Diseños Experimentales en la Optimización de

Recursos

Metodología de Superficie de Respuesta

El objetivo de usar métodos de superficies de respuesta es el de optimizar un proceso.

Suponga que tenemos un modelo con n factores

Asumiendo que la respuesta de la superficie puede ser modelada por

El valor esperado de la respuesta es:

Esta es llamada la superficie de respuesta

),...,( 1 nxxfY

),...,(][ 1 nxxfYE

Metodología de Superficie de Respuesta

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

-10.0

-7.0

-4.0

-1.0

2.0

5.0

8.0

-3500

-3000

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

Y

X1

X2

NitrógenoFósforo

Rend.

Metodología de Superficie de Respuesta

Supuesto: La variación es la misma en todos los puntos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

-10.0

-7.0

-4.0

-1.0

2.0

5.0

8.0

-3500

-3000

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

Y

X1

X2

Metodología de Superficie de Respuesta

Cuando es posible observar la respuesta sin variación entonces las técnicas de programación lineal son adecuadas para encontrar el optimo. En programación matemática, queremos

encontrar el optimo en una función de n dimensiones usando un numero mínimo de cálculos en la función.

Obviamente si pudiéramos calcular la función en un gran numero de punto en el espacio de decisiones posibles entonces podemos graficarla función y encontrar a ojo el optimo.

Metodología de Superficie de Respuesta

Sin embargo, si consideramos cada punto en el cual la función tiene que ser evaluada con un costo en tiempo entonces nos gustaría minimizar el costo total. Las gráficas a fuerza bruta serian muy

costosas

En MSR, tenemos que estimar la función de respuesta haciendo ensayos en cada punto de interés. Esto puede ser muy costoso Entonces queremos minimizar el costo en

tiempo.

Algoritmo de la pendiente ascendente

Un método para encontrar óptimos en programación matemática es llamado el algoritmo de la pendiente ascendente.

Bajo este algoritmo: Inicie en punto arbitrario. Calcule la función y su derivada en este

punto. Busque en la dirección de la pendiente

ascendente (derivada máxima) Continúe en esa dirección hasta que no se

tiene ya incrementos.

Algoritmo de la pendiente ascendente

Algunas veces la derivada no puede ser encontrada y debemos estimarla suponiendo un modelo lineal. Inicie en punto arbitrario. Calcule la función en este punto en puntos

en un cuadrado, cubo o cualquier otra forma alrededor del punto.

Mire en la dirección de la pendiente ascendente (diferencia máxima)

Continúe en esa dirección hasta que no se tiene ya incrementos.

Este es el enfoque usado suponiendo un modelo de superficie de respuesta de primer orden.

Programación Cuadratica

Si hay curvatura en función, entonces el modelo local lineal no es apropiado.

Un modelo cuadrático se asume que puede aproximar localmente a la función

Para usar un cuadrático, se tienen que calcular mas puntos.

Esos puntos extras se llaman puntos estrella.

Este es el enfoque asumiendo MSR de segundo orden.

Programación Cuadratura

Los puntos estrella deben ser elegidos cuidadosamente para que la forma sea rotable. Esto significa que la desviación estándar de

la respuesta es constante en todos los puntos que tienen la misma distancia del centro.

-1 -1-1 11 -11 1

-1.41 01.41 0

0 -1.410 1.410 00 00 00 00 0

-1 -1 -11 -1 -1

-1 1 -11 1 -1

-1 -1 11 -1 1

-1 1 11 1 10 0 00 0 00 0 0

-1.73 0 01.73 0 0

0 -1.73 00 1.73 00 0 -1.730 0 1.730 0 00 0 00 0 0

2 factores 3 factores

ANOVA con dos Factores

El modelo lineal con dos factores e interacción

Separando los componentes de varianza

O

kjijijikjiY ,,,,, )(

a

i

b

j

n

kjikji

a

i

b

jjiji

b

jj

a

ii

a

i

b

j

n

kkji

yy

yyyyn

yyanyybnyy

1 1 1

2,,,,

1 1

2,,,,,,,,

1

2,,,,

1

2,,,,

1 1 1

2,,,,

)(

)(

ErrorABBATotal SSSSSSSSSS

)1()1)(1()1()1(1 nabbabaabn

MSR con un factor

El modelo de primer orden con un factor es:

La respuesta media para dos factores con niveles i y j respectivamente es:

Queremos minimizar el error cuadrado medio con respecto a los parámetros del modelo.

kiiki XY ,10,

ii X10ˆ

PErrLoFg SSSSSS Re

a

i

n

jji yy

1 1

2,, )(

a

i

n

jiji

a

i

n

jiji

a

i

n

jji yyyy

1 1

2,,

1 1

2,,

1 1

2,, )()ˆ()ˆ(

RErrg SSSS Re

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

Y

Error Total

Abajo tenemos una gracia de los datos y la línea de regresión ajustada

Los la suma de las diferencias al cuadrado entre las observaciones y la línea de regresión nos da el error total

Error de Falta de Ajuste

Observe la gráfica de los promedios en cada nivel del tratamiento y la línea de regresión ajustada.

La suma de las diferencias al cuadrado entre los promedios a cada nivel y la línea de regresión nos da el error de falta de ajuste.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

Y

Error Puro

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

Y

Abajo tenemos una gráfica de las observaciones y los promedios a cada nivel del tratamiento.

La suma total de las diferencias al cuadrado entre los promedios a cada nivel y las observaciones nos da el error puro. Este es el error que obtendríamos si usamos

efectos fijos

Falta de Ajuste & Error Puro

El error de falta de ajuste nos dice que tan bien los estimadores de mínimos cuadrados ajusta un modelo de efectos fijos.

El error puro nos dice cuanta variacion nos explican otros factores que omitimos en el estudio.

Ejemplo: Adesivo Sure Stick

El experimento fue llevado acabo usando un diseño central compuesto con 3 factores

Ensayo Aditivo Presion de aplicacionTemperatura deAplicacion Fuerza de pegado

1 20 50 100 6.62 40 50 100 83 40 50 200 7.54 20 50 200 75 20 100 100 7.26 40 100 100 97 40 100 200 8.38 20 100 200 69 30 75 150 1010 30 75 150 11.411 30 75 150 11.612 30 75 150 9.713 30 75 150 10.214 30 75 150 9.815 13.18 75 150 1016 46.82 75 150 617 30 33 150 6.818 30 117 150 6.319 30 75 65.9 6.520 30 75 234.1 8.1

Ejemplo: Adesivo Sure Stick en Minitab...

Estimated Regression Coefficients for fuerza

Term Coef Stdev t-ratio pConstant -17.87 5.41003 -3.303 0.006Additive 0.47 0.19745 2.373 0.034presion 0.31 0.07913 3.980 0.002temp 0.13 0.03949 3.178 0.007Additive*Additive -0.01 0.00324 -2.435 0.030presion*presion -0.00 0.00052 -4.016 0.001temp*temp -0.00 0.00013 -3.198 0.007

s = 1.232 R-sq = 67.8% R-sq(adj) = 52.9%

Analysis of Variance for fuerza

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PLinear 3 0.0968 40.682 13.5608 8.94 0.002Square 3 41.4036 41.404 13.8012 9.10 0.002Residual Error 13 19.7197 19.720 1.5169 Lack-of-Fit 8 16.2446 16.245 2.0306 2.92 0.126 Pure Error 5 3.4750 3.475 0.6950 Total 19 61.2200

Unusual Observations for fuerza Obs. fuerza Fit Stdev.Fit Residual St.Resid 15 10.000 8.293 0.960 1.707 2.21R 16 6.000 8.114 0.960 -2.114 -2.74R

R denotes an obs. with a large st. resid.

Normalidad

p-value: 0.168A-Squared: 0.516

Anderson-Darling Normality Test

N of data: 20Std Dev: 1.79502Average: 8.3

11.810.89.88.87.86.85.8

.999

.99

.95

.80

.50

.20

.05

.01

.001

Pro

babi

lity

fuerza

Normal Probability Plot

Ejemplo: Sure Stick

10

20

30

40

50

20 45 70 95 120

Grid Plot of C4

C2

C1

C4

-112468911

10

20

30

40

50

50 100 150 200 250

Grid Plot of C4

C3

C1

C4

-112468911

20

45

70

95

120

50 100 150 200 250

Grid Plot of C4

C3

C2

C4

-112468911

Maximum OptimumParameter Exponent ValueC1 2 29.66C2 2 75.39C3 2 151.22Function at optimum 10.44

Ejemplo: Diseño central Compuesto con dos factores

X1 yX2 y respuesta Y. El diseño ha sido situado en dos bloques ortogonales a los efectos lineales y cuadraticos del modelo.

bloque x1 x2 y-1 0.5 0.866 86.0-1 0.5 -0.866 86.3-1 0.0 0.000 97.1-1 0.0 0.000 95.91 -0.5 0.866 72.91 -0.5 -0.866 61.31 1.0 0.000 92.31 0.0 0.000 91.51 0.0 0.000 89.7

Fuente: * Myers, Raymond H. (1976), "Response Surface Metho dology", Blacksburg,

Virginia: Virginia Polytechnic Institute and State University, pp. 189-193.

Programa en SAS

DATA A; INPUT BLOCK X1 X2 Y; CARDS; -1 -1.0 0.000 61.8 -1 0.5 0.866 86.0 -1 0.5 -0.866 86.3 -1 0.0 0.000 97.1 -1 0.0 0.000 95.9 1 -0.5 0.866 72.9 1 -0.5 -0.866 61.3 1 1.0 0.000 92.3 1 0.0 0.000 91.5 1 0.0 0.000 89.7 ; /* / Ordene por las var. Independientes para examinar / Bondad de Ajuste. /---------------------------------------------------------------*/ PROC SORT; BY BLOCK X1 X2;

/* / Analizar declarando BLOCK como covariable en lugar de / factor :

/---------------------------------------------------------------*/

PROC RSREG; MODEL Y = BLOCK X1 X2 / COVAR = 1 LACKFIT; RIDGE MAX; run;

Response Surface for Variable Y

Response Mean 83.480000 Root MSE 1.745534 R-Square 0.9943 Coef. of Variation 2.0910

Degrees of Type I SumRegression Freedom of Squares R-Square F-Ratio Prob > F

Covariates 1 37.636000 0.0234 12.352 0.0391Linear 2 850.323333 0.5286 139.5 0.0011Quadratic 2 676.273500 0.4204 111.0 0.0015Crossproduct 1 35.402500 0.0220 11.619 0.0422Total Regress 6 1599.635333 0.9943 87.501 0.0019

Degrees of Sum ofResidual Freedom Squares Mean Square F-Ratio Prob > F

Lack of Fit 1 6.800667 6.800667 5.813 0.1374Pure Error 2 2.340000 1.170000Total Error 3 9.140667 3.046889

SALIDA

Degrees of Parameter Standard T for H0:Parameter Freedom Estimate Error Parameter=0 Prob > |T|

INTERCEPT 1 93.550000 0.872767 107.2 0.0000X1 1 16.516667 1.007785 16.389 0.0005X2 1 3.262125 1.007814 3.237 0.0480X1*X1 1 -16.500000 1.511677 -10.915 0.0016X2*X1 1 -6.870670 2.015628 -3.409 0.0422X2*X2 1 -17.067668 1.511765 -11.290 0.0015BLOCK 1 -1.940000 0.551986 -3.515 0.0391

Parameter Estimate from CodedParameter Data

INTERCEPT 93.550000X1 16.516667

Parameter Estimate from CodedParameter Data

X2 2.825000X1*X1 -16.500000X2*X1 -5.950000X2*X2 -12.800000BLOCK -1.940000

Degrees of Sum ofFactor Freedom Squares Mean Square F-Ratio Prob > F

X1 3 1216.803333 405.601111 133.1 0.0011X2 3 455.686481 151.895494 49.853 0.0047

Canonical Analysis of Response Surface (based on coded data)

Critical Value Factor Coded Uncoded

X1 0.501630 0.501630 X2 -0.006238 -0.005402

Predicted value at stationary point 97.683815 Canonical Analysis of Response Surface (based on coded data)

Eigenvectors Eigenvalues X1 X2

-11.146698 -0.485761 0.874092 -18.153302 0.874092 0.485761 Stationary point is a maximum.

Estimated Ridge of Maximum Response for Variable Y

Coded Estimated Standard Uncoded Factor Values Radius Response Error X1 X2

0.0 93.550000 0.872767 0 0 0.1 95.052428 0.869997 0.099001 0.012210 0.2 96.211207 0.863195 0.198799 0.018954 0.3 97.031435 0.857053 0.299188 0.019103 0.4 97.519604 0.859629 0.399781 0.011463 0.5 97.683771 0.881808 0.499966 -0.005047 0.6 97.533530 0.935253 0.598921 -0.031148 0.7 97.079678 1.029067 0.695717 -0.066956 0.8 96.333570 1.167338 0.789499 -0.111880 0.9 95.306313 1.349436 0.879664 -0.164749 1.0 94.008064 1.572166 0.965938 -0.224097

93.700084.409375.090765.8000

210-1

2

1

0

-1

x1

x2

Contour Plot for : y

Grafica de contorno:

Grafica de la superficie de respuesta

-2

-1

0

1

2 -2

-1

0

1

2

-50

0

50

100

-2

-1

0

1

2

Ecuacion estimada