DISENOS FACTORIALES~ A DOS...

DISENOS FACTORIALESA DOS NIVELES

Octubre 2013

Indice general

1. DISENO COMPLETO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Fundamentos del diseno completo . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Ejemplo de diseno completo 23 : Dureza del coque . . . . . . . 10

2. DISENO FRACCIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2. Fundamentos del diseno fraccional . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3. Ejemplo de diseno fraccional 24−1: Presion de coquizacion . . 30

3. FORMACION DE BLOQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2. Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4. ALGORITMO DE YATES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1. DISENO COMPLETO

1.1. Introduccion

El diseno completo a dos niveles es un caso particular del diseno factorial.Recordemos que en un diseno factorial el numero de tratamientos posiblesera el producto de los niveles de cada factor. En nuestro caso, con “k” fac-tores a dos niveles cada uno, tendremos 2 × 2 × · · · × 2 = 2k tratamientosdiferentes que constituiran una replica del diseno completo. Si se replica “n”veces resultaran n ·2k tratamientos y sus correspondientes observaciones parala variable de respuesta. Siguiendo el procedimiento general para los disenosfactoriales, los n · 2k experimentos elementales se realizan segun un ordencompletamente aleatorizado.

Los efectos a estimar, ademas de los correspondientes a los “k” factores,seran

(k2

)interacciones de dos factores,

(k3

)interacciones de tres factores y

ası sucesivamente hasta la interaccion de orden “k”. Como veremos en elsiguiente punto, la definicion de los efectos es, convencionalmente, diferentede la utilizada en los disenos factoriales a varios niveles por lo que los efectosen los disenos a dos niveles equivalen al doble de los definidos paravarios niveles. El procedimiento de Analisis de la Varianza (ANOVA) es,tambien, el metodo basico para descomponer la variabilidad total en susdiferentes fuentes, evaluar la importancia de cada factor y de las interaccionesa fin de determinar cuales de los efectos son estadısticamente significativos.

Como particularidad, senalamos, que mediante sencillos procedimientosaritmeticos (metodo de los contrastes y algoritmo de Yates) pueden estimarse

2 Disenos Factoriales a dos Niveles

los distintos efectos y evaluar su importancia relativa.

1.2. Fundamentos del diseno completo

Los factores del diseno pueden ser variables cuantitativas codificadas,de forma que el nivel alto se designa como + y el nivel bajo como - y variablescualitativas en las que, convencionalmente, uno de los dos niveles sera el+ y el otro el -. En otras ocasiones, la presencia de un determinado factorpuede designarse por + y su ausencia por -.

Aunque el interes de los disenos a dos niveles se centra, sobre todo, en suaplicacion para un numero elevado de factores, consideraremos en este puntoy en el ejemplo (punto 1.3) el caso de tres factores por su sencillez e intuitivarepresentacion grafica.

Sean A, B y C los tres factores. Los posibles tratamientos, la matriz del di-seno, las interacciones y los resultados obtenidos para la variable de respuestacon n replicas son:

Fuentes de Variacion

MatrizDiseno 23 Interacciones Respuesta

Tratamientos I A B C AB AC BC ABC yin yi

1 + - - - + + + - y11 · · · y1n y1a + + - - - - + + y21 · · · y2n y2b + - + - - + - + y31 · · · y3n y3ab + + + - + - - - y41 · · · y4n y4c + - - + + - - + y51 · · · y5n y5ac + + - + - + - - y61 · · · y6n y6bc + - + + - - + - y71 · · · y7n y7abc + + + + + + + + y81 · · · y8n y8

Disenos factoriales a dos niveles 3

En relacion con las notaciones utilizadas en la tabla de la pag. 2 y suaplicacion, deben hacerse las siguientes observaciones:

Los tratamientos y la matriz de diseno se presentan en orden estandar.

La notacion + equivale a +1 y la notacion - es equivalente a -1.

Los signos de las columnas correspondientes a las interacciones se cal-culan efectuando el producto de las columnas de los factores que lascomponen.

Las notaciones de los 23 = 8 tratamientos posibles se forman utilizandolas letras minusculas a, b, c de los correspondientes factores A, B, C.Cuando en la matriz de diseno, un factor se encuentra en el nivel +,en la notacion del tratamiento aparece la letra minuscula y si esta enel nivel - la letra no aparece. Por ejemplo, los tratamientos a, ab y abctienen los siguientes signos en la matriz de diseno:

Tramamiento A B C

a + - -ab + + -abc + + +

El tratamiento unidad (1) corresponde a la combinacion de los tres fac-tores con nivel -

Se anade la columna identidad (I) formada por signos +. Esta columnase utiliza para estimar la respuesta media.

El diseno 23 tiene una sencilla representacion geometrica en forma decubo. Cada vertice del cubo corresponde a uno de los ocho tratamientosposibles:

y7 = bc y8 = abc

y5 = c y6 = ac

y3 = b y4 = ab

y1 = 1 y2 = a

-

6

��

A

C

B


A los efectos de estimacion de los parametros, consideraremos equi-valentes las notaciones representativas de los distintos tratamientos1, a, b, ab ... con los resultados obtenidos en las respectivasrespuestas y por sencillez supondremos que hay una sola replicacion(n=1).

El efecto de cualquier factor se define, convencionalmente, como el in-cremento esperado en la variable de respuesta cuando el factor pasadel nivel - al + permaneciendo constantes los niveles de los restantesfactores. Su estimacion se efectua segun lo siguiente:

Efecto factor A =(a− 1) + (ab− b) + (ac− c) + (abc− bc)

4

Observese que el efecto es el promedio de cuatro diferencias de trata-mientos. En cada una de dichas diferencias, el factor A esta en el nivel +en el minuendo y en el nivel - en el sustraendo mientras que los restantesfactores estan en ambos en identicos niveles.

Agrupando convenientemente los tratamientos aparece el efecto expre-sado en forma de contraste dividido por 4.

Efecto factor A =(a+ ab+ ac+ abc)− (1 + b+ c+ bc)

4=

Contraste A

4

Notese que para obtener el contraste, basta aplicar a la columnade los tratamientos los signos correspondientes a la columna Ade la matriz de diseno.

De la misma forma se obtienen los restantes efectos principales:

Efecto factor B =(b+ ab+ bc+ abc)− (1 + a+ c+ ac)

4=

Contraste B

4

Efecto factor C =(c+ ac+ bc+ abc)− (1 + a+ b+ ab)

4=

Contraste C

4

Adviertanse en la figura, que las estimaciones de cada efecto equivalena la diferencia media entra caras paralelas del cubo.

El efecto de la interaccion AB se obtiene a partir de la diferencia delefecto de A para B en el nivel + y el efecto a A para B en el nivel -.

Efecto de A para B en el nivel +:(ab− b) + (abc− bc)

2

Efecto de A para B en el nivel -:(a− 1) + (ac− c)

2

Diferencia =(ab− b) + (abc− bc)− (a− 1)− (ac− c)

2=

(1 + c+ ab+ abc)− (a+ b+ bc+ ac)

2


Por convencion, el efecto de la interaccion AB se define como la mitadde la anterior diferencia:

Efecto de la interaccion AB =(1 + c+ ab+ abc)− (a+ b+ bc+ ac)

4De la misma forma tendremos:

Efecto Interaccion AC =(1 + b+ ac+ abc)− (a+ c+ bc+ ab)

4

Efecto Interaccion BC =(1 + a+ bc+ abc)− (b+ c+ ac+ ab)

4Se observa que los efectos de las interacciones son tambien equivalen-tes a los respectivos contrastes divididos por 4. Asimismo, son ladiferencia de la media de los vertices de los planos diagonales del cubo.

Por fin, la interaccion ABC la definimos a partir de la diferencia de lainteraccion AB para el factor C en el nivel + y del efecto de la interaccionAB para el factor C en el nivel -.

Interaccion AB para C en el nivel + :(abc− bc)− (ac− c)

2

Interaccion AB para C en el nivel - :(ab− b)− (a− 1)

2

Diferencia =(abc− bc)− (ac− c)− (ab− b) + (a− 1)

2=

(a+ b+ c+ abc)− (1 + ab+ ac+ bc)

2

Por convencion, la interaccion ABC es la mitad de la anterior diferencia:

Interaccion ABC =(a+ b+ c+ abc)− (1 + ab+ ac+ bc)

4=

Contraste ABC

4

Como sucedıa para los factores principales, los contrastes para el calculode las interacciones resultan de aplicar a los tratamientos los signoscorrespondientes a las columnas AB, AC, BC y ABC.

La estimacion del valor medio µ se realiza aplicando los signos de lacolumna identidad (I) a todos los tratamientos:

µ =1 + a+ b+ ab+ c+ ac+ bc+ abc

8

En este caso, como solo hay una replicacion (n=1), coinciden el numerode tratamientos y el numero de observaciones. Destacamos el hecho deque la totalidad de las 23 = 8 observaciones son utilizadas para laestimacion de cada efecto principal y de cada interaccion. De aquı,la economıa que representa este diseno para determinar la influencia delos distintos factores e interacciones sobre la respuesta.


Modelo ANOVA

De acuerdo con lo expuesto en artıculos precedentes, el modelo ANOVApara un diseno 23 es el siguiente:

yijk = µ+ αi + βj + νk + αβij + ανik + βνik + αβνijk + εijk`

µ : Valor medio de la variable de respuesta

αi : Efecto del nivel “i” del factor A

βj : Efecto del nivel “j” del factor B

νk : Efecto del nivel “k” del factor C

Los productos cruzados αβij, ανik, βνjk, αβνijk son los efectos de lasinteracciones siendo ε el termino residual que se supone conforme con unadistribucion Normal de media cero y desviacion tıpica σ : N(0, σ). Se consi-dera que todos los factores son de efectos fijos.

Recordamos (pag 20 del artıculo Analisis de la Varianza, Parte Segunda)que los efectos del modelo, por ejemplo αi, se definıan como la diferenciadel valor medio de la respuesta en cada nivel µi y del valor medioµ : αi = µi − µ.

En el caso de dos niveles para cada factor, los efectos serıan de signosopuestos e identico valor absoluto. Pero, dado que, por convencion, hemosdefinido (pag 4) el efecto como la diferencia en la respuesta al pasar del nivel- al nivel +, tendremos que dichos efectos seran el doble de los efectos delmodelo ANOVA. Notese que el valor medio total (µ) es siempre equidis-tante de los valores medios de las respuestas en los niveles - y +.


La tabla de Analisis de la Varianza para k=3 y n=1 sera:

Fuente de Variacion Suma de Cuadrados g.d.l

A SCA 1B SCB 1C SCC 1AB SCAB 1AC SCAC 1BC SCBC 1ABC SCABC 1Residual SCRESIDUAL -

SCTOTAL 7

Las sumas de cuadrados, tales como SCA, se calculan mediante la expre-sion:

SCA =(Contraste A)2

8

deducida de SCA = qr∑i=2

i=1 α2i = 2 · 2

∑i=2i=1 α

2i = 4

∑i=2i=1 α

2i teniendo en

cuenta que αi =Efecto A

2y que Efecto A =

Contraste A

4

Observese que no quedan g.d.l para estimar la SCRESIDUAL y por consi-guiente, no puede estimarse el error estandar σ del modelo. Para estimar elerror estandar y todos los efectos es preciso replicar el diseno n veces.

En general, para un diseno a dos niveles con k factores y n replicacionestendremos:

Efecto =Contraste

n · 2k−1;SC(Efecto) =

(Contraste)2

n · 2k

y Error estandar (Efecto) =2σ√n · 2k

siendo Error estandar (µ) =σ√n · 2k

.

Las expresiones anteriores se deducen segun lo siguiente:


Tanto los efectos principales como los efectos de las interacciones se cal-culan segun la expresion:

Efecto = y+ − y−

Siendo y+, y− los valores medios de las observaciones a los niveles + y -del factor o de la interaccion.

Recordemos para los calculos que siguen que la varianza de una variable z,combinacion lineal de dos variables u,v:z = a1u + a2v, esVar z = a21 Var u + a22 Var v cuando u, v son independientes.

Efecto = y+ − y− =

∑y+N2

−∑y−N2

=

∑y+ −

∑y−

N2

=2(∑y+ −

∑y−)

N=

2 · ContrasteN

Efecto =2 · Contraste

N=

2 · Contrasten · 2k

=Contraste

n · 2k−1

Dado que αi =Efecto

2tendremos αi =

Contraste

N

y SCA = N.α2i = N · (Contraste)

2

N 2=

(Contraste)2

N=

(Contraste)2

n · 2k

Lo mismo sera para las restantes sumas de cuadrados de efectos e inte-

racciones: SC(Efecto) =(Contraste)2

n · 2k

Dado que: Efecto = y+ − y− tendremos:

Var (Efecto) = Var y+ + Var y−

Var y+ = Var (y1 + y2 + · · ·+ yN

2

N2

) = Var (2y1 + 2y2 + · · · 2yN

2

N)

Var y+ =4

N 2· N

2· σ2 =

2σ2

N

Var y− = Var (yN

2 +1 + · · ·+ yNN2

) = Var (2yN

2 +1 + · · ·+ 2yN

N)


Var y− =4

N 2· N

2· σ2 =

2σ2

N

Var (Efecto) =2σ2

N+

2σ2

N=

4σ2

N

Error estandar (Efecto) =2σ√N

=2σ√n · 2k

Finalmente,

µ =

∑y

N=y1 + y2 + · · ·+ yn

N

Var µ = (1

N)2

·N · σ2 =σ2

N

Error estandar µ =σ√N

=σ√n · 2k

Grafico de probabilidad Normal

En un grafico de probabilidad Normal (ver pag 18) el eje de ordenadastiene escala logarıtmica y los valores de una distribucion Normal se ajustan,aproximadamente, a una linea recta. En consecuencia, si representamos losefectos obtenidos en el analisis mediante un grafico de probabilidad Normalencontramos que aquellos efectos estadısticamente significativos se apartansensiblemente de la recta de ajuste mientras que los no significativos se ajus-tan a la recta por proceder de una distribucion Normal aleatoria de mediacero y error estandar 2σ√

n·2k.

Este criterio lo utilizaremos en el ejemplo que sigue para discriminar entreefectos significativos y no significativos.


1.3. Ejemplo de diseno completo 23 : Dureza del coque

Una empresa siderurgica quiere aumentar la resistencia a la abrasion delcoque utilizado en sus Hornos Altos. Con ello, conseguira disminuir el con-sumo especıfico de coque por Tm. de arrabio producido y aumentar la per-meabilidad de la carga con la consiguiente mejora en la regularidad de marchadel proceso en el Horno Alto.

La resistencia a la abrasion del coque se mide mediante el ensayo MICUM(Indice MICUM M-10). Cuanto menor es el ındice M-10 mayor es la resisten-cia a la abrasion y menor la produccion de finos de coque. Se supone, parala misma mezcla de carbones, que la resistencia a la abrasion depende de lossiguientes factores: Temperatura de coquizacion, tiempo de coquizacion ygrado de molienda del carbon utilizado.

Con objeto de cuantificar los efectos de los distintos factores y optimizarel ındice M-10, se decide realizar en la Planta Piloto de la factorıa un disenofactorial 23 con dos replicas. En total, 16 coquizaciones y los correspondientesensayos de dureza MICUM.

Dado que las condiciones operativas habituales en la marcha industrialson:

Temperatura: 1200ºC

Tiempo: 20 h

Molienda carbon: 92,5 % inferior a 3mm

se decide seleccionar los siguientes niveles para el diseno:

Temperatura Tiempo Molienda % <3 mm

- + - + - +

1100ºC 1300ºC 18h 22h 90 % 95 %

La variable de respuesta: M-10 viene expresada en % y corresponde al %de coque con tamano inferior a 10mm resultante de someter a una muestrade 50 kgr de coque a 100 vueltas en un tambor normalizado. Lo optimo serıaobtener para el ındice M-10 los valores mas bajos posibles.


El orden de realizacion de los ensayos se ha efectuado de forma completa-mente aleatoria segun lo indicado en la pag. 21.

La discusion de resultados, conclusiones y calculos se recogen en las pag11 a 23.

Como en los artıculos publicados con anterioridad, los calculos han sidoefectuados con el programa estadıstico STATGRAPHICS.

DISCUSION DE RESULTADOS

Estimacion de efectos

En la pag. 22 se presentan los factores y la respuesta en orden estandar.A partir de los respectivos contrastes se estiman los efectos segun lo indicadoen la pag. 7 siendo:

A: Temperatura

B: Tiempo

C: Molienda

Los contrastes se calculan aplicando el signo del factor o de la interacciona la columna de respuestas:

Efecto A =Contraste A

n · 2k−1=

Contraste A

8=−2, 4

8= -0,30

Efecto B =Contraste B

8=−29, 4

8= -3,675 Efecto AC =

Contraste AC

8=−18

8= -0,225

Efecto C =Contraste C

8=−11, 4

8= -1,425 Efecto BC =

Contraste BC

8=

1, 2

8= 0,15

Efecto AB =Contraste AB

8=

13

8= 1,625 Efecto ABC =

Contrastes ABC

8=−2

8= -0,25

µ =146, 4

16= 9,15

Estos efectos coinciden con los recogidos al comienzo de la pag. 16.


Modelo

El modelo resultante es:

MICUM10 = 9, 15− 0, 15 ·A− 1, 8375 ·B − 0, 7125 ·C + 0, 81125 ·AB −0, 1125 · AC + 0, 075 ·BC − 0, 125 · ABC + ε(0, σ)

Observese que los efectos estimados son el doble de los coeficientes de lasvariables del modelo y que coinciden con los indicados al final de la pag. 16.

El Error estandar de los efectos, segun lo indicado en la pag. 9, se estimaconforme a la ecuacion:

Error estandar de los efectos =2σ√n · 2k

La estima σ, de acuerdo con la tabla ANOVA de la pag. 16, resulta:

σ2 = 1, 73625→ σ =√

1, 73625 = 1,31767

Error estandar de los efectos =2σ√n · 2k

=σ

2=

1, 31767

2= 0,658835

Error estandar de la media =σ√n · 2k

=σ

4=

1, 31767

4= 0,3294175

Estos errores estandar coinciden con los indicados al comienzo de lapag. 16.

Prediccion de valores

Los valores predichos por el modelo son los indicados en la pag. 21 dondese presentan, tambien, los correspondientes residuales. Por ejemplo, para la11ª prediccion de la tabla tendremos:

A=Temperatura B=Tiempo C=Molienda Prediccion Micum10 Residual

1 -1 1 9,25 10,1 0,85


y = 9, 15− 0, 15 + 1, 8375− 0, 7125− 0, 8125− 0, 1125− 0, 075 + 0, 125 = 9,25

Residual = 10,1 - 9,25 = 0,85

Sumas de cuadrados, grados de libertad y ratios F

En la tabla ANOVA de la pag. 16 se recogen las Sumas de cuadrados, gra-dos de libertad, medias cuadraticas, ratios F y niveles de significacion(p).

Las sumas de cuadrados de los correspondientes efectos coinciden con lasque se pueden obtener por calculo mediante la expresion:

SC (Efectos) =(Contraste)2

n · 2k=

(Contraste)2

16

SC (Efecto A) =(−2, 4)2

16= 0, 36 SC (Efecto AB) =

132

16= 10, 5625

SC (Efecto B) =(−29, 4)2

16= 54, 0225 SC (Efecto AC) =

(−1, 8)2

16= 0, 2025

SC (Efecto C) =(−11, 4)2

16= 8, 1225 SC (Efecto BC) =

1, 22

16= 0, 09

SC (Efecto ABC) =(−2)2

16= 0, 25

Tras la estimacion de la media, las N=16 observaciones proporcionanN-1=15 g.d.l. utilizados para estimar los 7 efectos principales e interac-ciones. Con los 8 g.d.l. restantes se estima la media cuadratica del error:σ2 = 1, 73625 y el error estandar de la estima: σ =

√1, 73625 = 1, 31767. La

variabilidad explicada por el modelo asciende al 84,1257 % de la variabilidadtotal:

Variabilidad explicada: 73,61Variabilidad residual: 13,89

Variabilidad Total 87,50

Como comprobacion, puede observarse que la suma de cuadrados de losresiduales de la pag. 21 es

∑(residuales)2 = 13, 89 coincidiendo con el error

total de la tabla ANOVA de la pag. 16.

Resultan significativos, con probabilidades “p” inferiores al 5 %, los ratiosF del factor B=Tiempo y de la interaccion AB=Tiempo/Temperatura. Lessigue en importancia, el factor C=Molienda con una probabilidad P=6,25 %


que serıa significativa al nivel del 10 %

Graficos para efectos principales e interacciones

En la pag 18 se recogen los graficos que ilustran la presencia de los efectosmas significativos para factores principales e interacciones. En el grafico su-perior se observa que, con un nivel de significacion del 10 %, los factores conefectos significativos son: B=Tiempo interaccion AB=Tiempo/Temperaturay C=Molienda.

Los efectos estandarizados equivalen al valor de los efectos dividido por elerror estandar.

El grafico de probabilidad Normal pone de manifiesto que a excepcionde los efectos B, AB y C los restantes efectos pueden incluirse dentro delerror residual. Finalmente, en el grafico inferior observamos que la falta deparalelismo en las lineas representativas de la interaccion AB, denota unefecto significativo de la misma.

Modelo final

Si eliminamos del modelo los efectos no significativos resulta el siguientemodelo final:

MICUM10 = 9, 15− 1, 8375B − 0, 7125C + 0, 8125AB + ε(0, σ)

donde:

B = Tiempo

C = Molienda

AB = Interaccion Tiempo/Temperatura

Como se ve en la pag. 19, al aumentar los g.d.l a 12, el error estandar dela estima se reduce a σ =

√1, 23271 = 1, 11027.

La variabilidad explicada por el modelo final es del 83,09 % y los tresefectos incluidos en el modelo final son significativos al nivel del 5 %.


El modelo final se optimiza (MICUM10 mınimo) para A=-1; B=1; C=1con un valor de MICUM10=5,7875 (pag. 20). Las predicciones y residualesdel modelo final se muestran en la pag. 23

Observese que el aumento del tiempo de coquizacion disminuye el ındiceMICUM10 pero que este descenso es mas acusado cuando el factor tempera-tura se situa en el nivel inferior (grafico de interaccion pag. 20).

El aumento del grado de molienda disminuye el ındice MICUM10. Al pasardel nivel - al nivel + el ındice MICUM10 experimenta una disminucion de1,425 % (pag. 19)

Conclusiones

Los efectos significativos son: Tiempo, interaccion Tiempo/Temperaturay Molienda. Al existir interaccion Tiempo/Temperatura, el analisis dela influencia del factor Tiempo debe hacerse en el contexto de la inte-raccion.

El aumento del tiempo de coquizacion mejora el ındice MICUM10. Estamejora es mas acusada cuando la temperatura se situa en el nivel infe-rior.

Al aumentar el grado de molienda mejora el ındice MICUM10.

El punto optimo de combinacion de los factores se obtiene con tiempoy molienda en su nivel superior (+) y la temperatura en el nivel inferior(-).

El valor optimo del ındice M10 es M10=5,7875


2. DISENO FRACCIONAL

2.1. Introduccion

En un diseno factorial completo nos encontraremos que, aun sin replica-cion, el numero de experimentos elementales necesarios crece rapidamentecon el numero de factores. Por ejemplo, para 8 factores, tendrıamos que efec-tuar 28 = 256 experimentos.

Por otra parte, es frecuente que en el analisis estadıstico posterior resulteque las interacciones de orden superior tengan efectos no significativos y que,a veces, tampoco lo sean los de alguno de los factores. En el ejemplo para 8factores tendremos que, a partir de las 28 = 256 observaciones, podrıamosestimar los siguientes efectos:

Nº efectos}Media · · · 1Factores principales · · · 8 37Interacciones de 2º orden: C2

8 · · · 28Interacciones de 3er orden: C3

8 · · · 56Interacciones de 4º orden: C4





8 · · · 1

Total · · · 256

Si suponemos que las interacciones de 3er orden y superiores tienen efectosdespreciables, las 28 = 256 observaciones obtenidas del diseno hubieran sidoutilizadas para estimar 37 efectos mientras que los 219 efectos restantes pa-sarıan a formar parte del error experimental. Realmente, habrıamos gastadomuchos grados de libertad para estimar con precision el error experimental.

En los disenos factoriales fraccionales se selecciona una fraccion del disenofactorial completo que consta de 1

2 , 14 , 1

8 etc. de sus experimentos elementales.

Este diseno, de notacion 2k−p donde “k” senala el numero de factores y “p”


(1,2,3 ...) el numero indicativo de la fraccion seleccionada, permitira dedicar,preferentemente, los grados de libertad disponibles a la estimacion de losefectos de los factores principales y de las interacciones de orden inferior.Como contrapartida, es inevitable la aparicion de un“patron de confusion”entre los efectos estimados y no es posible la estimacion por separado dedos o mas efectos confundidos sin aumentar el diseno de la fraccion connuevos experimentos. Para minimizar la repercusion de la confusion, debenseleccionarse los experimentos de la fraccion de forma adecuada segun elmetodo que indicamos a continuacion.

2.2. Fundamentos del diseno fraccional

En la seleccion de la fraccion son fundamentales los conceptos de gene-rador, relacion de definicion, patron de confusion y resolucion.

Seleccion de un media fraccion (2k−1)

Para seleccionar los tratamientos componentes de una media fraccion para“k” factores, se parte de un diseno completo con (k-1) factores, el factorrestante (Ak) se asigna a la columna cuyos signos correspondan a los dela interaccion A1A2 · · ·Ak−1 formada por los (k-1) factores iniciales. A larelacion Ak = A1 · A2 · · ·Ak−1 se la denomina generador de la fraccion.

Por ejemplo, para formar la media fraccion 24−1 partiremos del disenocompleto 23 con factores A, B, C y para obtener el 4º factor procederemossegun los siguiente:

Obtencion del factor D

Tratamiento A B C AB AC BC ABC=D ABCD=I

1 - - - + + + - +a + - - - - + + +b - + - - + - + +ab + + - + - - - +c - - + + - - + +ac + - + - + - - +bc - + + - - + - +abc + + + + + + + +


El cuarto factor D se obtiene confundiendolo con la interaccion ABC. Lamedia fraccion tendra como generador D=ABC. Si multiplicamos por Dambos miembros de la anterior igualdad resulta I=ABCD, en la que I es lacolumna identidad formada, toda ella, por signos +. A la anterior relacion sela denomina relacion de definicion.

En el nuevo diseno con K=4 factores: A, B, C, D estaran confundidos,ademas del factor D con la interaccion ABC, otros factores e interaccionesconformando lo que se denomina “patron de confusion”.

Patron de confusion

D=ABC AC=BDA=BCD AD=BCC=ABD I=ABCD

AB = CD B=ACD

En la tabla que sigue puede comprobarse que los efectos confundidos en elpatron de confusion forman columnas con signos iguales. Dos efectos confun-didos se dice que son alias y, a veces, al patron de confusion se le denomina,tambien, “estructura alias”.

Diseno Fraccional 24−1

Tratamiento I A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD

1 + - - - - + + + + + + - - - - +

ad + + - - + - - + + - - + - - + +

bd + - + - + - + - - + - + - + - +

ab + + + - - + - - - - + - - + + +

cd + - - + + + - - - - + + + - - +

ac + + - + - - + - - + - - + - + +

bc + - + + - - - + + - - - + + - +

abcd + + + + + + + + + + + + + + + +


Puesto que el cuadrado de cualquier columna es igual a la columna iden-tidad (I), el “patron de confusion” puede obtenerse facilmente multiplicandolos dos miembros de la relacion de definicion I=ABCD por los distintosfactores:

AI = A2BCD → A = BCD

BI = AB2CD → B = ACD

CI = ABC2D → C = ABD

DI = ABCD2 → D = ABC

A continuacion, partiendo de A=BCD si multiplicamos ambos miembrospor los factores A, B, C, D quedara completado el patron de confusion:

A2 = ABCD → I = ABCD

AB = B2CD → AB = CD

AC = BC2D → AC = BD

AD = BCD2 → AD = BC

Observese que en el diseno fraccional obtenido: 24−1 estan confundidos losefectos de los factores principales (1er orden) con los de las interacciones de3er orden: (1+3=4). Tambien estan confundidos entre si los efectos de lasinteracciones de 2º orden: (2+2=4).

En cualquiera de ambos casos, los ordenes de los efectos confundidos su-man 4 y diremos que estamos ante un diseno fraccional de resolucion IV.Es importante reparar en que no podemos estimar individualmente los efec-tos confundidos y que solo tendremos estimas globales de la suma de variosefectos, por ejemplo, A+BCD o bien AB+CD.

Por otra parte, a la combinacion de factores que define la relacion de de-finicion I=ABCD se la denomina palabra y la resolucion del diseno (R=IV)coincide con la longitud de la palabra. Veremos, en disenos mas fraccio-nados, que existen varias relaciones de definicion. Entonces, la resolucion esla longitud de la palabra mas corta.


El generador utilizado D=ABC y la relacion de definicion resultante I=ABCDnos han proporcionado el diseno 24−1 con la maxima resolucion posible. Sihubieramos usado una columna diferente como generador, la resolucion deldiseno obtenido hubiera sido inferior. La cuestion basica sera seleccionarsiempre el diseno fraccional que tenga mayor resolucion.

A la media fraccion que hubieramos obtenido con el generador D=-ABCy la relacion de definicion I=-ABCD se la denomina fraccion complementariade la I=ABCD. Una media fraccion junto con su complementaria constituyenel diseno completo 24.

Dado que la estima de los factores principales y las interacciones de 3er

orden se confunden en la media fraccion 24−1, es logico que si la estima-cion global obtenida, por ejemplo A+BCD, resulta significativa la causa seaasignada al factor principal A y no al efecto de la interaccion BCD que pro-bablemente sea despreciable. Si deseamos conocer cual es la aportacion indi-vidual de los efectos confundidos, precisaremos ejecutar tambien la fraccioncomplementaria y, en definitiva, el diseno completo 24.

Seleccion de una fraccion cuarta (2k−2)

La seleccion de los tratamientos que componen una fraccion cuarta de “k”factores, se realiza partiendo de un diseno completo con (k-2) factores. Losdemas factores restantes se definen asignandolos a dos generadores.

Por ejemplo, para formar la fraccion cuarta 25−2 compuesta por 8 experi-mentos, se parte de un diseno completo 23 con factores A, B, C. Para obtenerlos factores D y E se utilizan los generadores D=AB y E=AC que dan lugara las relaciones de definicion I=ABD y I=ACE que determinan disenos deresolucion III dado que las palabras tienen longitud=3. Este diseno confundeefectos principales con interacciones dobles.


Multiplicando ambos miembros de las relaciones de definicion por los fac-tores adecuados, se obtiene el patron de confusion completo:

A = BD = CE = ABCDEB = AD = CDE = ABCEC = AE = BDE = ABCDD = AB = BCE = ACDEE = AC = BCD = ABDEBC = DE = ABE = ACDBE = CD = ABC = ADEABD = ACE = BCDE

En general, un diseno fraccional 2k−p tendran p generadores. Enla bibliografıa pueden consultarse tablas que permiten seleccionar disenosfraccionales a dos niveles para “k” variables y N experimentos. Los disenosdisponibles, con resoluciones III, IV, V y superiores, facilitan la seleccion dela alternativa idonea en cada caso. Por otra parte, algunos programas infor-maticos, por ejemplo STATGRAPHICS, crean automaticamente una ampliavariedad de disenos fraccionales ofreciendo los generadores y patrones de con-fusion (estructura alias) de cada uno de ellos.


Como en los disenos completos, los efectos se estiman a partir de loscontrastes de las correspondientes columnas aplicando la expresion:

Efecto =Contraste

n · 2k−p−1

Con un calculo similar a los de las pag. 8 y 9 se deducen:

Error estandar (Efecto) =2σ√n · 2k−p

; Error estandar µ =σ√

n · 2k−py

SC (Efecto) =(Contraste)2

n · 2k−p

El ejemplo contenido en el punto siguiente ilustra la aplicacion de undiseno fraccional 24−1 en la fabricacion de coque.


2.3. Ejemplo de diseno fraccional 24−1: Presion de coquizacion

En la fabricacion de coque en una baterıa de hornos, es fundamental quela presion contra las paredes de los hornos ejercida por la mezcla de carbonesdurante el proceso de coquizacion, se mantenga inferior al lımite establecido(generalmente 1 psi). Un exceso de presion puede originar serios problemasoperativos y, a medio plazo, graves deterioros en la instalacion

A fin de cuantificar los efectos de cuatro factores relativos a la mezcla decarbones: Densidad de carga, humedad, volatiles y porcentaje de participa-cion de inertes, se ha decidido efectuar un diseno fraccional a dos niveles. Laspruebas se han realizado en la Planta Piloto de una factorıa siderurgica.

Las condiciones operativas en la instalacion industrial eran:

A: Densidad de carga = 750 kg/m3

B: Humedad = 8 %

C: Volatiles = 24 %

D: Inertes = 2 %

Los niveles seleccionados para efectuar el experimento en la Planta Pilotohan sido:

A: Densidad de carga B: Humedad C: Volatiles % Inertes- + - + - + - +

700 800 6 10 22 26 0 4

La variable de respuesta es la presion de coquizacion que expresaremos enpsi (1 psi = libra/pulgada2 = 0,070 kg/cm2)

El orden de realizacion de los ensayos se ha efectuado de forma aleatoriasegun el orden indicado en la pag. 35. En la pag. 36 el diseno del experimentoy las respuestas aparecen en orden estandar.

La discusion de resultados, conclusiones y calculos se han recogido en laspags. 31 a 42. Los calculos se han efectuado con el programa estadısticoSTATGRAPHICS.


DISCUSION DE RESULTADOS

En la pag. 35 aparecen los factores y las respuestas en el orden aleatoriode ejecucion del diseno y en la pag. 36 en orden estandar.


Los efectos se estiman a partir de los contrastes de las columnas de lamedia fraccion 24−1 que consta de un total de 8 experimentos elementales.

Los cuatro factores (ver pag. 30) son:

A: Densidad

B: Humedad

C: Volatiles

D: Inertes

Segun lo indicado en la pag. 26, el cuarto factor D se obtiene a partir delgenerador D=ABC. El patron de confusion, segun lo recogido en la citadapag. 26, sera:

D=ABC AC=BD

A=BCD AD=BC

C=ABD I=ABCD

AB=CD B=ACD

Este patron de confusion coincide con el calculado por STATGRAPHICSy recogido en la parte superior de la pag. 37. En la parte inferior de la pag.37 aparece la matriz de correlacion entre factores e interacciones que ponede manifiesto, asignando el valor r=1, los efectos confundidos entre si.


La estima de cualquier efecto, por ejemplo la del factor A y el de la inte-raccion BCD con la que se confunde, se calculara aplicando la expresion:

Efecto A + BCD =Contraste A

n · 2k−2=

Contraste A

4=

2, 35

4= 0, 5875

De la misma forma, se calculan los restantes efectos:

Efecto B + ACD =Contraste B

4=−1, 39

4= −0, 3475

Efecto C + ABC =Contraste C

4=−5, 57

4= −1, 3925

Efecto D + ABC =Contraste D

4=−1, 71

4= −0, 4275

Efecto AB + CD =Contraste AB

4=−0, 87

4= −0, 2175

Efecto AC + BD =Contraste AC

4=

0, 51

4= 0, 1275

Efecto AD + BC =Contraste AD

4=

0, 25

4= 0, 0625

Estos efectos coinciden con los senalados en los calculos de la pag. 38 asıcomo la estima de la media:

I + ABCD =11, 55

8= 1, 44375

A la vista de estos resultados y del grafico de la pag. 39 se deduce quelos efectos de mayor magnitud son los de los efectos principales A, B, C, Dconfundidos con las interacciones de 3er orden.

En la tabla de Analisis de la Varianza del final de la pag. 38 se apreciaque no quedan grados de libertad para verificar cuales de los efectos son es-tadısticamente significativos. En el analisis posterior se opta por eliminar delmodelo inicial los efectos de 3er orden por suponerlos despreciables, ası comolas interacciones de 2º orden que aparecen confundidas y son sensiblementemas pequenas.


Modelo

Tras las aproximaciones mencionadas, el modelo resultante segun lo indi-cado al final de la pag. 40 es:

Presion = 1, 44375+0, 29375A−0, 17375B−0, 69625C−0, 21375D+ε(0, σ)

siendo A: Densidad; B=Humedad; C=Volatiles y D= % Inertes.

Observese que los efectos estimados son el doble de los coeficientes de lasvariables del modelo.

Los errores estandar se obtienen aplicando las expresiones de la pag. 29para n=1 y teniendo en cuenta que la estima de σ, segun la tabla ANOVAde la pag. 40 es: σ =

√0, 0449792 = 0, 212083.

Error estandar del Efecto =2 · σ√n · 2k−p

=2σ√23

=σ√2

= 0, 149965

Error estandar del µ =σ√

n · 2k−p=

σ√23

=σ

2√

2= 0, 0749825

Las SC(Efectos) se calculan segun la expresion indicada en la pag. 29:

SC (Efecto) =(Contraste)2

n · 2k−p=

(Contraste)2

8

SC (Efecto A) =(Contraste A)2

8=

(2, 35)2

8= 0, 6903125

SC (Efecto B) =(Contraste B)2

8=

(−1, 39)2

8= 0, 2415125

SC (Efecto C) =(Contraste C)2

8=

(−5, 57)2

8= 3, 87811

SC (Efecto D) =(Contraste D)2

8=

(−1, 71)2

8= 0, 3655125


Todos estos valores coinciden con los calculos de la pag. 40.

La variabilidad explicada por el modelo supone el 97,459 % de la variabi-lidad total (ver tabla ANOVA pag. 40)

Variabilidad explicada = 5,175448Variabilidad residual = 0,134938

Variabilidad total 5,310386

Al nivel de significacion del 5 %, resultan significativos los ratios F del fac-tor C=Volatiles con F=86,22 y p=0,26 % ası como los del factor A=Densidadcon F=15,35 y p=2,96 %. Con un nivel, menos habitual, del 10 % resultarıantambien significativos los efectos de los otros dos factores: %Inertes y hume-dad.

Los graficos de la pag. 41 ponen de manifiesto la importancia y significa-cion de los efectos C y A, sobre todo, del efecto C=Volatiles. Finalmente, enla pag. 42 se recogen los valores predichos por el modelo y los residuales.

Aunque la informacion obtenida del diseno 24−1 utilizado, con tan solo8 experimentos elementales es muy considerable, serıa oportuno efectuar enuna segunda etapa la otra media fraccion complementaria segun lo indicadoen la pag. 28. Esto supondrıa, en definitiva, ejecutar el diseno completo 24.De esta forma se podrıa establecer con mayor rigor estadıstico la importanciarelativa de los distintos factores.

CONCLUSIONES

Son estadisticamente significativos los efectos del % de volatiles y de ladensidad de la mezcla de carbones:

• Un aumento del porcentaje en volatiles de la mezcla de carbonesdisminuye la presion durante el proceso de coquizacion mejorandola duracion y las condiciones de seguridad de la instalacion.

• Un aumento de la densidad de la mezcla de carbones incrementala presion de coquizacion aumentando el riesgo de deterioro de lainstalacion.

Para mejorar la informacion obtenida serıa conveniente ejecutar la mediafraccion complementaria con lo que obtendrıamos un diseno completo24.


3. FORMACION DE BLOQUES

3.1. Introduccion

En el artıculo ANALISIS DE LA VARIANZA PARTE SEGUNDApublicado en Septiembre 2012, tratamos sobre el Diseno en Bloques Alea-torizados.

Veıamos que la funcion primordial de la variable bloque era reducir elerror experimental. El experimentador no esta, propiamente, interesado encuantificar el efecto de la variable bloque pero sabe que esta ejerce influenciasobre la variable de respuesta y desea eliminar esta influencia del analisis.De esta forma, podra estimar los efectos de los factores de interes con mayorprecision.

Aquellas variables cuya consideracion suponga una mayor homogeneidaden las unidades experimentales o en las condiciones de realizacion de los expe-rimentos, seran las adecuadas para su utilizacion en la formacion de bloques.Por ejemplo, lotes de materia prima, diferentes proveedores, distintos perio-dos de tiempo, etc son frecuentemente utilizados como variables de bloque.En los disenos a dos niveles, completos y fraccionales, la utilizacion de varia-bles bloque con dos o mas niveles presenta determinadas particularidades delas que trataremos a continuacion.

3.2. Fundamentos

Si introducimos una variable bloque en un diseno factorial 2k, esta nuevavariable no interacciona con las K variables del diseno original y aparececonfundida con interacciones del diseno inicial 2k. En definitiva, mejoramosla precision a costa de confundir determinadas interacciones con los nivelesde la variable bloque. La confusion impedira estimar individualmente lasinteracciones confundidas. En general, el numero de bloques sera 2q y eltamano de cada bloque 2k−q.

Exponemos a continuacion el metodo para la formacion de bloques endistintos disenos 2k, comenzando por el diseno 23.


Formacion de bloques en un diseno 23

En un diseno de 23 con 8 tratamientos, pueden formarse 2 bloques detamano 4 y 4 bloques de tamano 2.

Tratamientos I A B C AB AC BC ABC

1 + - - - + + + -a + + - - - - + +b + - + - - + - +ab + + + - + - - -c + - - + + - - +ac + + - + - + - -bc + - + + - - + -abc + + + + + + + +

Caso 1: 2 bloques de tamano 4

Se utiliza como generador para la variable bloque la interaccion tripleABC de forma que el bloque 1 lo constituyan los tratamientos con signo - yel bloque 2 los tratamientos con signo + en la interaccion ABC.

Bloque Tratamiento ABC1 1 −1 ab −1 ac −1 bc − 2 a +2 b +2 c +2 abc +

1er bloque

2º bloque

En este caso, hemos sacrificado la interaccion triple ABC a fin de mejorarla precision de la estima de los restantes factores e interacciones. Normal-mente, el efecto de una interaccion de tercer orden no suele ser significativo


y, en consecuencia, el balance global de la introduccion de los dos bloquessera favorable.

Caso 2: 4 bloques de tamano 2

Los generadores de la variable bloque son las interacciones AB y AC deforma que los 4 bloques se forman asignando los tratamientos segun las 4combinaciones de signos de dichas interacciones.

Bloque Tratamiento AB AC}1 1 + +1 abc + + }2 a − −2 bc − − }3 b − +3 ac − + }4 ab + −4 c + −

1er bloque

2º bloque

3er bloque

4º bloque


Formacion de bloque en diseno 24

En un diseno 24 con 16 tratamientos podemos formar 2 bloques de ta-mano 8, 4 bloques de tamano 4 y 8 bloques de tamano 2

Tratamientos I A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD

1 + - - - - + + + + + + - - - - +

a + + - - - - - - + + + + + + - -

b + - + - - - + + - - + + + - + -

ab + + + - - + - - - - + - - + + +

c + - - + - + - + - + - + - + + -

ac + + - + - - + - - + - - + - + +

bc + - + + - - - + + - - - + + - +

abc + + + + - + + - + - - + - - - -

d + - - - + + + - + - - - + + + -

ad + + - - + - - + + - - + - - + +

bd + - + - + - + - - + - + - + - +

abd + + + - + + - + - + - - + - - -

cd + - - + + + - - - - + + + - - +

acd + + - + + - + + - - + - - + - -

bcd + - + + + - - - + + + - - - + -

abcd + + + + + + + + + + + + + + + +


Caso 1º: 2 bloques de tamano 8

Como generador de la variable bloque se utiliza la interaccion ABCD demanera que el bloque 1 lo constituyan los tratamientos con signo - y el bloque2 los tratamientos con signo + en la interaccion ABCD

Bloque Tratamiento ABCD

1 a −1 b −1 c −1 abc − Primer bloque1 d −1 abd −1 acd −1 bcd −

2 1 +2 ab +2 ac +2 bc + Segundo bloque2 ad +2 bd +2 cd +2 abcd +



Los generadores de la variable bloque son las interacciones ABD y ACD.Los cuatro bloques se forman asignando los tratamientos segun las 4 combi-naciones de signos de dichas interacciones.

Bloque Tratamiento ABD ACD1 1 − −1 abc − − Primer Bloque1 ad − −1 bcd − − 2 a + +2 bc + + Segundo Bloque2 d + +2 abcd + + 3 b + −3 ac + − Tercer Bloque3 abd + −3 cd + − 4 ab − +4 c − + Cuarto Bloque4 bd − +4 acd − +



Los generadores de los bloques son las tres interacciones de 2º orden si-guientes: AB, BC y CD. Los bloques se forman asignando los tratamientos alas 8 combinaciones de signos de dichas tres interacciones.

Bloque Tratamiento AB BC CD}1 1 + + + Primer bloque1 abcd + + + }2 a − + + Segundo bloque2 bcd − + + }3 b − − + Tercer bloque3 acd − − + }4 ab + − + Cuarto bloque4 cd + − + }5 c + − − Quinto bloque5 abd + − − }6 ac − − − Sexto bloque6 bd − − − }7 bc − + − Septimo bloque7 ad − + − }8 abc + + − Octavo bloque8 d + + −

Patrones completos

En los casos anteriores de formacion de bloques, podrıamos haber seleccio-nado como generadores otras interacciones con identico resultado en cuantoa la asignacion de los diferentes tratamientos a cada bloque. Por ejemplo,en los casos presentados de formacion de bloques en un diseno 24 tendrıa-


mos los siguientes patrones completos y las correspondientes alternativas deseleccion:

4 bloques de tamano 4

Los generadores utilizados en la pag. 48 han sido las interacciones ABD yACD. El producto de ambas columnas serıa A2BCD2. Teniendo en cuentaque A2 = D2 = I resulta, tambien, como posible generador la interacciondoble BC. En definitiva, hubieramos podido seleccionar para generacion delos bloques dos interacciones cualquiera entre las interacciones ABD, ACD yBC que formaran el patron completo obteniendo siempre identico resultado.Observamos, que en este caso, aparece confundida la interaccion doble BC.

8 bloques de tamano 2

Los generadores utilizados (pag. 49) han sido AB, BC y CD. Multiplicandoentre si estas tres columnas de todas las formas posibles y teniendo en cuentaque A2 = B2 = C2 = D2 = I, se obtiene el patron completo formadopor: AB, BC, CD, AC, ABCD, BD y AD. Seleccionando tres interaccionescualquiera entre las del patron como generadores se obtienen los mismosresultados. Notese que todas las interacciones dobles aparecen confundidas.

Adviertase que si el numero de bloques es p = 2q, se precisan “q” genera-dores para formar los bloques. Dado que la variable bloque tiene “p” niveles,existen (p-1) g.d.l. asociados con ella. Estos (p-1) g.d.l. se corresponden conlas (p-1) interacciones confundidas con la variable bloque, ya que cada inter-accion tiene 1 g.d.l. El patron completo estara constituido, en consecuencia,por (p-1) interacciones.

En la bibliografıa pueden encontrarse tablas que facilitan los generadores ylos patrones completos para la formacion de bloques en disenos 2k y, tambien,en fraccionales. El programa estadıstico STATGRAPHICS proporciona, porejemplo, la seleccion automatica de los generadores de bloques y permite,tambien, el analisis de otros disenos creados por el usuario.

Senalamos, finalmente, que el orden de ejecucion de los experimentos den-tro de cada bloque debe ser aleatorio. Tambien debe ser aleatoria la asig-nacion de cada nivel de la variable bloque (por ejemplo, diferentes materiasprimas) a cada grupo de tratamientos. Hacemos enfasis en el hecho de que


el bloqueo no es una mera agrupacion de los tratamientos de un diseno pre-viamente existente, sino la participacion real en los experimentos de lavariable bloque.

4. ALGORITMO DE YATES

Hemo visto en los puntos precedentes que el calculo manual de los efectospuede hacerse con facilidad a partir de los correspondientes contrastes. Porejemplo, en un diseno 2k, se aplica la expresion:

Estimacion Efecto =Contraste

n · 2k−1; Estimacion de la media =

Contraste

n · 2k

El algoritmo de Yates, incluido tradicionalmente en los textos de disenoexperimental, proporciona la totalidad de los contrastes y, en consecuencia,la inmediata estimacion de todos los efectos.

Para un diseno con k factores, el algoritmo consiste en la elaboracion, apartir de la variable de respuesta, de k nuevas columnas. La ultima de di-chas columnas esta constituida, precisamente, por los respectivos contrastes.El metodo requiere que la matriz de diseno se presente en orden estandar.Como ejemplo, aplicaremos el algoritmo a un diseno 23.

Matriz Diseno Variable Respuesta Algoritmo de Yates

Tratamientos I A B C y Columna 1 Columna 2 Columna 3

1 + - - - 9 20 33 68

a + + - - 11 13 35 6

b + - + - 6 15 3 -2

ab + + + - 7 20 3 8

c + - - + 9 2 -7 2

ac + + - + 6 1 5 0

bc + - + + 7 -3 -1 12

abc + + + + 13 6 9 10


Notas a la elaboracion del algoritmo:

Como el diseno tiene k=3 factores, el algoritmo tiene 3 columnas.

Columna 1: Se calcula a partir de la columna de respuesta “y” dispo-niendo sus 8 resultados en 4 parejas formadas por observaciones conse-cutivas: 9 y 11; 6 y 7; 9 y 6; 7 y 13. Los cuatros primeros componentes dela columna 1 seran las sumas de las citadas 4 parejas de datos, es decir,20, 13, 15, y 20. Los cuatro elementos restantes se calculan efectuandola diferencia entre las 4 parejas de datos segun su posicion en la tabla(valor en posicion inferior - valor en posicion superior), es decir: 2, 1, -3y 6.

Columna 2: Su calculo es similar al de la columna 1 pero partiendo delos valores de dicha columna en vez de los de la columna de respuesta.

Columna 3: Calculo similar al de las columnas 1 y 2 pero partiendo delos valores de la columna 2.

Dado que la columna 3 esta formada por los contrastes de los diferentesefectos, para estimar los efectos bastara dividir los contrastes por n·2k−1.Para n=1 y k=3 el divisor comun a todos los efectos sera 4 y el divisorpara la media n · 2k = 8.

Efecto Contrastes ≡ Columna 3 Estimacion

Media 68 9,75A 6 1,50B -2 -0,50

AB 8 2,00C 2 -0,50

AC 0 0BC 12 3

ABC 10 2,5

Los efectos de un diseno fraccional 2k−p tambien se pueden calcular me-diante el algoritmo de Yates. Tras disenar, ejecutar y obtener los resultadosdel diseno 2k−p, se procede aplicando el algoritmo como si dichos resultadosprovinieran de un diseno completo con (k-p) factores y teniendo en cuenta,despues, el patron de confusion que siempre existe en un diseno fraccional.


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