TRABAJO DE FIN DE MÁSTER

MÁSTER UNIVERSITARIO EN INGENIERÍA QUÍMICA

DISEÑO DE EXPERIMENTOS: DISEÑO FACTORIAL

Memoria y Anexos

Autor: Sheila Fernández Bao

Director: Pablo Buenestado Caballero

Convocatòria: Julio 2020

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RESUM

AquestTreballdeFideMàsterresultad'unarevisióbibliogràficasobreeldisseny

factorial.Consisteixenunacercaespecíficad'aquestdissenyentoteslessevesformes

aixícomdelasevautilitat.

S'introdueix el disseny d'experiments i s'explica la importància de la seva

aplicacióenl'enginyeria,peraaixí,posteriorment,explicareldissenyfactorialcomuna

deleseinesmésútilsdeldissenyd'experiments.

S'explicadetalladamentenquèconsisteixeldissenyd'experiments,lesfasesque

aquest ha de seguir, així com els seus principis bàsics, els tipus que existeixen i els

programesquepotserútilsperadur-hoaterme.

Unavegadaexplicat,secentraenelqueéseldissenyd'experimentsfactorial.

Començantpeldissenyfactorialcomplet,elméssenzillderealitzarid'entendre.

Acontinuació,l'estudisecentraeneldissenyfactorialfraccionat,undelstipus

dedisseny factorialmésutilitzats en l'enginyeria.Acompanyant a aquesta explicació

ambelsexemplescorresponentsperaunamillorcomprensió.

Enelsegüentapartat,s'explicaelbloqueigdeldissenyfactorial,unaaltradeles

einesmésutilitzadesdeldissenyd'experimentsfactorial,enaquestapartats'expliquen

elstipusdeconfusionsquepothaver-hienundissenyicomexecutar-loperapoder

interpretar-les.

Alfinaldelprojecte,esrealitzentambéunpetitestudiambiental iunaanàlisi

econòmicadelqueseriarealitzaraquestprojecteperaunaempresa.

Enl'AnnexI,s'explicaràcomutilitzarelprogramaseleccionatperarealitzarels

exemples.

3

RESUMEN

EsteTrabajodeFindeMáster resultadeuna revisiónbibliográficaacercadel

diseñofactorial.Consisteenunabúsquedaespecíficadeestediseñoentodassusformas

asícomodesuutilidad.

Se introduce el diseño de experimentos y se explica la importancia de su

aplicaciónen la ingeniería,paraasíposteriormente,explicareldiseñofactorialcomo

unadelasherramientasmásútilesdeldiseñodeexperimentos.

Seexplicaendetalleenqueconsisteeldiseñodeexperimentos, lasfasesque

estedebeseguir,susprincipiosbásicos,lostiposqueexistenylosprogramasquepuede

serútilesparallevarloacabo.

Unavezexplicado,secentraenloqueeseldiseñodeexperimentosfactorial.

Empezandoporeldiseñofactorialcompleto,elmássencilloderealizarydeentender.

Acontinuación,elestudiosecentraeneldiseñofactorialfraccionado,unodelos

tiposdediseñofactorialmásutilizadosenlaingeniería.Acompañandoaestaexplicación

conlosejemploscorrespondientesparaunamejorcomprensión.

Enelsiguienteapartado,seexplicaelbloqueodeldiseñofactorial,otradelas

herramientasmásutilizadasdeldiseñodeexperimentosfactorial,enesteapartadose

explicanlostiposdeconfusionesquepuedehaberenundiseñoycomoejecutarlopara

poderinterpretarlas.

Al finaldelproyecto, se realizan tambiénunpequeñoestudioambientalyun

análisiseconómicodeloqueseríarealizaresteproyectoparaunaempresa.

EnelAnexoI,seexplicarácómoutilizarelprogramaseleccionadopararealizar

losejemplos.

4

ABSTRACT

This FinalMaster's Project results froma bibliographic reviewabout factorial

design.Itconsistsofaspecificsearchforthisdesigninallitstypes.

Thedesignofexperimentsisintroducedandtheimportanceofitsapplicationin

engineeringisexplained,inordertosubsequentlyexplainfactorialdesignasoneofthe

mostusefultoolsinthedesignofexperiments.

Itexplainsindetailwhatthedesignofexperimentsconsistsof,thephasesthat

itmustfollow,aswellasitsbasicprinciples,thetypesthatexistandtheprogramsthat

maybeusefultocarryitout.

Onceexplained,itfocusesonwhatisthedesignoffactorialexperiments.Starting

withthefullfactorialdesign,theeasiesttomakeandunderstand.

Next, thestudy focuseson fractional factorialdesign,oneof themostwidely

used factorial design types in engineering. Accompanying this explanation with the

correspondingexamplesforabetterunderstanding.

In thenext section, the factorialdesignblockade isexplained,anotherof the

mostusedtoolsinthedesignoffactorialexperiments.

Attheendoftheproject,asmallenvironmentalstudyandaneconomicanalysis

ofwhatitwouldbeliketocarryoutthisprojectforacompanyarealsocarriedout.

AnnexIwillexplainhowtousetheselectedprogramtocarryouttheexamples.

5

ÍNDICE

RESUM..........................................................................................................................2RESUMEN.....................................................................................................................3ABSTRACT.....................................................................................................................4

INTRODUCCIÓN................................................................................................................6

MOTIVACIÓN................................................................................................................7ALCANCE.......................................................................................................................7INTRODUCCIÓNALDISEÑODEEXPERIMENTOS..........................................................7OBJETIVO......................................................................................................................9

1.ELDISEÑODEEXPERIMENTOS....................................................................................10

1.1.FASESDELDISEÑODEEXPERIMENTOS................................................................111.2.PRINCIPIOSBÁSICOSDELDISEÑODEEXPERIMENTOS.........................................131.3.TIPOSDEDISEÑOSEXPERIMENTALES..................................................................141.4.PROGRAMASUTILIZADOSENELDISEÑODEEXPERIMENTOS..............................15

2.DISEÑODEEXPERIMENTOSFACTORIALCOMPLETO...................................................16

2.1.DISEÑOFACTORIALCOMPLETO2K......................................................................192.2.EJEMPLODISEÑOFACTORIAL2kCONCÁLCULOSMANUALES.............................242.3.EJEMPLODISEÑOFACTORIAL2kUTILIZANDOMINITAB19..................................262.4.DISEÑOFACTORIALCOMPLETO3k.......................................................................322.5.EJEMPLODISEÑOFACTORIAL3k...........................................................................34

3.DISEÑODEEXPERIMENTOSFACTORIALFRACCIONADO.............................................37

3.1.DISEÑOFACTORIALFRACCIONADO2k-1...............................................................403.2.DISEÑOFACTORIALFRACCIONADO2k-p...............................................................413.3.EJEMPLODISEÑOFACTORIALFRACCIONADO......................................................433.4.DISEÑOFACTORIALFRACCIONADO3k-p...............................................................46

4.BLOQUEODELDISEÑOFACTORIAL.............................................................................48

4.1.CONFUSIÓNDELDISEÑOFACTORIAL...................................................................504.1.1CONFUSIÓNDELDISEÑOFACTORIAL2kENDOSBLOQUES...........................504.1.2.CONFUSIÓNDELDISEÑOFACTORIAL2kEN2pBLOQUES..............................52

4.2.CONFUSIÓNPARCIALDELDISEÑOFACTORIAL2k................................................534.3.EJEMPLODEDISEÑOFACTORIAL2kENDOSBLOQUES........................................53

ESTUDIOAMBIENTAL.....................................................................................................57

ANALISISECONÓMICO...................................................................................................59

CONCLUSIÓN..................................................................................................................64

BIBLIOGRAFÍA.................................................................................................................66

ANEXOI..........................................................................................................................70

6

INTRODUCCIÓN

7

MOTIVACIÓN

Después de cursar la asignatura “PLANIFICACIÓN DE EXPERIMENTOS Y

TRATAMIENTOESTADÍSTICODEDATOS”enlaEEBEmehedadocuentadeloimportante

y útil que pueden ser losmétodos estadísticos aplicados en procesos de Ingeniería

Química. Por esta razón, he decidido realizar el TFM sobre uno de los métodos

estadísticosqueutilizamosenlaasignatura,eldiseñofactorialdeexperimentos,para

asípoderprofundizarenestetema.

ALCANCE

EnesteTrabajodeFindeMástersellevaráacabounabúsquedabibliográficade

informaciónsobreeldiseñofactorialdeexperimentos,lacualseredactayejemplificaa

partirdeunsoftwareparaunamejorcomprensióndellector.

INTRODUCCIÓNALDISEÑODEEXPERIMENTOS

Hoyendíalaexperimentaciónesunapartefundamentalentodosloscamposde

lainvestigaciónydesarrollo.Elobjetivodelaexperimentaciónesobtenerinformación

decalidad,lacualpermitaeldesarrollodenuevosproductosyprocesos,comprender

mejor un sistema, tomar decisiones sobre como optimizarlo y mejorar su calidad,

comprobarhipótesiscientíficas…[1].

Estaexperimentacióndentrodelprocesocientíficodebeirasistidaportécnicas

estadísticas. Los análisis descriptivos y exploratorios de datos darán la base al

conocimientode losproblemasyelplanteamientode lahipótesis.Posteriormenteel

diseñoestadísticoyelmuestreoaportanlabaseparaplanearyrecogerlosdatos.Este

diseñotambiénvalidalainformaciónylainferenciaestadística.Además,pormediode

contrastación de hipótesis, estimaciones y conclusiones ofrecemétodos basados en

probabilidadparaobtenerinferenciasinductivasválidas.

8

Laestadísticabienaplicadaalaexperimentaciónconducearealizarlosdiseños

deexperimentosdeunaformamáseficiente,ahorrandotiempoyrecursosalavezque

seganainformación.

Losexperimentoscientíficospuedenclasificarseenabsolutosycomparativos[2].

1. Absolutos:elobjetivodeestosesdeterminarpropiedadesabsolutasde

unconjuntodeobjetos,comoladeterminacióndelnºdeespeciesdeun

determinadoanimalenunadeterminadaregión.

2. Comparativos: elobjetivodeestosesestablecer comparacionesentre

muestras que reciben diferentes tratamientos. Estos pueden ser

experimentalesuobservacionales.

§ En los experimentales es posible controlar las variables,

mantenerconstanteovariar losfactoresquetienenuna

mayor influencia en el resultado; el control de las

condicionespermitealinvestigadorestablecerrelaciones

causa-efecto, entre los factores controlados y los

resultados, a esto se le llamaexperimentos diseñados y

son reconocidos como losmétodosmás potentes en la

ciencia.

§ En los observacionales, el investigador no tiene control

sobrelosfactoresquecausancambiosenlosresultados,

selimitaaobservarlaformaenlaquesemanifiestanpara

establecer relaciones asociativas entre los factores y las

respuestas. La metodología estadística aplicada a los

experimentos diseñados puede aplicarse también a los

experimentos observacionales, aunque las conclusiones

generalmentesonmenosconvincentesydébiles.

Según Geroge Wald, citado por Wardlaw (2000) “La experimentación es el

mecanismoparahacerque laNaturalezahabledemanera intangible “.Medianteel

experimentosepreguntaa lanaturaleza,peroesnecesariodiseñar losexperimentos

9

parafacilitarlacompresióndelarespuestaomensajesimplícitosenlosdatosobtenidos.

De estemodo, el análisis estadístico de los datos está supeditado al tipo de diseño

utilizado,asíeldiseñoyelanálisisnopuedenirseparadosenunainvestigación.

Actualmenteseempleaeldiseñodeexperimentosencasi todas lasáreasdel

conocimiento.

OBJETIVO

ElobjetivodeesteTrabajodeFindeMasteresexplicardeformaclara,detallada

ycontextualizadaeldiseñofactorial,suaplicaciónylasdiferentesformasenlasqueeste

sepuedellevaracaboparaconseguirconclusionesvalidasenunexperimento,asícomo

demostrarlaimportanciadeutilizarloparaunmejorrendimientoenlosprocesos.

Tambiéndemostrarlautilidaddeldiseñodeexperimentosfactorialenprocesos

deingenieríaquímica.

ParaconseguiresteobjetivoserealizaránejemplosconelsoftwareMinitab19,

dadoqueesdelquedisponenlicencialosalumnosdelaUPC.Elusodeesteprograma

seexplicaráenelANEXOI.

10

1.ELDISEÑODEEXPERIMENTOS

11

Eldiseñodeexperimentos(DOE)puededefinirsecomounprocesoqueconsiste

enplantearlospasosnecesariosquesedebenseguir,asícomoelordendeestos,para

unarecolecciónyposterioranálisisdelainformaciónquerequiereestudiarunproblema

deinvestigación.Suobjetivoeseldeobtenerelmáximodeinformaciónrequeridapor

elexperimentoconelmínimocosteylamáximaeficiencia.Unbuendiseñoesaquelque

es capaz de proporcionar exactamente el tipo de información que se busca, con

precisión, y es más eficiente cuando proporciona esta información con un número

menordedatos.Sinembargo,paraestoesnecesariosaberqueseestábuscando, lo

cualpareceobvio,peronosiempreesasí[2][3].

1.1.FASESDELDISEÑODEEXPERIMENTOS

Para realizarunbuendiseñodistintosautoreshandescrito fasesa seguir, las

cuales están enfatizadas dependiendo del propósito de cada autor, entre estas se

encuentranlasdescritasporDouglasC.Montgomery(2007)elcualsugiere[2]:

1. Reconocimiento y formulación del problema: Este es un paso obvio, sin

embargo,enlaprácticanoresultasiempresencilloderealizarymenosdeforma

clara y aceptadapor todos. Es necesario desarrollar todas las ideas sobre el

objetivodelexperimentoynormalmenteesimportantesolicitarinformacióna

todasáreas involucradasenel experimento, ingeniería, calidad,manufactura,

administración,etc.

2.Seleccióndelosfactoresyniveles:El investigadorseleccionalosfactoreso

variablesindependientesqueseránanalizadas,deacuerdoconelconocimiento

del fenómeno y la posibilidad de controlar estas. Al escoger los factores que

puedeninfluireneldesempeñodelproceso,estospuedenclasificarseen:

§ Factorespotencialesdelproceso:loscualeselexperimentadorquiere

hacervariarenelexperimento,dentrodeestospodránser:

§ Factores de diseño que se mantienen constantes:

Estos suelen ser variables con cierto efecto para la

12

respuesta, pero no son de interés para los fines del

experimento,porloquesemantendránenunnivelfijo

específico.

§ Factores de diseño que se permite variar: Estos

tendránefectosobre la respuestay seránde interés

paralosfinesdelexperimento.

§ Factoresperturbadoresdelproceso:estosfactorespuedentenerun

efectoenlarespuesta,quedebedetomarseencuenta,peronohay

interésenellosenelcontextodelexperimento.Seclasificanen:

§ Factores perturbadores controlables: Los cuales se

puedeajustaraunnivel.

§ Factoresperturbadoresnocontrolables:Loscualesno

sepuedeajustaraunnivel,peroestepuedemedirse,

porlocualelefectopuedesercompensado.

§ Factoresperturbadoresderuido:Loscualesnopueden

ajustarseaunnivelyestenivelvaríadeformanatural.

3. Selección de las variables de respuesta: Esta debe ser aquella que

proporcionelainformaciónútil,conlasoluciónalproblemadefinido.

4.Seleccióndeldiseñoexperimental:Unavezasignadoloanteriorsurgendos

preguntas:

a) ¿Cuáleseltamañoapropiadoparalamuestra?

b) ¿Qué tipo de diseño conduce al resultado óptimo en cuanto a

informaciónválida,precisayeconómica?

5.Realizacióndelexperimento:Eslaparteenlacualserealizaelexperimento

yserecogenlosdatos,debeprestarseatenciónalmecanismodealeatorización,

almanejode los instrumentosdemedida,al reconocimientode lasunidades

experimentales, y fundamentalmente al mantenimiento en la forma más

uniformeposibledelascondicionesambientalesdelexperimento.Unerroren

elprocedimientodestruiráporlogenerallavalidezdeeste.

13

6.Análisisdelosdatos:Debenutilizarsemétodosestadísticosparaanalizarlos

datosrecogidos,elmétodoqueseescojadebeiracordeconeldiseñoutilizado.

7.Conclusionesyrecomendaciones:Despuésdeanalizarlosdatosseestablecen

las inferencias estadísticas, las cuales deben traducirse al lenguaje del

experimento para darle la correspondiente interpretación física y evaluar su

significaciónpráctica.

1.2.PRINCIPIOSBÁSICOSDELDISEÑODEEXPERIMENTOS

Para que un experimento pueda catalogarse comoun buen experimento, las

conclusionesdeestedebentenervalidez,precisiónyampliocubrimiento.Paracumplir

conestascondicioneselexperimentodebellevarseacaboteniendoencuentalostres

principiosbásicos:repetición,aleatorizaciónycontroldelerrorexperimental[4].

§ Repetición:Unmayornúmeroderepeticionesdaráunamayorprecisiónenlas

estimaciones,elobjetivoderealizarrepeticionesseráobtenerunamedidade

variabilidad.

§ Aleatorización:Esteesunodelosprincipiosmásdiscutidosenlaliteratura,sus

objetivossonvarios:eliminarelsesgoenlaestimacióndemedidas,darvalidez

a la estimacióndel error experimental, generar independenciade los errores

experimentales,darrobustezalanálisis.Sinembargo,debeconsiderarseque,

con los diseños aleatorizados, cuando hay una dependencia positiva entre

observacionessonmenoseficientesquelosdiseñossistemáticos.

§ Control del error experimental: Este proceso evita el efecto de los factores

conocidos sobre los resultados de un experimento, factores que pueden

interferirconelobjetodeestudiooquenopermitenobservaradecuadamente

los efectos bajo estudio. Este proceso se realizamediante la construcciónde

bloquesymodificandoelprocesodealeatorización.

14

1.3.TIPOSDEDISEÑOSEXPERIMENTALES

Comosehamencionadoanteriormenteunodelospasosfundamentalesparael

diseño de experimentos es la elección de un diseño experimental, existe una gran

variedad de estos, sin embargo, los más utilizados son los que se mencionan a

continuación.

Experimentosconunsolofactor:Análisisdevarianza(ANOVA)

Elanálisisdevarianzaesutilizadoparaverificarsiexistendiferenciasestadísticas

significativasentrelamediademásdedosmuestrasogruposdemuestrasenunmismo

planteamiento. El procedimiento que utiliza estemétodo es comparar estos valores

basadosenlavarianzaglobaldelasmuestrasacomparar.Típicamenteseutilizaeste

análisisparaasociarunaprobabilidadalaconclusióndequelasmediasdedosomás

poblacionessondistintas.

Elobjetivodelanálisissebasaenladescomposicióndevariabilidadtotalendos

partes, una debida a la variabilidad entre las distintas poblaciones y otra parte a la

variabilidadintrínsecadelasobservaciones[5].

Diseñosfactoriales

Estetipodediseñoseutilizaparaexperimentoscondosomásfactores,dado

queengeneralson losmáseficientesparaello.Enestediseñose investigatodas las

combinacionesposiblesentrelosnivelesdelosfactores.

Diseñosanidados

Estediseñoseaplicaaexperimentoscondosomásfactores,enloquealguno

deelloscuentaconnivelesidénticosaotro,ocuandonoesposiblecombinartodoslos

nivelesdeunfactorcontodoslosnivelesdeotros.

Unfactorestáanidadoaotrocuandocadaniveldeesteapareceasociadoaun

úniconiveldelotro.

15

Superficiesderespuesta

Estemétodoseutilizacuandoenunproblemalarespuestadeinterésrecibeuna

influenciadediversasvariables,dondeelobjetivoesoptimizarlarespuestaydeterminar

elmodelomatemáticoquemejorseajustaalosdatosobtenidos.

En estos problemas la forma de relación entre la respuesta y las variables

independientes suele ser desconocida, por lo que el primer paso es encontrar una

próximaalaverdaderarelaciónfuncionalentrelarespuestayelconjuntodevariables

independientes. Se emplea un polinomio de orden inferior en alguna región, si la

respuesta es línea se ajustará a unmodelo de primer orden,mientras que si tiene

curvaturadebeusarseunpolinomiodeordensuperior.

1.4.PROGRAMASUTILIZADOSENELDISEÑODEEXPERIMENTOS

Existendiferentesprogramasqueseutilizana lahoraderealizareldiseñode

experimentos. Los programas de análisis estadístico permiten a las organizaciones

aprovechar al máximo los datos que poseen, incluyen soluciones especializadas

diseñadasparatrabajarconlenguajesestadísticosconcretos,asícomoaplicacionesmás

generalesqueautomatizanvariasoperacionesdemanipulacióndedatos,desdeanálisis

depotenciahastavisualizacióndedatos.Algunosdelosmásutilizadossonmostrados

enlaTabla1.

Tabla1.Programasestadísticomásutilizados.Elaboraciónpropia.

ProgramasestadísticosSigmaXL SPSS

Tabla XLSTATMatlab Cerebral

Minitab RStata JMPStatisticalSoftware

16

2.DISEÑODEEXPERIMENTOSFACTORIAL

COMPLETO

17

Como se ha mencionado anteriormente los diseños factoriales son los más

utilizadosenlosexperimentoscondosomásfactores,esdecir,condosomásvariables

independientes,lascualesseránanalizadasalserconsideradasporelinvestigadorcomo

variablesqueafectanalproceso.

Los valores en los que se puede trabajar con cadaunode los factores se les

denominaniveles,esdecirlosnivelessonelvalor,puedesercuantitativoocualitativo,

quepuedetomarcadaunodelosfactoresdentrodelexperimento.

Enundiseñofactorial,cadaunodelosnivelesdecadafactorindependientese

combina con cada uno de los niveles de los demás, para así realizar todas las

combinacionesposibles.Cadaunadelascombinacionesseconvierteenunacondición

paraelexperimento.Estoproducequelosexperimentosseanmáseficientes,dadoque

sepuedeproporcionarinformacióndelosefectosdetodoslosfactoresenrelaciónalos

niveles de los otros [6]. Este efecto se define como, el cambio en la respuesta del

experimentoproducidoporuncambiodenivelenelfactor[7].

Pararealizarundiseñofactorialseseleccionaunnúmerofijodenivelesparacada

unodelosfactores,ysecorrenlosexperimentosentodaslasposiblescombinaciones.

Losfactorespuedensertantocualitativoscomocuantitativos.Ylosefectosque

estoscausanpuedenserdetrestipos,simples,principalesydeinteracción.

§ Efectossimples:Seobservanalcompararentretodoslosnivelesdeunfactora

unsoloniveldelotrofactor.

§ Efectosprincipales:Seobservanalcompararentretodoslosnivelesdeunfactor

promediadosparatodoslosnivelesdeotrofactor.

§ Efectodeinteracción:Estosmidenladiferenciaentrelosefectossimplesdeun

factoradiferentesnivelesdeotros.

Paraentenderestasdefinicionessemuestraunejemplosencillodelosefectosde

undiseñofactorialenelquehabrádosfactores,variablesaestudiar,condosniveles

cada uno, valor en el que pueden fijarse las variables, y se estudiarán todas las

18

combinaciones posibles para estos factores y niveles. Los factores serán A (Tipo de

mezcla)yB(Tipodecompactación),yaqueelexperimentadorhaconsideradoqueestas

dosvariablessonlasquemásafectanalprocesoysonmássencillasdemanipular.

Lonivelesparaestasdosvariablesserándenominadosenestecasocomonivel1y

nivel2,estosnivelesrepresentancadaunodelostiposdemezclaycompactacióncon

losquesepuedetrabajarparalosfactoresseleccionados.TeniendoasíparaelfactorA,

A1yA2,yparaelfactorB,B1yB2.

Cada una de estas variables(factores) en sus respectivas condiciones de trabajo

(niveles)proporcionanunefectodiferenteenelexperimento,estosefectossemiden

en este caso, con el coeficiente de ruptura de cadaunade las combinaciones en el

experimentoysemuestranenlasiguienteTabla2[6].Tabla2.Datosdelejemplo[6].

B1 B2

A1 68 60A2 65 97

Calculandoasí:

§ Efectos simples:Comparamos todos losnivelesdeun factor,Aeneste caso,

sobreunniveldeotrofactor,B1primeroyluegoB2.

- EfectosimpledeAsobreB1será:I1=65-68=-3

- EfectosimpledeAsobreB2será:I2=97-60=37

§ Efectosprincipales:Enprimerlugar,sepromedialosnivelesdelfactorApara

ambosnivelesdeB,posteriormentesecomparaentreambosparacalcularel

efectoprincipal.

- MediadeA1paraambosnivelesdeB:µ1=½·(68+60)=64

- MediadeA2paraambosnivelesdeB:µ2=½·(65+97)=81

- Efectoprincipal:I3=81-64=17

§ Efectos de interacción: Se calcula al comparar los efectos simples de ambos

factores.

Efectosdeinteracción:I4=I2-I1=40

19

Estosefectosseinterpretaríandelasiguienteforma:

§ I1:Lamezcladetipo1tieneunmayorcoeficientederupturaquelarocatipo2

cuandoserealizalacompactacióntipo1.

§ I2:Lamezcladetipo2tieneunmayorcoeficientederupturaquelarocatipo1

cuandoserealizalacompactacióntipo2.

Ladiferenciaentrelainterpretacióndelresultadodelosefectossimplesindicaque

losfactoresnoactúandeformaindependientesobrelarespuesta.Porloquehabrá

queseguirestudiandolainteraccióndeestosfactoresentreellos.

§ I3:Lamezcladetipo2tieneunmayorcoeficientederupturaquelarocatipo1.

§ I4:Nosindicaqueelefectodeltipodemezclasobrelarespuestadependedel

tipodecompactación.

Asílasventajasdeldiseñofactorialrespectoaotrosdiseñosseránlaeficiencia,son

más eficientes que analizar un solo factor a la vez, y la posibilidad de analizar las

interacciones entre factores, evitando llegar a conclusiones erróneas cuando los

factoresnoactúandeformaindependiente[7].

Porello,ycomosehamencionadoanteriormenteseutilizaparalosexperimentos

enlosqueintervienenmásdeunfactoralavez,paraanalizartodaslascombinaciones

posiblesdeestos.Estetipodediseñonoseríaútilenexperimentosdondesoloseanaliza

unfactor.

2.1.DISEÑOFACTORIALCOMPLETO2K

Son denominados diseño factorial 2k los diseños en los cuales cada uno de los

factores cuenta con dos niveles, es decir cuando se realiza un experimento con un

númerodefactoreskenelquecadaunodeestossolopuedeadoptardosniveles.Estos

niveles podrían ser cuantitativos o cualitativos y una réplica completa de tal diseño

requierequerealizar2kcombinaciones.

20

Estediseñodescribecomorealizarlosexperimentosdelaformamásadecuadapara

conocersimultáneamentequéefectotienenkfactoressobreunarespuestaydescubrir

siinteraccionanentreellos[9].

Además,estosdiseñospresentandiferentesventajasenrelaciónaotrostiposde

diseños[8].

§ Noesnecesarioungrannúmerodeexperimentosporcadaunodelosfactores

aestudiar.

§ Lasobservacionesproducidasporlosdiseñossepuedeninterpretarutilizandoel

sentidocomún,laaritméticaelementarylosgráficosporordenador.

§ Cuando se tratade factores cuantitativos sepuededeterminar unadirección

prometedoraparaunamayorexperimentación.

§ Es posible aumentar los diseños cuando se necesita una exploración más

focalizada.

§ Esposiblerealizarlosdeformasecuencial,deformaqueunavezrealizadauna

ronda del diseño factorial se puede montar una nueva para realizar una

investigaciónmásespecífica.

Como hemos mencionado, en este diseño se realizan todas las combinaciones

posiblesentrelosefectos,paraellosecrealamatrizdediseño.Enellaseutilizanlos

signos–y+paraambosnivelesdeunfactoryserealizade lasiguienteforma:en la

primeracolumnasealternanlossignoscomenzandoporel-.Enlasegundacolumnase

alternanlossignosdedosendos,enlaterceradecuatroencuatro,enlacuartadeocho

enochoyasísucesivamente.Siemprecomenzandoconelsigno-.

21

Tabla3.Matrizdediseñoparaundiseñofactorialcompleto23.Elaboraciónpropia.

OrdenStd Ordenaleatorio FactorA FactorB FactorC

1 1 - - -2 8 + - -3 4 - + -4 3 + + -5 6 - - +6 2 + - +7 7 - + +8 5 + + +

Estosmodelospuedensersinréplicaoconellas,esdecirpuederealizarseunasola

vezcadaunadelascombinacionesobteniendosolamenteunarespuestaparacadauna

de las combinaciones o pueden realizarse el número de veces que se considere

necesarioobteniendoasímásdeunarespuestaparacadacombinación,enestecaso

habráquetenerencuentaambasrespuestas.

Elmodelomássencilloparaeldiseñofactorial2keselmodelo22,sinréplica,elcual

cuentacondosfactoresdedosnivelescadauno.Estosfactoresporejemplospodrían

ser A y B, los cuales tienen cada uno dos niveles a los que trabajar, alto y bajo

denominadosarbitrariamente.Lasunidadesexperimentalesseobtienentomandolas

cuatroposiblescombinacionesdeambosfactoresyreplicándolonveces,conn>1.

Porconvenciónelefectodeunfactorsedenotaconsuletramayúsculaylosniveles

con + y -, para alto y bajo, obtendremos las siguientes respuestas para las posibles

combinaciones:

Tabla4.Nomenclaturamásutilizadaparalasrespuestas.Elaboraciónpropia.

B(-) B(+)A(-) (1) bA(+) a ab

22

Asísepodráncalcularlosefectosprincipalesdecadaunodelosfactoresydesus

combinaciones,como:

𝐴 = #$·&

𝑎𝑏 − 𝑏 + (𝑎 − 1 ) Ecuación 1

𝐵 = #$·&

𝑎𝑏 − 𝑎 + (𝑏 − 1 ) Ecuación 2

𝐴𝐵 = #$·&

𝑎𝑏 − 𝑎 + ((1) − 𝑏) Ecuación 3

Lasconclusionesdeestosefectosdependerándequeesloquemiden,seexamina

sumagnitudysudirecciónconelfindepoderdeterminarcuálesseránlosnivelesque

causan el efectodeseadoennuestro experimento, así como si estos efectos sonde

importanciaopuedendespreciarse.

Elmodeloquesigueestediseñoserá:

𝑦012 = 𝜇 + 𝜏0 +𝛽1 + (𝜏𝛽)01 + 𝜀012 Ecuación 4

Siendo𝜇elefectopromedioglobal,𝜏0 elefectodelniveli-esímodelfactorA,𝛽1 el

nivel j-ésimodel factorB,(𝜏𝛽)01 el efectode la interacciónentre𝜏0 y 𝛽1, y𝜀012 un

componentedelerroraleatorio.Coni=1,2;j=1,2;k=1…n.

Ademásdecadafactortambiénsepuederealizarunanálisisdevarianza,paraello

secalculanloscontrastesdelosfactores,otambiénllamadoslosefectostotalesconlas

Ecuaciones 5, 6 y 7. La suma de los cuadrados de los contrastes, la cual muestra

informaciónsobrelaimportanciadelosefectosprincipalesocombinaciones,esigualal

cuadrado del contraste dividido por el número de observaciones en cada total

multiplicado por la suma de cuadrados de los coeficientes del contraste, como se

muestraenlasEcuaciones9,10y11.[7].

23

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒? = 𝑎𝑏 + 𝑎 − 𝑏 − (1) Ecuación 5

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒@ = 𝑎𝑏 + 𝑏 − 𝑎 − (1) Ecuación 6

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒?@ = 𝑎𝑏 + (1) − 𝑎 − 𝑏 Ecuación 7

𝑆𝑆? =BCDBECE(#) F

G& Ecuación 8

𝑆𝑆@ =BCDCEBE(#) F

G& Ecuación 9

𝑆𝑆?@ =BCD(#)EBEC F

G& Ecuación 10

EstasEcuaciones5,6,7,8,9y10podríanaplicarseacualquiermodelo2kcomo:

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒?@…I = 𝑎 ± 1 𝑏 ± 1 … (𝑘 ± 1) Ecuación 11

𝐴𝐵…𝐾 = $$M·&

(𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒?@…I) Ecuación 12

𝑆𝑆?@…I =$

$M·&(𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒?@…I)$ Ecuación 13

Ademásdeloscálculosmencionadosenestetipodediseñoesmuyimportantela

interpretacióndelasgráficascorrespondientesalosefectosdelosfactores,asícomo

lasdelascombinacionesentreestos.

Paraque todosestos conceptosmencionadosqueden claros y sepuedamostrar

cómo se interpretan los resultados de estos cálculos, se realizarán dos ejemplos de

diseñofactorial2k,unoconcálculosmanualesyotroutilizandoelprogramaMinitab19.

Enellostambiénseintroducenalgunosconceptosnuevosquesevanexplicandoalo

largodelosejemplos.

24

2.2.EJEMPLODISEÑOFACTORIAL2kCONCÁLCULOSMANUALES

Unaempresaembotelladoraderefrescosestáinteresadaenobteneralturasde

llenadomásuniformesenlasbotellasquesefabricanensuprocesodemanufactura.

Teóricamente, lamáquinade llenado llenacadabotellaa laalturaobjetivocorrecta,

pero en la práctica existe variación entorno a este objetivo, y a la embotelladora le

gustaríaentendermejorlasfuentesdeestavariabilidad,asícomoreducirla.

El ingenierodelprocesopuedecontrolar tresvariablesduranteelprocesode

llenado,esdecirlosfactores.Estosserán:elporcentajedecarbonatación(A),lapresión

deoperaciónenelllenador(B)ylarapidezdelalínea,botellasproducidasporminuto

(C).Paracadaunadeellascuentacondosvaloresalosquelaspuedeajustar,estosserán

losnivelesdelosfactorespues[7].

Tabla5.Nivelesdecadaparámetrodelejemplomanual2k.[7]

Nivel Carbonatación(A) Presión(B) Rapidez(C)

-1 10psi 25psi 200bpm+1 12psi 30psi 250bpm

El objetivode este experimentoes estudiar la variabilidaddel embotellado a

partirdeladesviacióndelaalturadellenadodeespecificación,realizandoparaelloun

experimentofactorial23,esteconllevarealizar23=8combinacionesdelostresfactores.

El ingeniero tiene los recursos en la empresa para realizar hasta 16

experimentos, por lo que realiza dos réplicas de cada uno de los experimentos de

maneraaleatoria,obteniendolossiguientesresultados:

25

Tabla6.Matrizdediseñodelejemplomanual23.[7]

Factores Respuesta

Corrida (A) (B) (C) Réplica1 Réplica2 SRéplicas

1 -1 -1 -1 -3 -1 -42 1 -1 -1 0 1 13 -1 1 -1 -1 0 -14 1 1 -1 2 3 55 -1 -1 1 -1 0 -16 1 -1 1 2 1 37 -1 1 1 1 1 28 1 1 1 6 5 11

AsíapartirdelaEcuación12,secalculanlosefectosdelosfactoresdelasiguiente

forma:

𝐴 =1

4 · 𝑛a − 1 + ab − b + ac − c + abc − bc =

181 − −4 + 5 − −1 + 3 − −1 + 11 − 2 = 3

𝐵 =1

4 · 𝑛𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 − 1 − 𝑎 − 𝑐 − 𝑎𝑐 =

18

−1 + 5 + 2 + 11 − −4 − 1 − −1 − 3 = 2,25

𝐶 =1

4 · 𝑛𝑐 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 − 1 − 𝑎 − 𝑐 − 𝑎𝑐 =

18

−1 + 3 + 2 + 11 − −4 − 1 − −1 − 5 = 1,75

𝐴𝐵 =1

4 · 𝑛𝑎𝑏 − 𝑎 − 𝑏 + 1 + 𝑎𝑏𝑐 − 𝑏𝑐 − 𝑎𝑐 + 𝑐 =

185 − 1 − −1 + −4 + 11 − 2 − 3 + (−1) = 0,75

𝐴𝐶 =1

4 · 𝑛1 − 𝑎 + 𝑏 − 𝑎𝑏 − 𝑐 + 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 =

18

−4 − 1 + −1 − 5 − −1 + 3 − 2 + 11 = 0,25

𝐵𝐶 =1

4 · 𝑛1 + 𝑎 − 𝑏 − 𝑎𝑏 − 𝑐 − 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 =

18

−4 + 1 − −1 − 5 − −1 − 3 + 2 + 11 = 0,5

𝐴𝐵𝐶 =1

4 · 𝑛𝑎𝑏𝑐 − 𝑏𝑐 − 𝑎𝑐 + 𝑐 − 𝑎𝑏 + 𝑏 + 𝑎 − (1) =

1811 − 2 − 3 + −1 + 1 − (−4) = 0,5

Seobservaquelosefectosmásgrandessonparalacarbonatación(A=3),lapresión

(B=2,25) y la velocidad (C=1,75) así como la interacción carbonatación-presión

(AB=0,75),sibienelefectodeestaparecetenerunmenorimpactosobreladesviación

quelosefectosprincipales.

26

LassumasdeloscuadradossecalculanapartirdelaEcuación13:

𝑆𝑆? =24 $

16= 36

𝑆𝑆@ =18 $

16= 20,25

𝑆𝑆[ =14 $

16= 12,25

𝑆𝑆?@ =6 $

16= 2,25

𝑆𝑆?[ =2 $

16= 0,25

𝑆𝑆@[ =4 $

16= 1

𝑆𝑆?@[ =4 $

16= 1

Se observa como los efectos principales SSA, SSB y SSC dominan en realidad el

proceso,tienenunvalordelasumadecuadradosmuysuperioralascombinacionesde

factores.

Por lo que se puede concluir que los efectos principales son altamente

significativosenesteproceso,yhayunaligerainteracciónentrelacarbonataciónyla

presión.

2.3.EJEMPLODISEÑOFACTORIAL2kUTILIZANDOMINITAB19

Enesteejemplosellevaacaboelestudiodeunareacciónquímicadesíntesis

catalizada,yelinvestigadorquierecomprobarqueefectotienenenellalasvariablesde

tiempodereacciónytemperaturadelproceso,asícomosiesimportantelaeleccióndel

catalizador,puestoquecuentacondoscatalizadoresquepuedeutilizar.

Porello,llevaráacaboundiseñofactorialenelcuallosfactoresseránlastres

variables mencionadas anteriormente, tanto el tiempo como la temperatura son

variablesquepuedeadoptardosmedidasenlasquesepuedenajustar,porloquetodos

losfactoresdelareaccióncontaráncondosniveles[10][11][12][13].

27

LosfactoresynivelesquesevanautilizarsemuestranenlaTabla7

Tabla7Tabla7.Nivelesyfactoresdelejemplo23.Elaboraciónpropia.

Factores Nivel(-) Nivel(+)A:Tiempo 6h 8h

B:Temperatura 40ºC 80ºCC:Catalizador CA CB

Serealizaundiseñofactorial23consolounaréplica,dadoqueelinvestigadorno

tienerecursossuficientespararealizarmásréplicas.Serealizandeformaaleatorialos

experimentos,estoesmuyimportantedadoqueasíseintentaevitarqueelefectode

queun factorestéconfundidoconeldeotro factorno intencionadoyse introduzca

sesgoen losvaloresde losefectos.Para llevaracaboeldiseño factorial seutiliza la

herramientaMinitab19,estaproporcionadirectamente lasrespuestasde losefectos,

asícomodelasinteracciones,sinnecesidadderealizarloscálculosdeformamanual.En

laTabla8semuestraelresumendeestediseño.EnelAnexoIsemuestracómoutilizar

Minitab19paraconseguirestosresultados.

Tabla8.ResumendeldiseñoenMinitab19paraelejemplo2k.Elaboraciónpropia.

Factores:3 Diseñodelabase:3;8Corridas:8 Réplicas:1Bloques:1 Puntoscentrales:0

EnlaTabla9semuestralamatrizdeldiseñofactorialconlasrespuestasdadas

paracadaunade lascombinacionesde los factores,esdecirparacadaexperimento

realizado.Lasochorespuestassepuedencombinarparaobtenerinformación,elvalor

medio,tresefectosprincipales,tresefectosdeinteracciónentredosfactoresyunefecto

deinteraccióndetresfactores.EnlaTabla10semuestranlosresultadosdeestasocho

combinaciones.Elcálculodeestosefectoshasidorealizadoapartirdelasrespuestas

detodoslosexperimentos,dadoqueasísereducelaincertidumbredelvalorestimado.

28

Tabla9.Matrizdediseñodelexperimentoparaelejemplo2k.Elaboraciónpropia.

Nºaleatorio

Nºexperimento

Tiempo Temperatura Catalizador Rendimiento(%)

3 1 - - - 495 2 + - - 547 3 - + - 734 4 + + - 808 5 - - + 311 6 + - + 406 7 - + + 762 8 + + + 89

Tabla10.ResultadodelcálculodeefectosenMinitab19paraelejemplo2k.Elaboraciónpropia.

Término Efecto Coef EEdelcoef. ValorT Valorp FIVConstante 61,50 * * * Tiempo 8,50 4,250 * * * 1,00

Temperatura 36,0 18,0 * * * 1,00Catalizador -5,00 -2,50 * * * 1,00

Tiempo*Temperatura 1,50 0,75 * * * 1,00Tiempo*Catalizador 2,50 1,25 * * * 1,00

Temperatura*Catalizador 11,00 5,50 * * * 1,00Tiempo*Temperatura*Catalizador 0,50 0,25 * * * 1,00

EnlaTabla10semuestraelvalordelaConstante,61,5.Esteeselvaloralrededor

delcualhanvariadolasrespuestas,esdecir,muestraalrededordequerendimientose

encuentranlasrespuestasdelasdiferentescombinaciones.

ConlaherramientaMinitab19sepuedeobservarelefectodeestosfactores,así

comodesuscombinacionesdeunaformamásgráfica,locualhaceposibleunamejor

interpretacióndelosresultados.Paraellosepuedenutilizardiferentestiposdegráficos.

29

Gráfica1.Gráficanormaldelosefectosdelejemplo2k.

Elaboraciónpropia.

Gráfica2.DiagramadeParetodelosefectosdelejemplo2k.

Elaboraciónpropia.

Enambasgráficas seobservacomoel factorprincipalquemuestraunmayor

efectoeslaTemperatura,algoquetambiénsemostrabaconvalornuméricolaTabla10

Enlagráficanormal,losvaloressignificativosaparecenencolorrojoalejadosde

larectadeefecto-porcentaje.Perotambiénsedebentenerencuentalosvalores,quea

pesardenoestarsuficientealejadosdelarectaparaconsiderarsesignificativosyestar

en rojo, si seencuentranmásalejadosqueel resto,estosvalores tendránunefecto

importanteenlarespuestatambién.

EneldiagramadeParetoseobservanpororden,demayoramenorefecto,los

factoresocombinaciones.Losfactoresquesuperarlafranjarojasonlosdenominados

factoressignificativos,sinembargo,aligualqueenelcasoanterior,sedebendetener

encuentalosvaloresquetienenmayorefectoqueelrestoapesardenollegaraser

significativoscomotal.

Unvalordeefectoiguala36indicaquealvariarlatemperaturade40ºCa80ºC

el rendimiento aumenta en esa cantidad. El signode este valor indica si aumenta o

disminuyelarespuesta.AlobservartambiénlaGráfica3sepuedellegaresaconclusión

dado que nos muestra como el efecto significativo es la Temperatura, además de

indicarnosqueestecambioesenordencreciente,esdecirlatemperaturaaumentayel

rendimientotambién.

30

Gráfica3.Efectosprincipalesdelejemplo2k.Elaboración

propia.

Gráfica4.Diagramadecubosparalosefectos.Elaboración

propia.

Porotro lado,tambiénseobservaque,parael factorcatalizador,elefectoes

negativoporloqueelrendimientodisminuyealcambiardelcatalizadorCAalCB.Yel

tiempotieneunefectopositivo,porloquealaumentarloaumentaelrendimiento.

Paraunamejorinterpretacióndelosefectosesinteresanteutilizartambiénla

Gráfica4paraelefectodelatemperaturasedebeconsiderarlacarasuperiordelcubo

frentealainferior.

Observandoentoncessololosefectosprincipalessehallegadoalasconclusiones

dequelasmejorescondicionesseránvaloresaltosdetiempoytemperaturautilizando

el Catalizador CA. Sin embargo, para no llegar a una conclusión errónea en el

experimentoesnecesarioconsiderarlosefectosdelasinteracciones.

Losefectosdelasinteraccionesmidenlainfluenciaquetienenlascombinaciones

de los factores en la respuesta. Para observar estas interacciones de forma gráfica

Minitab19proporcionaunagráficadeinteraccionescomosemuestraenlaGráfica5

31

Gráfica5.InteraccionesdelosfactoresElaboraciónpropia.

EnlaTabla10semuestraqueelvalordelainteracciónTemperatura*Catalizador

tieneunefectoconunvaloraltoenlarespuesta,alobservarlaGráfica5estamuestra

como el mayor rendimiento se encuentra cuando se utiliza el catalizador B a una

temperaturaelevada.

Seobservacomoelefectode la temperaturadependedelCatalizadorquese

utiliceyviceversa,estoocurrecontodoslosfactoresimplicadosenelexperimento.

Elrestodeinteraccionestienenunefectoconvalormáspequeño,loquesignifica

quecausanmenosefectoenlarespuesta.

El valor de la interacción de los tres factores tiene un valor muy pequeño

comparadoconlosotrosdosfactores,comoseobservaenlaTabla10estevaloressolo

de 0,5, es habitual que sean cada vez menos importantes cuantos más factores se

consideranenlainteracción.

Enconclusión,estosexperimentoshanpermitidodescubrirqueelrendimiento

mejora al aumentar el tiempo de reacción y la temperatura, así como que el

catalizador CB proporcionamayores rendimientos, pero solo a temperaturas altas.

EstopuedeobservarsedeunaformamásvisualenlaGráfica4,dondemuestracomo

en la interacción de los tres factores el rendimientomás alto, 89%, se da con un

tiempoelevado,temperaturaelevadaycatalizadorCB.

32

2.4.DISEÑOFACTORIALCOMPLETO3k

Losdiseñosfactoriales3kcuentanconunnúmerodefactoresk, loscualestienen

tresnivelescadauno.Porloqueunaréplicacompletadeestediseñotendráunnúmero

deobservaciones iguala3k.Estonosmuestraunadesventajaconrespectoaldiseño

factorial2k,serequiereunmayornúmerodeexperimentosenestenuevodiseño.

Sin embargo, en experimentos en los cuales se tienen un número pequeño de

factorespuedeserunabuenaalternativa.Estediseñopermitequelarelaciónentrela

respuestaylosfactoresdeldiseñosepuedanmodelardeformacuadrática[14].

Dosde lasventajasmás importantesquemuestraestediseñosemuestrantanto

paralosfactoresdetipocontinuoenlosqueinteresaestudiarsusefectoscuadráticos,

locualserealizacuandolarespuestanoeslineal,comoparalosfactoresdiscretosque

demaneranaturaltienentresniveles,asípuedencompararseinfluenciaparacadauna

delasdiferentescombinacionesentrelosnivelesdecadafactor[15].

Aligualqueconeldiseño2kparalosdiseños3k,el32eselejemplomássencillo.

Estecuentacondosfactores,AyB,loscualestienentresnivelescadauno,-1,0y1.Así

paraanalizarunaréplicacompletadeesteexperimentoserealizalamatrizconlasnueve

combinacionesposibles.

Tabla11.Matrizdediseñoparaunaréplicacompletaparaundiseño32.Elaboraciónpropia.

OrdenStd Ordenaleatorio FactorA FactorB1 1 -1 -12 8 0 -13 9 1 -14 3 -1 05 6 0 06 2 1 07 7 -1 18 5 0 19 4 1 1

33

Estos nueve experimentos se pueden representar de forma geométrica sobre el

cuadradoquesepresentaenlaGráfica6.

Gráfica6.Representacióndeundiseño32[14]

Siendounexperimentodenréplicasentonceselmodeloestadísticodeestediseño

quedaríadelasiguienteforma:

𝑦012 = 𝜇 + 𝜏0 +𝛽1 + (𝜏𝛽)01 + 𝜀012 Ecuación14

Siendoµelefectopromedioglobal,τ^elefectodelniveli-esímodelfactorA,β`el

nivel j-ésimo del factor B, (τβ)^` el efecto de la interacción entre τ^ y β`, y ε^`b un

componentedelerroraleatorio.Coni=1,2,3;j=1,2,3;k=1,…,n[14].

Elcálculodelosefectoscuadradosparalosefectosvendrádadoporlassiguientes

ecuaciones[15]:

𝑆𝑆? =cd..F

f&− c...F

&fFf0g# Ecuación15

𝑆𝑆@ =c.h.F

f&− c...F

&fFf1g# Ecuación16

𝑆𝑆?@ =cdh.F

&− c...F

&fFf1g#

f0g# − 𝑆𝑆? − 𝑆𝑆@ Ecuación17

𝑆𝑆ig 𝑌012$ − c...F

&fF&2g#

f1g#

f0g# Ecuación18

34

𝑆𝑆k = 𝑆𝑆i − 𝑆𝑆? − 𝑆𝑆@ − 𝑆𝑆?@ Ecuación19

Al igualqueendiseño2kademásde loscálculosmencionadosanteriormente,es

muy importante la interpretación de las gráficas que corresponden al efecto de los

factores,asícomodesuscombinaciones.

2.5.EJEMPLODISEÑOFACTORIAL3k

Enesteejemplounaempresaestá investigandosobre la resistenciadelpapel

queproducenapartirdefibrademadera,enesteprocesodeproducciónelinvestigador

sabequeinfluyentresvariableslascualespuedecontrolar,estassondefibrademadera

(A),presióndeltanque(B)ytiempodecoccióndelapulpa(C).

Porelloserealizaundiseñofactorialcontresfactoresdiferentes,concentración

defibrademadera(A),presióndeltanque(B)ytiempodecoccióndelapulpa(C).El

factorA,seprobaráentresnivelesdiferentes,dadoqueesposibleajustarlavariableen

tresvaloresdiferentes,mientrasquelosfactoresByCseprobaránsoloendos.Asíen

lasiguienteTabla12semuestranlosdiferentesfactoresconsusrespectivosniveles[16].

Tabla12.Nivelesparalosfactoresdelejemplo3k.Elaboraciónpropia.

Factores Nivel(1) Nivel(2) Nivel(3)A A1 A2 A3B B1 B2

C C1 C2

Siendolamatrizdediseñoparaesteexperimento,asícomolarespuestapara

cadacombinacióndelosfactoreslamostradaenlaTabla13.

35

Tabla13.Matrizdeldiseñoparaelejemplo3k.Elaboraciónpropia.

OrdenEst OrdenCorrida TipoPt Bloques A B C Repuesta2 1 1 1 1 1 2 -18 2 1 1 2 2 2 119 3 1 1 3 1 1 911 4 1 1 3 2 1 1310 5 1 1 3 1 2 165 6 1 1 2 1 1 14 7 1 1 1 2 2 26 8 1 1 2 1 2 53 9 1 1 1 2 1 -11 10 1 1 1 1 1 -47 11 1 1 2 2 1 312 12 1 1 3 2 2 21

Con la herramientaMinitab 19, como semuestra en el Anexo I, se realiza el

análisisdeldiseñofactorial,dandocomoresultadolomostradoenlaTabla14enlacual

semuestraelanálisisdevarianzadelosfactores.

Tabla14.Valordelosefectosdelejemplo3k.Elaboraciónpropia.

Fuente GL SCSec. Contribución SCAjust. MCAjust. ValorF

Modelo 11 656,250 100,00% 656,250 59,659 *Lineal 4 640,333 97,57% 640,333 160,083 *A 2 505,500 77,03% 505,500 252,750 *B 1 44,083 6,72% 44,083 44,083 *C 1 90,750 13,83% 90,750 90,750 *

Interaccionesde2términos 5 13,750 2,10% 13,750 2,750 *A*B 2 1,167 0,18% 1,167 0,583 *A*C 2 10,500 1,60% 10,500 5,250 *B*C 1 2,083 0,32% 2,083 2,083 *

Interaccionesde3términos 2 2,167 0,33% 2,167 1,083 *A*B*C 2 2,167 0,33% 2,167 1,083 *Error 0 * * * * Total 11 656,250 100,00%

36

EnlaTabla14seobservacomolosfactoresA,CyBtienenunefectomuysuperior

alrestoenlarespuesta,porloqueestossonlosfactoressignificativos.

Todosellostienenunefectopositivo,porloquealtrabajarensusnivelesmás

altosseconseguiráunamayorresistencia.

Gráfica7.Interacciónesdelosfactoresdelejemplo3k.Elaboraciónpropia.

En laGráfica7 seobserva tambiéncomoal aumentarelniveldeAalmismo

tiempoqueelniveldeCaumentamoslaresistenciadelpapel,estoocurretambiénal

aumentarelniveldeAyniveldeB.

Por lo que se puede concluir que es importante tener en cuenta la

concentracióndelamaderaasuvezquelapresiónyeltiempo,yaltrabajarenlos

máximosvaloresseconsigueunamayorresistencia.

37

3.DISEÑODEEXPERIMENTOSFACTORIAL

FRACCIONADO

38

Los diseños factoriales fraccionados son diseños en los que el número de

experimentos es una fracción del número de experimentos para el mismo diseño

factorialcompleto.Esdecir,eldiseñofactorialfraccionado2k-pesunafraccióndeldiseño

factorial2k.

Cuandosetieneunexperimentoconungrannúmerodefactores,elnúmerode

experimentosarealizarenunaréplicaparaundiseñofactorialcompletodeesteesmuy

elevado. Por ejemplo, en un diseño con 7 factores, se necesita realizar 27=128

combinaciones,esdecir,realizar128experimentos.

En la práctica, existen unos recursos limitados con los que cuenta el

experimentadorpararealizarelexperimento,porloquenosiempreesposiblerealizar

un número elevado de experimentos. Por ello, para poder experimentar con tantos

factores,serecurrealdiseñofactorialfraccionado.

Los diseños factoriales fraccionados, debido al exceso de información que

acumulan los diseños factoriales completos cuando hay muchos factores, permiten

sacrificar información poco importante reduciendo el número de experimentos a

realizar.

Larazónprincipalporlaqueusarestosdiseñoseslamencionadaanteriormente,

lalimitaciónderecursospararealizarungrannúmerodeexperimentos,sinembargo,

existendiversasrazonesamayoresporlasqueutilizarlos[6].

- Redundancia del diseño en ausencia de interacciones de alto orden.

Diferentes experiencias con estudios que contienenmuchos factores han

conducidoalaobservacióndequelasinteraccionesdealtoordentiendena

tenerunefectodespreciableenelexperimento.Enlapráctica, losefectos

principalestiendenasermayoresquelosefectosdeinteraccionesentredos

factores, quea su vez sonmayoresque las interaccionesentre tres, y así

sucesivamente. Por este motivo el diseño factorial completo tiene cierto

gradoderedundanciasielinvestigadorpuedeestarmásomenossegurode

quelasinteraccionesdealtoordensondespreciables.

39

- Hipótesis de diversidad de factores. El uso de diseños factoriales

fraccionados en la investigación industrial y en la biotecnología se basa

primordialmenteenlahipótesisdediversidaddefactores.(Diamond1989,

Haaland1989).Ladiversidaddefactoressuponequeunapequeñafracción

delosefectosdelosfactoresessignificativaparaunproceso,mientrasque

elrestodelosefectosesinerteparalospropósitosprácticos.

Eléxitodeestosdiseñossebasaentresideasclaves[7].

1. Elprincipiodeefectosesparcidosoescasezdeefectos.Cuandoexisten

varias variables, factores, es posible que el sistema se encuentre

dominadoprincipalmenteporlosefectosprincipalesylasinteracciones

deordeninferior.

2. Lapropiedaddeproyección.losdiseñosfactorialesfraccionadospueden

proyectarse en diseñosmás fuertes en el subconjunto de los factores

significativos.

3. Experimentación secuencial. Es posible combinar las corridas de dos

diseños factoriales fraccionados para ensamblar secuencialmente un

diseño más grande y así estimar los efectos de los factores y las

interaccionesdeinterés.

Cuandosellevanacaboestetipodediseñoexistendiferentestiposderesolucióncon

laquenospodemosencontrar.Sinembargo,lasresolucionesmásimportantessonla

resoluciónIII,IVyVenparticular[7].

§ DiseñoderesoluciónIII.Setratadediseñosenloscualesningunodelosefectos

principalesesaliasdeotroefectoprincipal,peroloefectosprincipalessisonalias

de las interacciones de dos factores y algunas de las interacciones entre dos

factoresesaliasdeotrasinteraccionesentredosfactores.Unejemplodeesta

resolucióneseldiseño23-1.

§ DiseñoderesoluciónIV.Setratadediseñosenloscualesningunodelosefectos

principales es alias de otro efecto principal ni de las interacciones de dos

40

factores,perolasinteraccionesdedosfactoressisonaliasentresí.Unejemplo

deestaresolucióneseldiseño24-1.

§ DiseñosderesoluciónV.Setratadediseñosenlosqueningunodelosefectos

principales ni de las interacciones de dos factores son alias de otro efecto

principalointeraccióndedosfactores,perolasinteraccionesdedosfactoressi

sonaliasdelasinteraccionesdetresfactores.Unejemploeseldiseño25-1.

3.1.DISEÑOFACTORIALFRACCIONADO2k-1

Unodelosdiseñosmásutilizadosdentrodeldiseñofactorialfraccionadoesel

medio,esdecireldiseño2k-1,estosdiseñostienenunnúmerodefactoreskcondos

nivelescadaunoyparaunaréplicadeestosserequiereunnúmerodeexperimentos

iguala2k-1,esdecir,lamitaddeexperimentosqueparaunaréplicacompleta.

Eldiseñomássencillodentrodeldiseño2k-1eseldiseño23-1,dadoqueparaeste

diseñok>2notendríasentidorealizarundiseñofraccionadoparaunexperimentocon

solodosexperimentos.

Parallevaracaboeldiseñoesnecesariorealizarlamatrizdeeste,paraellose

realizanlascolumnasdetodoslosfactoresmenoselúltimocomosifueraunamatriz

para un diseño factorial completo, como se ha explicado en apartados anteriores.

Posteriormente,secompletarálacolumnadelúltimofactorcomolainteraccióndelos

otrosdosfactores.

Tabla15.Ejemplomatrizdeundiseño23-1

Orden Factores Interacciones

Std Aleatorio A B C AB AC BC ABC1 1 - - + + - - +2 8 + - - - - + +3 4 - + - - + - +4 3 + + + + + + +

41

Observando la Tabla 15 en la matriz del diseño hay factores que están

confundidos,esdecir,“alias”.Estosfactoressonlosquetienenlamismasecuenciade

signosensuscolumnas.

La columna de la interacción ABC es toda positiva, esto significa que es la

identidad. Esta información es útil para averiguar cuáles son los factores que están

confundidosapartirdeladefiniciónABC=I.

SesabequeAB=C,dadoqueestoesdeloquesepartealahoraderealizarlamatrizdel

diseño23-1.

Parasabercuálessonlosfactoresconfundidossepartedelaspropiedadesque

indicanqueIX=X,XX=I,siendoXcualquierfactor.Porloquesepuedeobservar:

A=A*I=A*ABC=AA*BC=I*BC=BC

B=B*I=B*ABC=BB*AC=I*AC=AC

C=C*I=C*ABC=CC*AB=I*AB=AB

Por lo que A está confundido con BC, B está confundido con AC y C está

confundidoconAB.

3.2.DISEÑOFACTORIALFRACCIONADO2k-p

El diseño 2k-p contendrá un número k de factores, k>2, al igual que se ha

explicado anteriormente, pero podrá ser cualquier fracción, es decir, p puede ser

cualquiervalor.

Lamatrizparaestediseñoserealizarádelamismaformaquelamatrizdeldiseño

2k-1peroseránelnúmeropdefactoreslosqueseancombinacióndelrestodefactores.

Aestoseledenominageneradordeldiseñoyesteseráelegidoporelexperimentador.

42

Porejemplo,paraundiseñodesietefactoresconunafraccióndeuncuarto,es

decir,undiseño27-2=25,seconstruyelamatrizdeformaquelascolumnasdeloscinco

primerosfactoresseráigualquelamatrizparaundiseñocompleto25,mientrasquelos

dosúltimosfactores,FyG,seránlacombinacióndelosotrosfactores.Elgeneradormás

utilizadoparaestediseñoserá:F=ABCyG=ABD.

Acontinuación,enlaTabla16semuestranlosgeneradoresmásutilizadospara

diferentesdiseños[7].

Tabla16.Generadoresmásutilizadosenlosdiseñosfraccionadosfactoriales2k-p.Elaboraciónpropia.

Númerodefactores,k Fracción Númerodecombinaciones Generadoresdediseño3 23-1 4 C=AB 4 24-1 8 D=ABC

525-1 16 E=ABCD 25-2 8 D=AB E=AC

6

26-1 32 F=ABCDE 26-2 16 E=ABC F=BCD

26-3 8D=ABE=AC

F=BC

7

27-1 64 G=ABCDEF

27-2 32 F=ABCD G=ABDE

27-3 16E=ABCF=BCD

G=ACD

27-4 8D=ABE=AC

F=BCG=ABC

8

28-2 64 G=ABCD H=ABEF

28-3 32F=ABCG=ABD

H=BCDE

28-4 16E=BCDF=ACD

G=ABCH=ABD

9

29-2 128 H=ACDFG J=BCEFG

29-3 64G=ABCDH=ACEF

J=CDEF

29-4 32F=BCDEG=ACDE

H=ABDEJ=ABCE

29-5 16E=ABCF=BCDG=ACD

H=ABDJ=ABCD

43

3.3.EJEMPLODISEÑOFACTORIALFRACCIONADO

Enunaplantadeproduccióndepiezasdeplásticopor inyecciónserealizóun

experimentoparamejorarlacalidaddelaspiezasreduciendosurugosidad.Paraellose

realizaron pruebas del material que consistían en fabricar 100 piezas y obtener el

númeromedioderugosidaddeestas.

Paraesteexperimentosedecidióestudiar lasdiferentesvariablesquepodían

afectaralprocesodirectamente,consideradasporunexperto.Estasvariablesfueron:

A:Recorridodeinyección E:1ªVelocidaddeinyección

B:Temperaturademolde F:2ºVelocidaddeinyección

C:Temperaturadefundido G:Puntodecambio

D:Aperturadelaboquilla H:Fuerzadecierredelmolde.

Estas variables serían los factores del diseño factorial, cada una de ellas era

posibleajustarlaendosvaloresdiferentes,porloqueseríaundiseñofactorialconocho

factoresydosnivelescadauno.

Sin embargo, no había recursos suficientes para realizar un diseño factorial

completocontantosfactores,porloquesellevóacaboundiseñofactorialfraccionado.

Eldiseñoutilizadofueeldiseñofactorialfraccionado28-4,talycomosemuestraenla

Tabla17.Tabla17.Resumendeldiseñoparaelejemplofactorialfraccionado.Elaboraciónpropia.

Factores:8 Diseñodelabase:8;16 Resolución:IVCorridas:16 Réplicas:1 Fracción:1/16Bloques:1 Puntoscentrales:0

Generadoresdeldiseño:E=BCD;F=ACD;G=ABC;H=ABD

Lamatrizdediseño,asícomolosresultadosderugosidadqueseobtuvieronse

recogenenlaTabla18,estosvaloressesacaronapartirdelaherramientaMinitab19,

elusodeesteseexplicaenelAnexoI.

44

Tabla18.Matrizdediseñoparaelejemplofactorialfraccionado.Elaboraciónpropia.

OrdenEst OrdenCorrida A B C D E F G H Respuesta4 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 32 2 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 5,212 3 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 313 4 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 3,38 5 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1,915 6 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 06 7 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 45 8 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 5,310 9 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 5,83 10 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 4,314 11 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 5,816 12 1 1 1 1 1 1 1 1 011 13 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 61 14 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 6,29 15 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 6,37 16 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 0

Estos resultados seanalizaronconMinitab19,obteniendo losvaloresparael

efectodelosdistintosfactores,asícomodesuscombinaciones,talycomosemuestra

enlaTabla19.

Tabla19.Efectodelosfactoresdelejemplodeldiseñofactorialfraccionado.Elaboraciónpropia.

Término Efecto Coef Término Efecto Coef

Constante 3,756 H -0,9875 -0,4937A -0,3375 -0,1688 A*B -0,2625 -0,1313B -2,963 -1,481 A*C 1,1125 0,5562C -2,438 -1,219 A*D 0,08750 0,04375D 0,03750 0,01875 A*E -0,4375 -0,2187E -0,3375 -0,1688 A*F -0,5625 -0,2813F 0,3875 0,1938 A*G -1,1625 -0,5812G 0,4375 0,2188 A*H -0,08750 -0,04375

Siseobservadeformagráficaestosvaloresseobtienenconclusionesmásclaras,

porloquesegraficóenMinitab19losvaloresdeestosefectos.

45

Gráfica8.DiagramadeParetoparalosefectosdeldiseño

factorialfraccionado.Elaboraciónpropia.

Gráfica9.Gráficanormaldelosefectosparaelejemplodel

diseñofactorialfraccionado.Elaboraciónpropia.

En laGráfica8y Gráfica9seobservacomo losefectosByCson losefectos

significativos, es decir, el efecto de estos factores es mayor que el del resto. Sin

embargo,H,AGyACtambiéncausanunefectoimportanteenelexperimento.

SeobservacomoByCtienenunefectonegativoenlarespuesta,loquesignifica

quealaumentarelniveldeestosdosfactoresdisminuyelarespuesta,larugosidad.Esto

mismoocurreparaelfactorH.

ParaobservarelefectodelasinteraccionesAGyACsegraficanporseparado,tal

ycomoseveenlasGráfica10.

Gráfica10.Interaccionesdelosefectosparaelejemplodeldiseñofactorialfraccionado.Elaboraciónpropia.

EnlaGráfica10seobservaqueseobtienenlasmenoresrugosidadesajustando

elfactorCenelnivelmásalto,mientrasqueelfactorAsemantienetambiénensunivel

46

másaltos.TambiénseobservaqueparaobtenerlamenorrugosidadGdebeestarenel

nivelmásaltomientrasqueAsemantieneenestetambién.

Sepuedeconcluirasí,quelascondicionesoperativasóptimas,parareducirla

rugosidaddelmaterial,seencuentrancuandosemantienelosfactoresB,C,H,GyA

ensusmayoresniveles.El restode factoreses indiferenteenelnivelenelquese

encuentren, dado que tienen un efecto muy pequeño sobre la rugosidad en

comparaciónconelresto.

3.4.DISEÑOFACTORIALFRACCIONADO3k-p

Estediseño3k-pcontendráunnúmerokdefactores,k>2,contresnivelescada

unoyunnúmerodeexperimentosqueseráfraccióndeldiseñofactorial3k.

En este tipo de diseño con tres niveles es aún más necesario el diseño

fraccionado, dado que es necesario más experimentos con un número de factores

menor. Sin embargo, la estructura de estos diseños, debido a los alias que crea, es

bastantecomplicada.

Para construir estediseño se realizaunaparticióndel diseño3k completoen

bloques.Seconstruyeunafraccióntalque #f

ldeldiseñoparap<k.Lospasosaseguir

serán:

• Enprimerlugar,seseleccionanpfactorescomointeraccionesyseusan

susefectospararealizarlaparticiónde3kcombinacionesposiblesen3p

bloques.Porloquecadabloqueseráundiseñofactorialfraccionado3k-p.

• Posteriormente, se construye la relación de definición I de cualquier

fracción, que constará de los p efectos elegidos inicialmente y de sus

interacciones generalizadas. El alias de cualquier efecto principal o

interacciónseobtendráapartirdelamultiplicacióndemódulo3porIe

I2.

47

Estopuedetraducirseporejemploeneldiseño34-2,elcualtienecuatrofactores

contresnivelescadaunoysufracciónserealizacomo #f

$= #

m,esdecir,unanovena

partedeldiseño34.

• Seseleccionandosfactorescomointeracciones,EyF,dadoquep=2en

estediseño,asíA,BCyDseránlosfactoresprincipales.

• Se seleccionan las interacciones E=AB2C y F=BCD, como los dos

componentes de interacción elegidas para construir el diseño. Las

interaccionesentre ambosefectos seránEF=AC2Dy EF2=ABD2,por lo

quelarelacióndedefiniciónseráI=AB2C=BCD=AC2D=ABD2.

EstodarálugaracuatroaliasIyotroscuatroaliasI2paracadaunodelosefectos

A,B,CyD.Porloquealahoradeestudiarlosresultadostieneunagrancomplejidad.

48

4.BLOQUEODELDISEÑOFACTORIAL

49

Como se ha explicado anteriormente, los diseños factoriales se utilizan

ampliamenteenmuchossectores.Sepuedeverunproductooprocesocomounacaja

negraenlaqueentranlosfactoresqueafectanalarespuestadesalida.Sinembargo,

algunos de los factores no pueden ser identificados o controlados, pero afectan

igualmente a la respuesta, lo cual hace que esta tenga una gran variabilidad. En

cualquier experimento se busca que la respuesta sea óptima con una variabilidad

mínima,poreso,enocasiones,esnecesarioutilizarherramientasqueminimicenesta

variabilidad.

Unodelosejemplosmásclarosdefactoresqueafectanaunexperimentopero

quenopueden ser controlados generalmente son las condiciones ambientales. Para

disminuir la variabilidad de los experimentos, la varianza del error experimental es

necesarioquelascondicionesdeesteseanlomáshomogéneasquepuedan,locualno

siempreesposiblesinlaayudadeherramientas.Unadelasmásutilizadasparatrabajar

encondicioneshomogéneaseselbloqueodelosfactores.

Elmétodo agrupa las unidades experimentales, los factores, en bloques para

comparar los tratamientos en medios más homogéneos, eliminando así, de forma

sistemática, el factor perturbador sobre las comparaciones estadísticas entre los

tratamientos.Paraestoesnecesariotambiénunabuenaeleccióndeloscriteriospara

bloquear, sus categorías generales son: proximidad, características físicas, tiempo y

administracióndetareasenelexperimento.[5]

El objetivo de este diseño consiste en lograr una mayor precisión en los

resultadosdelexperimento.

Estaherramientaconsisteenasignarunsubconjuntodelostratamientosacierto

nivelderuidoquequeremostratar,esdecir,seagruparanlosexperimentosrealizados

bajo condiciones iguales en diferentes bloques. Cada conjunto de condiciones no

homogéneasdefiniráunbloque.

50

Porejemplo,enunexperimentocondosfactoresyunnúmeroderéplicasigual

atrestendremosquesolosepuedenrealizarcadadíacuatroexperimentos,porloque

se han realizado cada réplica en diferentes días con unas condiciones ambientales

diferentes.Esporestoquelosconjuntosdecondicionesnohomogéneasserántres,es

decirsedividiráelexperimentoentresbloques.Estobloquesvendrándefinidosporel

día en el que se realiza el experimento y cada uno de los bloques tendrá las 22

combinacionescorrespondientes.

Con esta herramienta además de la varianza de cada uno de los efectos,

calculadascomoenlaEcuación20,obtendremoslavarianzadelosbloquescomo:

𝑆𝑆@nopqrs =@dF

$M− t…F

$M&u0g# Ecuación20

Siendomelnúmerodebloques,Bilasumadelascombinacionesdecadaunode

losbloquesey…lasumadecadaBi.

Estavarianzanosmostrarásielefectodelbloqueoesútilono.[6]

4.1.CONFUSIÓNDELDISEÑOFACTORIAL

Porotro lado, no siemprees sencillo dividir los experimentos enbloques. En

ocasioneses imposiblerealizarunaréplicacompletaenunbloque,enestoscasosse

utiliza una técnica denominada confusión. Esta técnica hace que la información de

ciertosefectosseaindistinguibledelosbloquesoestéconfundidaconlosbloques.

4.1.1.CONFUSIÓNDELDISEÑOFACTORIAL2kENDOSBLOQUES

Esteapartadoseexplicaráapartirdeuncasoparaquesucomprensiónseamás

sencilla.

51

Se supone una investigación con dos factores a dos niveles cada uno. Este

experimento requieredeunnúmerodehoraselevadoquepermite realizar solodos

combinaciones cada día, debido a los recursos limitados del laboratorio, por lo que

tendremos que decidir qué combinaciones se realizan cada día. Cada conjunto de

combinaciones por día serán los denominados bloques, habrá dos bloques en esta

investigación. Lamatriz del diseño factorial correspondiente sería lamostrada en la

Tabla20ylosbloquespodríanfijarsededosmanerascomosemuestraenlaGráfica11

Tabla20.Matrizdeundiseñofactorial22.Elaboraciónpropia.

Combinaciones A B AB

(1) - - +a + - -

b - + -

ab + + +

Gráfica11.Posiblesagrupacionesdelosfactoresenbloques.Elaboraciónpropia.

LaGráfica11semuestradeformamásdetalladaenlassiguientestablas(Tabla21yTabla22),dondesepuedenobservarlasdisposicionesposiblesparaeldiseñoenbloques.

Tabla21.Disposición1paraeldiseñofactorialenbloques.Elaboraciónpropia.

Disposición1

Bloques Combinación A B AB

Bloque1(1) - - +ab + + +

Bloque2b - + -a + - -

Tabla22.Disposición2paraeldiseñofactorialenbloques.Elaboraciónpropia.

Disposición2

Bloques Combinación A B AB

Bloque1a + - -

ab + + +

Bloque2b - + -

(1) - - +

EnlaDisposición1,talycomosemuestraenlaTabla21,losefectosprincipales

noestánafectadosporlaformacióndebloquesdadoquetantoAcomoBtienenuna

combinacióndeuntratamientopositivoynegativoencadaunodelosbloques.Elefecto

52

delosbloquesylainteracciónABsinembargosiestáconfundido,dadoquesemuestra

comoencadaunodelosbloquessolocuentanconunsigno.LascombinacionesdeAB

positivas se le asignan al Bloque 1 mientras que las negativas al Bloque 2. Esta

disposiciónsacrificalainformacióndelainteracción.

EnlaDisposición2,talcomosemuestraenlaTabla22,eselefectoAelquese

muestraconfundidoconelbloque.Estadisposiciónsacrificalainformacióndeunefecto

principal.

PorloquelorazonableseráescogerlaDisposición1.

Esto puede aplicarse a cualquier diseño factorial 2k dividido en dos bloques,

escogiendo siempre que las interacciones con mayor número de factores estén

confundidasconlosbloques.

Enlosdiseñosmayoresa22,larepresentacióndelascombinacionesseráncubos

ynocuadrados.Enestecasonoseseleccionanlostratamientosquecomponenlascaras,

dadoqueseestaríafundiendolosefectosprincipalesconlosbloques.

4.1.2.CONFUSIÓNDELDISEÑOFACTORIAL2kEN2pBLOQUES

Lodescritoenelapartadoanteriorpodríaextenderseacualquierdiseñofactorial

2kconfundidoen2pbloques,dondecadabloquecontenga2k-pcombinaciones.

Los cuadrados de los efectos principales se calcularán como si no hubiera

bloques,mientras que la sumade los cuadradosde los bloques será la sumade los

cuadradosdelosefectosconfundidos.

Losbloquessugeridos,asícomolasinteraccionesconfundidasparalosdiseños

factoriales2ksonlosquesemuestranenlaTabla23.

53

Tabla23.Sugerenciadebloquesmáscomún,asícomosusconfusionesparaundiseñofactorial.Elaboraciónpropia.

4.2.CONFUSIÓNPARCIALDELDISEÑOFACTORIAL2k

Enocasionesocurrequealdividirundiseñofactorialenbloquescadaunodelos

bloques tiene una interacción diferente confundida, esto se conoce como confusión

parcial. En estos diseños pueden obtenerse información de las confusiones de los

bloquesapartirdelosotrosbloquesenloscualesnosepresentaestamismaconfusión.

Paracalcularlasumadeloscuadradosdelasinteraccionesseutilizaelefectoen

losbloquesenloscualesestainteracciónnoestáconfundida.

4.3.EJEMPLODEDISEÑOFACTORIAL2kENDOSBLOQUES

Unproductoquímicosefabricaenunenvasepresurizado.Enunaplantapiloto

sedeseaestudiarlasvariablesquesecreequeinfluyenenelíndicedefiltracióndeeste

producto.Estasson:

54

• Temperatura(A)

• Presión(B)

• Concentracióndeformaldehido(C)

• Velocidaddeagitación(D).

Cadaunadeellaspresentadosnivelesdiferentes,esdecir,sepuedenajustaren

dosvaloresdiferentesalahoraderealizarelexperimento.Elingenieroapartirdeun

diseño factorial deseamaximizar el índice de filtración. Las condiciones actuales del

proceso producen un índice de filtración alrededor de 75 gal/h, además, la

concentracióndeformaldehidoseusaenunnivelaltoyalingenierolegustaríareducir

estaconcentraciónlomáximoposible.

Sinembargo, tieneuna limitaciónen laplantapilotoparaestediseño,noes

posiblerealizar16experimentosconunsololotedemateriaprima,soloesposiblellevar

acabo8,porloqueelingenierodeciderealizarundiseñofactorialendosbloques.Para

demostrar la utilidad del diseño en bloques le introduce un efecto a este, los

experimentosdelbloque1serealizaránconmateriaprimadepeorcalidadquelosdel

bloque2,porloquelasrespuestasdelprimerbloqueserás20unidadesmásbajasdelo

queseobtendríautilizandolamateriaprimademejorcalidad.

La matriz de este diseño, así como los resultados de filtración obtenidos se

muestranenlaTabla24yTabla25enlaquesepuedeobservarlarespuestadelbloque

1restandolas20unidadescorrespondientes.

Tabla24.Resumendeldiseñofactorialdelejemploendosbloques.Elaboraciónpropia.

Factores: 4 Diseñodelabase: 4;16 Resoluciónconbloques: VCorridas: 16 Réplicas: 1 Bloques: 2 Puntoscentrales(total): 0 Bloque:ABCD

55

Tabla25.Matrizdelejemplodediseñofactorialendosbloques.Elaboraciónpropia.

OrdenAleat OrdenCorrida PtCentral Bloques A B C D Respuesta4 1 1 1 1 -1 1 -1 406 2 1 1 1 1 -1 -1 553 3 1 1 -1 1 1 -1 608 4 1 1 -1 -1 1 1 451 5 1 1 1 -1 -1 1 805 6 1 1 -1 -1 -1 -1 252 7 1 1 1 1 1 1 767 8 1 1 -1 1 -1 1 256 1 1 2 -1 -1 -1 1 438 2 1 2 -1 1 -1 -1 482 3 1 2 1 -1 1 1 863 4 1 2 1 1 -1 1 1045 5 1 2 1 1 1 -1 651 6 1 2 -1 1 1 1 704 7 1 2 1 -1 -1 -1 717 8 1 2 -1 -1 1 -1 68

ElefectodelBloquesepuedecalcularapartirdeladiferenciapromediodelas

respuestasentrelosdosbloquesmenoselefectoquetendríalainteracciónABCD(sin

realizareldiseñodebloques).

𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒 = 𝑦C# − 𝑦C$ − 𝐴𝐵𝐶𝐷 =4066 −

5558 − 1,375 = −20

Alrealizarelanálisisdeldiseñofactorialobtenemoslossiguientesresultados.

Gráfica12.Grafícanormaldelosefectosdelejemplodediseñofactorialenbloques.Elaboraciónpropia.

Gráfica13.DiagramadeParetodelosefectosdelejemplodediseñofactorialenbloques.Elaboraciónpropia.

56

EnlasGráfica12yGráfica13,seobservacomolosfactoresA,B,C,D,ACyAD,

sonlosfactoresconunefectosignificativo.Elfactorconmásefectoenlarespuestaes

elfactorA,elcualtieneunvalorpositivo,loquesignificaquealaumentarelnivelde

esteaumentalarespuesta,elíndicedefiltración.

ElefectoB también tienenunefectopositivo,por loqueal igualqueparael

factorA,alajustarloensunivelmásaltoaumentamoselíndicedefiltración.

LosefectosCyDtienenunefectosignificativopositivotambién,sinembargo,es

mayorelefectodesusinteraccionesconelfactorA,porloqueparapoderllegaruna

conclusiónhayqueobservardequémanerainteraccionanconA.Estopuedeobservarse

enlasiguienteGráfica14.

Gráfica14.Interaccionessignificativasdelejemplodediseñofactorialenbloques.Elaboraciónpropia.

SeobservacomoparaunnivelaltodeAlasmejorescondicionessonunnivel

bajodeCyunnivelaltodeD,estollevaaunmayoríndicedefiltración.

Por loquesepuedeconcluirque lascondicionesóptimasparaconseguirun

mayoríndicedefiltraciónsedarántrabajandoconlosfactoresA,ByDensusniveles

másaltosmientrasqueconCensunivelmásbajo.

Siserealizaraestediseñofactorialsinbloques,comolosochoprimerostendrían

unefectoconunamagnitudde-20,elresultadohubierasidomuydistinto.Eldiseñode

bloqueshacequeestonoocurrapudiendoasí trabajar con losdos lotesdemateria

prima.

57

ESTUDIOAMBIENTAL

58

Estetrabajoesunarevisiónbibliográfica,porloqueelúnicoimpactoambiental

que causa es de forma indirecta, provocado por el consumo eléctrico. Dado que el

procesodeestaenergíaeléctricaqueseutilizacausaunimpactoambientalenlatierra.

La producción de esta energía es una de las causas más importantes de

emisionesdegasesdeefecto invernadero.Segúnseaelorigendeestaenergía tiene

tambiénmásimpactosambientales[17].

• Productosquímicosqueseemitenenlascentralestérmicasdecarbóny

derivados de petróleo. Estos pueden provocar lluvias ácidas que es

causante de deterioro y destrucción de bosques, lagos y otros

ecosistemas.

• Residuos radiactivos provocados por las centrales nucleares, estos

suponenunagranamenazaparaelmedioambientedadoqueexisteuna

incapacidadactualdegestionarlos.

Parapoderestimarunvalordeestasemisionesdegasesdeefectoinvernadero

seaplicaunfactordeemisióndeCO2queseatribuyealsuministroeléctrico,esteserá

de181gCO2/kWh[18].

Seconsideraunvalormediodeconsumoanualporpersonade5.500kWh/año

[18].

PorloquesepuedecalcularunaemisiónanualdeCO2de:

5.500 2|}

Bño𝑥0,181 2�[�F

2|}=995,5 2�[�F

Bño

EsteseráelvalordelaemisióndeCO2causadaporelestudioquesehallevado

acabo,queproduceunmayorimpactoambiental.

59

ANÁLISISECONÓMICO

60

Altratarsedeunarevisiónbibliográficaelanálisiseconómicoserealizadeforma

sencilla,dividiendolosgastosquepuedegenerareltrabajoenmaterialutilizadoycoste

delpersonal.

Eltiemporequeridopararealizarestetrabajohasidode300horas,conunritmo

detrabajode40hsemanales,8horasy5díasalasemana,sepuedeaproximarados

mesesdecontratodetrabajoparauncálculomássencillodeloscostes.

Materialnecesario

Enestecasonoserequiereunmaterialcomplejoparallevaracaboestetrabajo

yaqueloslibrosutilizadossepuedenencontraronlineoenbibliotecasdeusopúblico,

porloquenotienencostealguno.Sinembargo,siesnecesariounordenadorconacceso

ainternetparallevaracabolasbúsquedas,asícomolalicenciadeMinitab19parallevar

acabolosejemplos.

Pararealizarelcostedelmaterialsesuponeunaoficinadeconsultoríapequeña,

50m2,con10empleadosyyaenmarcha.

Loscostesincluidosencostesdematerialson:

Ø Ordenadorportátil.Tabla 26. Factura ficticia del ordenador portátil. Elaboración propia.

Articulo Cantidad Precio TotalarticuloOrdenadorportátil 1ud 1000€/ud 1000€Baseimponible %IVA CuotaIVA Totalfactura

1000€ 21 210€ 1210€Totalfactura Vidaútil Costemensual COSTETOTAL

1210€ 5años 20,16€/mes 40,33€

61

Ø FacturaInternet.Tabla 27. Factura de Internet ficticia. Elaboración propia.

Ø LicenciaMinitab19Tabla 28. Factura de compra Licencia Minitab 19. Elaboración propia.

Ø SuministrodeAguaTabla 29.Factura de suministro de agua bimestral ficticia. Elaboración propia.

Total(baseimponible18%) 30,65IVA(18%) 5,52

Total(baseimposible8%) 5,00IVA(8%) 0,40

Conceptosnosujetosoexentodeimpuestos 1,20Totalfacturamensual 42,77€

Totalfactura 85,54€Empleados 10

COSTETOTAL 8,55€

Producto Cantidad Precio TotalproductoLicenciaMinitab19(1usuario) 1 1243,8€/ud 1243,8€

Baseimponible %IVA CuotaIVA Totalfactura[19]1243,8€ 21 261,2€ 1505€

Totalfactura Vidaútil Costemensual COSTETOTAL1505€ 1año 125,4€/mes 250,8€

Consumo Volumen(m3) Preciounitario(€/m3) Importe(€) IVACuotadeservicioconsumo

Tramohasta12m3

12

0,6215,347,43

10%10%

Suministrodeagua 22,77 Tramohasta12m3

Canóndeagua 12 0,495,925,92

10%

IVAdel10% 2,87 TOTALFACTURA 31,56

TasaMetropolitanaTratamientodeResiduosMunicipales 4,79 TOTALIMPORTEFACTURA 36,35

Empleados 10 COSTETOTAL 3,63

62

Ø SuministrodeenergíaTabla 30. Factura de suministro eléctrico ficticia. Elaboración propia.

Concepto Cálculos Importe

Facturadelconsumo 1,159kWhx0,144478€/kWh 167,45

Potencia 5,5kWx61x0,05988€/kWdia 20,09

Impto.Electricidad 187,54€*1,05113*4,864% 9,59

Subtotal 197,13

IVA(21%) 41,39

TOTALFACTURA 238,52€

Empleados 10

COSTETOTAL 23,85€

AsíloscostestotalesdematerialseránlosmostradosenlaTabla 31.

Tabla 31. Coste de material. Elaboración propia.

Material Costetotalporempleado

Ordenador 40,33€

Accesoainternet 8,55€

LicenciaMinitab19 250,8€

Agua 3,63€

Electricidad 23,85

TOTAL 327,16€

Costepersonal

EnestecasoesnecesarioelcontratodeunaIngenieraQuímica,paraquellevea

caboeltrabajo.Loqueconllevalossiguientesgastosparaunaempresa:

Ø Seguridad social de la persona contratada y sus prestaciones, es obligatorio

pagarunporcentajedelsalariobrutoporcadaunodelostrabajadoresquese

contrata.Estosueleserun31%delsalariobrutoparaoficinas.

63

Ø Salario bruto del empleado, en este caso será de 15 €/h. Y como se ha

mencionadoanteriormente,40h/semanaysuponiendouncontratode2meses.

AsíloscostesdepersonalseránlosmostradosenTabla 32.

Tabla 32.Coste del personal. Elaboración propia.

Salariobrutoempleado 5.229€

Seguridadsocialyprestaciones(31%) 1.621€

TOTAL 6.850€

Sumandoloscostesdelmaterialrequeridoyloscostesdelpersonal,seestipulan

unoscostestotalespararealizarelproyectode7.177,16€

64

CONCLUSIÓN

65

Con el estudio previo se puede concluir que, el método de diseño de

experimentosfactorialesdegranutilidadparacualquierprocesodeingenieríaquímica,

tantoen la fasededesarrollocomopara lamejoradelprocesoyaenmarcha.Dicho

métodoeliminalanecesidaddeunestudiodepruebayerror,permitiendolaadaptación

delosprocesosylaoptimizacióndesuscondiciones.

Esteesunaherramientaqueofrecedeformaclaraysencillasolucionesenel

diseño de experimentos, ahorrando tiempo y recursos, así como proporcionando al

experimentovalidez,precisiónyeficacia.

Cuandoestesoftwareseutilizadeformaadecuada,esdecir,cuandoseadapta

al experimento y a los recursosque tienea sualcanceel experimentador, sepuede

conseguirunresultadoóptimo,olomáscercaposibledelóptimo.Estosedebeaquese

puedenmodelarlosparámetros,enlosquesetienequemantenerelexperimento,de

unaformasencilla.

Además, con este trabajo se ha podido concluir también, que existen

experimentos en los que si solo se estudian las variables independientes se llega a

conclusioneserróneas.Porelloesmuyimportanteeldiseñodeexperimentosfactorial,

elcualnosmuestraelefectode las interaccionesytodas lascombinacionesposibles

entrelasvariables,quesínosllevaarespuestasválidas.

66

BIBLIOGRAFÍA

67

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69

19.”MinitabStatisticalsoftware”,Minitab.com,2020,https://www.minitab.com/es-

mx/products/minitab/pricing/

70

ANEXOI

71

Minitab 19 es una herramienta muy sencilla de utilizar e intuitiva para los

ejemplosqueenesteTrabajodeFindeMástersemuestran.

Enprimerlugar,esnecesariocrearunnuevodocumento,yenesteseleccionar

enEstadísticasàDOEàFactorialàCreardiseñofactorial.

Unavezseleccionadoesto,dependiendodelejemploseseleccionaráundiseño

u otro. En Minitab 19 solo es necesario introducir el número de factores que se

estudiarán y el tipo de diseño que se requiere. Para elloMinitab 19 cuenta con las

distintasopcionesquesepuedenseleccionardeformamuysencilla,comosemuestra

enlaGráfica 15.

Gráfica 15.Crear diseño factorial. Minitab 19.

En el botón de diseños que se muestra en la Gráfica 15 se seleccionan

“Diseños..”,enladerechadelaventana,aquíaparecerándiseñoscomoelfactorialylos

bloquesquesedesean,comopuedeverseenlaGráfica 16.

Gráfica 16.Opciones de diseño. Minitab 19.

72

Unavezseseleccionatodoeldiseño,Minitab19muestralamatrizdeldiseñoen

laparteinferiordelapantalla,enestapartehayqueañadirunanuevacolumnaqueserá

dondeseescribalarespuestadelexperimentoparacadaunadelascombinacionesde

losfactores.Conestoúltimoestarácreadoeldiseño.

Unavez realizadoeldiseñoseprocedeaanalizarlo.Paraelloen laspestañas

superiores hay que seleccionar Estadísticasà DOEà Factorialà Analizar diseño

factorial.

Gráfica 17.Análisis del diseño. Minitab 19.

AlseleccionarelanálisisapareceunapestañacomolamostradaenlaGráfica 17,

hayqueseleccionarcualserálarespuestaaanalizar,elnombrequeselehayapuestoa

la respuesta, rugosidad, rendimiento, etc. Enestapestaña también se selecciona las

gráficasquesequierenanalizar,comopredeterminadasestántantolagráficanormal

comoeldiagramadeParetoquesonlasqueseutilizarán,talycomosepuedeobservar

enlaGráfica 18.

73

Gráfica 18. Tipos de gráficas para el análisis del diseño.Minitab 19.

Alaceptaresteanálisis,Minitab19nosmostraráunresumendenuestrodiseño,

así como el efecto de cada una de las combinaciones en una tabla. Nos mostrará

tambiénunanálisisdevarianzaenlamayoríadecasosylaestructuradealiasdenuestro

diseño.Además,enesta selecciónMinitab19 tambiénmuestra la gráficanormalde

efectosyeldiagramadeParetodeestoscomohemosdeterminadoanteriormente.Con

esto podemos conocer de forma sencilla los efectos significativos.Que será los que

tenganunvalordeefectoconsiderablementemayoralrestopor loqueaparecenen

rojoenlagráficanormaldeefectososuperanlalíneadereferenciaeneldiagramade

Pareto.

Minitab19tambiéntienelaopciónderealizarmásgráficasademásdelasdos

mencionadasanteriormente,paraelloesnecesario seleccionarEstadísticasàDOEà

FactorialàGráficasfactorialesoGráficasdecubo…dependedelaquesenecesite.En

estapestañanosmostrarálaopcióndeelegircualesfactoresycombinacionesgraficar.