Diseño de la Cimentación de una Bomba Centrífuga ...

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN DE AREQUIPA

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

Diseño de la Cimentación de una Bomba Centrífuga Horizontal Empleando el Método del Semiespacio Elástico

TESIS PRESENTADA POR:

Diego Andre Carlo Maldonado Pacheco

Lucia Beatriz Figueroa Tapia

Para optar por el título profesional de:

Ingenieros Civiles

ASESOR:

Dr. Ing. Calixtro Yanqui Murillo

Arequipa – Perú

2020

2

DISEÑO DE LA CIMENTACIÓN DE UNA BOMBA CENTRÍFUGA

HORIZONTAL EMPLEANDO EL MÉTODO DEL SEMIESPACIO

ELÁSTICO

Presentado a la Escuela Profesional de Ingeniería Civil en cumplimiento

de los requerimientos para optar el título de:

Autores:

Ingenieros Civiles

Bach. Diego Andre Carlo Maldonado Pacheco

Bach. Lucia Beatriz Figueroa Tapia

Aprobados por: …UNANIMIDAD………

Jurado de tesis

Nombres y Apellidos Firma

…………………….

…………………….

…………………….

Ing. Fernando Ubaldo Enciso Miranda

Ing. Nestor Tupa Fernandez

Ing. Jorge Rosas Espinoza

AREQUIPA – PERÚ

2020

3

Agradecimiento

Deseamos expresar un sincero agradecimiento a nuestro asesor, el Ing. Calixtro

Yanqui Murillo por sus valiosos, constructivos y útiles comentarios, correcciones y

consejos brindados en todas las etapas de esta tesis y por el continuo suministro de

libros referentes al tema.

También queremos dar las gracias a todas las personas que fueron promotoras

y partícipes de este proyecto; gracias a nuestros padres, a cada maestro de la

universidad, por sus aportes y apoyo, que, de manera directa o indirecta, contribuyeron

en nuestro proceso de formación profesional y culminación de esta tesis.

4

RESUMEN

La presente tesis describe el análisis y diseño de la cimentación de una bomba

centrífuga horizontal empleando el método del semiespacio elástico.

El método aplicado considera un oscilador mecánico vibrante, sobre un bloque

rígido de base circular, apoyado a su vez en un semiespacio elástico que idealiza al

suelo y su impedancia asociada a cada GDL; el mismo que tiene como origen

las investigaciones de Lamb, Lysmer, Hall, Woods y Whitman, consolidados

en los modelos de Richart, Veletsos y Verbic, siendo estos puntualizados en

el Reporte ACI 351.3R-04 y en el que está basado la presente tesis.

Así mismo el procedimiento de cálculo está enfocado al diseño de una

cimentación tipo bloque, bajo los efectos dinámicos de las fuerzas y momentos

desbalanceados provenientes del funcionamiento de una maquinaria de tipo rotativa,

traducidas en amplitudes de vibración que deben ser controladas, mediante un

adecuado dimensionamiento de la cimentación, con la finalidad de garantizar un

funcionamiento del sistema, estable, seguro y eficiente.

Palabras Clave: Cimentación, vibración, maquinaria, dinámica de suelos,

dinámica de estructuras, método del semiespacio elástico.

5

ABSTRACT

This thesis describes the analysis and design of the foundation of a horizontal

centrifugal pump using the elastic semi-space method.

The method applied considers a vibrating mechanical oscillator, on a rigid block

with a circular base, supported in turn by an elastic half space that idealizes the ground

and its impedance associated with each GDL; the same one that has as its origin the

investigations of Lamb, Lysmer, Hall, Woods and Whitman, consolidated in the models

of Richart, Veletsos and Verbic, being these specified in the ACI Report 351.3R-04 and

on which this thesis is based.

Likewise, the calculation procedure is focused on the design of a block type

foundation, under the dynamic effects of unbalanced forces and moments from the

operation of a rotating type machinery, translated into amplitudes of vibration that must

be controlled, through adequate sizing of the foundation, in order to guarantee a stable,

safe and efficient system operation.

Keywords: Foundation, vibration, machinery, soil dynamics, structure

dynamics, elastic semi-space method.

6

CONTENIDO

RESUMEN ........................................................................................................ 4

ABSTRACT ...................................................................................................... 5

CONTENIDO ................................................................................................... 6

LISTA DE TABLAS ...................................................................................... 12

LISTA DE FIGURAS .................................................................................... 15

CAPITULO I: INTRODUCCIÓN ................................................................ 19

1.1. ANTECEDENTES ........................................................................... 19

1.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ........................................ 20

1.3. JUSTIFICACIÓN ............................................................................ 20

1.4. OBJETIVOS .................................................................................... 21

1.4.1. OBJETIVO GENERAL ............................................................... 21

1.4.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ...................................................... 21

1.5. ALCANCES ..................................................................................... 21

1.6. LIMITACIONES ............................................................................. 22

CAPITULO II: GENERALIDADES DEL PROYECTO ........................... 23

2.1. TIPOS DE CIMENTACIONES ....................................................... 23

2.1.1. CIMENTACIONES TIPO BLOQUE .......................................... 23

2.1.2. CIMENTACIONES TIPO BLOQUE COMBINADO ................ 24

2.1.3. CIMENTACIONES TIPO PÓRTICO ......................................... 24

2.1.4. CIMENTACIONES SOBRE RESORTES O AISLADORES .... 25

2.1.5. CIMENTACIONES SOBRE PILOTES ...................................... 25

2.2. TIPOS DE MÁQUINAS .................................................................. 26

2.2.1. MÁQUINAS RECIPROCANTES .............................................. 26

2.2.2. MÁQUINAS DE IMPACTO ...................................................... 26

7

2.2.3. MÁQUINAS ROTATIVAS ........................................................ 27

2.3. BOMBA CENTRÍFUGA ................................................................. 28

2.3.1. CLASIFICACIÓN ....................................................................... 28

2.3.2. CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES ....................................... 28

2.3.3. BOMBA CENTRÍFUGA HORIZONTAL .................................. 28

2.4. CRITERIOS DE DISEÑO ............................................................... 29

2.4.1. PARA CARGAS ESTÁTICAS ................................................... 29

2.4.2. PARA CARGAS DINÁMICAS .................................................. 29

2.5. CÓDIGOS DE DISEÑO .................................................................. 34

2.6. INFORMACIÓN REQUERIDA PARA EL DISEÑO .................... 34

2.6.1. PROPIEDADES DEL SUELO .................................................... 34

2.6.2. CARGAS DEL EQUIPO Y CIMENTACIÓN ............................ 38

CAPITULO III: SISTEMAS DE 1GDL ...................................................... 43

3.1. SISTEMAS CON 1GDL SIN AMORTIGUAMIENTO ................. 43

3.1.1. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD ........................... 43

3.1.2. SISTEMAS SIN AMORTIGUACIÓN ....................................... 44

3.1.3. RELACIÓN FUERZA – DESPLAZAMIENTO ......................... 45

3.1.4. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE

MOVIMIENTO ........................................................................... 45

3.1.5. FRECUENCIA, PERIODO Y AMPLITUD DE MOVIMIENTO

................................................................................................... 47

3.2. SISTEMAS CON 1GDL CON AMORTIGUAMIENTO ............... 48

3.2.1. AMORTIGUACIÓN VISCOSA ................................................. 48

3.2.2. TIPOS DE MOVIMIENTOS....................................................... 49

3.2.3. SISTEMA CON AMORTIGUACIÓN CRÍTICA ....................... 49

8

3.2.4. SISTEMA SUBAMORTIGUADO ............................................. 50

3.3. RESPUESTA DE SISTEMAS DE 1GDL A EXCITACIONES

ARMÓNICAS ................................................................................. 51

3.3.1. VIBRACIÓN ARMÓNICA DE SISTEMAS SIN

AMORTIGUACIÓN ................................................................... 51

3.3.2. VIBRACIÓN ARMÓNICA DE SISTEMAS CON

AMORTIGUACIÓN ................................................................... 52

3.4. RESPUESTA MÁXIMA EN ESTADO PERMANENTE .............. 55

3.5. RESONANCIA Y FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA 55

3.6. FUERZA TRANSMITIDA A LA CIMENTACIÓN ...................... 56

CAPITULO IV: TEORÍA DEL DISEÑO DE UNA CIMENTACIÓN PARA

MAQUINARIA ............................................................................................... 58

4.1. CRITERIOS DE PREDIMENSIONAMIENTO ............................. 58

4.1.1. CIMENTACIÓN TIPO BLOQUE APOYADA

DIRECTAMENTE SOBRE EL SUELO ..................................... 58

4.2. ANÁLISIS DINÁMICO EMPLEANDO EL MÉTODO DEL

SEMIESPACIO ELÁSTICO .......................................................... 59

4.2.1. TEORÍAS DE VIBRACIÓN DE CIMIENTOS EN UN

SEMIESPACIO ELÁSTICO ....................................................... 61

4.2.2. MODOS DE VIBRACIÓN DE UN BLOQUE DE

CIMENTACIÓN ......................................................................... 67

4.2.3. COEFICIENTES DE DISEÑO ................................................... 72

4.2.4. IMPEDANCIA PROPORCIONADA POR EL SUELO ............. 74

4.2.5. ANÁLISIS DE LOS MODOS DE VIBRACIÓN ....................... 85

4.3. RECOMENDACIONES PARA EL REFORZAMIENTO DE LA

CIMENTACIÓN ............................................................................. 88

9

4.3.1. ACERO DE REFUERZO SEGÚN EL MÉTODO DE LAS

BIELAS Y TIRANTES ............................................................... 89

4.3.2. ACERO DE REFUERZO SEGÚN ACI 207.R-95 ...................... 92

4.3.3. ACERO DE REFUERZO SEGÚN ACI 224R-01 ....................... 93

4.3.4. ACERO DE REFUERZO SEGÚN ACI 318-14 ......................... 94

4.3.5. ACERO DE REFUERZO SEGÚN ACI 351.3R-04 .................... 95

4.3.6. COMPROBACIÓN DE CORTANTE......................................... 95

CAPÍTULO V: DISEÑO DE LA CIMENTACIÓN DE LA BOMBA

CENTRÍFUGA HORIZONTAL ................................................................... 96

5.1. INFORMACIÓN REQUERIDA PARA EL DISEÑO .................... 96

5.1.1. PARÁMETROS DE LA MAQUINARIA ................................... 96

5.1.2. FUERZAS Y MOMENTOS DESBALANCEADOS DE LA

MÁQUINA .................................................................................. 98

5.1.3. PROPIEDADES DEL SUELO .................................................... 99

5.1.4. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES ............................... 106

5.2. PREDIMENSIONAMIENTO ....................................................... 107

5.2.1. VERIFICACIÓN POR EL ANCHO DE LA CIMENTACIÓN 107

5.2.2. VERIFICACIÓN POR EL ESPESOR DEL BLOQUE ............ 108

5.2.3. VERIFICACIÓN POR RELACIÓN DE MASAS: ESTRUCTURA

/ EQUIPO ................................................................................... 108

5.3. PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LA CIMENTACIÓN ..... 108

5.3.1. CENTROS DE MASA .............................................................. 108

5.3.2. VERIFICACIÓN DE LA EXCENTRICIDAD ......................... 110

5.3.3. MOMENTOS DE INERCIA ..................................................... 110

5.4. CARGAS SÍSMICAS .................................................................... 113

5.4.1. CÁLCULO DE CORTANTE BASAL (SEGÚN NTP E030) ... 113

10

5.4.2. CÁLCULO DE LOS MOMENTOS ACTUANTES ................. 114

5.5. FUERZAS Y MOMENTOS TOTALES ....................................... 115

5.6. ANÁLISIS ESTÁTICO ................................................................. 116

5.6.1. VERIFICACIÓN DE LA PRESIÓN ESTÁTICA..................... 116

5.6.2. VERIFICACIÓN DE LA ESTABILIDAD AL VOLTEO Y AL

DESLIZAMIENTO ................................................................... 117

5.7. ANÁLISIS DINÁMICO ................................................................ 119

5.7.1. CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DE DISEÑO ............... 119

5.7.2. CÁLCULO DE LAS FUNCIONES DE IMPEDANCIA .......... 121

5.7.3. ANÁLISIS DE LOS MODOS DE VIBRACIÓN ..................... 134

5.7.4. VERIFICACIÓN DEL EFECTO DE RESONANCIA ............. 142

5.7.5. VERIFICACIÓN DE LOS LÍMITES DE VIBRACIÓN

PERMISIBLES .......................................................................... 143

5.8. REFORZAMIENTO DE LA CIMENTACIÓN ............................ 147

5.8.1. SEGÚN EL MODELO DE BIELAS Y TIRANTES................. 147

5.8.2. SEGÚN EL CRITERIO ACI 207.2R-95 ................................... 148

5.8.3. SEGÚN EL CRITERIO ACI 318-14......................................... 149

5.8.4. CONTROL DE AGRIETAMIENTO SEGÚN ACI 224R-01 ... 149

5.8.5. VERIFICACIÓN SEGÚN EL CRITERIO ACI 351.3R-04 ...... 150

CAPITULO VI: MODELADO CON ELEMENTOS FINITOS ............. 151

6.1. CONSIDERACIONES PARA MODELAR EL SISTEMA SUELO-

CIMIENTO-MÁQUINA .............................................................. 151

6.1.1. MODELAMIENTO DE LA MÁQUINA .................................. 152

6.1.2. MODELAMIENTO DEL BLOQUE DE CIMENTACIÓN ..... 153

6.1.3. MODELAMIENTO DEL SUELO ............................................ 153

11

6.2. MODELO CON ELEMENTOS FINITOS EMPLEANDO SAP2000

....................................................................................................... 155

6.3. COMPARACIÓN DE RESULTADOS ......................................... 164

CONCLUSIONES ........................................................................................ 166

RECOMENDACIONES .............................................................................. 169

REFERENCIAS ........................................................................................... 170

ANEXOS ....................................................................................................... 172

12

LISTA DE TABLAS

Tabla 1 Factores de servicio de Blake (Richart et al., 1970) ........................................ 33

Tabla 2 Valores permisibles de amplitudes a corto plazo (ACI, 2004) ........................ 33

Tabla 3 Relación de Poisson según Bowles (Bowles, 1997) ....................................... 35

Tabla 4 Relación de Poisson (ACI, 2004) .................................................................... 35

Tabla 5 Valores representativos de módulo dinámico de corte G (Bowles, 1997) ...... 36

Tabla 6 Valores de 𝑘𝑘2 versus densidad relativa según Seed y Idriss (ACI, 2004) ...... 37

Tabla 7 Amortiguamiento interno del suelo (Richart et al., 1970) ............................... 38

Tabla 8 Amortiguamiento en suelos (Stewart y Campanella, 1993) ............................ 38

Tabla 9 Grado de calidad de balance para grupos representativos de rotores rígidos

(ACI, 2004) .................................................................................................................. 41

Tabla 10 Constantes de los resortes para cimentaciones circulares sobre en un

semiespacio elástico (Richart et al., 1970) ................................................................... 76

Tabla 11 Constantes de los resortes para cimentaciones rectangulares rígidas sobre un

semiespacio elástico (Richart et al., 1970) ................................................................... 77

Tabla 12 Relación de Amortiguamiento para Cimentaciones Rígidas Circulares

(Richart et al., 1970) ..................................................................................................... 78

Tabla 13 Impedancia sin considerar embebido del cimiento (ACI, 2004) ................... 83

Tabla 14 Valores de α, β y γ (ACI, 2004) .................................................................... 84

Tabla 15 Impedancia considerando el embebido del cimiento (ACI, 2004) ................ 84

Tabla 16 Guía para anchos de fisura razonables, hormigón armado bajo cargas de

servicio (ACI, 2001) ..................................................................................................... 94

Tabla 17 Cuantías mínimas de refuerzo corrugado de retracción y temperatura

calculadas sobre el área bruta de concreto (ACI, 2014) ............................................... 95

Tabla 18 Dimensiones de los componentes de la máquina .......................................... 96

Tabla 19 Centros de Gravedad de los componentes de la maquinaria ......................... 97

Tabla 20 Valores de 𝑘𝑘2 según la densidad relativa (ACI, 2004) ............................... 103

Tabla 21 Coeficiente de Poisson (ACI, 2004) ............................................................ 105

Tabla 22 Valores de Amortiguamiento Interno en Suelos (Richart et al., 1970) ....... 106

Tabla 23 Cálculo del centro de masa del sistema ....................................................... 109

13

Tabla 24 Cálculo de los momentos de inercia de masa alrededor del eje “x” en el CM

del Sistema ................................................................................................................. 111

Tabla 25 Cálculo de los momentos de inercia de masa alrededor del eje “y” en el CM

del Sistema ................................................................................................................. 112

Tabla 26 Cálculo de los momentos de inercia de masa alrededor del eje “z” en el CM

del Sistema ................................................................................................................. 113

Tabla 27 Resumen de cargas sobre el pedestal .......................................................... 115

Tabla 28 Resumen de cargas en el centro de la base de la cimentación .................... 115

Tabla 29 Resumen de combinaciones de carga de servicio ....................................... 116

Tabla 30 Presión máxima actuante en el suelo ........................................................... 116

Tabla 31 Cálculo de factores sugeridos por Veletsos para cimentaciones sin considerar

efectos de embebido ................................................................................................... 121

Tabla 32 Factores para cimientos con embebido (ACI, 2004) ................................... 127

Tabla 33 Resumen de las rigideces y amortiguamientos para el análisis dinámico ... 133

Tabla 34 Frecuencias naturales para movimientos puros ........................................... 135

Tabla 35 Frecuencias naturales considerando los movimientos acoplados ............... 135

Tabla 36 Razones de amortiguamiento – Movimientos puros ................................... 136

Tabla 37 Transmisibilidad para cada dirección de análisis ........................................ 138

Tabla 38 Amplitudes máximas de vibración del sistema cimentación – máquina para

cada modo de vibrar ................................................................................................... 141

Tabla 39 Verificación zona de resonancia – Movimientos puros .............................. 142

Tabla 40 Verificación zona de resonancia considerando amortiguamiento –

Movimientos puros ..................................................................................................... 142

Tabla 41 Verificación zona de resonancia – Movimientos acoplados ....................... 143

Tabla 42 Verificación zona de resonancia considerando amortiguamiento –

Movimientos acoplados .............................................................................................. 143

Tabla 43 Factores de servicio de Blake (Richart et al., 1970) .................................... 144

Tabla 44 Resumen de cargas a nivel del pedestal ...................................................... 147

Tabla 45 Axiles, momentos y presiones en el suelo según el modelo de bielas y

tirantes ........................................................................................................................ 148

Tabla 46 Cálculo de 𝑇𝑇𝑇𝑇 según el modelo de bielas y tirantes .................................... 148

14

Tabla 47 Valores de rigidez y amortiguamiento ingresados al elemento tipo Link lineal

.................................................................................................................................... 157

Tabla 48 Resultados del análisis modal – Frecuencias y periodo de cada modo de

vibrar .......................................................................................................................... 159

Tabla 49 Comparación de las frecuencias naturales del sistema ................................ 164

Tabla 50 Comparación de amplitudes de vibración – Cálculo manual y análisis T-H

.................................................................................................................................... 165

Tabla 51 Comparación de amplitudes de vibración – Cálculo manual y análisis steady-

state ............................................................................................................................. 165

15

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Cimentación tipo bloque. (ACI, 2004)........................................................... 24

Figura 2 Cimentación tipo bloque combinado (ACI, 2004) ......................................... 24

Figura 3 Cimentación tipo pórtico (ACI, 2004) ........................................................... 25

Figura 4 Cimentaciones sobre aisladores (ACI, 2004) ................................................. 25

Figura 5 Cimentaciones sobre pilotes (ACI, 2004) ...................................................... 26

Figura 6 Diagrama representativo de un equipo reciprocante (ACI, 2004) ................. 26

Figura 7 Equipo de impacto (https://www.directindustry.es/) ..................................... 27

Figura 8 Diagrama representativo de un equipo rotatorio (ACI, 2004) ....................... 27

Figura 9 Bomba centrífuga horizontal (Recuperado de https://www.quiminet.com/) . 29

Figura 10 Sintonización de una cimentación (Prakash, 1981) ..................................... 30

Figura 11 Gráfica de severidad de vibración de una maquinaria según Baxter y

Bernhard (ACI, 2004) ................................................................................................... 31

Figura 12 Gráfica de Reiher- Meister de amplitudes permisibles de vibraciones para

una frecuencia particular (Richart et al., 1970) ............................................................ 31

Figura 13 Criterios de vibraciones para equipos rotativos según Blake (ACI, 2004) .. 32

Figura 14 Curva cortante versus deformación.............................................................. 35

Figura 15 Modelo matemático de un grado de libertad (Chopra, 1995) ...................... 44

Figura 16 Modelo de un sistema de un grado de libertad sin amortiguación (Paz, 1992)

...................................................................................................................................... 44

Figura 17 Relación Fuerza - Desplazamiento (Chopra, 1995) ..................................... 45

Figura 18 Vibración armónico simple de un sistema sin amortiguamiento (Chopra,

1995) ............................................................................................................................. 47

Figura 19 Vibración libre de sistemas subamortiguado, críticamente amortiguado y

sobreamortiguado (Chopra, 1995) ................................................................................ 49

Figura 20 Vibración libre para un sistema subamortiguado (Chopra, 1995) ............... 51

Figura 21 (a) Fuerza armónica; (b) Respuesta del sistema no amortiguado ante una

fuerza armónica 𝛽𝛽𝛽𝛽=0.2, u(0)=0.5 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑘𝑘 y 𝑢𝑢(0)=𝛽𝛽𝜔𝜔𝐹𝐹𝐹𝐹𝑘𝑘 (Chopra, 1995) .................... 52

Figura 22 Respuesta de un sistema amortiguado ante una fuerza armónica; 𝛽𝛽𝛽𝛽=0.2, 𝜁𝜁 = 0.05, u(0)=0.5 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑘𝑘 y 𝑢𝑢(0)=𝛽𝛽𝜔𝜔𝐹𝐹𝐹𝐹𝑘𝑘 (Chopra, 1995) ............................................ 54

16

Figura 23 Factor de amplificación dinámica de deformación y ángulo de fase de un

sistema amortiguado excitado por una fuerza armónica (Chopra, 1995) ..................... 56

Figura 24 Distribución de ondas de una cimentación circular en un semiespacio

elástico (Richart et al., 1970) ........................................................................................ 60

Figura 25 Modelo del semiespacio elástico (Fuente: Sísmica Adiestramiento) ........... 62

Figura 26 Modos de vibración de un bloque de cimentación (Arya et al., 1979) ........ 68

Figura 27 Modelo equivalente del modo de vibración vertical (Arya et al., 1979) ..... 69

Figura 28 Modelo equivalente del modo de vibración horizontal (Arya et al., 1979) . 69

Figura 29 Modelo equivalente del modo de vibración rotacional (Arya et al., 1979) . 70

Figura 30 Modelo equivalente del modo de vibración torsional (Arya et al., 1979) ... 70

Figura 31 Modelo equivalente del modo de vibración acoplado de traslación y

balanceo (Arya et al., 1979) ......................................................................................... 71

Figura 32 Desplazamiento generados por el acople del modo traslacional y rotacional

(Arya et al., 1979) ......................................................................................................... 71

Figura 33 Idealización de la masa para el modelo matemático (Arya et al., 1979) ..... 72

Figura 34 Idealización del momento de inercia de masa para los modos de vibración

rotativos (Bhatia, 2008) ................................................................................................ 73

Figura 35 Coeficientes 𝛽𝛽𝛽𝛽, 𝛽𝛽𝛽𝛽 y 𝛽𝛽𝛽𝛽 para cimentaciones rectangulares (Richart et al.,

1970) ............................................................................................................................. 77

Figura 36 Cimentación rígida asumida como una cimentación rígida sin masa, según el

modelo de las impedancias dinámicas (Dobry y Gazetas, 1986) ................................. 79

Figura 37 Interpretación física de los coeficientes de rigidez y amortiguamiento

dinámico para un cimiento excitado con una fuerza vertical (Dobry y Gazetas, 1986)

...................................................................................................................................... 81

Figura 38 Modelo de bielas y tirantes (EHE-08, 2011)................................................ 89

Figura 39 Reacciones y esfuerzos en el suelo .............................................................. 90

Figura 40 Modelo de bielas – tirantes y equilibrio en el nudo ..................................... 92

Figura 41 Vista en planta de la maquinaria .................................................................. 97

Figura 42 Vista de elevación de la maquinaria ............................................................ 97

Figura 43 Esquema de la fuerza desbalanceada y el momento desbalanceado ............ 98

Figura 44 Perfil del suelo, descripción de las presiones verticales en el suelo .......... 100

Figura 45 Profundidad efectiva 𝑇𝑇𝑑𝑑 para determinar el módulo de corte .................... 100

17

Figura 46 Ábaco de Boussinesq que relaciona ∆𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝐹𝐹 con 𝑍𝑍𝑍𝑍𝐹𝐹 en el borde de una

cimentación circular ................................................................................................... 101

Figura 47 Ajuste polinómico del ábaco de Boussinesq .............................................. 102

Figura 48 Esfuerzos verticales en el suelo hasta una profundidad análisis 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝛽𝛽 .... 102

Figura 49 Curvas de reducción de módulo para suelos de grano fino de diferente

plasticidad (Vucetic y Dobry, 1991) .......................................................................... 105

Figura 50 Vista 3D de la cimentación idealizada ....................................................... 107

Figura 51 Centro de masa del sistema – Vista en planta ............................................ 109

Figura 52 Centro de masa del sistema – Vista elevación ........................................... 109

Figura 53 Diagrama de estabilidad al volteo de la cimentación ................................. 117

Figura 54 Diagrama de estabilidad frente al deslizamiento ....................................... 118

Figura 55 Direcciones de análisis en la cimentación .................................................. 119

Figura 56 Gráfica de resonancia para cada dirección de análisis – Movimientos puros

.................................................................................................................................... 137

Figura 57 Sintonización de una cimentación (Prakash, 1981) ................................... 142

Figura 58 Verificación del cumplimiento del criterio de Blake (ACI, 2004) ............ 144

Figura 59 Verificación del cumplimiento del criterio de Baxter y Bernhard (ACI,

2004) ........................................................................................................................... 145

Figura 60 Verificación del cumplimiento del criterio de Reiher-Meister (ACI, 2004)

.................................................................................................................................... 146

Figura 61 Masa de la máquina concentrada en su CG (Bhatia, 2008) ....................... 152

Figura 62 Modelo sólido y malla de elementos finitos (Bhatia, 2008) ...................... 153

Figura 63 Suelo representado con resortes equivalentes aplicados en el CG de la base

de la cimentación – Suelo representado por resortes aplicados en cada nodo en

contacto con el suelo en la base de la cimentación (Bhatia, 2008) ............................ 154

Figura 64 Suelo representado como un continuo (Bhatia, 2008) ............................... 154

Figura 65 Cimentación y pedestal para bomba centrífuga modelada como elemento

tipo sólido ................................................................................................................... 155

Figura 66 Masas concentradas de los componentes de la máquina en su CG conectados

al pedestal mediante elementos tipo frame ................................................................. 155

Figura 67 Ingreso de la función seno para la frecuencia de operación de 700 rpm con

amplitud de onda de 82.661 ....................................................................................... 158

18

Figura 68 Curva de la bomba para el análisis steady-state ......................................... 158

Figura 69 Carga unitaria horizontal y vertical aplicada al CG del rotor .................... 159

Figura 70 Máximo desplazamiento vertical generado por la fuerza 𝐹𝐹𝛽𝛽 ..................... 160

Figura 71 Gráfica de la función T-H Vertical ............................................................ 160

Figura 72 Máximo desplazamiento vertical generado por la fuerza 𝐹𝐹𝐹𝐹 ..................... 161

Figura 73 Gráfica de la función T-H Horizontal en el punto donde se genera el

máximo desplazamiento vertical ................................................................................ 161

Figura 74 Máximo desplazamiento horizontal generado por la fuerza 𝐹𝐹𝐹𝐹 ................ 162

Figura 75 Gráfica de la función T-H Horizontal en el punto donde se genera el

máximo desplazamiento horizontal ............................................................................ 162

Figura 76 Amplitud en función de la frecuencia – Carga vertical 𝐹𝐹𝛽𝛽 ........................ 163

Figura 77 Amplitud en función de la frecuencia – Carga Horizontal 𝐹𝐹𝐹𝐹 en el punto con

máximo desplazamiento vertical ................................................................................ 163

Figura 78 Amplitud en función de la frecuencia - Carga Horizontal 𝐹𝐹𝐹𝐹 en el punto con

máximo desplazamiento horizontal ............................................................................ 164

DISEÑO DE LA CIMENTACIÓN DE UNA BOMBA CENTRÍFUGA HORIZONTAL EMPLEANDO EL MÉTODO DEL SEMIESPACIO ELÁSTICO

19

CAPITULO I: INTRODUCCIÓN

1.1. ANTECEDENTES

Las cimentaciones que soportan cargas vibratorias se suelen presentar en el

sector industrial, petrolero y en plantas generadores de energía. Estas cargas dinámicas

son causadas por las fuerzas desbalanceadas de la máquina, así como el peso de la

misma, si estas vibraciones son excesivas pueden dañar la máquina o causar un

funcionamiento inapropiado. Debe tenerse en cuenta que el costo inicial de la

construcción de la cimentación de una máquina es generalmente una pequeña fracción

del costo total de la máquina, los accesorios y la instalación, pero la falla de la

cimentación como resultado de un diseño o construcción deficiente puede traducirse en

la pérdida de mucho dinero (Prakash, 1981). Por ejemplo, una unidad de turbogenerador

en una planta de energía puede costar alrededor de 20 a 50 millones de dólares y una

pérdida estimada de 250000 dólares por día si no funciona correctamente; por lo tanto,

es crucial que un ingeniero preste especial atención al diseño de cimientos de máquinas

vibratorias.

Históricamente, el análisis y diseño de los cimientos de las máquinas se

realizaron mediante un procedimiento aproximado conocido como “regla del pulgar”,

que consiste en dimensionar los cimientos en función al peso y tipo de máquina

vibratoria que se soporta, incluido el reforzamiento de la cimentación o suelo empleando

pilotes. Este procedimiento generalmente funciona, sin embargo, a menudo resulta en

un diseño considerablemente excesivo (Bowles, 1997).

Con el advenimiento de la tecnología y el auge de la fabricación mejorada, las

máquinas ahora tienen calificaciones más altas que da lugar a fuerzas dinámicas

considerablemente mayores y por lo tanto a esfuerzos más altos que exigen un mejor

desempeño y seguridad (Bhatia, 2008).

El análisis y diseño de cimientos y estructuras sometidas a cargas vibratorias se

considera un tema muy complejo debido a la interacción de la ingeniería estructural, la


20

ingeniería geotécnica y la teoría de las vibraciones (Arya et al., 1979); además, el

diseñador debe estar interesado en los detalles de las cargas, configuraciones o

disposiciones generales y operaciones de diseño de la máquina, ya que son una parte

básica de la ingeniería mecánica; sin embargo, existen aproximaciones técnicas

concebidas en el reporte ACI 351.3R (ACI, 2004), el cual presenta una formulación

general para el diseño de las cimentaciones en casos que involucran máquinas

dinámicas; contando además con la disponibilidad práctica de software comercial de

análisis de elementos finitos, de esta manera un diseñador puede crear un buen modelo

matemático de la cimentación de una maquinaria en un tiempo razonable para tener una

predicción confiable de la respuesta dinámica del sistema y crear los cambios necesarios

en el modelo para mitigar amplitudes de vibraciones no deseadas, es decir, controlar las

vibraciones en el sistema.

1.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

El análisis estático o pseudoestático es un método común para diseñar

cimentaciones ante solicitaciones de carácter sísmico; sin embargo, ante cargas de

carácter armónico producidas por una maquinaria, el análisis convencional resulta ser

insuficiente; debido a la naturaleza de la carga, sus efectos podrían ser nocivos para la

maquinaría, la estructura o para las personas aledañas a la misma.

Por esta razón, se debe recurrir a un análisis dinámico que contemple dichas

cargas originadas por los desbalances internos de estos equipos, el método o modelo del

semiespacio elástico permite describir la respuesta o amplitud de movimiento de la

cimentación en sus 6 grados de libertad con una gran aproximación.

1.3. JUSTIFICACIÓN

Debido a la gran importancia que cumple el equipo de bombeo para el transporte,

la dosificación y la mezcla de diferentes fluidos a las operadoras de plantas proveedoras

de energía, es que este proyecto de tesis está planteado para definir una solución técnica

en base a los principios de la dinámica de suelos y de estructuras, garantizando de esta


21

forma que el sistema suelo-cimentación-máquina suministre un funcionamiento estable,

seguro y confiable.

Esta tesis tiene gran importancia ya que permitirá garantizar el correcto

funcionamiento de la bomba centrífuga cuya finalidad es alimentar calderas para

producir vapor en plantas generadoras de energía.

Por lo descrito anteriormente, resulta indispensable realizar un análisis y diseño

para la cimentación considerando además la solicitación dinámica generada por la

maquinaria, garantizando un funcionamiento adecuado, buena producción y rangos de

vibración que no sean nocivos para las personas.

1.4. OBJETIVOS

1.4.1. OBJETIVO GENERAL

- Analizar y diseñar la cimentación de la bomba centrífuga horizontal.

1.4.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

- Desarrollar el procedimiento de cálculo y diseño típico de cimentaciones

sometidas a cargas dinámicas empleando el método del semiespacio elástico.

- Analizar, diseñar y calcular la cimentación para la bomba centrífuga horizontal

empleando el método del semiespacio elástico.

- Obtener la respuesta de la cimentación sometida a vibración y hacer un análisis

interpretativo verificando que se encuentre dentro de los valores adecuados de

operación.

- Realizar un modelo de elementos finitos con software comercial.

1.5. ALCANCES

- La presente tesis se enfoca en el diseño de cimentaciones tipo bloque rígido

para maquinarias de tipo rotativas.


22

- El análisis incluye verificaciones estáticas y cálculo del acero de refuerzo en la

cimentación.

- El diseño es aplicable para las condiciones particulares del suelo e información

de la maquinaria brindada por el fabricante de la misma.

- Abarca un análisis dinámico empleando el modelo de Veletsos y Verbic,

con expresiones que contemplan un límite de frecuencia de operación.

- Se pretende comprobar la validez del diseño a través del modelado con

elementos finitos y la comparación de resultados.

1.6. LIMITACIONES

- Se tomó parámetros del suelo referenciales para hacer el cálculo de las

propiedades dinámicas del suelo y dimensionamiento de la cimentación.

- El proyecto fue concebido considerando que no existen límites en cuanto a

espacio.

- A causa de la falta de información por parte del fabricante, la estimación de la

fuerza dinámica se realizó siguiendo las recomendaciones del reporte ACI

351.3R-04.


23

CAPITULO II: GENERALIDADES DEL PROYECTO

En este capítulo se definen los conceptos básicos y generalidades que están

involucrados en el diseño de la cimentación de una bomba centrífuga horizontal, tales

como la descripción de los tipos de cimentaciones y máquinas presentes en el sector

industrial, para después dar una breve explicación de que es una bomba centrífuga

horizontal.

A continuación, se expone la naturaleza de los componentes presentes en el

sistema máquina-cimentación-suelo; comenzando por describir las propiedades

dinámicas del suelo y luego la fuerza desbalanceada generada por el funcionamiento de

la bomba. Posteriormente se mencionan los criterios de diseño necesarios para

considerar como óptima a la cimentación.

Gran parte del material presentado en este capítulo está basado en el trabajo

Richart et al. (1970), siendo esta la publicación más reconocida en la materia. Además,

se recurrió a posteriores publicaciones de autores como Bowles (1977), Prakash (1981)

y ACI (2004).

2.1. TIPOS DE CIMENTACIONES

2.1.1. CIMENTACIONES TIPO BLOQUE

Las cimentaciones tipo bloque casi siempre son diseñadas como estructuras

rígidas superficiales, cuya misión es transmitir las cargas al suelo, distribuyéndolas de

forma que no superen su presión admisible ni produzcan deformaciones excesivas, su

respuesta dependerá de la carga dinámica, la masa, dimensiones del mismo y

características del suelo. (ACI, 2004).


24

Figura 1 Cimentación tipo bloque. (ACI, 2004)

2.1.2. CIMENTACIONES TIPO BLOQUE COMBINADO

Las cimentaciones de bloques combinados se diseñan para apoyar máquinas

muy próximas entre sí. (ACI, 2004).

Figura 2 Cimentación tipo bloque combinado (ACI, 2004)

2.1.3. CIMENTACIONES TIPO PÓRTICO

La cimentación tipo pórtico es común para equipos reciprocantes como en el

caso de grandes generadores eléctricos que corresponden a turbinas impulsadas.

Además, la elevación permite la colocación de conductos, tuberías y elementos

auxiliares. (ACI, 2004).

Estas estructuras son consideradas flexibles, por lo tanto, su respuesta a cargas

dinámicas puede ser bastante complejo y dependerá del movimiento de cada uno de sus

elementos y del suelo.


25

Figura 3 Cimentación tipo pórtico (ACI, 2004)

2.1.4. CIMENTACIONES SOBRE RESORTES O AISLADORES

La eficacia de los aisladores ubicados en la parte superior de las columnas de

soporte y cuya función es minimizar la respuesta a las cargas dinámicas, dependerá de

la velocidad de la máquina y la frecuencia natural del cimiento. (ACI, 2004).

Figura 4 Cimentaciones sobre aisladores (ACI, 2004)

2.1.5. CIMENTACIONES SOBRE PILOTES

Los pilotes se aplican en suelos donde la presión de contacto admisibles es baja

y los asentamientos excesivos, los mismos utilizan la capacidad por punta y por fricción

superficial para transferir las cargas axiales al suelo subyacente, las cargas transversales

son resistidas por la presión del suelo de soporte contra los lados de los pilotes o contra

el lado del cabezal. Se utilizan pilotes perforados, pilotes hincados y vaciados in situ.

(ACI, 2004).


26

Figura 5 Cimentaciones sobre pilotes (ACI, 2004)

2.2. TIPOS DE MÁQUINAS

2.2.1. MÁQUINAS RECIPROCANTES

Según ACI (2004), la forma básica de una máquina reciprocante consiste en un

pistón que se mueve dentro de un cilindro, una biela, un vástago de émbolo y una

manivela o cigüeñal que rota con una velocidad angular constante. Esta categoría de

maquinaria incluye motores de combustión interna, compresores, máquinas diésel,

máquinas de vapor y otras con un mecanismo de manivela, operación de la que resultan

las fuerzas desbalanceadas y que también depende de la cantidad de cilindros de la

máquina, desplazamiento del pistón y la dirección del montaje.

Figura 6 Diagrama representativo de un equipo reciprocante (ACI, 2004)

2.2.2. MÁQUINAS DE IMPACTO

Son equipos que producen un golpe esporádico sobre una pieza, el cual se

transmite de forma indirecta a la cimentación, están compuestos por una masa que cae,

un yunque y un pórtico o marco que soporta la estructura.


27

Las velocidades de operación de estas máquinas son usualmente bajos, están

incluidos martillos de forja y algunas prensas de estampe. (ACI, 2004).

Figura 7 Equipo de impacto (https://www.directindustry.es/)

2.2.3. MÁQUINAS ROTATIVAS

Son equipos donde el centro de rotación y el centro de masa de la parte giratoria

no coinciden, lo cual ocasiona fuerzas de desbalanceo. Esta fuerza dinámica es una

función de la masa del eje y la velocidad de rotación. (ACI, 2004).

Figura 8 Diagrama representativo de un equipo rotatorio (ACI, 2004)


28

2.3. BOMBA CENTRÍFUGA

Las bombas centrífugas se usan para bombear y transportar grandes cantidades

de fluidos industriales, mediante tubos o mangueras que funcionan por un motor

eléctrico.

Las bombas centrífugas son de tipo rotativas y transforman la energía mecánica

de un impulsor en energía cinética o de presión de un líquido incompresible.

2.3.1. CLASIFICACIÓN

- Por la dirección del flujo: Radial, axial y mixto.

- Por la posición del eje de rotación o flecha: Horizontales, verticales e

inclinados.

- Por el diseño de la coraza (forma): Voluta y las de turbina.

- Por el diseño de la mecánico coraza: Axialmente bipartidas y las radialmente

bipartidas.

- Por la forma de succión: Sencilla y doble.

- Por el funcionamiento: De un tiempo, de varios tiempos (múltiple).

2.3.2. CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES

- Se encuentran bajo la normativa DIN 24255.

- Cuentan con un solo rodete que abarca capacidades hasta los 500 m³/h y alturas

manométricas hasta los 100 metros con motores eléctricos de velocidad

normalizada.

- Su flujo es uniforme y libre de impulsos de baja frecuencia.

2.3.3. BOMBA CENTRÍFUGA HORIZONTAL

Las bombas horizontales son bombas centrífugas múltiples. En ellas el eje está

dispuesto de forma horizontal, de ahí su denominación, por lo que la bomba y el motor

se encuentran a la misma altura.


29

Son máquinas denominadas "receptoras" o "generadoras" que se emplean para

hacer circular un fluido en contra de un gradiente de presión. Para que un fluido fluya

desde donde hay mayor presión hasta donde hay menos presión no se necesita ningún

gasto de energía, pero, para realizar el movimiento inverso, es necesaria una bomba, la

cual le comunica al fluido energía, sea de presión, potencial o ambas. Para esto,

necesariamente se tiene que absorber energía de alguna máquina motriz, ya sea un motor

eléctrico, uno de combustión interna, o una turbina de vapor o gas, etc.

Figura 9 Bomba centrífuga horizontal (Recuperado de https://www.quiminet.com/)

2.4. CRITERIOS DE DISEÑO

Una cimentación de maquinaria debe cumplir los siguientes requisitos para ser

satisfactoria (Prakash, 1981):

2.4.1. PARA CARGAS ESTÁTICAS

- La cimentación debe ser segura ante la falla de corte.

- La cimentación no debe tener asentamientos excesivos.

2.4.2. PARA CARGAS DINÁMICAS

- Se debe evitar el fenómeno de resonancia, es decir, la frecuencia natural del

sistema máquina-cimentación-suelo no debe coincidir con la frecuencia de la

máquina. La zona de resonancia esta generalmente definida y la frecuencia

natural del sistema suelo-cimentación debe estar fuera de esta zona (Figura 10).


30

Figura 10 Sintonización de una cimentación (Prakash, 1981)

- Las frecuencias naturales del sistema suelo-cimentación es recomendable que

estén fuera del límite de 0.8 a 1.2 veces la frecuencia de operación del equipo.

- Las amplitudes de movimiento en las frecuencias de operación no deben exceder

los valores permisibles especificados por el fabricante de la máquina.

Según ACI (2004), en donde se recopilan diversos criterios para considerar

aceptable el dimensionado de la cimentación:

- Las vibraciones ocasionadas por la operación de la máquina no deben ser

molesta para las personas, dañar a otros equipos de precisión o máquinas

cercanas o estructuras adyacentes, por ello se evalúa según la Gráfica de

Severidad de Vibración de Baxter y Bernhard, ver figura 11.

- La figura 12 ilustra cinco curvas que delimitan las vibraciones, en función de la

percepción de las personas que operan en el área, estas zonas van desde “no

perceptible” hasta “severo”.


31

Figura 11 Gráfica de severidad de vibración de una maquinaria según Baxter y Bernhard (ACI, 2004)

Figura 12 Gráfica de Reiher- Meister de amplitudes permisibles de vibraciones para una frecuencia particular (Richart et al., 1970)


32

- La importancia de una máquina y su sensibilidad a las condiciones operativas

junto con el costo de la instalación y las pérdidas debido a la interrupción (tiempo

de inactividad) determinan el límite de las amplitudes de movimiento para las

cuales debe diseñarse la cimentación. Las amplitudes permisibles en velocidades

de operación pueden ser establecidas a partir del criterio de Blake como se

muestra en la Figura 13.

Figura 13 Criterios de vibraciones para equipos rotativos según Blake (ACI, 2004)

Casos:

• E, peligroso, desconéctelo para evitar peligro.

• D, la falla está cerca, corregir dentro de dos días para evitar daño.

• C, defectuoso, corregir dentro de 10 días para ahorrar dinero en

mantenimiento.


33

• B, defectos menores, la corrección requiere costos menores.

• A, sin defectos, típico de equipo nuevo.

- El concepto de factor de servicio, introducido por Blake, es una indicación de la

importancia de una máquina en una instalación, sus valores típicos son

mostrados en la Tabla 1. Así mismo, usando el concepto de factor de servicio, el

criterio dado en la Figura 13 puede ser usado para definir límites de vibración

para diferentes clases de máquinas y evaluar su funcionamiento. (Richart et al.,

1970).

Tabla 1 Factores de servicio de Blake (Richart et al., 1970)

- Otro criterio utilizado de valores permisibles de amplitudes a corto plazo es el

DIN-4150, según el tipo de edificación y frecuencia de la cimentación. (ACI,

2004)

Tabla 2 Valores permisibles de amplitudes a corto plazo (ACI, 2004)


34

2.5. CÓDIGOS DE DISEÑO

A lo largo del tiempo, los códigos para el diseño y construcción de cimentaciones

de máquinas han sido escritos en West Germany (DIN 4024, 4025), Rusia (CH-18-58),

Hungría (MSZ 15009-64), India (Indian Standards Institution, 1966, 1967, 1968, 1969,

1970) y EEUU (ACI 351.3R-04 American Concrete Institute, Foundation for dynamic

equipment.), además fabricantes líderes como Westinghouse, General Electric y

Honeywell cuentan con sus propios criterios de diseño.

Para el desarrollo de la presente tesis se empleó el reporte ACI 351.3R (ACI,

2004), basado, principalmente, en los estudios y modelos de Richart, Veletsos y Verbic.

2.6. INFORMACIÓN REQUERIDA PARA EL DISEÑO

Para diseñar satisfactoriamente debe contarse con información y datos de la

maquinaria como cargas desbalanceadas, velocidades o frecuencias de operación y

amplitudes permisibles, además de información detallada de las propiedades estáticas y

dinámicas del suelo.

2.6.1. PROPIEDADES DEL SUELO

Los parámetros geotécnicos necesarios para diseñar la cimentación de una

maquinaria son:

2.6.1.1. Relación de Poisson (µ)

Es la relación bajo una carga de compresión de las deformaciones laterales y las

deformaciones transversales. (Bowles, 1997).

Por lo general, se determina mediante ensayos geofísicos con la velocidad de las

ondas de corte, sin embargo, según (ACI, 2004), cuando no se conocen estos valores se

puede estimar en 0.33 para suelos no cohesivos y 0.40 para suelos cohesivos.


35

Tabla 3 Relación de Poisson según Bowles (Bowles, 1997)

Material Relación de Poisson (µ)

Arcilla saturada 0.40 - 0.50

Arcilla no saturada 0.10 - 0.30

Limos 0.30 - 0.35

Rocas 0.10 - 0.40

Concreto 0.15

Tabla 4 Relación de Poisson (ACI, 2004)

Material Relación de Poisson (µ)

Suelo no cohesivo 0.25 - 0.35

Suelo cohesivo 0.35 - 0.45

2.6.1.2. Modulo dinámico de corte (G)

Según Prakash (1981), el módulo dinámico de corte es el parámetro más

importante que caracteriza el comportamiento del suelo ante cargas dinámicas, se define

como la pendiente de la curva cortante versus deformación. Sin embargo, las

vibraciones ocasionadas por cargas cíclicas rápidas, provocará en el suelo un

comportamiento tenso-deformacional descrito en la Figura 14, que corresponde a la

curva de histéresis:

Figura 14 Curva cortante versus deformación


36

Debido a que la mayoría de las pruebas geofísicas inducen deformaciones por

corte inferiores a 0,0003%, las velocidades de ondas de corte (𝜎𝜎𝑆𝑆) pueden ser utilizadas

para estimar 𝐺𝐺𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 a partir de la siguiente expresión, donde 𝜌𝜌 es la densidad del material:

𝐺𝐺𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝜌𝜌𝜎𝜎𝑆𝑆2 (2.1)

Según Schmertmann (1978):

𝜎𝜎𝑠𝑠 = 10 𝐵𝐵 20 𝑁𝑁60 (2.2)

Según Bowles (1997):

Tabla 5 Valores representativos de módulo dinámico de corte G (Bowles, 1997)

Según Hardin y Black (1968):

- Para arenas de grano redondo con e < 0.8, con el parámetro G expresado

en Pa:

𝐺𝐺 =218200(2.17−𝑒𝑒𝑣𝑣)2𝜎𝜎𝑜𝑜1+𝑒𝑒𝑣𝑣 (2.3)

- Para materiales granulares angulares con e > 0.6 y arcillas normalmente

consolidadas, con el parámetro G expresado en Pa:

𝐺𝐺 =102140(2.97−𝑒𝑒𝑣𝑣)2𝜎𝜎𝑜𝑜1+𝑒𝑒𝑣𝑣 (2.4)


37

Según Seed y Idriss (1970) para arenas, con el parámetro G expresado en Pa:

𝐺𝐺 = 6920𝐾𝐾2𝜎𝜎𝑜𝑜 (2.5)

Donde:

𝑒𝑒𝑣𝑣: Relación de vacíos 𝜎𝜎𝑜𝑜: Presión de Confinamiento (Pa) 𝑘𝑘2: Parámetro dependiente de la densidad relativa

Tabla 6 Valores de 𝑘𝑘2 versus densidad relativa según Seed y Idriss (ACI, 2004)

2.6.1.3. Amortiguamiento en suelos

Es la disipación de energía que ocurre para contrarrestar el movimiento o que se

opone al movimiento libre del sistema.

Según Richart et al. (1970) el amortiguamiento posee dos componentes:

- El amortiguamiento por Radiación: Disipación de ondas elásticas en las

cercanías del cimiento con la correspondiente deformación inelástica del suelo.

- El amortiguamiento del Material: Referido al comportamiento histerético del

material, calculado como el área encerrada bajo la curva de un ciclo de histéresis.

La razón de amortiguamiento se desprende del ciclo de histéresis mostrado en la

Figura 14 y calculado con la siguiente ecuación:

𝛽𝛽𝑚𝑚 =∆𝑊𝑊𝑊𝑊4𝜋𝜋 (2.6)


38

Donde:

𝛽𝛽𝑚𝑚 : Relación de amortiguamiento del material ∆𝑊𝑊 : Área dentro del ciclo de histéresis

W: Energía de deformación

En la práctica se utilizan valores de 𝛽𝛽𝑚𝑚 que oscilan entre 5% y 10%.

Tabla 7 Amortiguamiento interno del suelo (Richart et al., 1970)

Tabla 8 Amortiguamiento en suelos (Stewart y Campanella, 1993)

2.6.2. CARGAS DEL EQUIPO Y CIMENTACIÓN

Según ACI 351.3R (2004), las cargas a las que está sometida una cimentación

de maquinaria a lo largo de su vida útil son:


39

2.6.2.1. Cargas estáticas

2.6.2.1.1. Cargas Muertas

Correspondientes al peso propio de la máquina, sus aditamentos y accesorios,

bien sean puntuales o distribuidas según el tipo de transferencia que haya entre el

cimiento y el equipo. Estos valores deben ser suministrados por el fabricante.

2.6.2.1.2. Cargas Vivas

Se refiere al peso de las personas sobre el cimiento de las maquinas o los equipos

que serán empleados durante el mantenimiento.

2.6.2.1.3. Cargas de Sismo

Corresponde a la fracción de gravedad aplicada a la masa del equipo, asignada

por cada país de acuerdo a la zona de amenaza sísmica donde esté instalado el sistema.

2.6.2.2. Cargas dinámicas para máquinas rotatorias

Se generan producto de la operación de los equipos y deben ser suministradas

por el fabricante.

2.6.2.2.1. Fuerzas por desbalanceo de masas

Según ACI 351.3R (2004) la carga debido al desbalanceo de las masas se

transmite a los cimientos a través de los puntos de apoyo y según la posición de los

mismos. Las fuerzas por desbalanceo de masas que suministran los fabricantes toman

en cuenta lo siguiente:

- El desbalanceo máximo posible de las masas para un valor máximo de velocidad

de operación, se utiliza para determinar la fuerza máxima esperada sobre el

cimiento durante su vida útil.


40

- Un valor máximo de vibración del equipo que sea aceptable para operar

adecuadamente. Se usa para determinar la vibración máxima del cimiento

durante su vida útil.

Para la determinación de las fuerzas desbalanceadas se supone lo siguiente:

- Las fuerzas centrífugas debidas al desbalanceo se supone que actúan en el centro

de gravedad del rotor o transmisor y varían armónicamente con la velocidad de

operación de la máquina y en las dos direcciones perpendiculares al eje.

- Las fuerzas ortogonales en las dos direcciones del eje, se transmiten al cimiento

a través de los apoyos.

La fuerza dinámica 𝐹𝐹𝑜𝑜 se puede determinar mediante las siguientes expresiones:

a) Cuando se conoce la excentricidad:

𝐹𝐹𝑜𝑜 =𝑚𝑚𝜏𝜏𝑒𝑒𝑚𝑚𝜔𝜔𝑜𝑜2𝑆𝑆𝑓𝑓1000 (2.7)

Donde:

𝐹𝐹𝑜𝑜: Amplitud de la fuerza dinámica (N) 𝐵𝐵𝜏𝜏 : Masa rotativa (kg) 𝑒𝑒𝑚𝑚: Excentricidad de masa (mm) 𝛽𝛽𝑜𝑜: Frecuencia de operación de la máquina (rad/s) 𝑆𝑆𝑓𝑓: Factor de servicio, usualmente mayor o igual a 2. Es usado para tomar en

cuenta un incremento en el desbalanceo durante la vida operativa del equipo, es

recomendable que sea suministrado por el fabricante.

Según API 617 y API 684, permiten una excentricidad de masa máxima

permitida, para velocidades de operación (𝛽𝛽𝑜𝑜) menores o iguales a 25000 rpm puede

determinarse como:


41

𝑒𝑒𝑚𝑚 =6.35𝜔𝜔𝑜𝑜 (2.8)

Donde:

𝑒𝑒𝑚𝑚: Excentricidad de la masa (mm) 𝛽𝛽𝑜𝑜: Frecuencia de operación de la máquina (rad/s)

b) Desbalance de la máquina conociendo el criterio industrial:

𝐹𝐹𝑜𝑜 =𝑚𝑚𝜏𝜏𝑄𝑄𝜔𝜔𝑜𝑜𝑆𝑆𝑓𝑓1000 (2.9)

𝑄𝑄 = 𝑒𝑒𝑚𝑚𝛽𝛽𝑜𝑜 (2.10)

Tabla 9 Grado de calidad de balance para grupos representativos de rotores rígidos (ACI, 2004)

Donde:

𝐹𝐹𝑜𝑜: Amplitud de la fuerza dinámica (N) 𝑄𝑄: Calidad de balance normal (mm/s)


42

c) Carga dinámica determinada a partir de una fórmula empírica:

Los fabricantes de máquinas rotativas no suelen reportar las fuerzas

desbalanceadas. En consecuencia, se propone emplear una formula empírica que tiene

aplicado un factor de seguridad de 2.5, de esta manera la expresión para calcular la

amplitud de la fuerza de cero a pico es:

𝐹𝐹𝑜𝑜 =𝑊𝑊𝑟𝑟𝜔𝜔𝑜𝑜6000 (2.11)

Donde:

𝐹𝐹𝑜𝑜: Amplitud de la fuerza dinámica (N) 𝑊𝑊𝑟𝑟: Peso del rotor (N) 𝛽𝛽𝑜𝑜: Frecuencia de operación de la máquina (rpm)


43

CAPITULO III: SISTEMAS DE 1GDL

Para predecir o analizar la respuesta de un sistema suelo-cimentación-máquina,

(o sistema vibratorio) en muchos casos es satisfactorio reducirlo a un modelo idealizado

de parámetros agrupados, debido a ello en el presente capítulo describiremos el modelo

o sistema de parámetros agrupados más elemental, es decir, los sistemas de 1 grado de

libertad.

El material presentado en este capítulo fue extraído del trabajo de Paz (1992) y

Chopra (1995).

3.1. SISTEMAS CON 1GDL SIN AMORTIGUAMIENTO

3.1.1. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

El número de coordenadas independientes necesario para especificar la

configuración o posición de un sistema en cualquier instante de tiempo es definido como

el número de grados de libertad.

Un sistema de un grado de libertad puede ser representado convenientemente

por el modelo matemático de la figura 15, que considera los siguientes elementos:

- Un elemento masa, m, que representa la propiedad de inercia de la estructura.

- Un elemento resorte, k, que representa la elasticidad y las fuerzas internas del

sistema y la capacidad de la estructura de almacenar energía potencial.

- Un elemento de amortiguación, c, que representa las características friccionaste

y las pérdidas de energía de la estructura.

- Una fuerza de excitación, 𝐹𝐹(𝑡𝑡), que, a su vez, representa las fuerzas exteriores

que actúan sobre el sistema estructural.


44

Figura 15 Modelo matemático de un grado de libertad (Chopra, 1995)

3.1.2. SISTEMAS SIN AMORTIGUACIÓN

Este sistema con un grado de libertad se conoce como oscilador simple sin

amortiguación, se representa como en la figura 16. Supóngase un sistema donde todo

roce, fricción y/o mecanismo de disipación de energía se considera inexistente, el mismo

que es excitado mediante un desplazamiento inicial y se mantendrá en un movimiento

oscilatorio constante conforme a la primera ley de Newton.

El comportamiento dinámico obedecerá a la siguiente expresión:

𝐵𝐵𝑢 + 𝑘𝑘𝑢𝑢 = 0 (3.1)

Figura 16 Modelo de un sistema de un grado de libertad sin amortiguación (Paz, 1992)

Aplicando el principio de D´Alembert, de equilibrio dinámico y sometiendo al

sistema a un desplazamiento, producirá una modificación de las fuerzas que actúan

sobre el mismo, donde 𝐹𝐹𝑆𝑆 es la fuerza elástica del resorte, que intenta restablecer o

restituir la condición inicial del sistema y 𝐹𝐹𝐼𝐼 la fuerza inercial que se opone al cambio

del estado de reposo de la masa; se tiene:

𝐹𝐹𝑆𝑆 + 𝐹𝐹𝐼𝐼 = 0 (3.2)


45

3.1.3. RELACIÓN FUERZA – DESPLAZAMIENTO

Si se desea determinar la relación entre la fuerza 𝐹𝐹𝑆𝑆 y el desplazamiento relativo

u, asociado con las deformaciones en la estructura durante el movimiento oscilatorio,

esta relación de fuerza-desplazamiento sería lineal para pequeñas deformaciones, pero

se volvería no lineal en el caso de grandes deformaciones (Figura 17).

Figura 17 Relación Fuerza - Desplazamiento (Chopra, 1995)

Dado que en muchos casos los desplazamientos que se producen en una

estructura por la acción de fuerzas externas son pequeños y con fines de simplificar el

análisis, el comportamiento real de la misma se aproxima como un sistema elástico

lineal, es decir:

𝐹𝐹𝑆𝑆 = 𝑘𝑘𝑢𝑢 (3.3)

3.1.4. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE MOVIMIENTO

Debido a que la variable dependiente u y su segunda derivada 𝑢, aparecen como

primer grado en la ecuación, esta se clasifica como lineal y de segundo orden; además

el hecho de que los coeficientes k y m sean constantes y que el segundo miembro de la

ecuación sea cero, clasifican a la misma como homogénea con coeficientes constantes,

siendo posible plantear como posible solución:

𝐹𝐹 = 𝐴𝐴 cos𝛽𝛽𝑡𝑡 (3.4)

O


46

𝐹𝐹 = 𝐵𝐵 sen𝛽𝛽𝑡𝑡 (3.5)

Donde A y B son constantes que dependen de la iniciación del movimiento,

mientras que 𝛽𝛽 es un valor que denota una propiedad física del sistema, la aplicación de

la ecuación (3.4) en (3.1) resultará:

(−𝐵𝐵𝛽𝛽𝑛𝑛2 + 𝑘𝑘)𝐴𝐴 𝑑𝑑𝐹𝐹𝑐𝑐𝛽𝛽𝑛𝑛𝑡𝑡 = 0 (3.6)

Para que esta ecuación se satisfaga en cualquier instante de tiempo, el factor que

está dentro del paréntesis debe ser igual a cero, es decir:

𝛽𝛽𝑛𝑛2 =𝑘𝑘𝑚𝑚 (3.7)

La raíz positiva 𝛽𝛽𝑛𝑛 se conoce como frecuencia natural del sistema.

Así mismo, la suma de las ecuaciones (3.4) y (3.5), es también la solución

complementaria 𝑢𝑢𝑐𝑐(𝑡𝑡), que superpuesta con la solución particular 𝑢𝑢𝑝𝑝(𝑡𝑡) resolverá la

ecuación diferencial.

𝑢𝑢 = 𝐴𝐴𝑑𝑑𝐹𝐹𝑐𝑐𝛽𝛽𝑛𝑛𝑡𝑡 + 𝐵𝐵𝑐𝑐𝑒𝑒𝜔𝜔𝛽𝛽𝑛𝑛𝑡𝑡 (3.8)

La expresión de la velocidad se encontrará diferenciando la ecuación (3.8)

respecto al tiempo:

𝑢 = −𝐴𝐴𝛽𝛽𝑛𝑛𝑐𝑐𝑒𝑒𝜔𝜔𝛽𝛽𝑛𝑛𝑡𝑡 + 𝐵𝐵𝛽𝛽𝑛𝑛𝑑𝑑𝐹𝐹𝑐𝑐𝛽𝛽𝑛𝑛𝑡𝑡 (3.9)

A continuación, se determinarán las contantes de integración A y B, mediante las

condiciones iniciales 𝑢𝑢(0) y 𝑢(0) en 𝑡𝑡 = 0, obteniendo 𝐴𝐴 = 𝑢𝑢(0) y 𝐵𝐵 =𝑢(0)𝜔𝜔𝑛𝑛 ,

reemplazando en (3.8), resulta:

𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(0)𝑑𝑑𝐹𝐹𝑐𝑐𝛽𝛽𝑛𝑛𝑡𝑡 +𝑢(0)𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑒𝑒𝜔𝜔𝛽𝛽𝑛𝑛𝑡𝑡 (3.10)


47

Expresión que describe el movimiento del oscilador simple sin amortiguamiento

para estructuras con un grado de libertad.

3.1.5. FRECUENCIA, PERIODO Y AMPLITUD DE MOVIMIENTO

La ecuación hallada (3.10) describe un movimiento armónico simple y por lo

tanto periódico, entonces el periodo T estará determinado por:

𝑇𝑇𝑛𝑛 =2𝜋𝜋𝜔𝜔𝑛𝑛 = 2𝜋𝜋𝑚𝑚𝑘𝑘 (3.11)

Expresado en segundos por ciclo. El valor recíproco del periodo es la frecuencia

natural f, obteniéndose:

𝑓𝑓 =1𝑇𝑇𝑛𝑛 =

𝜔𝜔𝑛𝑛2𝜋𝜋 =12𝜋𝜋𝑘𝑘𝑚𝑚 (3.12)

Expresada en Hertz (Hz) o ciclos por segundo (cps), siendo 𝛽𝛽𝑛𝑛 (rad/s) llamada

también frecuencia circular o angular.

La amplitud 𝑢𝑢0 es el máximo desplazamiento en cada sentido que alcanza la

masa, depende del desplazamiento y velocidad inicial y se puede calcular como:

𝑢𝑢0 = 𝑢𝑢(0)2 + (𝑢(0)𝜔𝜔𝑛𝑛 )2 (3.13)

Figura 18 Vibración armónico simple de un sistema sin amortiguamiento (Chopra, 1995)


48

3.2. SISTEMAS CON 1GDL CON AMORTIGUAMIENTO

3.2.1. AMORTIGUACIÓN VISCOSA

Cuando se consideran fuerzas de amortiguación o fricción en el análisis

dinámico de estructuras, generalmente se presume que estas son proporcionales a la

magnitud de la velocidad y opuestas a la dirección de movimiento, este tipo de fricción

se conoce como amortiguación viscosa.

Si se establece 𝑝𝑝(𝑡𝑡) = 0, se obtiene la ecuación diferencial que rige la vibración

libre de los sistemas de 1GDL con amortiguamiento:

𝐵𝐵𝑢 + 𝑑𝑑𝑢 + 𝑘𝑘𝑢𝑢 = 0 (3.14)

Al dividir la ecuación entre m resulta:

𝑢 + 2𝜁𝜁𝛽𝛽𝑛𝑛𝑢 + 𝛽𝛽𝑛𝑛2𝑢𝑢 = 0 (3.15)

Siendo 𝜁𝜁 la razón o fracción de amortiguamiento crítico, 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑟𝑟 el amortiguamiento

crítico y 𝑑𝑑 la constante de amortiguamiento, una medida de la energía disipada en un

ciclo de vibración libre o en un ciclo de vibración forzada armónica.

La función exponencial 𝐹𝐹 = 𝐶𝐶𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝 es una solución que satisface la ecuación

(3.14), reduciéndose a:

𝐵𝐵𝑝𝑝2 + 𝑑𝑑𝑝𝑝 + 𝑘𝑘 = 0 (3.16)

Siendo las raíces de esta ecuación:

𝑝𝑝1𝑝𝑝2 = − 𝑐𝑐2𝑚𝑚 ± 𝑐𝑐2𝑚𝑚2 − 𝑘𝑘𝑚𝑚 (3.17)

Y la solución general para (3.14):

𝑢𝑢(𝑡𝑡) = 𝐶𝐶1𝑒𝑒𝑝𝑝1𝑝𝑝 + 𝐶𝐶2𝑒𝑒𝑝𝑝2𝑝𝑝 (3.18)


49

3.2.2. TIPOS DE MOVIMIENTOS

En la figura 19 se muestra una gráfica del movimiento 𝑢𝑢(𝑡𝑡) debido al

desplazamiento inicial 𝑢𝑢(0) para tres valores de ζ. Si 𝑑𝑑 < 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑟𝑟 o ζ < 1, el sistema oscila

alrededor de su posición de equilibrio con una amplitud que disminuye

progresivamente. Si 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑟𝑟 o ζ = 1, el sistema vuelve a su posición de equilibrio sin

oscilar. Si 𝑑𝑑 > 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑟𝑟 o ζ > 1, de nuevo el sistema no oscila y regresa a su posición de

equilibrio, como en el caso de ζ = 1, pero a un ritmo más lento.

Figura 19 Vibración libre de sistemas subamortiguado, críticamente amortiguado y sobreamortiguado (Chopra, 1995)

3.2.3. SISTEMA CON AMORTIGUACIÓN CRÍTICA

En un sistema donde 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑟𝑟, siendo 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑟𝑟 el menor valor de 𝑑𝑑 que inhibe por

completo la oscilación, la expresión bajo el radical de la ecuación (3.17) es igual a cero,

entonces:

𝑑𝑑𝑐𝑐𝑟𝑟 = 2√𝑘𝑘𝐵𝐵 = 2𝐵𝐵𝛽𝛽𝑛𝑛 =2𝑘𝑘𝜔𝜔𝑛𝑛 (3.19)

En un sistema con amortiguación crítica, las dos raíces de la ecuación

característica (3.17) son iguales, por lo tanto, la solución general resultaría:

𝑢𝑢(𝑡𝑡) = (𝐶𝐶1 + 𝐶𝐶2𝑡𝑡)𝑒𝑒−(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟2𝑚𝑚)𝑝𝑝 (3.20)


50

3.2.4. SISTEMA SUBAMORTIGUADO

Dado que 𝑑𝑑 < 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑟𝑟, las raíces de la ecuación (3.17) resultan conjugadas

complejas:

𝑝𝑝1𝑝𝑝2 = − 𝑐𝑐2𝑚𝑚 ± 𝑖𝑖𝑘𝑘𝑚𝑚 − 𝑐𝑐2𝑚𝑚2 (3.21)

Donde 𝑖𝑖 = √−1 y es conveniente usar las ecuaciones de Euler.

Al reemplazar las raíces de la ecuación (3.21) en (3.18) y usando las ecuaciones

de Euler, se tendrá:

𝑢𝑢(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒− 𝑐𝑐2𝑚𝑚𝑝𝑝(𝐴𝐴 cos𝛽𝛽𝐷𝐷𝑡𝑡 + 𝐵𝐵 sen𝛽𝛽𝐷𝐷𝑡𝑡) (3.22)

Luego, se introducen condiciones iniciales de desplazamiento para hallar A y B,

obteniéndose:

𝑢𝑢(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒−𝜁𝜁𝜔𝜔𝑛𝑛𝑝𝑝 𝑢𝑢(0) cos𝛽𝛽𝐷𝐷𝑡𝑡 +𝑢(0)+𝑢𝑢(0)𝜁𝜁𝜔𝜔𝑛𝑛𝜔𝜔𝐷𝐷 sen𝛽𝛽𝐷𝐷𝑡𝑡 (3.23)

Donde 𝛽𝛽𝐷𝐷 es la frecuencia del sistema con amortiguación, dada por:

𝛽𝛽𝐷𝐷 = 𝑘𝑘𝑚𝑚 − 𝑐𝑐2𝑚𝑚2 = 𝛽𝛽𝑛𝑛1 − 𝜁𝜁2 (3.24)

Y definiendo la razón de amortiguamiento como:

ζ=𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟 =

𝑐𝑐2𝑚𝑚𝜔𝜔𝑛𝑛 (3.25)

La representación gráfica del movimiento de un sistema subamortiguado se

muestra en la figura 20, la amplitud de vibración decrece en los ciclos sucesivos en

intervalos iguales de tiempo, este intervalo de tiempo tiene por nombre periodo de

vibración con amortiguación, 𝑇𝑇𝐷𝐷, se obtiene como:


51

𝑇𝑇𝐷𝐷 =2𝜋𝜋𝜔𝜔𝐷𝐷 =

2𝜋𝜋𝜔𝜔𝑛𝑛1−𝜁𝜁2 (3.26)

Figura 20 Vibración libre para un sistema subamortiguado (Chopra, 1995)

3.3. RESPUESTA DE SISTEMAS DE 1GDL A EXCITACIONES ARMÓNICAS

3.3.1. VIBRACIÓN ARMÓNICA DE SISTEMAS SIN AMORTIGUACIÓN

Aplicando una fuerza armónica 𝐹𝐹(𝑡𝑡) = 𝐹𝐹𝑜𝑜 sen𝛽𝛽𝑜𝑜𝑡𝑡 a un oscilador simple; donde 𝐹𝐹𝑜𝑜 es la amplitud o valor máximo de la fuerza y 𝛽𝛽𝑜𝑜 es la frecuencia de excitación o

frecuencia de forzamiento en radianes por segundo; se puede expresar la ecuación

diferencial que controla la vibración forzada armónica en sistemas sin amortiguamiento:

𝐵𝐵𝑢 + 𝑘𝑘𝑢𝑢 = 𝐹𝐹𝑜𝑜 sen𝛽𝛽𝑜𝑜𝑡𝑡 (3.27)

La solución de la ecuación será expresada como la suma de la solución

complementaria 𝑢𝑢𝑐𝑐(𝑡𝑡) y la solución particular 𝑢𝑢𝑝𝑝(𝑡𝑡):

𝑢𝑢(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 cos𝛽𝛽𝑛𝑛𝑡𝑡 + 𝐵𝐵 sen𝛽𝛽𝑛𝑛𝑡𝑡 +𝐹𝐹𝑜𝑜𝑘𝑘 11−𝛽𝛽𝜔𝜔2 sen𝛽𝛽𝑜𝑜𝑡𝑡 (3.28)

𝑢𝑢𝑐𝑐(𝑡𝑡) 𝑢𝑢𝑝𝑝(𝑡𝑡)

Donde 𝛽𝛽𝜔𝜔 es la razón de la frecuencia de la fuerza aplicada y la frecuencia

natural de vibración del sistema, es decir, 𝛽𝛽𝜔𝜔 =𝜔𝜔𝑜𝑜𝜔𝜔𝑛𝑛.


52

𝑌𝑌 =𝐹𝐹𝑜𝑜𝑘𝑘 11−𝛽𝛽𝜔𝜔2 representa la máxima amplitud de la solución particular que se halla

reemplazando 𝑢𝑢𝑝𝑝(𝑡𝑡) = 𝑌𝑌𝑐𝑐𝑒𝑒𝜔𝜔𝛽𝛽𝑜𝑜𝑡𝑡 en la ecuación (3.27).

Considerando un desplazamiento o deformación 𝑢𝑢(𝑡𝑡) sometido a las

condiciones iniciales 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(0) y 𝑢 = 𝑢(0) en 𝑡𝑡 = 0, obtenemos las siguientes

constantes 𝐴𝐴 = 𝑢𝑢(0) y 𝐵𝐵 = 𝑢(0)𝜔𝜔𝑛𝑛 − 𝐹𝐹𝑜𝑜𝑘𝑘 𝛽𝛽𝜔𝜔1−𝛽𝛽𝜔𝜔2 y reemplazando en la ecuación (3.28):

𝑢𝑢(𝑡𝑡) = 𝑢𝑢(0) cos𝛽𝛽𝑛𝑛𝑡𝑡 + 𝑢(0)𝜔𝜔𝑛𝑛 − 𝐹𝐹𝑜𝑜𝑘𝑘 𝛽𝛽𝜔𝜔1−𝛽𝛽𝜔𝜔2 sen𝛽𝛽𝑛𝑛𝑡𝑡 +𝐹𝐹𝑜𝑜𝑘𝑘 11−𝛽𝛽𝜔𝜔2 sen𝛽𝛽𝑜𝑜𝑡𝑡 (3.29)

Transitorio Estacionario

Figura 21 (a) Fuerza armónica; (b) Respuesta del sistema no amortiguado ante una

fuerza armónica 𝛽𝛽𝜔𝜔=0.2, u(0)=0.5 𝐹𝐹𝑜𝑜𝑘𝑘 y 𝑢(0)=𝛽𝛽𝑛𝑛 𝐹𝐹𝑜𝑜𝑘𝑘 (Chopra, 1995)

3.3.2. VIBRACIÓN ARMÓNICA DE SISTEMAS CON AMORTIGUACIÓN

Considerando el caso de una fuerza excitadora armónica de un sistema de un

grado de libertad con amortiguación:

𝐵𝐵𝑢 + 𝑑𝑑𝑢 + 𝑘𝑘𝑢𝑢 = 𝐹𝐹𝑜𝑜 sen𝛽𝛽𝑜𝑜𝑡𝑡 (3.30)


53

La solución consiste, nuevamente en la suma de la solución complementaria 𝑢𝑢𝑐𝑐(𝑡𝑡), desarrollada en la ecuación (3.22) del caso subamortiguado y la solución

particular 𝑢𝑢𝑝𝑝(𝑡𝑡):

𝑢𝑢(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒−𝜁𝜁𝜔𝜔𝑛𝑛𝑝𝑝(𝐴𝐴 cos𝛽𝛽𝐷𝐷𝑡𝑡 + 𝐵𝐵 sen𝛽𝛽𝐷𝐷𝑡𝑡)+ [C sen𝛽𝛽𝑜𝑜𝑡𝑡 + D cos𝛽𝛽𝑜𝑜𝑡𝑡] (3.31)

𝑢𝑢𝑐𝑐(𝑡𝑡) 𝑢𝑢𝑝𝑝(𝑡𝑡)

Transitoria Estacionaria

Reemplazando la solución particular en la ecuación (3.30) podemos obtener las

constantes C y D:

𝐶𝐶 =𝐹𝐹𝑜𝑜𝑘𝑘 1−𝛽𝛽𝜔𝜔2

(1−𝛽𝛽𝜔𝜔2 )2+(2𝜁𝜁𝛽𝛽𝜔𝜔)2 (3.32 a)

𝐷𝐷 =𝐹𝐹𝑜𝑜𝑘𝑘 −2𝜁𝜁𝛽𝛽𝜔𝜔

(1−𝛽𝛽𝜔𝜔2 )2+(2𝜁𝜁𝛽𝛽𝜔𝜔)2 (3.32 b)

Es posible también obtener la solución particular usando la relación de Euler:

𝑒𝑒𝑖𝑖𝜔𝜔𝑜𝑜𝑝𝑝 = cos𝛽𝛽𝑜𝑜𝑡𝑡 + 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑒𝑒𝜔𝜔𝛽𝛽𝑜𝑜𝑡𝑡 (3.33)

Con este fin, podemos escribir la ecuación (3.30) como:

𝐵𝐵𝑢 + 𝑑𝑑𝑢 + 𝑘𝑘𝑢𝑢 = 𝐹𝐹𝑜𝑜𝑒𝑒𝑖𝑖𝜔𝜔𝑜𝑜𝑝𝑝 (3.34)

Es de esperar que la solución particular de la ecuación (3.34) sea de la forma:

𝑢𝑢𝑝𝑝(𝑡𝑡) = 𝐶𝐶𝑒𝑒𝑖𝑖𝜔𝜔𝑜𝑜𝑝𝑝 (3.35)

Sustituyendo la ecuación (3.33) en la ecuación (3.34) se halla C y la solución

particular resulta:

𝑢𝑢𝑝𝑝(𝑡𝑡) =𝐹𝐹𝑜𝑜𝑒𝑒𝑖𝑖𝜔𝜔𝑜𝑜𝑡𝑡𝑘𝑘−𝑚𝑚𝜔𝜔𝑜𝑜2+𝑖𝑖𝑐𝑐𝜔𝜔𝑜𝑜 (3.36)


54

Luego, representando la expresión en coordenadas polares y omitiendo el

componente real de 𝐹𝐹𝑜𝑜𝑒𝑒𝑖𝑖𝜔𝜔𝑜𝑜𝑝𝑝, se tendrá:

𝑢𝑢𝑝𝑝(𝑡𝑡) =𝐹𝐹𝑜𝑜 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛(𝜔𝜔𝑜𝑜𝑝𝑝−𝜙𝜙)(𝑘𝑘−𝑚𝑚𝜔𝜔𝑜𝑜2)2+(𝑐𝑐𝜔𝜔𝑜𝑜)2 (3.37)

Siendo

𝑡𝑡𝐵𝐵𝜔𝜔𝑡𝑡 =𝑐𝑐𝜔𝜔𝑜𝑜𝑘𝑘−𝑚𝑚𝜔𝜔𝑜𝑜2 (3.38)

Así mismo, la ecuación (3.37) y (3.38) pueden ser escritas convenientemente en

función de parámetros adimensionales como:

𝑢𝑢𝑝𝑝(𝑡𝑡) =𝐹𝐹𝑜𝑜𝑘𝑘 sen(𝜔𝜔𝑜𝑜𝑝𝑝−𝜙𝜙)(1−𝛽𝛽𝜔𝜔2 )2+(2𝜁𝜁𝛽𝛽𝜔𝜔)2 (3.39)

𝑡𝑡𝐵𝐵𝜔𝜔𝑡𝑡 =2𝜁𝜁𝛽𝛽𝜔𝜔1−𝛽𝛽𝜔𝜔2 (3.40)

La solución o respuesta total del sistema también se puede escribir de la siguiente

manera:

𝑢𝑢(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒−𝜁𝜁𝜔𝜔𝑛𝑛𝑝𝑝(𝐴𝐴 cos𝛽𝛽𝐷𝐷𝑡𝑡 + 𝐵𝐵 sen𝛽𝛽𝐷𝐷𝑡𝑡) +𝐹𝐹𝑜𝑜𝑘𝑘 sen(𝜔𝜔𝑜𝑜𝑝𝑝−𝜙𝜙)(1−𝛽𝛽𝜔𝜔2 )2+(2𝜁𝜁𝛽𝛽𝜔𝜔)2 (3.41)

Figura 22 Respuesta de un sistema amortiguado ante una fuerza armónica; 𝛽𝛽𝜔𝜔=0.2, 𝜁𝜁 = 0.05, u(0)=0.5 𝐹𝐹𝑜𝑜𝑘𝑘 y 𝑢(0)=𝛽𝛽𝑛𝑛 𝐹𝐹𝑜𝑜𝑘𝑘 (Chopra, 1995)


55

3.4. RESPUESTA MÁXIMA EN ESTADO PERMANENTE

Examinando el componente transitorio de la respuesta en la ecuación (3.41) y la

figura 22, puede verse que la presencia del factor exponencial 𝑒𝑒−𝜁𝜁𝜔𝜔𝑛𝑛𝑝𝑝 hará que este

componente desaparezca con el tiempo dejando solamente el movimiento permanente

que está dado por la ecuación (3.39).

Entonces podemos decir que la respuesta en el estado estacionario o permanente

del sistema debido a una fuerza armónica también se puede detallar como:

𝑢𝑢(𝑡𝑡) =𝐹𝐹𝑜𝑜𝑘𝑘 1(1−𝛽𝛽𝜔𝜔2 )2+(2𝜁𝜁𝛽𝛽𝜔𝜔)2 sen(𝛽𝛽𝑜𝑜𝑡𝑡 − 𝑡𝑡) (3.42)

Donde 𝑀𝑀 =1(1−𝛽𝛽𝜔𝜔2 )2+(2𝜁𝜁𝛽𝛽𝜔𝜔)2, es el factor de amplificación dinámica de

deformación y 𝑡𝑡 = tan−1 2𝜁𝜁𝛽𝛽𝜔𝜔1−𝛽𝛽𝜔𝜔2 , es el ángulo de fase, ya descrito en la ecuación (3.40).

Además, podemos establecer que la amplitud de desplazamiento del estado

permanente alcanza su valor máximo cuando el sen(𝛽𝛽𝑜𝑜𝑡𝑡 − 𝑡𝑡) = 1, entonces la

respuesta máxima A sería:

𝐴𝐴 =𝐹𝐹𝑜𝑜𝑘𝑘 𝑀𝑀 (3.43)

3.5. RESONANCIA Y FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA

Es el estado de vibración donde la frecuencia de excitación es igual o muy

cercana a la frecuencia del sistema. En este estado, los desplazamientos del sistema son

usualmente amplificados (para sistemas ligeramente amortiguados).

El fenómeno de resonancia es de gran relevancia en la respuesta dinámica de

sistemas estructurales, donde las amplitudes de vibración pueden llegar a magnificarse

lo suficiente como para dañar la estructura y bajo ciertas condiciones críticas, incluso

destruirla.


56

Para una mejor compresión del fenómeno de resonancia, se define el Factor de

Amplificación Dinámica (FAD o 𝑀𝑀).

Figura 23 Factor de amplificación dinámica de deformación y ángulo de fase de un sistema amortiguado excitado por una fuerza armónica (Chopra, 1995)

En la figura 23 se observa que, para fracciones menores del amortiguamiento

crítico los factores amplificación tienden a ser mayores, esto es evidente en un sistema

no amortiguado (𝜁𝜁=0) en donde la amplificación tiende a infinito. Ahora bien, mientras

más próxima esté la fracción de amortiguamiento del sistema al amortiguamiento

crítico, menor será la amplificación de la respuesta.

3.6. FUERZA TRANSMITIDA A LA CIMENTACIÓN

Para calcular la fuerza transmitida al cimiento consideramos nuevamente un

oscilador con amortiguación, excitado por una fuerza armónica 𝐹𝐹(𝑡𝑡) = 𝐹𝐹𝑜𝑜 sen𝛽𝛽𝑜𝑜𝑡𝑡 aplicada a su masa.


57

La fuerza transmitida al soporte, a través del resorte, es 𝑘𝑘𝑢𝑢 y a través del

elemento de amortiguación es 𝑑𝑑𝑢. Entonces, la fuerza total transmitida, 𝐹𝐹𝑇𝑇 es:

𝐹𝐹𝑇𝑇 = 𝑘𝑘𝑢𝑢 + 𝑑𝑑𝑢 (3.44)

Diferenciando la ecuación (3.42) y aplicándola en la ecuación (3.44) nos da:

𝐹𝐹𝑇𝑇 = 𝑌𝑌𝑘𝑘2 + 𝑑𝑑2𝛽𝛽𝑜𝑜2𝑐𝑐𝑒𝑒𝜔𝜔(𝛽𝛽𝑜𝑜𝑡𝑡 − 𝜃𝜃) (3.45)

Por lo tanto, de las ecuaciones (3.39) y (3.45), la fuerza máxima 𝐴𝐴𝑇𝑇 transmitida

al cimiento es:

𝐴𝐴𝑇𝑇 = 𝐹𝐹𝑜𝑜 1+(2𝛽𝛽𝜔𝜔𝜁𝜁)2(1−𝛽𝛽𝜔𝜔2 )2+(2𝜁𝜁𝛽𝛽𝜔𝜔)2 (3.46)

La transmisibilidad 𝑇𝑇𝑟𝑟 está definida como la razón entre la amplitud de la fuerza

transmitida al cimiento y la amplitud de la fuerza aplicada. Por lo tanto, de la ecuación

(3.46):

𝑇𝑇𝑟𝑟 =𝐴𝐴𝑇𝑇𝐹𝐹𝑜𝑜 = 1+(2𝛽𝛽𝜔𝜔𝜁𝜁)2

(1−𝛽𝛽𝜔𝜔2 )2+(2𝜁𝜁𝛽𝛽𝜔𝜔)2 (3.47)


58

CAPITULO IV: TEORÍA DEL DISEÑO DE UNA CIMENTACIÓN PARA

MAQUINARIA

En el presente capítulo se describe todo lo referente al diseño propio de una

cimentación para maquinaria, desde los criterios de predimensionamiento y la teoría

involucrada al considerar al suelo como un semiespacio elástico hasta la correcta

idealización del modelo para analizar y lograr constituir el diseño iterativamente.

El material presentado en este capítulo fue extraído del trabajo de Richart et al.

(1970), Arya et al. (1979), Prakash (1981), Dobry y Gazetas (1986), Bathia (2008) y

ACI 351.3R (2004).

4.1. CRITERIOS DE PREDIMENSIONAMIENTO

El diseño de una cimentación tipo bloque para una máquina rotativa o

reciprocante empieza con el predimensionamiento del bloque. Este tamaño inicial se

basa en una serie de pautas de experiencias empíricas; cabe recalcar que el tamaño

inicial es solo preliminar, no constituye un diseño final.

El diseño de una cimentación tipo bloque solo puede considerarse completo

cuando se realiza un análisis dinámico y una verificación, la cual predice que el cimiento

se comportará de manera aceptable. Se ha encontrado que las siguientes pautas para el

tamaño de prueba inicial dan como resultado una configuración aceptable. (Arya et al.,

1979).

4.1.1. CIMENTACIÓN TIPO BLOQUE APOYADA DIRECTAMENTE SOBRE

EL SUELO

- El bloque rígido debe tener una masa de 2 a 3 veces la masa de la máquina, en

el caso de máquinas rotativas. Sin embargo, cuando la máquina es reciprocante,

la masa de la cimentación debe ser de 3 a 5 veces la masa de la máquina.


59

- El espesor del bloque no debe ser inferior a 0.60 metros, o según lo indicado por

la longitud de los pernos de anclaje. El espesor también puede regirse por las

otras dimensiones del bloque para que la base se considere rígida. El espesor

debe ser mayor a una quinta parte de la dimensión menor y a una décima parte

de la dimensión mayor.

- El ancho de la cimentación debe ser entre 1 a 1.5 veces la distancia entre el suelo

y el eje horizontal del equipo para incrementar el amortiguamiento del modo

rotacional.

- Una vez que se ha seleccionado el espesor y el ancho, la longitud se determina

de acuerdo con la relación de masa definida anteriormente, siempre que haya

suficiente área en planta disponible para soportar la máquina más un espacio

libre de 0.30 metros desde el borde de la base de la máquina hasta el borde del

bloque con fines de mantenimiento y montaje.

- La parte superior del bloque generalmente se mantiene de 0.20 a 0.30 metros por

encima del piso terminado para evitar daños por escorrentía del agua superficial.

- Para máquinas reciprocantes grandes, es recomendable aumentar la profundidad

incrustada en el suelo de manera que el 50 u 80% del peralte esté incrustado en

el suelo. Esto aumentará la restricción lateral y las relaciones de amortiguación

para todos los modos de vibración.

- Si el análisis dinámico predice la resonancia, la masa de la cimentación se debe

aumentar o disminuir de modo que la estructura modificada se ajuste

generalmente en una de alta sintonización para equipos reciprocantes y baja

sintonización para equipos rotativos con altas frecuencias de operación.

4.2. ANÁLISIS DINÁMICO EMPLEANDO EL MÉTODO DEL

SEMIESPACIO ELÁSTICO

El método del semiespacio elástico tiene su base en la teoría lineal de la

elasticidad y este considera al suelo como un medio semi-infinito, homogéneo,

isotrópico y elástico; además se encuentra caracterizado por su módulo de corte G y su

relación de Poisson 𝜇𝜇. (Richart et al., 1970).


60

Conociendo las principales características del semiespacio elástico ahora es

conveniente mencionar los tipo de ondas que se generan e interactúan con el suelo, las

cuales son: ondas Rayleigh, ondas de corte, S, y ondas de compresión, P; dando hincapié

en las ondas Rayleigh ya que 2/3 de la energía de entrada total se transmiten hacia el

suelo mediante este tipo de onda, convirtiéndose en la principal preocupación para las

cimentaciones superficiales y en el foco de análisis para lograr describir la interacción

de la vibración de los equipos dinámicos con el suelo circundante. (Richart et al., 1970).

En la figura 24, podemos observar como las ondas de cuerpo, P y S, se propagan

radialmente hacia afuera desde la fuente de vibración a lo largo de un frente de onda

hemisférica, y la onda de Rayleigh se propaga radialmente hacia afuera a lo largo de un

frente de onda cilíndrica. Todas las ondas encuentran un volumen cada vez mayor de

material a medida que viajan hacia afuera; de esta manera, la densidad de energía en

cada onda disminuye con la distancia desde la cimentación. Esta disminución en la

densidad de energía o disminución en la amplitud de desplazamiento es conocida como

amortiguación geométrica. (Richart et al., 1970).

Figura 24 Distribución de ondas de una cimentación circular en un semiespacio elástico (Richart et al., 1970)


61

La comprensión de como las ondas viajan a través del suelo permitió el

desarrollo de teorías basadas en el método del semiespacio elástico que buscaban

aproximarse a la respuesta real del sistema, como consecuencia de dicha investigación

se definió coeficientes de rigidez que representarían la interacción suelo-estructura y

también el amortiguamiento geométrico, propio del método del semiespacio elástico.

(Richart et al., 1970).

A lo largo de los años se publicaron diferentes modelos tomando como base el

método del semiespacio elástico, entre los más aceptados tenemos el Modelo de Richart

y el Modelo de Veletsos y Verbic (ambos se encuentran recopilados en el reporte ACI

351.3R-04), los cuales serán descritos más adelante. A continuación, se definirá las

hipótesis involucradas en considerar al suelo de apoyo como un semiespacio elástico.

- La cimentación tipo bloque se considera rígida, es decir, solo posee propiedades

inerciales.

- El suelo al ser considerado un semiespacio elástico solo posee propiedades

elásticas, para pequeñas amplitudes de deformación.

- Existe una relación lineal entre el suelo que reacciona ante la vibración de la

cimentación y el desplazamiento del mismo.

- Las reacciones elásticas del suelo actúan directamente sobre la base de la

cimentación.

4.2.1. TEORÍAS DE VIBRACIÓN DE CIMIENTOS EN UN SEMIESPACIO

ELÁSTICO

Gran parte del desarrollo de las teorías de vibración de cimientos en un

semiespacio elástico tuvieron como origen las investigaciones de Lamb en su

publicación: On the propagation of tremors over the surface of an elastic solid. En su

artículo Lamb estudio por primera vez la respuesta del semiespacio elástico excitado

por una fuerza osciladora vertical actuando a lo largo de una línea de acción; de esta

forma, el estableció la solución para la propagación de ondas bidimensionales.

Posteriormente amplió este estudio para incluir la condición de fuerzas oscilantes


62

actuando en dirección horizontal sobre una línea en la superficie del semiespacio

elástico y después para cualquier dirección, ya sea horizontal o vertical actuando en

algún punto interior del cuerpo.

Como consecuencia de su investigación, Lamb también estableció la condición

de reciprocidad dinámica, la cual es una extensión de la ley de reciprocidad de Maxwell,

presente en sistemas estáticos.

Tomando como punto de partida el artículo publicado por Lamb, varios

investigadores intervinieron en desarrollar nuevas teorías o aproximaciones que

intentaron describir el comportamiento de una cimentación apoyada en un semiespacio

elástico, logrando consolidar poco a poco la base del análisis de cimentaciones para

equipos dinámicos, estos aportes se encuentran recopilados en la publicación:

Vibrations of Soils and Foundations.

4.2.1.1. Vibración vertical según la teoría del semiespacio elástico

Reissner fue uno de los primeros investigadores en intentar definir una teoría

para evaluar la respuesta dinámica vertical de una cimentación vibrante descansando

sobre un semiespacio elástico; su solución analítica consistió en determinar el

desplazamiento periódico vertical integrando la solución propuesta por Lamb,

obteniendo la siguiente expresión:

Figura 25 Modelo del semiespacio elástico (Fuente: Sísmica Adiestramiento)


63

𝛽𝛽0 =𝑄𝑄𝑜𝑜𝑒𝑒𝑖𝑖𝜔𝜔𝑡𝑡𝐺𝐺𝑟𝑟𝑜𝑜 (𝑓𝑓1 + 𝑖𝑖𝑓𝑓2) (4.1)

Donde:

𝑄𝑄𝑜𝑜: Amplitud de la fuerza total aplicada al área circular de contacto

𝛽𝛽: Frecuencia circular de la fuerza aplicada

𝐺𝐺: Módulo de corte del semiespacio elástico

𝑍𝑍𝑜𝑜: Radio del área circular de contacto

𝑓𝑓1, 𝑓𝑓2: Funciones de desplazamiento de Reissner

En su solución las funciones 𝑓𝑓1 y 𝑓𝑓2 dependen de la relación de Poisson y de la

frecuencia adimensional 𝐵𝐵𝑜𝑜, definida como:

𝐵𝐵𝑜𝑜 = 𝛽𝛽𝑍𝑍𝑜𝑜𝜌𝜌𝐺𝐺 =𝜔𝜔𝑟𝑟𝑜𝑜𝑣𝑣𝑠𝑠 (4.2)

Donde:

𝜎𝜎𝑠𝑠: Velocidad de propagación de las ondas de corte en el cuerpo elástico

Además, Reissner definió un parámetro de relación de masas b, que describe la

relación entre la masa la cimentación vibrante y cierta masa del semiespacio elástico.

La teoría formulada por Reissner formó la base para clarificar los estudios

analíticos de cimientos que vibran sobre un semiespacio elástico; no obstante, su teoría

no recibió una inmediata aceptación por los ingenieros que trabajaban en el campo de

la dinámica de suelos, debido a que los resultados teóricos no correspondían

completamente con los resultados de las pruebas de campo.


64

Los desarrollos teóricos más importantes de este período fueron el

descubrimiento por parte de Hsieh y Lysmer, estableciendo que el comportamiento

dinámico de una cimentación tipo bloque cargada verticalmente puede ser representado

por un sistema masa-rigidez-amortiguamiento de un grado de libertad con coeficientes

de rigidez y amortiguamiento dependientes de la frecuencia.

Lysmer posteriormente fue un paso más allá al sugerir el uso de los siguientes

coeficientes independientes de la frecuencia para aproximar la respuesta de la

cimentación en un rango de frecuencia baja y media:

𝐾𝐾𝑧𝑧 =4𝐺𝐺𝑟𝑟𝑜𝑜1−𝜇𝜇 (4.3)

𝐶𝐶𝑧𝑧 =3.41−𝜇𝜇 𝑍𝑍𝑜𝑜2𝐺𝐺𝜌𝜌 (4.4)

En donde:

𝐾𝐾𝑧𝑧: Constante de rigidez del resorte

𝐶𝐶𝑧𝑧: Constante de amortiguamiento

𝑍𝑍𝑜𝑜: Radio del área circular cargada

G: Módulo de corte del semiespacio elástico

𝜇𝜇: Relación de Poisson

𝜌𝜌: Densidad del suelo

El éxito de la aproximación de Lysmer (a menudo llamada Analogía de Lysmer)

en la reproducción con muy buena precisión de la respuesta real del sistema, tuvo un

profundo efecto en el desarrollo posterior y la aplicación de ingeniería de las teorías del

semiespacio elástico.


65

Richart y Whitman extendieron la analogía de Lysmer al demostrar que todos

los modos de vibración pueden estudiarse por medio de sistemas de masa-rigidez-

amortiguamiento de 1 GDL que tienen parámetros independientes de la frecuencia, la

ecuación es mostrada a continuación:

𝐵𝐵𝛽 + 𝐶𝐶𝑧𝑧𝛽 + 𝐾𝐾𝑧𝑧𝛽𝛽 = 𝐹𝐹𝑧𝑧 (4.5)

En donde 𝛽𝛽, 𝛽 y 𝛽 son el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de la masa

oscilante, respectivamente; 𝐹𝐹𝑧𝑧 es la fuerza dinámica externa vertical proveniente de la

máquina.

4.2.1.2. Vibración lateral según la teoría del semiespacio elástico

De manera análoga a la vibración vertical, se presentaron soluciones para

describir la respuesta de la cimentación ante la vibración lateral o de deslizamiento.

Bycroft presentó una solución analítica para la traslación horizontal de un disco circular

rígido, apoyado en la superficie de un semiespacio elástico y excitado por una fuerza

horizontal.

Más adelante, Hall definió una relación de masa modificada para deslizamiento

lateral; y además desarrolló la conocida Analogía de Hall, donde relacionaba la solución

del semiespacio elástico con un sistema equivalente masa-rigidez-amortiguamiento,

logrando definir la constante del resorte y amortiguamiento equivalente para un

movimiento lateral:

𝐾𝐾𝑚𝑚 =32(1−𝜇𝜇)7−8𝜇𝜇 𝐺𝐺𝑍𝑍𝑜𝑜 (4.6)

𝐶𝐶𝑚𝑚 =18.4(1−𝜇𝜇)7−8𝜇𝜇 𝑍𝑍𝑜𝑜2𝐺𝐺𝜌𝜌 (4.7)

La ecuación de la analogía para la vibración lateral es:

𝐵𝐵𝛽 + 𝐶𝐶𝑚𝑚𝛽 + 𝐾𝐾𝑚𝑚𝛽𝛽 = 𝑃𝑃𝑚𝑚 (4.8)


66

En el que 𝛽𝛽, 𝛽 y 𝛽 son el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de la

masa oscilante, respectivamente; 𝑃𝑃𝑚𝑚 es la fuerza dinámica externa horizontal

proveniente de la máquina.

4.2.1.3. Vibración por balanceo según la teoría del semiespacio elástico

El problema de vibración por balanceo puro fue analizado por Bycroft (1956),

donde asumieron una expresión de presión vertical debajo de una cimentación, a partir

de su propuesta lograron definir el coeficiente de relación de masa, el cual era

directamente proporcional al momento de inercia de la masa de la cimentación y de la

máquina alrededor del eje de rotación.

Hall (1967) propuso un modelo equivalente masa-rigidez-amortiguamiento que

puede usarse para evaluar la respuesta del balanceo en una cimentación rígida, apoyada

sobre la superficie de un semiespacio elástico. Los parámetros definidos son los

siguientes:

Constante de resorte para balanceo:

𝐾𝐾𝛹𝛹 =8𝐺𝐺𝑟𝑟𝑜𝑜33(1−𝜇𝜇)

(4.9)

Constante de amortiguamiento para balanceo:

𝐶𝐶𝛹𝛹 =0.80𝑟𝑟𝑜𝑜4𝐺𝐺𝜌𝜌

(1−𝜇𝜇)(1+𝐵𝐵𝛹𝛹) (4.10)

La ecuación de la analogía para la vibración por balanceo:

𝐼𝐼𝛹𝛹𝜓 + 𝐶𝐶𝛹𝛹𝜓 + 𝐾𝐾𝛹𝛹𝜓𝜓 = 𝑀𝑀𝑚𝑚,𝑦𝑦 (4.11)

Donde:

𝛽𝛽: Rotación angular de la cimentación alrededor de su eje horizontal, 𝐼𝐼𝛹𝛹 es el

momento de inercia de masa de la cimentación.


67

𝑀𝑀𝑚𝑚,𝑦𝑦; Momento de excitación actuando alrededor del eje X o Y.

4.2.1.4. Vibración torsional según la teoría del semiespacio elástico

El problema de la vibración por torsión de una cimentación fue analizado por

Reissner (1939) y luego por Reissner y Sagoci (1944). Las constantes de resorte 𝐾𝐾𝜂𝜂 y la

de amortiguamiento 𝐶𝐶𝜂𝜂 son dadas por Richart, Hall y Woods.

𝐾𝐾𝜃𝜃 =163 𝐺𝐺𝑍𝑍𝑜𝑜3 (4.12)

𝐶𝐶𝜃𝜃 =1.6𝑟𝑟𝑜𝑜4𝐺𝐺𝜌𝜌1+𝐵𝐵𝜃𝜃 (4.13)

Richart, Hall y Woods (1970) definieron la solución de la analogía para el caso

de vibraciones por torsión, la cual puede expresarse de la siguiente manera:

𝐼𝐼𝜃𝜃𝜃 + 𝐶𝐶𝜃𝜃𝜃 + 𝐾𝐾𝜃𝜃𝜃𝜃 = 𝑇𝑇𝜃𝜃 (4.14)

Donde:

𝜃𝜃: Rotación angular de la cimentación alrededor de su eje vertical

𝐼𝐼𝜃𝜃: Momento de inercia de masa de la cimentación

𝑇𝑇𝜃𝜃: Momento de excitación actuando alrededor del eje vertical

4.2.2. MODOS DE VIBRACIÓN DE UN BLOQUE DE CIMENTACIÓN

Dependiendo de las fuerzas desbalanceadas que produzca el equipo, una

cimentación tipo bloque rígido puede presentar hasta seis modos de vibrar:

Tres Modos Traslacionales: Vertical, lateral y longitudinal

Tres Modos Rotacionales: Torsional (twisting o yawing)


68

Oscilante o balanceo (rocking)

Cabeceo (pitching o rocking)

Cualquier movimiento del bloque puede ser resuelto con estos 6

desplazamientos independientes. Por lo tanto, el bloque tiene 6 grados de libertad (o

modos de vibración) y 6 frecuencias naturales de vibración. De los seis modos, la

traslación a lo largo del eje Z y la rotación a lo largo del eje Z son generalmente

independientes de cualquier otro movimiento. Sin embargo, la traslación a lo largo de

los ejes X o Y y la correspondiente rotación alrededor del eje Y o X respectivamente,

siempre ocurrirán juntos y son denominados modos acoplados. Por lo tanto, al analizar

una cimentación tipo bloque rígido, uno debe estar preocupado con los cuatro tipos de

movimiento de los cuales dos (traslación en el eje Z y rotación alrededor del eje Z) son

independientes y dos (traslación en el eje X y rotación alrededor del eje Y y viceversa)

son acoplados, es decir, ocurren simultáneamente. (Prakash, 1981).

4.2.2.1. Modelo equivalente del modo de vibración vertical

El modo vertical normalmente se comporta independientemente de otros modos

de vibrar. La masa m proveniente de la máquina y la cimentación es asumida para ser

concentrada en el eje vertical. Las constantes de resorte del suelo, 𝐾𝐾𝑧𝑧, constante de

Figura 26 Modos de vibración de un bloque de cimentación (Arya et al., 1979)


69

amortiguamiento del suelo 𝐶𝐶𝑧𝑧 y la fuerza de la máquina 𝐹𝐹𝑧𝑧 tienen su línea de acción

coincidiendo con el eje vertical. Ecuación de movimiento:

𝐵𝐵𝛽 + 𝐶𝐶𝑧𝑧𝛽 + 𝐾𝐾𝑧𝑧𝛽𝛽 = 𝐹𝐹𝑧𝑧 (4.15)

Figura 27 Modelo equivalente del modo de vibración vertical (Arya et al., 1979)

4.2.2.2. Modelo equivalente del modo de vibración horizontal

La representación para el modo horizontal involucra una aproximación, en este

modo, contrariamente al modo vertical, las masas no se encuentran en el mismo eje

horizontal, ni la línea de acción de la fuerza coincide. Debido a estas razones, este modo

es normalmente acoplado con el modo de balanceo. Ecuación de movimiento del modo

de vibración horizontal puro:

𝐵𝐵𝛽 + 𝐶𝐶𝑚𝑚𝛽 + 𝐾𝐾𝑚𝑚𝛽𝛽 = 𝐻𝐻 (4.16)

Figura 28 Modelo equivalente del modo de vibración horizontal (Arya et al., 1979)

4.2.2.3. Modelo equivalente del modo de vibración rotacional

Este modelo equivalente representa la rotación o balanceo puro de un bloque. Se

encuentra descrito por los siguientes parámetros: el momento de inercia de masa 𝐼𝐼𝛹𝛹, la


70

rigidez rotacional 𝐾𝐾𝛹𝛹, constante de amortiguamiento 𝐶𝐶𝛹𝛹 y el momento actuante 𝑇𝑇𝛹𝛹.

Ecuación de movimiento:

𝐼𝐼𝛹𝛹𝜓 + 𝐶𝐶𝛹𝛹𝜓 + 𝐾𝐾𝛹𝛹𝜓𝜓 = 𝑇𝑇𝛹𝛹 (4.17)

Figura 29 Modelo equivalente del modo de vibración rotacional (Arya et al., 1979)

4.2.2.4. Modelo equivalente del modo de vibración torsional

Este modelo equivalente representa la rotación alrededor del eje vertical del

bloque. Se encuentra descrito por los siguientes parámetros: el momento de inercia de

masa 𝐼𝐼𝜃𝜃, la rigidez torsional 𝐾𝐾𝜃𝜃, constante de amortiguamiento 𝐶𝐶𝜃𝜃 y el momento torsor

actuante 𝑇𝑇𝜃𝜃. Ecuación de movimiento:

𝐼𝐼𝜃𝜃𝜃 + 𝐶𝐶𝜃𝜃𝜃 + 𝐾𝐾𝜃𝜃𝜃𝜃 = 𝑇𝑇𝜃𝜃 (4.18)

Figura 30 Modelo equivalente del modo de vibración torsional (Arya et al., 1979)


71

4.2.2.5. Modelo equivalente del modo de vibración acoplado de traslación y

balanceo

Si se considera únicamente el modo horizontal puro, dará como resultado una

aproximación debido a que contrario al modo de vibración vertical, en el movimiento

horizontal las masas no están ubicadas en el mismo eje horizontal y no coinciden con la

línea de acción de las fuerzas. Debido a estar razones el modo horizontal normalmente

está acoplado con el modo de balanceo, y su modelo matemático de dos grados de

libertad representa mejor el verdadero comportamiento dinámico de la estructura.

𝐵𝐵𝛽 + 𝐶𝐶𝑚𝑚𝛽 + 𝑘𝑘𝑚𝑚(𝛽𝛽 − 𝜓𝜓ℎ0) − ℎ0𝐶𝐶𝑚𝑚𝜓𝜓 = 𝐹𝐹0𝑑𝑑𝐹𝐹𝑐𝑐𝛽𝛽𝑡𝑡 (4.19)

𝐼𝐼𝛹𝛹𝜓 + 𝐶𝐶𝛹𝛹 + ℎ02𝐶𝐶𝑚𝑚𝜓 + 𝑘𝑘𝛹𝛹 + ℎ02𝑘𝑘𝑚𝑚𝜓𝜓 − ℎ0𝐶𝐶𝑚𝑚𝛽 − ℎ0𝑘𝑘𝑚𝑚𝛽𝛽 = 𝐹𝐹0𝐻𝐻𝑑𝑑𝐹𝐹𝑐𝑐𝛽𝛽𝑡𝑡 (4.20)

Figura 31 Modelo equivalente del modo de vibración acoplado de traslación y balanceo (Arya et al., 1979)

Figura 32 Desplazamiento generados por el acople del modo traslacional y rotacional (Arya et al., 1979)


72

4.2.3. COEFICIENTES DE DISEÑO

En las secciones anteriores fueron descritas las teorías de vibración de cimientos

en un semiespacio elástico, concluyendo con la idealización de la cimentación como

sistemas de masa concentrada de 1 GDL, caracterizados por una masa equivalente, una

constante de rigidez equivalente y una constante de amortiguamiento.

Seguidamente se describirán estos coeficientes empleados en las ecuaciones

diferenciales de movimiento, estableciendo un contraste entre los modos de vibración

traslacionales y los modos de vibración rotacionales; además se especificará que otras

consideraciones se deben tomar en cuenta para lograr una compatibilidad entre el

modelo físico y el modelo matemático.

4.2.3.1. Masa del sistema equivalente

Se emplea la masa equivalente del sistema cuando intentamos calcular la

respuesta exclusivamente para los modos de vibración traslacionales (desplazamiento

en X, Y o Z). Esta masa equivalente será la suma de la masa de la cimentación con la

masa de la máquina, obteniendo una masa total con la que se realizarán los cálculos de

la respuesta del sistema.

Figura 33 Idealización de la masa para el modelo matemático (Arya et al., 1979)


73

4.2.3.2. Momento de inercia de masa equivalente

En contraste con los modos de vibración traslacionales, cuando hablamos de

rotaciones o giros del sistema es necesario emplear el momento de inercia de masa

equivalente (considerando el aporte tanto de la cimentación como de la máquina).

Además, se deberá prestar atención en calcular dichos momentos de inercia de masa en

un eje que pase por el centro de gravedad de la base de la cimentación, dependiendo de

la dirección de análisis. Esto se debe a que la rigidez y el amortiguamiento

proporcionado por el suelo interactuarán en la base de dicha cimentación.

Figura 34 Idealización del momento de inercia de masa para los modos de vibración rotativos (Bhatia, 2008)

4.2.3.3. Constante de rigidez equivalente

Las constantes de rigidez representan las reacciones del suelo debajo del bloque

de cimentación con su correspondiente deformación elástica, siendo diferentes para cada

modo de vibración. Estas constantes pueden ser calculados con el Módulo de Corte, la

relación de Poisson y la geometría del área de contacto de la cimentación.

Dichas constantes de rigidez son resultado del modo de vibrar al que estará

sometida la cimentación, es decir, cada modo de oscilación inducirá al suelo a una

condición específica.

Siendo para el modo de vibrar vertical, una condición de compresión uniforme

en el suelo; para el modo horizontal, una condición de cortante uniforme; para el modo


74

de balanceo, una condición de compresión no uniforme; y para la condición torsional,

una condición no uniforme de cortante, estas condiciones se expresarán a través de

constantes de rigidez.

4.2.3.4. Constante de amortiguamiento

En el método del semiespacio elástico, la constante de amortiguamiento

representará el amortiguamiento geométrico o radial proporcionado por el cuerpo

elástico del suelo, adicionalmente es posible agregar el amortiguamiento del material;

sin embargo, esto dependerá del modelo que se esté empleando para calcular la respuesta

del sistema.

4.2.4. IMPEDANCIA PROPORCIONADA POR EL SUELO

Según ACI 351.3R (2004), la impedancia se refiere a la relación que existe entre

la rigidez y el amortiguamiento proporcionado por el suelo hacia el sistema máquina-

cimentación.

Muchos investigadores han desarrollado aproximaciones o métodos

simplificados presentando resultados en gráficas adimensionales, de forma tabulada, o

ecuaciones simples adaptadas. El ejemplo clásico de tales métodos es el correspondiente

a un sistema de un grado de libertad con los parámetros independientes de la frecuencia

propuesta por Lysmer y Richart para vibración vertical de una zapata circular rígida

sobre un semiespacio elástico. Sistemas similares o análogos fueron desarrollados para

otros modos de vibración, los cuales son ampliamente utilizados en la actualidad

(Richart et al., 1970).

Posteriormente, Veletsos y Verbic ajustaron ecuaciones y gráficos a sus

resultados analíticos, proponiendo procedimientos simples para tomar en cuenta la

variación de rigidez y amortiguamiento dinámico equivalente a diferentes frecuencias

de excitación, y la influencia del embebido en la respuesta de la cimentación.


75

En aplicaciones prácticas, la selección del modelo apropiado depende en gran

medida del tamaño del proyecto, así como la disponibilidad de los códigos pertinentes.

Además, el modelo a ser seleccionado debe reflejar adecuadamente las siguientes

características determinantes del sistema suelo-cimentación y de la excitación

proveniente de la máquina:

- La forma de la interfaz suelo-cimentación (circular, rectangular o forma

arbitraria).

- La cantidad de embebido (cimentación superficial, cimentación parcial,

completamente embebida o pilotes).

- La naturaleza del perfil del suelo (depósito uniforme o estratificado, estrato

superficial sobre el lecho de roca).

- Frecuencia de excitación de la máquina (baja, media o alta).

4.2.4.1. Modelo de Richart

Richart propuso un modelo de parámetros agrupados para obtener la respuesta

de la cimentación ante cargas de carácter dinámico, empleando ecuaciones de 1 GDL

logró ajustar los coeficientes de rigidez y amortiguamiento con la finalidad de calibrar

la respuesta de la cimentación a la solución exacta.

Sin embargo, el Modelo de Richart fue desarrollado para bajas frecuencias de

operación, es decir, el modelo solo es recomendado para frecuencias adimensionales

entre 0 < 𝐵𝐵0 < 1. (ACI, 2004).

𝐵𝐵𝑜𝑜 = 𝛽𝛽𝑍𝑍𝑜𝑜𝜌𝜌𝐺𝐺 =𝜔𝜔𝑟𝑟𝑜𝑜𝑣𝑣𝑠𝑠 (4.21)

A continuación, describiremos los coeficientes de diseño empleados por el

Modelo de Richart, importantes para resolver las ecuaciones diferenciales de

movimiento para cada dirección de análisis.


76

Tabla 10 Constantes de los resortes para cimentaciones circulares sobre en un semiespacio elástico (Richart et al., 1970)

En la Tabla 10 se muestran las constantes de rigidez estáticos, estas fueron

desarrolladas para cimentaciones circulares; sin embargo, en la práctica nos

encontramos con cimentaciones de forma rectangular, por esta razón es necesario

expresar este tipo de cimentaciones a través de un radio equivalente para cada dirección

de análisis.

Para traslación: 𝑍𝑍0 = 4𝑐𝑐𝑐𝑐𝜋𝜋 (4.22)

Para balanceo: 𝑍𝑍0 = 16𝑐𝑐𝑐𝑐33𝜋𝜋4 (4.23)

Para torsión: 𝑍𝑍0 = 16𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑐𝑐2+𝑐𝑐2)6𝜋𝜋4 (4.24)

En donde:

2𝑑𝑑: ancho de la cimentación (a lo largo del eje de rotación para el caso de

balanceo)

2𝑇𝑇: longitud de la cimentación (en el plano de rotación para balanceo)

Adicionalmente, también surgieron expresiones adicionales para poder estimar

las constantes de rigidez, estas expresiones pueden emplearse cuando la relación de


77

aspecto longitud/ancho son mayores a 2. Estas constantes de rigidez son descritas a

continuación:

Tabla 11 Constantes de los resortes para cimentaciones rectangulares rígidas sobre un semiespacio elástico (Richart et al., 1970)

En donde los valores de 𝛽𝛽 corresponden a los coeficientes de forma propuestos

para los modos traslacionales y para el modo de balanceo.

Figura 35 Coeficientes 𝛽𝛽𝑧𝑧, 𝛽𝛽𝑚𝑚 y 𝛽𝛽𝛹𝛹 para cimentaciones rectangulares (Richart et al., 1970)

Estimados los valores de las constantes de rigidez para cada dirección de

análisis, lo siguiente es definir la relación de amortiguamiento geométrico de la

cimentación; para su estimación es necesario calcular las relaciones de masa (para los

modos de vibrar traslacionales) o relaciones de momentos de inercia de masa (para los

modos de vibrar rotacionales).


78

Tabla 12 Relación de Amortiguamiento para Cimentaciones Rígidas Circulares (Richart et al., 1970)

4.2.4.2. Modelo de Veletsos y Verbic

Veletsos y Verbic desarrollaron expresiones analíticas dependientes de la

frecuencia para obtener la respuesta de una cimentación sometida a una carga dinámica

con una frecuencia de operación determinada, empleando el concepto de impedancia

dinámica.

Para cada excitación armónica particular, la impedancia dinámica es definida

como la razón entre la fuerza (o momento) 𝑅𝑅 y el desplazamiento (o rotación) 𝛽𝛽 en

estado estable resultante en el centroide de la base de la cimentación rígida sin masa.

Las funciones de impedancia serán diferentes para cada modo de vibración.

Para el caso de vibraciones verticales puras, la impedancia vertical Kz es definida

como:

𝐾𝐾𝑧𝑧 =𝑅𝑅𝑧𝑧(𝑝𝑝)𝑧𝑧(𝑝𝑝)

(4.25)


79

En el que 𝑅𝑅𝑧𝑧(𝑡𝑡) es la reacción vertical total del suelo contra la base de la

cimentación y, 𝛽𝛽(𝑡𝑡) es el asentamiento armónico uniforme de la interacción suelo-

cimentación. 𝑅𝑅𝑧𝑧(𝑡𝑡) también será igual a la fuerza de excitación vertical y puede ser

expresada como:

𝑅𝑅𝑧𝑧(𝑡𝑡) = 𝑅𝑅𝑧𝑧𝑒𝑒𝑖𝑖𝜔𝜔𝑜𝑜𝑝𝑝 (4.26)

De forma similar,

𝛽𝛽(𝑡𝑡) = 𝛽𝛽𝑒𝑒𝑖𝑖𝜔𝜔𝑜𝑜𝑝𝑝 (4.27)

La fuerza dinámica y el desplazamiento generalmente están fuera de fase. La

función de impedancia generalizada puede ser expresada usando notación compleja de

la siguiente manera:

𝐾𝐾𝑚𝑚(𝛽𝛽𝑜𝑜) = 𝐾𝐾𝑚𝑚1(𝛽𝛽𝑜𝑜) + 𝑖𝑖𝐾𝐾𝑚𝑚2(𝛽𝛽𝑜𝑜) (4.28)

En donde el subíndice 𝐵𝐵 representa la dirección de análisis. Tanto la parte real

como la imaginaria de la impedancia dinámica son funciones de la frecuencia de

excitación, 𝛽𝛽𝑜𝑜. El significado de la parte real e imaginaria puede ser fácilmente

entendido al considerar un sistema de 1 GDL para el caso de vibración vertical, donde

la ecuación de movimiento puede ser definida como:

Figura 36 Cimentación rígida asumida como una cimentación rígida sin masa, según el modelo de las impedancias dinámicas (Dobry y Gazetas, 1986)


80

𝐵𝐵𝛽(𝑡𝑡) + 𝑑𝑑𝑧𝑧𝛽(𝑡𝑡) + 𝑘𝑘𝑧𝑧𝛽𝛽(𝑡𝑡) = 𝑅𝑅𝑧𝑧(𝑡𝑡) (4.29)

Siendo, 𝛽𝛽(𝑡𝑡) = 𝛽𝛽𝑒𝑒𝑖𝑖𝜔𝜔𝑜𝑜𝑝𝑝 y 𝑅𝑅𝑧𝑧(𝑡𝑡) = 𝑅𝑅𝑧𝑧𝑒𝑒𝑖𝑖𝜔𝜔𝑜𝑜𝑝𝑝 y sustituyendo en la ecuación de

movimiento podemos obtener:

(𝑘𝑘𝑧𝑧 −𝐵𝐵𝛽𝛽𝑜𝑜2) + 𝑖𝑖𝑑𝑑𝑧𝑧𝛽𝛽𝑜𝑜 =𝑅𝑅𝑧𝑧(𝑝𝑝)𝑧𝑧(𝑝𝑝)

(4.30)

Además, sabemos que 𝐾𝐾𝑧𝑧 =𝑅𝑅𝑧𝑧(𝑝𝑝)𝑧𝑧(𝑝𝑝)

Entonces:

𝐾𝐾𝑧𝑧 = (𝑘𝑘𝑧𝑧 −𝐵𝐵𝛽𝛽𝑜𝑜2) + 𝑖𝑖𝑑𝑑𝑧𝑧𝛽𝛽𝑜𝑜 (4.31)

Como podemos observar en la ecuación (4.31), la impedancia dinámica es un

número complejo. Además, comparando la ecuación (4.31) con la ecuación (4.28):

𝐾𝐾𝑧𝑧1 = 𝑘𝑘𝑧𝑧 −𝐵𝐵𝛽𝛽𝑜𝑜2 (4.32)

𝐾𝐾𝑧𝑧2 = 𝑑𝑑𝑧𝑧𝛽𝛽𝑜𝑜 (4.33)

Se puede apreciar en las ecuaciones (4.32) y (4.33), que la parte real dependiente

de la frecuencia representa la rigidez e inercia del sistema suelo-cimentación y la parte

imaginaria representa el amortiguamiento geométrico o pérdida de energía en el sistema.

Es posible redefinir las ecuaciones anteriores con la finalidad de expresar la

impedancia dinámica en función de la constante de rigidez estática (del Modelo de

Richart).

𝐾𝐾𝑧𝑧 = 𝑘𝑘𝑧𝑧 1 − 𝜔𝜔𝑜𝑜2𝜔𝜔𝑛𝑛2+ 2𝑖𝑖𝜉𝜉𝑧𝑧 𝜔𝜔𝑜𝑜𝜔𝜔𝑛𝑛 (4.34)

O

𝐾𝐾𝑧𝑧 = 𝑘𝑘𝑧𝑧(𝑘𝑘 + 𝑖𝑖𝛽𝛽𝑜𝑜𝑑𝑑𝑠𝑠) (4.35)


81

En donde:

𝜉𝜉𝑧𝑧 =𝑐𝑐𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟 =

𝑐𝑐𝑧𝑧2𝑘𝑘𝑧𝑧/𝜔𝜔𝑛𝑛 (4.36)

Como podemos observar en la ecuación (4.35) la impedancia dinámica puede

ser expresada como un producto entre la constante del resorte estático kz multiplicado

a un número complejo (𝑘𝑘 + 𝑖𝑖𝑑𝑑𝑠𝑠𝛽𝛽).

Las ecuaciones propuestas por Veletsos y Verbic, se encuentran expresadas

usando el factor de frecuencia adimensional 𝐵𝐵𝑜𝑜 = 𝛽𝛽𝑍𝑍𝑜𝑜𝜌𝜌/𝐺𝐺, entonces la ecuación

(4.35) puede ser expresada como:

𝐾𝐾𝑧𝑧 = 𝑘𝑘𝑧𝑧(𝑘𝑘 + 𝑖𝑖𝐵𝐵𝑜𝑜𝑑𝑑) (4.37)

De manera análoga es posible generalizar y desarrollar las funciones de

impedancia para los demás grados de libertad presentes en una cimentación rígida. Es

importante aclarar que la carga y la respuesta de la cimentación de un equipo dinámico

será siempre real. Los números complejos se utilizan simplemente por conveniencia

para simplificar los cálculos de funciones armónicas.

Figura 37 Interpretación física de los coeficientes de rigidez y amortiguamiento dinámico para un cimiento excitado con una fuerza vertical (Dobry y Gazetas, 1986)


82

Para resolver la respuesta de una cimentación excitada con fuerzas dinámicas de

carácter armónico, Veletsos y Verbic proponen dividir el problema en dos casos: caso

1, despreciando el amortiguamiento interno del material; y el caso 2, considerando el

amortiguamiento interno del material. Su metodología también toma en cuenta los

efectos de embebido que pueden estar presentes en una cimentación, proponiendo que

el caso 1 sea desarrollado mediante dos soluciones: Solución 1, sin considerar embebido

del cimiento y, Solución 2, considerando efecto de embebido o confinamiento. (ACI,

2004).

a) Caso 1: Despreciando el amortiguamiento interno del material

En este primer caso no se toma en cuenta el amortiguamiento interno del suelo.

Para este caso habrá dos soluciones una que no considere el embebido de la cimentación

en el terreno y otra que, si lo tome en cuenta, ver Tablas 13, 14 y 15. Esta segunda

solución dependerá de la profundidad de embebido.

b) Caso 2: Considerando el amortiguamiento interno del material

Habiendo determinado los coeficientes de rigidez equivalente y

amortiguamiento mediante las expresiones expuestas en el Caso 1, con y sin embebido,

se determina la rigidez y amortiguamiento final para ambas soluciones en cada dirección

de estudio, tomando en cuenta el aporte ofrecido por el suelo al considerar el

amortiguamiento interno del material, para lo cual se aplican las siguientes expresiones

con los coeficientes tanto de la Solución 1 como de la Solución 2.

𝐾𝐾𝑖𝑖𝑓𝑓𝑖𝑖𝑛𝑛𝑚𝑚𝑓𝑓 = 𝑘𝑘𝑖𝑖 − (2 𝛽𝛽 𝛽𝛽𝑚𝑚 𝛽𝛽 𝑑𝑑𝑖𝑖 𝛽𝛽 𝛽𝛽𝑜𝑜) (4.38)

𝐶𝐶𝑖𝑖𝑓𝑓𝑖𝑖𝑛𝑛𝑚𝑚𝑓𝑓 = 𝑑𝑑𝑖𝑖 + (2 𝛽𝛽 𝛽𝛽𝑚𝑚 𝛽𝛽 𝑘𝑘𝑖𝑖𝜔𝜔𝑜𝑜 ) (4.39)


83

Tabla 13 Impedancia sin considerar embebido del cimiento (ACI, 2004)


84

Tabla 14 Valores de α, β y γ (ACI, 2004)

Tabla 15 Impedancia considerando el embebido del cimiento (ACI, 2004)


85

c) Impedancia total del sistema

La aproximación de Veletsos y Verbic, establece que al sumar los coeficientes

de rigidez y amortiguamiento finales de las Soluciones 1 y 2 obtenido luego de

considerar el amortiguamiento del material del Caso 2, se obtiene la impedancia total

del sistema en cada dirección de movimiento, aplicados directamente en la base de la

cimentación.

𝐾𝐾𝑖𝑖𝑝𝑝𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 = 𝐾𝐾𝑖𝑖 𝑠𝑠𝑜𝑜𝑓𝑓_1𝑓𝑓𝑖𝑖𝑛𝑛𝑚𝑚𝑓𝑓+ 𝐾𝐾𝑖𝑖 𝑠𝑠𝑜𝑜𝑓𝑓_2𝑓𝑓𝑖𝑖𝑛𝑛𝑚𝑚𝑓𝑓 (4.40)

𝐶𝐶𝑖𝑖𝑝𝑝𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 = 𝐶𝐶𝑖𝑖 𝑠𝑠𝑜𝑜𝑓𝑓_1𝑓𝑓𝑖𝑖𝑛𝑛𝑚𝑚𝑓𝑓+ 𝐶𝐶𝑖𝑖 𝑠𝑠𝑜𝑜𝑓𝑓_2𝑓𝑓𝑖𝑖𝑛𝑛𝑚𝑚𝑓𝑓 (4.41)

4.2.5. ANÁLISIS DE LOS MODOS DE VIBRACIÓN

Se realiza el análisis de cada modo de vibración con la finalidad de calcular la

amplitud de desplazamiento del sistema, y con estos valores poder verificar que se

encuentre dentro de los rangos adecuados de manera que el sistema no represente un

riesgo para el equipo y las personas. Para realizar este análisis será necesario recurrir a

conceptos relacionados a la teoría elemental de la dinámica de estructuras, comenzando

con definir las propiedades del sistema, tales como:

4.2.5.1. Frecuencia natural del sistema

Las frecuencias naturales del sistema para los modos de vibración traslacionales

se encontrarán definidos por:

𝛽𝛽𝑛𝑛 = 𝑘𝑘𝑢𝑢𝑚𝑚𝑇𝑇𝑜𝑜𝑡𝑡𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑘𝑘𝑢𝑢∗𝑔𝑔𝑊𝑊𝑇𝑇𝑜𝑜𝑡𝑡𝑇𝑇𝑇𝑇 (4.42)

Donde:

𝛽𝛽𝑛𝑛: Frecuencia natural del sistema en la dirección de análisis 𝑘𝑘𝑢𝑢: Rigidez dinámica traslacional


86

𝐵𝐵𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓: Masa total del sistema 𝑊𝑊𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓: Peso total del sistema

Las frecuencias naturales del sistema para los modos de vibración rotacionales

se encontrarán definidos por:

𝛽𝛽𝑛𝑛 = 𝑘𝑘𝜑𝜑𝐽𝐽 (4.43)

Donde:

𝛽𝛽𝑛𝑛: Frecuencia natural del sistema 𝑘𝑘𝜑𝜑: Rigidez dinámica rotacional 𝐽𝐽: Momento de inercia de masa en la dirección de análisis

Las frecuencias naturales acopladas del sistema para el modo de vibración

rotacional y traslacional ocurriendo simultáneamente se encuentran definidas por la

solución de la siguiente ecuación:

𝛽𝛽𝑛𝑛4 − 𝜔𝜔𝑛𝑛𝑢𝑢2 +𝜔𝜔𝑛𝑛𝜑𝜑𝐿𝐿2𝛾𝛾 𝛽𝛽𝑛𝑛2 +𝜔𝜔𝑛𝑛𝑢𝑢2 ∗𝜔𝜔𝑛𝑛𝜑𝜑𝐿𝐿2𝛾𝛾 = 0 (4.44)

Donde:

𝛽𝛽𝑛𝑛: Frecuencia natural acoplada

𝛽𝛽𝑛𝑛𝑢𝑢: Frecuencia natural correspondiente al grado de libertad horizontal

𝛽𝛽𝑛𝑛𝜑𝜑𝑛𝑛: Frecuencia natural correspondiente al balanceo

𝛾𝛾: Es el cociente entre el momento de inercia de masa respecto a un eje paralelo

a la dirección L que pasa por el centro de masa del sistema y el momento de

inercia de masa respecto a un eje paralelo a L que pasa por el centro de masa de

la base de la cimentación.


87

4.2.5.2. Razón de amortiguamiento

Las razones de amortiguamiento del sistema para los modos de vibración

traslacionales se encontrarán definidos por:

𝜁𝜁 =𝑐𝑐𝑖𝑖2∗𝑘𝑘𝑢𝑢∗𝑚𝑚𝑇𝑇𝑜𝑜𝑡𝑡𝑇𝑇𝑇𝑇 =

𝑐𝑐𝑖𝑖2∗𝑘𝑘𝑢𝑢∗𝑊𝑊𝑇𝑇𝑜𝑜𝑡𝑡𝑇𝑇𝑇𝑇𝑔𝑔 (4.45)

Donde:

𝜁𝜁: Relación o razón de amortiguamiento 𝑑𝑑𝑖𝑖: Coeficiente de amortiguamiento viscoso en la dirección de análisis i 𝑘𝑘𝑢𝑢: Rigidez dinámica traslacional 𝐵𝐵𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓: Masa total del sistema 𝑊𝑊𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓: Peso total del sistema

Las razones de amortiguamiento del sistema para los modos de vibración

rotacionales se encontrarán definidos por:

𝜁𝜁 =𝑐𝑐𝑖𝑖2∗𝑘𝑘𝜑𝜑∗𝐽𝐽 (4.46)

Donde:

𝜁𝜁: Relación o razón de amortiguamiento 𝑑𝑑𝑖𝑖: Coeficiente de amortiguamiento viscoso en la dirección de análisis i 𝑘𝑘𝜑𝜑: Rigidez dinámica rotacional 𝐽𝐽: Momento de inercia de masa en la dirección de análisis


88

4.2.5.3. Relación de frecuencias

En el diseño de cimentaciones para maquinaria la relación de frecuencias cobra

vital importancia al momento de realizar las verificaciones por efectos resonancia, dicha

relación se encuentra definida en la siguiente expresión:

𝛽𝛽𝜔𝜔 =𝜔𝜔𝑜𝑜𝜔𝜔𝑛𝑛 (4.47)

Donde:

𝛽𝛽𝜔𝜔: Relación de frecuencias 𝛽𝛽𝑜𝑜: Frecuencia de operación rotacional 𝛽𝛽𝑛𝑛: Frecuencia natural del sistema

4.2.5.4. Amplitud de desplazamiento

La teoría de dinámica estructural expone la siguiente solución particular para

determinar la máxima amplitud de deformación del sistema:

𝐴𝐴 =𝐹𝐹𝑜𝑜𝐾𝐾 𝑀𝑀 (4.48)

El factor de amplificación dinámica queda definido con la siguiente expresión:

𝑀𝑀 =1(1−𝛽𝛽𝜔𝜔2 )2+(2𝜁𝜁𝛽𝛽𝜔𝜔)2 (4.49)

4.3. RECOMENDACIONES PARA EL REFORZAMIENTO DE LA

CIMENTACIÓN

En gran parte debido al amplio rango de configuraciones de maquinaria que

representa este tipo de construcción los códigos aceptados no han evolucionado. No

existe una cantidad específica mínima de acero aplicable a cimentaciones tipo bloque

para equipos dinámicos, esto es debido a que su desempeño es más dependiente de su


89

masa, área de contacto y respuesta dinámica, contrario a lo que ocurre en estructuras de

edificación donde el diseño por resistencia controla el tamaño de la cimentación y los

requerimientos de acero mínimo impuestos por el ACI 318.

4.3.1. ACERO DE REFUERZO SEGÚN EL MÉTODO DE LAS BIELAS Y

TIRANTES

Para una zapata flexible rige la teoría general de flexión, cumpliéndose las

hipótesis de Navier- Bernoulli; sin embargo, para una zapata rígida, como la propuesta

en esta tesis, se plantea un cálculo del acero de refuerzo por medio del modelo de las

bielas y tirantes, también llamado puntal-tensor.

Este método consiste en sustituir la estructura, o parte de la estructura, por una

de barras articuladas, generalmente plana, que representa su comportamiento. Las barras

comprimidas se denominan bielas y representan la compresión del hormigón. Las barras

traccionadas se denominan tirantes y representan las fuerzas de tracción de las

armaduras. (EHE-08, 2011).

Figura 38 Modelo de bielas y tirantes (EHE-08, 2011)

A continuación, detallaremos el proceso de cálculo para obtener esta tracción, 𝑇𝑇𝑐𝑐, en el tirante inferior.


90

Vemos que sobre el soporte actúan dos cargas situadas a un cuarto de su ancho.

Estas cargas son equivalentes al axial y al momento actuantes, de modo que:

𝑁𝑁1𝑐𝑐 =𝑁𝑁𝑑𝑑+𝑀𝑀𝑑𝑑𝑇𝑇 4⁄2 (4.50)

𝑁𝑁2𝑐𝑐 =𝑁𝑁𝑑𝑑−𝑀𝑀𝑑𝑑𝑇𝑇 4⁄2 (4.51)

Las presiones sobre el suelo son linealmente variables, pero se discretizan en dos

cargas puntuales 𝑅𝑅1𝑐𝑐 y 𝑅𝑅2𝑐𝑐, que representan la resultante de las tensiones de cada

trapecio de la figura 39.

Figura 39 Reacciones y esfuerzos en el suelo

Las presiones máxima y mínima son:

𝜎𝜎1𝑐𝑐 =𝑁𝑁𝑑𝑑𝐵𝐵𝑛𝑛 +

6𝑀𝑀𝑑𝑑𝐵𝐵2𝑛𝑛 (4.52)


91

𝜎𝜎2𝑐𝑐 =𝑁𝑁𝑑𝑑𝐵𝐵𝑛𝑛 − 6𝑀𝑀𝑑𝑑𝐵𝐵2𝑛𝑛 (4.53)

La posición de la división entre ambos bloques de compresiones se define por 𝑓𝑓1 y 𝑓𝑓2:

𝑓𝑓1 =𝐵𝐵2 − 𝑚𝑚4 (4.54)

𝑓𝑓2 =𝐵𝐵2 +

𝑚𝑚4 (4.55)

La presión en el punto entre ambos bloques es:

𝜎𝜎𝐹𝐹 = 𝜎𝜎1𝑐𝑐 − (𝜎𝜎1𝑐𝑐 − 𝜎𝜎2𝑐𝑐)𝑓𝑓1𝐵𝐵 (4.56)

Podemos ya obtener las fuerzas resultantes de la distribución de presiones:

𝑅𝑅1𝑐𝑐 =𝜎𝜎𝐹𝐹+𝜎𝜎1𝑑𝑑2 𝑓𝑓1𝐿𝐿 (4.57)

𝑅𝑅2𝑐𝑐 =𝜎𝜎𝐹𝐹+𝜎𝜎2𝑑𝑑2 𝑓𝑓2𝐿𝐿 (4.58)

La posición de estas resultantes coincide con el centro de gravedad de los

trapecios:

𝛽𝛽1 = 𝑓𝑓1 − 𝑓𝑓13 2𝜎𝜎𝐹𝐹+𝜎𝜎1𝑑𝑑𝜎𝜎𝐹𝐹+𝜎𝜎1𝑑𝑑 (4.59)

𝛽𝛽2 =𝑓𝑓23 2𝜎𝜎2𝑑𝑑+𝜎𝜎𝐹𝐹𝜎𝜎2𝑑𝑑+𝜎𝜎𝐹𝐹 (4.60)


92

Figura 40 Modelo de bielas – tirantes y equilibrio en el nudo

A partir del equilibrio de esfuerzos en el nudo que une 𝑅𝑅1𝑐𝑐, 𝑇𝑇𝑐𝑐 y 𝐶𝐶1𝑐𝑐

obtenemos la tracción en el tirante inferior.

𝑇𝑇𝑐𝑐 =𝑅𝑅1𝑑𝑑0.85𝑐𝑐 𝛽𝛽1 (4.61)

Ahora calculamos la resistencia del acero de refuerzo:

𝐹𝐹𝑛𝑛𝑝𝑝 = 𝐴𝐴𝑠𝑠𝑓𝑓𝑦𝑦 (4.62)

Para diseñar por resistencia, debemos cumplir que:

𝑇𝑇𝑐𝑐 ≤ ∅𝐹𝐹𝑛𝑛𝑝𝑝 (4.63)

Donde ∅ toma el valor de 0.75 según ACI 318-14. Despejando la cantidad de

acero requerido obtenemos:

𝐴𝐴𝑠𝑠 =𝑇𝑇𝑑𝑑∅𝑓𝑓𝑦𝑦 (4.64)

4.3.2. ACERO DE REFUERZO SEGÚN ACI 207.R-95

Recomienda que la cantidad mínima de refuerzo por contracción y temperatura

para muros, losas y zapatas de menos de 48 in de espesor (1.20 m) sea de:


93

𝐴𝐴𝑠𝑠1′ = 0.0015𝐴𝐴𝑔𝑔 (4.65)

Donde, 𝐴𝐴𝑔𝑔, es el área de la sección bruta.

Para miembros con un espesor mayor a 48 in (1.20 m), los requerimientos de

acero mínimo en cada cara deben ser limitados por el espesor de recubrimiento del

miembro y el espaciamiento de las barras, tal y como se indica a continuación:

𝐴𝐴𝑠𝑠2′ =𝑓𝑓𝑡𝑡′𝐴𝐴𝑓𝑓𝑠𝑠 𝐹𝐹

𝐴𝐴100 (4.66)

Donde:

𝐴𝐴𝑠𝑠2′ : Área de acero por ft (pie) de longitud para un ancho determinado.

𝑓𝑓𝑝𝑝′: Resistencia a tracción del concreto (ksi)

𝐴𝐴: Área efectiva del concreto a tracción que rodea a un grupo de barras de

refuerzo y poseen el mismo centroide del refuerzo, dividido entre el número de

barras.

𝑓𝑓𝑠𝑠: Esfuerzo calculado sobre el refuerzo (ksi)

Para miembros de este espesor se recomienda emplear un espaciamiento máximo

de 30 cm y diámetro de barra no menor a la #6 (3/4”).

4.3.3. ACERO DE REFUERZO SEGÚN ACI 224R-01

Propone estimar el ancho probable de grieta mediante la siguiente expresión

simplificada:

𝑤𝑤 = 0.076𝛽𝛽𝑓𝑓𝑠𝑠𝑇𝑇𝑐𝑐𝐴𝐴3 𝛽𝛽 10−3 (4.67)

Donde:


94

𝑤𝑤: Ancho máximo de grieta más probable (in).

β: Relación de distancia entre el eje neutro y la cara en tracción respecto a la

distancia entre el eje neutro y el acero de refuerzo.

𝑓𝑓𝑠𝑠: Tensión en el acero de refuerzo (ksi).

𝑇𝑇𝑐𝑐: Espesor de recubrimiento desde la fibra extrema a tracción respecto a la barra

más cercana a la superficie (in).

𝐴𝐴: Área promedio efectiva de concreto alrededor de cada acero (2𝑇𝑇𝑐𝑐𝑆𝑆) (𝑖𝑖𝜔𝜔2).

Tabla 16 Guía para anchos de fisura razonables, hormigón armado bajo cargas de servicio (ACI, 2001)

4.3.4. ACERO DE REFUERZO SEGÚN ACI 318-14

Establece que la cuantía del refuerzo corrugado de retracción y temperatura

calculada con respecto al área bruta de concreto no debe ser menor que los valores dados

en la Tabla 17.

También establece que el espaciamiento de refuerzo corrugado de retracción y

temperatura no debe exceder el menor de 5h o 450 mm.


95

Tabla 17 Cuantías mínimas de refuerzo corrugado de retracción y temperatura calculadas sobre el área bruta de concreto (ACI, 2014)

4.3.5. ACERO DE REFUERZO SEGÚN ACI 351.3R-04

Los principios diseño del concreto reforzado definidos en ACI 318 son usados

también en el diseño de cimentaciones para equipos dinámicos. Los ingenieros con cada

tipo específico de equipo pueden aplicar criterios adicionales basados en su experiencia.

Algunas empresas especifican un reforzamiento mínimo de 50 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝐵𝐵3⁄ para

cimentaciones con pedestales y 30𝑘𝑘𝑘𝑘 𝐵𝐵3⁄ para losas de cimentación. (ACI, 2004)

4.3.6. COMPROBACIÓN DE CORTANTE

Según la norma EHE-08 (2011) no es necesario la comprobación de cortante

para cimentaciones rígidas.

En el libro de Calavera (2000) se recomienda su comprobación si ℎ < 𝜎𝜎 ≤ 2ℎ,

ya que considera que nos encontramos en un campo de transición gradual de zapata

rígida a una zapata flexible. La comprobación se realiza igual que para las zapatas

flexibles.

Entonces para realizar la verificación por cortante debemos de cumplir con:

𝑉𝑉𝑢𝑢 ≤ ∅𝑐𝑐𝑉𝑉𝑐𝑐 (4.68)


96

CAPÍTULO V: DISEÑO DE LA CIMENTACIÓN DE LA BOMBA

CENTRÍFUGA HORIZONTAL

5.1. INFORMACIÓN REQUERIDA PARA EL DISEÑO

5.1.1. PARÁMETROS DE LA MAQUINARIA

5.1.1.1. Frecuencia Rotacional de Operación

𝛽𝛽𝑜𝑜 = 700 𝑍𝑍𝑝𝑝𝐵𝐵 = 73.30 𝑍𝑍𝐵𝐵𝑇𝑇𝑐𝑐

5.1.1.2. Peso de la Maquinaria y componentes

𝑊𝑊𝑀𝑀𝑜𝑜𝑝𝑝𝑜𝑜𝑟𝑟 = 3580.9 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓

𝑊𝑊𝐵𝐵𝑜𝑜𝑚𝑚𝐵𝐵𝑚𝑚 = 2377.6 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓

𝑊𝑊𝑆𝑆𝑘𝑘𝑖𝑖𝑐𝑐 = 921.2 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓

𝑊𝑊𝑅𝑅𝑜𝑜𝑝𝑝𝑜𝑜𝑟𝑟 = 580.5 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓

𝑊𝑊𝑀𝑀𝑚𝑚𝑀𝑀𝑢𝑢𝑖𝑖𝑛𝑛𝑚𝑚𝑟𝑟𝑖𝑖𝑚𝑚 = 𝑊𝑊𝐵𝐵𝑜𝑜𝑚𝑚𝐵𝐵𝑚𝑚 + 𝑊𝑊𝑀𝑀𝑜𝑜𝑝𝑝𝑜𝑜𝑟𝑟 + 𝑊𝑊𝑆𝑆𝑘𝑘𝑖𝑖𝑐𝑐 + 𝑊𝑊𝑅𝑅𝑜𝑜𝑝𝑝𝑜𝑜𝑟𝑟 = 7460.2 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓

5.1.1.3. Dimensiones de los Componentes

Tabla 18 Dimensiones de los componentes de la máquina


97

𝐹𝐹𝑀𝑀𝑜𝑜𝑝𝑝𝑜𝑜𝑟𝑟 = 0.550 𝐵𝐵 𝐹𝐹𝐵𝐵𝑜𝑜𝑚𝑚𝐵𝐵𝑚𝑚 = 0.550 𝐵𝐵 𝐹𝐹𝑆𝑆𝑘𝑘𝑖𝑖𝑐𝑐 = 0.550 𝐵𝐵

𝛽𝛽𝐵𝐵𝑜𝑜𝑚𝑚𝐵𝐵𝑚𝑚 = 1.035 𝐵𝐵 𝛽𝛽𝑆𝑆𝑘𝑘𝑖𝑖𝑐𝑐 = 2.026 𝐵𝐵 𝛽𝛽𝑀𝑀𝑜𝑜𝑝𝑝𝑜𝑜𝑟𝑟 = 3.120 𝐵𝐵

𝛽𝛽𝑀𝑀𝑜𝑜𝑝𝑝𝑜𝑜𝑟𝑟 = 0.636 𝐵𝐵 𝛽𝛽𝐵𝐵𝑜𝑜𝑚𝑚𝐵𝐵𝑚𝑚 = 0.636 𝐵𝐵 𝛽𝛽𝑆𝑆𝑘𝑘𝑖𝑖𝑐𝑐 = 0.118 𝐵𝐵

5.1.1.4. Centros de gravedad de los componentes de la maquinaria

Tabla 19 Centros de Gravedad de los componentes de la maquinaria

Figura 41 Vista en planta de la maquinaria

Figura 42 Vista de elevación de la maquinaria


98

5.1.2. FUERZAS Y MOMENTOS DESBALANCEADOS DE LA MÁQUINA

5.1.2.1. Fuerzas actuantes

Empleando expresiones de ACI 351.3R-04 podemos obtener la excentricidad 𝑒𝑒𝑚𝑚

y la fuerza desbalanceada 𝐹𝐹𝑜𝑜 producida por la parte rotatoria.

Figura 43 Esquema de la fuerza desbalanceada y el momento desbalanceado 𝑒𝑒𝑚𝑚 = 6.35 𝛽𝛽𝑜𝑜 = 0.087 𝐵𝐵𝐵𝐵

𝐹𝐹𝑜𝑜 =𝐵𝐵𝑟𝑟𝑒𝑒𝑚𝑚𝛽𝛽2𝑆𝑆

1000= 810.63 𝑁𝑁 = 82.66 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓

𝐹𝐹𝑜𝑜 = 𝐹𝐹𝑧𝑧 = 𝐹𝐹𝑦𝑦

𝐹𝐹𝑧𝑧 = 𝐹𝐹𝑦𝑦 = 82.66 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓

5.1.2.2.Momentos actuantes

Debido a la fuerza desbalanceada producida por la máquina se generará un

momento, el cual se podrá calcular según el nivel de referencia que se desee analizar. A

continuación, se calculará el momento producido en la base de la cimentación:

𝑀𝑀𝑚𝑚 = 𝐹𝐹𝑦𝑦(𝛽𝛽𝑀𝑀𝑜𝑜𝑝𝑝𝑜𝑜𝑟𝑟 + 1.6 𝐵𝐵) = 184.83 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓.𝐵𝐵


99

5.1.3. PROPIEDADES DEL SUELO

Se tomaron propiedades del suelo referenciales para los cálculos respectivos;

además se consideró como ubicación del EMS el distrito de Cerro Colorado, provincia

de Arequipa.

Tipo de Suelo Arena (Grano Redondeado)

Profundidad 𝐷𝐷𝑓𝑓 = 1.4 𝐵𝐵

Cohesión 𝑑𝑑 = 0

Ángulo de Fricción Interno 𝑡𝑡 = 36.5°

Densidad del Suelo 𝜌𝜌 = 1.574 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝐵𝐵3

Peso Específico del Suelo 𝛾𝛾 = 15.44 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵3

Gravedad Específica 𝐺𝐺𝑠𝑠 = 2.29

Densidad Relativa 𝐷𝐷𝑟𝑟 = 72.19 %

Capacidad Portante por Falla 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑐𝑐𝑚𝑚 = 3.53 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓 𝑑𝑑𝐵𝐵2

Asentamiento Inmediato 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑛𝑛𝑚𝑚𝑒𝑒𝑐𝑐 = 3.36 𝑑𝑑𝐵𝐵

Capacidad Portante por Asentamiento 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝 = 2.67 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓 𝑑𝑑𝐵𝐵2

Relación de Vacíos 𝑒𝑒 = 0.45


100

5.1.3.1. CÁLCULO DE LOS PARÁMETROS DINÁMICOS DEL SUELO

a) Cálculo del Módulo de Corte Dinámico

Figura 44 Perfil del suelo, descripción de las presiones verticales en el suelo

En la figura 42 podemos observar el perfil del suelo y también la zona de

influencia B, la cual delimitará la zona que analizaremos a nivel de esfuerzos.

A continuación, calculamos la carga estática bajo la cimentación:

𝜎𝜎0 = 3.54 𝑡𝑡𝐹𝐹𝜔𝜔 𝐵𝐵2 = 34.72 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵2

Figura 45 Profundidad efectiva 𝑇𝑇𝑐𝑐 para determinar el módulo de corte


101

En la figura 45, para estimar el módulo de corte del suelo, se propone hacerlo a

una profundidad, dc, donde el esfuerzo resultante en el borde de la cimentación tenga

un valor mínimo. Para tal fin recomienda emplear una cimentación circular equivalente

caracterizada por un radio, 𝑍𝑍0, a través de la siguiente expresión:

𝑍𝑍0 = 𝐵𝐵 𝐿𝐿𝜋𝜋 = 2.00 𝐵𝐵

También definimos una profundidad mínima y máxima de influencia como:

𝐵𝐵𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 = 𝑍𝑍0 = 2.00 𝐵𝐵

𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 3𝑍𝑍0 = 6.00 𝐵𝐵

Además, hacemos uso del ábaco de Boussinesq para calcular el incremento de

esfuerzo bajo el borde de una cimentación circular cargada:

Figura 46 Ábaco de Boussinesq que relaciona ∆𝜎𝜎𝑣𝑣𝑀𝑀𝑜𝑜 con

𝑍𝑍𝑟𝑟𝑜𝑜 en el borde de una

cimentación circular

Para poder estimar el incremento de esfuerzo a cualquier profundidad en el borde

de la cimentación circular realizamos un ajuste polinómico, tal como se muestra en la

figura 47:


102

Figura 47 Ajuste polinómico del ábaco de Boussinesq

A partir de ese ajuste polinómico calculamos los esfuerzos en el suelo, tal como

se muestra a continuación:

Figura 48 Esfuerzos verticales en el suelo hasta una profundidad análisis 𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

En la figura 48, el análisis de esfuerzos verticales (curva 𝜎𝜎′𝑣𝑣 + ∆𝜎𝜎𝑣𝑣) nos muestra

que se da un mínimo justo en el borde de la cimentación, luego de ese punto la tendencia

es creciente. Entonces, con el fin de estimar el valor de G, tomamos este valor para su

cálculo:


103

Presión efectiva vertical:

𝜎𝜎1 = 2.87 𝑡𝑡𝐹𝐹𝜔𝜔 𝐵𝐵2 = 28.13 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵2

Coeficiente de presión lateral:

𝑘𝑘0 = 1 − sin(𝑡𝑡) = 0.40

Presión lateral:

𝜎𝜎2 = 𝜎𝜎3 = 𝑘𝑘0𝜎𝜎1 = 11.40 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵2

Presión media de confinamiento efectivo:

𝜎𝜎𝑜𝑜 =𝜎𝜎1 + 𝜎𝜎2 + 𝜎𝜎3

3= 16.98 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵2

- Módulo de Corte Dinámico según Seed y Idriss (1970) para arenas:

𝐺𝐺 = 6920𝑘𝑘2𝜎𝜎𝑜𝑜 (𝑃𝑃𝐵𝐵)

Se define un coeficiente 𝑘𝑘2 con la siguiente tabla:

Tabla 20 Valores de 𝑘𝑘2 según la densidad relativa (ACI, 2004)

Entonces, interpolando para 𝐷𝐷𝑟𝑟 = 72.19 %:

𝑘𝑘2 = 59.31


104

Luego calculamos el valor de G:

𝐺𝐺 = 53.48 𝑀𝑀𝑃𝑃𝐵𝐵

- Módulo de Corte Dinámico según Hardin y Black (1968), para arenas de grano

redondo con 𝑒𝑒 < 0.8:

𝐺𝐺 =218200(2.17− 𝑒𝑒)2𝜎𝜎𝑜𝑜

1 + 𝑒𝑒 (𝑃𝑃𝐵𝐵)


Un factor muy importante que puede afectar el módulo de corte calculado es el

nivel de deformación asociado. Esta deformación por corte cíclica puede ser

considerada igual a la relación entre la amplitud producida en la cimentación y el ancho

de la misma (Prakash y Puri, 1977).

Debido a que desconocemos de la amplitud permisible del equipo, emplearemos

el criterio de Blake para una frecuencia de operación de 700 𝑍𝑍𝑝𝑝𝐵𝐵 seleccionando una

amplitud crítica de 0.50 mil, o lo que es equivalente a 0.0127 mm; y para un ancho de

la cimentación de 2800 mm, tenemos:

𝛾𝛾𝑐𝑐 =0.0127 𝐵𝐵𝐵𝐵2800 𝐵𝐵𝐵𝐵 100 = 4.5𝛽𝛽10−4 %

Empleando las curvas de reducción de módulo de Vucetic y Dobry (1991),

calculamos una relación 𝐺𝐺 𝐺𝐺𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚⁄ , la cual recibe el nombre de módulo de corte

normalizado.

Para una deformación por corte de 4.5𝛽𝛽10−4 % y para un 𝐼𝐼𝑃𝑃 = 0, estimamos el

módulo de corte normalizado, 𝐺𝐺 𝐺𝐺𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚⁄ , tal como se muestra en la figura 49.


105

Figura 49 Curvas de reducción de módulo para suelos de grano fino de diferente plasticidad (Vucetic y Dobry, 1991)

Entonces: 𝐺𝐺𝐺𝐺𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 1

Estimamos el módulo de corte G de diseño:


b) Cálculo del Coeficiente de Poisson:

Tabla 21 Coeficiente de Poisson (ACI, 2004)

𝑘𝑘0 =𝜇𝜇

1 − 𝜇𝜇

𝜇𝜇 = 0.29


106

c) Amortiguamiento Interno del Suelo:

Tabla 22 Valores de Amortiguamiento Interno en Suelos (Richart et al., 1970)

𝛽𝛽𝑚𝑚 = 0.03

5.1.4. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES

Concreto:

Resistencia a la Compresión 𝑓𝑓′𝑐𝑐 = 210 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓 𝑑𝑑𝐵𝐵2

Peso Unitario del Concreto Reforzado 𝛾𝛾𝑐𝑐 = 2400 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓 𝐵𝐵3

Módulo de Young 𝐸𝐸𝑐𝑐 = 217371 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓 𝑑𝑑𝐵𝐵2

Acero:

Límite de Fluencia del Acero 𝑓𝑓𝑦𝑦 = 4200 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓 𝑑𝑑𝐵𝐵2

Peso Unitario del Acero 𝛾𝛾𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒𝑟𝑟𝑜𝑜 = 7860 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓 𝐵𝐵3


107

5.2. PREDIMENSIONAMIENTO

Se definen las dimensiones preliminares del bloque de cimentación:

Figura 50 Vista 3D de la cimentación idealizada

Para los cálculos será necesario establecer una longitud de embebido efectiva, 𝐿𝐿𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵_𝑒𝑒𝑓𝑓, definida como la altura de la cimentación que se encontrará embebida por el

suelo lateral.

𝐿𝐿𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵_𝑒𝑒𝑓𝑓 = 𝐻𝐻𝐵𝐵_1 + 𝐻𝐻𝐵𝐵_2 − 0.4 𝐵𝐵 = 1.20 𝐵𝐵

5.2.1. VERIFICACIÓN POR EL ANCHO DE LA CIMENTACIÓN

El ancho de la cimentación debe ser entre 1.0 a 1.5 veces la distancia entre el

suelo y el eje horizontal del equipo para incrementar el amortiguamiento del modo

rotacional o rocking (Arya & O'Neill, 1979).

Ancho de la Cimentación: 𝐵𝐵 = 2.800 𝐵𝐵

Altura del Bloque de Cimentación: 𝐻𝐻𝐵𝐵_1 = 0.800 𝐵𝐵

Altura de Eje a Fondo de Skid: 𝐻𝐻𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒_𝑠𝑠 = 0.636 𝐵𝐵

Altura de Eje a Fondo de Cimentación: 𝐻𝐻𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒_𝑓𝑓 = 2.236 𝐵𝐵

Verificación: 1 ≤ 𝐵𝐵 𝐻𝐻𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒_𝑓𝑓⁄ ≤ 1.5 OK


108

5.2.2. VERIFICACIÓN POR EL ESPESOR DEL BLOQUE

Recomendaciones de Arya & O’Neill 𝐻𝐻1 =𝐵𝐵5 = 0.60 𝐵𝐵

𝐻𝐻2 =𝑛𝑛10 = 0.45 𝐵𝐵

Recomendación ACI 351 (Bloque Rígido) 𝐻𝐻3 = 0.6 𝐵𝐵 +𝑛𝑛30 = 0.75 𝐵𝐵

Verificación: 𝐻𝐻𝐵𝐵_1 ≥ max (𝐻𝐻1,𝐻𝐻2,𝐻𝐻3) OK

5.2.3. VERIFICACIÓN POR RELACIÓN DE MASAS: ESTRUCTURA /

EQUIPO

𝑊𝑊𝑀𝑀𝑚𝑚𝑀𝑀𝑢𝑢𝑖𝑖𝑛𝑛𝑚𝑚𝑟𝑟𝑖𝑖𝑚𝑚 = 7460.2 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓

𝑊𝑊𝐵𝐵𝑓𝑓𝑜𝑜𝑀𝑀𝑢𝑢𝑒𝑒_1 = 𝐿𝐿𝐵𝐵𝐻𝐻𝐵𝐵_1𝛾𝛾𝑐𝑐 𝑊𝑊𝐵𝐵𝑓𝑓𝑜𝑜𝑀𝑀𝑢𝑢𝑒𝑒_2 = 𝐿𝐿𝐵𝐵𝐵𝐵_2𝐻𝐻𝐵𝐵_2𝛾𝛾𝑐𝑐 𝑊𝑊𝐶𝐶𝑖𝑖𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖ó𝑛𝑛 = 𝑊𝑊𝐵𝐵𝑓𝑓𝑜𝑜𝑀𝑀𝑢𝑢𝑒𝑒_1 +𝑊𝑊𝐵𝐵𝑓𝑓𝑜𝑜𝑀𝑀𝑢𝑢𝑒𝑒_2 = 37152.00 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓

Verificación: 𝑊𝑊𝐶𝐶𝑖𝑖𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖ó𝑛𝑛 ≥ 3𝑊𝑊𝑀𝑀𝑚𝑚𝑀𝑀𝑢𝑢𝑖𝑖𝑛𝑛𝑚𝑚𝑟𝑟𝑖𝑖𝑚𝑚 OK

Concluimos que todas las verificaciones y recomendaciones son satisfactorias.

5.3. PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LA CIMENTACIÓN

5.3.1. CENTROS DE MASA

Centro de masa del sistema

𝛽𝛽𝑖𝑖𝑇𝑇 =∑𝑚𝑚𝑖𝑖𝑚𝑚𝑖𝑖∑𝑚𝑚𝑖𝑖 = 2.26 𝐵𝐵 𝐹𝐹𝑖𝑖𝑇𝑇 =

∑𝑦𝑦𝑖𝑖𝑚𝑚𝑖𝑖∑𝑚𝑚𝑖𝑖 = 1.40 𝐵𝐵 𝛽𝛽𝑖𝑖𝑇𝑇 =∑𝑧𝑧𝑖𝑖𝑚𝑚𝑖𝑖∑𝑚𝑚𝑖𝑖 = 0.93 𝐵𝐵

Centro de masa de la cimentación

𝛽𝛽𝐶𝐶𝑖𝑖𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖ó𝑛𝑛 = 2.25 𝐵𝐵 𝐹𝐹𝐶𝐶𝑖𝑖𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖ó𝑛𝑛 = 1.40 𝐵𝐵 𝛽𝛽𝐶𝐶𝑖𝑖𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖ó𝑛𝑛 = 0.68 𝐵𝐵


109

Tabla 23 Cálculo del centro de masa del sistema

Figura 51 Centro de masa del sistema – Vista en planta

Figura 52 Centro de masa del sistema – Vista elevación


110

5.3.2. VERIFICACIÓN DE LA EXCENTRICIDAD

5.3.2.1. Verificación de la excentricidad en la dirección "x"

𝑒𝑒𝑚𝑚 = 𝐵𝐵𝑎𝑎𝑐𝑐(𝛽𝛽𝐶𝐶𝑖𝑖𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖ó𝑛𝑛 − 𝛽𝛽𝑖𝑖𝑇𝑇) = 0.82 𝑑𝑑𝐵𝐵

𝑒𝑒𝛽𝛽𝑑𝑑𝑚𝑚 =𝑒𝑒𝑚𝑚𝐿𝐿 ∗ 100 = 0.18 %

Verificación: 𝑒𝑒𝛽𝛽𝑑𝑑𝑚𝑚 ≤ 5 % OK

5.3.2.2. Verificación de la excentricidad en la dirección "y"

𝑒𝑒𝑦𝑦 = 𝐵𝐵𝑎𝑎𝑐𝑐(𝐹𝐹𝐶𝐶𝑖𝑖𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖ó𝑛𝑛 − 𝐹𝐹𝑖𝑖𝑇𝑇) = 0.00 𝐵𝐵

𝑒𝑒𝛽𝛽𝑑𝑑𝑦𝑦 =𝑒𝑒𝑦𝑦𝐵𝐵 ∗ 100 = 0.00 %

Verificación: 𝑒𝑒𝛽𝛽𝑑𝑑𝑦𝑦 ≤ 5 % OK

5.3.3. MOMENTOS DE INERCIA

5.3.3.1. Momentos de Inercia y Módulos de Sección de la Cimentación

Momento de Inercia alrededor del eje X 𝐼𝐼𝑚𝑚 =𝑛𝑛𝐵𝐵312 = 8.23 𝐵𝐵4

Momento de Inercia alrededor del eje Y 𝐼𝐼𝑦𝑦 =𝐵𝐵𝑛𝑛312 = 21.26 𝐵𝐵4

Momento de Inercia alrededor del eje Z 𝐼𝐼𝑧𝑧 = 𝐼𝐼𝑚𝑚 + 𝐼𝐼𝑦𝑦 = 29.50 𝐵𝐵4

Módulo de Sección alrededor del eje X 𝑆𝑆𝑚𝑚 =𝑛𝑛𝐵𝐵26 = 5.88 𝐵𝐵3

Módulo de Sección alrededor del eje X 𝑆𝑆𝑦𝑦 =𝐵𝐵𝑛𝑛26 = 9.45 𝐵𝐵3


111

5.3.3.2. Momentos de Inercia de Masa del Sistema

5.3.3.2.1. Momentos de Inercia de Masa del Sistema alrededor del eje "x"

Momento de inercia de masa del sistema (cimentación y maquinaria), con

respecto a un eje que pasa por el centro de masa del sistema.

𝐽𝐽𝑚𝑚_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝑆𝑆𝑖𝑖𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐽𝐽𝑚𝑚𝑖𝑖 + 𝐵𝐵𝑖𝑖 [(𝐹𝐹𝑖𝑖𝑇𝑇 − 𝐹𝐹𝑖𝑖)2 + (𝛽𝛽𝑖𝑖𝑇𝑇 − 𝛽𝛽𝑖𝑖)2]

Tabla 24 Cálculo de los momentos de inercia de masa alrededor del eje “x” en el CM del Sistema

𝐽𝐽𝑚𝑚_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝑆𝑆𝑖𝑖𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚 = 2061.55 + 1984.92 = 4046.47 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓.𝐵𝐵. 𝑐𝑐2

Momentos de inercia de masa del sistema (cimentación y maquinaria), con

respecto a un eje que pasa por el centro de masa de la base de la cimentación:

𝐽𝐽𝑚𝑚_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝐵𝐵𝑚𝑚𝑠𝑠𝑒𝑒𝐶𝐶𝑖𝑖𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖ó𝑛𝑛 = 𝐽𝐽𝑚𝑚_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝑆𝑆𝑖𝑖𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐵𝐵𝑆𝑆𝑖𝑖𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚𝛽𝛽𝑖𝑖𝑇𝑇2

𝐽𝐽𝑚𝑚_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝐵𝐵𝑚𝑚𝑠𝑠𝑒𝑒𝐶𝐶𝑖𝑖𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖ó𝑛𝑛 = 7970.30 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓.𝐵𝐵. 𝑐𝑐2

𝛾𝛾𝑚𝑚 =𝐽𝐽𝑚𝑚_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝑆𝑆𝑖𝑖𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚𝐽𝐽𝑚𝑚_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝐵𝐵𝑚𝑚𝑠𝑠𝑒𝑒𝐶𝐶𝑖𝑖𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖ó𝑛𝑛 = 0.51


112

5.3.3.2.2. Momentos de Inercia de Masa del Sistema alrededor del eje "y"


respecto a un eje que pasa por el centro de masa del sistema:

𝐽𝐽𝑦𝑦_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝑆𝑆𝑖𝑖𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐽𝐽𝑦𝑦𝑖𝑖 + 𝐵𝐵𝑖𝑖 [(𝛽𝛽𝑖𝑖𝑇𝑇 − 𝛽𝛽𝑖𝑖)2 + (𝛽𝛽𝑖𝑖𝑇𝑇 − 𝛽𝛽𝑖𝑖)2]

Tabla 25 Cálculo de los momentos de inercia de masa alrededor del eje “y” en el CM del Sistema

𝐽𝐽𝑦𝑦_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝑆𝑆𝑖𝑖𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚 = 6595.06 + 2625.58 = 9220.64 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓.𝐵𝐵. 𝑐𝑐2


respecto a un eje que pasa por el centro de masa de la base de la cimentación:

𝐽𝐽𝑦𝑦_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝐵𝐵𝑚𝑚𝑠𝑠𝑒𝑒𝐶𝐶𝑖𝑖𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖ó𝑛𝑛 = 𝐽𝐽𝑦𝑦_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝑆𝑆𝑖𝑖𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐵𝐵𝑆𝑆𝑖𝑖𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚𝛽𝛽𝑖𝑖𝑇𝑇2

𝐽𝐽𝑦𝑦𝐶𝐶𝑀𝑀𝐵𝐵𝑇𝑇𝑠𝑠𝐵𝐵𝐶𝐶𝑖𝑖𝑚𝑚𝐵𝐵𝑛𝑛𝑡𝑡𝑇𝑇𝑐𝑐𝑖𝑖ó𝑛𝑛 = 13144.47 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓.𝐵𝐵. 𝑐𝑐2

𝛾𝛾𝑦𝑦 =𝐽𝐽𝑦𝑦_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝑆𝑆𝑖𝑖𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚𝐽𝐽𝑦𝑦_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝐵𝐵𝑚𝑚𝑠𝑠𝑒𝑒𝐶𝐶𝑖𝑖𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖ó𝑛𝑛 = 0.70


113

5.3.3.2.3. Momentos de Inercia de Masa del Sistema alrededor del eje "z"


respecto a un eje que pasa por el centro de masa del sistema:

𝐽𝐽𝑧𝑧_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝑆𝑆𝑖𝑖𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐽𝐽𝑧𝑧𝑖𝑖 + 𝐵𝐵𝑖𝑖 [(𝛽𝛽𝑖𝑖𝑇𝑇 − 𝛽𝛽𝑖𝑖)2 + (𝐹𝐹𝑖𝑖𝑇𝑇 − 𝐹𝐹𝑖𝑖)2]

Tabla 26 Cálculo de los momentos de inercia de masa alrededor del eje “z” en el CM del Sistema

𝐽𝐽𝑧𝑧_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝑆𝑆𝑖𝑖𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚 = 8252.51 + 640.66 = 8893.17 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓.𝐵𝐵. 𝑐𝑐2

5.4. CARGAS SÍSMICAS

5.4.1. CÁLCULO DE CORTANTE BASAL (SEGÚN NTP E030)

5.4.1.1. Parámetros Sísmicos

Factor de Zona: 𝑍𝑍 = 0.35 (Zona 3)

Factor de Uso: 𝑈𝑈 = 1.50 (Categoría A2)

Factor de Suelo: 𝑆𝑆 = 1.15 (Suelo Intermedio)

Peso: 𝑃𝑃𝑒𝑒 = 𝑊𝑊𝑀𝑀𝑚𝑚𝑀𝑀𝑢𝑢𝑖𝑖𝑛𝑛𝑚𝑚𝑟𝑟𝑖𝑖𝑚𝑚 = 7460.20 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓


114

5.4.1.2. Fuerza Horizontal

𝑉𝑉𝑋𝑋_𝑌𝑌 = 0.5 𝑍𝑍 𝑈𝑈 𝑆𝑆 𝑃𝑃𝑒𝑒

𝑉𝑉𝑋𝑋_𝑌𝑌 = 2252.05 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓

5.4.2. CÁLCULO DE LOS MOMENTOS ACTUANTES

5.4.2.1. Momentos sobre el pedestal

Distancia entre el CM de la máquina y el pedestal:

𝐷𝐷𝑧𝑧 = 𝐻𝐻𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒_𝑠𝑠 = 0.64 𝐵𝐵

Momento alrededor del eje X:

𝑀𝑀𝑆𝑆í𝑠𝑠𝑚𝑚𝑖𝑖𝑐𝑐𝑜𝑜_𝑋𝑋 = 𝑉𝑉𝑋𝑋_𝑌𝑌𝐷𝐷𝑧𝑧 = 1432.30 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓.𝐵𝐵

Momento alrededor del eje Y:

𝑀𝑀𝑆𝑆í𝑠𝑠𝑚𝑚𝑖𝑖𝑐𝑐𝑜𝑜_𝑌𝑌 = 1432.30 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓.𝐵𝐵

5.4.2.2. Momentos en la base de la cimentación

Distancia entre el CM de la máquina y el fondo de la cimentación:

𝐷𝐷𝑧𝑧 = 𝐻𝐻𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒_𝑠𝑠 + 1.6 𝐵𝐵 = 2.24 𝐵𝐵

Momento alrededor del eje X:

𝑀𝑀𝑆𝑆í𝑠𝑠𝑚𝑚𝑖𝑖𝑐𝑐𝑜𝑜_𝑋𝑋_𝐵𝐵𝑚𝑚𝑠𝑠𝑒𝑒 = 𝑉𝑉𝑋𝑋_𝑌𝑌𝐷𝐷𝑧𝑧 = 5035.58 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓.𝐵𝐵

Momento alrededor del eje Y:

𝑀𝑀𝑆𝑆í𝑠𝑠𝑚𝑚𝑖𝑖𝑐𝑐𝑜𝑜_𝑌𝑌_𝐵𝐵𝑚𝑚𝑠𝑠𝑒𝑒 = 5035.58 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓.𝐵𝐵


115

5.5. FUERZAS Y MOMENTOS TOTALES

Se calculan las fuerzas y momentos proveniente de cada tipo de carga actuando

sobre la superficie de la cimentación, es decir, sobre el pedestal.

Tabla 27 Resumen de cargas sobre el pedestal

A continuación, se calculan las fuerzas y momentos actuando en el centro de la

base de la cimentación:

Tabla 28 Resumen de cargas en el centro de la base de la cimentación

Definimos las combinaciones de carga de servicio:

𝑆𝑆1 = 𝐶𝐶𝑀𝑀 𝑆𝑆4 = 𝐶𝐶𝑀𝑀 + 𝑂𝑂𝑃𝑃 − 0.8𝐶𝐶𝑆𝑆𝐶𝐶

𝑆𝑆2 = 𝐶𝐶𝑀𝑀 + 𝑂𝑂𝑃𝑃 𝑆𝑆5 = 𝐶𝐶𝑀𝑀 + 𝑂𝑂𝑃𝑃 + 0.8𝐶𝐶𝑆𝑆𝑌𝑌

𝑆𝑆3 = 𝐶𝐶𝑀𝑀 + 𝑂𝑂𝑃𝑃 + 0.8𝐶𝐶𝑆𝑆𝐶𝐶 𝑆𝑆6 = 𝐶𝐶𝑀𝑀 + 𝑂𝑂𝑃𝑃 − 0.8𝐶𝐶𝑆𝑆𝑌𝑌


116

Tabla 29 Resumen de combinaciones de carga de servicio

5.6. ANÁLISIS ESTÁTICO

5.6.1. VERIFICACIÓN DE LA PRESIÓN ESTÁTICA

Determinamos las presiones máximas actuantes en el suelo:

𝜎𝜎 =𝑁𝑁𝑚𝑚𝐵𝐵 ±

6𝑒𝑒𝑥𝑥𝑁𝑁𝑚𝑚2𝐵𝐵 ±6𝑒𝑒𝑦𝑦𝑁𝑁𝐵𝐵2𝑚𝑚

Tabla 30 Presión máxima actuante en el suelo

Luego realizamos la verificación:

𝜎𝜎𝑚𝑚á𝑚𝑚 = 0.44 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓 𝑑𝑑𝐵𝐵2

𝜎𝜎𝑚𝑚𝑐𝑐𝑚𝑚 = 2.67 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓 𝑑𝑑𝐵𝐵2

Verificación: 1.3𝜎𝜎𝑚𝑚𝑐𝑐𝑚𝑚 > 𝜎𝜎𝑚𝑚á𝑚𝑚 OK


117

5.6.2. VERIFICACIÓN DE LA ESTABILIDAD AL VOLTEO Y AL

DESLIZAMIENTO

5.6.2.1. Verificación frente al volteo

Figura 53 Diagrama de estabilidad al volteo de la cimentación

En el plano YZ (momentos alrededor del eje x):

𝑀𝑀𝑅𝑅𝑒𝑒𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑒𝑒 = 𝑊𝑊𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓(0.5𝐵𝐵) = 62457.08 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓.𝐵𝐵

𝑀𝑀𝑉𝑉𝑜𝑜𝑓𝑓𝑝𝑝𝑒𝑒𝑜𝑜 = 𝑀𝑀𝑚𝑚_𝑚𝑚á𝑚𝑚 = 5009.11 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓.𝐵𝐵

𝐹𝐹𝑆𝑆𝑉𝑉𝑜𝑜𝑓𝑓𝑝𝑝𝑒𝑒𝑜𝑜_𝑚𝑚 =𝑀𝑀𝑅𝑅𝑒𝑒𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑒𝑒𝑀𝑀𝑉𝑉𝑜𝑜𝑓𝑓𝑝𝑝𝑒𝑒𝑜𝑜 = 12.47

𝐹𝐹𝑆𝑆𝑅𝑅𝑒𝑒𝑀𝑀𝑢𝑢𝑒𝑒𝑟𝑟𝑖𝑖𝑐𝑐𝑜𝑜 = 1.2

En el plano XZ (momentos alrededor del eje y):

𝑀𝑀𝑅𝑅𝑒𝑒𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑒𝑒 = 𝑊𝑊𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓(𝐿𝐿 − 𝛽𝛽𝑖𝑖𝑇𝑇) = 100013.21 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓.𝐵𝐵

𝑀𝑀𝑉𝑉𝑜𝑜𝑓𝑓𝑝𝑝𝑒𝑒𝑜𝑜 = 𝑀𝑀𝑦𝑦_𝑚𝑚á𝑚𝑚 = 4392.70 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓.𝐵𝐵

𝐹𝐹𝑆𝑆𝑉𝑉𝑜𝑜𝑓𝑓𝑝𝑝𝑒𝑒𝑜𝑜_𝑦𝑦 =𝑀𝑀𝑅𝑅𝑒𝑒𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑒𝑒𝑀𝑀𝑉𝑉𝑜𝑜𝑓𝑓𝑝𝑝𝑒𝑒𝑜𝑜 = 22.77


Verificación: 𝐹𝐹𝑆𝑆𝑉𝑉𝑜𝑜𝑓𝑓𝑝𝑝𝑒𝑒𝑜𝑜 > 𝐹𝐹𝑆𝑆𝑅𝑅𝑒𝑒𝑀𝑀𝑢𝑢𝑒𝑒𝑟𝑟𝑖𝑖𝑐𝑐𝑜𝑜 OK


118

5.6.2.2. Verificación frente al deslizamiento

Figura 54 Diagrama de estabilidad frente al deslizamiento

Coeficiente de empuje pasivo (relleno con material propio):

𝐾𝐾𝑝𝑝 = 𝑡𝑡𝐵𝐵𝜔𝜔2 45° +𝑡𝑡2 = 3.94

En el plano YZ:

𝐹𝐹𝐷𝐷𝑒𝑒𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚𝐵𝐵𝑖𝑖𝑓𝑓𝑖𝑖𝑧𝑧𝑚𝑚𝑐𝑐𝑜𝑜𝑟𝑟𝑚𝑚 = 𝐹𝐹𝑦𝑦_𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 1945.14 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓

𝐹𝐹𝐸𝐸𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚𝐵𝐵𝑖𝑖𝑓𝑓𝑖𝑖𝑧𝑧𝑚𝑚𝑐𝑐𝑜𝑜𝑟𝑟𝑚𝑚 = tan 2

3𝑡𝑡 𝑊𝑊𝑀𝑀𝑚𝑚𝑀𝑀𝑢𝑢𝑖𝑖𝑛𝑛𝑚𝑚𝑟𝑟𝑖𝑖𝑚𝑚 + 𝑊𝑊𝐶𝐶𝑖𝑖𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖ó𝑛𝑛 = 20174.43 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓

𝐸𝐸𝑃𝑃𝑚𝑚𝑠𝑠𝑖𝑖𝑣𝑣𝑜𝑜 =𝛾𝛾(𝐿𝐿𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵_𝑒𝑒𝑓𝑓)2𝐾𝐾𝑝𝑝

2𝐿𝐿 = 20073.18 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓

𝐹𝐹𝑆𝑆𝐷𝐷𝑒𝑒𝑠𝑠𝑓𝑓𝑖𝑖𝑧𝑧𝑚𝑚𝑚𝑚_𝑦𝑦𝑧𝑧 =𝐹𝐹𝐸𝐸𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚𝐵𝐵𝑖𝑖𝑓𝑓𝑖𝑖𝑧𝑧𝑚𝑚𝑐𝑐𝑜𝑜𝑟𝑟𝑚𝑚 + 𝐸𝐸𝑃𝑃𝑚𝑚𝑠𝑠𝑖𝑖𝑣𝑣𝑜𝑜𝐹𝐹𝐷𝐷𝑒𝑒𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚𝐵𝐵𝑖𝑖𝑓𝑓𝑖𝑖𝑧𝑧𝑚𝑚𝑐𝑐𝑜𝑜𝑟𝑟𝑚𝑚 = 20.69


En el plano XZ:

𝐹𝐹𝐷𝐷𝑒𝑒𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚𝐵𝐵𝑖𝑖𝑓𝑓𝑖𝑖𝑧𝑧𝑚𝑚𝑐𝑐𝑜𝑜𝑟𝑟𝑚𝑚 = 𝐹𝐹𝑚𝑚_𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 1801.64 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓

𝐹𝐹𝐸𝐸𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚𝐵𝐵𝑖𝑖𝑓𝑓𝑖𝑖𝑧𝑧𝑚𝑚𝑐𝑐𝑜𝑜𝑟𝑟𝑚𝑚 = 20174.43 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓


119

𝐸𝐸𝑃𝑃𝑚𝑚𝑠𝑠𝑖𝑖𝑣𝑣𝑜𝑜 =𝛾𝛾(𝐻𝐻𝐵𝐵_1)2𝐾𝐾𝑝𝑝

2𝐵𝐵 = 5551.10 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓

𝐹𝐹𝑆𝑆𝐷𝐷𝑒𝑒𝑠𝑠𝑓𝑓𝑖𝑖𝑧𝑧𝑚𝑚𝑚𝑚_𝑚𝑚𝑧𝑧 =𝐹𝐹𝐸𝐸𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚𝐵𝐵𝑖𝑖𝑓𝑓𝑖𝑖𝑧𝑧𝑚𝑚𝑐𝑐𝑜𝑜𝑟𝑟𝑚𝑚 + 𝐸𝐸𝑃𝑃𝑚𝑚𝑠𝑠𝑖𝑖𝑣𝑣𝑜𝑜𝐹𝐹𝐷𝐷𝑒𝑒𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚𝐵𝐵𝑖𝑖𝑓𝑓𝑖𝑖𝑧𝑧𝑚𝑚𝑐𝑐𝑜𝑜𝑟𝑟𝑚𝑚 = 14.28


Verificación: 𝐹𝐹𝑆𝑆𝐷𝐷𝑒𝑒𝑠𝑠𝑓𝑓𝑖𝑖𝑧𝑧𝑚𝑚𝑚𝑚 > 𝐹𝐹𝑆𝑆𝑅𝑅𝑒𝑒𝑀𝑀𝑢𝑢𝑒𝑒𝑟𝑟𝑖𝑖𝑐𝑐𝑜𝑜 OK

5.7. ANÁLISIS DINÁMICO

Figura 55 Direcciones de análisis en la cimentación

5.7.1. CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DE DISEÑO

5.7.1.1. RADIO EQUIVALENTE

Radio Equivalente Traslacional Horizontal 𝑅𝑅𝑢𝑢 = 𝑛𝑛𝐵𝐵𝜋𝜋 = 2.00 𝐵𝐵

Radio Equivalente Traslacional Vertical 𝑅𝑅𝑣𝑣 = 𝑛𝑛𝐵𝐵𝜋𝜋 = 2.00 𝐵𝐵


120

Radio Equivalente Rotacional (ψL) 𝑅𝑅𝜓𝜓𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝐵𝐵33𝜋𝜋4= 1.80 𝐵𝐵

Radio Equivalente Rotacional (ψB) 𝑅𝑅𝜓𝜓𝐵𝐵 = 𝑛𝑛3𝐵𝐵3𝜋𝜋4= 2.28 𝐵𝐵

Radio Equivalente Torsional (η) 𝑅𝑅𝜂𝜂 = 𝑛𝑛𝐵𝐵(𝑛𝑛2+𝐵𝐵2)6𝜋𝜋4= 2.08 𝐵𝐵

5.7.1.2. FRECUENCIA ADIMENSIONAL

𝛼𝛼0 = 𝑅𝑅𝛽𝛽𝑜𝑜𝜌𝜌𝑠𝑠𝐺𝐺

Frecuencia Adimensional Traslacional 𝛼𝛼0𝑢𝑢 = 𝑅𝑅𝑢𝑢,𝑣𝑣𝛽𝛽𝑜𝑜𝜌𝜌𝐺𝐺 = 0.77

Frecuencia Adimensional Rotacional (ψL) 𝛼𝛼0𝜓𝜓𝑛𝑛 = 𝑅𝑅𝜓𝜓𝑛𝑛𝛽𝛽𝑜𝑜𝜌𝜌𝐺𝐺 = 0.69

Frecuencia Adimensional Rotacional (ψB) 𝛼𝛼0𝜓𝜓𝐵𝐵 = 𝑅𝑅𝜓𝜓𝐵𝐵𝛽𝛽𝑜𝑜𝜌𝜌𝐺𝐺 = 0.87

Frecuencia Adimensional Torsional (η) 𝛼𝛼0𝜂𝜂 = 𝑅𝑅𝜂𝜂𝛽𝛽𝑜𝑜𝜌𝜌𝐺𝐺 = 0.80

5.7.1.3. COEFICIENTE DE RAZÓN DE RIGIDEZ

Razón de Rigidez Horizontal 𝑘𝑘𝑢𝑢 =32(1−𝜇𝜇)𝐺𝐺𝑅𝑅𝑢𝑢

(7−8𝜇𝜇)= 558572.41 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵

Razón de Rigidez Vertical 𝑘𝑘𝑣𝑣 =4𝐺𝐺𝑅𝑅𝑣𝑣(1−𝜇𝜇)

= 647028.97 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵

Razón de Rigidez Rotacional (ψL) 𝑘𝑘𝜓𝜓𝑛𝑛 =8𝐺𝐺𝑅𝑅𝜓𝜓𝐿𝐿33(1−𝜇𝜇)

= 1254682.20 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵


121

Razón de Rigidez Rotacional (ψB) 𝑘𝑘𝜓𝜓𝐵𝐵 =8𝐺𝐺𝑅𝑅𝜓𝜓𝐵𝐵33(1−𝜇𝜇)

= 2556321.43 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵

Razón de Rigidez Torsional (η) 𝑘𝑘𝜂𝜂 =16𝐺𝐺𝑅𝑅𝜂𝜂33 = 2765265.88 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵

5.7.2. CÁLCULO DE LAS FUNCIONES DE IMPEDANCIA

5.7.2.1. Funciones de impedancia sin considerar embebido del cimiento - Solución 1

Para aplicar las funciones de impedancia que permiten determinar por

coeficientes de rigidez dinámica y amortiguamiento del sistema, para un caso sin

embebido de la cimentación; se requiere estimar los siguientes factores, los cuales

fueron propuestos por Veletsos en función del coeficiente de Poisson del suelo.

Se interpolan los factores correspondientes para 𝜇𝜇 = 0.29:

Tabla 31 Cálculo de factores sugeridos por Veletsos para cimentaciones sin considerar efectos de embebido

𝛼𝛼1 = 0.67 𝛽𝛽1 = 0.50 𝛽𝛽2 = 0.80 𝛽𝛽3 = 0.00

𝛾𝛾1 = 0.34 𝛾𝛾2 = 0.83 𝛾𝛾3 = 0.00 𝛾𝛾4 = 0.76


122

5.7.2.1.1. Cálculo de la impedancia horizontal

𝑘𝑘′𝑢𝑢 = 𝑘𝑘𝑢𝑢(1 + 𝑖𝑖𝛼𝛼0𝑢𝑢𝛼𝛼1)

Entonces la impedancia vertical sin considerar el efecto de embebido es:

𝑘𝑘′𝑢𝑢 = (558572.41 + 285684.81 𝑖𝑖)𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵

La parte real y la parte imaginaria son:

𝑘𝑘′𝑢𝑢𝑅𝑅 = 558572.41 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵

𝑘𝑘′𝑢𝑢𝑖𝑖 = 285684.81 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵

𝑑𝑑𝑢𝑢 =𝑘𝑘′𝑢𝑢𝑖𝑖𝛽𝛽𝑜𝑜 = 3897.27 𝑘𝑘𝑁𝑁. 𝑐𝑐 𝐵𝐵

Considerando el amortiguamiento del material:

Rigidez dinámica horizontal ajustada considerando el amortiguamiento del

material:

𝑘𝑘′𝑢𝑢_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_1 = 𝑘𝑘′𝑢𝑢𝑅𝑅 − (2𝛽𝛽𝑚𝑚𝑑𝑑𝑢𝑢𝛽𝛽𝑜𝑜) = 541431.32 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵

Amortiguamiento horizontal ajustado considerando el amortiguamiento del

material:

𝑑𝑑𝑢𝑢_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_1 = 𝑑𝑑𝑢𝑢 + 2𝛽𝛽𝑚𝑚 𝑘𝑘′𝑢𝑢𝑢𝑢𝜔𝜔𝑜𝑜 = 4354.47 𝑘𝑘𝑁𝑁. 𝑐𝑐 𝐵𝐵

5.7.2.1.2. Cálculo de la impedancia vertical

𝑘𝑘′𝑣𝑣 = 𝑘𝑘𝑣𝑣[(1 − 𝐶𝐶𝑣𝑣 − 𝛾𝛾3𝛼𝛼0𝑣𝑣2 ) + 𝑖𝑖𝛼𝛼0𝑣𝑣(𝛾𝛾4 + Ψ𝑣𝑣)]

Donde los parámetros 𝐶𝐶𝑣𝑣 y ψ𝑣𝑣 son:


123

𝐶𝐶𝑣𝑣 =𝛾𝛾1(𝛾𝛾2𝛼𝛼0𝑣𝑣)2

1 + (𝛾𝛾2𝛼𝛼0𝑣𝑣)2 = 0.097

Ψ𝑣𝑣 =𝛾𝛾1𝛾𝛾2(𝛾𝛾2𝛼𝛼0𝑣𝑣)21 + (𝛾𝛾2𝛼𝛼0𝑣𝑣)2 = 0.080

Entonces la impedancia vertical sin considerar el efecto de embebido es:

𝑘𝑘′𝑣𝑣 = (584447.78 + 418736.99 𝑖𝑖)𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵


𝑘𝑘′𝑣𝑣𝑅𝑅 = 584447.78 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵

𝑘𝑘′𝑣𝑣𝑖𝑖 = 418736.99 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵

𝑑𝑑𝑣𝑣 =𝑘𝑘′𝑣𝑣𝑖𝑖𝛽𝛽𝑜𝑜 = 5712.35 𝑘𝑘𝑁𝑁. 𝑐𝑐 𝐵𝐵


Rigidez dinámica vertical ajustada considerando el amortiguamiento del

material:

𝑘𝑘′𝑣𝑣_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_1 = 𝑘𝑘′𝑣𝑣𝑅𝑅 − (2𝛽𝛽𝑚𝑚𝑑𝑑𝑣𝑣𝛽𝛽𝑜𝑜) = 559323.56 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵

Amortiguamiento vertical ajustado considerando el amortiguamiento del

material:

𝑑𝑑𝑣𝑣_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_1 = 𝑑𝑑𝑣𝑣 + 2𝛽𝛽𝑚𝑚 𝑘𝑘′𝑣𝑣𝑢𝑢𝜔𝜔𝑜𝑜 = 6190.73 𝑘𝑘𝑁𝑁. 𝑐𝑐 𝐵𝐵

5.7.2.1.3. Cálculo de la impedancia rotacional

𝑘𝑘′𝜓𝜓𝑛𝑛 = 𝑘𝑘𝜓𝜓𝑛𝑛(1 − 𝐶𝐶𝜓𝜓𝑛𝑛 − 𝛽𝛽3𝛼𝛼0𝜓𝜓𝑛𝑛2) + 𝑖𝑖𝛼𝛼0𝜓𝜓𝑛𝑛Ψ𝜓𝜓𝑛𝑛


124

Donde los parámetros 𝐶𝐶𝜓𝜓𝑛𝑛 y Ψ𝜓𝜓𝑛𝑛 son:

𝐶𝐶𝜓𝜓𝑛𝑛 =𝛽𝛽1(𝛽𝛽2𝛼𝛼0𝜓𝜓𝑛𝑛)2

1 + (𝛽𝛽2𝛼𝛼0𝜓𝜓𝑛𝑛)2 = 0.118

Ψ𝜓𝜓𝑛𝑛 =𝛽𝛽1𝛽𝛽2(𝛽𝛽2𝛼𝛼0𝜓𝜓𝑛𝑛)21 + (𝛽𝛽2𝛼𝛼0𝜓𝜓𝑛𝑛)2 = 0.094

Entonces la impedancia rotacional sin considerar el efecto de embebido es:

𝑘𝑘′𝜓𝜓𝑛𝑛 = (1107182.81 + 81442.66 𝑖𝑖) 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵


𝑘𝑘′𝜓𝜓𝑛𝑛𝑅𝑅 = 1107182.81 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵

𝑘𝑘′𝜓𝜓𝑛𝑛𝑖𝑖 = 81442.66 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵

𝑑𝑑𝜓𝜓𝑛𝑛 =𝑘𝑘′𝜓𝜓𝑛𝑛𝑖𝑖𝛽𝛽𝑜𝑜 = 1111.03 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵. 𝑐𝑐


Rigidez dinámica rotacional ajustada considerando el amortiguamiento del

material:

𝑘𝑘′𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_1 = 𝑘𝑘′𝜓𝜓𝑛𝑛𝑅𝑅 − 2𝛽𝛽𝑚𝑚𝑑𝑑𝜓𝜓𝑛𝑛𝛽𝛽𝑜𝑜 = 1102296.25 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵

Amortiguamiento rotacional ajustado considerando el amortiguamiento del

material:

𝑑𝑑𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_1 = 𝑑𝑑𝜓𝜓𝑛𝑛 + 2𝛽𝛽𝑚𝑚 𝑘𝑘′𝜓𝜓𝐿𝐿𝑢𝑢𝜔𝜔𝑜𝑜 = 2017.27 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵. 𝑐𝑐


125


𝑘𝑘′𝜓𝜓𝐵𝐵 = 𝑘𝑘𝜓𝜓𝐵𝐵(1 − 𝐶𝐶𝜓𝜓𝐵𝐵 − 𝛽𝛽3𝛼𝛼0𝜓𝜓𝐵𝐵2) + 𝑖𝑖𝛼𝛼0𝜓𝜓𝐵𝐵Ψ𝜓𝜓𝐵𝐵 Donde los parámetros 𝐶𝐶𝜓𝜓𝐵𝐵 y Ψ𝜓𝜓𝐵𝐵 son:

𝐶𝐶𝜓𝜓𝐵𝐵 =𝛽𝛽1(𝛽𝛽2𝛼𝛼0𝜓𝜓𝐵𝐵)2

1 + (𝛽𝛽2𝛼𝛼0𝜓𝜓𝑛𝑛)2 = 0.165

Ψ𝜓𝜓𝐵𝐵 =𝛽𝛽1𝛽𝛽2(𝛽𝛽2𝛼𝛼0𝜓𝜓𝐵𝐵)21 + (𝛽𝛽2𝛼𝛼0𝜓𝜓𝐵𝐵)2 = 0.132

Entonces la impedancia rotacional sin considerar el efecto de embebido es:

𝑘𝑘′𝜓𝜓𝐵𝐵 = (2133345.73 + 296076.81 𝑖𝑖) 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵


𝑘𝑘′𝜓𝜓𝐵𝐵𝑅𝑅 = 2133345.73 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵

𝑘𝑘′𝜓𝜓𝐵𝐵𝑖𝑖 = 296076.81 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵

𝑑𝑑𝜓𝜓𝐵𝐵 =𝑘𝑘′𝜓𝜓𝐵𝐵𝑖𝑖𝛽𝛽𝑜𝑜 = 4039.04 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵. 𝑐𝑐


Rigidez dinámica rotacional ajustada considerando el amortiguamiento del

material:

𝑘𝑘′𝜓𝜓𝐵𝐵_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_1 = 𝑘𝑘′𝜓𝜓𝐵𝐵𝑅𝑅 − 2𝛽𝛽𝑚𝑚𝑑𝑑𝜓𝜓𝐵𝐵𝛽𝛽𝑜𝑜 = 2115581.13 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵

Amortiguamiento rotacional ajustado considerando el amortiguamiento del

material:


126

𝑑𝑑𝜓𝜓𝐵𝐵_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_1 = 𝑑𝑑𝜓𝜓𝐵𝐵 + 2𝛽𝛽𝑚𝑚 𝑘𝑘′𝜓𝜓𝐵𝐵𝑢𝑢𝜔𝜔𝑜𝑜 = 5785.20 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵. 𝑐𝑐

5.7.2.1.5. Cálculo de la impedancia torsional

𝑘𝑘′𝜂𝜂 = 𝑘𝑘𝜂𝜂(𝐴𝐴 + 𝑖𝑖𝛼𝛼0𝜂𝜂𝐵𝐵)

Donde los parámetros A y B se calculan con los coeficientes 𝑎𝑎1 y 𝑎𝑎2 propuestos

por Veletsos y Nair (1974).

𝑎𝑎1 = 0.425 𝑎𝑎2 = 0.687

𝐴𝐴 =𝑎𝑎1(𝑎𝑎2𝛼𝛼0𝜂𝜂)2

1 + (𝑎𝑎2𝛼𝛼0𝜂𝜂)2 = 0.902

𝐵𝐵 =𝑎𝑎1𝑎𝑎2(𝑎𝑎2𝛼𝛼0𝜂𝜂)21 + (𝑎𝑎2𝛼𝛼0𝜂𝜂)2 = 0.068

Entonces la impedancia torsional sin considerar el efecto de embebido es:

𝑘𝑘′𝜂𝜂 = (2493413.58 + 149129.28 𝑖𝑖) 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵


𝑘𝑘′𝜂𝜂𝑅𝑅 = 2493413.58 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵

𝑘𝑘′𝜂𝜂𝑖𝑖 = 149129.28 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵

𝑑𝑑𝜂𝜂 =𝑘𝑘′𝜂𝜂𝑖𝑖𝛽𝛽𝑜𝑜 = 2034.40 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵. 𝑐𝑐


Rigidez dinámica torsional ajustada considerando el amortiguamiento del

material:


127

𝑘𝑘′𝜂𝜂_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_1 = 𝑘𝑘′𝜂𝜂𝑅𝑅 − 2𝛽𝛽𝑚𝑚𝑑𝑑𝜂𝜂𝛽𝛽𝑜𝑜 = 2484465.83 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵

Amortiguamiento torsional ajustado considerando el amortiguamiento del

material:

𝑑𝑑𝜂𝜂_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_1 = 𝑑𝑑𝜂𝜂 + 2𝛽𝛽𝑚𝑚 𝑘𝑘′𝜂𝜂𝑢𝑢𝜔𝜔𝑜𝑜 = 4075.29 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵. 𝑐𝑐

5.7.2.2. Funciones de impedancia con efecto de embebido del cimiento - Solución 2

Para aplicar las funciones de impedancia que permiten determinar por

coeficientes de rigidez dinámica y amortiguamiento del sistema, para el caso con

embebido de la cimentación, se requiere estimar los siguientes factores, los cuales

fueron propuestos por Veletsos y Verbic (1973), en función del tipo de material.

Se seleccionan los factores correspondientes a un suelo, en este caso particular

se empleará material propio, es decir, suelo granular.

Tabla 32 Factores para cimientos con embebido (ACI, 2004)

𝑆𝑆𝑢𝑢1 = 4.00 𝑆𝑆𝑣𝑣1 = 2.70 𝑆𝑆𝜓𝜓1 = 2.50 𝑆𝑆𝜂𝜂1 = 10.20

𝑆𝑆𝑢𝑢2 = 9.10 𝑆𝑆𝑣𝑣2 = 6.70 𝑆𝑆𝜓𝜓2 = 1.80 𝑆𝑆𝜂𝜂2 = 5.40

Además, se empleará un valor del Módulo de Corte Dinámico proveniente del

suelo lateral, 𝐺𝐺𝑠𝑠, que caracteriza la propiedad dinámica del suelo lateral. Este valor fue


128

calculado tomando una profundidad de análisis promedio ℎ = 0.7 𝐵𝐵 para los esfuerzos

de confinamiento, finalmente empleando la expresión de Hardin y Black (1968) se

obtuvo el siguiente valor:

𝐺𝐺𝑠𝑠 = 35.62 𝑀𝑀𝑃𝑃𝐵𝐵

5.7.2.2.1. Cálculo de la impedancia horizontal

𝑘𝑘′𝑢𝑢_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 = 𝐺𝐺𝑠𝑠𝐿𝐿𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵_𝑒𝑒𝑓𝑓(𝑆𝑆𝑢𝑢1 + 𝑖𝑖𝛼𝛼0𝑢𝑢𝑆𝑆𝑢𝑢2)

Entonces la impedancia horizontal del efecto de embebido es:

𝑘𝑘′𝑢𝑢_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 = (170994.08 + 298841.35 𝑖𝑖) 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵


𝑘𝑘′𝑢𝑢𝑅𝑅_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 = 170994.08 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵

𝑘𝑘′𝑢𝑢𝑖𝑖_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 = 298841.35 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵

𝑑𝑑𝑢𝑢_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 =𝑘𝑘′𝑢𝑢𝑖𝑖_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵𝛽𝛽𝑜𝑜 = 4076.75 𝑘𝑘𝑁𝑁. 𝑐𝑐 𝐵𝐵


Rigidez dinámica horizontal de embebido ajustada considerando el

amortiguamiento del material:

𝑘𝑘′𝑢𝑢_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_2 = 𝑘𝑘′𝑢𝑢𝑅𝑅_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 − 2𝛽𝛽𝑚𝑚𝑑𝑑𝑢𝑢𝐵𝐵𝑚𝑚𝑒𝑒𝛽𝛽𝑜𝑜 = 153063.60 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵

Amortiguamiento horizontal de embebido ajustado considerando el


𝑑𝑑𝑢𝑢_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_2 = 𝑑𝑑𝑢𝑢_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 + 2𝛽𝛽𝑚𝑚 𝑘𝑘′𝑢𝑢𝑢𝑢_𝐵𝐵𝑚𝑚𝑒𝑒𝜔𝜔𝑜𝑜 = 4216.71 𝑘𝑘𝑁𝑁. 𝑐𝑐 𝐵𝐵


129

5.7.2.2.2. Cálculo de la impedancia vertical

𝑘𝑘′𝑣𝑣_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 = 𝐺𝐺𝑠𝑠𝐿𝐿𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵_𝑒𝑒𝑓𝑓(𝑆𝑆𝑣𝑣1 + 𝑖𝑖𝛼𝛼0𝑣𝑣𝑆𝑆𝑣𝑣2)

Entonces la impedancia vertical del efecto de embebido es:

𝑘𝑘′𝑣𝑣_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 = (115421.00 + 220026.05 𝑖𝑖)𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵


𝑘𝑘′𝑣𝑣𝑅𝑅_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 = 115421.00 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵

𝑘𝑘′𝑣𝑣𝑖𝑖_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 = 220026.05 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵

𝑑𝑑𝑣𝑣_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 =𝑘𝑘′𝑣𝑣𝑖𝑖_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵𝛽𝛽𝑜𝑜 = 3001.56 𝑘𝑘𝑁𝑁. 𝑐𝑐 𝐵𝐵


Rigidez dinámica vertical de embebido ajustada considerando el


𝑘𝑘′𝑣𝑣_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_2 = 𝑘𝑘′𝑣𝑣𝑅𝑅_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 − 2𝛽𝛽𝑚𝑚𝑑𝑑𝑣𝑣𝐵𝐵𝑚𝑚𝑒𝑒𝛽𝛽𝑜𝑜 = 102219.44 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵

Amortiguamiento vertical de embebido ajustado considerando el


𝑑𝑑𝑣𝑣_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_2 = 𝑑𝑑𝑣𝑣_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 + 2𝛽𝛽𝑚𝑚 𝑘𝑘′𝑣𝑣𝑢𝑢𝜔𝜔𝑜𝑜 = 3096.04 𝑘𝑘𝑁𝑁. 𝑐𝑐 𝐵𝐵


𝑘𝑘′𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 = 𝐺𝐺𝑠𝑠𝑅𝑅𝜓𝜓𝑛𝑛2𝐿𝐿𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵_𝑒𝑒𝑓𝑓(𝑆𝑆𝜓𝜓1 + 𝑖𝑖𝛼𝛼0𝜓𝜓𝑛𝑛𝑆𝑆𝜓𝜓2)

Entonces la impedancia rotacional del efecto de embebido es:


130

𝑘𝑘′𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 = (345994.21 + 171938.48 𝑖𝑖) 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵


𝑘𝑘′𝜓𝜓𝑛𝑛𝑅𝑅_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 = 345994.21 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵

𝑘𝑘′𝜓𝜓𝑛𝑛𝑖𝑖_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 = 171938.48 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵

𝑑𝑑𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 =𝑘𝑘′𝜓𝜓𝑛𝑛𝑖𝑖_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵𝛽𝛽𝑜𝑜 = 2345.56 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵. 𝑐𝑐


Rigidez dinámica rotacional de embebido ajustada considerando el


𝑘𝑘′𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_2 = 𝑘𝑘′𝜓𝜓𝑛𝑛𝑅𝑅_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 − 2𝛽𝛽𝑚𝑚𝑑𝑑𝜓𝜓𝑛𝑛𝐵𝐵𝑚𝑚𝑒𝑒𝛽𝛽𝑜𝑜 = 335677.90 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵

Amortiguamiento rotacional de embebido ajustado considerando el


𝑑𝑑𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_2 = 𝑑𝑑𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 + 2𝛽𝛽𝑚𝑚 𝑘𝑘′𝜓𝜓𝐿𝐿𝑢𝑢_𝐵𝐵𝑚𝑚𝑒𝑒𝜔𝜔𝑜𝑜 = 2628.76 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵. 𝑐𝑐


𝑘𝑘′𝜓𝜓𝐵𝐵_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 = 𝐺𝐺𝑠𝑠𝑅𝑅𝜓𝜓𝐵𝐵2𝐿𝐿𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵_𝑒𝑒𝑓𝑓(𝑆𝑆𝜓𝜓1 + 𝑖𝑖𝛼𝛼0𝜓𝜓𝐵𝐵𝑆𝑆𝜓𝜓2)

Entonces la impedancia rotacional del efecto de embebido es:

𝑘𝑘′𝜓𝜓𝐵𝐵_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 = (556062.13 + 350311.82 𝑖𝑖) 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵


𝑘𝑘′𝜓𝜓𝐵𝐵𝑅𝑅_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 = 556062.13 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵


131

𝑘𝑘′𝜓𝜓𝐵𝐵𝑖𝑖_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 = 350311.82 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵

𝑑𝑑𝜓𝜓𝐵𝐵_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 =𝑘𝑘′𝜓𝜓𝐵𝐵𝑖𝑖_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵𝛽𝛽𝑜𝑜 = 4778.90 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵. 𝑐𝑐


Rigidez dinámica rotacional de embebido ajustada considerando el


𝑘𝑘′𝜓𝜓𝐵𝐵_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_2 = 𝑘𝑘′𝜓𝜓𝐵𝐵𝑅𝑅_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 − 2𝛽𝛽𝑚𝑚𝑑𝑑𝜓𝜓𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑒𝑒𝛽𝛽𝑜𝑜 = 535043.42 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵



𝑑𝑑𝜓𝜓𝐵𝐵_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_2 = 𝑑𝑑𝜓𝜓𝐵𝐵_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 + 2𝛽𝛽𝑚𝑚 𝑘𝑘′𝜓𝜓𝐵𝐵𝑢𝑢_𝐵𝐵𝑚𝑚𝑒𝑒𝜔𝜔𝑜𝑜 = 5234.05 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵. 𝑐𝑐

5.7.2.2.5. Cálculo de la impedancia torsional

𝑘𝑘′𝜂𝜂_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 = 𝐺𝐺𝑠𝑠𝑅𝑅𝜂𝜂2𝐿𝐿𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵_𝑒𝑒𝑓𝑓(𝑆𝑆𝜂𝜂1 + 𝑖𝑖𝛼𝛼0𝜂𝜂𝑆𝑆𝜂𝜂2)

Entonces la impedancia torsional del efecto de embebido es:

𝑘𝑘′𝜂𝜂_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 = (1889434.48 + 798727.41 𝑖𝑖) 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵


𝑘𝑘′𝜂𝜂𝑅𝑅_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 = 1889434.48 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵

𝑘𝑘′𝜂𝜂𝑖𝑖_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 = 798727.41 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵

𝑑𝑑𝜂𝜂_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 =𝑘𝑘′𝜂𝜂𝑖𝑖_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵𝛽𝛽𝑜𝑜 = 10896.12 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵. 𝑐𝑐


132


Rigidez dinámica torsional de embebido ajustada considerando el


𝑘𝑘′𝜂𝜂_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_2 = 𝑘𝑘′𝜂𝜂𝑅𝑅_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 − 2𝛽𝛽𝑚𝑚𝑑𝑑𝜂𝜂𝐵𝐵𝑚𝑚𝑒𝑒𝛽𝛽𝑜𝑜 = 1841510.84 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵



𝑑𝑑𝜂𝜂_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_2 = 𝑑𝑑𝜂𝜂_𝑒𝑒𝑚𝑚𝐵𝐵 + 2𝛽𝛽𝑚𝑚 𝑘𝑘′𝜂𝜂𝑢𝑢_𝐵𝐵𝑚𝑚𝑒𝑒𝜔𝜔𝑜𝑜 = 12442.64 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵. 𝑐𝑐

5.7.2.3. Coeficientes de rigidez y amortiguamiento totales

Según la metodología de Veletsos y Verbic, la impedancia total para cada GDL,

se calcula como la suma de los coeficientes de rigidez y amortiguamiento dinámico sin

considerar y considerando el embebido, es decir, la suma de la solución 1 y la solución

2.

𝐾𝐾𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 = 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_1 + 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_2

Impedancia Total Horizontal (𝒖𝒖):

𝐾𝐾𝑢𝑢_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 = 𝑘𝑘𝑢𝑢_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_1 + 𝑘𝑘𝑢𝑢_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_2 = 694494.92 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵

𝐶𝐶𝑢𝑢_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 = 𝑑𝑑𝑢𝑢_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_1 + 𝑑𝑑𝑢𝑢_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_2 = 8571.18 𝑘𝑘𝑁𝑁. 𝑐𝑐 𝐵𝐵

Impedancia Total Vertical (𝒗𝒗):

𝐾𝐾𝑣𝑣_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 = 𝑘𝑘𝑣𝑣_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_1 + 𝑘𝑘𝑣𝑣_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_2 = 661543.00 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝐵𝐵

𝐶𝐶𝑣𝑣_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 = 𝑑𝑑𝑣𝑣_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_1 + 𝑑𝑑𝑣𝑣_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_2 = 9286.76 𝑘𝑘𝑁𝑁. 𝑐𝑐 𝐵𝐵


133

Impedancia Total Rotacional (𝝍𝝍𝝍𝝍):

𝐾𝐾𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 = 𝑘𝑘𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_1 + 𝑘𝑘𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_2 = 1437974.16 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵

𝐶𝐶𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 = 𝑑𝑑𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_1 + 𝑑𝑑𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_2 = 4646.03 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵. 𝑐𝑐

Impedancia Total Rotacional (𝝍𝝍𝝍𝝍):

𝐾𝐾𝜓𝜓𝐵𝐵_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 = 𝑘𝑘𝜓𝜓𝐵𝐵_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_1 + 𝑘𝑘𝜓𝜓𝐵𝐵_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_2 = 2650624.54 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵

𝐶𝐶𝜓𝜓𝐵𝐵_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 = 𝑑𝑑𝜓𝜓𝐵𝐵_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_1 + 𝑑𝑑𝜓𝜓𝐵𝐵_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_2 = 11019.25 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵. 𝑐𝑐

Impedancia Total Torsional (𝜼𝜼):

𝐾𝐾𝜂𝜂_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 = 𝑘𝑘𝜂𝜂_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_1 + 𝑘𝑘𝜂𝜂_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_2 = 4325976.66 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵

𝐶𝐶𝜂𝜂_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 = 𝑑𝑑𝜂𝜂_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_1 + 𝑑𝑑𝜂𝜂_𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒_2 = 16517.93 𝑘𝑘𝑁𝑁.𝐵𝐵. 𝑐𝑐

Diversos autores proponen realizar una reducción de la constante de

amortiguamiento calculado. Novak (1970) recomienda reducir estos coeficientes de

amortiguamiento en un 50 % para un análisis dinámico. (ACI 351.3R, 2004).

Tabla 33 Resumen de las rigideces y amortiguamientos para el análisis dinámico


134

5.7.3. ANÁLISIS DE LOS MODOS DE VIBRACIÓN

5.7.3.1. Cálculo de las frecuencias del sistema

Frecuencia Horizontal (𝑢𝑢):

𝛽𝛽𝑛𝑛𝑢𝑢 = 𝐾𝐾𝑢𝑢_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 𝑘𝑘𝑊𝑊𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 = 124.77 𝑍𝑍𝐵𝐵𝑇𝑇 𝑐𝑐

Frecuencia Vertical (𝜎𝜎):

𝛽𝛽𝑛𝑛𝑣𝑣 = 𝐾𝐾𝑣𝑣_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 𝑘𝑘𝑊𝑊𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 = 121.77 𝑍𝑍𝐵𝐵𝑇𝑇 𝑐𝑐

Frecuencia Rotacional (𝜓𝜓𝐿𝐿):

𝛽𝛽𝑛𝑛𝜓𝜓𝑛𝑛 = 𝐾𝐾𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓𝐽𝐽𝑚𝑚_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝐵𝐵𝑚𝑚𝑠𝑠𝑒𝑒𝐶𝐶𝑖𝑖𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖ó𝑛𝑛 = 135.64 𝑍𝑍𝐵𝐵𝑇𝑇 𝑐𝑐

Frecuencia Rotacional (𝜓𝜓𝐵𝐵):

𝛽𝛽𝑛𝑛𝜓𝜓𝐵𝐵 = 𝐾𝐾𝜓𝜓𝐵𝐵_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓𝐽𝐽𝑦𝑦_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝐵𝐵𝑚𝑚𝑠𝑠𝑒𝑒𝐶𝐶𝑖𝑖𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖ó𝑛𝑛 = 143.40 𝑍𝑍𝐵𝐵𝑇𝑇 𝑐𝑐

Frecuencia Torsional (𝜂𝜂):

𝛽𝛽𝑛𝑛𝜂𝜂 = 𝐾𝐾𝜂𝜂_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓𝐽𝐽𝑧𝑧_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝑆𝑆𝑖𝑖𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚 = 222.72 𝑍𝑍𝐵𝐵𝑇𝑇 𝑐𝑐

Frecuencia Acoplada Rotacional y Horizontal:

𝛽𝛽𝑛𝑛4 − 𝜔𝜔𝑛𝑛𝑢𝑢2+𝜔𝜔𝑛𝑛𝜓𝜓𝐿𝐿2𝛾𝛾 𝛽𝛽𝑛𝑛2 +𝜔𝜔𝑛𝑛𝑢𝑢2𝜔𝜔𝑛𝑛𝜓𝜓𝐿𝐿2𝛾𝛾 = 0 𝛾𝛾𝑚𝑚 =

𝐽𝐽𝑥𝑥_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝑆𝑆𝑖𝑖𝑠𝑠𝑡𝑡𝐵𝐵𝑚𝑚𝑇𝑇𝐽𝐽𝑥𝑥_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝐵𝐵𝑇𝑇𝑠𝑠𝐵𝐵𝐶𝐶𝑖𝑖𝑚𝑚𝐵𝐵𝑛𝑛𝑡𝑡𝑇𝑇𝑐𝑐𝑖𝑖ó𝑛𝑛


135

𝛽𝛽𝑚𝑚𝑐𝑐𝑜𝑜𝑝𝑝_𝑢𝑢_𝜓𝜓𝑛𝑛_1 = 99.48 𝑍𝑍𝐵𝐵𝑇𝑇 𝑐𝑐 𝛽𝛽𝑚𝑚𝑐𝑐𝑜𝑜𝑝𝑝_𝑢𝑢_𝜓𝜓𝑛𝑛_2 = 238.76 𝑍𝑍𝐵𝐵𝑇𝑇 𝑐𝑐

De manera análoga para la otra dirección:

𝛽𝛽𝑚𝑚𝑐𝑐𝑜𝑜𝑝𝑝_𝑢𝑢_𝜓𝜓𝐵𝐵_1 = 106.63 𝑍𝑍𝐵𝐵𝑇𝑇 𝑐𝑐 𝛽𝛽𝑚𝑚𝑐𝑐𝑜𝑜𝑝𝑝_𝑢𝑢_𝜓𝜓𝐵𝐵_2 = 200.34 𝑍𝑍𝐵𝐵𝑇𝑇 𝑐𝑐

Tabla 34 Frecuencias naturales para movimientos puros

Tabla 35 Frecuencias naturales considerando los movimientos acoplados

5.7.3.2. Razón de amortiguamiento

Razón de Amortiguamiento Horizontal:

𝜁𝜁𝑢𝑢 =𝐶𝐶𝑢𝑢_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓_𝑅𝑅𝑒𝑒𝑐𝑐

2𝐾𝐾𝑢𝑢_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓𝑊𝑊𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓𝑘𝑘 = 0.38


136

Razón de Amortiguamiento Vertical:

𝜁𝜁𝑣𝑣 =𝐶𝐶𝑣𝑣_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓_𝑅𝑅𝑒𝑒𝑐𝑐

2𝐾𝐾𝑣𝑣_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓𝑊𝑊𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓𝑘𝑘 = 0.43

Razón de Amortiguamiento Rotacional 𝜓𝜓𝐿𝐿:

𝜁𝜁𝜓𝜓𝑛𝑛 =𝐶𝐶𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓_𝑅𝑅𝑒𝑒𝑐𝑐

2𝐾𝐾𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 𝐽𝐽𝑚𝑚_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝐵𝐵𝑚𝑚𝑠𝑠𝑒𝑒𝐶𝐶𝑖𝑖𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖ó𝑛𝑛 = 0.11

Razón de Amortiguamiento Rotacional 𝜓𝜓𝐵𝐵:

𝜁𝜁𝜓𝜓𝐵𝐵 =𝐶𝐶𝜓𝜓𝐵𝐵_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓_𝑅𝑅𝑒𝑒𝑐𝑐

2𝐾𝐾𝜓𝜓𝐵𝐵_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 𝐽𝐽𝑦𝑦_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝐵𝐵𝑚𝑚𝑠𝑠𝑒𝑒𝐶𝐶𝑖𝑖𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖ó𝑛𝑛 = 0.15

Razón de Amortiguamiento Torsional 𝜂𝜂:

𝜁𝜁𝜂𝜂 =𝐶𝐶𝜂𝜂_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓_𝑅𝑅𝑒𝑒𝑐𝑐

2𝐾𝐾𝜂𝜂_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 𝐽𝐽𝑧𝑧_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝑆𝑆𝑖𝑖𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0.21

Tabla 36 Razones de amortiguamiento – Movimientos puros

5.7.3.3. Cálculo del factor de amplificación dinámica

Factor de Amplificación Dinámica Horizontal:

𝛽𝛽𝜔𝜔𝑢𝑢 =𝜔𝜔𝑜𝑜𝜔𝜔𝑛𝑛𝑢𝑢 = 0.59 𝑀𝑀𝑢𝑢 =

1(1−𝛽𝛽𝜔𝜔𝑢𝑢2)2+(2𝜁𝜁𝑢𝑢𝛽𝛽𝜔𝜔𝑢𝑢)2 = 1.26


137

Factor de Amplificación Dinámica Vertical:

𝛽𝛽𝜔𝜔𝑣𝑣 =𝜔𝜔𝑜𝑜𝜔𝜔𝑛𝑛𝑣𝑣 = 0.60 𝑀𝑀𝑣𝑣 =

1(1−𝛽𝛽𝜔𝜔𝑣𝑣2)2+(2𝜁𝜁𝑣𝑣𝛽𝛽𝜔𝜔𝑣𝑣)2 = 1.22

Factor de Amplificación Dinámica Rotacional 𝜓𝜓𝐿𝐿:

𝛽𝛽𝜔𝜔𝜓𝜓𝑛𝑛 =𝜔𝜔𝑜𝑜𝜔𝜔𝜓𝜓𝐿𝐿 = 0.54 𝑀𝑀𝜓𝜓𝑛𝑛 =

1(1−𝛽𝛽𝜔𝜔𝜓𝜓𝐿𝐿2)2+(2𝜁𝜁𝜓𝜓𝐿𝐿𝛽𝛽𝜔𝜔𝜓𝜓𝐿𝐿)2 = 1.39

Factor de Amplificación Dinámica Rotacional 𝜓𝜓𝐵𝐵:

𝛽𝛽𝜔𝜔𝜓𝜓𝐵𝐵 =𝜔𝜔𝑜𝑜𝜔𝜔𝜓𝜓𝐵𝐵 = 0.51 𝑀𝑀𝜓𝜓𝐵𝐵 =

1(1−𝛽𝛽𝜔𝜔𝜓𝜓𝐵𝐵2)2+(2𝜁𝜁𝜓𝜓𝐵𝐵𝛽𝛽𝜔𝜔𝜓𝜓𝐵𝐵)2 = 1.33

Factor de Amplificación Dinámica Torsional 𝜂𝜂:

𝛽𝛽𝜔𝜔𝜂𝜂 =𝜔𝜔𝑜𝑜𝜔𝜔𝑛𝑛𝜂𝜂 = 0.33 𝑀𝑀𝜂𝜂 =

1(1−𝛽𝛽𝜔𝜔𝜂𝜂2)2+(2𝜁𝜁𝜂𝜂𝛽𝛽𝜔𝜔𝜂𝜂)2 = 1.11

Figura 56 Gráfica de resonancia para cada dirección de análisis – Movimientos puros


138

Empleando la ecuación (3.45) calculamos la transmisibilidad:

Tabla 37 Transmisibilidad para cada dirección de análisis

5.7.3.4. Cálculo de la amplitud de desplazamiento

Calculamos las amplitudes de desplazamiento provocados por las siguientes

fuerzas dinámicas:

𝐹𝐹𝑦𝑦 = 82.66 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓

𝐹𝐹𝑧𝑧 = 82.66 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓

Y el momento provocado por la fuerza dinámica horizontal, 𝐹𝐹𝑦𝑦, actuando en el

CG del sistema es:

𝑀𝑀𝑚𝑚 = 108.06 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓.𝐵𝐵

Amplitud de Desplazamiento Horizontal en Y:

𝐴𝐴𝑢𝑢 =𝐹𝐹𝑦𝑦𝐾𝐾𝑢𝑢_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓𝑀𝑀𝑢𝑢 = 0.0015 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0.0577 𝐵𝐵𝑖𝑖𝑚𝑚

Amplitud de Desplazamiento Vertical:

𝐴𝐴𝑣𝑣 =𝐹𝐹𝑧𝑧𝐾𝐾𝑣𝑣_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓𝑀𝑀𝑣𝑣 = 0.0015 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0.0589 𝐵𝐵𝑖𝑖𝑚𝑚


139

Amplitud de Desplazamiento Rotacional 𝜓𝜓𝐿𝐿 puro:

𝐴𝐴𝜓𝜓𝑛𝑛 =𝑀𝑀𝑚𝑚𝐾𝐾𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓𝑀𝑀𝜓𝜓𝑛𝑛 = 1.03 ∗ 10−6 𝑍𝑍𝐵𝐵𝑇𝑇

𝐴𝐴𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑣𝑣 = 𝐴𝐴𝜓𝜓𝑛𝑛 𝐵𝐵2 = 0.0014 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0.0566 𝐵𝐵𝑖𝑖𝑚𝑚 𝐴𝐴𝜓𝜓𝑛𝑛_ℎ = 𝐴𝐴𝜓𝜓𝑛𝑛ℎ = 0.0013 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0.0528 𝐵𝐵𝑖𝑖𝑚𝑚

Amplitud Acoplada Rotacional y Horizontal:

- Amplitud producida solo por el momento 𝑀𝑀𝛽𝛽:

𝐴𝐴𝑦𝑦_𝑀𝑀𝑚𝑚 =𝑀𝑀𝑚𝑚𝐽𝐽𝑚𝑚_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝑆𝑆𝑖𝑖𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚(𝛽𝛽𝑛𝑛𝑢𝑢)2 + (2𝜁𝜁𝑢𝑢𝛽𝛽𝑛𝑛𝑢𝑢)2Δ(𝛽𝛽2)

𝐴𝐴𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑀𝑀𝑚𝑚 =𝑀𝑀𝑚𝑚𝐽𝐽𝑚𝑚_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝑆𝑆𝑖𝑖𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚(𝛽𝛽𝑛𝑛𝑢𝑢2 − 𝛽𝛽𝑜𝑜2)2 + (2𝜁𝜁𝑢𝑢𝛽𝛽𝑛𝑛𝑢𝑢𝛽𝛽𝑜𝑜)2Δ𝛽𝛽2

Δ(𝛽𝛽2) = 𝛽𝛽𝑜𝑜4 − 𝛽𝛽𝑜𝑜2 𝛽𝛽𝑛𝑛𝑢𝑢2 + 𝛽𝛽𝑛𝑛𝜓𝜓𝑛𝑛2𝛾𝛾𝑚𝑚 − 4𝜁𝜁𝑢𝑢𝜁𝜁𝜓𝜓𝑛𝑛𝛽𝛽𝑛𝑛𝑢𝑢𝛽𝛽𝑛𝑛𝜓𝜓𝑛𝑛𝛾𝛾𝑚𝑚 +𝛽𝛽𝑛𝑛𝑢𝑢2𝛽𝛽𝑛𝑛𝜓𝜓𝑛𝑛2𝛾𝛾𝑚𝑚 2

+ 4 𝜁𝜁𝑢𝑢𝛽𝛽𝑛𝑛𝑢𝑢𝛽𝛽𝑜𝑜𝛾𝛾𝑚𝑚 𝛽𝛽𝑛𝑛𝜓𝜓𝑛𝑛2 − 𝛽𝛽𝑜𝑜2 +𝜁𝜁𝜓𝜓𝑛𝑛𝛽𝛽𝑛𝑛𝜓𝜓𝑛𝑛𝛽𝛽𝑜𝑜𝛾𝛾𝑚𝑚 (𝛽𝛽𝑛𝑛𝑢𝑢2 − 𝛽𝛽𝑜𝑜2)21/2

Δ𝛽𝛽2 = 3.46 ∗ 108

Entonces la amplitud y el giro ocasionados por el momento 𝑀𝑀𝑚𝑚:

𝐴𝐴𝑦𝑦_𝑀𝑀𝑚𝑚 = 1.21 ∗ 10−5 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4.78 ∗ 10−4 𝐵𝐵𝑖𝑖𝑚𝑚 𝐴𝐴𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑀𝑀𝑚𝑚 = 9.56 ∗ 10−7 𝑍𝑍𝐵𝐵𝑇𝑇


140

Convertimos a desplazamientos el giro producido por 𝐴𝐴𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑀𝑀𝑚𝑚 y

adicionamos el desplazamiento 𝐴𝐴𝑦𝑦_𝑀𝑀𝑚𝑚 al componente correspondiente:

𝐴𝐴ℎ_𝑀𝑀𝑚𝑚 = 𝐴𝐴𝑦𝑦_𝑀𝑀𝑚𝑚 + ℎ𝐴𝐴𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑀𝑀𝑚𝑚

𝐴𝐴ℎ_𝑀𝑀𝑚𝑚 = 0.0021 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0.0846 𝐵𝐵𝑖𝑖𝑚𝑚 La amplitud vertical causada por el giro 𝐴𝐴𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑀𝑀𝑚𝑚 será:

𝐴𝐴𝑦𝑦_𝑀𝑀𝑚𝑚 =𝐵𝐵2𝐴𝐴𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑀𝑀𝑚𝑚 = 0.0013 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0.0527 𝐵𝐵𝑖𝑖𝑚𝑚

- Amplitud producida solo por la fuerza 𝐹𝐹𝑦𝑦:

Definimos los siguientes términos:

𝐵𝐵𝑆𝑆𝑖𝑖𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚 = 4549.18 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓. 𝑐𝑐2 𝐵𝐵⁄

𝐿𝐿 = 𝛽𝛽𝑖𝑖𝑇𝑇 = 0.93 𝐵𝐵

𝐴𝐴𝑦𝑦_𝐹𝐹𝑦𝑦 =𝐹𝐹𝑦𝑦𝑚𝑚𝑆𝑆𝑖𝑖𝑠𝑠𝑡𝑡𝐵𝐵𝑚𝑚𝑇𝑇 𝐽𝐽𝑥𝑥_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝑆𝑆𝑖𝑖𝑠𝑠𝑡𝑡𝐵𝐵𝑚𝑚𝑇𝑇 (− 𝐽𝐽𝑥𝑥_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝑆𝑆𝑖𝑖𝑠𝑠𝑡𝑡𝐵𝐵𝑚𝑚𝑇𝑇 𝜔𝜔𝑜𝑜2+𝐾𝐾𝜓𝜓𝐿𝐿_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑡𝑡𝑇𝑇𝑇𝑇+𝑛𝑛2𝐾𝐾𝑢𝑢_𝑇𝑇𝑜𝑜𝑡𝑡𝑇𝑇𝑇𝑇 )2+Δ𝜔𝜔2

𝐴𝐴𝜓𝜓𝑛𝑛_𝐹𝐹𝑦𝑦 =𝐹𝐹𝑦𝑦𝐿𝐿𝑚𝑚𝐽𝐽𝑚𝑚_𝐶𝐶𝑀𝑀_𝑆𝑆𝑖𝑖𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚𝛽𝛽𝑛𝑛𝑢𝑢𝛽𝛽𝑛𝑛𝑢𝑢2 + 4𝜁𝜁𝑢𝑢𝛽𝛽𝑜𝑜2Δ𝛽𝛽2

Entonces la amplitud y el giro ocasionados por la fuerza 𝐹𝐹𝑦𝑦 son:

𝐴𝐴𝑦𝑦_𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0.0025 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0.0977 𝐵𝐵𝑖𝑖𝑚𝑚 𝐴𝐴𝜓𝜓𝑛𝑛_𝐹𝐹𝑦𝑦 = 1.06 ∗ 10−6 𝑍𝑍𝐵𝐵𝑇𝑇


141

Convertimos a desplazamientos el giro producido por 𝐴𝐴𝜓𝜓𝑛𝑛_𝐹𝐹𝑦𝑦 y

adicionamos el desplazamiento 𝐴𝐴𝑦𝑦_𝐹𝐹𝑦𝑦 al componente correspondiente:

𝐴𝐴ℎ_𝐹𝐹𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝑦𝑦_𝐹𝐹𝑦𝑦 + ℎ𝐴𝐴𝜓𝜓𝑛𝑛_𝐹𝐹𝑦𝑦

𝐴𝐴ℎ_𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0.0048 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0.1906 𝐵𝐵𝑖𝑖𝑚𝑚 La amplitud vertical causada por el giro 𝐴𝐴𝜓𝜓𝑛𝑛_𝐹𝐹𝑦𝑦 será:

𝐴𝐴𝑣𝑣_𝐹𝐹𝑦𝑦 =𝐵𝐵2𝐴𝐴𝜓𝜓𝑛𝑛_𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0.0015 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0.0582 𝐵𝐵𝑖𝑖𝑚𝑚

- Amplitud horizontal acoplada total:

𝐴𝐴𝑚𝑚𝑐𝑐𝑜𝑜𝑝𝑝_ℎ_𝑝𝑝𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 = 𝐴𝐴ℎ_𝑀𝑀𝑚𝑚 + 𝐴𝐴ℎ_𝐹𝐹𝑦𝑦

𝐴𝐴𝑚𝑚𝑐𝑐𝑜𝑜𝑝𝑝_ℎ_𝑝𝑝𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 = 0.0070 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0.275 𝐵𝐵𝑖𝑖𝑚𝑚 - Amplitud vertical acoplada total:

𝐴𝐴𝑚𝑚𝑐𝑐𝑜𝑜𝑝𝑝_𝑣𝑣_𝑝𝑝𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 = 𝐴𝐴𝑣𝑣_𝑀𝑀𝑚𝑚 + 𝐴𝐴𝑣𝑣_𝐹𝐹𝑦𝑦

𝐴𝐴𝑚𝑚𝑐𝑐𝑜𝑜𝑝𝑝_𝑣𝑣_𝑝𝑝𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 = 0.0028 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0.111 𝐵𝐵𝑖𝑖𝑚𝑚 Tabla 38 Amplitudes máximas de vibración del sistema cimentación – máquina para

cada modo de vibrar


142

5.7.4. VERIFICACIÓN DEL EFECTO DE RESONANCIA

Con la finalidad de evitar el efecto de resonancia, se recomienda que la relación

de frecuencias se mantenga fuera de los límites de 0.8 – 1.2, es decir, en el rango de

operación de la máquina se recomienda evitar la zona de resonancia.

Figura 57 Sintonización de una cimentación (Prakash, 1981)

Realizamos la verificación por efecto de resonancia:

Tabla 39 Verificación zona de resonancia – Movimientos puros

Tabla 40 Verificación zona de resonancia considerando amortiguamiento – Movimientos puros


143

Tabla 41 Verificación zona de resonancia – Movimientos acoplados

Tabla 42 Verificación zona de resonancia considerando amortiguamiento – Movimientos acoplados

5.7.5. VERIFICACIÓN DE LOS LÍMITES DE VIBRACIÓN PERMISIBLES

Para la verificación de los límites de vibración se tomará en consideración el

máximo de valor de las amplitudes de desplazamiento halladas anteriormente.

𝐴𝐴𝑚𝑚á𝑚𝑚 = 𝐵𝐵𝐵𝐵𝛽𝛽(𝐴𝐴𝑢𝑢,𝐴𝐴𝑣𝑣,𝐴𝐴𝜓𝜓𝑛𝑛_𝑣𝑣,𝐴𝐴𝜓𝜓𝑛𝑛_ℎ,𝐴𝐴𝑚𝑚𝑐𝑐𝑜𝑜_ℎ_𝑝𝑝𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 ,𝐴𝐴𝑚𝑚𝑐𝑐𝑜𝑜_𝑣𝑣_𝑝𝑝𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓)

𝐴𝐴𝑚𝑚á𝑚𝑚 = 0.0070 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0.275 𝐵𝐵𝑖𝑖𝑚𝑚 5.7.5.1. Criterio de Vibraciones para Equipos Rotativos

El criterio de Blake propone amplitudes permisibles en función de la importancia

de la maquinaria, su sensibilidad y adecuada operación.

Se tomará el factor de seguridad de la siguiente tabla:


144

Tabla 43 Factores de servicio de Blake (Richart et al., 1970)

𝐹𝐹𝑆𝑆 = 2

𝐴𝐴𝑚𝑚á𝑚𝑚_𝐵𝐵𝑓𝑓𝑚𝑚𝑘𝑘𝑒𝑒 = 𝐹𝐹𝑆𝑆 𝐴𝐴𝑚𝑚á𝑚𝑚 = 0.0140 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0.55 𝐵𝐵𝑖𝑖𝑚𝑚

Figura 58 Verificación del cumplimiento del criterio de Blake (ACI, 2004)

Después de un proceso de iteración y con la finalidad de obtener un óptimo

funcionamiento de la maquinaria, se debe conseguir, como se observa en el gráfico, que


145

las amplitudes de desplazamiento en cada GDL se encuentren dentro de la Zona A (Sin

falla, típico en equipos nuevos).

5.7.5.2. Criterio de Severidad de Vibración de una Maquinaria

El criterio de Baxter y Bernhard propone amplitudes permisibles en función de

la percepción de las personas a la vibración y el efecto en otros equipos o estructuras

adyacentes.

Figura 59 Verificación del cumplimiento del criterio de Baxter y Bernhard (ACI, 2004)

Así mismo, después de un proceso de iteración, se observa que la máxima

amplitud de desplazamiento se encuentra entre las Zonas de Vibración “Muy buena”.


146

5.7.5.3. Criterio de Reiher-Meister

Adicionalmente a los otros criterios, tenemos el de Reiher-Meister, este criterio

es usado para establecer límites con respecto a la sensibilidad del personal.

Entonces para una frecuencia de operación de 700 rpm y una amplitud de cero a

pico de 0.275 mil:

Figura 60 Verificación del cumplimiento del criterio de Reiher-Meister (ACI, 2004)

Como podemos ver, la relación entre la frecuencia de operación y la amplitud

generada se posiciona en la zona de “Apenas perceptible para las personas”,

confirmando así el buen comportamiento del sistema tanto en términos de operación

como de percepción por parte del personal.


147

5.8. REFORZAMIENTO DE LA CIMENTACIÓN

5.8.1. SEGÚN EL MODELO DE BIELAS Y TIRANTES

Previamente se definen los siguientes valores:

Ancho del pedestal: 𝐵𝐵 = 1.50 𝐵𝐵

Ancho de la cimentación: 𝐵𝐵 = 2.80 𝐵𝐵

Longitud de la cimentación: 𝐿𝐿 = 4.50 𝐵𝐵

Peralte efectivo: 𝑇𝑇 = 0.72 𝐵𝐵

Se analizará la estructura en el plano YZ, dado que resulta la más crítica debido

a su geometría, bajo las siguientes cargas últimas:

𝑈𝑈1 = 1.4𝐶𝐶𝑀𝑀 + 1.7𝑂𝑂𝑃𝑃

𝑈𝑈2 = 1.25𝐶𝐶𝑀𝑀 + 1.25𝑂𝑂𝑃𝑃 + 𝐶𝐶𝑆𝑆𝑌𝑌

𝑈𝑈3 = 1.25𝐶𝐶𝑀𝑀 + 1.25𝑂𝑂𝑃𝑃 − 𝐶𝐶𝑆𝑆𝑌𝑌

𝑈𝑈4 = 0.9𝐶𝐶𝑀𝑀 + 𝐶𝐶𝑆𝑆𝑌𝑌

𝑈𝑈5 = 0.9𝐶𝐶𝑀𝑀 − 𝐶𝐶𝑆𝑆𝑌𝑌

Tabla 44 Resumen de cargas a nivel del pedestal


148

Tabla 45 Axiles, momentos y presiones en el suelo según el modelo de bielas y tirantes

Tabla 46 Cálculo de 𝑇𝑇𝑐𝑐 según el modelo de bielas y tirantes

La tensión del tirante más crítica sería:

𝑇𝑇𝑐𝑐 = 14970.47 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓

Ahora calculamos el área de acero requerida empleando la ecuación (4.64):

𝐴𝐴𝑠𝑠𝑝𝑝 =𝑇𝑇𝑑𝑑∅𝑓𝑓𝑦𝑦 = 4.75 𝑑𝑑𝐵𝐵2

5.8.2. SEGÚN EL CRITERIO ACI 207.2R-95

Debido a que la altura de la cimentación es 𝐻𝐻 = 0.8 𝐵𝐵 < 1.20 𝐵𝐵, entonces:

𝐴𝐴𝑠𝑠_𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 = 0.0015 𝐴𝐴𝑝𝑝𝑟𝑟𝑚𝑚𝑛𝑛𝑠𝑠𝑣𝑣𝑒𝑒𝑟𝑟𝑠𝑠𝑚𝑚𝑓𝑓𝐴𝐴𝑠𝑠_𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 = 12.00 𝑑𝑑𝐵𝐵2 𝐵𝐵 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝐵𝐵𝑍𝑍𝐵𝐵⁄ ,𝐶𝐶 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑍𝑍𝑒𝑒𝑑𝑑𝑑𝑑𝑖𝑖ó𝜔𝜔⁄


149

5.8.3. SEGÚN EL CRITERIO ACI 318-14

𝐴𝐴𝑠𝑠_𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 = 0.0018 𝐴𝐴𝑝𝑝𝑟𝑟𝑚𝑚𝑛𝑛𝑠𝑠𝑣𝑣𝑒𝑒𝑟𝑟𝑠𝑠𝑚𝑚𝑓𝑓 𝐴𝐴𝑠𝑠_𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 = 14.40 𝑑𝑑𝐵𝐵2 𝐵𝐵 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝐵𝐵𝑍𝑍𝐵𝐵⁄ ,𝐶𝐶 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑍𝑍𝑒𝑒𝑑𝑑𝑑𝑑𝑖𝑖ó𝜔𝜔⁄

Emplearemos la recomendación del ACI 318-14 para calcular la distribución

de acero de la cimentación.

Acero a colocar:

𝑡𝑡𝑠𝑠 = 34 "

Cálculo del espaciamiento del acero:

𝑐𝑐 = 20 𝑑𝑑𝐵𝐵

5.8.4. CONTROL DE AGRIETAMIENTO SEGÚN ACI 224R-01

Se calculará el ancho máximo de fisura más probable en el fondo de la

cimentación, para tal fin, definimos las siguientes variables:

Relación entre la distancia entre el eje neutro y la cara traccionada y la

distancia entre el eje neutro y la armadura:

𝛽𝛽 = 1.20

Tensión en el acero de la armadura:

𝑓𝑓𝑠𝑠 = 0.30𝑓𝑓𝑦𝑦 = 18 𝑘𝑘𝑐𝑐𝑖𝑖 Espesor del recubrimiento desde la fibra extrema traccionada hasta la barra

más cercana:


150

𝑇𝑇𝑐𝑐 = 2.75 𝑖𝑖𝜔𝜔

Espaciamiento de la armadura de refuerzo:

𝑐𝑐 = 20 𝑑𝑑𝐵𝐵 = 7.87 𝑖𝑖𝜔𝜔

Área de hormigón simétrica con la armadura dividido por el número de barras:

𝐴𝐴𝑠𝑠 = 2𝑇𝑇𝑐𝑐s = 43.40 𝑖𝑖𝜔𝜔2

Ancho máximo de fisura más probable:

𝑤𝑤 = 0.076𝛽𝛽𝑓𝑓𝑠𝑠𝑇𝑇𝑐𝑐𝐴𝐴3 𝛽𝛽 10−3 = 0.008 𝑖𝑖𝜔𝜔 < 0.012 𝑖𝑖𝜔𝜔

Comparando el ancho de fisura calculada y el ancho de fisura razonable dado

en la Tabla 16 (para el caso de humedad, aire húmedo y suelo), se comprueba el buen

comportamiento del concreto ante el problema de fisuración.

5.8.5. VERIFICACIÓN SEGÚN EL CRITERIO ACI 351.3R-04

𝛾𝛾𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒𝑟𝑟𝑜𝑜_𝐶𝐶𝑖𝑖𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖ó𝑛𝑛 > 50 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓𝐵𝐵3

𝛾𝛾𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒𝑟𝑟𝑜𝑜_𝐶𝐶𝑖𝑖𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑚𝑚𝑐𝑐𝑖𝑖ó𝑛𝑛 = 73.50 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓𝐵𝐵3


151

CAPITULO VI: MODELADO CON ELEMENTOS FINITOS

En el presente capítulo se describirán consejos para realizar el modelado

adecuado de todos los componentes inmersos en el sistema suelo-cimentación-máquina,

además de realizar una comparación de los resultados calculados manualmente con los

resultados obtenido empleando el MEF.

Gran parte de las recomendaciones citadas en esta sección han sido tomadas a

partir de la publicación de Bathia (2008).

6.1. CONSIDERACIONES PARA MODELAR EL SISTEMA SUELO-

CIMIENTO-MÁQUINA

Aunque es posible calcular las frecuencias y las respuestas de un sistema

máquina-cimentación utilizando ecuaciones, los ingenieros en ejercicio encuentran que

a menudo es poco práctico hacerlo, especialmente para sistemas flexibles con múltiples

grados de libertad. Muchos códigos de computadora disponibles comercialmente como

ANSYS, DYNA, GTSTRUDL, SAP2000 y STAAD, pueden usarse para realizar estas

tareas.

Teniendo a nuestro alcance esta herramienta para realizar cálculo estructural, la

cimentación de la bomba centrífuga horizontal será modelada con el software comercial

SAP2000, el mismo que calculará la estructura mediante el método de elementos finitos

(MEF).

Según la complejidad del equipo dinámico el ingeniero deberá solicitar la

información pertinente para realizar el correcto modelado de la estructura, la data básica

que debemos obtener del fabricante y/o catálogos del equipo son:

- Configuración en planta del equipo.

- Masa de los componentes de la maquinaria.

- Frecuencia de operación del equipo.


152

- Fuerza desbalanceada proporcionada por el fabricante, o en caso de no contar

con esta información recurrir al reporte ACI 351.3R para realizar una estimación

de esta fuerza dependiendo del tipo de maquinaria.

6.1.1. MODELAMIENTO DE LA MÁQUINA

Al modelar la máquina, el objetivo principal es representarla de tal manera que

su masa se refleje realmente y la masa total del sistema coincida con la del prototipo de

análisis. Se considera que la máquina contribuye a la masa solo con su centro de

gravedad (CG), la cual se encuentra por encima del nivel de cimentación.

No es recomendable concentrar la masa de la máquina en el nivel superior de la

cimentación, ya que esto no sería una representación real del sistema, además tal

representación afectaría el momento de inercia de masa y, por lo tanto, las frecuencias

naturales y la respuesta.

Figura 61 Masa de la máquina concentrada en su CG (Bhatia, 2008)

Por lo tanto, el modelado de la máquina con elementos rígidos conectados desde

la masa de la máquina (concentrada en su CG) hacia la superficie superior de la

cimentación se considera lo suficientemente bueno. La masa de la máquina se considera

concentrada en ubicaciones apropiadas, es deseable seguir las recomendaciones de

distribución de masa dadas por el proveedor o fabricante.


153

6.1.2. MODELAMIENTO DEL BLOQUE DE CIMENTACIÓN

Una cimentación tipo bloque es una masa sólida hecha de concreto reforzado

con aberturas, depresiones o pedestales dependiendo de la configuración de la máquina.

Los elementos tipo sólido son lo suficientemente buenos para modelar bloques

de cimentación. El modelo de un sólido y la malla de elementos finitos de una

cimentación tipo bloque típica es mostrada en la Figura 62.

Figura 62 Modelo sólido y malla de elementos finitos (Bhatia, 2008)

6.1.3. MODELAMIENTO DEL SUELO

Se ha encontrado que máquinas similares con cimentaciones idénticas, pero con

condiciones de suelo diferente tienen un comportamiento diferente. Por lo tanto, es

importante estudiar el efecto del suelo en la respuesta general de la máquina.

Las formas más comunes de representar al suelo son:

a) Suelo representado por un conjunto de resortes equivalentes: Dos tipos de

representaciones son comúnmente usados en el modelado por elementos finitos

de una cimentación:

- Suelo representado por tres resortes traslacionales y tres resortes

rotacionales que se aplican en el CG de la base. Este tipo de

representación produce resultados (amplitudes y frecuencias) que se

encuentran muy de acuerdo a los cálculos manuales.


154

- Suelo representado por un conjunto de resortes aplicados en cada nudo

de la base de la cimentación, en contacto con el suelo.

Figura 63 Suelo representado con resortes equivalentes aplicados en el CG de la base de la cimentación – Suelo representado por resortes aplicados en cada nodo en

contacto con el suelo en la base de la cimentación (Bhatia, 2008)

b) Suelo representado como un continuo: el dominio del suelo es infinito y para

fines de análisis es necesario limitarlo a un dominio finito cuando el suelo se

considera como un continuo. Para modelar el suelo como un continuo es

necesario abordarse los siguientes temas.

- La extensión del dominio del suelo, es necesario encontrar un valor

óptimo que refleje un comportamiento realista del suelo sin una pérdida

significativa de precisión. Diferentes diseñadores adoptan sus propias

prácticas recomendando una extensión del dominio del suelo entre 3 a 8

veces el ancho de la cimentación. Es necesario asignarle las propiedades

apropiadas del suelo en términos de Módulo Elástico/Módulo de Corte y

Relación de Poisson.

Figura 64 Suelo representado como un continuo (Bhatia, 2008)


155

6.2. MODELO CON ELEMENTOS FINITOS EMPLEANDO SAP2000

6.2.1. CIMENTACIÓN Y SUS COMPONENTES

Empleando la geometría final definida anteriormente se modela la cimentación

y el pedestal con elementos tipo sólido considerando además las propiedades del

material como un concreto 𝑓𝑓′𝑑𝑑 = 210 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓/𝑑𝑑𝐵𝐵2.

Figura 65 Cimentación y pedestal para bomba centrífuga modelada como elemento tipo sólido

Luego se asignó la masa de los componentes de la máquina en su CG, y para

simular la conexión de estos centros de masa con la superficie superior del pedestal se

empleó elementos tipo frame sin propiedades.

Figura 66 Masas concentradas de los componentes de la máquina en su CG conectados al pedestal mediante elementos tipo frame

Pedestal

Bloque de cimentación

Masa concentrada de la bomba

Masa concentrada del motor

Masa concentrada del rotor

Masa concentrada del skid


156

6.2.2. IMPEDANCIA PROPORCIONADA POR EL SUELO

La impedancia calculada en el capítulo previo se asignará mediante un elemento

tipo link lineal, considerando además rigideces y amortiguamientos desacoplados, este

elemento será aplicado al CG del sistema para establecer las mismas condiciones que el

prototipo de análisis empleado en el cálculo manual.

Entonces, según un sistema de coordenadas compatible con los cálculos

realizados en el capítulo 5, establecemos la matriz de rigidez:

Dicha matriz se encuentra ensamblada según las coordenadas propuestas en la

memoria de cálculo (realizada en el capítulo 5); sin embargo, se puede ver resaltado en

los recuadros azules, las coordenadas según el elemento tipo Link que se debe ingresar

al programa SAP2000. Entonces reensamblamos la matriz de rigidez con unas

coordenadas compatibles al elemento tipo Link:

De manera análoga se realiza el mismo procedimiento para el ensamble de la

matriz de amortiguamiento, denotado por [𝐶𝐶], luego ingresamos estas matrices al

programa SAP2000 en las unidades correspondientes (kN, m).


157

Tabla 47 Valores de rigidez y amortiguamiento ingresados al elemento tipo Link lineal

6.2.3. CARGA DINÁMICA DE LA BOMBA

Debido a que realizaremos dos tipos de análisis, un análisis tiempo-historia y un

análisis steady-state, es necesario ingresar la carga dinámica producida por la bomba

para cada tipo de análisis.

a) Análisis tiempo-historia:

Ingresamos la función de la bomba con una amplitud de onda igual a 82.661

y un periodo compatible a la frecuencia de operación de 700 𝑍𝑍𝑝𝑝𝐵𝐵.


158

Figura 67 Ingreso de la función seno para la frecuencia de operación de 700 rpm con amplitud de onda de 82.661

b) Análisis steady-state:

Ingresamos la curva de la bomba desde el inicio de su operación hasta su

máxima frecuencia de 700 𝑍𝑍𝑝𝑝𝐵𝐵.

Figura 68 Curva de la bomba para el análisis steady-state


159

A continuación, se asignó una carga unitaria en dirección horizontal y otra carga

unitaria en dirección vertical, las cuales se aplicaron en el CG del rotor.

Figura 69 Carga unitaria horizontal y vertical aplicada al CG del rotor

6.2.4. RESULTADOS DEL ANÁLISIS

A continuación, mostramos los resultados del análisis modal, el análisis tiempo-

historia y del análisis steady-state.

a) Análisis modal:

Como se puede apreciar en la Tabla 48 obtenemos 6 modos de vibrar del

sólido; siendo los modos 1 y 6, acoplados (𝑢𝑢𝐹𝐹 + 𝜓𝜓𝐿𝐿); los modos 2 y 4,

acoplados (𝑢𝑢𝛽𝛽 + 𝜓𝜓𝐵𝐵); el modo 3, vertical(𝜎𝜎); y el modo 5, torsional (𝜂𝜂).

Tabla 48 Resultados del análisis modal – Frecuencias y periodos de cada modo de vibrar


160

b) Análisis tiempo-historia:

- Desplazamiento generado por 𝐹𝐹𝑧𝑧: se obtuvo un desplazamiento máximo

vertical de 0.0015 𝐵𝐵𝐵𝐵 tal como se muestra en la Figura 70, también se

graficó la función T-H Vertical obteniéndose la respuesta en función del

tiempo.

Figura 70 Máximo desplazamiento vertical generado por la fuerza 𝐹𝐹𝑧𝑧

Figura 71 Gráfica de la función T-H Vertical


161

- Desplazamiento vertical generado por 𝐹𝐹𝑦𝑦: se obtuvo un desplazamiento

máximo vertical de 0.0029 𝐵𝐵𝐵𝐵 tal como se muestra en la Figura 72,

también se graficó la función T-H Horizontal obteniéndose la respuesta

en función del tiempo.

Figura 72 Máximo desplazamiento vertical generado por la fuerza 𝐹𝐹𝑦𝑦

Figura 73 Gráfica de la función T-H Horizontal en el punto donde se genera el máximo desplazamiento vertical


162

- Desplazamiento horizontal generado por 𝐹𝐹𝑦𝑦: se obtuvo un

desplazamiento máximo horizontal de 0.0072 𝐵𝐵𝐵𝐵 tal como se muestra

en la Figura 74, también se graficó la función T-H Horizontal

obteniéndose la respuesta en función del tiempo.

Figura 74 Máximo desplazamiento horizontal generado por la fuerza 𝐹𝐹𝑦𝑦

Figura 75 Gráfica de la función T-H Horizontal en el punto donde se genera el máximo desplazamiento horizontal


163

c) Análisis steady-state:

El análisis del estado estable o permanente en el caso de equipos dinámicos

resulta de interés ya que permite evaluar la respuesta del sistema en el

dominio de las frecuencias; sin embargo, al tener un primer modo de vibrar

de 99.48 rad/s y una frecuencia de operación de la bomba que trabaja en un

rango de 0 a 73.30 rad/s (700 rpm), estos modos de vibrar no logran a

excitarse en todo el rango de operación de la bomba.

Figura 76 Amplitud en función de la frecuencia – Carga vertical 𝐹𝐹𝑧𝑧

Figura 77 Amplitud en función de la frecuencia – Carga Horizontal 𝐹𝐹𝑦𝑦 en el punto con máximo desplazamiento vertical


164

Figura 78 Amplitud en función de la frecuencia - Carga Horizontal 𝐹𝐹𝑦𝑦 en el punto con máximo desplazamiento horizontal

6.3. COMPARACIÓN DE RESULTADOS

La finalidad de realizar un modelo en SAP2000 es para comparar los cálculos

manuales y afirmar el funcionamiento adecuado de la máquina. A continuación, se

realizará las frecuencias naturales del sistema y se compararán los resultados obtenidos

manualmente con los resultados obtenidos en SAP2000.

Tabla 49 Comparación de las frecuencias naturales del sistema

En la Tabla 49 podemos observar que la máxima variación respecto a los

cálculos manuales es de 1.18 %, verificando así la integridad del modelo y, por lo tanto,

también cumplirá la recomendación de relación de frecuencias fuera del rango de 0.8 y

1.2.


165

Tabla 50 Comparación de amplitudes de vibración – Cálculo manual y análisis T-H

Tabla 51 Comparación de amplitudes de vibración – Cálculo manual y análisis steady-state

De la Tabla 50 y 51 obtenemos un variaciónes aceptables para ambos tipos de

análisis realizados. De esta forma comprobamos los cálculos manuales realizados, a

nivel de amplitudes, asegurando el buen desempeño del sistema.


166

CONCLUSIONES

1. El cálculo del módulo de corte dinámico a diferencia del amortiguamiento

interno del suelo y el coeficiente de Poisson, es un parámetro que involucra una

gran sensibilidad en los resultados; por lo tanto, este fue estimado considerando

la condición más desfavorable de presiones verticales en el suelo. Además, se

comprobó que el efecto de la deformación por corte cíclico no afecta el valor

calculado de G.

2. La dimensión final de la cimentación luego de un proceso iterativo resulto para

el bloque de cimentación: 4.5 m de largo, 2.8 m de ancho y una altura de 0.8 m;

y para el pedestal: 4.5 m de largo, 1.5 m de ancho y 0.8 m de altura.

3. La verificación de la excentricidad en dirección “x” resulto de 0.18 % o de 0.82

cm, es decir, menor a la recomendación límite de 5 %. En relación a la

excentricidad en dirección “y” la máquina se encuentra perfectamente alineada.

4. Se realizó la verificación de presiones en el suelo, obteniendo una presión

máxima de 0.44 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓 𝑑𝑑𝐵𝐵2⁄ , muy por debajo de la presión admisible de 2.67 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓 𝑑𝑑𝐵𝐵2⁄ .

5. Se realizó el análisis dinámico de la cimentación de una bomba centrífuga

horizontal, considerando la interacción suelo-estructura, tomando como base el

modelo de Veletsos y Verbic, obteniéndose para una frecuencia de operación

final de 700 rpm los siguientes coeficientes de rigidez y amortiguamiento:

6. La comprobación del efecto de resonancia resultó satisfactoria, concluyendo que

el sistema se encuentra fuera del rango de resonancia comprendido entre 0.8 y

1.2.


167

7. Los modos de vibrar del sistema real corresponden cuando el centro de gravedad

se encuentra por encima del centro de resistencia; por lo tanto, el sistema tendrá

seis modos de vibrar: acoplado en dirección “y” (un modo con una frecuencia

alta y otro con una frecuencia baja), acoplado en dirección “x” (un modo con

una frecuencia alta y otro con una frecuencia baja), vertical y torsional. Siendo

los modos de vibrar excitados por las fuerzas dinámicas los siguientes: el modo

acoplado en dirección “y” y el modo de vibrar vertical.

8. Después de un proceso de iteración para conseguir una amplitud adecuada de

funcionamiento, del análisis dinámico se obtuvo como máxima respuesta del

estado permanente el valor de 0.0070 mm y se verificó el cumplimiento de los

siguientes criterios: el criterio de Blake, donde la amplitud máxima de vibración

se encuentra dentro de la zona A; el criterio de Baxter y Bernhard, el desempeño

de la máquina se encuentra en la región de “Muy bueno”; y el criterio de Reiher-

Meister, en la región de “Apenas notable para las personas”. De esta forma

concluimos que la máquina tendrá un buen desempeño y su funcionamiento será

apenas perceptible para las personas.

9. En este diseño en particular, la profundidad de desplante propuesta del estudio

de mecánica de suelos referencial limitó el diseño o dimensionado de la

cimentación, dotando de más masa al sistema y aumentando el momento

desbalanceado producido por la fuerza dinámica de la máquina, lo cual se tradujo

en mayores amplitudes de vibración.

10. El aumento de la relación de masa de un sistema máquina-cimentación no

siempre hará que las relaciones de frecuencias se mantengan fuera de la región

de resonancia. Sin embargo, una mayor impedancia reducirá la amplitud de

vibración durante la operación de la máquina.

11. Se optó por la recomendación del ACI 318-14 para estimar la cantidad de acero

en la cimentación, colocándose acero de un diámetro de 3/4" con un

espaciamiento de 20 cm. También se empleó un modelo de bielas y tirantes,

comprobándose que las tracciones generadas en la zona inferior de la

cimentación son mínimas. Adicionalmente, se realizó una comprobación del


168

agrietamiento del concreto según ACI 224R-01, concluyendo en un buen

comportamiento del concreto ante la fisuración.

12. Al modelar el sistema suelo-cimentación-máquina en SAP2000 se optó por

realizar un análisis tiempo-historia modal y un análisis steady-state, obteniendo

una variación promedio de 2.10 % para el análisis tiempo-historia modal y una

variación de 2.04 % para el análisis steady-state respecto a los cálculos

manuales, verificándose de esta forma que las amplitudes de desplazamiento

máximas no superen los valores permisibles establecidos por los criterios de

Blake, Baxter y Bernhard y Reiher-Meister.


169

RECOMENDACIONES

1. En proyectos de mayor envergadura y/o en caso se disponga de un mayor

presupuesto, se recomienda realizar ensayos geofísicos, para la obtención de

parámetros dinámicos más certeros.

2. Se recomienda la constante interacción entre el ingeniero geotécnico y el

ingeniero diseñador de la cimentación, para establecer las mejores condiciones

de desempeño de la cimentación.

3. La metodología de Veletsos y Verbic contempla un límite de aplicación en

cuanto a las frecuencias adimensionales; estas no deben ser mayores a 2, al

considerar el aporte del suelo debajo de la cimentación como un semiespacio; y

1.5 al considerar el aporte lateral del suelo. No cumplir con estas condiciones

conllevaría a resultados incongruentes de las funciones de impedancia, de ser

así, se recomienda emplear otro modelo de análisis.

4. Para un estudio más detallado del comportamiento del sistema se recomienda

realizar un análisis considerando la variación de la rigidez y amortiguamiento

del suelo en función de la frecuencia en todo el rango de operación de la

máquina.

5. Se recomienda que el fabricante de la maquinaria especifique las fuerzas y

momentos desbalanceados y los límites permisibles por vibración de la misma.


170

REFERENCIAS

ACI. (2014). American Concrete Institute, Requisitos de Reglamento para concreto

estructural. USA: (ACI 318-14).

ACI. (2004). American Concrete Institute, Foundation for dynamic equipment. USA:

(ACI 351.3R-04).

Bhatia, K. (2008). Foundations for Industrial Machines. A Handbook for Practising

Engineers.

Bowles, J.E. (1997). Foundation Analysis and Design,. New York: McGraw Hill.

Chopra, Anil K. (1995). Dynamics of structures. Theory and applications to Earthquake

Engineering.

ACI. (1995). Effect of Restraint, Volume Change, and Reinforcement on Cracking of

Mass Concrete. USA: (ACI 207R-95).

ACI. (2001). Control de la Fisuración en Estructuras de Hormigón. USA: (ACI 224R-

01).

ACI. (2014). Requisitos de Reglamento para Concreto Estructural. USA: (ACI 318-

14).

Dobry, R. & Gazetas, G. (1986). Dymanic Response of Arbitrarily Shaped Machine.

NY: ASCE.

Vucetic, M. & Dobry, R. (1991). Effect of Soil Plasticity on Cyclic Response. Journal of

Geotechnical Engineering.

EHE-08. (2011). Instrucción de Hormigón Estructural.

Paz, Mario. (1992). Dinámica Estructural. Teoría y Cálculo. Editorial Reverté S.A.


171

Prakash, S. (1981). Soil Dynamics. USA: McGraw-Hill.

Reglamento Nacional de Edificaciones. (2011).

Richart, F.E., Hall,J.R., and Woods, R.O. (1970). Vibrations of Soils and Foundations.

Englewood Cliffs: Prentice-Hall.

Suresh Arya, Michael O'Neill, and George Pincus. (1979). Design of Structures and

Foundations for Vibrating machines. Huston: Golf publishers.

Calavera, J (2000). Cálculo de estructuras de cimentación. 4° Edición. INTEMAC.

Madrid.


172

ANEXOS

Página: 1Diego Andre Carlo Maldonado PachecoLucia Beatriz Figueroa Tapia

1.0 Diseño del perno de anclaje

1.1 Datos generales

Características del perno de anclaje

Tipo de perno ASTM A-36 (Preinstalado de cabeza)Cantidad (N pernos) : 8Diámetro (f) : 1/2 "Area transversal (As) : 1.27 cm2

Longitud Embebida (hef) : 25 cm

Separación entre pernos en X : 110 cmSeparación entre pernos en Y : 105 cm

Separación de pernos al bloque de concreto

Menor distancia en dirección X : 60.0 cmdel perno al borde del bloqueMenor distancia en dirección Y : 22.5 cmdel perno al borde del bloque

Propiedades de los materiales

Esfuerzo de fluencia : 2530 kg/cm2

especificado del perno fyEsfuerzo de tensión última : 4200 kg/cm2

especificado del perno fuResist. del concreto f'c : 210 kg/cm2

1.2 Cargas en el perno de anclaje

0.00 0.00 -7460.20 0.00 364.240.00 82.66 -82.66 -769.39 0.00

2252.05 0.00 0.00 0.00 1432.300.00 2252.05 0.00 -1432.30 0.00

Combinaciones de carga

U1 = 1.4 CM U6 = 1.20 CM + OP - CSyU2 = 1.20 CM + 1.6 OP U7 = 0.9 CM + CSxU3 = 1.20 CM + OP + CSx U8 = 0.9 CM - CSxU4 = 1.20 CM + OP - CSx U9 = 0.9 CM + CSyU5 = 1.20 CM + OP + CSy U10 = 0.9 CM - CSy

CSy

Fx

(kgf)Fy

(kgf)Fz

(kgf)Mx

(kgf)My

(kgf)

OperaciónCSx

TIPO DE CARGA

Muerta

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTINFacultad de Ingeniería Civil

ANEXO I:DISEÑO DE ANCLAJES PARA LA CIMENTACIÓN DE LA BOMBA CENTRÍFUGA

HORIZONTAL

Presentado por: Normativa: ACI 318-14

Fecha:19/08/2020




HORIZONTAL


Fecha:19/08/2020

0.0 0.0 -10444.3 0.0 509.90.0 132.3 -9084.5 -1231.0 437.1

2252.0 82.7 -9034.9 -769.4 1869.4-2252.0 82.7 -9034.9 -769.4 -995.2

0.0 2334.7 -9034.9 -2201.7 437.10.0 -2169.4 -9034.9 662.9 437.1

2252.0 0.0 -6714.2 0.0 1760.1-2252.0 0.0 -6714.2 0.0 -1104.5

0.0 2252.0 -6714.2 -1432.3 327.80.0 -2252.0 -6714.2 1432.3 327.8

Verificación del componente en tracción de las fuerzas sísmicas

Tracción generada solo por fuerza sísmica : 0.3 t (un anclaje)Tracción generada por combinación : 0.5 tPorcentaje de relación: : 65 % ≥ 20 %

Verificación del componente en cortante de las fuerzas sísmicas

Cortante generada solo por fuerza sísmica : 0.28 t (un anclaje)Cortante generada por combinación : 0.29 tPorcentaje de relación: : 96 % ≥ 20 %

Ωo : 2

0.0 0.0 -10444.3 0.0 509.90.0 132.3 -9084.5 -1231.0 437.1

4504.1 82.7 -9034.9 -769.4 3301.7-4504.1 82.7 -9034.9 -769.4 -2427.5

0.0 4586.8 -9034.9 -3634.0 437.10.0 -4421.4 -9034.9 2095.2 437.1

4504.1 0.0 -6714.2 0.0 3192.4-4504.1 0.0 -6714.2 0.0 -2536.8

0.0 4504.1 -6714.2 -2864.6 327.80.0 -4504.1 -6714.2 2864.6 327.8

→ En la parte superior de la cimentacion de la bomba:

V TOTAL : 4.59 tM TOTAL : 3.63 t-m

Mx

(kgf)My

(kgf)

U2

U3

U4

CombinacionesFx

(kgf)U1

Fy

(kgf)Fz

(kgf)

U5

U6

U7

U8

U10

U9

CombinacionesFx

(kgf)Fy

(kgf)Fz

(kgf)Mx

(kgf)My

(kgf)U1

U2

U8

U9

U10

U3

U4

U5

U6

U7




HORIZONTAL


Fecha:19/08/2020

→

Fuerza cortante Vperno : 0.57 tFuerza tracción Tperno : 0.87 t 3.46 traccion total

1.3 Verificación de la capacidad del perno

Chequeo por tracción

Nsa : 5.32 t

ф : 0.75фNsa : 3.99 t > Tperno; Ok!

Chequeo por corte

Ase,V : 126.68 mm2

futa : 411.88 MpaVsa : 2.55 t

ф : 0.65фVsa : 1.66 t > Tperno; Ok!

1.4 Verificación de la capacidad del concreto

1.4.1 Determinando la resistencia a la tracción de diseño

Resistencia al desprendimiento del hormigón por tracción (фNcbg):

Resistencia básica al arrancamiento del concreto para un solo anclaje en tracción:

kc : 10 (Anclaje Preinstalado)

Nb : 18.29 t

Parámetros:ca1 : 225 mmca2 : 600 mmcamáx : 600 mm máx.(Ca2 ; Ca1)smáx : 1100 mm (Separación máxima)camáx/1.5 : 400.00 mmsmáx/3 : 366.67 mmhef : 250 mm (Longitud embebida)

Calculamos las fuerzas últimas de cortante y tracción más desfavorables de cada perno.

𝑁 =𝑘 𝜆 𝑓 𝑐ℎ .

𝑉 0.6𝐴 , 𝑓

𝑁 𝐴 , 𝑓




HORIZONTAL


Fecha:19/08/2020

1.5 hef : 375 mmh'ef : 400 mm1.5h'ef : 600 mmʎa : 1ANco : 5625 cm2

ANc : 4500 cm2 (Un Anclaje)ANc : 22500 cm2 (Grupo de Anclajes)ψec,N : 1.00ψed,N : 0.88 (ca,min < 1.5 hef)ψc,N : 1.25 (Anclaje Preinstalado)ψcp,N : 1.00 (Anclaje Preinstalado)

Cálculo de la resistencia al arrancamiento del concreto de anclaje a tracción

Ncb : 16.10 tNcbg : 80.46 t

ф : 0.700.75фNcb : 8.45 t Ok!0.75фNcbg : 42.24 t Ok!

Resistencia al desprendimiento lateral del concreto en tracción en un anclaje con cabeza

Parámetros:Abrg : 301 mm2

ca1 : 225 mm3ca1 : 675 mm6ca1 : 1350 mmca2 : 600 mm (ca2 > 3ca1)hef : 250 mm hef > 2.5 ca OJOs : 1100 mm (s < 6ca1 )ʎa : 1

Cálculo de la resistencia al desprendimiento lateral del concreto en tracción en un anclaje con cabeza

Nsb : 23.48 tNsbg : 42.61 t

ф : 0.700.75фNsb : 12.33 t Ok!0.75фNsbg : 22.37 t Ok!

𝑁 13𝑐 𝐴 𝜆 𝑓′ 𝑁 1𝑠

6𝑐 𝑁

𝑁 = Ψ , Ψ , Ψ , 𝑁 𝑁 = Ψ , Ψ , Ψ , Ψ , 𝑁




HORIZONTAL


Fecha:19/08/2020

1.4.2 Determinando la resistencia al corte de diseño

Resistencia al arrancamiento del concreto de anclajes a cortante

Resistencia básica al arrancamiento por cortante del concreto de un anclaje individual:

8da : 101.60 mmhef : 250.00 mmle : 101.6 mm Mín (8da, hef)ca1 225.00 mmλa : 1.00

Vb : 5.06 t

Parámetros:ca1 : 225 mm1.5ca1 : 338 mmca2 : 600 mmAvco : 227,813 mm2

Avc : 227,813 cm2(Un Anclaje)

Avc : 911,250 cm2(Grupo de Anclajes)

ψec,v : 1.00ψed,v : 1.00 ca2 ≥ 1.5ca1

ψc,v : 1.00ψh,v : 1.00

Cálculo de la resistencia al arrancamiento del concreto de anclajes a cortante

Vcb : 5.06 tVcbg : 20.25 t

ф : 0.70фVcb : 3.54 t Ok!фVcbg : 14.17 t Ok!

Resistencia al desprendimiento de concreto por cabeceo del anclaje sometido a cortante

Parámetros:Ncb : 16.10 tNcbg : 80.46 tkcp : 2.00 (hef > 65 mm)

𝑉 0.6𝑙𝑑 . 𝑑 𝜆 𝑓′ 𝑐 . 𝑉 3.7𝜆 𝑓′ 𝑐 .

𝑉 = Ψ , Ψ , Ψ , Ψ , 𝑉𝑉 = Ψ , Ψ , Ψ , 𝑉




HORIZONTAL


Fecha:19/08/2020

Cálculo de la resistencia al desprendimiento de concreto por cabeceo del anclaje sometido a cortante:

Vcp : 32.19 tVcpg : 160.91 t

ф : 0.70фVcp : 22.54 t Ok!фVcpg : 112.64 t Ok!

1.4.3 Verificación de la interacción de las fuerzas de tracción y cortante

* Por corte

Vua : 0.57 tfVsa : 1.66 tfVcb : 3.54 tfVcp : 22.54 tfVn : 1.66 t0.2 fVn : 0.33 t

* Por tracción

Nua : 0.87 tfNsa : 3.99 tfNcb : 8.45 tfNsb : 12.33 tfNn : 3.99 t0.2 fNn : 0.80 t

Interacción tracción y cortante

Nua / ØNn : 0.22 resistencia en tracciónVua / ØVn : 0.35 resistencia en corte

Interacción 1 : Nua + Vua ≤ 1.2φNn φVn

: 0.56 ≤ 1.2, ok

// Fin de documento

𝑉 𝑘 𝑁 𝑉 𝑘 𝑁

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