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Diseños Factoriales

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Introducción

El término “experimento factorial” o “arreglo factorial” se refierea la constitución de los tratamientos que se quieren comparar.

Diseño de tratamientos es la selección de los factores aestudiar, sus niveles y la combinación de ellos.

El diseño de tratamientos es independiente del diseñoexperimental que indica la manera en que los tratamientos sealeatorizan a las diferentes u.e. y las formas de controlar lavariabilidad natural de las mismas.

Así, el diseño experimental puede ser completamente al azar,bloques al azar, bloques al azar generalizados, cuadro latino,etc. y para cada uno de estos diseños se puede tener arreglofactorial de los tratamientos, si estos se forman por lacombinación de niveles de varios factores.

A ambos tipos de diseños, el de tratamientos y elexperimental, les corresponde un modelo matemático.

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Introducción

Así, por ejemplo, si el diseño experimental es bloques al azar,el modelos es:

yij = µ + τi + βj + ǫij

respuesta = media general + efecto de tratamiento + efecto debloque + error

Si se trata de un diseño factorial, los tratamientos se formancombinando los niveles de los factores en estudio, de maneraque el efecto del tratamiento τi se considera a su vezcompuesto de los efectos de los factores y sus interacciones.

Por ejemplo, si son dos factores en estudio se tiene:

τi = τkl = αk + γl + ξkl

tratamiento = factor A + factor B + interacción AB

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Introducción

Haciendo una equivalencia entre los valores de i y los de k y lsuponiendo que el factor A tiene K niveles y el factor B L:

i k l

1 1 12 1 23 1 3.. .. ..t K L

Y el modelo resultante es:

yklj = µ + αk + γl + ξkl + βj + ǫklj

Es poco usual tener diseños experimentales muy complicadosen los experimentos factoriales, ya que se dificulta el análisis yla interpretación.

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Introducción

La necesidad de estudiar conjuntamente varios factoresobedece a la posibilidad de que el efecto de un factor cambiesegún los niveles de otros factores, esto es, que los factoresinteractúen, o exista interacción .

También se utilizan los arreglos factoriales cuando se quiereoptimizar la respuesta o variable dependiente, esto es, sequiere encontrar la combinación de niveles de los factores queproducen un valor óptimo de la variable dependiente.(superficie de respuesta)

Si se investiga un factor por separado, el resultado puede serdiferente al estudio conjunto y es mucho más difícil describir elcomportamiento general del proceso o encontrar el óptimo.

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Introducción

Las ventajas de los experimentos factoriales son:

1. Economía en el material experimental al obtenerinformación sobre varios factores sin aumentar el tamañodel experimento. Todas las u.e.se utilizan para laevaluación de los efectos.

2. Se amplía la base de la inferencia en relación a un factor,ya que se estudia en las diferentes condicionesrepresentadas por los niveles de otros factores. Se amplíael rango de validez del experimento.

3. Permite el estudio de la interacción , esto es, estudiar elgrado y forma en la cual se modifica el efecto de un factorpor los niveles de los otros factores.

Una desventaja de los experimentos factoriales es querequiere un gran número de u.e., sobre todo cuando seprueban muchos factores o muchos niveles de algunosfactores, es decir, se tiene un número grande de tratamientos.(factoriales fraccionales)

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Interacción

Suponga un diseño con dos factores: A con a niveles y B con bniveles, en diseño completamente al azar. (Factorial a × bcompleto, balanceado, efectos fijos)

Sea yijk la respuesta para la k-ésima u.e. del nivel i de A y jde B.

yijk = µ + τi + βj + γij + ǫijk

i = 1, . . . , a j = 1, . . . , b k = 1, . . . , n

Las hipótesis que se prueban son:

H01 : γij = 0 ∀ i, j

H02 : τi + γ̄i. = 0 ∀ i

H03 : βj + γ̄.j = 0 ∀ j

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Interacción

Ejemplo de un factorial 2 × 2 sin y con interacción.

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Interacción

Conocer la interacción es más útil que conocer los efectosprincipales. Una interacción significativa frecuentementeoscurece la significancia de los efectos principales.

Cuando hay interacción significativa, se deberán examinar losniveles de un factor, digamos A, con los niveles del o de losotros factores fijos, para tener conclusiones acerca del efectoprincipal A.

Dos factores: A con a niveles y B con b niveles. Se dice que setiene un factorial a × b, con diseño completamente al azar(bloques, etc.). Se tienen ab tratamientos.

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Tabla de ANOVA

F.V. g.l. SS CM F E(CM)

A a − 1 SSA SSA/(a − 1)CMA

CMEσ2 + rbθ2

a

B b − 1 SSB SSB/(b − 1)CMB

CMEσ2 + raθ2

b

AB (a − 1)(b − 1) SSAB SSAB/(b − 1)CMAB

CMEσ2 + rθ2

ab

error ab(n − 1) SSE SSE/ab(n − 1) σ2

total abn − 1 SST

SST =

a∑

i=1

b∑

j=1

n∑

k=1

y2ijk −

y2...

abn

SSA =1

bn

a∑

i=1

y2i.. −

y2...

abn

SSB =1

an

b∑

j=1

y2.j. −

y2...

abn

SSAB =1

n

a∑

i=1

b∑

j=1

y2ij. −

y2...

abn− SSA − SSb

SSE = SST − SSAB − SSA − SSB

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Ejemplo

Un ingeniero está diseñando una batería para usarse en unaparato que estará sujeto a variaciones extremas detemperatura. Tiene tres opciones para el material de la placapara la batería, y como sabe que la temperatura afecta la vidade la batería decide probar tres temperaturas:15◦F, 70◦F, 125◦F .

Se prueban 4 baterías en cada combinación de material ytemperatura y las 36 pruebas (3 × 3 × 4) se corren en ordenaleatorio (completamente al azar).

Los datos son vida (en horas) de las baterías.

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Ejemplo

tipo de Temperatura(◦F )material 15 70 125

1 130 155 34 40 20 7074 180 80 75 82 58

2 150 188 136 122 25 70159 126 106 115 58 45

3 138 110 174 120 96 104168 160 150 139 82 60

El ingeniero quiere contestar las siguientes preguntas:

1. Qué efectos producen el material y la temperatura en lavida de la batería?

2. Existe un material que produzca uniformemente más largavida a la batería sin importar la temperatura?

diseño completamente al azar, experimento balanceado,completo, factores fijos. ej_fact3x3.jmp

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Una observación por celda

Suponga un experimento con dos factores A con a niveles y Bcon b niveles y una sola repetición en cada celda (tratamiento).El modelo con interacción es:

yij = µ + τi + βj + (τβ)ij + ǫij i = 1, . . . , a j = 1, . . . , b

F.V. g.l. E(CM)

A a − 1 σ2 + bθ2a

B b − 1 σ2 + aθ2b

AB (a − 1)(b − 1) σ2 + θ2ab

Error 0 σ2

Total ab − 1

σ2 no se puede estimar , por lo tanto no hay prueba para losefectos principales a menos que no haya interacción, yentonces el modelo es

yij = µ + τi + βj + ǫij

Este es el caso de bloques al azar.

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El Diseño Factorial General. Balanceado

El diseño factorial de dos factores se puede generalizar atener p factores:

A con a nivelesB con b niveles

..............

En general, habrá abc · · ·n observaciones si hay n repeticionesdel experimento completo.

Debe haber por lo menos 2 repeticiones (n ≥ 2) para podercalcular σ̂2 si todas las posibles interacciones están incluidasen el modelo.

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Tres factores

El modelo para un factorial de tres factores en diseñocompletamente al azar:

yijkl = µ+τi+βj +γk +(τβ)ij +(τγ)ik +(βγ)jk +(τβγ)ijk +ǫijkl

i = 1, . . . , a; j = 1, . . . , b; k = 1, . . . , c; l = 1, . . . , n

Ejemplo:

Se desea obtener más uniformidad en el llenado de botellasde refresco. La máquina de llenado teóricamente llena cadabotella a la altura correcta, pero en la práctica hay variación, yla embotelladora desea entender mejor las fuentes de estavariabilidad para eventualmente reducirla.

El ingenio de procesos puede controlar tres factores durante elproceso de llenado:El % de carbonato (A), la presión del llenado (B) y las botellasllenadas por minuto (velocidad de la línea) (C).

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Sigue ejemplo tres factores

A =

10%

12%

14%

B =

{

25psi

30psi

C =

{

200bpm

250bpm

Decide correr dos repeticiones de un diseño factorial en estostres factores, con las 24 corridas realizadas en orden aleatorio.

La variable de respuesta es la desviación de la altura objetivo.

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Sigue ejemplo tres factores

Presión (B)25psi 30psi

% carbonato Velocidad (C) Velocidad (C)(A) 200 250 200 250

10 -3 -1 -1 1-1 0 0 1

12 0 2 2 61 1 3 5

14 5 7 7 104 6 9 11

fact3x2x2.jmp

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Factoriales desbalanceados

Hay situaciones en que el número de observaciones(repeticiones) en cada tratamiento es diferente. Esto ocurrepor varias razones.

Por ejemplo, el experimentador pudo haber diseñado unexperimento balanceado inicialmente, pero debido aproblemas durante la ejecución del experimento que no seprevieron, se perdieron algunas observaciones lo que provocóterminar con un diseño desbalanceado.

Por otro lado, algunos diseños desbalanceados se diseñanasí, por ejemplo, algunos tratamientos pueden ser más caros ocon más dificultad para aplicarse, por lo que se toman menosobservaciones en ellos.

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Factoriales desbalanceados

Alternativamente, algunos tratamientos pueden ser de graninterés para el investigador porque pueden representarcondiciones nuevas o inexploradas, por lo que toma másobservaciones en ellos.

La ortogonalidad entre efectos principales e interacciones yano funciona en los diseños desbalanceados. Esto significa queno se aplican las técnicas del ANOVA usual.

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Factoriales desbalanceados

Caso del modelo con dos factores con interacción:

yijk = µ + τi + βj + γij + ǫijk

i = 1, . . . , a; j = 1, . . . , b; k = 1, . . . , nij

Se definen otros tipos de sumas de cuadrados. El primeroinvolucra ajustar modelos de una manera secuencial:

1. Ajustar yijk = µ + ǫijk y obtener SSE1

2. Ajustar yijk = µ + τi + ǫijk y obtener SSE2

3. Ajustar yijk = µ + τi + βj + ǫijk y obtener SSE3

4. Ajustar yijk = µ + τi + βj + γij + ǫijk y obtener SSE4

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Factoriales desbalanceados

SeaR(τ |µ) = SSE1 − SSE2

R(τ |µ) es la reducción debida a τ ajustada por µ. Es lacantidad en la que se reduce la suma de cuadrados del errordel modelo en el paso 1 al incluir en el modelo el término τi.Mientras más grande sea R(τ |µ) más importante es tener a τi

en el modelo. Es decir, R(τ |µ) es una medida del efecto delfactor A.

R(β|µ, τ) = SSE2 − SSE3

es la reducción debida a β ajustada por µ y τ . Es una medidadel efecto del factor B dado que ya se tiene a µ y a τi en elmodelo.

R(γ|µ, τ, β) = SSE3 − SSE4

es la reducción debida a γ ajustada por µ, τ y β.

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Tabla de Análisis de Varianza tipo I

F.V. g.l. SS CM F

A a − 1 R(τ |µ) SSA/glA CMA/CME

B b − 1 R(β|µ, τ) SSB/glB CMB/CME

AB (a − 1)(b − 1) R(γ|µ, τ, β) SSAB/glAB CMAB/CME

Error n.. − ab SSE4 SSE/glE

Total n.. − 1 SSE1

donde, n.. =∑a

i=1

∑bj=1 nij

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Tabla de Análisis de Varianza tipo II

F.V. g.l. SS CM F

A a − 1 R(τ |µ, β) SSA/glA CMA/CME

B b − 1 R(β|µ, τ) SSB/glB CMB/CME

AB (a − 1)(b − 1) R(γ|µ, τ, β) SSAB/glAB CMAB/CME

Error n.. − ab SSE4 SSE/glE

Total n.. − 1 SSE1

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Análisis tipo III, Regresión

1. Se generan a − 1 variables dummy (0,1) para los a nivelesdel factor A. Se generan b − 1 variables dummy para los bniveles del factor B.

2. La interacción A × B se representa por los productos desus variables dummy correspondientes.

3. Se ajusta el modelo con todas las variables dummy y seobtiene SSE.

4. Se ajusta el modelo con todas las variables dummyexcepto aquellas que corresponden a los efectosprincipales o interacciones que están siendo probadas. Ladiferencia entre esta SSE y la del modelo completo es laSS correspondiente a este efecto.

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Ejemplo factorial 2x3 desbalanceado

Suponga un experimento factorial 2 × 3 en un diseñocompletamente al azar.

B1 B2 B3

T1 19 24 2220 26 2521 25

T2 25 21 3127 24 32

24 33

ej9_1_messy.jmp