DISEÑO Y REHABILITACIÓN DE...
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DISEÑO Y REHABILITACIÓN DE PAVIMENTOS Código: 140201 Intensidad: 3 Horas semanales Teóricas: 2 Horas Prácticas: 1 Hora
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DISEÑO Y
REHABILITACIÓN DE
PAVIMENTOS
Código: 140201Intensidad: 3 HorassemanalesTeóricas: 2 HorasPrácticas: 1 Hora
JUSTIFICACIÓN
El diseño de la estructura de un pavimento esuna parte fundamental del proyecto deconstrucción de una vía, porque incidedirectamente en el costo de la obra, el nivel deservicio que le proporciona a la comunidad, ysu durabilidad en el período de diseño.
Con el fin de elaborar un buen diseño de laestructura del pavimento en las vías urbanas serequiere de la participación de los especialistasen las áreas de hidráulica, diseño geométrico,ambiental y geotecnia. Es importante lograruna interacción eficiente entre estosespecialistas para alcanzar el éxito del
OBJETIVOS
Suministrar al estudiante los criterios básicos que seutilizan en el diseño de los pavimentos rígidos, flexiblesy articulados.
Aprender a diseñar los pavimentos rígidos y flexiblesdentro del marco de las normas y especificacionesnacionales e internacionales de diseño y construcción, ylas prácticas ambientales vigentes.
Conocer los procedimientos que se utilizan para evaluarlos pavimentos en servicio y diseñar su rehabilitación.
Resaltar la importancia del buen diseño de pavimentoscomo elemento generador de calidad de vida dentro delcontexto urbano.
METODOLOGÍA
Clases magistrales a cargo del profesor sobrelos temas del programa.
Elaboración de tareas y solución de problemasrelacionados con los temas del curso.
Realización de tareas sobre el uso deprogramas de computador para aplicar elmétodo racional.
Ejecución de visitas a diferentes vías de laciudad para ilustrar casos de diseñosincorrectos y de patología de los pavimentos, ya fuentes de materiales para mostrar losprocesos de selección y preparación de losagregados que se emplean en la conformaciónde la estructura de los pavimentos.
CONTENIDO
1. ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN PAVIMENTOS FLEXIBLES
1.1 Masas homogéneas
1.2 Sistemas de capas
1.3 Soluciones visco elásticas
2. ESFUERZOS Y
DEFORMACIONES EN PAVIMENTOS
RÍGIDOS
2.1 Esfuerzos debidos al alabeo
2.2 Esfuerzos y deflexiones debidos a las cargas
2.3 Esfuerzos debidos a fricción
2.4 Diseño de juntas y pasadores
3. CARACTERIZACIÓN DE
MATERIALES
3.1 Módulo resiliente
3.2 Módulo dinámico de mezclas bituminosas
3.3 Características de fatiga
3.4 Parámetros de deformación permanente
3.5 Otras propiedades
3.6 Normas de diseño y construcción de pavimentos
4. DRENAJE DE PAVIMENTOS
4.1 Consideraciones generales
4.2 Materiales drenantes
4.3 Procedimientos de diseño
5. DISEÑO DE ESPESORES DE
PAVIMENTOS DE ADOQUINES
5.1 Introducción
5.2 Casos especiales
5.3 Diseño de un pavimento nuevo
5.3.1 Evaluación de la subrasante. Período de diseño
5.3.2 Selección del espesor del pavimento
5.3.3 Especificaciones para los materiales del pavimento
6. EVALUACIÓN DE
PAVIMENTOS EN SERVICIO Y
DISEÑO DE OBRAS DE
MEJORAMIENTO
6.1 Introducción
6.2 Tipos de fallas en los pavimentos flexibles
6.3 Patología de las estructuras de pavimento en
servicio
6.3.1 Información existente
6.3.2 Examen superficial del pavimento
6.3.3 Evaluación estructural continua por
deflectometría
6.3.4 Evaluación de la regularidad superficial
6.3.5 Evaluación de la textura superficial de un
pavimento
6.3.6 Evaluación geotécnica de los materiales de
la estructura existente
7. RECICLAJE DE
PAVIMENTOS FLEXIBLES
7.1 Introducción
7.2 Campos de aplicación del reciclaje
7.3 Tipos de reciclaje
7.4 Ventajas de las técnicas de reciclado
7.5 Reciclaje superficial
7.6 Reciclaje en el lugar
7.7 Reciclaje en planta (en caliente)
7.8 Diseño de mezclas asfálticas recicladas en frío (método del Instituto del Asfalto)
7.9 Diseño de mezclas asfálticas recicladas en caliente (método del Instituto del Asfalto)
EVALUACIONES
1. Examen parcial20%
2. Examen final 20%
3. Informes visitas de campo 20%
4. Trabajos programas computador20%
5. Problemas 20%
BIBLIOGRAFÍA
1.Sánchez S., F. (1984). Pavimentos. Tomos I y II. Primera Edición, Universidad La Gran Colombia, Bogotá D.C.
2. Huang, Y.H. (1993). Pavements Analysis and Design. First Edition, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs N.J.
3. Yoder, E.J., and, Witczak, M. W. (1975). Principles of Pavement Design. Second Edition, John Wiley and Sons Inc, New York.
4.Rico A., y Del Castillo H. (1976). La Ingeniería de Suelos en las Vías Terrestres. Tomos I y II. Primera Edición, Editorial Limusa, Ciudad de México.
5.Montejo F., A. (1998). Ingeniería de Pavimentos para Carreteras. Segunda Edición, Universidad Católica de Colombia, Bogotá D.C.
6.Reyes L., F.A. (2003). Diseño Racional de Pavimentos. Primera Edición, Centro Editorial Javeriano, Bogotá.
2. ESFUERZOS Y
DEFORMACIONES EN
PAVIMENTOS FLEXIBLES
Capítulo 2
“Stresses and strains in flexible pavements”,
del libro
“Pavement Analysis and Design”,
de Yang H. Huang
MASA HOMOGÉNEA Los esfuerzos, deformaciones y deflexiones
producidos por una carga concentrada sepueden integrar para obtener aquellos debidosa un área circular cargada.
Antes del desarrollo de la teoría de capas deBurmister (1943) se utilizaban las solucionesde Boussinesq (1885), que dan resultadosaceptables para los esfuerzos, deformacionesy deflexiones en la subrasante cuando larelación entre los módulos del pavimento y dela subrasante es cercana a la unidad, comosucede con capas delgadas de asfalto y debase granular.
Si la relación entre los módulos es muchomayor que la unidad se deben modificar lasecuaciones.
Carga circular de radio a y presión
uniforme q.
El medio espacio tiene un módulo elástico E, y una relación de Poisson .
Sobre un elemento cilíndrico infinitesimal, con centro ubicado a una distancia zdebajo de la superficie y a r del eje de simetría, sólo actúan tres esfuerzos normales, σz, σr, y, σt, y un esfuerzo de
corte, rz, que es igual a zr. Estos
esfuerzos son función de q, r/a, z/a.
2.1.1 Solución con gráficas
Foster y Ahlvin (1954) presentaron gráficas para determinar:
el esfuerzo vertical σz,
el esfuerzo radial σr,
el esfuerzo de corte rz,
y la deflexión vertical w,
•Luego de calcular los esfuerzos
con las cartas se pueden estimar
las deformaciones con las
expresiones dadas por (2.1).
Si el área de carga consiste de
dos círculos, los esfuerzos y
deformaciones se obtienen por
superposición.
)] + ( - [*E
1 =
)] + ( - [*E
1 =
)] + ( - [*E
1 =
rztt
ztrr
trzz
Ecuaciones (2.1)
Ejemplo 2.1:
EQUIVALENCIAS UNIDADES
1 lb/in2 = 6895 N/m2 = 6,895 kPa
1 kgf = 9,807 N
1 kgf/cm2 = 98067 N/m2 = 98,067 kPa
1 kPa = 0,01019 kgf/cm2
1 ton = 2000 lb
1 tf = 2205 lb
1 tf/m3 = 9,807 kN/m3
Dados:
a = 127 mm,
q = 345 kPa, y
z = 254 mm,
de las Figuras 2, 3 y 4, los
esfuerzos en el punto A debidos a
la carga izquierda
con r/a = 0, y, z/a = 10/5 = 2,
son:
σz = 0.28*345 = 96.6 kPa,
σr = σt = 0.016*345 = 5.5 kPa.
Los esfuerzos en el punto A
debidos a la carga derecha,
con r/a = 20/5 = 4, y, z/a = 2,
son:
σz = 0.0076*345 = 2.6 kPa,
σr = 0.026*345 = 9.0 kPa,
σt = 0.
Por superposición,
σz = 96.6 + 2.6 = 99.2 kPa,
σr = 5.5 + 9.0 = 14.5 kPa,
σt = 5.5 kPa
De las ecuaciones (2.1),
εz = [99.2-0.5*(14.5+5.5)]/69000
= 0.00129
De la Figura 2.6
el factor de deflexión, F, en el
punto A debido a la carga
izquierda es 0.68, y
el de la carga derecha es 0.21.
La deflexión total entonces es:
w = q*a*F/E =
345*127*(0.68+0.21)/69.000 =
0.56 mm
2.1.2 Soluciones en el eje de
simetría
Cuando la carga se aplica sobre un área circular, los esfuerzos, deformaciones y deflexiones más críticas se presentan bajo el centro del área circular, en el eje de simetría, donde rz = 0, y, σr = σt, de manera que σz y σr son los esfuerzos principales.
Plato flexible
La carga que aplica una llanta alpavimento es similar a un platoflexible con un radio a y una presiónuniforme q. Los esfuerzos debajo delcentro del plato se puedendeterminar con las expresiones (2.2y 2.3).
])z+a(
z +
)z+a(
z)*+(1*2 - 2 + [1*
2
q =
])z + a(
z - [1*q =
1.522
3
0.522r
1.522
3
z
Ecuaciones (2.2) y (2.3)
σz es independiente de E y ,
y σr es independiente de E.
De las ecuaciones (2.1), se
obtienen (2.4) y (2.5),
Ecuaciones (2.4) y (2.5)
])z+a(
z +
)z+a(
)z-2(1 - 2 - [1*E
2
)q+(1 =
])z+a(
z -
)z+a(
z2 + 2 - [1*
E
)q+(1 =
1.522
3
0.522r
1.522
3
0.522z
La deflexión vertical w se obtiene
con (2.4),
z)]] - )z+a[(*2
2-1 +
)z+a(
a[*
E
)qa+(1 = w
0.522
0.522
Cuando la relación de Poisson,
v = 0.5,
)z+a2E(
qa3 = w
0.522
2
Sobre la superficie del medio
espacio, z = 0,
E
)qa-2(1 = w
2
o
Ejemplo 2.2:
Dados a = 127 mm,
q = 345 kPa, y,
z = 254 mm,
de la ecuación 2.2:
kPaz 98])254127(
2541[*345
5.122
3
De la ecuación 2.3, con = 0.3,
r = -1.7 kPa
De la ecuación 2.4, εz = 0.00144
De la ecuación 2.5, εr = -0.00044
De la ecuación 2.6, w = 0.447 mm
Viga Benkelman
Plato rígido
Cuando la carga se aplica sobre un plato rígido la deflexión es la misma en todos los puntos del plato, pero la distribución de la presión bajo el plato no es uniforme, como se aprecia
en la Figura 2.9.
De acuerdo con Ullidtz (1987) la
distribución de la presión bajo un
plato rígido se puede expresar
como,
5.022 )(*2
*)(
ra
aqrq
donde,
r es la distancia desde el centro
hasta el punto donde se desea
determinar la presión, y
q es la presión promedia.
La presión más baja ocurre en el
centro y es igual a la mitad de la
presión promedia, y en el borde es
infinita.
Si se integra la carga puntual sobre
el área, se halla la deflexión del
plato:
E
qaw
2
)1( 2
0
Esta deflexión es el 79% de la
que se presenta bajo el centro
de una carga uniformemente
distribuida.
2.1.3 Masa no lineal
Las soluciones de Boussinesq se basan en la suposición de que el material que constituye el medio espacio es linealmente elástico.
Es bastante conocido que los suelos de subrasante no son elásticos y presentan deformación permanente bajo cargas estacionarias.
•Sin embargo, bajo la aplicación
repetida de las cargas móviles del
tráfico la mayoría de las
deformaciones son recuperables y
se pueden considerar elásticas.
Por lo tanto, es posible seleccionar
un módulo elástico razonable de
acuerdo con la velocidad de las
cargas móviles.
•Puesto que linealidad implica la
aplicabilidad del principio de la
superposición, la constante elástica
no debe variar con el estado de
esfuerzos.
En otras palabras, la deformación
axial de un material linealmente
elástico bajo un esfuerzo axial
debe ser independiente de la
presión de confinamiento.
•Esto evidentemente no es cierto
para los suelos, debido a que su
deformación axial depende
fuertemente de la magnitud de las
presiones de confinamiento.
Consecuentemente, es de interés
práctico hallar el efecto de la no
linealidad en la solución de
Boussinesq.
Método iterativo
Se divide el medio espacio en varias capas, como se indica en la Figura 2.11, y se aplica la teoría de capas de Burmister para hallar los esfuerzos en la mitad de cada capa.
Luego se determina el módulo
elástico de cada capa con la
expresión (2.11):
)1(0 EE
donde,
= invariante de esfuerzos, o la
suma de los tres esfuerzos
normales,
E = módulo elástico inicial, o el
módulo cuando el invariante de
esfuerzos es cero,
b = constante del suelo que indica
el incremento en el módulo elástico
por unidad de incremento del
invariante de esfuerzos.
El invariante de esfuerzos debe
incluir los efectos de las cargas
aplicadas y los esfuerzos
geoestáticos, y se puede expresar
como (2.12):
= σz + σr + σt + g*z*(1+2*k0)
donde,
σz = esfuerzo vertical
σr = esfuerzo radial
σt = esfuerzo tangencialg= peso unitario del suelo
z = profundidad a la que se calcula
el invariante de esfuerzos
k0 = coeficiente de presión de
tierras en reposo
El problema se puede resolver por un
método de aproximaciones
sucesivas: 1) Se supone un módulo elástico para
cada capa
2) Se obtienen los esfuerzos por la teoría de capas
3) Se determina un nuevo conjunto de módulos con la expresión (2.11)
4) Se calcula un nuevo conjunto de esfuerzos
5) Se repite el proceso hasta que el módulo entre dos iteraciones consecutivas converge en un margen
Método aproximado
1) Dividir el medio espacio en un número cualquiera de capas.
2) Determinar los esfuerzos en el centro de cada capa por la ecuación de Boussinesq basada en la teoría lineal.
3) Con los esfuerzos obtenidos se determina el módulo elástico E para cada capa con la ecuación (2.11).
4) Con el valor de E se obtiene la deformación de cada capa, que es la diferencia en deflexión entre los niveles superior e inferior de cada capa.
5) Se suman las deformaciones desde la base rígida, o desde la superficie donde los desplazamientos verticales se suponen cero, para obtener las deflexiones a varias profundidades.
2.2 SISTEMAS
ESTRATIFICADOS
Los pavimentos flexibles son sistemas estratificados con los mejores materiales encima, y por lo tanto, no se pueden representar como una masa homogénea, de manera que la teoría de capas de Burmister es más adecuada.
•Burmister (1943) primero
desarrolló soluciones para un
sistema de dos capas, y luego las
extendió a un sistema de tres
capas (Burmister, 1945).
Con la llegada de los
computadores la teoría se puede
aplicar a un sistema multicapas
con cualquier número de capas
(Huang, 1967, 1968a).
Las suposiciones básicas que se
deben satisfacer son:
1) Cada capa es homogénea, isotrópica, y linealmente elástica, con un módulo elástico, E, y una relación de Poisson, .
2) El material no tiene peso y es infinito en dirección horizontal.
3) Cada capa tiene un espesor finito, h, con excepción de la inferior que tiene un espesor infinito.
4) Una presión uniforme q se aplica sobre la superficie, en un área circular de radio a.
5) Las condiciones de continuidad se satisfacen en todas las interfases entre capas, con los mismos esfuerzos verticales, esfuerzos de corte, desplazamiento vertical, y desplazamiento radial. Cuando la interfase no tiene fricción, la continuidad de los esfuerzos de corte y del desplazamiento radial se logra haciendo cero el esfuerzo de corte en
2.2.1 Sistemas de dos capas
El caso exacto de un sistema de dos capas es la construcción de espesor pleno, en el cual una gruesa capa de concreto asfáltico de planta se coloca directamente sobre la subrasante.
Esfuerzo vertical
El esfuerzo vertical en el nivel superior de la subrasante es un factor importante en el diseño del pavimento.
La función de un pavimento es reducir el esfuerzo vertical sobre la subrasante, de manera que no se presenten deformaciones dañinas.
El esfuerzo vertical admisible sobre una subrasante dada depende de la resistencia o del módulo de la subrasante.
Para combinar el efecto del esfuerzo y la resistencia, con frecuencia se usa la deformación vertical de compresión como criterio de diseño.
Esta simplificación es válida en pavimentos de carreteras y aeropuertos, debido a que la deformación vertical se produce principalmente por el esfuerzo vertical, mientras que la influencia del esfuerzo horizontal es relativamente pequeña.
Los esfuerzos en un sistema de dos capas dependen de la relación de módulos E1/E2, y de la relación espesor-radio, h1/a.
La Figura 2.14 muestra la influencia de las capas del pavimento sobre la distribución del esfuerzo vertical bajo el centro de un área circular cargada.
Esta gráfica es válida para el caso cuando el espesor de la capa 1, h1, es igual al área de contacto, esto es, h1/a = 1, y la relación de Poisson es 0.5.
La Figura 2.15 muestra la influencia del espesor del pavimento y de la relación de módulos sobre el esfuerzo vertical σc en la interfase pavimento-subrasante bajo el centro del área circular cargada.
El esfuerzo vertical admisible depende del número de repeticiones de carga.
Basado en el criterio de diseño de la Shell, y en la ecuación de la AASHTO, Huang et al (1984b)desarrollaron la siguiente relación:
583.3
2
734.35 **10*873.4 EN cd
Nd = número de repeticiones admisibles del esfuerzo para limitar la deformación permanente,
σc = esfuerzo vertical de compresión sobre la superficie de la subrasante, en psi
E2 = módulo elástico de la subrasante en psi.
Para un esfuerzo σc = 8 psi (5 kPa), y un módulo elástico E2 = 5000 psi (35 Mpa), el número de repeticiones admisible es de 3.7*10^5.
Deflexión vertical en la
superficie
2
2
0 ***5.1
FE
aqw
F2 es el factor de deflexión
Cuando la carga se aplica con un
plato rígido
2
2
0 ***18.1
FE
aqw
Deflexión vertical en la interfase
La deflexión vertical en la interfase también se ha usado como criterio de diseño.
La Figura 2.19 se puede usar para determinar la deflexión vertical en la interfase de un sistema de dos capas, en términos de un factor F, con la expresión:
FE
aqw *
*
2
El factor de deflexión es función de las relaciones E1/E2, h1/a, y, r/a, donde r es la distancia radial desde el centro del área cargada.
Las gráficas corresponden a relaciones entre módulos de 1, 2.5, 5, 10, 25, 50 y 100, de manera que se puede obtener la deflexión para un módulo intermedio por interpolación.
Deformación de tensión crítica
La deformación de tensión en la base de la capa asfáltica se usa como criterio de diseño para evitar el agrietamiento por fatiga.
Se pueden considerar dos tipos de deformaciones principales:
La deformación principal total basada en todas las seis componentes de esfuerzos normales y de corte.
La deformación horizontal principal basada solo en los esfuerzos horizontal normal y de corte.
La deformación principal total es ligeramente mayor que la deformación horizontal principal, de manera que la primera es algo conservadora.
Huang (1973a) desarrolló gráficas para determinar la deformación de tensión crítica en la base de la capa 1 para un sistema de dos capas.
La deformación de tensión crítica es la deformación total y se puede determinar por la expresión,
(2.17)
donde,
e es la deformación critica de tensión, y
Fe es el factor de deformación, que se determina de las gráficas.
eFE
qe
1
Rueda sencilla
La Figura 2.21 presenta el factor de deformación para un sistema de dos capas bajo un área circular cargada.
En la mayoría de los casos la deformación de tensión crítica ocurre bajo el centro del área cargada, donde el esfuerzo de corte es cero.
Sin embargo, cuando ambos h1/a y E1/E2
son pequeños, la deformación de tensión crítica se presenta a alguna distancia del centro, debido al efecto predominante del esfuerzo de corte.
Rueda doble
Debido a que el factor de deformación para ruedas dobles con un radio de contacto a y un espaciamiento Sddepende de Sd/a, además de h1/a y E1/E2, las ruedas dobles se reemplazan por una rueda simple con el mismo radio a, de manera que se puede usar la Figura 2.21.
Puesto que el factor de deformación para cargas dobles generalmente es mayor que el de ruedas simples, se debe determinar un factor de conversión C, que es la relación entre los factores de deformación de las ruedas doble y
Con valores de:
Sd = 24 in (61 cm)
a = 3 in (7.6 cm), y
a = 8 in (20.3 cm),
se calcularon los factores de conversión para varios valores de h1
y E1/E2, los cuales se presentan en la Figura 2.23.
Ruedas tandem dobles
Huang (1973a) desarrolló gráficas similares a la Figura 2.23 para:
Espaciamiento entre llantas,
Sd = 24 in (61 cm),
y espaciamientos entre ejes tandem,
St = 24 in (61 cm),
St = 48 in (1.22 cm), y
St = 72 in (1.83 m),
Las cuales se presentan en las Figuras 2.25, 2.26 y 2. 27.
Sistemas de tres capas
La Figura 2.29 muestra un sistema de tres capas y los esfuerzos en las interfases sobre el eje de simetría. Estos esfuerzos incluyen:
σz1 = esfuerzo vertical en la interfase 1
σz2 = esfuerzo vertical en la interfase 2
σr1 = esfuerzo radial en la base de la capa 1
σ’r1 = esfuerzo radial en la cima de la capa 2
σr2 = esfuerzo radial en la base de la
En el eje de simetría los esfuerzos tangenciales y radiales son idénticos y el esfuerzo de corte es 0.
Cuando la relación de Poisson es 0.5, de la ecuación 2.1 se obtiene:
)(2
1
)(1
zrr
rzz
E
E
Por lo tanto, la deformación radial es la mitad de la deformación vertical y de signo opuesto, es decir,
εz = -2* εr
Cuando el material es incompresible tiene = 0.5, la deformación horizontal es la mitad de la deformación vertical, y la suma de las deformaciones εz ,εr y εt es 0.
Tablas de Jones
Los esfuerzos en un sistema de tres capas dependen de las relaciones k1, k2, A, y, H, definidas como:
2
2
3
2
2
2
1
1
h
hH
h
aA
E
Ek
E
Ek
Jones (1962) presentó una serie de tablas para determinar σz1, (σz1 -σr1), σz2, y, (σz2 - σr2).
La continuidad del desplazamiento horizontal en la interfase implica que las deformaciones radiales en la base de una capa son iguales a las de la cima de la siguiente capa, es decir:
2
22
22
1
11
11
'
'
k
k
rz
rz
rz
rz
Las tablas de Jones consisten de cuatro valores de k1 y k2, esto es, 0.2, 2, 20 y 200, de manera que los valores intermedios se pueden obtener por interpolación.
En la Tabla 2.3 se presentan los factores de esfuerzos para un sistema de tres capas.
La convención de signos es positivo para compresión y negativo para tensión.
Se dan cuatro conjuntos de factores de esfuerzos, esto es, ZZ1, ZZ2, ZZ1 – RR1, y, ZZ2 –RR2.
El producto de la presión de contacto y el factor de esfuerzo da el esfuerzo:
σz1 = q*(ZZ1)
σz2 = q*(ZZ2)
σz1 - σr1 = q*(ZZ1 – RR1) (2.24)
σz2 - σr2 = q*(ZZ2 – RR2)
Gráficas de Peattie
Peattie (1962) graficó las tablas de Jones.
La Figura 2.31 contiene un conjunto de gráficas para hallar los factores de deformación radial, (RR1 – ZZ1)/2, en la base de la capa 1.
Como se indicó por la ecuación 2.20b, la deformación radial se puede determinar con la ecuación,
Las deformaciones radiales en la base de la capa 1 deben estar en tensión.
2
11 ZZRR
E
qr
SOLUCIONES VISCOELASTICAS
Un material visco elástico posee ambas la propiedad elástica de un sólido y el comportamiento viscoso de un líquido.
Suponga que se forma una bola con un material. Si la bola se tira al piso y rebota, se dice que es elástico. Si la bola se deja sobre la mesa y empieza a fluir y se aplana gradualmente bajo su propio peso, se dice que es viscoso.
Debido al componente viscoso, el
comportamiento de los materiales visco
elásticos depende del tiempo y entre
mayor el tiempo, mayor el flujo.
Como el concreto asfáltico es un
material visco elástico, cuyo
comportamiento depende del tiempo de
carga, es natural aplicar la teoría de la
visco elasticidad al análisis de sistemas
multicapa.
El procedimiento general se basa en el principio de correspondencia elástico - visco elástico, que aplica la transformada de Laplace para remover la variable tiempo, t, con una variable transformada, p, y de esta manera se cambia un problema visco elástico a un problema elástico asociado.
La inversión de Laplace del problema elástico asociado, de la variable transformada p a la variable de tiempo t resulta en las soluciones visco elásticas.
El método de la colocación se usa para obtener las soluciones visco elásticas a partir de las soluciones elásticas.
Caracterización del material
Hay dos métodos para caracterizar materiales visco elásticos:
Con un modelo mecánico
Con una curva de flujo asociada
Debido a que la relación de Poisson tiene una pequeña influencia en el comportamiento del pavimento se supone que ella es elástica e independiente del tiempo.
Por lo tanto, se considera que solo el módulo E es visco elástico y dependiente del tiempo.
Modelos mecánicos
La Figura 2.33 muestra varios modelos mecánicos que se usan para caracterizar materiales visco elásticos.
Los modelos están formados por dos elementos básicos: un resorte y un amortiguador.
Modelos básicos
Un material elástico se representa con un resorte, como se indica en la Figura 2.33a, que obedece la Ley de Hooke, donde el esfuerzo es proporcional a la deformación:
= E*ε (2.26)
en donde, es el esfuerzo, ε es la deformación, y E es el módulo elástico.
Un material viscoso se representa
por un amortiguador, como se
indica en la Figura 2.33b, que
obedece la Ley de Newton, donde
el esfuerzo es proporcional a la
variación de la deformación con el
tiempo:
en donde,
= viscosidad, y
t = tiempo
t
(2.27)
Bajo un esfuerzo constante se puede integrar la ecuación 2.27 y se obtiene,
t*
Modelo Maxwell
• Bajo un esfuerzo constante, la
deformación total es la suma de las
deformaciones de ambos el resorte y
el amortiguador,
0000
1*
T
t
E
t
E
en donde, T0 = 0/E0 = tiempo de relajación.
El subíndice 0 se usa para indicar un modelo de Maxwell.
Si se aplica instantáneamente un
esfuerzo 0 al modelo, el resorte tendrá
una deformación instantánea, 0 /E0.
Si la deformación se mantiene constante el esfuerzo se relajará gradualmente y, después de un largo período de tiempo, se hará 0.
Modelo Kelvin
Ambos el resorte y el amortiguador tienen la misma deformación, pero el esfuerzo total es la suma de los dos esfuerzos, o, con un subíndice 1 para indicar un modelo Kelvin,
tE
11 *
• Si se aplica un esfuerzo constante,
entonces,
t dt
E
d
01
01 *
11
exp1T
t
E
En donde, T1 = 1/E1 = tiempo de retardo.
Cuando t = 0, ε = 0;
Cuando t = , ε = /E1, o el resorte está completamente recogido a su deformación total retardada;
Cuando t = T1, entonces ε= 0.632*/E1.
Entonces, el tiempo de retardo T1 de un modelo kelvin es el tiempo para alcanzar 63.2% de la deformación total retardada.
Modelo Burgers
• La deformación total está compuesta por
tres partes: una deformación elástica
instantánea, una deformación viscosa, y
una deformación elástica retardada, como
se muestra en la Figura 2.34.
1100
exp11T
t
ET
t
E
Cualitativamente, un modelo de Burger representa bien el comportamiento de un material visco elástico.
Cuantitativamente, un modelo simple de Kelvin no es suficiente para cubrir el largo periodo de tiempo en el cual la deformación retardada ocurre, y se pueden necesitar varios modelos de Kelvin.
Modelo generalizado
• Bajo un esfuerzo constante, la
deformación de un modelo
generalizado se puede escribir como:
i
n
i i T
t
ET
t
Eexp11
100
En donde n es el número de modelos de Kelvin.
Este modelo explica el efecto de la duración de la carga en la respuesta del pavimento.
Bajo la aplicación de una carga simple, predominan las deformaciones instantánea y retardada, mientras que la deformación viscosa es despreciable.
Sin embargo, bajo un gran número de repeticiones de carga, la acumulación de las deformaciones viscosas es la causa de deformación permanente.
Flujo asociado
Otro método de caracterizar materiales visco elásticos es el flujo asociado a varios tiempos, D(t), definido como:
)()(
ttD
En donde ε(t) es la deformación dependientedel tiempo bajo esfuerzo constante.
• Bajo un esfuerzo constante, el flujo asociado es
el inverso del módulo de Young. Para el modelo
generalizado, el flujo asociado se puede
expresar como
n
i ii T
t
ET
t
EtD
100
exp11
11
)(
Dadas las constantes visco elásticas, E0, T0, Ei, y,Ti, para un modelo generalizado, los flujosasociados a diferentes tiempos se puedencalcular con la ecuación 2.36.
(2.36)
Cuando se da la curva de flujo asociada, se pueden determinar las constantes visco elásticas de un modelo generalizado por el método de residuos sucesivos.
Sin embargo, es más conveniente usar un método de colocación aproximado.
Método de colocación
Es un método aproximado para ajustar las respuestas calculadas y reales en un número predeterminado de duraciones de tiempo.
En cambio de determinar ambos Ei y Ti por el método tedioso de residuos sucesivos, se suponen arbitrariamente varios valores de Ti y se determinan los valores correspondientes de Ei resolviendo un sistema de ecuaciones simultáneas.
El método se puede usar también para obtener soluciones visco elásticas a partir de soluciones elásticas.
Soluciones elásticas
Dado el flujo asociado de cada material visco elástico en un tiempo dado, las soluciones visco elásticas en ese tiempo se obtienen con soluciones elásticas.
Es una solución cuasi-elásticaque da una buena aproximación a la solución visco elástica.
Series Dirichlet
El diseño del pavimento se basa en cargas móviles de una duración corta. El flujo asociado D(t) producido por una deformación viscosa es despreciable, de manera que la ecuación 2.36 se puede escribir como
n
ii T
t
EEtD
110
exp111
)((2.37)
Por lo tanto, es conveniente expresar el flujo asociado como una serie Dirichlet, o
n
i i
iT
tGtD
1
exp)( (2.38)
Una comparación de las ecuaciones 2.37 y 2.38 con T0 = muestra que
n
i i
n
i
i
EEG
EG
10
11
1
(2.39)
Colocación del flujo asociado
El flujo asociado de los materiales viscoelásticos se determina a partir de ensayos de flujo.
La FHWA (1978) recomienda realizar un ensayo de flujo de 100 s con verificaciones medidas en 11 duraciones de tiempo diferentes, de 0.001, 0.003, 0.01, 0.03, 0.1, 0.3, 1, 3, 10, 30, y 100s, pero se puede usar cualquier número de duraciones.
Si se especifican 7 duraciones del flujo asociado, por ejemplo Ti de 0.01, 0.03, 0.1, 1, 10, 30 e segundos, se pueden determinar los coeficientes G1 a G7 con la ecuación (2.38) resolviendo 7 ecuaciones simultáneas.
Si el flujo asociado se especifica en 11duraciones de tiempo, se tienen 11 ecuaciones y 7 incógnitas, de manera que las 11 ecuaciones se deben reducir a 7ecuaciones multiplicando ambos lados con una matriz de 7x11, que es la transpuesta de la matriz de 11x7, o
7
1
7
11
1
11
71
1
7
11
7
1
1
11
1
1
.
.
exp...exp
.711.
exp...exp
exp...exp
.117.
exp...exp
G
G
T
t
T
txmatriz
T
t
T
t
x
T
t
T
txmatriz
T
t
T
t
11
1
7
11
7
1
1
11
1
1
.
.
.
.
exp...exp
.117.
exp...exp
D
D
x
T
t
T
txmatriz
T
t
T
t
(2.40)
Luego de obtener los coeficientes G1 a G7 el
flujo asociado para cualquier tiempo t se puede
calcular con la ecuación 2.38.
Superposición tiempo-
temperatura
Cuando las mezclas asfálticas se someten a incrementos de temperatura experimentan una aceleración en la deformación, como si la escala de tiempo se comprimiera.
La Figura 2.37 muestra el flujo asociado D vs. tiempo t en escalas log.
Para un tiempo dado el flujo asociado de una temperatura inferior es menor que a una temperatura más alta, y hay un desplazamiento entre las curvas de diferentes temperaturas.
Si se conocen los flujos asociados bajo una temperatura de referencia T0, se pueden obtener aquellos bajo cualquier temperatura T usando un factor de desplazamiento aT de la relación tiempo – temperatura, que fue definido por Pagen (1965) como
0T
T
Tt
ta
(2.44)
en donde tT es el tiempo para obtener un flujoasociado a la temperatura T, y tT0 es el tiempopara obtener el flujo asociado de la temperaturade referencia T0.
Varios ensayos de laboratorio realizados sobre mezclas asfálticas encontraron que la variación entre el log aT vs. temperatura es una línea recta, como se muestra en la Figura 2.38.
La pendiente de la línea recta varía entre 0.061 y 0.170, con un promedio de 0.113.
0
0 )/log(
TT
tt TT
(2.45)
De la Figura 2.38
)(3026.2
00TT
TT ett
(2.46)
• Si el flujo asociado de la temperatura de
referencia T0 es
• luego el flujo asociado basado en la
temperatura T es
• La relación entre tT y tT0 está dada por la
ecuación 2.46.
i
Tn
i
iT
tGtD 0
1
exp)( (2.47)
i
Tn
i
iT
tGtD exp)(
1(2.48)
Cumplimiento de las soluciones
viscoelásticas
Aunque no se conocen soluciones viscoelásticas exactas, la respuesta viscoelástica R siempre se puede aproximar a una serie de Dirichlet:
7
1
expi i
iT
tcR
(2.49)
Cuando se obtienen soluciones elásticas para 11 duraciones de tiempo, se puede aplicar la ecuación 2.40 para reducir el número de ecuaciones a 7, que es el número de incógnitas que se deben resolver.
Si de las soluciones elásticas de obtienen respuestas para 7 duraciones de tiempo, se pueden hallar directamente los coeficientes c1 a c7 con las matrices
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1111111
1
1
1
1
1
1
30
10
1
1.0
03.0
01.0
7
6
5
4
3
2
1
30
30
10
30
1
30
1.0
30
03.0
30
01.0
30
30
10
10
10
1
10
1.0
10
03.0
10
01.0
10
30
1
10
1
1
1
1.0
1
03.0
1
01.0
1
30
1.0
10
1.0
1
1.0
1.0
1.0
03.0
1.0
01.0
1.0
30
03.0
10
03.0
1
03.0
1.0
03.0
03.0
03.0
01.0
03.0
30
01.0
10
01.0
1
01.0
1.0
01.0
03.0
01.0
01.0
01.0
R
R
R
R
R
R
R
c
c
c
c
c
c
c
x
eeeeee
eeeeee
eeeeee
eeeeee
eeeeee
eeeeee
(2.50)
Luego de obtener los coeficientes ci se
puede determinar la respuesta bajo carga
estacionaria con la ecuación 2.49.
Análisis de cargas móvilesEl principio de correspondencia elástico –
viscoelástico se puede aplicarA) Directamente a las cargas móviles,
como lo indicaron Perloff y Moavenzadeh (1967),
B) Para determinar la deflexión en la superficie de un medio espacio viscoelástico, según Chou y Larew (1969)
C) Para hallar los esfuerzos y desplazamientos en un sistema viscoelástico de dos capas, según Elliott y Moavenzadeh (1971)
D) Para un sistema de tres capas, y Huang (1973b) para un sistema multicapa.
Debido a la complejidad del análisis y a la gran cantidad de tiempo de cálculo que se requiere, se tiene que usar un método simplificado.
En el método se supone que la intensidad de la carga varía con el tiempo según la función medio seno como se aprecia en la Figura 2.40.
Con t = 0 en el pico, la función de carga se expresa como
d
tsenqtL
2*)( 2
(2.55)
en la que d es la duración de la carga. Cuando la carga se halla a una distancia considerable de un punto dado, o, t = d/2, la carga encima del punto es cero, o, L(t) = 0.
Cuando la carga está directamente encima del punto dado, t = 0, la intensidad de la carga es q.
La duración de la carga depende de la velocidad del vehículo, s, y del radio del área de contacto a.
Una suposición razonable es que la carga no hace algún efecto cuando se halla a una distancia 6adel punto, o
s
ad
12
Cuando
a = 15 cm,
s =64 km/h = 17.9 m/s,
d = 0.1 s
(2.56)
La respuesta bajo carga estática se puede expresar como una serie de Dirichlet:
7
1
exp)(i i
iT
tctR (2.49)
La respuesta bajo cargas móviles se puede obtener por el principio de superposición de Boltzmann
dtdt
dLtRR
d0
2/)( (2.57)
De la ecuación 2.55
d
tsen
d
q
dt
dL 2(2.58)
Sustituyendo las ecuaciones 2.49 y 2.58 en 2.57 e integrando se obtiene
2
2
2
2
2exp1
2
i
i
i
T
d
T
d
cq
R
RESUMEN
1.La teoría de Boussinesq se puede aplicar solo a un medio espacio elástico y homogéneo, tal como el análisis del ensayo de plato de carga sobre una subrasante, o una rueda de carga sobre un pavimento delgado.
2.Un método aproximado para determinar la deflexión sobre la superficie de un medio espacio elástico no lineal, consiste en suponer la misma distribución de esfuerzos de la teoría lineal y variar el módulo de acuerdo con el estado de esfuerzos.
3.El método mecanicístico más práctico para analizar pavimentos flexibles es la teoría de capas de Burmister.
Basados en sistemas elásticos de dos capas se desarrollaron varias gráficas para hallar la respuesta de los pavimentos.
4. Se pueden utilizar dos métodos para caracterizar materiales viscoelásticos: un modelo mecánico y una curva de flujo asociada.
Ambos están muy relacionados y uno se puede convertir en el otro.
La ventaja del modelo mecánico es que la relación esfuerzo – deformación se puede visualizar físicamente para desarrollar las ecuaciones diferenciales gobernantes, mientras que la ventaja de la curva de flujo asociada es que se puede obtener fácilmente con un ensayo de flujo en el laboratorio.
5. El principio de correspondencia elástico – viscoelástico basado en la transformada de Laplace se puede usar para analizar sistemas estratificados de materiales viscoelásticos.
Sin embargo, un método más conveniente consiste en obtener soluciones elásticas para un número de duraciones de tiempo y ajustarlas a una serie de Dirichlet como una función del tiempo.
5. El principio de correspondencia elástico – viscoelástico basado en la transformada de Laplace se puede usar para analizar sistemas estratificados de materiales viscoelásticos.
Sin embargo, un método más conveniente consiste en obtener soluciones elásticas para un número de duraciones de tiempo y ajustarlas a una serie de Dirichlet como una función del tiempo.
7.Las respuestas de sistemas viscoelásticos estratificados bajo cargas móviles se pueden obtener a partir de las de cargas estáticas aplicando el principio de superposición de Boltzmann, en el cual la carga móvil se expresa como una función medio seno y la respuesta estática como una serie Dirichlet.
