Diseños Factoriales

1

Diseo factorial

Diseo de experimentos Docente: Marlon Angulo

Universidad del Norte Maestra en Estadstica Aplicada

2

1. DISEO DE BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS

Se entiende por diseo de bloques incompletos aleatorizados a un diseo de bloques aleatorizados en el cual no es posible correr todas las combinaciones de los tratamientos en cada bloque. Cuando adems dos tratamientos cualesquiera aparecen conjuntamente el mismo nmero de veces, recibe el nombre de diseo de bloques incompletos balanceados (BIBD: balanced incomplete block design). Si hay a tratamientos en cada bloque y cada bloque puede tener exactamente k tratamientos (k

3

() = 2=1 Donde es el total ajustado del tratamiento i-simo, el cual se calcula como:

= . 1 .=1 i=1, 2,, a Con = 1 si el tratamiento i aparece en el bloque j y = 0 en caso contrario. Los totales de los tratamientos ajustados siempre sumarn cero. () tiene a-1 grados de libertad. La suma de cuadrados del error se calcula por sustraccin como: = () y tiene N-a-b+1 grados de libertad. El estadstico apropiado para probar la igualdad de los efectos de los tratamientos es:

= () Fuente de variacin

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrado medio

Tratamientos (ajustados)

2

a-1 () 1 ()

Bloques 1.2 ..2 b-1 1

Error (por sustraccin)

N-a-b+1 + 1

Total

2 ..2

N-1

Si el factor bajo estudio es fijo, las pruebas para las medias de tratamientos individuales pueden ser de inters. Si se emplean contrastes ortogonales, los contrastes deben hacerse sobre los totales de los tratamientos ajustados, las {} en lugar de las {.}. La suma de cuadrados de los contrastes es:

= ( =1 )2 2=1 Donde {} son los coeficientes de los contrastes. Pueden usarse otros mtodos de comparacin mltiple para comparar todos los pares de efectos de los tratamientos ajustados

los cuales se estiman con = . La desviacin estndar en el error del efecto de un tratamiento ajustado es:

=

En el anlisis que acaba de describirse, se ha hecho la particin de la suma de cuadrados total en una suma de cuadrados de tratamientos ajustados, una suma de cuadrados de los bloques sin ajuste y una suma de cuadrados del error. En ocasiones se tiene inters en evaluar los efectos de los bloques. Para ello se requiere hacer una particin alternativa de , es decir:

= + () + Aqu la suma de cuadrados de los tratamientos est sin ajuste. Si el diseo es simtrico, si a=b puede obtenerse una frmula simple para la (). Los totales de los bloques ajustados son:

= . 1 .=1 j=1,2,,b y

4

() = 2=1

Fuente de variacin

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrado medio

Tratamientos (ajustados)

2

=1

a-1 () 1 ()

Tratamientos (sin ajustes)

1.2 ..2

=1

a-1

Bloques (sin ajustes)

1.2 ..2

=1

b-1

Bloques (ajustados)

2

=1

b-1 () 1 ()

Error N-a-b+1 + 1

Total

2 ..2

(N-1)

5

2. DISEO FACTORIAL DE TRES FACTORES

El departamento de control de calidad de una planta de acabados textiles estudia el efecto de varios factores sobre el teido de una tela de algodn y fibras sintticas utilizada para fabricar camisas para caballero. Se seleccionaron tres operadores, tres duraciones del ciclo y dos temperaturas y se tieron tres ejemplares pequeos de la tela bajo cada conjunto de condiciones. La tela terminada se compar con un patrn y se le asign una evaluacin numrica. Los datos se presentan enseguida. Analizar los datos y sacar conclusiones. Comentar la adecuacin del modelo.

Duracin del ciclo

Temperatura 300o 350o

Operador Operador 1 2 3 1 2 3

40

23 24 25

27 28 26

31 32 29

24 23 28

38 36 35

34 36 39

50

36 35 36

34 38 39

33 34 35

37 39 35

34 38 36

34 36 31

60

28 24 27

35 35 34

26 27 25

26 29 25

36 37 34

28 26 24

Para los tres factores: A: Duracin del ciclo con los niveles 40, 50 y 60 (a=3) B: Temperatura con los niveles 300o y 350o (b=2) C: Operador con los niveles 1, 2 y 3 (c=3) Y para cada uno de ellos se realizan tres rplicas (n=3) El modelo del anlisis de varianza de los tres factores es:

= + + + + () + () + () + () +

Donde

= 1, 2, , = 1, 2, , = 1, 2, , = 1, 2, ,

6

La tabla de anlisis de varianza es: Fuen

de varia

Suma de cuadrados Grados de

libertad

Cuadrado medio Cuadrado medio esperado

Fo

A = 12

=1

.2

a-1

= 1 2 + 2 1 = B

= 1...2 =1

.2

b-1

= 1 2 + 2 1 = C

= 1...2 =1

.2

c-1

= 1 2 + 2 1 = AB = 1

..2

=1

=1

.2

= () (a-1)(b-1)

= ( 1)( 1) 2 + ()2( 1)( 1) = AC = 1

..2

=1

=1

.2

= () (a-1)(c-1)

= ( 1)( 1) 2 + ()2( 1)( 1) = BC = 1

..2

=1

=1

.2

= () (b-1)(c-1)

= ( 1)( 1) 2 + ()2( 1)( 1) = ABC = 1

.2

=1

=1

=1

.2

= ()

(a-1)(b-1)(c-1)

= ( 1)( 1)( 1) 2+ ()2( 1)( 1)( 1) =

Error = () abc(n-1) = ( 1) 2 Total

= 2=1

=1

=1

=1

.2

abcn-1

7

Duracin del

ciclo (A)

Temperatura (B) Totales A

300o 350o Operador (C) Operador (C) 1 2 3 1 2 3

40

23 24 72 25

27 28 81 26

31 32 92 29

24 23 75 28

38 36 109 35

34 36 109 39

538

50

36 35 107 36

34 38 111 39

33 34 102 35

37 39 111 35

34 38 108 36

34 36 101 31

640

60

28 24 79 27

35 35 104 34

26 27 78 25

26 29 80 25

36 37 107 34

28 26 78 24

526

Totales BxC .. 258 296 272 266 324 288 . =1704 Totales B ... 826 878

Totales C ... Operador 1: 524 Operador 2: 620 Operador 3: 560

A

Totales AxB: .. B

300o 350o

40 245 293 50 320 320 60 261 265

A Totales AxC: ..

C 1 2 3

40 147 190 201 50 218 219 203 60 159 211 156

= 118[(538)2+(640)2+(526)2] (1704)254 = 436

=127

[(826)2+(878)2] (1704)254 = 50.07

=118

[(524)2+(620)2+(560)2] (1704)254 = 261.33

=19

[(245)2+(293)2+(320)2 + (320)2+(261)2+(265)2] (1704)254 436 50.07 = 78.82

=

16

[(147)2+(190)2+(201)2 + (218)2+(219)2+(203)2+ (159)2+(211)2+(156)2] (1704)254 436 261.33 = 355.67

=

19

[(258)2+(296)2+(272)2 + (266)2+(324)2+(288)2] (1704)254 50.07 261.33 = 11.27

8

=

13

[(72)2+(81)2+(92)2 + (75)2+(109)2+(109)2 + (107)2+(111)2+(102)2+ (111)2+(108)2+(101)2 + (79)2+(104)2+(78)2+ (80)2+(107)2+(78)2] (1704)254 436 50.07 261.33 78.82 355.67 11.27 = 46.17

()=13[(72)2+(81)2+(92)2 + (75)2+(109)2+(109)2 +(107)2+(111)2+(102)2 + (111)2+(108)2+(101)2 + (79)2+(104)2+(78)2 +(80)2+(107)2+(78)2] (1704)2

54=1239.33

= [(23)2+(27)2+(31)2 + (24)2+(38)2+(34)2 + (24)2+(28)2+(32)2+ (23)2+(36)2+(36)2 + (25)2+(26)2+(29)2+ (28)2+(35)2+(39)2 + (36)2+(34)2+(33)2+ (37)2+(34)2+(34)2 + (35)2+(38)2+(34)2+ (39)2+(38)2+(36)2 + (36)2+(39)2+(35)2+ (35)2+(36)2+(31)2 + (28)2+(35)2+(26)2+ (26)2+(36)2+(28)2 + (24)2+(35)2+(27)2+ (29)2+(37)2+(26)2 + (27)2+(34)2+(25)2+ (25)2+(34)2+(24)2] (1704)254 = 1357.33

= () = 1357.33 1239.33 = 118 En la siguiente tabla se resume el anlisis de varianza con las hiptesis a probar: Ho: Efecto A=0, Ho: Efecto B=0, Ho: Efecto C=0, Ho: Efecto AB=0, Ho: Efecto AC=0, Ho: Efecto BC=0, Ho: Efecto ABC=0 cada una aparejada con su correspondiente hiptesis alternativa.

Fuente de variacin Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrado medio

Fo Valor P

Duracin del ciclo (A) 436 2 218 66.46 8,22594E-13 Temperatura (B) 50.07 1 50.07 15.26 0,000395815

Operador (C) 261.33 2 130.66 39.83 7,51878E-10 AB 78.82 2 39.41 12.01 0,000100953 AC 355.67 4 88.92 27.11 1,99917E-10 BC 11.27 2 5.63 1.72 0,193455331

ABC 46.17 4 11.54 3.52 0,015922463 Error 118 36 3.28 Total 1357.33 53

Se observa que la duracin del ciclo, la temperatura y el operador afectan significativamente el teido de una tela de algodn y fibras sintticas utilizadas en la fabricacin de camisas para caballeros. El coeficiente F de la interaccin temperatura-operador tiene un valor P de 0.1934>0.05 lo cual indica la no significancia de la interaccin entre estos dos factores.

9

En las siguientes figuras se grafican las interacciones AB, AC y BC. Para la duracin del ciclo se obtiene un mayor promedio con el valor 50 y el menor con 40 ambos correspondientes a una temperatura de 300, con la temperatura de 350 se presenta una situacin similar aunque hay una diferencia con el ciclo de 40; con el operador se observa una situacin parecida a la anterior en donde el mximo valor de teido de la tela se da con el primer y el segundo operador; en la interaccin temperatura-operador no se cruzan las lneas en el intervalo estudiado y existe un mayor teido con la temperatura de 350 correspondiente al segundo operador.

Grfico de Interacciones

Duracin del ciclo

27

29

31

33

35

37

Tei

do d

e la

tela

40 50 60

temperatura300350


Duracin del ciclo

24

27

30

33

36

39

Tei

do d

e la

tela

40 50 60

Operador123


temperatura

28

30

32

34

36

Tei

do d

e la

tela

300 350

Operador123

10

Para analizar los residuales del experimento se utiliza el STAT GRAPHIC. Se seala en la grfica de probabilidad normal, que los residuos tienden hacia la lnea recta (comprobado tambin con el p-valor de shapiro-wilks= 0.2707>0.05); la grfica de varianza constante muestra un comportamiento donde no cambia de magnitud exceptuando dos datos que parecen atpicos para la duracin del ciclo de 40 y 50; la grfica de independencia no presenta una tendencia en los residuos; por lo tanto se cumplen los supuestos necesarios en la solucin del problema.

Grfico de Probabilidad Normal

-3 -2 -1 0 1 2 3

RESIDUOS

0,1

1

5

20

50

80

95

99

99,9

porc

enta

je

40 50 60

Grfico de Residuos para Teido de la tela

-3

-2

-1

0

1

2

3

resid

uos

Duracin del ciclo

11

Adems con la prueba de rangos mltiples se cumple que existe una mayor media correspondiente a la duracin de ciclo de 50 y por lo tanto existe una diferencia significativa.

Mtodo: 95,0 porcentaje Tukey HSD Duracin del ciclo Casos Media LS Sigma LS Grupos Homogneos 60 18 29,2222 0,42673 X 40 18 29,8889 0,42673 X 50 18 35,5556 0,42673 X

Contraste Sig. Diferencia +/- Lmites 40 - 50 * -5,66667 1,47537 40 - 60 0,666667 1,47537 50 - 60 * 6,33333 1,47537

Mtodo: 95,0 porcentaje LSD Duracin del ciclo Casos Media LS Sigma LS Grupos Homogneos 60 18 29,2222 0,42673 X 40 18 29,8889 0,42673 X 50 18 35,5556 0,42673 X

Contraste Sig. Diferencia +/- Lmites 40 - 50 * -5,66667 1,22393 40 - 60 0,666667 1,22393 50 - 60 * 6,33333 1,22393

Con la prueba de rangos mltiples se cumple que existe una diferencia significativa entre los dos grupos de temperaturas.

Mtodo: 95,0 porcentaje Tukey HSD Temperatura Casos Media LS Sigma LS Grupos Homogneos 300 27 30,5926 0,348424 X 350 27 32,5185 0,348424 X

Contraste Sig. Diferencia +/- Lmites 300 - 350 * -1,92593 0,999337

Mtodo: 95,0 porcentaje LSD Temperatura Casos Media LS Sigma LS Grupos Homogneos 300 27 30,5926 0,348424 X 350 27 32,5185 0,348424 X

Contraste Sig. Diferencia +/- Lmites 300 - 350 * -1,92593 0,999337

Grfico de Residuos para Teido de la tela

-3

-2

-1

0

1

2

3

resid

uos

0 10 20 30 40 50 60nmero de fila

12

Con la prueba de rangos mltiples se cumple que existe una diferencia significativa entre los tres grupos de operadores.

Mtodo: 95,0 porcentaje Tukey HSD Operador Casos Media LS Sigma LS Grupos Homogneos 1 18 29,1111 0,42673 X 3 18 31,1111 0,42673 X 2 18 34,4444 0,42673 X

Contraste Sig. Diferencia +/- Lmites 1 - 2 * -5,33333 1,47537 1 - 3 * -2,0 1,47537 2 - 3 * 3,33333 1,47537

Mtodo: 95,0 porcentaje LSD Operador Casos Media LS Sigma LS Grupos Homogneos 1 18 29,1111 0,42673 X 3 18 31,1111 0,42673 X 2 18 34,4444 0,42673 X

Contraste Sig. Diferencia +/- Lmites 1 - 2 * -5,33333 1,22393 1 - 3 * -2,0 1,22393 2 - 3 * 3,33333 1,22393

Anlisis de Varianza para Teido de la tela - Suma de Cuadrados Tipo III Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Razn-F Valor-P EFECTOS PRINCIPALES A:Duracin del ciclo 436,0 2 218,0 66,51 0,0000 B:Temperatura 50,0741 1 50,0741 15,28 0,0004 C:Operador 261,333 2 130,667 39,86 0,0000 INTERACCIONES AB 78,8148 2 39,4074 12,02 0,0001 AC 355,667 4 88,9167 27,13 0,0000 BC 11,2593 2 5,62963 1,72 0,1939 ABC 46,1852 4 11,5463 3,52 0,0159 RESIDUOS 118,0 36 3,27778 TOTAL (CORREGIDO) 1357,33 53

Todas las razones-F se basan en el cuadrado medio del error residual

13

SnapStat: Anlisis de Una Muestra

Datos/Variable: RESIDUOSRecuento = 54Promedio = -1,66667E-7Desviacin Estndar = 1,49212Coeficiente de Variacin = -8,95271E8%Mnimo = -3,0Mximo = 3,0Rango = 6,0Sesgo Estandarizado = -0,0471838Curtosis Estandarizada = -1,13024

Histograma

-3,3 -1,3 0,7 2,7 4,7RESIDUOS

0

3

6

9

12

15

18

frecu

enci

a

Grfico de Caja y Bigotes

-3 -2 -1 0 1 2 3RESIDUOS

Intervalos de confianza del 95%Media: -1,66667E-7 +/- 0,407271 [-0,407271, 0,40727]Sigma: [1,25431, 1,84204]

DiagnsticosValor-P de Shapiro-Wilks = 0,2707Autocorrelacin en Retraso 1 = -0,269303 +/- 0,266718

0 10 20 30 40 50 60Fila

-3

-2

-1

0

1

2

3

RESI

DUO

S

Grfico Secuencias Cronolgicas Grfico de Probabilidad Normal

-3 -2 -1 0 1 2 3RESIDUOS

0,115

2050809599

99,9

porc

enta

je

14

3. FORMACIN DE BLOQUES EN UN DISEO FACTORIAL

Se estudia el rendimiento de un proceso qumico. Los dos factores de inters son la temperatura y la presin. Se seleccionan tres niveles de cada factor; sin embargo, slo es posible hacer nueve corridas en un da. El experimentador corre una rplica completa en cada da. Los datos se muestran en la tabla siguiente. Analizar los datos, suponiendo que los das son bloques.

Temperatura

Da 1 Presin

Da 2 Presin

250 260 270 250 260 270 Baja 86.3 84 85.8 86.1 85.2 87.3

Intermedia 88.5 87.3 89 89.4 89.9 90.3 Alta 89.1 90.2 91.3 91.7 93.2 93.7

Para los dos factores: A: Temperatura con los niveles baja, intermedia y alta (a=3) B: Presin con los niveles 250, 260 y 270 (b=3) Y para cada uno de ellos se realizan dos rplicas (n=2) El modelo del anlisis de varianza de los dos factores con bloques es:

= + + + () + +

Donde

= 1, 2, , = 1, 2, , = 1, 2, ,

es el efecto del k-simo bloque.

15

La tabla de anlisis de varianza es:

Fuen de

varia

Suma de cuadrados Grados de

libertad

Cuadrado medio Cuadrado medio esperado

Fo

A = 1..2

=1

...2

a-1

= 1 2 + 2 1 = B

= 1..2 =1

...2

b-1

= 1 2 + 2 1 = AB

= 1.2=1

=1

2

(a-1)(b-1) = ( 1)( 1) 2 + ()2( 1)( 1) =

Bloques = 1..2

=1

2

n-1

= 1 2 + 2 Error Sustraccin (ab-1)(n-

1) = ( 1)( 1) 2 Total

= 2=1

=1

=1

2

abn-1

Los valores del modelo lineal para este experimento son: a=3, b=3, n=2.

Temperatura

Da 1 Presin

Da 2 Presin

250 260 270 250 260 270 .. Baja 86.3 84 85.8 86.1 85.2 87.3 514.7

..23=1 =852120.09 Intermedia 88.5 87.3 89 89.4 89.9 90.3 534.4 Alta 89.1 90.2 91.3 91.7 93.2 93.7 549.2 .. 250 = 531.1 260 = 529.8 270 = 537.4 =1598.3

..2 = 851554.013=1

.. Da 1= 791.5 Da 2= 806.8 ..2 = 1277398.492=1

16

2 = 142047.232

=1

3

=1

3

=1

.

Temperatura Da 1+ Da 2

Presin

250 260 270 Baja 172.4 169.2 173.1

Intermedia 177.9 177.2 179.3 Alta 180.8 183.4 185

.2 = 284059.953=1

3

=1

= 16 [852120.09] 1598.3218 =99.85 = 16 [851554.01] 1598.3218 =5.51

= 12 [284059.95] 1598.3218 99.85-5.51=4.45 = 19 [1277398.49] 1598.3218 = 13.00

= [142047.23] 1598.3218 = 127.07 = 127.07 99.85 5.51 4.45 13 = 4.26

En la siguiente tabla se resume el anlisis de varianza con las hiptesis a probar: Ho: Efecto A=0, Ho: Efecto B=0, Ho: Efecto AB=0, cada una aparejada con su correspondiente hiptesis alternativa.

Fuente de variacin Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrado medio

Fo Valor P

Temperatura (A) 99.85 2 49.92 94.19 2,75404E-06 Presin (B) 5.51 2 2.75 5.19 0,035890369

AB 4.45 4 1.11 2.09 0,174049506 Bloques 13.00 1 13.00

Error 4.26 8 0.53 Total 127.07 17

17

Se observa que la temperatura y la presin afectan significativamente el rendimiento del proceso qumico. El coeficiente F de la interaccin temperatura-presin tiene un valor P =0.1733> 0.05 lo cual indica que la interaccin entre estos dos factores no es significativa al nivel de confianza del 95%. El Statgraphics arroja los siguientes resultados:

Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Razn-F Valor-P EFECTOS PRINCIPALES A:Temperatura 99,8544 2 49,9272 93,98 0,0000 B:Presin 5,50778 2 2,75389 5,18 0,0360 Bloques 13,005 1 13,005 INTERACCIONES AB 4,45222 4 1,11306 2,10 0,1733 RESIDUOS 4,25 8 0,53125 TOTAL (CORREGIDO) 127,069 17

Para analizar los residuales del experimento se utiliza el STAT GRAPHIC. Se seala en la

grfica de probabilidad normal, que los residuos tienden hacia la lnea recta (comprobado tambin con el p-valor de shapiro-wilks= 0.9155>0.05); la grfica de varianza constante muestra un comportamiento donde parece que no cambia de magnitud aunque se observa un poco ms pequea para la temperatura intermedia; la grfica de independencia parece indicar una tendencia en los residuos.

Grfico de Probabilidad Normal

-1 -0,6 -0,2 0,2 0,6 1RESIDUOS

0,1

15

205080

9599

99,9

porc

enta

je

18

Alta Baja Intermedia

Grfico de Residuos para Rendimiento

-1

-0,6

-0,2

0,2

0,6

1

resid

uos

Temperatura

Grfico de Residuos para Rendimiento

-1

-0,6

-0,2

0,2

0,6

1

resid

uos

0 3 6 9 12 15 18nmero de fila

19

4. DISEO FACTORIAL CON DOS FACTORES

En la planta de secado de la empresa Cemento Gris, hay dos variables que han sido

tradicionalmente ajustadas para lograr una humedad de salida apropiada: el flujo de

combustible (FF) y la frecuencia de los ventiladores (MF). El gerente lo ha contactado como

consultor especialista en anlisis de datos para resolver inquietudes respecto a

condiciones de operacin. Un ingeniero en pasanta dise una prueba, cuyos datos se

encuentran en el siguiente email:

Subject: Proyecto de Secado Date: Wednesday, 23 April 2008 14:52:44 -0500

From: Sergio Mandini To: Consultor Desesperado

CC: 'Mara Cementowski' Apreciado Consultor, Segn lo conversado, adjunto los datos. Sergio

Motor Frequency 25 35 45 55

Fluj

o

40 26.66 25.11 25.75 26.02 25.21 24.76 24.99 25.49 80 23.93 25.15 25.32 25.06 24.50 25.00 24.47 23.84

120 23.78 22.65 23.83 23.80 23.30 23.67 22.76 22.06 160 20.95 21.39 22.26 20.75 21.36 22.24 21.56 21.37 200 20.42 21.12 20.64 20.99 19.64 20.77 20.53 19.02

Consultor(a), con base en lo anterior, estamos interesados en saber:

a) Las variables significativas y sus p-values:

Las variables de este experimento son: frecuencia del motor, flujo de combustible y porcentaje

de humedad, es decir hay 2 factores de diseo y 1 variable respuesta. Con el ANOVA se

obtienen como significativas la frecuencia del motor y el flujo de combustible con p-values de

0,0437 y menor que 0,0001 respectivamente; la interaccin flujo-frecuencia resulta no

significativa con p-value 0,7652 (ver la siguiente tabla).

20

Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio

Razn-F Valor-P

EFECTOS PRINCIPALES A:Frec 3,5249 3 1,17497 3,24 0,0437 B:Flujo 145,083 4 36,2709 100,13 0,0000 INTERACCIONES AB 2,88365 12 0,240304 0,66 0,7652 RESIDUOS 7,2446 20 0,36223 TOTAL (CORREGIDO) 158,737 39

Para corroborar lo anterior se verifican los supuestos:

1. Independencia: se comprueba analizando la grfica de residuos versus nmero de fila.

No se observa patrn conocido es decir los datos son aleatorios; por lo tanto se

cumple este supuesto.

2. Homocedasticidad: se analiza con la grfica de residuos versus frecuencia y residuos

versus flujo; en ambos casos se aprecia que no hay variaciones extremas con respecto

a los niveles de las variables lo cual conlleva al cumplimiento de la igualdad de

varianzas

Grfico de Residuos para Hum

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

resi

duos

0 10 20 30 40nmero de fila

21

3. Normalidad: analizando los residuos de la grfica de distribucin normal se observa

que tienden a la recta; por lo tanto no se rechaza la hiptesis nula de que proviene de

una distribucin normal lo cual se confirma aplicando Shapiro-Wills.

25 35 45 55


-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

resi

duos

Frec

40 80 120 160 200


-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

resi

duos

Flujo

Histograma para RESIDUOS

-0,9 -0,6 -0,3 0 0,3 0,6 0,9RESIDUOS

0

2

4

6

8

10

12

frecu

encia

DistribucinNormal

22

b) Si estamos operando a 40 gpm, qu tanto debe aumentar el flujo para alcanzar la

menor humedad posible?

Pruebas de Mltiple Rangos para Humedad por Flujo

Mtodo: 95,0 porcentaje LSD Flujo Casos Media LS Sigma LS Grupos

Homogneos 200 8 20,3912 0,212788 X 160 8 21,485 0,212788 X 120 8 23,2313 0,212788 X 80 8 24,6588 0,212788 X 40 8 25,4988 0,212788 X


Datos/Variable: RESIDUOSRecuento = 40Promedio = 0,0Desviacin Estndar = 0,430998Coeficiente de Variacin = %Mnimo = -0,775Mximo = 0,775Rango = 1,55Sesgo Estandarizado = 0,0Curtosis Estandarizada = -0,954281

Histograma

-0,9 -0,6 -0,3 0 0,3 0,6 0,9RESIDUOS

0

2

4

6

8

10

12

frecu

encia


-0,8 -0,4 0 0,4 0,8RESIDUOS

Intervalos de confianza del 95%Media: 0,0 +/- 0,13784 [-0,13784, 0,13784]Sigma: [0,353056, 0,553416]


0 10 20 30 40Fila

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

RESI

DUOS


-0,8 -0,4 0 0,4 0,8RESIDUOS

0,115

2050809599

99,9

porc

enta

je

23

Como se observa en la tabla de mltiples rangos para humedad por flujo, no hay zonas

homogneas entre grupos y adems la media va disminuyendo a medida que aumenta

el flujo. Por lo tanto, debo aumentar en: 200gpm-40gpm=160 gpm ya que con ste se

alcanza la menor humedad (=20,3912).

c) Si estamos operando a 80 gpm y 35 Hz, vale la pena aumentar la frecuencia

para reducir la humedad?

Con la tabla de medias por mnimos cuadrados para humedad se extraen las medias

para un flujo de 80 y frecuencias de 35, 45, 55:

35 45 55

25,19 24,75 24,155

Calculando el LSD=t/2, gl*RAIZ (2*MSE/n)=t0, 025,20*RAIZ (2*MSE/n)= 2,08596344*RAIZ (2*0,36223/2)= 1,2554485.

El rango correspondiente al LSD es: 25,191,255= (23,935 26,445) lo cual nos

representa igualdad de medias con un flujo de 80 y frecuencias de 35, 45 y 55, es decir

no se observa un cambio significativo; por lo tanto no se recomienda aumentar la

frecuencia.

Tabla de Medias por Mnimos Cuadrados para Humedad con intervalos de confianza del 95,0%

Nivel Casos Media Error Estndar

Lmite Inferior

Lmite Superior

MEDIA GLOBAL

40 23,053

Frecuencia 25 10 23,116 0,190323 22,719 23,513 35 10 23,442 0,190323 23,045 23,839 45 10 23,045 0,190323 22,648 23,442 55 10 22,609 0,190323 22,212 23,006

Flujo 40 8 25,4988 0,212788 25,0549 25,9426 80 8 24,6588 0,212788 24,2149 25,1026 120 8 23,2313 0,212788 22,7874 23,6751 160 8 21,485 0,212788 21,0411 21,9289 200 8 20,3912 0,212788 19,9474 20,8351

Frecuencia por Flujo 25,40 2 25,885 0,425576 24,9973 26,7727 25,80 2 24,54 0,425576 23,6523 25,4277 25,120 2 23,215 0,425576 22,3273 24,1027 25,160 2 21,17 0,425576 20,2823 22,0577

24

25,200 2 20,77 0,425576 19,8823 21,6577 35,40 2 25,885 0,425576 24,9973 26,7727 35,80 2 25,19 0,425576 24,3023 26,0777 35,120 2 23,815 0,425576 22,9273 24,7027 35,160 2 21,505 0,425576 20,6173 22,3927 35,200 2 20,815 0,425576 19,9273 21,7027 45,40 2 24,985 0,425576 24,0973 25,8727 45,80 2 24,75 0,425576 23,8623 25,6377 45,120 2 23,485 0,425576 22,5973 24,3727 45,160 2 21,8 0,425576 20,9123 22,6877 45,200 2 20,205 0,425576 19,3173 21,0927 55,40 2 25,24 0,425576 24,3523 26,1277 55,80 2 24,155 0,425576 23,2673 25,0427 55,120 2 22,41 0,425576 21,5223 23,2977 55,160 2 21,465 0,425576 20,5773 22,3527 55,200 2 19,775 0,425576 18,8873 20,6627

d) Si estamos operando a 120 gpm y 25 Hz, hasta qu valor podemos aumentar la frecuencia sin afectar la humedad?

Con un anlisis similar al del tem (c) tomando 120 gpm y variando las frecuencias se

obtiene para las medias:

25 35 45 55

23,215 23,815 23,485 22,41

En este caso el LSD es igual al anterior con un rango correspondiente de: 23,2151,255=

(21,96 24,47) lo cual nos representa igualdad de medias con un flujo de 120 y

frecuencias de 25, 35, 45 y 55, es decir no se observa un cambio significativo; por lo

tanto se recomienda no aumentar la frecuencia.

e) Si cada gpm adicional nos cuesta $250, cada % de reduccin de humedad nos da ingresos por $3,900/hora, y estamos operando a 120 gpm y 45 Hz, cunto ganamos (o perdemos) en un da de produccin si el combustible lo aumentamos a 200 gpm?

Con la tabla de medias para mnimos cuadrados se extrae la informacin

correspondiente a una frecuencia de 45 y flujos de 120 y 200:

25

45,120 23,485

45,200 20,205

%Reduccin de humedad=23,485-20,205=3,28

Como 3,28>LSD=1,255 entonces si hay un incremento en el ingreso y por lo tanto se realiza el

siguiente anlisis:

Los costos de operacin (C) por 1 da son:

C=80gal/min*$250/gal*60min/1h*24h/da=$28 800 000/da

Los ingresos (I) obtenidos por un da son:

I=3,28%*$3 900/%h*24h/da=$307 008/da

Entonces la utilidad (U) es:

U=I-C=-$28 492 992/da

Perdemos $28 492 992 por da, por lo tanto no se recomiendan estos cambios.

26

5. DISEO FACTORIAL: CONSUMO DE COMBUSTIBLE

1. Se desea analizar el comportamiento del consumo de combustible con el par y la velocidad

de giro de un motor.

Pruebas en Condicin Constante

Par (N.m) N (rpm) m. fuel (Kg/hr)

1,51 2268 0,1546

1,52 2284 0,1472

1,49 2307 0,1506

1,48 2238 0,1493 1,47 2261 0,1542

Diferencia relevante (m. fuel)

D 0,01

Se requiere inicialmente de las siguientes tablas para hallar el nmero de rplicas.

Var 0,0000101320

a 2

b 3 alpha 0,05

Regin de Experimentacin Factor Inf Sup Niveles RPM 2000 2500 2 Par 1 3 3

Se usa la curva de operacin caracterstica para determinar el tamao de la muestra. Empezando con la diferencia de medias de dos renglones en donde 1 es el grado de libertad

de a (a-1=1) y v2 es el grado de libertad del error (v2=ab(n-1))

22

22naD

b

=

n fi2 fi v1 v2 beta N

2 6,580 2,565 1 6 0,180 12

3 9,870 3,142 1 12 0,022 18

27

Continuando con la diferencia de medias de dos columnas en donde 1 es el grado de libertad

de b (b-1=2) y v2 es el grado de libertad del error (v2=ab(n-1))

2

222

nbDa

=


2 14,805 3,848 2 6 < 0,01 12

3 22,207 4,712 2 12 < 0,01 18 Por ltimo el valor que corresponde a una diferencia entre dos efectos de interaccin en

donde 1 es el grado de libertad de ab ((a-1)(b-1)=2) y v2 es el grado de libertad del error

(v2=ab(n-1))

22

22 [( 1)( 1) 1]nD

a b

=

+


2 3,290 1,814 2 6 0,450 12

3 4,935 2,221 2 12 0,180 18

4 6,580 2,565 2 18 0,040 24 Luego de probar las tres ecuaciones para hallar el nmero de rplicas se escoge la tercera

frmula dado que el cociente de los grados de libertad es menor (1/3), esto es, genera un nivel

crtico. Por lo anterior se requieren cuatro rplicas para obtener un

28

RPM Par Consumo Temperatura 2000 1 0,214 192 2500 1 0,359 216 2000 2 0,224 224 2500 2 0,289 252 2000 3 0,279 256 2500 3 0,374 284 2000 1 0,194 205 2500 1 0,309 222 2500 2 0,354 248 2000 2 0,279 220 2000 3 0,329 249 2500 3 0,478 282 2000 1 0,12 199 2000 2 0,279 224 2000 3 0,329 248 2500 3 0,388 287 2500 1 0,279 228 2500 2 0,269 253

Llevando a cabo el diseo del experimento nos queda:

a. ANOVA PARA LA VARIABLE RESPUESTA CONSUMO:

Fuente Suma de Cuadrados

Gl Cuadrado Medio

Razn-F Valor-P

EFECTOS PRINCIPALES A:RPM 0,040328 1 0,040328 21,82 0,0005 B:Par 0,043003 2 0,0215015 11,64 0,0016 INTERACCIONES AB 0,00705033 2 0,00352517 1,91 0,1908 RESIDUOS 0,0221747 12 0,00184789 TOTAL (CORREGIDO) 0,112556 17 Todas las razones-F se basan en el cuadrado medio del error residual

29

Se observa que son significativos los factores RPM y PAR (P_value0,05). Lo anterior es correcto siempre y cuando se

cumplan los supuestos.

b. PRUEBA DE SUPUESTOS

1. Normalidad de Residuales


Datos/Variable: Residuos CRecuento = 18Promedio = 1,66667E-9Desviacin Estndar = 0,0361164Coeficiente de Variacin = 2,16698E9%Mnimo = -0,056Mximo = 0,0646667Rango = 0,120667Sesgo Estandarizado = 0,302127Curtosis Estandarizada = -1,04316

Histograma

-0,08 -0,04 0 0,04 0,08Residuos C

0

1

2

3

4

5

6

frecu

enci

a


-0,06 -0,03 0 0,03 0,06 0,09Residuos C

Intervalos de confianza del 95%Media: 1,66667E-9 +/- 0,0179603 [-0,0179603, 0,0179603]Sigma: [0,0271013, 0,0541436]

DiagnsticosValor-P de Shapiro-Wilks = 0,2234Autocorrelacin en Retraso 1 = 0,0453269 +/- 0,461969

0 3 6 9 12 15 18Fila

-0,06

-0,03

0

0,03

0,06

0,09

Resi

duos

C


-0,06 -0,03 0 0,03 0,06 0,09Residuos C

0,115

2050809599

99,9

porc

enta

je

30

Como en la prueba de shapiro-Wills el P_value=0,2234>0,05, se acepta la normalidad en los

residuos.

2. Igualdad de Varianzas

En las grficas se observa una amplitud aproximadamente igual y por lo tanto no existe

evidencia que indique varianza no constante.

2000 2500

Grfico de Residuos para Consumo

-0.07

-0.04

-0.01

0.02

0.05

0.08

resid

uos

RPM

1 2 3


-0.07

-0.04

-0.01

0.02

0.05

0.08

resi

duos

PAR

31

3. Independencia de Residuales

Se observa que los residuos se encuentran dispersos. Por lo tanto no hay razn para sospechar

la violacin del supuesto de independencia. Lo anterior conlleva a confirmar los supuestos y la

validez del modelo.


-0.07

-0.04

-0.01

0.02

0.05

0.08

resid

uos

0 3 6 9 12 15 18nmero de fila

32


Datos/Variable: RESIDUOSRecuento = 18Promedio = 0,0Desviacin Estndar = 0,5Coeficiente de Variacin = %Mnimo = -0,95Mximo = 0,95Rango = 1,9Sesgo Estandarizado = 0,0Curtosis Estandarizada = -0,523898

Histograma

-1,1 -0,7 -0,3 0,1 0,5 0,9 1,3RESIDUOS

0

1

2

3

4

5

6

frecu

enci

a


-1 -0,6 -0,2 0,2 0,6 1RESIDUOS

Intervalos de confianza del 95%Media: 0,0 +/- 0,248645 [-0,248645, 0,248645]Sigma: [0,375194, 0,749572]


0 3 6 9 12 15 18Fila

-1

-0,6

-0,2

0,2

0,6

1

RESI

DUO

S


-1 -0,6 -0,2 0,2 0,6 1RESIDUOS

0,115

2050809599

99,9

porc

enta

je

Diseños Factoriales

Documents

Transcript of Diseños Factoriales