partículas de trazador salen a tiempo diferente t

REALLa DTR para un reactor tubular de flujo pistón se deduce fácilmente :

J()=0 , para <VR/Q (2.30.)J()=1, para >=VR/Q

RCTA

Reactor agitación perfecta

Co

t=o t

Entradaen un tiempo igual a cero inyectamos un pulso (a concentración conocida de trazador)

Reactor agitación perfecta

C

t

Salida

t

63.2%

IDEAL

Reactor agitación no perfecta

C

t

Salida

tREAL

Todas las partículas tienen la misma oportunidad de salir.Entonces para una inyección pulso en un RCTA :

J mVR

Q0VR

(2.31.)


además, la probabilidad de que un elemento permanezca un tiempo mayor que 1 2 , el producto de ambas probabilidades

1 J 1 2 1 J 1 1 J 2 (2.32.)Si pequeño, entonces

1 J 1 J 1 J (2.33.)combinando (IV.4.) y (IV.4.) tomando límite. odJ

d

1

J 1

, (2.34.)

con C.L. J 0, 0

J 1 e / (2.35.)

como

5.3. Determinación de la curva J ( ) para un reactor real, a partir de datos de respuesta a un pulso

(m )T inyección de

traza

t w (g/cm )s3

(concentración másica de traza en la salida)

Cs(conc. molar)

mT (masa total de trazador inyectado)

¿Tiempo de residencia promedio?¿( DTR ) J ( )?

La probabilidad de que la partícula tenga un tiempo de residencia menor que se define :

J Csmd

o

Csmdo

(2.36.)

cs ws en este caso

m flujo másico, efluente principal

podemos aproximar estas integrales si o


J Csm

o

Csm o

(2.37.)

si m (flujo másico) es constante,

J Cs

o

Cso

(2.38.)

para T "equidistantes"

J Cs

o

Cso

(2.39.)

además

Cso

total en todo el tiempo

Para el tiempo de residencia promedio :dJ d

CsmmT

(2.40.)

por definición,

dJ d

o

d (2.41.)

entonces

Csmdo

Csmdo

(2.42.)

aproximando para intervalos pequeños,

Cs

o

Cso

(2.42’.)


Ejemplo 2.3. Se monitoreó la concentración de trazador en un reactor industrial, como resultado de una inyección de cierta cantidad de éste en un tiempo cero. Encontrar la DTR e interpretarla con respecto al comportamiento de los reactores ideales.

t (min) Cs (mg/lt) 0.1 0.2 0.2 0.17

1 0.15 2 0.125 5 0.0710 0.0230 0.001


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