Medidas de Dispersin

"No se puede entender cabalmente la historia de un pueblo si no se conoce la dinmica de su pueblo. Y no se puede planificar

y tomar decisiones sabias en un pas (municipio, comunidad

o grupo), si no se considera cuidadosamente

su situacin demogrfica y sus perspectivas futuras". Dr. Jos Vzquez Calzada

Una de las funciones de la estadstica se relaciona con el clculo de la

variabilidad. Conocer las medidas de dispersin (variacin) es de suma importancia,

ya que la no consideracin de diferencias puede conducir a errores de juicio en la

toma de decisiones (Snchez, 1992). Una medida particular de tendencia central da

lugar a una puntuacin que, en cierto sentido, "representa" a todas las puntuaciones

de un grupo (Glass & Stanley, 1974). Sin embargo, cuando se usa cualquier medida

de tendencia central, sta nos da slo un cuadro incompleto de un conjunto de datos

y, por consiguiente, podra conducir a conclusiones errneas o distorsionadas (Levin,

1979), porque este proceso pasa por alto las diferencias entre las puntuaciones en s

(Glass & Stanley, 1974). Sera incorrecto concluir que dos (2) conjuntos de datos son

iguales slo porque tienen la mismas medidas de tendencia central, es decir, que el

valor de la media aritmtica sea el mismo para ambos conjuntos, cuando la distancia

de los datos de ambos conjuntos se distribuyen de una forma diferente (Elorza, 1987).

Para describir una distribucin en forma ms completa o para interpretar con

ms detalle una calificacin, necesitamos informacin adicional acerca de la

dispersin de las calificaciones con respecto a nuestra medida de tendencia central

(Haber & Runyon, 1992). Es necesario un ndice de cmo estn diseminados los

puntajes alrededor del centro de la distribucin. A tales distancias se les suele

6

Arnaldo Torres Degr y Evelyn Afanador Mejas

154

denominar medidas de dispersin o variacin. Las medidas de dispersin, tambin

conocidas como medidas de variacin o variabilidad, indican el grado en que los

sujetos se dispersan respecto al centro de la distribucin. A travs de las mismas el

investigador verifica cun homogneos, parecidos o estables son los elementos bajo

estudio, en contraste con otros grupos de inters (Snchez, 1992). Si todos los

valores son los mismos, no existe dispersin; si no todos son los mismos, hay

dispersin en los datos. La magnitud de la dispersin puede ser pequea, cuando los

valores, aunque diferentes, estn prximos entre s. Si los valores estn ampliamente

separados, la dispersin es mayor.

Este captulo trata slo de la medidas de dispersin o variabilidad ms

conocidas: el recorrido (rango) y la desviacin estndar. Estas tcnicas estarn

enmarcadas segn la composicin de los datos, es decir, arreglo de datos, datos no

agrupados y datos agrupados. Adems, se evaluar la tcnica de coeficiente de

variacin para variables cuantitativas y cualitativas, tales como: coeficiente de

variacin e ndice de dispersin cuantitativo.

[6.1] Tipos de Medidas de Dispersin

Cuando nuestro inters se centra en las medidas de dispersin, debemos

buscar un ndice de variabilidad que indique la distancia a lo largo de la escala de

calificaciones (Runyon & Haber, 1992). El recorrido y la desviacin estndar realizan

dicha labor.

Recorrido Una manera de medir la variacin en un conjunto de valores es calculando el

recorrido. El recorrido es la ms sencilla y directa de las medidas de dispersin

(Runyon & Haber, 1992), y a la vez la menos confiable de las medidas de variacin

(Snchez, 1992). Se trata simplemente de la distancia entre el valor menor y el valor

mayor en un conjunto de observaciones. El hecho de que slo tome en consideracin

dos (2) valores, hace que la medida sea muy pobre. Ntese que si hay un valor

extremo en la distribucin, se tendr la impresin de que la dispersin es grande

cuando, en realidad, si hiciramos caso omiso de esa calificacin, podramos

Medidas de Dispersin

155

encontrar que dicha distribucin es, por el contrario, una distribucin "compacta". El

recorrido refleja nicamente las dos (2) calificaciones extremas de la distribucin

(Runyon & Haber, 1992), es decir, solamente dos (2) puntuaciones exactas de un

grupo son las que los determina, ignorando as, todas las dems puntuaciones, a

excepcin de los extremos (Glass & Stanley, 1974). El recorrido no puede darnos una

idea precisa con respecto a la dispersin y, en el mejor de los casos, debe

considerarse slo como un ndice preliminar o muy aproximado (Levin, 1977). Puede

expresarse de la siguiente manera:

R = Recorrido, rango o amplitud

Vmax = Valor mximo de los datos de un conjunto

Vmin = Valor mnimo de los datos de un conjunto

Varianza y Desviacin Estndar

La desviacin estndar (DE) es la medida de dispersin ms adecuada para la

estadstica descriptiva (Haber & Runyon, 1992). Tanto en la escalas de intervalo

como en las de razones, la varianza y la desviacin estndar son las mejores medidas

de dispersin. Toman en consideracin todos los puntajes y controlan por el efecto de

valores extremos. La DE permite una interpretacin precisa de las calificaciones

dentro de una distribucin (Runyon & Haber, 1992). Si todos los sujetos son iguales

en una caracterstica (por ejemplo, ndice acadmico), entonces el resultado ser igual

a cero. Por el contrario, si aumentan las diferencias, aumentar el ndice, alejndose

ms y ms del punto cero. La varianza se define como las desviaciones cuadradas

medias respecto a la media. La desviacin estndar es la raz cuadrada de la

varianza. La desviacin estndar estar formulada de la siguiente manera:

R = Vmax - Vmin

donde;

Arnaldo Torres Degr y Evelyn Afanador Mejas

156

Frmulas para poblacin

Frmulas para muestras

()

N

N donde:

=

Desviacin

estndar para

arreglos de datos

usando el

universo

x (x)

N

N donde:

=

Desviacin

estndar para

datos no

agrupados y datos

agrupados usando

el universo

()

n

n-1 donde:

s =

Desviacin

estndar para

arreglos de datos

usando muestra

x (x)

n

n-1 donde:

s =

Desviacin

estndar para

datos no

agrupados y datos

agrupados usando

muestra

Medidas de Dispersin

157

=

Desviacin estndar de la poblacin.

s = Desviacin estndar de la muestra

= Sumatoria de los valores que toma la variable (x), cuando estamos trabajando con datos no agrupados.

Para los datos agrupados el smbolo cambia a x.

= Sumatoria de los valores que toma la variable (x) al cuadrado, cuando estamos trabajando con datos no agrupados. Para los datos agrupados el smbolo

cambia a x.

N = Tamao del universo o la poblacin

n = Tamao de la muestra

n-1 = Tamao de la muestra menos uno (1)

[6.2] Anlisis de Dispersin a partir de los Arreglos de Datos

Para poder evaluar este tpico retomaremos el ejemplo de datos hipotticos del

captulo 5, seccin 5.2 (ver pgina 116). Uno de los primeros paso en el formato de

arreglo de datos es acomodar los datos de una forma til. El mismo consiste en

organizar los datos obtenidos de una forma ordenada, de menor a mayor o viceversa.

Con esta estructura establecida, podemos con facilidad aplicar diversos mtodos

Arnaldo Torres Degr y Evelyn Afanador Mejas

158

estadsticos para poder entender mejor el conjunto de datos en estudio. Si

quisiramos realizar un anlisis de dispersin sobre la edad inicial del uso de Internet

entre los estudiantes de ciencias polticas de la Universidad Pitirre de Puerto Rico del

ao acadmico 2003-2004, el primer paso sera organizar los porcentajes de mayor a

menor o viceversa (ver figura 6.1).

Recorrido El recorrido sera la distancia que existe entre la edad mas alta vs. la edad ms

baja sobre el inicio en el Internet en los estudiantes de ciencias polticas de la

Universidad Pitirre de Puerto Rico para el ao acadmico 2003-2004. Es

recomendable que se organicen las categoras de la variable de inters de menor a

mayor o viceversa. En la figura 6.1 las edades de inicio en el Internet entre los

estudiantes de ciencias polticas de la Universidad Pitirre de Puerto Rico para el ao

acadmico 2003-2004 fueron organizados de menor a mayor. Si observamos

detenidamente las edades organizadas (ver figura 6.1), notaremos que el dato ms

alto fue la edad 23 aos, mientras que el dato ms bajo fue la edad 10 aos. Con esta

informacin podemos obtener el recorrido de la siguiente manera:

R = edad ms alta edad ms baja

R = 23 10

R = 13

Figura 6.1

Edades organizadas de menor a mayor

10 10 10 12 12 12 12 13 13 13

13 13 13 15 15 15 15 15 15 15

16 16 16 16 16 16 18 18 18 21

21 21 21 22 22 23 23 23 23 23

N= 40 datos hipotticos

Medidas de Dispersin

159

Podemos indicar que en la Universidad pitirre de Puerto Rico para el ao

acadmico 2003-2004 la diferencia de la edad de inicio en el Internet entre los

estudiantes de ciencias polticas fue de 13 aos.

Desviacin Estndar

Para buscar la desviacin estndar entre las edades sobre el inicio del Internet

en los estudiantes de ciencias polticas de la Universidad Pitirre de Puerto Rico para el

ao acadmico 2003-2004 es necesario elaborar una nueva columna conocida como

(). La columna se obtiene elevando al cuadrado a la frecuencia () como

observamos en la figura 6.2. Una vez realizado dicha operacin se suman por

separado ambas columnas, para obtener: (sumatoria de las edades) y (sumatoria

de las edades al cuadrado).

Con la columna establecida (ver figura 6.2) podremos buscar la desviacin

estndar () de la siguiente manera:

Figura 6.2 Desarrollo de los datos para establecer la Desviacin Estndar

[10] 100

[10] 100

[10] 100

[12] 144

[12] 144

[12] 144

[12] 144

[13] 169

[13] 169

[13] 169

[13] 169

[13] 169

[13] 169

[15] 225

[15] 225

[15] 225

[15] 225

[15] 225

[15] 225

[15] 225

[16] 256

[16] 256

[16] 256

[16] 256

[16] 256

[16] 256

[18] 324

[18] 324

[18] 324

[21] 441

[21] 441

[21] 441

[21] 441

[22] 484

[22] 484

[23] 529

[23] 529

[23] 529

[23] 529

[23] 529

= 654

=11,350

Arnaldo Torres Degr y Evelyn Afanador Mejas

160

Podemos concluir que en la Universidad pitirre de Puerto Rico para el ao

acadmico 2003-2004 la desviacin estndar de la edad de inicio en el Internet

entre los estudiantes de ciencias polticas fue de 4.05 aos.

11,350 (654)

40

40

11,350 427,716

40

40

11,350 10,692.9

40

= 657.1

40

= 16.4275

= 4.0530852

= 4.05

=

=

=

Medidas de Dispersin

161

Ejercicios de Dispersin segn arreglo de datos Favor de identificar las hojas de ejercicios y elaborar todos los problemas segn lo establecido en el texto. Desprenda las hojas de ejercicios y entrguelas al profesor, SI FUESE NECESARIO.

NOMBRE: FECHA: _______________

NUMERO DE ESTUDIANTE: SECCION: ___________

Ejercicio 6.2.1 Favor de utilizar los datos para calcular y analizar el recorrido y la desviacin estndar segn el formato de arreglo de datos.

Estudiantes de pre-jurdico sobre la edad de inicio en el consumo de bebidas alcohlicas, Universidad Pitirre, Puerto Rico: 2000

10 23 19 17 15 23 19 16 10 16 19 23 17 19 10

23 19 16 10 19 17 10 16 19 15 10 15 14 23 16

19 16 10 16 19 15 17 19 10 23 19 19 15 17 10

17 19 23 16 14 17 23 10

Casos hipotticos

Arnaldo Torres Degr y Evelyn Afanador Mejas

162

Ejercicio 6.2.2 Favor de utilizar los datos para calcular y analizar el recorrido y la desviacin estndar segn el formato de arreglo de datos.

Estudiantes de ciencias polticas respecto al gasto en dlares diario de gasolina, Universidad Pitirre, Puerto Rico: 2000

12 20 15 10 22 15 10 12 09 22 09 12 08 10 15

10 22 10 12 09 08 15 05 22 05 15 08 10 20 09

20 12 08 15 09 12 05 20 12 10 22 20 12 15

Casos hipotticos

Medidas de Dispersin

163

Ejercicio 6.2.3 Favor de utilizar los datos para calcular y analizar el recorrido y la desviacin estndar segn el formato de arreglo de datos.

Estudiantes de economa con respecto a la cantidad de hermanos en su familia, Universidad Pitirre, Puerto Rico: 2000

2 1 4 3 6 2 7 3 5 1 2 6 3 5 1 3 4 1 2 3 1 4

3 1 3 4 2 8 3 2 5 7 3 2 9 3 1 1 5 3 8 5 1

3 4 3 5 2 1 4 6

Casos hipotticos

Arnaldo Torres Degr y Evelyn Afanador Mejas

164

Ejercicio 6.2.4 Favor de utilizar los datos para calcular y analizar el recorrido y la desviacin estndar segn el formato de arreglo de datos.

Estudiantes de antropologa con respecto a la cantidad de crditos acumulado de concentracin, Universidad Pitirre, Puerto Rico: 2000

18 12 15 20 15 21 27 18 14 16 27 21 24 15 15

27 15 12 18 15 15 18 14 18 16 27 16 18 21 15

18 12 15 27 15 12 18 16 12 15 20 18 16 13 21

15 27 18 12 14 18 27 20 15 14 27 18 20 16 15

Casos hipotticos

Medidas de Dispersin

165

[6.3] Anlisis de Dispersin a partir de los Datos no Agrupados

En Puerto Rico para el ao 1993 se

registraron 12,820 nacimientos que provienen de

madres adolescentes. Los nacimientos se

ubicaron segn el orden de embarazo de la madre

adolescente (ver cuadro 6.1). El orden de

embarazo supone la posicin que ocupar el

infante con respecto a sus hermanos(as).

Ejemplo, podemos observar en el cuadro 6.1 que

8,709 nacimientos representan el primer hijo(a)

para las madres adolescentes 12 nacimientos

representan el sexto hijo(a) para las madres

adolescentes.

Recorrido Si su inters como estudioso es realizar un anlisis de dispersin al orden de

embarazo que representa dicho nacimiento en la mujer ocurrido en Puerto Rico para

el ao 1990, podramos buscar el recorrido y la desviacin estndar. El recorrido, es

decir, la distancia que existe entre el orden de embarazo mayor menos el orden de

embarazo menor, sera:

Cuadro 6.1 Nacimientos por Orden de embarazo

por madres adolescentes Puerto Rico, 1993

Orden de embarazo

(x) nacimientos

()

1 8,709

2 2,958

3 903

4 195

5 37

6 12

7+ 6 Fuente: Cuadro elaborado por el Dr. Arnaldo Torres Degr con datos obtenido del Departamento de Salud de Puerto Rico, 1992. Informe Anual de Estadsticas Vitales de

Puerto Rico: 1990. Nacimientos Vivos, tabla 15, pg. 68.

R = Orden de embarazo Orden de embarazo

mayor menor

R = 7 1

R = 6

Arnaldo Torres Degr y Evelyn Afanador Mejas

166

Podemos interpretar que en Puerto Rico para el ao 1993 la distancia

observada o el recorrido entre el orden de embarazo de los nacimientos de las

madres adolescentes fue de seis (6).

Desviacin Estndar Para buscar la desviacin estndar entre el orden de embarazo de los

nacimientos de las madres adolescentes ocurridos en Puerto Rico para el 1993 es

preciso elaborar varias columnas adicionales a las establecidas en el cuadro 6.1.

Como observamos en la figura 6.3, las columnas adicionales para elaborar la

desviacin estndar son (x) y (x). La columna x se obtiene multiplicando las

categoras de la variable (x) con su frecuencia () correspondiente. La columna x se

obtiene multiplicando la columna (x) por la categora (x) correspondiente. Notemos,

que no estamos elevando al cuadrado la columna (x). De realizar dicho clculo se

invalida el resultado. La poblacin o universo (N) es obtenido por la suma de la

columna de la frecuencia ().

Figura 6.3. Procedimiento para obtener x y x, segn los datos del cuadro 6.1

Orden de

embarazo

x

1

2

3

4

5

6

7+

Nacimientos

8,709

2,958

903

195

37

12

6

x

= 8,709

= 11,832

8,127

3,120

925

432

294

x

= 8,709

= 5,916

= 2,709

780

185

72

42

por

por

por

por

por

N 12,820 x 18,413 33,439

Medidas de Dispersin

167

Con la columna establecida (ver figura 6.3) podremos buscar la desviacin

estndar () de la siguiente manera:

Podemos concluir que en Puerto Rico para el ao 1990 la desviacin

estndar entre el orden de embarazo de las madres adolescentes fue de .74

33,439 (18,413)

12,820

12,820

33,439 26,446.066

12,820

6,992.9338

12,820

= .5454707

= .7385599

= .74

=

=

=

Arnaldo Torres Degr y Evelyn Afanador Mejas

168

Medidas de Dispersin

169

Ejercicios de Dispersin segn datos no agrupados Favor de identificar las hojas de ejercicios y elaborar todos los problemas segn lo establecido en el texto. Desprenda las hojas de ejercicios y entrguelas al profesor, SI FUESE NECESARIO.

NOMBRE: FECHA: _______________

NUMERO DE ESTUDIANTE: SECCION: ___________

Ejercicio 6.3 Favor de utilizar los datos que reflejan la cantidad menores contra quienes se presentaron querellas por sexo y edad, Puerto Rico, ao fiscal 1991-1992.

Sexo

Edad Hombres

Mujeres

Ambos

Sexos

TOTAL 9 aos

25

3

28

10 aos

34

4

38

11 aos

73

6

79

12 aos

141

24

165

13 aos

316

62

378

14 aos

536

117

653

15 aos

884

120

1,004

16 aos

1,160

134

1,294

17 aos

1,428

106

1,534

18 aos

144

18

162

TOTAL

4,741

594

5,335

Fuente: Tribunal Superior de Puerto Rico, Asunto de Menores

Arnaldo Torres Degr y Evelyn Afanador Mejas

170

[6.3.1] Favor de calcular y analizar el recorrido de la edad de las menores (mujeres) contra quienes se le presentaron querellas en el Tribunal Superior de Puerto Rico para el ao fiscal 1991-1992.

[6.3.2] Favor de calcular y analizar la desviacin estndar de la edad de las menores (mujeres) contra quienes se le presentaron querellas en el Tribunal Superior de Puerto Rico para el ao fiscal 1991-1992. Incluya una tabla con las columnas necesarias para completar el ejercicio.

Medidas de Dispersin

171

[6.3.3] Favor de calcular y analizar el recorrido de la edad de los menores (hombres) contra quienes se le presentaron querellas en el Tribunal Superior de Puerto Rico para el ao fiscal 1991-1992.

[6.3.4] Favor de calcular y analizar la desviacin estndar de la edad de los menores (hombres) contra quienes se le presentaron querellas en el Tribunal Superior de Puerto Rico para el ao fiscal 1991-1992. Incluya una tabla con las columnas necesarias para completar el ejercicio.

Arnaldo Torres Degr y Evelyn Afanador Mejas

172

[6.3.5] Favor de calcular y analizar el recorrido de la edad total de los menores (ambos sexos) contra quienes se le presentaron querellas en el Tribunal Superior de Puerto Rico para el ao fiscal 1991-1992.

[6.3.6] Favor de calcular y analizar la desviacin estndar de la edad total de los menores (ambos sexos) contra quienes se le presentaron querellas en el Tribunal Superior de Puerto Rico para el ao fiscal 1991-1992. Incluya una tabla con las columnas necesarias para completar el ejercicio.

Medidas de Dispersin

173

[6.4] Anlisis de Dispersin a partir de los Datos Agrupados

El Departamento de Salud de Puerto Rico

inform que para el ao 1993 murieron 1,148

personas debido al virus de inmunodeficiencia

humana (SIDA). El cuadro 6.2 refleja las muertes

ocurridas por SIDA ubicadas por grupos de

edades. Si usted suma todas las defunciones por

SIDA ubicadas en grupos de edades notar una

diferencia de doce (12) casos. Dicha diferencia se

debe a los casos que no informaron o se

desconoce la edad. Para este ejercicio se tomar

en cuenta todos los casos que informaron la edad,

es decir, 1,139 defunciones. Si su inters como

investigador es analizar la dispersin o variabilidad

de la edad de las personas que murieron por SIDA

en Puerto Rico para el ao 1993, podramos

buscar el recorrido y la desviacin estndar. Para

obtener el recorrido y la desviacin estndar segn

la configuracin de datos agrupados es necesario

elaborar tres (3) columnas adicionales: (Pt); (x) y

(x). La columna (Pt) y (x) ya han sido

explicadas y elaboradas en el captulo 5 (ver tpico

5.4). La columna x se obtiene mediante la

multiplicacin de la columna x por la columna Pt.

Cuadro 6.2

Frecuencia de muertes

por SIDA y edad

Puerto Rico, 1993

Edad

(clase)

x

0-4 14

5-9 4

10-14 0

15-19 0

20-24 20

25-29 118

30-34 237

35-39 268

40-44 214

45-49 115

50-54 65

55-59 32

60-64 14

65-69 19

70-74 6

75-79 6

80-84 5

85-89 2 Fuente: Cuadro elaborado por el Dr. Arnaldo Torres Degr con datos obtenidos del Departamento de Salud de Puerto Rico, 1995. Informe Anual de Estadsticas Vitales: Puerto Rico, 1993. Mortalidad, tabla 15a: pg. 187; Existen 12 casos sin especificar las edades

Arnaldo Torres Degr y Evelyn Afanador Mejas

174

Recorrido

El recorrido, es decir la diferencia de la edad mayor vs. la edad menor de las

personas que murieron por SIDA, debe conseguirse en el punto medio (Pt) de la clase de

edad mayor vs. la clase de edad menor. Si observamos la figura 6.4 el punto medio de la

clase mayor (85 - 89) es 87 aos, mientras que el punto medio de la clase menor (0 - 4) es

2 aos. Con estos elementos el recorrido podr obtenerse de la siguiente forma:

Figura 6.4 Columnas necesarias como Pt, x y x, segn los datos del cuadro 6.2

Edades|

(clases)

0-4

5-9

10-14

15-19

20-24

25-29

30-34

35-39

40-44

45-49

50-54

55-59

60-64

65-69

70-74

75-79

80-84

85-89

14

4

0

0

20

118

237

268

214

115

65

32

14

19

6

6

5

2

Pt

x

2

7

12

17

22

27

32

37

42

47

52

57

62

67

72

77

82

87

x

28

28

0

0

440

3,186

7,584

9,916

8,988

5,405

3,380

1,824

868

1,273

432

462

410

174

x

56

196

0

0

9,680

86,022

242,688

366,892

377,496

254,035

175,760

103,968

53,816

85,291

31,104

35,574

33,620

15,138

N= 1,139 x =44,389 x =1,871,336

Medidas de Dispersin

175

1,871,336 (44,398)

1,139

1,139

1,871,336 1,730,625.5

1,139

140,710.54

1,139

= 123.53866

= 11.114795

= 11.12 aos

Podemos indicar que el recorrido observado en la edad de las personas que

murieron por SIDA en Puerto Rico para el ao 1993 fue de 85 aos.

Desviacin Estndar

Como hemos establecido, para

obtener la desviacin estndar segn la

configuracin de datos agrupados es

necesario elaborar dos (2) columnas

adicionales: (x) y (x). La columna x es

obtenida mediante la multiplicacin de la

columna frecuencias () por la columna del

punto medio (Pt). La columna x es

obtenida mediante la multiplicacin de la

columna x por la columna Pt. Con estas

columnas realizadas en la figura 6.4 podemos

buscar la varianza y luego la desviacin

estndar.

Podemos afirmar que en Puerto Rico

para el ao 1993 la desviacin estndar de

la edad por defunciones debido al SIDA

fue de 11.12 aos.

R = Pt de la Pt de la

clase mayor clase menor

R = 87 2

R = 85 aos

=

=

=

Arnaldo Torres Degr y Evelyn Afanador Mejas

176

Medidas de Dispersin

177

Ejercicios de Dispersin segn datos agrupados Favor de identificar las hojas de ejercicios y elaborar todos los problemas segn lo establecido en el texto. Desprenda las hojas de ejercicios y entrguelas al profesor, SI FUESE NECESARIO.

NOMBRE: FECHA: _______________

NUMERO DE ESTUDIANTE: SECCION: ___________

Ejercicio 6.4 Favor de utilizar los datos que reflejan la cantidad de defunciones por accidentes de trfico de vehculos de motor por edad, Puerto Rico: 1980, 1985 y 1990.

Aos naturales

Grupo de

edad 1980

1985

1990

5 - 14

44

53

43

15 - 24

145

129

107

25 - 34

97

110

84

35 - 44

65

90

87

45 - 54

67

65

67

55 - 64

47

55

62

65 - 74

53

42

52

75 - 84

20

27

33

85 - 94

10

5

8

Fuente: Departamento de Salud, 1993. Estadsticas Vitales de Puerto Rico: Resumen de una dcada 1980 al 1990. San Juan, P.R.: pg. 108.

Arnaldo Torres Degr y Evelyn Afanador Mejas

178

[6.4.1] Favor de calcular y analizar el recorrido de la edad por defunciones en accidentes de trfico por vehculos en Puerto Rico para el ao 1980.

[6.4.2] Favor de calcular y analizar la desviacin estndar de la edad por defunciones en accidentes de trfico por vehculos en Puerto Rico para el ao 1980. Incluya una tabla con las columnas necesarias para completar el ejercicio.

Medidas de Dispersin

179

[6.4.3] Favor de calcular y analizar el recorrido de la edad por defunciones en accidentes de trfico por vehculos en Puerto Rico para el ao 1985.

[6.4.4] Favor de calcular y analizar la desviacin estndar de la edad por defunciones en accidentes de trfico por vehculos en Puerto Rico para el ao 1985. Incluya una tabla con las columnas necesarias para completar el ejercicio.

Arnaldo Torres Degr y Evelyn Afanador Mejas

180

[6.4.5] Favor de calcular y analizar el recorrido de la edad por defunciones en accidentes de trfico por vehculos en Puerto Rico para el ao 1990.

[6.4.6] Favor de calcular y analizar la desviacin estndar de la edad por defunciones en accidentes de trfico por vehculos en Puerto Rico para el ao 1990. Incluya una tabla con las columnas necesarias para completar el ejercicio.

Medidas de Dispersin

181

[6.5] Funcin de la Desviacin Estndar

Una vez obtenida la desviacin estndar, conforme uno de los tres (3) tipos de

organizacin de datos, la pregunta inminente es qu implicacin o funcin tiene

dicha medida?. Al principio de este captulo indicamos que el objetivo de las medidas

de dispersin es indicar el grado en que los sujetos se dispersan (se alejan o se

acercan) respecto al centro (la media) de una distribucin. La desviacin estndar

cumple a cabalidad con dichos objetivos. A mayor la desviacin estndar mayor es la

dispersin o a menor la desviacin estndar menor es la dispersin de los sujetos, con

respecto a la media. Como funcin de la desviacin estndar podemos encontrar

cun homogneos, parecidos o estables son los sujetos bajo estudio cuando estos

son comparados con otro(s) grupo(s) de inters.

Por ejemplo, en dos (2) secciones del curso de estadstica social la edad media

fue igual, es decir, 21.4 aos de edad. La desviacin estndar para la seccin 1 fue

de 10 aos y la desviacin estndar de la seccin 2 fue de 2 aos. Qu podemos

inferir de las resultados obtenidos tanto de la seccin 1 como de la seccin 2?

Primeramente, debemos sealar que la comparacin de la desviacin estndar de

ambas secciones es posible, nica y exclusivamente, porque la media es igual. Al

comparar la desviacin estndar notamos una diferencia. La desviacin estndar de

la seccin 1 (10 aos) es mayor que la seccin 2 (2 aos). Esto sugiere que en la

seccin 2 del curso de estadstica social los estudiantes son ms homogneos

(parecidos) en la edad que los estudiantes de la seccin 1.

Otro ejemplo, para visualizar la utilidad de la desviacin estndar es el

siguiente. Se le someti a dos grupos profesionales una situacin determinada y se le

tom el tiempo en resolver dicha encomienda. El grupo de criminlogos obtuvo un

media de 45 minutos, con una desviacin estndar de 3 minutos. El grupo de

trabajadores sociales obtuvieron una media de 45 minutos con una desviacin

estndar de 11 minutos. Notemos, que la media es la misma para ambos grupos

profesionales. No obstante, la desviacin estndar es diferente para ambos grupos.

Dicha diferencia nos sugiere que el tiempo en terminar de resolver el problema en

cuestin fue ms homogneo o ms parecido en el grupo de criminlogos que el

tiempo obtenido en el grupo de trabajadores sociales. Como hemos observado, las

comparaciones que se han realizado en este tpico son posibles porque la media

Arnaldo Torres Degr y Evelyn Afanador Mejas

182

aritmtica de cada distribucin ha sido igual. Pero, qu pasara si al comparar dos

distribuciones las medias son diferentes? Sencillamente, no podramos analizar la

homogeneidad como lo hemos hecho en este tpico. Sin embargo, es posible realizar

la comparacin utilizando un coeficiente de variacin. En el tpico siguiente se

desarrollar el coeficiente de variacin.

[6.6] Coeficiente de Variacin

La desviacin estndar DE es til como medida de la variacin dentro de un

conjunto de datos. Mas an, si las medias son iguales se pueden comparar

directamente las dos DE (Snchez, 1992). Sin embargo, cuando se desea comparar

la dispersin en dos conjuntos de datos, comparar las DE pueden conducir a

resultados sin sentido, si las medias difieren o si las unidades de medicin son

diferentes. Esto es as, puesto que cada DE se obtiene a partir de la media particular

que corresponde a cada conjunto (Snchez, 1992).

Lo que se necesita en situaciones como sta es una medida de variacin

relativa, en lugar de una variacin absoluta (Daniel, 1985). La medida que nos puede

resolver este problema es el coeficiente de variacin (C.V.), llamado de Pearson, que

es la relacin entre la DE y la media aritmtica (Elorza, 1987). Se multiplica adems

por 100, para considerar el resultado en forma de porcentaje. A mayor el porcentaje,

mayor es la variacin y viceversa. La frmula est dada por:

s = Desviacin estndar de una muestra

x = media aritmtica de una muestra

C.V. = s x (100) donde:

Medidas de Dispersin

183

= Desviacin estndar de la poblacin

= Media aritmtica de la poblacin

Para poder entender el coeficiente de variacin analizaremos la siguiente

situacin hipottica. Supongamos que la Universidad Pitirre de Puerto Rico en el

semestre de agosto a diciembre del 2002 se ofrecieron tres (3) curso de estadstica

social. Una vez finalizado los cursos se pudo obtener la media de notas generales, la

desviacin estndar de notas generales y la cantidad de estudiantes por cada curso.

Promedios finales de tres cursos de

estadstica social, Universidad Pitirre,

agosto-diciembre del 202 Parmetros

Sec. 01 Sec. 02 Sec. 03

Poblacin (N) 25 20 28

Media () 90 78.2 62.9

Desviacin Estndar () 12.6 11.2 9.6

Si nuestro inters es indagar entre las secciones de estadstica social, cul de ellos,

con respecto a las notas, tiende ha ser ms homognea o ms parecidas, debemos

incursionar en la dispersiones de las notas. Recuerde que sealamos que a mayor

dispersin de los valores de una poblacin de estudio, menos se paren los valores

sugiriendo que hay poca homogeneidad. Lo inverso sugiere que a menor dispersin

de los valores de una poblacin de estudio, ms se paren los valores sugiriendo que

hay mucha homogeneidad. Notemos que para establecer la comparacin de

homogeneidad en el ejercicio que nos compete, la media de las tres (3) secciones de

estadstica social no son iguales. Este factor es muy importante, previo al manejo de

la homogeneidad, porque teniendo las medias diferentes, no es posible obtener el

grado de homogeneidad utilizando como punto de referencia la desviacin estndar.

C.V. = (100) donde:

Arnaldo Torres Degr y Evelyn Afanador Mejas

184

Por ejemplo, si no tomramos en consideracin la disparidad de las medias y

analizramos nica y exclusivamente la desviacin estndar para conseguir el grado

de homogeneidad, podramos concluir, dado que la desviacin estndar es menor en

la seccin 3 ( =9.6) con respecto a la seccin 2 ( =11.2) y la seccin 1 ( =12.6),

que las notas de la seccin 3 del curso de estadstica social tienden hacer ms

parecidas (homogneas) que entre las dems secciones. Sin embargo, esta

conclusin adolece de veracidad porque cuando las medias en una comparacin no

son iguales, no se puede utilizar la desviacin estndar para obtener el grado de

homogeneidad. Para resolver el dilema, sugerimos que se busque el coeficiente de

variacin en todos los grupos de inters y luego sera posible concluir sobre el grado

de homogeneidad, veamos:

Si analizamos los resultados de los coeficiente de variacin nos percataremos que la

seccin 01 de estadstica social obtuvo el resultado ms bajo (14.00 %) con respecto

a las otras dos secciones. Recuerde, mientras ms bajo es la dispersin, una vez se

compara con los dems grupos de inters, el mismo sugiere alto grado de

homogeneidad. Podemos concluir que las notas entre los estudiantes del curso de

estadstica social de la seccin 01, tienden a ser ms parecidas (homogneas) que

entre las secciones 02 y 03 del mismo curso de la Universidad Pitirre de Puerto Rico

para el semestre de agosto a diciembre del 2002.

Seccin 01 = 12.6 (100)

90

= 14.00 %

Seccin 02 = 11.2 (100)

78.2

= 14.32 %

Seccin 03 = 9.6 (100)

62.9

= 15.26 %

Medidas de Dispersin

185

Ejercicios Coeficiente de Variacin Favor de identificar las hojas de ejercicios y elaborar todos los problemas segn lo establecido en el texto. Desprenda las hojas de ejercicios y entrguelas al profesor, SI FUESE NECESARIO.

NOMBRE: FECHA: _______________

NUMERO DE ESTUDIANTE: SECCION: ___________ [6.6.1] Favor de buscar la media aritmtica y la desviacin estndar de las edades por suicidio para los aos 1980, 1990 y 2000 segn los datos del cuadro 4.1 de la pgina 105. Luego calcule y analice el coeficiente de variacin para todos los aos.

Arnaldo Torres Degr y Evelyn Afanador Mejas

186

[6.6.2] Favor de buscar la media aritmtica y la desviacin estndar de los ejercicios 5.4.1.a pgina 145 y 5.4.2 de la pgina 147. Luego calcule y analice el coeficiente de variacin.

Medidas de Dispersin

187

[6.6.3] Favor de buscar la media aritmtica y la desviacin estndar de las edades de los varones y mujeres segn el ejercicio 6.3 de la pgina 169. Luego calcule y analice el coeficiente de variacin.

Arnaldo Torres Degr y Evelyn Afanador Mejas

188

[6.6.4] Favor de buscar la media aritmtica y la desviacin estndar de las edades por defunciones para cada anoo segn el ejercicio 6.4 de la pgina 177. Luego calcule y analice el coeficiente de variacin.

Medidas de Dispersin

189

[6.7] ndice de Dispersin Cualitativa

Normalmente en el campo de las ciencias sociales se utilizan o manejan

muchas variables cualitativas. Se puede observar previamente que dichas variables

pueden variar de clase o cantidad. La premisa sera cun diferentes son esas

observaciones. Utilizando el coeficiente de variacin cualitativa o un ndice de

dispersin podemos encontrar dichas diferencias en las observaciones. El ndice de

dispersin flucta entre cero (0) y uno (1), donde cero (0) implica homogeneidad

perfecta y uno (1) representa heterogeneidad perfecta. Si los casos o sujetos estn

distribuidos entre las categoras de una forma equitativa, es decir, que para cada

categora de la variable existe la misma cantidad de casos, podemos indicar que

existe una distribucin heterognea (equitativa) en las categoras de la variable de

inters. Por el contrario, si todos los casos estn ubicados en una sola categora

podemos indicar que existe una distribucin homognea (desproporcional). El ndice

de dispersin cualitativo se expresa de la siguiente manera:

D = ndice de dispersin cualitativo

k = nmero de categoras

= suma de frecuencias cuadradas () de cada categora

n = total de casos Tomemos dos (2) municipios de Puerto Rico y analicemos la distribucin de

matrimonios conforme los tipos de celebraciones. Segn el cuadro 6.3 podemos

observar tanto para el municipio de Loza como para el municipio de Hormigueros la

cantidad () de matrimonios celebrados segn el tipo de celebrantes.

k [ (n) () ]

[ (n) (k-1) ]

donde:

D =

Arnaldo Torres Degr y Evelyn Afanador Mejas

190

Para buscar el ndice de dispersin cualitativo necesitamos (ver figura 6.5)

elevar la frecuencia () de cada categora al cuadrado ().

Cuadro 6.3

Cantidad de matrimonios por tipo de celebracin en Loza y

Hormigueros, Puerto Rico: 1993.

Celebrantes

Sacerdotes

Ministros

Juez

TOTAL

Loza

8

122

11

141

Hormiguero

30

48

43

121

Fuente: Departamento de Salud de Puerto Rico, 1996. Informe Anual de Estadsticas Vitales de Puerto Rico: 1993. Matrimonios y Divorcios, tabla 5, pg. 331-334.

Figura 6.5 Procedimiento para obtener la columna ,segn los datos del cuadro 6.3

Celebrantes

Sacerdotes

Ministros

Juez

TOTAL

8

122

11

141

64

14,884

121

15,069

30

48

43

121

900

2,304

1,849

5,053

Loza

Hormiguero

Medidas de Dispersin

191

Con la columna de () debidamente elaborada (ver figura 6.5) podemos

calcular el ndice de dispersin cualitativo para los dos (2) municipios.

Analizando los resultados de los ndices de dispersin para ambos municipios

podemos inferir lo siguiente:

_ En Loza, Puerto Rico para el ao 1993 el ndice de dispersin

cualitativa por tipos de celebraciones fue de .36.

_ En Hormigueros, Puerto Rico para el ao 1993 el ndice de dispersin

cualitativa por tipos de celebraciones fue de .98.

Cuando comparamos los dos (2) municipios observamos que los matrimonios

ocurridos en Hormigueros tienden a ser ms heterogneos conforme a los tipos de

celebraciones que los matrimonios ocurridos en el municipio de Loza, Puerto Rico.

Si analizamos el cuadro 6.3 podemos notar que los matrimonios ocurridos en Loza,

Loza

D = 3[ (141) - 15,069 ]

[ (141) (3-1)]

= 3[ 19,881 - 15,069 ]

[ (19,881) (2) ]

= 3[ 4,812 ]

39,762

= 14,436

39,762

= .3630602

= .36

Hormiguero

D = 3[ (121) - 5,053 ]

[ (121) (3-1) ]

= 3[ 14,641 - 5,053 ]

[ (14,641) (2) ]

= 3[ 9,588 ]

29,282

= 28,764

29,282

= .9823099

= .98

Arnaldo Torres Degr y Evelyn Afanador Mejas

192

Puerto Rico para el ao 1993 estn mayormente concentrados en el tipo de

celebracin con ministros. Para el municipio de Hormigueros, Puerto Rico, para el

ao 1993 los matrimonios tienden a distribuirse casi equitativamente entre los tres (3)

tipos de celebrantes.

Medidas de Dispersin

193

Ejercicios de ndice de dispersin cualitativa

Favor de identificar las hojas de ejercicios y elaborar todos los problemas segn lo establecido en el texto. Desprenda las hojas de ejercicios y entrguelas al profesor, SI FUESE NECESARIO.

NOMBRE: FECHA: _______________

NUMERO DE ESTUDIANTE: SECCION: ___________

Ejercicio 6.7 Favor de utilizar los datos que reflejan la cantidad de matrimonios por tipo de celebracin en Villalba, Utuado y Ponce Puerto Rico: 1993.

Celebrantes

Sacerdotes

Ministros

Juez

TOTAL

74

14

50

82

116

111

Villalba

Utuado

Ponce

532

360

743

Fuente: Departamento de Salud de Puerto Rico, 1996. Informe Anual de Estadsticas Vitales de Puerto Rico: 1993. Matrimonios y Divorcios, tabla 5, pg. 331-334.

Arnaldo Torres Degr y Evelyn Afanador Mejas

194

[6.7.1] Favor de calcular y analizar el ndice de dispersin de los matrimonios ocurridos en el municipio de Villalba, Puerto Rico para el ao 1993 conforme el tipo de celebracin. Desarrolle las columnas necesarias para completar el ejercicio.

[6.7.2] Favor de calcular y analizar el ndice de dispersin de los matrimonios ocurridos en el municipio de Utuado, Puerto Rico para el ao 1993 conforme el tipo de celebracin. Desarrolle las columnas necesarias para completar el ejercicio.

[6.7.3] Favor de calcular y analizar el ndice de dispersin de los matrimonios ocurridos en el municipio de Ponce, Puerto Rico para el ao 1993 conforme el tipo de celebracin. Desarrolle las columnas necesarias para completar el ejercicio.

Medidas de Dispersin

195

[6.8] Frmulas

Recorrido

Desviacin Estndar para poblacin

Desviacin Estndar para muestras

Coeficiente de Variacin

ndice de dispersin cualitativa

R = Vmax - Vmin

() N

N

Arreglos de datos

=

x (x)

N

N

Datos no agrupados

Datos agrupados

=

()

n

n-1

Arreglos de datos

s =

x (x)

n

n-1

Datos no agrupados

Datos agrupados

s =

C.V. = s x (100)

muestra

C.V. = (100)

poblacion

k [ (n) () ]

[ (n) (k-1) ]

D =

Arnaldo Torres Degr y Evelyn Afanador Mejas

196

[6.9] Ejercicios Adicionales Arreglo de datos [6.9.1] Favor de buscar y analizar el recorrido y la desviacin estndar de la nota del primer examen de los

atletas de la Universidad Pitirre para el ao 2004 en el curso de primeros auxilios: datos hipotticos 56; 78; 78; 75; 77; 72; 75; 79; 79; 80; 72; 73; 74; 72; 75; 73; 72; 70; 72; 80; 77; 75; 72; 90; 88; 72; 74; 78; 80; 66; 72; 76; 83; 90; 72; 77; 79.

[6.9.2] Favor de buscar y analizar el recorrido y la desviacin estndar de la cantidad de horas semanales

viendo televisin entre los atletas de la Universidad Pitirre para el ao 2004: datos hipotticos 15; 10; 20; 10; 10; 27; 22; 10; 16; 16; 09; 17; 28; 19; 15; 15; 15; 18; 10; 10; 10; 14; 17; 20; 13; 12; 12; 18; 20; 08; 09; 10; 12; 14; 20; 16; 12.

[6.9.3] Favor de buscar y analizar el recorrido y la desviacin estndar de la cantidad en dlares por concepto

en compra de libros para estudios entre los atletas de la Universidad Pitirre para el ao 2004: datos hipotticos 95; 76; 50; 88; 50; 89; 74; 90; 56; 86; 89; 90; 69; 150; 120; 120; 90; 96; 89; 100; 89; 58; 90; 60; 100; 58; 88; 79; 90; 100; 120; 90; 99; 87; 90; 99; 130.

Datos no agrupados [6.9.4] Favor de buscar y analizar el recorrido y la desviacin estndar de la edad de las mujeres menores

quienes se les presentaron querellas en Puerto Rico para el ao fiscal 1991-1992, segn los datos registrados en el ejercicio 6.3 de la pgina 169.

[6.9.5] Favor de buscar y analizar el recorrido y la desviacin estndar de la edad de las varones menores

quienes se les presentaron querellas en Puerto Rico para el ao fiscal 1991-1992, segn los datos registrados en el ejercicio 6.3 de la pgina 169..

[6.9.6] Favor de buscar y analizar el recorrido y la desviacin estndar de la edad de todos los menores

quienes se les presentaron querellas en Puerto Rico para el ao fiscal 1991-1992, segn los datos registrados en el ejercicio 6.3 de la pgina 169.

Datos agrupados [6.9.7] Favor de buscar y analizar el recorrido y la desviacin estndar de la edad por suicidio en Puerto Rico

para el ao 1980, segn los datos registrados en el cuadro 4.1 de la pgina 105. [6.9.8] Favor de buscar y analizar el recorrido y la desviacin estndar de la edad por suicidio en Puerto Rico

para el ao 1990, segn los datos registrados en el cuadro 4.1 de la pgina 105. [6.9.9] Favor de buscar y analizar el recorrido y la desviacin estndar de la edad por suicidio en Puerto Rico

para el ao 2000, segn los datos registrados en el cuadro 4.1 de la pgina 105.