DISEÑO Y AJUSTE DE CONTROLADORES - …files.mevo17.webnode.cl/200000206-d116bd2102/ESTABILIDAD...
13
Sistemas de Control Automáticos 1 ESTABILIDAD Un sistema dinámico es estable si para cualquier entrada comprendida entre un límite superior y otro inferior la salida también resulta acotada sin importar las condiciones iniciales del sistema. La localización de los polos de una función de transferencia representa un primer criterio de estabilidad de un sistema. Todos los polos de la función de transferencia deben estar en el semiplano complejo con parte real negativa. Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz El criterio de estabilidad de Routh nos dice si existen o no raíces inestables en una ecuación polinomial, sin tener que obtenerlas en realidad. Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos. Cuando se aplica el criterio a un sistema de control, la información acerca de la estabilidad absoluta se obtiene directamente de los coeficientes de la ecuación característica (denominador de la función de transferencia). El procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh es el siguiente: 1) Escriba el polinomio en s en la forma siguiente: 0 + 1 −1 + 2 −2 + ∙∙∙ + −1 1 + 0 =0 0 + 1 −1 + 2 −2 + ∙∙∙ + −1 + =0 en donde los coeficientes son cantidades reales. Suponemos que an≠0; es decir, se elimina cualquier raíz cero. 2) Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay una raíz, o raíces imaginarias o que tiene partes reales positivas. En tal caso, el sistema no es estable. Si sólo nos interesa la estabilidad absoluta, no es necesario continuar con el procedimiento. Observe que todos los coeficientes deben ser positivos. Ésta es una condición necesaria, como se aprecia a partir del argumento siguiente: un polinomio en s con coeficientes reales siempre puede factorizarse en factores lineales y cuadráticos tales como (s + a) y (s 2 + bs + c), en donde a, b y c son números reales. Los factores lineales producen las raíces reales y los factores cuadráticos producen las raíces complejas del polinomio. El factor (s 2 + bs + c) produce las raíces con partes reales negativas sólo si b y c son ambas positivas. Para todas las raíces que tienen partes reales
Transcript of DISEÑO Y AJUSTE DE CONTROLADORES - …files.mevo17.webnode.cl/200000206-d116bd2102/ESTABILIDAD...
Sistemas de Control Automáticos 1
ESTABILIDAD
Un sistema dinámico es estable si para cualquier entrada comprendida entre un límite superior
y otro inferior la salida también resulta acotada sin importar las condiciones iniciales del
sistema.
La localización de los polos de una función de transferencia representa un primer criterio de
estabilidad de un sistema. Todos los polos de la función de transferencia deben estar en el
semiplano complejo con parte real negativa.
Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
El criterio de estabilidad de Routh nos dice si existen o no raíces inestables en una ecuación
polinomial, sin tener que obtenerlas en realidad.
Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos.
Cuando se aplica el criterio a un sistema de control, la información acerca de la estabilidad
absoluta se obtiene directamente de los coeficientes de la ecuación característica
(denominador de la función de transferencia).
El procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh es el siguiente:
1) Escriba el polinomio en s en la forma siguiente:
𝑎0𝑠𝑛 + 𝑎1𝑠𝑛−1 + 𝑎2𝑠𝑛−2 + ∙∙∙ +𝑎𝑛−1𝑠1 + 𝑎𝑛𝑠0 = 0
𝑎0𝑠𝑛 + 𝑎1𝑠𝑛−1 + 𝑎2𝑠𝑛−2 + ∙∙∙ +𝑎𝑛−1𝑠 + 𝑎𝑛 = 0
en donde los coeficientes son cantidades reales. Suponemos que an≠0; es decir, se elimina
cualquier raíz cero.
2) Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un
coeficiente positivo, hay una raíz, o raíces imaginarias o que tiene partes reales positivas.
En tal caso, el sistema no es estable. Si sólo nos interesa la estabilidad absoluta, no es
necesario continuar con el procedimiento. Observe que todos los coeficientes deben ser
positivos.
Ésta es una condición necesaria, como se aprecia a partir del argumento siguiente: un
polinomio en s con coeficientes reales siempre puede factorizarse en factores lineales y
cuadráticos tales como (s + a) y (s2 + bs + c), en donde a, b y c son números reales. Los
factores lineales producen las raíces reales y los factores cuadráticos producen las raíces
complejas del polinomio. El factor (s2 + bs + c) produce las raíces con partes reales
negativas sólo si b y c son ambas positivas. Para todas las raíces que tienen partes reales
Sistemas de Control Automáticos 2
negativas, las constantes a, b, c,.. deben ser positivas en todos los factores. El producto de
cualquier cantidad de factores lineales y cuadráticos que contengan solo coeficientes
positivos siempre produce un polinomio con coeficientes positivos. Es importante señalar
que la condición de que todos los coeficientes sean positivos no es suficiente para
asegurar la estabilidad. La condición necesaria, pero no suficiente, para la estabilidad es
que todos los coeficientes de la ecuación estén presentes y tengan un signo positivo. (Si
todas las a son negativas, se hacen positivas multiplicando ambos miembros de la
ecuación por -1.)
3) Si todos los coeficientes son positivos, ordene los coeficientes del polinomio en renglones
y columnas de acuerdo con el patrón o arreglo siguiente:
Los coeficientes b1, b2, b3, etc., se evalúan del modo siguiente:
La evaluación de las b continúa hasta que todas las restantes son cero. Se sigue el mismo
patrón de multiplicación cruzada de los coeficientes de los dos renglones anteriores al
evaluar las c, las d, las e, etc. Es decir,
Sistemas de Control Automáticos 3
Este proceso continúa hasta que se completa el n-ésimo renglón. El arreglo completo de
los coeficientes es triangular. Observe que, al desarrollar el arreglo, un renglón completo
se divide entre, o se multiplica por, un número positivo para simplificar el cálculo numérico
subsecuente sin alterar la conclusión de la estabilidad.
El criterio de estabilidad de Routh plantea que el número de raíces de la ecuación con
partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la
primera columna del arreglo. Debe señalarse que no es necesario conocer los valores
exactos de los términos de la primera columna; sólo se necesitan los signos. La condición
necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación se encuentren en el
semiplano izquierdo del plano s es que todos los coeficientes de la ecuación sean positivos
y que todos los términos de la primera columna del arreglo tengan signo positivo.
Casos especiales. Si el término de la primera columna de cualquier renglón es cero, pero los
términos reptantes no son cero, o no hay términos restantes, el término cero se sustituye con
un número positivo muy pequeño y se evalúa el resto del arreglo. Por ejemplo, considere la
ecuación:
𝑠3 + 2𝑠2 + 𝑠 + 2 = 0
El arreglo de coeficientes es
𝑠3 1 1
𝑠2 2 2
𝑠1 0 ≈ 𝜀
𝑠0 2
Si el signo del coeficiente que está encima del cero () es igual al signo que está debajo de él,
quiere decir que hay un par de raíces imaginarias. En realidad, la ecuación tiene dos raíces en
s = ± j.
Sin embargo, si el signo del coeficiente que está encima del cero () es opuesto al del que está
abajo, quiere decir que hay un cambio de signo. Por ejemplo, para la ecuación:
𝑠3 − 3𝑠 + 2 = (𝑠 − 1)2(𝑠 + 2) = 0
El arreglo de coeficientes es:
Sistemas de Control Automáticos 4
Hay dos cambios de signo en los coeficientes de la primera columna. Esto coincide con el
resultado correcto indicado por la forma factorizada de la ecuación polinomial.
Si todos los coeficientes de cualquier renglón son cero significa que existen raíces de igual
magnitud que se encuentran radialmente opuestas en el plano s, es decir, dos raíces con
magnitudes iguales y signos opuestos y/o dos raíces imaginarias conjugadas. En este caso, la
evaluación del resto del arreglo continúa mediante la formación de un polinomio auxiliar con
los coeficientes del último renglón y mediante el empleo de los coeficientes de la derivada de
este polinomio en el renglón siguiente. Tales raíces con magnitudes iguales y radialmente
opuestas en el plano s se encuentran despejando el polinomio auxiliar, que siempre es par.
Para un polinomio auxiliar de grado 2n, existen n pares de raíces iguales y opuestas. Por
ejemplo, considere la ecuación:
𝑠5 + 2𝑠4 + 24𝑠3 + 48𝑠2 − 25𝑠 − 50 = 0
El arreglo de coeficientes es:
Todos los términos del renglón s3 son cero. Después se forma el polinomio auxiliar a partir de
los coeficientes del renglón s4. El polinomio auxiliar P(s) es:
𝑃(𝑠) = 2𝑠4 + 48𝑠2 − 50
lo cual indica que hay dos pares de raíces de igual magnitud y signo opuesto. Estos pares se
obtienen resolviendo la ecuación del polinomio auxiliar P(s)=0. La derivada de P(s) con
respecto a s es
𝑑
𝑑𝑠𝑃(𝑠) = 8𝑠3 + 96𝑠
Los coeficientes de la última ecuación, es decir, 8 y 96, sustituyen los términos del renglón s3.
Por consiguiente, el arreglo de coeficientes se convierte en
Sistemas de Control Automáticos 5
Vemos que hay un cambio de signo en la primera columna del arreglo nuevo. Por tanto, la
ecuación original tiene una raíz con una parte real positiva. Despejando las raíces de la
ecuación del polinomio auxiliar
2𝑠4 + 48𝑠2 − 50 = 0
Obtenemos
𝑠2 = 1 𝑠2 = −25
O bien
𝑠 = ± 𝑗 𝑠2 = ± 𝑗5
Estos dos pares de raíces son una parte de las rafces de la ecuación original. De hecho, la
ecuación original se escribe en forma factorizada del modo siguiente:
(𝑠 + 1)(𝑠 − 1)(𝑠 + 𝑗5)(𝑠 − 𝑗5)(𝑠 + 2) = 0
Es evidente que la ecuación original tiene una raíz con una parte real positiva.
Ejemplo: Aplicación del arreglo de Routh para la determinación del parámetro de ajuste de
un controlador proporcional
Sistemas de Control Automáticos 6
Se desea conocer el valor de KC que causa inestabilidad, es decir si existe al menos una raíz de
(A) que sea positiva. Usando el arreglo de Routh,
Se analizan las condiciones para la estabilidad
La restricción importante es KC<8. Si algún KC≥8 causará inestabilidad.
Específicamente KC=8
Corresponde al caso crítico de estabilidad.
CONTROLADORES
Acciones de control
Las acciones de los controladores las podemos clasificar como:
Control ON – OFF
Controles PID (proporcional, integral y derivativo)
Los segundos se pueden ajustar en forma independiente formando controladores P, PI, PD y
PID.
Un controlador PID ideal, matemáticamente queda expresado como:
t
C tedt
dTddtte
TiteKtm
0
)()(1
)()(
Corresponde a la respuesta del controlador en el tiempo, donde:
m(t) : salida de control
e(t) : error dinámico del sistema
KC : ganancia proporcional del controlador
Ti : constante de integración
Td : constante derivativa
Sistemas de Control Automáticos 7
Además se acostumbra definir:
𝑇𝑟 =1
𝑇𝑖= 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛
La ganancia proporcional KC suele ser reemplazada por la banda proporcional PB. Este
parámetro es adimensional, porcentual y se define como:
En donde:
R max = Valor máximo posible de la referencia
y = Rango de variación de salida
La banda proporcional y la ganancia KC están relacionadas a través de la expresión:
Aplicando la Transformada de Laplace a m(t), se obtiene:
sTd
sTiKFdT CRCONTROLADO
11
Propiedades de los controladores continuos
Una correcta selección de un controlador para un proceso determinado depende
fundamentalmente del efecto que éste producirá sobre el proceso. En un controlador PID ello
pasa por conocer el efecto que producen los distintos modos de control.
Modo de control proporcional
Aplica una señal de control proporcional al error generado.
Es relativamente rápida, pues entrega una señal de control instantánea.
Frente a una perturbación esta acción no asegura que el sistema retorne a su punto de
trabajo original (ess).
100max
RPB
y
CKPB
100
Sistemas de Control Automáticos 8
)()( teKtm C CKsE
sMsGc
)(
)()(
Modo de control integral
Es más lenta que la acción proporcional.
Puesto que introduce un polo en el origen, tiende a inestabilizar un tanto el sistema.
Teóricamente asegura ess=0
t
dtteTi
tm0
)(1
)( sTisE
sMsGc
1
)(
)()(
Modo de control derivativo
Sólo tiene efecto en la parte transiente de la respuesta (en estado estacionario m=0).
Es fuertemente sensible a ruidos.
Se utiliza para estabilizar lazos demasiado oscilatorios.
)()( tedt
dTdtm sTd
sE
sMsGc
)(
)()(
SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID
El ajuste de parámetros o sintonía de controladores, es uno de los aspectos más importantes
en el contexto de un sistema de control. A pesar de su importancia, existen tan solo algunos
procedimientos generales que permiten la estimación de los parámetros en base a mediciones
directas del proceso o por relaciones empíricas. Se hace hincapié que son solamente métodos
aproximados y por lo tanto deben realizarse un ajuste fino de los parámetros, en un entorno,
hasta lograr la respuesta adecuada.
Todos los procedimientos aproximados siguen las siguientes etapas básicas:
Determinación de un modelo que describa el comportamiento dinámico del proceso
en torno al punto de trabajo (modelo en lazo abierto).
Definición de un criterio de comportamiento para el proceso controlado.
Determinación de los parámetros del controlador.
Sistemas de Control Automáticos 9
De acuerdo al tipo de modelo dinámico que se ajuste a la respuesta del proceso y al criterio
de comportamiento, se obtiene diversas reglas para fijar los parámetros de los controladores.
CRITERIOS DE COMPORTAMIENTO
Una vez que se tiene una representación dinámica del proceso sin el control (en lazo abierto),
es necesario definir un criterio de calidad para la respuesta del proceso controlado. En otras
palabras se debe decidir la forma en que se desea que se comporte el proceso con el
controlador instalado.
La forma usual de definir un criterio de comportamiento es en base a la respuesta al escalón;
comparando la respuesta del proceso con la que idealmente se podría obtener y que es
lógicamente un escalón. La diferencia entre este escalón ideal de respuesta y la respuesta
actual se define como el error e(t).
Un criterio de comportamiento muy usado por la simplicidad de su verificación es el llamado
“razón de amortiguamiento de ¼“, el cual está indicado en la siguiente figura.
e
Yc
Tiempo
Respuesta ideal
Respuesta real
a
SP
Tiempo
Perturbacion
a/4a/16
VARIABLE CONTROLADA
Sistemas de Control Automáticos 10
Al especificar la razón de amortiguamiento se pretende garantizar un adecuado margen de
estabilidad y al mismo tiempo asegurar que las variaciones de la variable controlada serán
despreciables prácticamente después del cuarto ciclo de oscilación.
El diagrama de un control en lazo cerrado tiene la siguiente forma:
Si el modelo matemático de la planta es tan complicado que no es fácil de obtener, se debe
recurrir a los enfoques experimentales para la sintonización de los controladores PID. La FdT
del controlador es )(
)(
sE
sM y de la planta es
)(
)(
sM
sC
Este método hace uso del modelo matemático del proceso. Se supone un sistema de primer
orden con retardo en la respuesta.
ZIEGLER - NICHOLS
Establecen valores de KC, Ti y Td con base en las respuestas escalón experimentales. Existen
dos métodos de sintonización de Ziegler-Nichols. En ambos se pretende obtener un 25% de
sobre impulso en la respuesta escalón.
Sistemas de Control Automáticos 11
PRIMER METODO
En el primer método la respuesta de la planta a una entrada unitaria se obtiene de manera
experimental.
Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, la curva de
respuesta escalón unitario puede tener la siguiente forma:
Esta curva se caracteriza por dos parámetros: el tiempo de retardo y la constante de tiempo
. El tiempo de retardo y constante de tiempo se determina dibujando una recta tangente en
el punto de inflexión de la curva con forma de S y determinando las intersecciones de esta
tangente con el eje de tiempo y línea c(t)=K.
La función de transferencia del controlador )(
)(
sM
sC se aproxima mediante un sistema de primer
orden con un retardo del modo siguiente:
1)(
)(
s
eK
sM
sC s
Se establecen los valores de KC, Ti y Td de acuerdo a la siguiente tabla:
Tipo de
controlador KC Ti Td
P / 0
PI 0,9 / / 0,3 0
PID 1,2 / 2 0,5
Sistemas de Control Automáticos 12
Remplazando las constantes del controlador PID:
s
s
sGC
21
6,0)(
Por lo tanto, el controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en:
1s
SEGUNDO METODO
En el segundo método, primero se establece Ti= y Td=0, usando sólo la acción de control
proporcional.
Se incrementa KC de 0 a un valor crítico Kcr en donde la salida tenga una una primera oscilación
sostenida (si no lo tiene con cualquier valor de KC, no se aplica éste método). Por lo tanto, la
ganancia crítica Kcr y el periodo Tcr correspondiente se determinan experimentalmente de:
Tipo de
controlador KC Ti Td
P 0,5 Kcr 0
PI 0,45 Kcr Tcr / 1,2 0
PID 0,6 Kcr 0,5 Tcr 0,125 Tcr
Remplazando las constantes del controlador PID:
Sistemas de Control Automáticos 13
s
Tcrs
TcrKcrsGC
24
075,0)(
Por lo tanto, el controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en: Tcr
s4
Si la planta tiene la presencia de un integrador, no se aplica el primer método, ya que la
respuesta no tendrá una forma de S, más bien se incrementa con el tiempo, por lo tanto, se
aplica el segundo método.
El término de Kcr se determina a través del método de estabilidad de Routh Hurwitz donde se
obtiene el valor de KC en que el sistema se hace inestable. El término de Tcr, se obtiene del
análisis de la ecuación característica en el dominio de la frecuencia al sustituir el operador “s”
por “j”, y posteriormente obtener:
2Tcr
