Dissertation Salgado

Tesis Doctoral

Síntesis, Análisis y Diseño deManipuladores Paralelos de

Baja MovilidadPresentada por:

D. Oscar Salgado Picón

en elDepartamento de Ingeniería Mecánica

perteneciente a laUniversidad del País Vasco

Euskal Herriko Unibertsitatea

Para la obtención del título deDoctor Ingeniero Industrial

Dirigida por:Dr. D. Oscar Altuzarra Maestre

Bilbao, Enero de 2008

A.Hernández

Ch.PintoJ. Angeles J.Mª. Mayo

J.I. Cuadrado

O. Salgado

I

A mis padres,mi familia y mis amigos

Resumen

Los manipuladores paralelos de baja movilidad son sin duda un tipo demecanismos de un presente y futuro prometedores en un gran número de apli-caciones industriales, presentando una serie de importantes ventajas sobre losrobots serie, más extendidos en la actualidad en el ámbito industrial, siempre ycuando su diseño haya sido realizado para la realización de un tipo de operaciónconcreto.

Las peculiares características de este tipo de robots ha hecho que ciertasarquitecturas hayan encontrado un perfecto acomodo en determinado tipo deaplicaciones, como la realización de operaciones de pick & place o ciertas ope-raciones de mecanizado, siendo quizás los robots Delta y Tricept los manipula-dores paralelos que posean un presente más importante. Además, el desarrollode nuevas arquitecturas de este tipo de robots es un proceso en constante acti-vidad, ya que día a día van apareciendo nuevas posibilidades. Sin embargo, lamayoría de estos nuevos robots quedan limitados a la realización de estudiosteóricos o simplemente experimentales, debido a que la complejidad de sus ci-nemáticas, la dificultad de su control en tiempo real, la ausencia de técnicas decalibración totalmente sistematizadas, etc., hacen que la industria sea todavíareticente a utilizar este tipo de mecanismos.

Dentro del campo de los robots de cinemática paralela, esta Tesis Doctoralse centra en los denominados manipuladores paralelos de baja movilidad, ca-paces de realizar movimientos de un número inferior a seis grados de libertadde unas determinadas características, esto es, realizando un número específicode movimientos de rotación y traslación. En particular, esta Tesis Doctoralpretende establecer un procedimiento sistemático para el diseño de este tipode mecanismos, hasta llegar a su concepción final.

La definición de nuevas arquitecturas de manipuladores paralelos de bajamovilidad realizando un movimiento específico no es una tarea simple ni tri-vial, que pueda realizarse desde la intuición. Debido a esto, esta Tesis Doctoral

iii

IV

aborda en primer lugar un procedimiento de síntesis morfológica de nuevasarquitecturas de este tipo de robots a partir de la Teoría de Grupos de Despla-zamientos, realizando un análisis exhaustivo de las diferentes cadenas cinemá-ticas que se han de utilizar para la definición de un manipulador de cinemáticaparalela. En concreto, esta Tesis Doctoral se centra en la definición de nuevasarquitecturas de manipuladores paralelos capaces de generar en su plataformamóvil el denominado movimiento Schönflies, el cual define la posibilidad derealizar movimientos de traslación independientes en cualquier dirección delespacio, junto con un movimiento de rotación alrededor de un eje de direc-ción constante, dotados además de una disposición simétrica de sus elementosy accionamientos, lo que sin duda facilita el planificación de trayectorias ydistribuye equitativamente el reparto de esfuerzos.

Sin embargo, a pesar de que varias arquitecturas de este tipo de robots seancapaces de realizar un mismo tipo de movimiento, esto no hace que todas ellasofrezcan unas prestaciones idénticas, lo cual implica que deberían analizarsepor completo todas las diferentes alternativas antes de poder elegir cuál detodas ellas es la que mejor se adapta a unos requisitos concretos. Sin embargo,este proceso de análisis supondría un esfuerzo quizás excesivo a realizar en lasfases iniciales de diseño.

Debido a esto, esta Tesis Doctoral desarrolla una nueva formulación jacobia-na de carácter general para el análisis cinemático de mecanismos de cualquiermorfología, la cual, implementada dentro de un software de apoyo al diseño,permite realizar a partir de un idéntico procedimiento los análisis que permi-ten determinar qué arquitectura de manipulador es la que mejor se adapta a larealización de una determinada operación, además de facilitar el estudio de loscambios al comportamiento global del mecanismo que la inclusión de diferentesmodificaciones al diseño inicial pueda suponer.

Esta nueva formulación jacobiana, cuya más peculiar característica es la dedefinir el mecanismo empleando un conjunto de puntos característicos pertene-cientes al mismo, permite realizar cualquier tipo de análisis cinemático sobrecualquier tipo de mecanismo, plano o espacial, serie o paralelo, híbrido o re-dundante, de una forma totalmente sistemática: por ejemplo la realización delos análisis de velocidades y aceleraciones, el planteamiento y la resolución delproblema de transmisión estática de fuerzas, la determinación de la movilidadinstantánea de cualquier tipo de mecanismo en cualquier tipo de posición (sin-gular o no singular), la determinación de las características de manipulabilidady destreza de cualquier tipo de manipulador, la realización de un análisis desingularidades completamente exhaustivo, etc., por citar algunas de sus capa-cidades.

V

El hecho de emplear una formulación jacobiana basada en puntos, ademásde obedecer a la sistematización de los diferentes análisis, permite obtener unaformulación completamente homogénea de los diferentes problemas, evitandode este modo los inconvenientes de tipo numérico asociados a la inconsisten-cia dimensional de los diferentes términos empleados en este tipo de análisis(velocidades lineales y velocidades angulares, fuerzas y momentos).

Tras la realización de los análisis preliminares mediante el procedimien-to anteriormente descrito, se ha podido seleccionar los manipuladores que, apriori, ofrecen unas mejores prestaciones para una determinada aplicación. Enconcreto, esta Tesis Doctoral presenta el estudio completo de dos arquitectu-ras de robots paralelos realizando movimiento Schönflies obtenidas a partir delprocedimiento de síntesis morfológica desarrollado en el inicio de la misma,destinados a diferentes tipos de aplicaciones como pueden ser la realización deoperaciones de taladrado y remachado sobre las superficies de perfiles aeronáu-ticos o la realización de operaciones de pick & place a altas velocidades. Lastemáticas incluidas en este punto abordan los enfoques clásicos realizados paraeste tipo de robots, centrados en la resolución de los problemas de posiciónsiempre pensando en su implementación dentro de un control numérico, y larealización del análisis de velocidades y singularidades. Tras la realización deestos estudios, se aborda la realización de los diseños optimizados de estos dosmanipuladores, bien buscando la definición de un diseño libre de singularida-des, o bien ajustado a unos objetivos de maximización del espacio de trabajoy maximización de la destreza global del manipulador, permitiendo definir yrealizar los prototipos demostrativos de estas arquitecturas de robots.

La Tesis Doctoral concluye con la presentación de sus contribuciones prin-cipales, las conclusiones que se derivan de la misma y las posibles líneas futuraspueden continuar la investigación hasta aquí realizada.

Oscar SalgadoIngeniero Industrial

Bilbao, Noviembre de 2008

VI

Sobre la Notación

En la redacción de esta Tesis Doctoral se ha empleado notación negrita paradenotar vectores y matrices, utilizando mayúsculas para matrices y minúscu-las para vectores. El resto de caracteres estarán destinados a denotar puntos,sistemas de referencia u otros objetos.

Adicionalmente, y con objeto de facilitar la lectura de esta Tesis Doctoral,se ha incluido un apartado de nomenclatura compuesto por los símbolos másimportantes empleados a lo largo de la misma.

Agradecimientos

Una vez echas la vista atrás y recuerdas todo el tiempo que ha pasadodesde que comencé este tortuoso camino es cuando de verdad te das cuenta detoda la gente ha ido pasando por mi vida y que, en mayor o menor medidahan tenido importancia en todo lo que ha ido pasando. Recuerdo cómo empecéa meterme en todo esto de los mecanismos, con Borja como mi compañerode fatigas y con Iñaki que también acababa de llegar. Durante mi estanciacomo alumno interno en el Departamento de Ingeniería Mecánica también heconocido a bastante buena gente con la que pasé buenos momentos y me ayudóen lo que era necesario: Gorka, Cristina, Jon, Romina, David, Nerea, Arantza,Elisa, Gorka, Jon Heredia, Imanol, . . . Espero no haberme dejado a ninguno.

El empezar con la Tesis en a finales de 2004 supone empezar una nuevaetapa y conocer a nueva gente, gente con la que he estado en la mayoría deestos años. Luis, Inese, Erik, Javi, siempre estaban ahí para hablar de cualquiertema, más o menos técnico, para darme su opinión, para intentar darme unasolución aunque quizás no tuviesen mucha idea del tema.

Es momento también de agradecer a Antonio y Mikel todo el tiempo dedica-do en realizar las simulaciones de esos manipuladores que os traían de cabeza,y a Bogdan por echarme una mano en todo lo relacionado al taller y el control.Y también al resto de gente con la que he coincidido: Borja, Pombo, Fran ,Olatz Ocerin, Maider, Olatz Oyarzabal, Josu, Mónica, . . .

También quiero agradecer a Oscar y Alfonso toda la confianza que pusieronen mí durante todo este tiempo y todo el tiempo que dedicaron escuchándomey leyendo todos estos rollos que he ido preparando; a Charly, por el tiempo quededicamos a hacer los prototipos; y a Víctor, por su tiempo y su disponibilidad.

Evidentemente, es éste el momento de agradecer a mi familia, a mis amigosy a toda mi gente todo su apoyo, en los buenos momentos que hemos pasadoy especialmente en los momentos difíciles que también han habido.

A todos vosotros, leáis o no leáis esto, gracias por todo.

vii

Índice General

Resumen III

Agradecimientos VII

Índice General VIII

Índice de Figuras XVIII

Índice de Tablas XXV

Nomenclatura XXXIII

I Antecedentes 1

1 Introducción 31.1. Aplicaciones Industriales de los Robots . . . . . . . . . . . . . 31.2. Tipos de Manipuladores Industriales . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Diseño de Manipuladores Paralelos 132.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Arquitecturas de Robots Paralelos . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1. Robots Paralelos Actuados por Cables . . . . . . . . . 272.2.2. MEMS: Compliant Mechanisms . . . . . . . . . . . . . 272.2.3. Poliedros y Estructuras Desplegables . . . . . . . . . . 282.2.4. Aplicaciones y Perspectivas Futuras . . . . . . . . . . 30

2.3. Problemas de Posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

viii

Índice General IX

2.3.1. Problema de Posición Inverso . . . . . . . . . . . . . . 312.3.2. Problema de Posición Directo . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4. Análisis de Velocidades y Análisis Estático . . . . . . . . . . . 362.5. Análisis de Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.6. Destreza y Manipulabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.7. Precisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.8. Rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.9. Dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.10. Calibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.11. Metodología de Diseño de Robots Paralelos . . . . . . . . . . 422.12. Temática y Estructura de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . 44

II Síntesis Morfológica de Manipuladores Paralelos deBaja Movilidad 49

3 Teorías Clásicas para la Síntesis Morfológica de Robots Ma-nipuladores 513.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2. Teoría de Grupos de Desplazamientos . . . . . . . . . . . . . 56

3.2.1. Estructura de Grupo de Lie . . . . . . . . . . . . . . . 563.2.2. Fundamentos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3. Grupo de Lie de los Desplazamientos de Sólido Rígido . . . . 623.3.1. Subgrupos del Grupo General de Desplazamientos . . 633.3.2. Producto o Unión de Desplazamientos . . . . . . . . . 653.3.3. Intersección de Desplazamientos . . . . . . . . . . . . 673.3.4. Desplazamientos sin Estructura de Grupo . . . . . . . 683.3.5. Procedimiento de Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4. Empleo de la Screw Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.1. Nociones Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.2. Coordenadas Proyectivas de un Punto . . . . . . . . . 733.4.3. Coordenadas de Plücker de una Recta . . . . . . . . . 743.4.4. Twist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4.5. Screw Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.4.6. Operaciones con Screw Systems . . . . . . . . . . . . . 783.4.7. Reciprocal Screws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.4.8. Wrench . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.4.9. Aplicación a la Síntesis Morfológica . . . . . . . . . . . 80

X Índice General

4 Ligaduras Cinemáticas 834.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2. Dimensión 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2.1. Ligadura Tu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2.2. Ligadura RA,ra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.3. Dimensión 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3.1. Ligadura Tu · Tv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.3.2. Ligadura Tu · RB,rb . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3.3. Ligadura RA,ra · Tv . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3.4. Ligadura RA,ra · RB,rb . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.4. Dimensión 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.4.1. Ligadura Tu · Tv · Tw . . . . . . . . . . . . . . . 954.4.2. Ligadura Tu · Tv · RC,rc . . . . . . . . . . . . . . 954.4.3. Ligadura Tu · RB,rb · Tw . . . . . . . . . . . . . . 974.4.4. Ligadura Tu · RB,rb · RC,rc . . . . . . . . . . . . 974.4.5. Ligadura RA,ra · Tv · Tw . . . . . . . . . . . . . . 994.4.6. Ligadura RA,ra · Tv · RC,rc . . . . . . . . . . . . 1004.4.7. Ligadura RA,ra · RB,rb · Tw . . . . . . . . . . . . 1014.4.8. Ligadura RA,ra · RB,rb · RC,rc . . . . . . . . . . . 101

4.5. Dimensión 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.5.1. Generadores Xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.5.2. Generadores 2T2R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.5.3. Generadores 1T3R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.6. Dimensión 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.6.1. Generadores 3T2R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.6.2. Generadores 2T3R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5 Síntesis de Manipuladores Paralelos con Movimiento Schön-flies 1775.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.2. Manipuladores con Movimiento Schönflies . . . . . . . . . . . 1785.3. Manipuladores Completamente Simétricos . . . . . . . . . . . 179

5.3.1. Manipuladores Quasi-Simétricos . . . . . . . . . . . . 1895.4. Selección de las Diferentes Alternativas . . . . . . . . . . . . . 193

Índice General XI

III Formulación Jacobiana basada en Puntos para el Aná-lisis Cinemático de Robots Manipuladores de Morfo-logía General 195

6 Introducción 1976.1. Definición de una Herramienta de Apoyo al Diseño de Mani-

puladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.2. Ámbito de Aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.3. Clasificación de los Métodos de Análisis Cinemático . . . . . 1996.4. Selección del Tipo de Coordenadas Empleadas . . . . . . . . . 2006.5. El Problema de las Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006.6. Desarrollo del Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

7 Ecuaciones de Restricción 2057.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2057.2. Restricción de Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

7.2.1. Ecuación de Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2097.2.2. Ecuación de Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7.3. Relaciones de Sólido Rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2157.3.1. Velocidad y Aceleración Angular a partir de tres Puntos

no Alineados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2157.3.2. Velocidad y Aceleración Angular a partir de dos Puntos 220

7.4. Movimiento Relativo de un Punto respecto a un Sólido Rígido 2247.4.1. Relaciones de Movimiento Relativo en Velocidades Ab-

solutas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2267.4.2. Relaciones de Movimiento Relativo en Aceleraciones

Absolutas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

8 Modelización del Mecanismo 2338.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2338.2. Definición de Nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2348.3. Restricciones de un Par Esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . 2378.4. Restricciones del Par Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . 2388.5. Restricciones de una Junta Cardan . . . . . . . . . . . . . . . 2398.6. Restricciones del Par Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2408.7. Restricciones del Par Cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 2418.8. Par Prismático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2428.9. Restricciones del Par Helicoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . 2438.10. Par Prismático-Rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

XII Índice General

8.11. Restricciones del Par Cilíndrico-Rotación . . . . . . . . . . . . 2478.12. Restricciones del Par Cilíndrico-Esférico . . . . . . . . . . . . 2508.13. Modelización de Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

8.13.1. Condición de Colinealidad . . . . . . . . . . . . . . . . 2538.13.2. Condición de Coplanaridad . . . . . . . . . . . . . . . 255

8.14. Modelización del Émbolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2568.15. Obtención de las Ecuaciones de Velocidad y Aceleración: En-

samblado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2588.15.1. Ensamblado de la Ecuación de Velocidad . . . . . . . 2588.15.2. Ensamblado de la Ecuación de Aceleración . . . . . . . 2618.15.3. Consideraciones sobre Mecanismos Planos . . . . . . . 263

8.16. Posicionamiento de los Nudos Auxiliares . . . . . . . . . . . . 2648.17. Comparación con Otros Métodos . . . . . . . . . . . . . . . . 270

9 Espacio del Movimiento 2739.1. Resolución de la Ecuación de Velocidad . . . . . . . . . . . . 273

9.1.1. Campo de Velocidades Lineales . . . . . . . . . . . . . 2749.1.2. Campo de Velocidades Angulares . . . . . . . . . . . . 276

9.2. Resolución de la Ecuación de Aceleración . . . . . . . . . . . 2789.2.1. Campo de Aceleraciones Lineales . . . . . . . . . . . . 2799.2.2. Campo de Aceleraciones Angulares . . . . . . . . . . . 281

9.3. Coordenadas Generalizadas: Significado y Características . . . 2829.4. Análisis de la Compatibilidad del Movimiento: Desplazamien-

tos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2849.5. Resolución del Movimiento Instantáneo . . . . . . . . . . . . . 287

9.5.1. Resolución del Problema de Velocidades . . . . . . . . 2899.5.2. Resolución del Problema de Aceleraciones . . . . . . . 291

9.6. Parámetros Cinemáticos de Entrada . . . . . . . . . . . . . . 2939.6.1. Movimiento Absoluto de un Punto en una Dirección

Determinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2939.6.2. Movimiento Relativo de un Punto en una Dirección . . 2959.6.3. Movimiento Angular Absoluto de un Elemento . . . . 2969.6.4. Movimiento Angular Relativo de un Elemento . . . . . 2989.6.5. Entrada por Par R Fĳo . . . . . . . . . . . . . . . . . 2999.6.6. Entrada por Par R Flotante . . . . . . . . . . . . . . . 3009.6.7. Entrada por Deslizadera . . . . . . . . . . . . . . . . . 3009.6.8. Entrada por Émbolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

9.7. Homogeneidad Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3039.7.1. Longitud Característica . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

Índice General XIII

9.8. Análisis en Posiciones Sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

10 Caracterización Modal del Movimiento de Robots Manipu-ladores 30910.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30910.2. Conceptos Previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31210.3. Modos del Movimiento y Entradas Modales . . . . . . . . . . 313

10.3.1. Modo Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31510.3.2. Modo Traslacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31710.3.3. Modo Pasivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

10.4. Determinación del Patrón de Velocidades . . . . . . . . . . . 32010.4.1. Movimiento de Traslación Pura . . . . . . . . . . . . . 32210.4.2. Movimiento Rotacional General . . . . . . . . . . . . . 32410.4.3. Movimiento General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

10.5. Principal Screws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32610.6. Propiedades de los Principal Screws . . . . . . . . . . . . . . . 329

10.6.1. Límites Inferior y Superior del Paso del Movimiento . 32910.6.2. Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33010.6.3. Concurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

10.7. Screw Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33310.8. Clasificación de las Capacidades de Movimiento . . . . . . . . 33510.9. Movimiento Relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33710.10. Caracterización del Movimiento de un Punto . . . . . . . . . 34010.11. Empleo de las Entradas Físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 34210.12. Consideraciones sobre el Movimiento Finito . . . . . . . . . . 34410.13. Determinación de Capacidades de Aceleración Máximas . . . 345

11 Análisis Estático 35111.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35111.2. Caracterización Estática del Movimiento de un Robot Mani-

pulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35311.2.1. Modo Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35311.2.2. Modo Traslacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

11.3. Elipsoide de Fuerza en un Punto . . . . . . . . . . . . . . . . 35711.4. Fuerzas de Restricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

12 Singularidades 36312.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36312.2. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

XIV Índice General

12.3. Clasificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36412.4. Métodos de Detección de Singularidades . . . . . . . . . . . . 36512.5. Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36612.6. Increased Instantaneous Mobility . . . . . . . . . . . . . . . . 369

12.6.1. Constraint Singularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37212.6.2. Dependencia en los Parámetros Cinemáticos . . . . . . 37312.6.3. Transiciones en el Patrón de Velocidades . . . . . . . . 378

12.7. Movimiento Incontrolado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38012.8. Esfuerzos no Soportados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38212.9. Indicadores de Singularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

12.9.1. Procedimientos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . 38412.9.2. Empleo de la SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

12.10. Mapas de Singularidad, Destreza o Manipulabilidad . . . . . 387

IV Diseño de un Manipulador de Cinemática Paralela de4 Grados de Libertad basado en Cadenas Paralelogra-mo para Movimiento Schönflies 391

13 Descripción del Manipulador 39313.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39313.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39313.3. Estructura del Manipulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39513.4. Movilidad del Manipulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39613.5. Geometría del Manipulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39713.6. Sistemas de Referencia Empleados . . . . . . . . . . . . . . . 400

13.6.1. Sistema de Referencia Fĳo (OXYZ) . . . . . . . . . . 40013.6.2. Sistema de Referencia Móvil (OUVW)12 . . . . . . . 40013.6.3. Sistema de Referencia Móvil (OUVW)3 . . . . . . . . 40313.6.4. Sistema de Referencia Móvil (OUVW)4 . . . . . . . . 40413.6.5. Sistema de Referencia Móvil (PUVW)P . . . . . . . . 406

14 Problema de Posición Directo 40914.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40914.2. Resolución del punto P en el Plano Móvil π12 . . . . . . . . . 40914.3. Resolución de β12 y θy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

14.3.1. Resolución del Punto F3 en el Plano Móvil π3 . . . . . 41214.3.2. Resolución del Punto F4 en el Plano Móvil π4 . . . . . 414

Índice General XV

14.3.3. Eliminación de la Variable θy . . . . . . . . . . . . . . 41614.3.4. Resolución de θy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

15 Problema de Posición Inverso 42715.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42715.2. Resolución de q1 y q2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42715.3. Resolución de q3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42915.4. Resolución de q4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43115.5. Espacio de Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

15.5.1. Restricciones Matemáticas del Espacio de Trabajo . . 433

16 Análisis de Velocidades y Singularidades 43516.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43516.2. Ecuación Matricial de Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . 435

16.2.1. Aplicación de la Screw Theory . . . . . . . . . . . . . 43716.3. Ecuación de Velocidad Obtenida Mediante Screw Theory . . . 44416.4. Análisis de Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

16.4.1. Singularidades en el Problema Directo . . . . . . . . . 44616.4.2. Singularidades en el Problema Inverso . . . . . . . . . 44616.4.3. Singularidades IIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

17 Prototipo del Manipulador 45117.1. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45117.2. Diseño Libre de Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

V Diseño de un Manipulador de Cinemática Paralela de4 Grados de Libertad para Movimiento SCARA 457

18 Descripción del Manipulador 45918.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45918.2. Patrón de Movimiento a partir de la Teoría de Grupos . . . . 461

19 Problemas de Posición 46519.1. Problema de Posición Directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46519.2. Problema de Posición Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

20 Análisis de Velocidades y Singularidades 47320.1. Ecuación Matricial de Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . 473

XVI Índice General

20.2. Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47520.2.1. Singularidades del Problema Inverso . . . . . . . . . . 47520.2.2. Singularidades del Problema Directo . . . . . . . . . . 47520.2.3. Singularidades IIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

20.3. Sensibilidad, Precisión y Amplificación de Velocidad . . . . . 47820.4. Análisis Estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

21 Diseño Óptimo del Manipulador 48521.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48521.2. Volumen del Espacio de Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . 48621.3. Diseño Isotrópico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

21.3.1. Posiciones Isotrópicas de Jv . . . . . . . . . . . . . . . 49521.3.2. Posiciones Isotrópicas de Jq . . . . . . . . . . . . . . . 49721.3.3. Posiciones Isotrópicas de J . . . . . . . . . . . . . . . 49721.3.4. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

21.4. Análisis de la Destreza del Manipulador . . . . . . . . . . . . 49821.4.1. Discretización del Espacio de Trabajo . . . . . . . . . 502

21.5. Obtención del Conjunto de Variables Óptimas . . . . . . . . . 503

22 Prototipo del Manipulador 50722.1. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

VI Conclusiones y Líneas Futuras de Investigación 513

23 Conclusiones 51523.1. Contribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51923.2. Referencias Derivadas de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . 522

24 Líneas Futuras de Investigación 52524.1. Análisis y Diseño de Nuevas Arquitecturas . . . . . . . . . . . 52524.2. Extensión al Análisis Dinámico de Manipuladores . . . . . . . 52724.3. Estudio de las Imperfecciones en el Proceso de Montaje . . . 52724.4. Diseño Óptimo del Resto de Arquitecturas Propuestas . . . . 527

24.4.1. Determinación Analítica y Experimental de la Rigidez 52824.4.2. Determinación Analítica y Experimental del Compor-

tamiento Dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52824.4.3. Calibración de los Prototipos . . . . . . . . . . . . . . 528

Índice General XVII

24.4.4. Control de los Prototipos . . . . . . . . . . . . . . . . 529

Índice Alfabético 531

Referencias 537

Índice de Figuras

1.1. Robot serie manipulando la carrocería de un automóvil . . . . . . 41.2. Robot paralelo Sprint Z3, diseñado como cabezal de máquina -

herramienta. Cortesía de DS Technology GmbH . . . . . . . . . . 51.3. Ejemplo de robot serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Robot serie. cortesía de KUKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5. Robot paralelo. Cortesía de Hydra-Power Systems . . . . . . . . . 91.6. Estructura de geometría variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1. Plataforma Gough-Stewart utilizada como simulador de vuelo . . 152.2. Hexa robot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Robot Delta. Cortesía de ABB Flexible Automation . . . . . . . . 172.4. Aplicaciones del robot Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5. Tripteron. Cortesía de la Universidad de Laval . . . . . . . . . . . 192.6. Robot Tricept. Cortesía de SMT Tricept AB . . . . . . . . . . . . 202.7. Agile Eye. Cortesía de la Universidad de Laval . . . . . . . . . . . 212.8. Adept Quattro s650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.9. McGill Schönflies Motion Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.10. Quadrupteron. Cortesía de la Universidad de Laval . . . . . . . . 242.11. Manipulador paralelo 4− UPU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.12. Robot HITA SST, Cortesía de la EPFL . . . . . . . . . . . . . . . 252.13. Robot Hermes. Cortesía de Fatronik . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.14. Robot Verne. Cortesía de Fatronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.15. Manipulador actuado por cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.16. Mecanismo deformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.17. Mecanismo de Cupola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1. Transformación de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

xviii

Índice de Figuras XIX

3.2. Unión de desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3. Manipulador paralelo 3−RRPaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4. Cadena cinemática RRPaR generando el desplazamiento Xe . . 693.5. Screw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.1. Generadores de desplazamiento Tu . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2. Generadores RA,ra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.3. Generadores Tu,v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.4. Casos degenerados Tu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.5. Generadores de desplazamiento Tu,v . . . . . . . . . . . . . . . . 894.6. Generadores de desplazamiento Tu · RB,rb . . . . . . . . . . . 914.7. Generadores de desplazamiento RA,ra · Tv . . . . . . . . . . . 924.8. Generadores de desplazamiento RA,ra · RB,rb . . . . . . . . . . 934.9. Cadena cinemática generadora del grupo T3 (PPa2) . . . . . . . 964.10. Materializaciones de la ligadura cinemática Tu ·Tv ·RC,rc (PC) 974.11. Cadenas cinemáticas generadoras del grupo Tu · RB,rb · Tw . 984.12. Cadenas cinemáticas generadoras del grupo Tu · RB,rb · RC,rc 994.13. Cadena cinemática generadora del grupo RA,ra·Tv·Tw (RPa2)1004.14. Materializaciones de la ligadura cinemática RA,ra · RB,rb · RC,rc1024.15. Cadenas cinemáticas generadoras de RA,ra · RB,rb · RC,rc . . 1044.16. Cadena cinemática generadora del desplazamiento Xe con 3 ge-

neradores de traslación y 1 de rotación (PPa2R) . . . . . . . . . . 1104.17. Cadena cinemática generadora del desplazamiento Xe con 3 ge-

neradores de traslación y 1 de rotación (PPaRPa) . . . . . . . . . 1114.18. Cadena cinemática generadoras del desplazamiento Xe con 3 ge-

neradores de traslación y 1 de rotación (PRPa2) . . . . . . . . . . 1124.19. Cadena cinemática generadora del desplazamiento Xe con 2 ge-

neradores de traslación y 2 de rotación (PPaRR) . . . . . . . . . 1144.20. Cadena cinemática generadora del desplazamiento Xe con 2 ge-

neradores de traslación y 2 de rotación (CPaR) . . . . . . . . . . 1154.21. Cadena cinemática generadora de Xe con 2 generadores de tras-

lación y 2 de rotación (RRPaPa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.22. Generador Xe con 1 generador de traslación y 3 de rotación

(RRPaR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.23. Generador 2T2R con 2 generadores de traslación y 2 de rotación

(PRPaR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.24. Generador 2T2R con 2 generadores de traslación y 2 de rotación

(PUPa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

XX Índice de Figuras

4.25. Generador 2T2R con 2 generadores de traslación y 2 de rotación(RPaRPa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.26. Generador 2T2R con 1 generador de traslación y 3 de rotación(RRPaR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.27. Generador 2T2R con 1 generador de traslación y 3 de rotación(RRRPa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.28. Cadena cinemática generadora del desplazamiento 3R1T con 1 ge-neradores de traslación y 3 de rotación (CRR) . . . . . . . . . . . 131

4.29. Cadena cinemática generadora del desplazamiento 3R1T con 1 ge-nerador de traslación y 3 de rotación (RPaRR) . . . . . . . . . . 132

4.30. Generador 1T3R con 1 generadores de traslación y 3 de rotación(RRPaR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.1. Generadores de movimiento Xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.2. Manipulador paralelo 4− PPa2R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825.3. Manipulador paralelo 4−RPa2R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825.4. Manipulador paralelo 4− PPa2R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.5. Manipulador paralelo 4− PRPaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.6. Manipulador paralelo 4− PRPaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845.7. Generadores de movimiento Xe · RL,rl . . . . . . . . . . . . . . 1865.8. Manipulador paralelo 4− PRPaRR . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.9. Manipulador paralelo 4− PRPaRR . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.10. Manipulador paralelo 4− PRPaRR . . . . . . . . . . . . . . . . . 1885.11. Manipulador paralelo 4−RRPaRR . . . . . . . . . . . . . . . . . 1885.12. Manipulador paralelo 4−RRPaRR . . . . . . . . . . . . . . . . . 1895.13. Manipulador paralelo 2− CPaR+ 2− CPaRR . . . . . . . . . . 1905.14. Manipulador paralelo 2− PRPaR+ 2− PaRPaRR . . . . . . . . 1915.15. Manipulador paralelo 2−RRPaR+ 2−RRPaRR . . . . . . . . 1915.16. Manipulador paralelo 4−RRPaRR . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

7.1. Restricción de distancia entre los nudos i y j . . . . . . . . . . . . 2077.2. Tres puntos no colineales pertenecientes al elemento e . . . . . . . 2157.3. Movimiento relativo del punto q repecto el sólido rígido e . . . . . 2257.4. Punto q desplazándose por la superficie de plano tangente S de

vector normal n en dicho punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

8.1. Modelización de la plataforma paralela 3−RPS . . . . . . . . . . 2358.2. Par esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2378.3. Modelización del par R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

Índice de Figuras XXI

8.4. Modelización de la junta universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2408.5. Punto q desplazándose por el plano S de vector normal n en dicho

punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2418.6. Modelización del par C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2418.7. Modelización del par P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2438.8. Modelización del par H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2448.9. Modelización del par PR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2468.10. Modelización del par CR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2488.11. Movimientos independientes del nudo auxiliar a . . . . . . . . . . 2498.12. Modelización del par CS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2508.13. Elementos colineales y coplanares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2528.14. Modelización de elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2548.15. Émbolo y los nudos que lo definen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2578.16. Posicionamiento del nudo auxiliar a . . . . . . . . . . . . . . . . . 2658.17. Ángulo θ para el que se da el condicionamiento numérico máximo 2688.18. Condicionamiento numérico máximo para cada valor de φ . . . . . 2698.19. Modelización de la plataforma paralela 3−RPS . . . . . . . . . . 271

9.1. Espacio del movimiento correspondiente a la plataforma paralela3-RPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

9.2. Definición de la dirección de la velocidad de un punto . . . . . . . 2949.3. Definición de la dirección de la velocidad angular de un elemento . 2979.4. Entrada por par R fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3009.5. Entrada por par R flotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3019.6. Entrada por deslizadera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3029.7. Elemento émbolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3039.8. Gráfica de la velocidad angular del elemento terminal del manipula-

dor paralelo 3−PRS en la realización de una trayectoria determinada3069.9. Axoides del elemento terminal del manipulador paralelo 3 − PRS

en la realización de una trayectoria determinada . . . . . . . . . . 307

10.1. Transformación entrada-salida, en la que se muestran los diferentessubespacios de entrada y salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

10.2. Rotaciones pasivas de las cadenas cinemáticas en una singularidadIIM del manipulador paralelo multioperacional 3− URU . . . . . 320

10.3. Elipsoide de traslación del manipulador paralelo Orthoglide . . . . 32310.4. Hiperboloide de paso hr = 0 del manipulador paralelo 3−RPS en

la configuración estudiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32510.5. Screw system del manipulador paralelo 3R0T 3−RPS . . . . . . 334

XXII Índice de Figuras

10.6. Screws de paso h = 0 del manipulador paralelo 3-RPS, definien-do una radiación de rectas asociadas a una solución única solución(Caso 3b) y un plano de ejes paralelos ligado a un conjunto simple-mente infinito de soluciones correspondientes a una única direcciónde rotación instantánea (Caso 3c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

10.7. Principal screws asociados al movimiento relativo entre elementos 33910.8. Elipsoide de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34110.9. Determinación de la aceleración p máxima . . . . . . . . . . . . . 347

11.1. Elipsoide de momentos de la plataforma Gough-Stewart, con elelipsoide de velocidad angular en su interior . . . . . . . . . . . . 356

11.2. Elipsoide de fuerzas de la plataforma Gough-Stewart, con el elip-soide de traslación en su interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

11.3. Elipsoide de fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35911.4. Wrench del manipulador paralelo 3-RPS . . . . . . . . . . . . . . 362

12.1. Clasificación general de las singularidades en manipuladores . . . 36712.2. Plataforma 6− URS en una singularidad IIM (F = 7) . . . . . . 37112.3. Robot Delta en una constraint singularity (F = 6, con un patrón

de velocidades en su elemento terminal de naturaleza 2T1R) . . . 37412.4. Plataforma 3− PRS en una singularidad del problema directo . . 37612.5. Tripteron en una singularidad de los problemas directo e inverso . 37812.6. Transición en el patrón de velocidades, mostrada a través de la

degeneración del elipsoide de velocidad angular . . . . . . . . . . . 37912.7. Manipulador paralelo 3−RPS en una constraint singularity . . . 38112.8. Movimiento incontrolado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38212.9. Mapa de singularidad IIM del manipulador 3 − SPS. Indicador:

Número de condición asociado a la norma 2 de la matriz Gg . . . 38712.10.Mapa de singularidad IIM del manipulador paralelo 2 − RR co-

rrespondiente a diferentes modos de trabajo. Indicador: Número decondición asociado a la norma 2 de la matriz de entradas Q . . . 388

13.1. Perfil de ala de avión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39313.2. Formas de operación sobre un ala de avión . . . . . . . . . . . . . 39413.3. Manipulador de cinemática paralela de 4 GDL . . . . . . . . . . . 39513.4. Vista frontal del plano π12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39813.5. Vista frontal del plano móvil π3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39913.6. Vista frontal del plano móvil π4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40013.7. Geometría del elemento plataforma . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

Índice de Figuras XXIII

13.8. Sistema de referencia móvil (OUVW )12 . . . . . . . . . . . . . . . 40213.9. Sistema de Referencia Móvil (OUVW )3 . . . . . . . . . . . . . . . 40413.10.Sistema de referencia móvil (OUVW )4 . . . . . . . . . . . . . . . 40513.11.Sistema de referencia móvil (PUVW )P . . . . . . . . . . . . . . . 407

14.1. Geometría simplificada del manipulador . . . . . . . . . . . . . . . 42114.2. Geometría simlificada del manipulador . . . . . . . . . . . . . . . 423

16.1. Screws asociados a las cadenas cinemáticas 1 y 2 . . . . . . . . . . 43916.2. Screws asociados a las cadenas cinemáticas 3 y 4 . . . . . . . . . . 44216.3. Movimiento incontrolado del manipulador . . . . . . . . . . . . . . 44716.4. Elipse de traslación del elemento terminal en la posición singular . 44816.5. Singularidad IIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

17.1. Operaciones sobre superficies aeronáuticas . . . . . . . . . . . . . 45217.2. Prototipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45317.3. Movimiento incontrolado en la posición singular citada . . . . . . 45417.4. Diseño libre de singularidades del manipulador . . . . . . . . . . . 455

18.1. Arquitectura de manipulador paralelo de 4 GDL con movimientoSchönflies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

18.2. Ligadura cinemática 3T2R Xe · RD,rd generada por cada lacadena PRPaRR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

18.3. Patrón de movimiento 3T1R Xk del manipulador . . . . . . . . 462

19.1. Vista en planta del manipulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46719.2. Espacio de trabajo. θ = 0, a = 100, c = 100, r = 1000 . . . . . . . 47019.3. Espacio de trabajo con limitaciones de carrera en los accionamien-

tos. θ = 0, a = 100, c = 100, r = 1000, qmin = 0, qmax = 1400 . . 471

20.1. Singularidad del problema cinemático inverso . . . . . . . . . . . . 47620.2. Singularidad del problema directo con un movimiento de traslación

incontrolada a lo largo de la dirección√

2 (i− j) /2 . . . . . . . . . 47720.3. Singularidad del problema directo con un movimiento helicoidal

incontrolado a lo largo de la dirección k . . . . . . . . . . . . . . . 47820.4. Amplificación de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48020.5. Amplificación de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

21.1. Espacio de trabajo del manipulador para una orientación dada, cona/r =0.1, d/r =0.15, θ = −π/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

XXIV Índice de Figuras

21.2. Vista superior del espacio de trabajo del manipulador, en la quese observa el emplazamiento de las diferentes superficies en funcióndel valor del ángulo θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

21.3. Volumen del espacio de trabajo del manipulador para diferentesvalores del ratio a/d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

21.4. Posición isotrópica para las matrices jacobianas Jv, Jq y J para losratios a/r =

√3/15 y d/r = 2

√3/15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

21.5. Mapas de destreza para diferentes espacios de trabajo a una orien-tación determinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

21.6. Espacio de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50421.7. Espacio de requisitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

22.1. Modelo esquemático del manipulador . . . . . . . . . . . . . . . . 50822.2. Prototipo realizado en plástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50922.3. Ciclo de comprobación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51022.4. Prototipo real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

24.1. Manipuladores paralelos de 5 GDL con un patrón de movimiento3T2R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

Índice de Tablas

1.1. Características de los robots serie y paralelo . . . . . . . . . . . . 10

4.1. Ligaduras cinemáticas de dimensión 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2. Características de desplazamiento ofrecidas por las ligaduras cine-

máticas de dimensión 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.3. Ligaduras cinemáticas de dimensión 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 874.4. Características de desplazamiento ofrecidas por las ligaduras cine-

máticas de dimensión 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.5. Cadenas generadoras de Tu · Tv . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.6. Cadenas generadoras de Tu · RB,rb . . . . . . . . . . . . . . . 904.7. Cadenas generadoras de RA,ra · Tv . . . . . . . . . . . . . . . 914.8. Cadenas generadoras de RA,ra · RB,rb . . . . . . . . . . . . . . 924.9. Ligaduras cinemáticas de dimensión 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 944.10. Características de desplazamiento ofrecidas por las ligaduras cine-

máticas de dimensión 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.11. Cadenas generadoras de T3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.12. Cadenas generadoras de Tu · Tv · RC,rc . . . . . . . . . . . . 964.13. Cadenas generadoras de Tu · RB,rb · Tw . . . . . . . . . . . . 984.14. Cadenas generadoras de Tu · RB,rb · RC,rc . . . . . . . . . . 984.15. Cadenas generadoras de RA,ra · Tv · Tw . . . . . . . . . . . . 1004.16. Cadenas generadoras de RA,ra · Tv · RC,rc . . . . . . . . . . 1014.17. Cadenas generadoras de RA,ra · RB,rb · Tw . . . . . . . . . . 1014.18. Cadenas generadoras de RA,ra · RB,rb · RC,rc . . . . . . . . . 1014.19. Ligaduras cinemáticas de dimensión 4 . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.20. Características de desplazamiento ofrecidas por las ligaduras cine-

máticas de dimensión 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

xxv

XXVI Índice de Tablas

4.21. Ligaduras cinemáticas generadoras de desplazamientos de dimen-sión 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.22. Generadores Xe con 3 generadores de traslación y 1 de rotación 1094.23. Cadenas generadoras de Xe a partir de Tu · Tv · Tw · RD,rd1094.24. Cadenas generadoras de Xe a partir de Tu · Tv · RC,rc · Tq 1104.25. Cadenas generadoras de Xe a partir de Tu · RB,rb · Tw · Tq1114.26. Cadenas generadoras de Xe a partir de RA,ra · Tv · Tw · Tq1124.27. Generadores Xe empleando 2 generadores de traslación y 2 de

rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.28. Cadenas generadoras de Xe a partir de Tu·Tv·RC,rc·RD,rd1144.29. Cadenas generadoras de Xe a partir de Tu·RB,rb·Tw·RD,rd1154.30. Cadenas generadoras de Xe a partir RA,ra · Tv · Tw · RD,rd1164.31. Cadenas generadoras de Xe a partir de Tu ·RB,rb ·RC,rc ·Tq1164.32. Cadenas generadoras de RA,ra · Tv · RC,rc · Tq . . . . . . . 1174.33. Cadenas generadoras de Xe a partir de RA,ra·RB,rb·Tw·Tq1174.34. Generadores Xe con 1 generador de traslación y 3 de rotación . 1184.35. Cadenas generadoras de Xe a partir de Tu · RB,rb · RC,rc ·

RD,rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.36. Cadenas generadoras de RA,ra · Tv · RC,rc · RD,rd . . . . . 1194.37. Cadenas generadoras de RA,ra · RB,rb · Tw · RD,rd . . . . . 1194.38. Cadenas generadoras de RA,ra · RB,rb · RC,rc · Tq . . . . . 1204.39. Generadores 2T2R con 2 generadores de traslación y 2 de rotación 1214.40. Cadenas generadoras de desplazamientos 2T2R a partir de Tu ·

Tv · RC,rc · RD,rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.41. Cadenas generadoras de desplazamientos 2T2R a partir de Tu ·

RB,rb · Tw · RD,rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.42. Cadenas generadoras de desplazamientos 2T2R a partir de Tu ·

RB,rb · RC,rc · Tq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.43. Cadenas generadoras de desplazamientos 2T2R a partir de RA,ra·

Tv · RC,rc · Tq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.44. Cadenas generadoras de desplazamientos 2T2R a partir de RA,ra·

RB,rb · Tw · Tq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.45. Generadores 2T2R con 1 generadores de traslación y 3 de rotación 1264.46. Cadenas generadoras de desplazamientos 2T2R a partir de Tu ·

RB,rb · RC,rc · RD,rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.47. Cadenas generadoras de desplazamientos 2T2R a partir de RA,ra·

Tv · RC,rc · RD,rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.48. Cadenas generadoras de desplazamientos 2T2R a partir de RA,ra·

RB,rb · Tw · RD,rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Índice de Tablas XXVII

4.49. Cadenas generadoras de desplazamientos 2T2R a partir de RA,ra·RB,rb · RC,rc · Tq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.50. Generadores 2T2R con 4 generadores de rotación . . . . . . . . . 1294.51. Cadenas generadoras de desplazamientos 2T2R a partir de RA,ra·

RB,rb · RC,rc · RD,rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.52. Generadores 1T3R con 1 generador de traslación y 3 de rotación . 1304.53. Cadenas generadoras de desplazamientos 1T3R a partir de Tu ·

RB,rb · RC,rc · RD,rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.54. Cadenas generadoras de desplazamientos 1T3R a partir de RA,ra·

Tv · RC,rc · RD,rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.55. Cadenas generadoras de desplazamientos 1T3R a partir de RA,ra·

RB,rb · Tw · RD,rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.56. Cadenas generadoras de desplazamientos 2T2R a partir de RA,ra·

RB,rb · RC,rc · Tq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.57. Generadores 1T3R con 4 generadores de rotación . . . . . . . . . 1344.58. Cadenas generadoras de desplazamientos 1T3R a partir de RA,ra·

RB,rb · RC,rc · RD,rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.59. Ligaduras cinemáticas de dimensión 5 con un generador de trasla-

ción terminal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.60. Ligaduras cinemáticas de dimensión 5 con un generador de rotación

terminal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.61. Ligaduras cinemáticas generadoras de desplazamientos de dimen-

sión 5 3T2R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.62. Ligaduras cinemáticas de dimensión 5 generadoras de desplaza-

mientos 3T2R con 3 generadores de traslación y 2 de rotación . . 1384.63. Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de Tu ·

Tv · Tw · RD,rd · RE,re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.64. Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de Tu ·

Tv · RC,rc · Tq · Ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.65. Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de Tu ·

RB,rb · Tw · Tq · Rw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.66. Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·

Tv · Tw · Tq · RE,re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.67. Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de Tu ·

Tv · RC,rc · RD,rd · Ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.68. Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de Tu ·

RB,rb · Tw · RD,rd · Ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.69. Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir RA,ra ·

Tv · Tw · RD,rd · Ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

XXVIII Índice de Tablas

4.70. Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de Tu ·RB,rb · RC,rc · Tq · Ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.71. Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·Tv · RC,rc · Tq · Ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.72. Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·RB,rb · Tw · Tq · Ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.73. Ligaduras cinemáticas de dimensión 5 generadores de desplaza-mientos 3T2R con 2 generadores de traslación y 3 de rotación . . 146









4.82. Ligadura cinemática de dimensión 5 generadores de desplazamien-tos 3T2R con 2 generadores de traslación y 3 de rotación . . . . . 150

4.83. Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de Tu ·Tv · RC,rc · RD,rd · RE,re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.84. Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de Tu ·RB,rb · Tw · RD,rd · RE,re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.85. Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir RA,ra ·Tv · Tw · RD,rd · RE,re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.86. Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de Tu ·RB,rb · RC,rc · Tq · RE,re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.87. Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·Tv · RC,rc · Tq · RE,re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.88. Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de Tu ·RB,rb · RC,rc · RD,rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Índice de Tablas XXIX

4.89. Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·Tv · RC,rc · RD,rd · Ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.90. Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·RB,rb · Tw · RD,rd · Ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.91. Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·RB,rb · Tw · Tq · RE,re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.92. Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·RB,rb · RC,rc · Tq · Ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.93. Ligaduras cinemáticas de dimensión 5 generadores de desplaza-mientos 3T2R mediante 1 generador de traslación y 4 de rotación 157





4.98. Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de Tu ·RB,rb · RC,rc · RD,rd · RE,re . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.99. Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·Tv · RC,rc · RD,rd · RE,re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.100.Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·RB,rb · Tw · RD,rd · RE,re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.101.Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·RB,rb · RC,rc · Tq · RE,re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.102.Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·RB,rb · RC,rc · RD,rd · Ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4.103.Ligaduras cinemáticas de dimensión 5 que incluyen desplazamien-tos 3T2R mediante 5 generadores de rotación . . . . . . . . . . . . 165

4.104.Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·RB,rb · RC,rc · RD,rd · RE,re . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.105.Ligaduras cinemáticas generadoras de desplazamientos de dimen-sión 5 2T3R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.106.Ligaduras cinemáticas de dimensión 5 generadores de desplaza-mientos 2T3R con 2 generadores de traslación y 3 de rotación . . 167

4.107.Cadenas generadoras de desplazamientos 2T3R a partir de Tu ·Tv · RC,rc · RD,rd · RE,re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

XXX Índice de Tablas

4.108.Cadenas generadoras de desplazamientos 2T3R a partir de Tu ·RB,rb · Tw · RD,rd · RE,re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

4.109.Cadenas generadoras de desplazamientos 2T3R a partir RA,ra ·Tv · Tw · RD,rd · RE,re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4.110.Cadenas generadoras de desplazamientos 2T3R a partir de Tu ·RB,rb · RC,rc · RD,rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4.111.Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·Tv · RC,rc · RD,rd · Ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

4.112.Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·RB,rb · Tw · RD,rd · Ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

4.113.Cadenas generadoras de desplazamientos 2T2R a partir de RA,ra·RB,rb · RC,rc · Tq · Ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.114.Ligaduras cinemáticas de dimensión 5 generadores de desplaza-mientos 2T3R con 1 generadores de traslación y 4 de rotación . . 172

4.115.Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de Tu ·RB,rb · RC,rc · RD,rd · RE,re . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4.116.Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·Tv · RC,rc · RD,rd · RE,re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4.117.Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·RB,rb · Tw · RD,rd · RE,re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

4.118.Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·RB,rb · RC,rc · Tq · RE,re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

4.119.Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·RB,rb · RC,rc · RD,rd · Ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4.120.Ligaduras cinemáticas de dimensión 5 generadores de desplaza-mientos 2T3R mediante 5 generadores de rotación . . . . . . . . . 176

4.121.Cadenas generadoras de desplazamientos 2T3R a partir de RA,ra·RB,rb · RC,rc · RD,rd · RE,re . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.1. Ligaduras cinemáticas que incluyen a Xe en su interior . . . . . 178

8.1. Nudos auxiliares necesarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

9.1. Análisis dimensional de la expresión de campo de velocidades lineales2839.2. Análisis dimensional de la expresión de campo de velocidades an-

gulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2839.3. Análisis dimensional de la expresión de campo de aceleraciones

lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

Índice de Tablas XXXI

9.4. Análisis dimensional de la expresión de campo de aceleracionesangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

10.1. Diferentes entidades que definen las capacidades de movimientoinstantáneas que puede ofrecer el manipulador . . . . . . . . . . . 337

18.1. Direcciones de rotación permitidas por cada cadena cinemática . . 462

Nomenclatura

Br Matriz de cambio de base del modo rotacional

Bt Matriz de cambio de base del modo traslacional

ηr Derivada respecto del tiempo del vector de entradas modales corres-pondiente al modo rotacional

ηt Derivada respecto del tiempo del vector de entradas modales corres-pondiente al modo traslacional

Ω Matriz de campo de velocidades angulares del mecanismo

Ωe Matriz de velocidad angular del elemento e

β Vector de velocidades generalizadas del mecanismo

β0 Vector de velocidades generalizadas incontroladas

βp Componente pasiva del vector de velocidades generalizadas

βr Componente rotacional del vector de velocidades generalizadas

βt Componente traslacional del vector de velocidades generalizadas

ηr Vector de entradas modales correspondiente al modo de movimientorotacional del elemento terminal del manipulador.

ηt Vector de entradas modales correspondiente al modo de movimientotraslacional del elemento terminal del manipulador

R Matriz de rotaciónjiR Matriz de rotación entre los sistemas de referencia i y j

xxxiii

XXXIV Índice de Tablas

p Vector de posición del punto P

p Velocidad del punto P

p Aceleración del punto P

pCoriolis e Aceleración de Coriolis del punto P en su movimiento relativo res-pecto al elemento e

prel e Velocidad relativa del punto P respecto al elemento e

α Vector de aceleraciones angulares del mecanismo

αe Aceleración angular del elemento e

$0 Screw de paso 0

$∞ Screw de paso ∞

γ Vector de aceleraciones generalizadas

ω Vector de velocidades angulares del mecanismo

ωe Vector velocidad angular del elemento e

φ Vector de fuerzas generalizadas

φ0 Vector de fuerzas generalizadas no soportadas

cosαi Coseno director

c Término no homogéneo de la ecuación de aceleración del mecanismo

q Vector de velocidades de entrada del mecanismo

$ Screw unitario

κ Número de condición de una matriz

κ2 Número de condición asociado a la norma matricial 2

κF Número de condición asociado a la norma matricial de Frobenius

ker (A) Subespacio nulo de la matriz A

CA Desplazamiento cilíndrico

Índice de Tablas XXXV

D Grupo de desplazamientos de sólido rígido

Fu,v Desplazamiento plano

HA,h,ra Desplazamiento helicoidal

I Desplazamiento nulo

RA,ra Desplazamiento rotacional

SO Desplazamiento esférico

T3 Desplazamiento de traslación espacial

Tu,v Desplazamiento de traslación plana

Tu Desplazamiento de traslación rectilínea

Xe Desplazamiento Schönflies

Yu,h Desplazamiento de traslación helicoidal

As Parte simétrica de la matriz A

Ass Parte simétrica de la matriz A

Gg Matriz geométrica global

I Matriz identidad

Jq Matriz jacobiana asociada al problema cinemático inverso

Jv Matriz jacobiana asociada al problema cinemático directo

O Matriz nula

V Matriz de campo de velocidades del espacio del movimiento del me-canismo

v Twist 4-dimensional del elemento terminal del manipulador

Vp Matriz de velocidades del punto P

R (A) Subespacio imagen de la matriz A

p Coordenadas proyectivas del punto P .

XXXVI Índice de Tablas

G Matriz expandida a la dimensión global del sistema

tr (A) Traza de la matriz A

F Movilidad instantánea del mecanismo

f Movilidad del manipulador

Fc Grados de libertad controlados del sistema mecánico

Fo Grados de libertad de salida del sistema mecánico

FR Grados de libertad de rotación del elemento terminal del manipula-dor

FR Grados de libertad pasivos del elemento terminal del manipulador

FT Grados de libertad de traslación del elemento terminal del manipu-lador

h Paso del movimiento

hp Paso asociado a un principal screw

hr Paso del movimiento rotacional

lij Distancia existente entre los nudos i y j

p (λ) Polinomio característico

Q Matriz de velocidadades de entrada del mecanismojiT Matriz de transformación homogénea entre los sistemas de referencia

i y j

x Vector de nudos característicos del sistema mecánico

x Vector de velocidades absolutas de los nudos característicos del sis-tema mecánico

x Vector de aceleraciones absolutas de los nudos característicos delsistema mecánico

Parte I

Antecedentes

1

1

Introducción

1.1. Aplicaciones Industriales de los Robots

La presencia de robots manipuladores es algo frecuente en prácticamentecualquier sector industrial. La necesidad de aumentar la producción, disminuirlos costes de un proceso determinado, etc. hacen que muchas veces se prefierautilizar este tipo de mecanismos para sustituir a personal que, aunque quizásestuviese capacitado para la realización de unas tareas determinadas.

Estas razones puramente económicas no serían, sin embargo, las únicas porlas que la utilización de este tipo de dispositivos estaría justificada. Los robotsmanipuladores también son diseñados con objeto de realizar trabajos que, bienpor peligrosos, monótonos, necesitados de una alta precisión y repetitibilidad,o bien por estar destinados a soportar cargas elevadas, liberen al hombre derealizar estos cometidos.

La utilización de los diferentes sistemas mecánicos ha ido variando con elpaso del tiempo, hasta llegar a la situación en la que hoy en día nos encon-tramos. Habitualmente, el empleo de mecanismos es y ha sido necesario en latransmisión y conversión de movimientos de un tipo a otro (rotación-rotación,rotación-traslación, etc.) o la obtención de un tipo de terminado de movimien-tos y trayectorias de mayor o menor complejidad. La realización de todo estetipo de operaciones, que habitualmente necesitan de un único grado de libertad(en adelante GDL), fue un campo sumamente estudiado años atrás, ofreciendosoluciones a todo tipo de problemas (Artobolevskii, 1977).

Sin embargo, el avance de la industria y su creciente necesidad de realizarnuevas operaciones cada vez más complejas y con una mayor flexibilidad en su

3

4 Introducción

definición hace que se deban abordar nuevas soluciones dotadas de un mayornúmero de GDL, iniciando el estudio de los mecanismos multi-GDL, como sonlos robots manipuladores.

Figura 1.1: Robot serie manipulando la carrocería de un automóvil

1.1. Aplicaciones Industriales de los Robots 5

En la actualidad, se pueden encontrar dispositivos electromecánicos auto-matizados de este tipo en diferentes aplicaciones industriales. Las líneas demontaje del sector de automoción pueden ser un claro ejemplo de ello. Enellas, la utilización de brazos robóticos en algunos puestos determinados es to-talmente habitual: son capaces de desplazar la carrocería de un automóvil deuna posición y orientación a otras diferentes (Fig. 1.1), pueden realizar un grannúmero de puntos de soldadura con una gran precisión, o efectuar de forma casisimultánea operaciones de taladrado y remachado sobre la misma.

Los sectores alimentario y farmacéutico no son sectores excluidos de lautilización de este tipo de mecanismos. En estos sectores es evidente que losrequisitos son diferentes, ya que las cargas no serían elevadas, por poner unejemplo. El tipo de operaciones que estos robots realizan dentro de estos sec-tores industriales están relacionadas con el aumento la productividad de losprocesos de paletización y embalaje de los productos ya acabados.

Si entramos dentro de un taller mecánico en el que se realice la fabricaciónde troqueles, el mecanizado de diferentes tipos de piezas, etc. casi seguro encon-traremos máquinas dotadas de un control numérico computerizado (CNC), lascuales, una vez se les ha definido la forma en la que las piezas han de ser reali-zadas, realizan de forma automática todo el proceso (Fig. 1.2). Sin embargo, apesar de que estas máquinas requieren las mismas consideraciones cinemáticasque los denominados robots, la palabra robot no suele ir asociada a ellas.

Figura 1.2: Robot paralelo Sprint Z3, diseñado como cabezal de máquina -herramienta. Cortesía de DS Technology GmbH

6 Introducción

Sin embargo, como es evidente, no se utiliza el mismo tipo de robots paraun determinado tipo de aplicaciones que para otras, ya que lo que para unaaplicación determinada puede ser un punto básico y primordial, para otra puedecarecer de importancia. Por tanto, para cada tipo de aplicación es necesariodeterminar cuál es la arquitectura de robot o máquina que mejor se adapta aella y que mejores prestaciones produce.

1.2. Tipos de Manipuladores Industriales

Poniendo atención a la propia palabra manipulador (Angeles, 2007), senombra así al sistema mecánico que tiene como misión manipular objetos, estoes, llevar estos objetos de un sitio a otro.

Quizás la primera forma de pensar en cómo podría ser uno de estos ro-bots es considerar que podrían poseer por ejemplo la forma del brazo humano.Esta idea es la que nos lleva al concepto de brazos robóticos, como el mos-trado en la Fig. 1.3. Este tipo de robots están compuestos por una serie deelementos rígidos unidos entre sí por pares cinemáticos de tipo rotacional yprismático fundamentalmente, que dotan a los elementos unidos por ellos deun movimiento relativo de único GDL. De este modo, el conjunto formado porestos elementos y pares cinemáticos se denomina cadena cinemática abierta.Esta disposición es la que hace que, realizando una analogía con los circuitoseléctricos, sean también conocidos como robots serie.

Figura 1.3: Ejemplo de robot serie

1.2. Tipos de Manipuladores Industriales 7

Si se piensa en las características que este tipo de robots puede ofrecer,inmediatamente podemos llegar a las siguientes conclusiones:

Grandes espacios de trabajo, en función del tamaño de los elementosempleados en su concepción.

Cuando se encuentran sometidos a una carga en su elemento terminal,podemos considerar este caso semejante al de una viga en voladizo. Estohace que para pequeñas deformaciones en su extremo terminal, lo que esevidentemente necesario si se necesita una gran precisión en el posicio-namiento, sea necesario que los elementos que forman la cadena tenganuna inercia elevada, lo que en mayor o menor medida provoca que poseanunas masas elevadas, como se puede apreciar en la Fig. 1.4. En relacióncon este punto, podemos añadir también que este tipo de robots tienenuna relación carga soportada en su extremo frente a masa total del robotbastante pequeña. Según muestra la referencia (Merlet, 2006), este ratioronda el valor de 0,09 como máximo en los robots actualmente comercia-lizados.

Figura 1.4: Robot serie. cortesía de KUKA

8 Introducción

A causa de las grandes masas que han de poseer para verificar los requi-sitos de carga y precisión, deben moverse a velocidades y aceleracionesconsiderablemente reducidas, ya que el trabajar en unas condiciones másseveras provocaría que apareciesen esfuerzos dinámicos muy importantes.

El hecho de que cada uno de los pares cinemáticos que componen lacadena sean pares cinemáticos actuados, además de aumentar más si cabela masa total del robot, supone que los errores que se vayan cometiendo enel posicionamiento de cada uno de estos accionamientos hagan aumentarinevitablemente el error total cometido en su elemento terminal.

En conclusión, si se considera la búsqueda de precisiones muy elevadas,la aplicación de grandes cargas y el funcionamiento a altas aceleraciones, esevidente que los robots serie pueden no ser la mejor alternativa. Sin embargo, apesar de sus limitaciones, su gran funcionalidad y sus indudables ventajas hacensu uso industrial esté muy extendido, siendo un porcentaje muy importante delos robots manipuladores existentes.

En contraposición a estos manipuladores de cadena abierta, podríamos pen-sar en los denominados mecanismos de cadena cerrada. Como su propio nom-bre indica, este tipo de mecanismos están compuestos por una o varias cadenascinemáticas cerradas, formadas por diferentes tipos de elementos y pares cine-máticos.

Dentro de este tipo de mecanismos es donde se encuentran los manipu-ladores o robots paralelos. Por el simple hecho de ser mecanismos de cadenacerrada, los manipuladores paralelos tienen un elemento móvil unido a un ele-mento fijo por varias cadenas cinemáticas, como es el caso del robot mostradoen la Fig. 1.5. Esto hace que este tipo de robots posean unas característicasconsiderablemente diferentes a las de los robots serie:

Presentan espacios de trabajo bastante más reducidos que los robots seriede dimensiones semejantes, debido a su propia estructura cinemática.

Sometidos a una determinada carga sobre su elemento terminal, este ti-po de robots son considerablemente más rígidos que un robot serie desimilares dimensiones, incluso a pesar de poseer una masa considerable-mente inferior, por el hecho de que esta carga será soportada por variascadenas simultáneamente en vez de por una sola. Por tanto, su relacióncarga soportada en su elemento terminal frente a masa total del robotserá bastante superior al de un robot serie común.


Figura 1.5: Robot paralelo. Cortesía de Hydra-Power Systems

Debido a que pueden soportar cargas relativamente grandes con masasrelativamente pequeñas, podrán realizar movimientos a velocidades y ace-leraciones elevadas sin que aparezcan esfuerzos dinámicos que impidan surealización.

Generalmente, este tipo de robots son actuados empleando un único ac-cionamiento en cada cadena cinemática, accionamiento que a su vez estarásituado sobre el elemento fijo. Esto hace que la masa de los accionamien-tos deje de ser considerada como una masa móvil, lo que facilita aún mássi cabe el alcanzar valores de aceleración elevados.

El hecho de que cada uno de los pares cinemáticos actuados se encuentrenen diferentes cadenas cinemáticas hace que los errores ocurridos en su po-sicionamiento no supongan por norma general una amplificación elevadaen el posicionamiento del elemento terminal del manipulador.

Teniendo en cuenta todo lo hasta ahora mencionado, ninguno de los robotshasta ahora expuestos puede ser considerado mejor que los otros en términosabsolutos. Es evidente que tanto las ventajas como los inconvenientes de unoy otro tipo de manipuladores provienen del tipo de estructura cinemática queposeen, tal y como muestra la Tabla 1.1. La estructura serie o antropomórficapermite alcanzar un mayor espacio de trabajo y es la causa del posible desaco-plamiento entre los grados de libertad de orientación y los de posición respecto

10 Introducción

Robot Serie Robot ParaleloEstructura poco rígida Arquitectura más rígidaBaja relación carga/peso del ma-nipulador

Relación carga/peso muy superior

Robot más pesado Robot ligeroBaja precisión.Precisión del posicionamiento.Los errores en las articulacionescrecen de elemento a elemento y seacumulan hasta el elemento termi-nal.

Alta precisión.los errores en las articulacionesafectan con el mismo orden demagnitud a la posición de la pla-taforma.

Bajas velocidades y aceleraciones.Peores características dinámicas

Altas velocidades y aceleraciones.Mejor respuesta dinámica

Cinemática simple.Resolución analítica de las ecua-ciones. Facilidad en el lazo de con-trol

Cinemática compleja.Alto tiempo de computación. Difi-cultad en el control

Amplio espacio de trabajo Espacio de trabajo más reducidoTécnica de calibración resuelta Calibración compleja.

Problema abiertoPosiciones singulares únicamenteen el problema inverso

Posiciones singulares más comple-jas en problemas directo e inverso

Tecnología ya desarrollada Nueva tecnología

Tabla 1.1: Características de los robots serie y paralelo

de las variables que accionan el mecanismo. Este desacoplamiento permite quelos problemas de posición sean más sencillos que los de los robots paralelos, ysu calibración pueda realizarse compensando cada eje de forma independiente.Por otro lado, en el caso de la estructura paralela, la disposición de los elemen-tos conectando mediante varias cadenas cinemáticas la base fija y su elementoterminal, le da una mayor rigidez a la estructura del manipulador, así como unerror menor en el posicionamiento de la plataforma, siempre que se tengan losmismos errores en las variables que lo accionan.

A pesar de que el planteamiento hasta ahora realizado pueda inducir a unapugna entre manipuladores serie y paralelo, la realidad es que existen aplica-ciones en las que un robot serie puede operar sobre una pieza colocada en laplataforma de un manipulador paralelo; es decir manipuladores serie y parale-


Figura 1.6: Estructura de geometría variable

lo trabajando en cooperación. También, ambos tipos de manipuladores puedenconstituir una estructura mixta, formando lo que se conoce comomanipuladoreshíbridos. Dentro de los manipuladores híbridos pueden darse las dos modalida-des: tanto un manipulador serie montado sobre una plataforma paralela, comoun robot serie cuyo elemento terminal es una plataforma paralela.

Otro tipo de robot diferente a los anteriores son las denominadas estructurasadaptativas, las cuales están constituidas por numerosas plataformas paralelasiguales, una encima de la otra, de manera que la apariencia global es la de unaestructura serie (Fig. 1.6). Una variante versátil de las estructuras adaptativasson los robots paralelos reconfigurables, los cuales, en esencia, responden a undiseño modular, montado a partir de un conjunto estandarizado de módulostales como actuadores, articulaciones pasivas, barras rígidas y extensibles, yplataformas

En resumen, en mi opinión y en la opinión general del grupo de investigaciónal que pertenezco, las capacidades de los manipuladores paralelos pueden sersuperiores a las de los serie, siempre y cuando su diseño y su síntesis dimensionalestén correctamente realizados de manera específica para la aplicación en laque serían utilizados. Posiblemente, el hecho de que hasta ahora no exista una

12 Introducción

metodología de diseño satisfactoria para el caso de los manipuladores paralelossea gran causa de la escasa presencia industrial de este tipo de robots.

Otra de las razones a las cuales se les puede achacar el poco éxito delos robots paralelos frente a los robots serie es la evidente desconexión exis-tente entre los centros de investigación primaria, frecuentemente localizadosen las universidades, y el mundo industrial, tal y como apunta I. Bonev enwww.parallemic.org (Bonev, On line). En los últimos años, el estado de latécnica centrada en los robots paralelos ha sufrido un avance muy significativo.Se han publicado un gran número de nuevos trabajos en este campo, apare-ciendo un gran número de nuevas arquitecturas de robots paralelos, lo que hahecho que cada vez haya un mayor número de investigadores repartidos portodo el mundo en este campo. Sin embargo, el diseño de robots paralelos im-plica poseer conocimientos en diversos campos, como el análisis matemático,cinemática y dinámica por poner unos ejemplos, además de una necesaria crea-tividad. Evidentemente, esto no implica que no se deban conocer otros camposdiferentes no tan teóricos, como pueden ser temas relacionados con el controlde estos robots. Sin embargo, todo esto está bastante alejado de la industria,en donde el mero hecho de crear un producto novedoso y original tiene unvalor bastante menor al de crear un producto que realmente funcione bien yque el cliente desee adquirir. Es por esto que sería necesario que se establezcanrelaciones conjuntas entre el cliente potencial, la industria y los propios centrosde investigación para conseguir el avance de los robots paralelos en el campoindustrial.

Lamentablemente, la industria suele a menudo preferir ir por libre. Un cla-ro ejemplo es que compañías como Giddings & Lewis , o Ingersoll, con granexperiencia en la fabricación de centros de mecanizado, fracasaron en la comer-cialización en este campo de los hexápodos a pesar de que fueron los primerosque se adentraron en esta tecnología, ya que sus máquinas no pudieron cumplirlas expectativas de ofrecer unas precisiones mucho más elevadas que las má-quinas convencionales. ¿Por qué no fue esto posible? Porque simplemente no sepuede transformar un simulador de vuelo en una máquina de mecanizado sinmás.

Sin embargo, toda la culpa no es sólo de la industria. Frecuentemente, losinvestigadores tienden a adentrarse excesivamente en problemas teóricos dedudosa utilidad práctica. En los últimos años, este punto esta cambiando, yse están realizando estudios de una mayor aplicación práctica, como puede serla obtención de diseños óptimos que simplifiquen el control de este tipo derobots y se mejoren las técnicas de autocalibración, que es lo que la industriaen verdad necesita.

www.parallemic.org

2

Diseño de ManipuladoresParalelos

2.1. Introducción

Indudablemente, el campo de los robots paralelos es un campo lo suficien-temente extenso como para tratar en gran profundidad todos sus diferentesaspectos y problemáticas. El propósito de este Capítulo es la de proporcionaral lector una visión simple y más o menos global de los diferentes temáticasque se han de tocar en el diseño de este tipo de robots, así como presentar al-gunas de las arquitecturas de este tipo de robots más conocidas, permitiéndoleadquirir de este modo los necesarios conceptos básicos que desarrolla esta TesisDoctoral.

2.2. Arquitecturas de Robots Paralelos

Tal y como se ha mostrado a lo largo del Capítulo 1, los robots o mani-puladores paralelos son una concepción de robot completamente diferente a laque poseen los robots más utilizados en el ámbito industria, los robots serie.Consultando la que quizás puede ser la referencia más elemental acerca de estetipos de robots, escrita por J. P. Merlet (Merlet, 2006), podemos encontrar ladefinición formal de este tipo de robots:

13

14 Diseño de Manipuladores Paralelos

Definición 2.2.1 (Manipulador Paralelo)Se denomina manipulador paralelo general a aquél que posee un elemento ter-minal unido a un elemento base o fijo por medio de varias cadenas cinemáticasindependientes.

Evidentemente esta definición puede resultar quizás un poco vaga para al-guien que realmente no conozca nada de esta temática. Para aclarar este punto,el paso que debemos dar es el de mostrar cómo se puede concebir y realizar unmanipulador de este tipo.

El término síntesis aplicada a manipuladores paralelos hace referencia deeste modo a la creación de nuevas arquitecturas de este tipo de robots quesean capaces de realizar una operación determinada, la cual necesita un patrónde movimiento específico. Sin embargo, a pesar de que este concepto englobauna idea sencilla que debería ser llevada a cabo de una forma sistematizada, lasíntesis de este tipo de mecanismos se venía realizando hasta no hace muchotiempo de una forma más o menos intuitiva.

Es en estos últimos años cuando se ha realizado por parte de la comunidadcientífica un gran avance en la síntesis de este tipo de mecanismos, empleandoherramientas como la Screw Theory o el Álgebra de Lie. En concreto, estátemática será profundamente tratada a lo largo del apartado 3.1.

Estos avances han resultado en la definición de múltiples arquitecturas derobots paralelos, mostrando a continuación algunas de las más representativasy que mayor difusión han tenido.

En la Fig. 2.1 podemos observar la plataforma Gough-Stewart. Tal y comose muestra en la referencia (Bonev, 2003), fue alrededor de 1960 cuando E.Gough desarrolló el considerado primer robot hexápodo (Gough y Whitehall,1962), pensado para la realización de pruebas de verificación en la producciónde neumáticos. Sin embargo, este robot es comúnmente conocido como la pla-taforma Stewart, debido al simulador de vuelo que propuso D. Stewart en elartículo (Stewart, 1965), aún a pesar de que el robot que Stewart propuso esconsiderablemente diferente a lo que actualmente se considera con este nombre.

Desde entonces, la plataforma Gough-Stewart ha sido estudiada por un grannúmero de autores. Como muestra de estos trabajos el lector puede revisar lareferencia (Dasgupta y Mruthyunjaya, 2000), en donde se realiza una extensarevisión del estado del arte referido a este robot paralelo. Sólo por citar algunosde los estudios realizados, la referencia (Stoughton y Arai, 1993) muestra undiseño modificado del manipulador realizado con objeto de mejorar su destreza;las referencias (Raghavan, 1993; Husty, 1996) muestran la complejidad de la

2.2. Arquitecturas de Robots Paralelos 15

Figura 2.1: Plataforma Gough-Stewart utilizada como simulador de vuelo

resolución del problema de posición directo de este manipulador, que en sucaso más general puede presentar hasta un total de 40 soluciones; mientras lareferencia (Mayer St-Onge y Gosselin, 2000) busca la expresión analítica dellugar geométrico de las singularidades de esta plataforma.

En el campo de los robots paralelos de 6 GDL, además de la plataformaGough-Stewart, podemos encontrar gran variedad de posibilidades. El robotHexa (Toyama et al., 1994), mostrado en la Fig. 2.2, es un robot completamenteparalelo formado por 6 cadenas cinemáticas RSS que unen una base fija a unelemento terminal.

Si analizamos su estructura cinemática, el robot Hexa surge como una gene-ralización del robot Delta descrito en el siguiente aparatado, haciendo posibleque cada una de las cadenas de los paralelogramos que formaban parte de esteúltimo puedan moverse de forma independiente. De similar estructura a la an-


Figura 2.2: Hexa robot

terior, encontramos el robot HexaM (Toyama et al., 1998), un robot paraleloconstituido por 6 cadenas cinemática PSS.

Uno de los robots paralelos quizás más conocidos y más extendidos endiferentes campos es el caso del robot Delta, de patente americana (Clavel,1990) y ampliamente desarrollado en la tesis doctoral de R. Clavel (Clavel,1991). Este robot de 3 GDL de traslación, está compuesto por tres cadenasidénticas con la estructura paralelogramo y accionado por 3 motores rotativos,tal y como se muestra en la Fig. 2.3.

El robot Delta puede ser considerado como uno de los diseños de robotsparalelos con un mayor éxito comercial, siendo empleado en aplicaciones tandiversas como la industria alimentaria o la propia cirugía, como muestra laFig. 2.4. En términos de aceleración ofrece unas excelentes prestaciones, siendocapaz de soportar cargas ligeras (alrededor de 1 kg) desplazándose a aceleracio-nes de 12 g en aplicaciones reales y hasta 20 g en condiciones experimentales.

Existen diferentes variantes de este robot, bien empleando actuadores li-neales como en el caso de la referencia (Stock y Miller, 2003), o bien variandola orientación de sus actuadores rotativos, como es el caso del robot NUWARdesarrollado en la Universidad de Western Australia mostrado en la referencia


Figura 2.3: Robot Delta. Cortesía de ABB Flexible Automation

(Miller, 2004), del cual dicen que es capaz de alcanzar aceleraciones de 600m/s2. En vista de las referencias (Kosinska et al., 2003; Liu et al., 2004; Ló-pez et al., 2006), el robot Delta es uno de los robots paralelos de los que másestudios se han realizado.

Otros robots paralelos capaces de desarrollar exclusivamente movimientosde traslación en cualquier dirección del espacio son el robot de estructura 3−RRPaR desarrollado en la Universidad de Maryland (Stamper, 1997), el robot3 − UPU ideado por el profesor L. W. Tsai (Tsai y Joshi, 2000; Goldsmith,2003), el robot Orthoglide (Wenger y Chablat, 2002; Chablat y Wenger, 2003;Pashkevich et al., 2005), el robot STAR (Hervé y Sparacino, 1992; Sparacino yHervé, 1993), y otras familias de robots (Hervé y Sparacino, 1991; Carricato yParenti-Castelli, 2003a,b; Callegari y Tarantini, 2003; Gogu, 2004c; Jin y Yang,2004).

Además de estas posibilidades, es necesario mencionar de forma destacadaal robot cartesiano 3 − CRR desarrollado prácticamente de forma simultáneaen las Universidades de Laval (Kong y Gosselin, 2002b; Gosselin y Kong, 2004)(Fig. 2.5) y California en Riverside (Kim y Tsai, 2002, 2003a). Este robot tienela particularidad de presentar una cinemática especialmente sencilla, contro-lando cada uno de los actuadores, de forma desacoplada, cada uno de los 3GDL de traslación de los que está dotado.


(a) Industria alimentaria

(b) Aplicaciones médicas

Figura 2.4: Aplicaciones del robot Delta


Figura 2.5: Tripteron. Cortesía de la Universidad de Laval

Otro de los robots paralelos de éxito comercial en la actualidad es el denomi-nado Tricept (Neumann, 1988; Siciliano, 1999), desarrollado por SMT TriceptAB y mostrado en la Fig. 2.6. Está dotado de 3 cadenas cinemáticas actuadorasy una cadena cinemática pasiva, la cual es encargada de dotar a su elementoterminal con un patrón de movimiento compuesto de 2 rotaciones independien-tes y una única traslación, además de dotarlo de una mayor rigidez. Esto haceque sea utilizado con éxito en operaciones de mecanizado.

El Agile Eye (Gosselin et al., 1996; Bonev et al., 2006), desarrollado por elprofesor C. Gosselin en la universidad de Laval (Fig. 2.7) es un manipuladorparalelo esférico 3− RRR pensado para orientar de forma rápida una cámarasituada sobre su elemento terminal dentro de un cono de visión de 140 conuna torsión de ±30, pudiendo alcanzar velocidades y aceleraciones angularessuperiores 1000 /s y 20000 /s2 respectivamente, superiores a las que el ojohumano es capaz de alcanzar.

Para finalizar el grupo de los robots paralelos de 3 GDL destacaremos elpresentado en las referencias (Liu y Kim, 2002, 2005; Liu et al., 2005), dotadode un patrón de movimiento de dos traslaciones independientes y una rotaciónde gran amplitud, el robot 3−PRS de patrón de movimiento 2R1T (Carreteroet al., 2000) y el robot 3−RPS (Huang et al., 1996; Fang y Huang, 1997; Kimy Tsai, 2003b).


Figura 2.6: Robot Tricept. Cortesía de SMT Tricept AB

Continuando con la exposición de las diferentes arquitecturas de robotsparalelos más conocidas nos adentramos en un campo que actualmente estáviviendo un gran auge. En concreto, este tipo robots queda definido de lasiguiente manera:

Definición 2.2.2 (Manipulador Paralelo de Baja Movilidad)Se denomina manipulador paralelo de baja movilidad a aquél que posee unelemento terminal dotado de una movilidad inferior a 6 GDL, agrupando deeste modo a todos los manipuladores paralelos de 3, 4 y 5 GDL.


Figura 2.7: Agile Eye. Cortesía de la Universidad de Laval

De este modo, la principal característica de este tipo de robots es la deofrecer patrones de movimiento de naturaleza compleja, en los que su elementoterminal no es capaz de realizar independientemente cualquier tipo de movi-miento.

Dentro de este grupo de robots podemos encontrar manipuladores capacesde realizar deferentes tipos de movimientos. El campo de los robots paralelosde 4 GDL con movimiento Schönflies, capaz de realizar 3 traslaciones indepen-dientes y una rotación alrededor de un eje de dirección constante, está pasandoen la actualidad un momento de gran actividad. En concreto Adept lanzó almercado en estos últimos meses su robot Quattro, mostrado en la Fig. 2.8, delcual se dice que es el robot más rápido del mundo, capaz de manipular 240piezas por minuto a 200 m/s2.

Este robot muestra los desarrollos realizados por el Laboratorio de Robóticay Microelectrónica de Montpellier (LIRMM) en colaboración con el centro tec-nológico Fatronik, del robot anteriormente denominado como H4 (Pierrot et al.,2001; Nabat et al., 2006), desarrollado en las referencias (Pierrot y Company,1999; Company y Pierrot, 1999; Company et al., 2003) dentro de una familiade robots de similar morfología. Dicho robot presenta como novedad el hechode que la capacidad de rotación de su elemento terminal es conseguida gracias


Figura 2.8: Adept Quattro s650

al movimiento relativo entre dos elementos. Esta solución presenta como incon-venientes una arquitectura quizás excesivamente compleja en comparación conun elemento terminal rígido con el movimiento anteriormente citado, a lo quele es añadido la posible aparición de singularidades de tipo interno (Companyet al., 2006).

Por otro lado, el generador de movimientos Schönflies desarrollado en laUniversidad de McGill (Angeles et al., 2006) presenta un diseño novedoso encomparación a otros robots existentes. Tal y como se muestra en la Fig. 2.9,este robot está formado por únicamente dos cadenas cinemáticas RPaPaR queunen su elemento terminal con una base fija. Construido en acero, aluminio yfibra de carbono, este robot es actuado por cuatro motores rotativos situadossobre la base fija, accionando dos a dos cada una de las dos cadenas cinemáticaspor medio de dos mecanismos planetarios. El hecho de emplear únicamente doscadenas cinemáticas permite reducir la masa total del robot y dotarle de un


mayor espacio de trabajo.

Figura 2.9: McGill Schönflies Motion Generator

Otro ejemplo es el mostrado en la Fig. 2.10 y desarrollado en la Universidadde Laval; el robot 4−PRRR (Kong y Gosselin, 2006; Richard et al., 2007) es unaevolución a 4 GDL del robot mostrado en la Fig. 2.5. Su particular geometríahace que presente una resolución extremadamente sencilla de sus problemasde posición, un espacio de trabajo cartesiano y un rango de desplazamientoangular de ±60o. Relacionadas con esta solución, las referencias (Carricato yParenti-Castelli, 2003b; Gogu, 2006c) muestran otras distintas soluciones derobots 3T1R con movimiento desacoplado.


Figura 2.10: Quadrupteron. Cortesía de la Universidad de Laval

Por último, el manipulador paralelo 4 − UPU mostrado en las referencias(Zhao et al., 2006b,c) es una de las únicas arquitecturas de robots completa-mente paralelas y simétricas de 4 GDL y movimiento Schönflies existentes enla actualidad (Fig. 2.11). El término de manipulador completamente paralelo1

(Merlet, 2006) viene definido como

Definición 2.2.3 (Manipulador Completamente Paralelo)Robot paralelo que posee un número de cadenas cinemáticas igual al númerode GDL de su elemento terminal.

Sin embargo, aunque esta sea su definición exacta, dicho término suele estarasociado con el hecho de que el robot presente todas sus cadenas cinemáticasde igual morfología, y habitualmente colocadas de una forma simétrica.

El movimiento Schönflies no es el único movimiento que los robots paralelosde 4 GDL son capaces de realizar, aunque si puede ser el considerado máshabitual. Un ejemplo de esto pueden ser los robots 2T2R, mostrados en lareferencia (Chen et al., 2001) y los robots 3R1T (Zlatanov y Gosselin, 2001;Zoppi et al., 2005).

1Fully-parallel manipulator.


Figura 2.11: Manipulador paralelo 4− UPU

Figura 2.12: Robot HITA SST, Cortesía de la EPFL

Considerando las aplicaciones en las que son necesarios 5 GDL, el caso máshabitual es que sea necesario realizar 3 tres traslaciones independientes junto a


2 rotaciones independientes, definiendo un patrón de movimiento 3T2R, comoes por ejemplo el caso de las operaciones de mecanizado de 5 ejes. Dentro de losrobots paralelos de este tipo encontramos diferentes posibilidades, de los quedestacaremos los robots 5 − PRRRR desarrollado en la Universidad de Laval(Masouleh y Gosselin, 2007a,b) dotado de una cinemática desacoplada, los ro-bots isotrópicos desarrollados por el profesor G. Gogu (Gogu, 2006b) y el robotHITA SST (Thurneysen et al., 2004), desarrollado en la Ecole PolytechniqueFédérale de Lausanne (EPFL), mostrado en la Fig. 2.12.

Figura 2.13: Robot Hermes. Cortesía de Fatronik

Un concepto diferente al ofrecido por los robots anteriormente mostradoses el empleo de robots híbridos, entendiendo como tales aquellos que consi-guen obtener un determinado patrón de movimiento en su elemento terminalmediante el movimiento relativo entre un manipulador de baja movilidad, fre-cuentemente dotado de 3 GDL, junto con una mesa móvil dotada con uno odos GDL. Este es el caso de los robots Hermes y Verne, desarrollado por elcentro tecnológico Fatronik, mostrados en las Figuras 2.13 y 2.14. En concreto,los robots anteriormente citados se utilizan como centros de mecanizado decinco ejes, con la particularidad de conseguir obtener estos 5 GDL de formadesacoplada.


Figura 2.14: Robot Verne. Cortesía de Fatronik

2.2.1. Robots Paralelos Actuados por CablesUn campo que actualmente se encuentra en una gran actividad es el desarro-

llo de manipuladores paralelos actuados por cables. Este tipo de manipuladorestendría la forma habitual de un hexápodo (Pusey et al., 2004) (Fig. 2.15), con ladiferencia de que en vez de los habituales accionamientos hidráulicos que éstospresentan se utilizarán cables, aunque también es posible utilizar mecanismoscompuestos por cables y otros elementos rígidos.

Esto permite sobre todo obtener una masa total del robot muy reducidacon la ventaja añadida de permitir obtener espacios de trabajo muy grandes.Por contra, es evidente que para poder soportar cargas en cualquier direcciónes necesario disponer de un sistema de cables redundante, por el simple hechode que los cables no presentan rigidez alguna a la compresión. Las referencias(Behzadipour y Khajepour, 2004; Hiller et al., 2005; Pham et al., 2006; Beh-zadipour y Khajepour, 2006; Stump y Kumar, 2006) nos muestran una visiónadecuada del estado del arte en esta temática.

2.2.2. MEMS: Compliant MechanismsLigado a los sistemas micro-electro-mecánicos (MEMS), un campo en cre-

ciente actividad en los últimos tiempos es el de los compliant mechanisms (Op-


Figura 2.15: Manipulador actuado por cables

dahl et al., 1998; Jensen et al., 1998; Edwards et al., 2001; Howell, 2001; La-bontiu, 2003) (Fig. 2.16). Este tipo de mecanismos se alejan de los conceptosclásicos que conciben un mecanismo como la sucesión de elementos rígidosunidos por diferentes pares cinemáticos. El mecanismo deformable adquiere lacapacidad de moverse por la existencia de una flexibilidad relativa entre dife-rentes partes del mismo, aunque pueda estar constituido por un único elemento.Este tipo de mecanismos presenta como ventajas la reducción en los costes desu fabricación, la eliminación de la fricción y el desgaste entre elementos, lareducción de la masa total, la eliminación de lubricantes y la eliminación delos juegos que podrían aparecer en las articulaciones.

El desarrollo de los mecanismos deformables se encuentra íntimamente liga-do al desarrollo de nuevos materiales, como aleaciones de titanio y el desarrollode nuevas clases de polímeros, y al avance en técnicas de fabricación como laelectro-erosión y el prototipado rápido.

Obviamente, el campo de los robots paralelos no se encuentra aislado de es-tos desarrollos. La referencia (Raatz et al., 2006) nos muestra un robot paralelode este tipo.

2.2.3. Poliedros y Estructuras Desplegables

A pesar de que pueda parecer que los robots paralelos surgen únicamentecomo una concepción de robot que tratase de solucionar los inconvenientesque presentan los robots serie para un determinado número de aplicaciones, el


Figura 2.16: Mecanismo deformable

estudio de este tipo de mecanismos datan de fechas bastante anteriores.En concreto, tal y como se menciona en la referencia (Merlet, 2006), al-

gunos problemas teóricos relacionados con este tipo de mecanismos aparecenya mencionadas por Christopher Wren2, por Cauchy3 (Cauchy, 1813), por Le-besgue4 (Lebesgue, 1967) y por Bricard (Bricard, 1897). La gran mayoría deestos trabajos estaban centrados en el estudio de la movilidad de los poliedrosregulares.

Sin embargo, estos temas han seguido activos incluso hasta nuestros días.En concreto, el cinemático austriaco W. Wunderlich, tal y como muestra lareferencia (Husty, 2007), discutió las condiciones geométricas que han de darsepara la movilidad infinitesimal de los poliedros. El profesor K. Wohlhart siguesiendo en la actualidad uno de los grandes apasionados en esta temática, comomuestran las referencias (Wohlhart, 2005, 2007). La Fig. 2.17 muestra unaposibilidad de este tipo de mecanismos.

Quizás pueda parecer éste un campo exclusivamente teórico, pero nadamás lejos de la realidad. Este tipo de mecanismos tiene su aplicación en lasestructuras desplegables, estructuras que en su posición comprimida ocupan

2Sir Christopher Wren, 20 de Octubre de 1632 – 25 de Febrero de 1723 fue un astrónomo,geómetra y diseñador inglés, y uno de los mejores arquitectos británicos de su época.

3Aguste Louis Cauchy, matemático francés, 21 de Agosto de 1789 - 23 de Mayo de 1857.Pionero en el análisis y la teoría de permutación de grupos. También investigó la convergenciay la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidady física matemática.

4Henri Léon Lebesgue, 28 de Junio de 1875 - 26 de Julio de 1941, matemático francés.


Figura 2.17: Mecanismo de Cupola

un espacio reducido y una gran superficie al ser desplegadas. Las referencias(Agrawal et al., 2002; Gosselin y Gagnon-Lachance, 2006; Wei et al., 2006)muestran una explicación suficientemente detallada de este tipo de mecanismos.

2.2.4. Aplicaciones y Perspectivas FuturasExiste una gran variedad de funciones que pueden realizar los robots para-

lelos. Hasta el momento se han citado algunas como la manipulación de compo-nentes (pick & place), los simuladores de vuelo, la orientación de plataformas(desde aplicaciones espaciales como antenas hasta médicas como microscopios

2.3. Problemas de Posición 31

de precisión), y la máquina-herramienta (mecanizado de piezas como el fre-sado, torneado, escariado o taladrado). Otras aplicaciones son las operacionesquirúrgicas de precisión, ensamblado de componentes electrónicos o los micro-manipuladores, capaces de realizar movimientos de unos pocos nanómetros.

En cuanto a los campos de aplicación con más posibilidades cabe citar elaeronáutico y la industria automovilística. El primero de ellos tiene dos vertien-tes, referida la primera de ellas al mecanizado de piezas. La segunda vertiente serefiere al tratamiento de piezas de gran envergadura, cuasi-acanaladas con po-ca curvatura en sentido longitudinal, las cuales requieren plataformas de 4 ó 5GDL. En cuanto a la industria automovilística y auxiliar, las mayores necesida-des residen en el mecanizado de componentes en las transmisiones de potenciacomo por ejemplo cajas de cambio. Los diseños tan livianos de la estructura pa-ralela pueden alcanzar aceleraciones de 35 m/s2 y sobreaceleraciones de hasta1500 m/s3.

Sin embargo, el éxito que pueda tener la introducción de robots paralelosen unas aplicaciones determinadas tendrá mucho que ver con la realización dediseños que permitan obtener de ellos las mejores prestaciones posibles.

2.3. Problemas de Posición

Los problemas de posición consisten en encontrar la posición y orientaciónde todos y cada uno de los elementos que forman parte del robot constituyenun punto fundamental en el control del robot y en la planificación de trayec-torias. En concreto, los problemas de posición se dividen en dos problemasbien diferenciados: el problema de posición inverso y el problema de posicióndirecto.

2.3.1. Problema de Posición InversoEl problema de posición inverso consiste en determinar a partir de la posi-

ción y orientación conocidas del elemento terminal del manipulador la posiciónde los accionamientos y resto de elementos que forman parte del robot. Si com-paramos la complejidad existente en la resolución del problema de posicióninverso en los robots paralelos con la correspondiente a los robots serie, en elcaso de los primeros ésta es mucho menor, al menos en los casos más habituales,como sucede en los robots completamente paralelos.

Frecuentemente, el problema de posición inverso viene determinado por unaserie de ecuaciones cuadráticas obtenidas a partir de cada una de las cadenascinemáticas que componen el robot que relacionan los parámetros de salida


con los correspondientes parámetros de entrada. Como sucede en el caso delos sistemas de ecuaciones no lineales, el problema de posición inverso podrápresentar múltiples soluciones, denominadas modos de trabajo del manipulador.

Quizás el punto de mayor interés relacionado con el problema de posicióninverso es la obtención del espacio de trabajo del manipulador, el conjuntode puntos del espacio a los que puede llegar un punto del elemento terminal.Sin embargo, si analizamos la forma de este espacio de trabajo en un casogeneral de un robot de 6 GDL, nos encontramos ante un inconveniente evidente:estamos ante una entidad de 6 dimensiones, esto es, únicamente podremos sabersi el manipulador es capaz de alcanzar un punto una vez hayamos definidola orientación en la que se encontrará su elemento terminal. El problema esevidente: ¿Cómo se pueden representar estas 6 dimensiones?

Para evitar este inconveniente se definen diferentes tipos de espacios detrabajo (Merlet, 2006):

Espacio de trabajo a orientación constante o espacio de trabajo trasla-cional: define todas los posibles posiciones que un punto P del elementoterminal del manipulador puede alcanzar con una determinada orienta-ción del mismo.

Espacio de trabajo de orientación: define todas las posibles orientacionesque puede alcanzar el elemento terminal del manipulador en una posiciónde un punto P dada.

Espacio de trabajo máximo alcanzable: define todas las posiciones queel punto P puede alcanzar para al menos una única orientación de suelemento terminal.

Espacio de trabajo de orientación inclusivo: define todas las posicionesque el punto P puede alcanzar para al menos un valor dentro un rangode orientaciones del elemento terminal dados. Evidentemente, el espaciode trabajo máximo alcanzable coincide con éste cuando consideramos elrango total de orientaciones que el elemento terminal del manipuladorpuede alcanzar.

Espacio de trabajo de orientación total: define todas las posiciones queel punto P puede alcanzar para todos los valores dentro un rango deorientaciones del elemento terminal dados.

Espacio de trabajo diestro: define todas las posiciones que el punto Ppuede alcanzar en las que es posible alcanzar cualquier valor de orien-tación de su elemento terminal. Evidentemente, el espacio de trabajo de


orientación total coincide con éste cuando consideramos el rango com-pleto de orientaciones que el elemento terminal del manipulador puedealcanzar.

Espacio de trabajo de orientación total reducido: define todo el conjuntode posiciones que el punto P podría alcanzar dentro de un rango deorientaciones dado, mientras que el resto de orientaciones podría tener unvalor cualquiera. Un claro ejemplo para entender este concepto es cuandose emplean robots de 6 GDL en operaciones de mecanizado de 5 ejes,donde la rotación del elemento terminal en torno al eje de la herramientapodría tener un cualquier valor para poder realizarse la operación.

Las referencias (Merlet, 1992, 1993b,c; Bonev y Ryu, 1999, 2001; Bonevy Gosselin, 2006) nos muestran una visión más o menos completa de estosconceptos.

Los aspectos que limitan el espacio de trabajo del manipulador tienen dosorígenes claramente determinados: la propia geometría de elementos y parescinemáticos que forman parte del manipulador, y los límites físicos de los dife-rentes pares cinemáticos, fruto de su materialización práctica. Sin embargo, elhecho de que el manipulador teóricamente sea capaz de alcanzar un determi-nado punto y orientación dentro de su espacio de trabajo una vez consideradostodos estos aspectos no conlleva que se pueda alcanzar en la realidad, debidoa las diferentes interferencias entre elementos que pueden también aparecer.

Tal y como se comentará en siguientes apartados, los manipuladores para-lelos presentan además singularidades en el interior de su espacio de trabajoque pueden hacer perder el control del robot. Debido a esto, es posible quepara alcanzar algunos puntos del espacio de trabajo del manipulador sea abso-lutamente necesario pasar por una de estas singularidades. Esto hace que seanecesario definir un espacio de trabajo!libre de singularidades una vez ha sidorealizado el análisis de singularidades del manipulador. Este espacio de trabajoserá el realmente útil, el que indique cuál es el conjunto de puntos a los que sepuede llegar sin perder el control del robot.

2.3.2. Problema de Posición DirectoEl problema de posición directo consiste en determinar a partir de la posición

de los accionamientos del manipulador la posición y orientación de todos y cadauno de los elementos que forman parte del robot. En este punto es donde nosencontramos uno de los grandes inconvenientes de los manipuladores paralelos,un problema de una gran complejidad en el caso general.


A priori se podría pensar en por qué es necesario resolver este problematan complejo si para el control del robot y la planificación de trayectorias delmismo únicamente sería necesario resolver el problema de posición inverso. Elcontrol de la posición del manipulador siguiendo una determinada trayectoriacomienza con la resolución del problema de posición inverso, el cuál determi-naría dónde se han de encontrar los actuadores para alcanzar cada posición,mandando la orden para que éstos se desplacen hasta estas posiciones. Sin em-bargo, la realidad es que las posiciones exactas no se alcanzarán exactamente,ya que en cada uno de los accionamientos se habrá cometido algún error ensu posicionamiento. Esto hace que el manipulador no alcance la posición quese estaba buscando, sino que se encuentra en otra posición, en principio des-conocida. Es en este momento donde entra en juego el problema de posicióndirecto, que nos dirá la posición en la que realmente se encuentra nuestro ele-mento terminal, a partir de la cual se podrá proceder a hacer las correccionesnecesarias que permitan seguir adecuadamente la trayectoria fijada.

El problema de posición directo en robots paralelos (Merlet, 1993a) vienedefinido habitualmente por una serie de ecuaciones no lineales cuyas incógnitas,la posición y orientación del elemento terminal, aparecen en todas ellas, hacien-do que el sistema de ecuaciones esté fuertemente acoplado, lo que complica suresolución. Evidentemente, tenemos ante nosotros dos posibles caminos: tratarde resolver analíticamente la posición y orientación del manipulador, soluciónque puede no ser posible, o resolver numéricamente el sistema de ecuaciones.

La resolución analítica de este problema es en la mayoría de los casos uncamino bastante complicado que no siempre puede ser completado. El proce-dimiento general de resolución de este tipo de ecuaciones trataría de obtenermediante procedimientos de eliminación simbólica (Tancredi et al., 1996) la ex-presión de una ecuación en una única variable a partir de la cual poder resolverel problema de posición directo. A modo de ejemplo, en el caso de la plata-forma Gough-Stewart de geometría general se puede llegar a obtener, no sinesfuerzo, un polinomio univariante de grado 40 (Raghavan, 1993; Husty, 1996;Innocenti, 2001; Lee y Shim, 2001, 2003) a partir del cual se podría resolver elsistema de ecuaciones completo. El hecho de obtener la ecuación univariantedel manipulador no es la solución completa a todos los problemas, ya que amenudo se reducirá a la resolución de una ecuación polinómica de un gradoelevado a partir del cual, evidentemente, no podremos obtener las solucionesde una forma explícita. Únicamente en el caso de que sea posible conseguir unpolinomio univariante de grado igual o inferior a 4 será posible la completaresolución del problema de posición directo en forma cerrada.

En vista de la complejidad que este procedimiento puede alcanzar en un


caso general, es posible plantear otras opciones (Raghavan y Roth, 1995) comopueden ser los métodos de continuación polinomial (Sommese et al., 2002), elempleo de bases de Gröbner (Dhingra et al., 2000) u otros métodos particulares(Wampler, 1996).

La simple resolución numérica de este sistema de ecuaciones mediante, porejemplo, el método de Newton-Raphson, podría ser una alternativa válida. Sinembargo, hay varios puntos que nos pueden hacer desconfiar de este método.El primer punto es que éste es un método iterativo, lo que no nos asegura queseamos capaces de encontrar la solución en un tiempo lo suficientemente rápi-do e inferior al tiempo del lazo de control. A pesar de ello, ya que el métodode Newton-Raphson presenta una convergencia cuadrática, este punto puedeque sea salvado sin mayor problema. El segundo inconveniente es la conver-gencia local de este método: la convergencia está asegurada siempre que nosencontremos en las cercanías de una solución. El inconveniente se plantea ensaber si realmente estamos en las cercanías de una solución o no, con objetode garantizar la convergencia del método mediante la aplicación del Teoremade Kantorovich (Tapia, 1971), y si realmente estamos en las cercanías de lasolución que estamos buscando y no una de las otras 39 posibles soluciones.

Con objeto de salvar estos inconvenientes y ser capaces de obtener todo elconjunto de soluciones del problema de posición directo, denominados modosde ensamblado del manipulador, se plantea la utilización conjunta del métodode Newton-Raphson con las técnicas de Análisis por Intervalos (Jaulin et al.,2001), en lo que se conoce como el Método de Hansen (Didrit et al., 1998),método aplicado a la resolución del problema directo en la plataforma Gough-Stewart en la referencia (Merlet, 2004).

Sin embargo, estos métodos numéricos suelen ser bastante costosos compu-tacionalmente, además de pasar por la evaluación de las matrices jacobianas delsistema, matrices que pueden ser singulares, causando la no convergencia a lasolución. Evitando estos inconvenientes podemos encontrar otras alternativas,como puede ser el Método Geométrico Iterativo (Petuya et al., 2003, 2005) em-pleado con éxito en manipuladores paralelos, y métodos basados en funcionesde potencial y el Método de los Elementos Finitos (Avilés et al., 1996).

Según hemos visto, la complejidad de la resolución del problema de posicióndirecto es causada directamente por el acoplamiento del sistema de ecuacionesno lineales que definen la posición del manipulador a partir del número de pa-rámetros mínimos necesarios para su resolución. Sin embargo, si dispusiéramosde información redundante, como puede ser la localización de otros elementos,el problema directo quedaría bastante simplificado. De este modo, por medio desensores redundantes (Baron y Angeles, 1994, 1995a,b, 2000a,b; Bonev et al.,


2001; Chiu y Perng, 2001; Vertechy y Parenti-Castelli, 2006) o el empleo decámaras (Baron y Angeles, 1995b) se puede acelerar esta resolución.

2.4. Análisis de Velocidades y Análisis Estático

Los manipuladores paralelos son conocidos por ofrecer la capacidad de al-canzar grandes velocidades y aceleraciones, lo que junto con sus masas másreducidas, les permite ofrecer unas muy adecuadas características dinámicas.Para poder analizar estas características, es obligado pasar por la ecuaciónde velocidad del manipulador. Habitualmente, esta ecuación presenta la formasiguiente

Ax = Bq (2.1)

donde los vectores q y x representan los términos de velocidades de entraday salida del manipulador respectivamente, y las matrices A y B sus matricesjacobianas asociadas.

Sin embargo, éste no es el único enfoque existente. Las referencias (Garcíade Jalón et al., 1981; Eischen et al., 1990) muestran dos diferentes alternativaspara la formulación de la ecuación de velocidad basadas en el Método de losElementos Finitos, enfoques que guardan alguna relación con la formulaciónjacobiana adimensional mostrada en los artículos (Hernández et al., 2003; Al-tuzarra et al., 2006b), la cual será desarrollada a lo largo de la presente TesisDoctoral. Relacionado con las estructuras de geometría variable, la referencia(Canfield et al., 1999) nos muestra otro enfoque alternativo de formulación dela ecuación de velocidad.

Fruto de la dualidad existente entre la cinemática y la transmisión de fuer-zas bajo consideraciones estáticas, el análisis estático del manipulador puedederivarse a partir de la propia ecuación de velocidad, mostrando las referencias(Tsai y Lee, 1994; Kim y Choi, 2001; Chang et al., 2003; Nokleby et al., 2005;Lu y Hu, 2006) diferentes consideraciones sobre las características estáticas quediferentes tipos de manipuladores pueden ofrecer.

El análisis de aceleraciones de un manipulador, el cual se obtiene a partirde la derivación respecto del tiempo de la ecuación (2.1), es un campo queno ha sido tratado en la literatura con tanta profusión como el problema develocidades. Esto es debido fundamentalmente al hecho de no poder representarla aceleración de un sólido rígido de forma análoga al caso de su velocidad,por el hecho de incluir ésta términos cuadráticos en unidades de velocidadcorrespondientes a la aceleración normal. Entre las referencias que tratan estetema podemos destacar los artículos (Rico y Duffy, 2000; Featherstone, 2001)

2.5. Análisis de Singularidades 37

en los que se plantea cómo se podría tratar el análisis de aceleraciones de unsólido rígido, y la referencia (Rico y Duffy, 1998a), en la que se presenta elcálculo del centro instantáneo de aceleración de un sólido.

2.5. Análisis de Singularidades

Es un hecho que los manipuladores paralelos, a diferencia de los robotsserie, presentan en general posiciones dentro de su espacio de trabajo en lasque es posible perder el control del manipulador y amplifiquen en gran medidalos esfuerzos que han de soportar los accionamientos. Debido a esto, duran-te la fase de diseño del robot es necesario determinar donde se encuentranestas posiciones para evitar que, durante su funcionamiento, el robot puedaalcanzarlas, siendo de este modo posible definir un espacio de trabajo libre desingularidades.

Estas singularidades pueden ser clasificadas de diferentes formas, siendo po-siblemente la más extendida la mostrada en la referencia (Gosselin y Angeles,1990). Esta clasificación distingue 3 tipos diferentes de singularidades denomi-nadas de Tipo I, Tipo II y Tipo III en función de que la matriz A, la matrizB o ambas simultáneamente sean singulares.

Sin embargo, dicha clasificación no es capaz de dar respuesta a otros tiposde singularidades que los robots paralelos pueden presentar, principalmentepor el hecho de que únicamente consideran los términos de entrada y salida delmanipulador, prescindiendo de los términos de velocidad pasivos. Debido a esto,en la literatura han surgido otras clasificaciones más generales que permitenanalizar de una forma más general todas las posibles singularidades que unrobot paralelo puede presentar, mostradas en las referencias (Zlatanov et al.,1998a,b; Altuzarra et al., 2003, 2004).

El caso ideal sería el definir robots paralelos que no presentasen singulari-dades dentro de su espacio de trabajo, siendo además bastante adecuado quepresentasen un comportamiento isotrópico. Esta idea ha sido desarrollada porel profesor G. Gogu, el que, por medio de la Teoría de las TransformacionesLineales ha sido capaz de definir una gran familia de robots de este tipo (Gogu,2004a,b,c, 2005, 2006a,b,c).

La definición de los lugares geométricos de las singularidades es un pro-blema bastante complejo, ya que las expresiones que los suelen definir vienenderivadas como la nulidad de un determinante, el cual incluye un gran númerode términos haciendo que habitualmente no puedan ser representados de unaforma sencilla y deban determinarse de forma numérica (Merlet y Donelan,


2006). Otras técnicas que permiten la detección de singularidades pueden serel Álgebra de Grassmann (Merlet, 2006), el empleo de los reciprocal screws yla Screw Theory (Tsai, 1998a, 1999), o el empleo de métodos de estructuraciónlocal (Kim y Chung, 1999).

Las posiciones singulares suelen ser en el caso general dependientes de lageometría instantánea del manipulador, aunque es posible que éstas aparezcandebido a la propia morfología o arquitectura del robot, recibiendo el nombrede singularidades de arquitectura (Ma y Angeles, 1991).

El hecho de que las singularidades dependan de la geometría instantáneadel manipulador hace que los lugares geométricos de las singularidades tambiénsean función de esta. En concreto, en función del modo de trabajo en el quese encuentre el manipulador, las singularidades estarán localizadas en unoslugares u otros.

La creencia, digamos popular, decía que no es posible pasar de un modo deensamble de un robot paralelo, esto es, una solución del problema de posicióndirecto, a otro sin pasar por una singularidad. Sin embargo, en los últimostiempos esto está siendo objeto de un estudio muy exhaustivo, como muestrapor ejemplo las referencias (Innocenti y Parenti-Castelli, 1992; Wenger, 1997;McAree y Daniel, 1999), llegando a demostrarse lo erróneo de la aplicacióngeneral de esta suposición. El hecho de poder evitar estas posiciones singula-res hace que sea posible obtener espacios de trabajo libres de singularidadesmayores de lo que en principio cabría esperar.

2.6. Destreza y Manipulabilidad

Relacionado al tema de las singularidades, la destreza, la manipulabilidady el comportamiento que el manipulador es capaz de ofrecer en cada posiciónde su espacio de trabajo, son los que permitirán cuantificar lo adecuado delcomportamiento del manipulador.

El primer concepto de indicador que nos surge es el de cuantificar la cercaníao lejanía de la posición en la que se encuentra el manipulador en relación a unaposición singular, con objeto de evitar estar demasiado cerca de las mismas.Debido al hecho de que estas singularidades se encuentren relacionadas conla aparición de singularidades en las matrices jacobianas del mecanismo, lasimple evaluación de cualquier indicador de tipo meramente numérico, como eldeterminante de la matriz, su autovalor mínimo, su número de condición etc.,nos daría una medida de esta cercanía o lejanía.

Sin embargo, el hecho de que trabajemos con sistemas físicos, formados por

2.7. Precisión 39

mecanismos de unas determinadas dimensiones, hace que la simple evaluaciónnumérica de estos valores no sea un procedimiento totalmente adecuado. Enconcreto, es frecuente que los términos que aparecen en las diferentes matri-ces jacobianas del manipulador posean diferentes unidades, lo que haría quelos indicadores de singularidad numéricos que obtendríamos no tuvieran sen-tido físico alguno, perdiendo la invarianza que debería resultar de evaluar unindicador en diferentes robots de idéntica morfología y situados en una idénti-ca posición, pero de dimensiones proporcionales (Staffetti et al., 2002). Estosconceptos forman parte esencial de los contenidos desarrollados en esta TesisDoctoral, por lo que en el Capítulo 6 se profundizará más en este punto.

El concepto de manipulabilidad hace referencia a la capacidad del robotde desplazar/manipular un objeto de un lugar a otro empleando para ello unmínimo gasto. Desarrollada en la referencia (Yoshikawa, 1985), la manipulabi-lidad de un robot en una posición determinada viene definida por el volumende su elipsoide de velocidad, presentado por primera vez en la referencia (Salis-bury y Craig, 1982). Dicho elipsoide viene a representar la salida que el robotsería capaz de ofrecer una vez ha recibido como entrada cualquier combina-ción de movimientos en los actuadores. Evidentemente, a mayor volumen dedicho elipsoide, mayor será la capacidad de llevar un objeto de un lugar a otro.Las referencias (Melchiorri, 1993; Müller, 2003) añaden otros comentarios a losconceptos de manipulabilidad definidos por Yoshikawa.

La determinación de estos elipsoides de velocidad pasa nuevamente porlas matrices jacobianas del manipulador, poniéndose de manifiesto otra vez laposible incompatibilidad dimensional de los términos que en ellas aparecen.

El término destreza del manipulador se encuentra íntimamente relacionadoal concepto de isotropicidad, mostrado en las referencias (Klein y Miklos, 1991;Angeles, 1992; Angeles y López-Cajún, 1992; Zanganeh y Angeles, 1997; Fattahy Ghasemi, 2002). El término isotropicidad, aplicado a la figura de un robotmanipulador, hace referencia a la capacidad de ofrecer las mismas prestacionesen cualquiera de las direcciones de movimiento del robot. Sin embargo, el hechode que el manipulador pueda realizar habitualmente movimientos tanto derotación como de traslación hace que el concepto de físico de isotropicidad noquede ciertamente claro.

2.7. Precisión

Gracias a su estructura paralela, dotada de varias cadenas cinemáticas queunen una base fija con su elemento terminal, es posible conseguir la no am-


plificación sucesiva de los errores cometidos en los accionamientos, como en elcaso de los robots de estructura serie. Sin embargo, esto no hace que no exis-tan inconvenientes en el caso de los robots paralelos, inconvenientes que en lamayoría de los casos están causados por las inevitables imperfecciones en losprocesos de fabricación y montaje del robot.

En concreto, la presencia de holguras en el prototipo real de un robot pa-ralelo hace que, evidentemente, la precisión obtenida no sea la que en principiocabría esperar. Debido a esto, es necesario realizar ciertos estudios que permi-tan determinar la influencia de estas holguras en la precisión del robot, comomuestran por ejemplo las referencias (Venanzi y Parenti-Castelli, 2005; Menget al., 2007).

Otro aspecto relacionado con las imperfecciones de fabricación y montajees el hecho de que no se verifiquen exactamente las condiciones geométricas de,por ejemplo, paralelismos y perpendicularidades entre elementos, lo que haceque el modelo estudiado sea diferente al modelo real del manipulador. Estees un aspecto que toma bastante importancia en el caso de manipuladores conmovimientos teóricos desacoplados, en los que la cinemática del robot cambiaríaconsiderablemente considerablemente a consecuencia de estas imperfecciones(Jin y Chen, 2006).

2.8. Rigidez

Según hemos visto con las características cinemáticas del mecanismo, suscaracterísticas de rigidez son también variables con la posición del manipula-dor, tal y como muestra la referencia (Gosselin, 1990). Sin embargo, una vezdejamos de considerar el mecanismo como formado por sólidos rígidos y admi-timos la realidad de que los elementos que forman parte de él son flexibles, larigidez que podrá ofrecer el manipulador dependerá también de las dimensionessecundarias de los diferentes elementos y de los materiales que los componen.

Los primeros enfoques a considerar son aquellos basados en consideracionespuramente teóricas, como la propia referencia (Gosselin, 1990), o la mostradaen (Sanger et al., 2000). Sin embargo, estos enfoques teóricos no deben ser losúnicos admitidos, ya que lo que en verdad nos interesará conocer es la rigidezque poseerá un modelo real de manipulador. De este modo, la realización deestudios de modelos numéricos basados en el Método de los Elementos Finitoso la propia determinación experimental de la rigidez del manipulador serántambién aspectos fundamentales (Corradini et al., 2003; Majou et al., 2007).

2.9. Dinámica 41

2.9. Dinámica

El análisis del comportamiento dinámico es otro punto evidentemente ne-cesario para determinar lo adecuado o no de un manipulador paralelo. Sinembargo, este tema aparece en general poco referenciado en la literatura téc-nica, fundamentalmente debido a la complejidad que su análisis teórico posee.Sin embargo, esto no quiere decir que no se hayan realizado trabajos en estecampo.

Los enfoques más utilizados en el análisis dinámico de manipuladores para-lelos son quizás los basados en el principio de las potencias virtuales (Tsai, 2000;Zhu et al., 2005; Khali y Ibrahim, 2007), el empleo de la formulación lagran-giana clásica (Geike y McPhee, 2003) o el empleo de la formulación basada enlas ecuaciones de Newton-Euler (Codourey y Burdet, 1997; Wang et al., 2003),métodos a partir de los cuales es posible realizar el análisis dinámico inicialnecesario para definir el tipo de motores a utilizar.

Sin embargo, todos estos enfoques considerarían los elementos del manipu-lador como sólidos rígidos, lo que evidentemente está alejado de la realidad.Debido a esto, si se desea evaluar con más exactitud la respuesta dinámicadel manipulador, son necesarios análisis de dinámica estructural basados en elMétodo de los Elementos Finitos, como los mostrados en las referencias (Piraset al., 2005; Du et al., 2007).

2.10. Calibración

Uno de los puntos absolutamente necesarios para el éxito industrial de losrobots paralelos es el poder calibrarlos, de forma que se consiga la minimiza-ción de los errores cometidos en el posicionamiento del robot. Sin embargo,al contrario que en el caso de los robots serie, todavía falta el desarrollo deuna metodología adecuada que pueda ser aplicada de forma general para losdistintos tipos de manipuladores paralelos que se puedan llegar a emplear.

La calibración consiste en ajustar los parámetros que definen el modelodel manipulador de forma que se consigan minimizar los errores en el posicio-namiento del robot, tal y como muestran las referencias (Nahvi et al., 1994;Takeda et al., 2004; Daney et al., 2006), parámetros que debido a las imperfec-ciones en la fabricación y el montaje tendrán un valor diferente al inicialmentesupuesto y de ningún modo conocido. El hecho de que los problemas de posiciónno se resuelvan de una forma sistemática y siempre de idéntica manera haceque no parezca posible el definir un procedimiento de calibración completa-


mente general. Sin embargo, este campo está en continua evolución, tal y comomuestran las referencias (Daney y Emiris, 2004; Verner et al., 2005), y proce-dimientos como la autocalibración son de un gran interés para gran número deinvestigadores (Zhuang, 1997; Yang et al., 2001, 2002).

2.11. Metodología de Diseño de Robots Paralelos

Uno de los principales hándicaps que los manipuladores paralelos poseen esposiblemente la falta de una metodología de diseño bien definida, que establezcalas diferentes etapas que es necesario ir pasando para la realización de un diseñocompletamente adecuado y deje poco lugar a la improvisación. En concreto, elgrupo CompMech al cual pertenezco viene trabajando en estos últimos añosen la definición de una metodología de este tipo, compuesta por las siguientesfases:

1. Es necesario definir en la fase inicial los requisitos de funcionamiento queha de cumplir el manipulador efectuando una determinada aplicación,junto con las especificaciones que un cliente industrial desearía.

2. A continuación se han de traducir estos requisitos de funcionamiento encaracterísticas geométricas, cinemáticas, resistentes y dinámicas del ma-nipulador, como puede ser el volumen ocupado, el espacio de trabajo quedebe poseer, el tipo de movimientos que debe ser capaz de realizar juntocon sus velocidades y aceleraciones máximas, la rigidez que ha de ofrecery su capacidad de carga, la precisión deseada, y las cargas dinámicas queha de soportar junto a sus frecuencias de excitación, las cuales influyen ensu régimen de trabajo afectando al control y por tanto a los actuadores.

3. Tras esto se debe realizar la síntesis morfológica del manipulador, la cualpermitirá determinar su estructura cinemática, es decir, el número y tipode elementos, pares cinemáticos y cadenas cinemáticas que lo componen,que permitirán al manipulador moverse de la forma deseada. A su vezesta fase poseerá 4 subfases diferentes:

a) Definir las diferentes cadenas cinemáticas que se pueden emplearpara generar determinados movimientos en el elemento terminal.

b) Obtener todas las posibles arquitecturas de manipuladores que se-rían capaces de generar los movimientos requeridos por la aplicacióna partir de las diferentes opciones surgidas en el paso anterior.

2.11. Metodología de Diseño de Robots Paralelos 43

c) Seleccionar de entre todas las arquitecturas planteadas, las alterna-tivas que a juicio del diseñador sean más prometedoras mediante losanálisis de destreza y manipulabilidad usuales, y teniendo en cuen-ta aspectos tan variados como la sencillez de fabricación, el ofreceruna solución una mayor rigidez que otra, conseguir disminuir el ro-zamiento y el desgaste en las articulaciones, disminuir los costes,etc.

Además, los pasos anteriores deben introducir la posibilidad de com-binar el movimiento de un manipulador con el de mesas de trabajomóviles, ya sean de traslación o rotación, o incluso otros robots, conobjeto de poder obtener una cinemática desacoplada de una mayorsencillez.

4. Una vez definida la arquitectura tipo del manipulador se debe pasar a lasíntesis dimensional del mismo, la cual consiste en determinar sus dimen-siones principales, es decir, las que definen su geometría esencial. Estasdimensiones principales son las variables de diseño que deberán ser de-terminadas mediante procesos de optimización dimensional, obteniéndoselos valores de las mismas que permitan obtener los mejores valores paraunos requisitos determinados, como pueden ser la maximización del es-pacio de trabajo del manipulador o la minimización de las singularidadesque hagan perder el control de su movimiento.

5. La aparición de interferencias entre los distintos elementos del manipu-lador debe ser determinada con objeto de definir con la mayor exactitudlas zonas que éste puede alcanzar físicamente.

6. A continuación se debe proceder a la realización de los análisis estático,dinámico y vibratorio, con objeto de obtener las dimensiones secundariasdel manipulador, aquellas que restan por determinar y que, junto conlas principales, lo definen completamente: los espesores, la anchura, yen general, las formas geométricas menores de los elementos del robot.La realización de estos análisis teórico-experimentales se divide en lassiguientes subfases:

a) Realización de un dimensionamiento inicial.b) Obtención de los mapas de rigidez para las distintas configuraciones

del manipulador dentro del espacio de trabajo.


c) Ajuste de las dimensiones secundarias a los mapas de rigidez obte-nidos.

d) Resolución del problema dinámico inverso, con objeto de dimen-sionar los accionamientos, elementos y juntas mecánicas que sonnecesarios para verificar los requisitos de funcionamiento impuestos.

e) Obtención de la evolución de las frecuencias más bajas del manipu-lador en el interior de los espacios de trabajo y de los mapas de suscorrespondientes modos de vibración, con objeto de analizar posiblesresonancias dependiendo de las frecuencias de excitación actuantesen la plataforma, así como la posición de los puntos de interés delmanipulador en relación con los valles y nodos de los modos.

f ) Establecer medidas para rigidizar y/o amortiguar zonas del mani-pulador, caso de que lo aconsejen los anteriores mapas. Para lo quese contemplará la aplicación de diversas técnicas de amortiguacióno absorsores.

7. Como paso final, se ha de realizar la comprobación experimental del co-rrecto funcionamiento del manipulador, verificando el correcto cumpli-miento de todos los requisitos y especificaciones impuestos.

Resulta evidente que éste es un proceso iterativo en el que sucesivas mo-dificaciones y subsiguientes verificaciones llevarán a la definición completa delmanipulador.

2.12. Temática y Estructura de la Tesis

Haciendo ya referencia a la Tesis Doctoral, ésta presentará diferentes desa-rrollos y estudios realizados dentro de la metodología de diseño de robots pa-ralelos mostrada en el apartado anterior. En concreto, estos desarrollos haránreferencia a las etapas iniciales del mismo, centrado en los puntos 1, 2, 3 y 4.

Una vez definidos el tipo de aplicación y movimientos que serían necesariospara la realización de la misma (puntos 1 y 2 de la metodología de diseño), sepresentará un estudio completo de la síntesis morfológica de manipuladores debaja movilidad, centrada en la definición de las diferentes cadenas cinemáticascapaces de generar un movimiento determinado en su elemento terminal y laforma de ser combinadas para obtener un movimiento específico. En concreto,dentro del amplio abanico de posibilidades existentes dentro de los manipula-dores paralelos de baja movilidad, la Tesis Doctoral se centrará en la obtenciónde nuevas arquitecturas de robots dotados de movimiento Schönflies.

2.12. Temática y Estructura de la Tesis 45

El análisis cinemático de las diferentes posibilidades obtenidas a partir delproceso de síntesis morfológica comprenderá gran parte de la temática abarca-da por esta Tesis Doctoral. En concreto, se presenta el desarrollo completo deun nuevo procedimiento para el análisis cinemático de mecanismos de arquitec-tura general basado en una formulación jacobiana adimensional, en el que setratan prácticamente todos los puntos dignos de interés para el diseño de nue-vas arquitecturas de manipuladores: análisis de velocidades y singularidades,determinación de las capacidades de movimiento instantáneas que puede ofre-cer un manipulador, análisis de aceleraciones, análisis estático, determinaciónde diferentes valores que definan el comportamiento del robot, etc. Esto se haimplementado en un software específico, desarrollado como una herramientade apoyo al diseño de manipuladores, mediante el cual poder determinar deforma rápida y sencilla cuáles son las mejores arquitecturas para la realizaciónde un determinado tipo de operación dentro de las posibilidades desarrolladasa partir de un proceso de síntesis.

La elaboración de este nuevo procedimiento tiene dos objetivos claramentedefinidos: obtener un método de total generalidad, capaz de analizar de formaidéntica cualquier tipo de mecanismo y evitar los inconvenientes dimensionalesque la formulación jacobiana tradicional posee.

Sin embargo, los análisis cinemáticos realizados de forma tradicional tam-bién forman parte de la temática tratada en esta Tesis Doctoral. En concreto,se presentan los desarrollos teóricos de dos nuevas arquitecturas de robots pa-ralelos de 4 GDL con movimiento Schönflies, tratando temas como la resoluciónde los problemas de posición, la realización del análisis de velocidades y sin-gularidades a partir de la ecuación de velocidad en su forma más habitual,finalizados con diferentes procedimientos para la definición de los diseños másóptimos de los mismos.

La presente Tesis doctoral estará dividida en las siguientes partes bien di-ferenciadas:

Esta primera parte se ha centrado en la presentación de los antecedentes,nociones previas y estado del arte en diferentes aspectos generales relacionadoscon el ámbito de los manipuladores paralelos de baja movilidad, divididos endos capítulos iniciales.

La segunda parte se centra en el desarrollo del procedimiento de síntesismorfológica de manipuladores paralelos de baja movilidad, dividido en 3 capí-tulos. El Capítulo 3 presenta una revisión de los diferentes procedimientos quese pueden emplear en la síntesis de nuevas arquitecturas de robots paralelos,entre las que se destacan el empleo de la Screw Theory y la Teoría de Gruposde Desplazamientos, presentando sus conceptos básicos. El Capítulo 4 está en-


focado a la definición y materialización de las ligaduras cinemáticas capaces degenerar un movimiento determinado en el elemento terminal del manipulador,desde las ligaduras de dimensión 1 a las de dimensión 5. El Capítulo 5 pre-senta el procedimiento de síntesis de manipuladores paralelos con movimientoSchönflies, obteniendo diferentes arquitecturas que pueden ser estudiadas paradeterminar la idoneidad en su aplicación en determinado tipo de operaciones.

La tercera parte presenta el desarrollo completo de una nueva formulaciónjacobiana basada en puntos para el análisis cinemático de manipuladores demorfología general, dividida en 7 capítulos. El Capítulo 6 presenta el ámbitode aplicación del procedimiento, junto con los diferentes inconvenientes que laformulación tradicional presenta y que esta nueva formulación pretende solu-cionar. El Capítulo 7 se adentra en el tipo de restricciones que se aplican en lamodelización del manipulador que se desea estudiar. El Capítulo 8 presenta elprocedimiento de modelización mediante el cual el mecanismo queda definidoa partir de un conjunto de puntos característicos, lo que permite obtener unaecuación de velocidad representada por una matriz jacobiana adimensional.Tras esto, los Capítulos 9 y 10 se centran en el análisis del movimiento instan-táneo que el manipulador puede realizar en las diferentes posiciones analizadas.En concreto, el Capítulo 9 presenta el concepto esencial de espacio del movi-miento, el cual permitir realizar el análisis de velocidades y aceleraciones de unrobot manipulador de arquitectura cualquiera empleando un mismo procedi-miento. Por otro lado, el Capítulo 10 se centra en la realización de un análisisexhaustivo del movimiento que el manipulador es capaz de generar en su ele-mento terminal en una posición cualquiera de su espacio de trabajo, singular ono, presentando además una clasificación alternativa de dichas posibilidades demovimiento. El Capítulo 11 se centra en el análisis estático de un manipuladorde arquitectura cualquiera, incluyendo la deducción de la expresión de trans-misión estática de esfuerzos y la determinación de las capacidades estáticasque el manipulador es capaz de ofrecer, estando en todo momento presente ladualidad existente entre el análisis de velocidades y el análisis estático.

Finalmente, el Capítulo 12 presenta el procedimiento de análisis de singu-laridades que se deduce a partir de la formulación anteriormente presentada.Dicho análisis de singularidades incluye una clasificación de las mismas dife-rente a la clasificación tradicional, junto con la determinación de diferentesindicadores numéricos que permiten la detección de las mismas.

La cuarta parte presenta el desarrollo teórico de un robot paralelo de 4GDL con movimiento de tipo Schönflies destinado a la realización de opera-ciones sobre superficies de perfiles aeronáuticos. El Capítulo 13 se centra en ladescripción de la arquitectura del manipulador y la definición de los conceptos

2.12. Temática y Estructura de la Tesis 47

necesarios para entender su cinemática. Los Capítulos 14 y 15 desarrollan susproblemas de posición directo e inverso, mientras el Capítulo 16 muestra los ne-cesarios análisis de velocidades y singularidades empleando los procedimientostradicionales de análisis. Finalmente, el Capítulo 17 muestra las consideracionesrealizadas para la definición y fabricación de un prototipo de esta arquitecturade manipulador.

La quinta parte presenta el desarrollo teórico de un robot paralelo de 4GDL con movimiento de tipo SCARA, destinado a la realización de operacio-nes de pick & place a alta velocidad. El Capítulo 18 muestra la descripciónde la arquitectura de manipulador elegida para la realización de estas opera-ciones, incluyendo unas breves consideraciones que explican cómo se genera elmovimiento en su elemento terminal. El Capítulo 19 desarrolla los problemasde posición directo e inverso del manipulador, destacando el hecho de que seaposible obtener la resolución en forma cerrada del problema directo gracias ala simplicidad de su geometría. El Capítulo 20 muestra los análisis de velocida-des y singularidades, incluyendo diferentes consideraciones relacionadas sobrela idoneidad del robot en aplicaciones de pick & place. El Capítulo 21 presentala realización de un proceso de optimización multiobjetivo destinado a la ob-tención de las dimensiones principales del manipulador con las que realizar eldiseño final de un prototipo del mismo. Finalmente, el Capítulo 22 muestra ladescripción del prototipo resultante del manipulador.

La sexta parte presenta finalmente las contribuciones de la Tesis Doctoral,así como sus conclusiones y el planteamiento de diferentes líneas futuras deinvestigación que pudieran derivarse de la misma.

Parte II

Síntesis Morfológica deManipuladores Paralelos de BajaMovilidad

49

3

Teorías Clásicas para la SíntesisMorfológica de RobotsManipuladores

3.1. Introducción

La síntesis morfológica tiene por objetivo determinar cuáles han de ser lascadenas cinemáticas que constituyen un manipulador, con el objeto de quesu elemento terminal o plataforma móvil sea capaz de generar el movimientodeseado para la aplicación a la que se va a destinar.

Las ventajas en términos de precisión, rigidez y relación carga-peso queposeen los manipuladores paralelos sobre los manipuladores serie crearon unasgrandes expectativas de éxito en su utilización en aplicaciones industriales.Sin embargo, dichas ventajas no pudieron superar a los inconvenientes que losmanipuladores paralelos poseen: una compleja resolución de los problemas deposición que complicaban aún más si cabe su control en tiempo real, un espaciode trabajo muy reducido y una elevada complejidad mecánica, debido a estarcompuestos éstos de una gran cantidad de elementos.

El término de manipulador paralelo se encuentra frecuentemente ligado altérmino hexápodo, debido a la plataforma paralela de 6 GDL Gough-Stewart,quizás el manipulador paralelo más conocido, compuesto por seis cadenas ci-nemáticas que unen su plataforma móvil con una base fija. El hecho de quelos hexápodos fuesen utilizados masivamente en aplicaciones poco adecuadas

51

52 Teorías Clásicas para la Síntesis Morfológica de Robots Manipuladores

para ellos hizo que la industria se siguiese decantando por el empleo de ma-nipuladores de estructura serie o cartesiana que, a pesar de sus desventajas,cumplía perfectamente los requisitos. Un claro ejemplo de mal empleo se puedeencontrar en la utilización manipuladores paralelos de 6 GDL en máquina-herramienta, cuando en esta aplicación únicamente son necesarios 5 GDL1 pa-ra el posicionamiento de la herramienta. El hecho de emplear un número deGDL superior al estrictamente necesario, a pesar de dotar al manipulador deuna mayor versatilidad en su operación que podría ser considerada ventajosa,conlleva una complejidad añadida al manipulador, elevando los costes de lasdistintas fases de diseño y de su producción.

De este modo, el concepto que debe prevalecer es el de adecuar la morfo-logía de manipulador a emplear a los requisitos que impone la aplicación a laque va a ser destinado. Existe una gran variedad de aplicaciones en las queno es necesario emplear manipuladores de 6 GDL. Algunas de ellas requierenúnicamente 3, como es el caso de los manipuladores paralelos traslacionales, ca-paces de realizar movimientos de traslación en cualquier dirección del espacio,empleados en operaciones de manipulación automatizada o de pick & place; omanipuladores paralelos esféricos, capaces de realizar rotaciones alrededor deejes que siempre se cortan en un punto, con la particularidad de que todos lospuntos del elemento terminal del manipulador describen trayectorias dentrode superficies esféricas concéntricas, empleados en sistemas de orientación. Sinembargo, además de los anteriormente citados, existen otras aplicaciones querequieren 4 ó 5 GDL, tales como sistemas de montaje automatizados, operacio-nes de mecanizado de cinco ejes, operaciones de taladrado, y remachado sobreperfiles aeronáuticos.

Es dentro de este ámbito de aplicaciones donde se sitúa el concepto de ma-nipulador paralelo de baja movilidad (Huang y Li, 2002; Joshi y Tsai, 2002)2,definido en el apartado 2.2, el cual agrupa bajo un mismo término todos losmanipuladores paralelos de menos de 6 GDL. A pesar de que pudiera parecerlo contrario, el análisis y diseño de este tipo de manipuladores es generalmentede una mayor complejidad a la de los manipuladores de 6 GDL, tal vez excep-tuando los manipuladores traslacionales o esféricos anteriormente nombrados.El hecho de que el elemento terminal del manipulador posea menos de 6 GDLexige conocer exhaustivamente cuál es su movilidad en cada instante y si éstase adecua a los requisitos impuestos por la aplicación, ya que la movilidad del

1En concreto, la capacidad de realizar tres movimientos de traslación y dos de rotaciónindependientes.

2En terminología inglesa lower mobility o limited DOF parallel manipulators.

3.1. Introducción 53

manipulador es función de la posición y orientación relativa de los diferenteselementos que lo componen.

Por ejemplo, un manipulador paralelo de 6 GDL es capaz de trasladar yorientar su elemento terminal en cualquier dirección y orientación en el interiorde su espacio de trabajo. El hecho de poseer un número inferior de GDL suponela imposibilidad de trasladar u orientar su elemento plataforma en cualquierdirección de forma arbitraria. De este modo, en el caso de manipuladores pa-ralelos de cinco ejes 3T2R es imposible mantener en cualquier posición los 2GDL de rotación en direcciones constantes, por lo que será necesario conoceren cada instante cuáles serán estas direcciones.

Todo esto hace que este tipo de manipuladores requieran la realización deun importante esfuerzo en las primeras fases de diseño, siendo fundamental unacuidadosa síntesis morfológica que permita obtener la movilidad buscada. Enlos últimos tiempos se ha realizado un esfuerzo importante en la síntesis morfo-lógica de manipuladores paralelos de baja movilidad. Dos métodos son los másfrecuentemente utilizados: por un lado la síntesis basada en la Screw Theory,y por otro el que se sustenta en la Teoría de Grupos de Desplazamientos.

La Screw Theory, cuyas fundamentos teóricos pueden encontrarse en la re-ferencia (Ball, 1900), es una poderosa herramienta en el ámbito de la MecánicaClásica. Fundamentalmente basada en conceptos puramente analíticos, ha sidoaplicada con éxito en la síntesis morfológica de diferentes tipos de manipula-dores. La idea principal de los métodos basados en la Screw Theory es la de,una vez conocido cuál ha de ser el movimiento del elemento terminal del ma-nipulador, exigir qué restricciones, esto es, qué fuerzas y qué momentos, hande ser impuestos por las diferentes cadenas cinemáticas unidas a él con objetode limitar su movimiento al exigido3. Existen numerosas publicaciones en estecampo:

Un primer acercamiento a la síntesis morfológica de manipuladores, fuela clasificación presentada en la referencia (Hunt, 1983) sobre la movi-lidad que le van otorgando al elemento terminal cada uno de los parescinemáticos que lo une con una base fija, clasificación realizada en basea los screw systems que generan dichos pares.

Tsai nos presenta en su referencia (Tsai, 1998b) una enumeración de dife-rentes morfologías de manipuladores paralelos, particularizando en (Fangy Tsai, 2002) diferentes tipos de manipuladores paralelos con cadenas ci-nemáticas idénticas.

3Según algunos autores, esto es denominado como el Constraint Synthesis Method.


Más cercanos a nuestros días, en las referencias (Kong y Gosselin, 2004a),(Kong y Gosselin, 2004d) y (Fang y Tsai, 2004) podemos encontrar elmétodo aplicado en la síntesis de diferentes morfologías de manipuladoresparalelos esféricos.

En las referencias (Kong y Gosselin, 2002a), (Callegari y Tarantini, 2003),(Carricato y Parenti-Castelli, 2003b) y (Kong y Gosselin, 2004b) encon-tramos un idéntico razonamiento para el caso de manipuladores paralelostraslacionales.

Ya en el ámbito de manipuladores paralelos de 4 GDL existen diferentestrabajos realizados. Centrados en la síntesis de manipuladores de mani-puladores 3T1R las diferentes posibilidades que permiten obtener estedesplazamiento se pueden encontrar en la referencia (Kong y Gosselin,2004c), mientras que en el artículo (Carricato, 2005) las diferentes posi-bilidades de obtener un manipulador paralelo isotrópico son presentadas.Quizá de un menor interés para el ámbito en que se centra esta Tesis, en(Kong y Gosselin, 2005) se realiza la síntesis morfológica de manipulado-res paralelos de 4 GDL con un patrón de movimiento 1T3R.

Fruto de sus desarrollos en este campo, Kong y Gosselin recopilaron en sulibro (Kong y Gosselin, 2007) sus trabajos hechos en la síntesis de manipu-ladores paralelos. Una de sus aportaciones más destables es la utilizacióndel concepto de cadena virtual, empleado con objeto de facilitar la síntesisde este tipo de mecanismos.

Obtenidas a partir del empleo de la Teoría de Grupos y la Screw Theory,las referencias (Li et al., 2004; Zhu y Huang, 2007) muestran diferentesarquitecturas de manipuladores completamente paralelos con movimiento3R2T.

Otras opciones están basadas en la Teoría de Grupos de Desplazamientos,que permite dar un tratamiento más conceptual a la síntesis morfológica demecanismos y manipuladores. Dicho de una forma simple y quizás no com-pletamente exacta, este enfoque tiene por finalidad el obtener el movimientode salida deseado en un determinado elemento del manipulador, como puedeser su elemento terminal. Dicho movimiento, el cual podrá presentar una ma-yor o menor complejidad, es generado a partir de movimientos más simplesy materializados por la combinación de diferentes pares cinemáticos. Dichosmovimientos más simples, dotados de unas características matemáticas pecu-liares, permiten determinar el movimiento terminal generado, no de naturaleza


infinitesimal como podría proporcionar el enfoque basado en la Screw Theory,sino con una justificación rigurosa de ser un movimiento finito.

Aparte de la Screw Theory y la Teoría de Grupos de Desplazamientos,recientemente ha aparecido un nuevo enfoque empleado en la síntesis de ma-nipuladores paralelos de baja movilidad, la Teoría de las TransformacionesLineales, basada en los trabajos publicados por el profesor G. Gogu (Gogu,2004c, 2005, 2006b,c). Dicha teoría se basa en la obtención de manipulado-res paralelos con unas capacidades de movimiento que permitan definir unaecuación de velocidad de una forma determinada, a partir de la búsqueda sis-temática de las diferentes combinaciones de cadenas cinemáticas que generaríandicha ecuación de velocidad. Además de estas teorías, en la bibliografía tambiénaparecen otros enfoques diferentes a los hasta ahora expuestos, como puede serel mostrado en la referencia (Zhao et al., 2002).

Aunque quizás no esté estrictamente relacionado con la síntesis morfológica,un aspecto de gran importancia es qué cadenas cinemáticas son las más ade-cuadas desde un punto de vista práctico para obtener el movimiento de salidadeseado. En este punto podemos situar la referencia (Liu y Wang, 2003), dondese presentan diferentes tipos de cadenas cinemáticas basadas en la estructuraparalelogramo articulado. Por un lado, es obvio que este tipo de cadenas ci-nemáticas poseen una rigidez más elevada que la que poseerían las cadenascinemáticas generadas por los pares cinemáticos inferiores más habituales. Porotro lado, el hecho de complementar la cadena cinemática paralelogramo arti-culado con pares de rotación permite obtener una capacidad de rotación máselevada en el elemento terminal del manipulador que la que presentarían otrosdiseños en los que fuesen empleados juntas universales. En la referencia (Gaoet al., 2002) se presentan diferentes arquitecturas de manipuladores paralelosde dos a cinco GDL, basados en este tipo de cadenas cinemáticas.

El ámbito de la síntesis de manipuladores paralelos es un campo muy am-plio. En concreto, el trabajo aquí realizado se centra en el diseño de manipula-dores de baja movilidad de 4 GDL 3T1R, capaces de realizar 3 traslaciones endirecciones independientes y 1 rotación. Más aún, la dirección de esta rotaciónno será una dirección cualquiera y variable, sino que será una dirección prefi-jada que verifique los requisitos de movimiento que se le exigirán al elementoplataforma. Este tipo de movimiento, de 3 traslaciones y 1 giro en una direc-ción concreta, se denomina movimiento Schönflies. El desarrollo de la síntesismorfológica del manipulador se realizará empleando la Teoría de Grupos deDesplazamientos.


3.2. Teoría de Grupos de Desplazamientos

La Teoría de Grupos de Desplazamientos se basa en emplear las propie-dades matemáticas de Grupo de Lie de los desplazamientos de sólido rígidopara expresar la cinemática del sólido rígido, no sólo de forma instantánea sinotambién finita, según queda patente en la referencia (Selig, 2003), o en el li-bro del mismo autor (Selig, 2005). Sin embargo, estos conceptos puramentematemáticos no fueron introducidos en el ámbito de la síntesis morfológica demecanismos hasta los primeros trabajos de J. Hervé (Hervé, 1978). El augede la Screw Theory hizo que los trabajos basados en esta temática quedasenprácticamente reducidos a los de este autor, introduciendo en las referencias(Hervé, 1982; Fanghella, 1988; Hervé, 1994, 1999, 2003) cuestiones sobre susfundamentos teóricos. Sin embargo, tras retomar J. Ángeles estos trabajos, co-mo muestran las referencias (Angeles, 2004, 2005), esta teoría parece tomarun nuevo protagonismo en este campo. Otros estudios en los que esta teoríase aplica en la síntesis de manipuladores paralelos se pueden encontrar en lassiguientes referencias. En (Hervé y Sparacino, 1991) esta teoría es empleada enla síntesis de manipuladores paralelos de traslación, siendo los robots STAR(Hervé y Sparacino, 1992), Y-STAR y H-Robot (Sparacino y Hervé, 1993) al-guno de sus principales exponentes; en (Li y Huang, 2003) se presenta unafamilia de manipuladores paralelos de baja movilidad de 3, 4 y 5 GDL. En(Company et al., 2003) la Teoría de Grupos de Desplazamiento es utilizadabrevemente para justificar la movilidad del manipulador paralelo H4. Las re-ferencias (Huynh y Hervé, 2003; Liu et al., 2003; Huynh y Hervé, 2005; Lee yHervé, 2005) muestran la aplicación de esta teoría a la síntesis de diferentestipos de manipuladores paralelos de baja movilidad. Una referencia reciente ymuy extensa de los diferentes aspectos y nociones de esta teoría en la referencia(Meng et al., 2007).

Sin embargo, la síntesis morfológica de manipuladores no es la única apli-cación de la Teoría de Grupos al campo de los mecanismos. En los últimosaños, esta teoría ha sido empleada de forma bastante frecuente en la determi-nación de la movilidad de mecanismos de diferente morfología, como muestranlas referencias (Rico et al., 2003; Rico y Ravani, 2003; Rico et al., 2006).

3.2.1. Estructura de Grupo de Lie

En el ámbito matemático, un grupo de Lie4 (Hall, 2004) se define como:

4Nombrado así en honor a su creador, el matemático noruego Sophus Lie (1842-1899).

3.2. Teoría de Grupos de Desplazamientos 57

Definición 3.2.1 (Grupo de Lie)Se define así a una variedad diferenciable analítica, real o compleja, que poseeademás la estructura de grupo.

Para aclarar conceptos, una variedad queda definida como el objeto geomé-trico estándar en la terminología matemática, que generaliza la noción intuitivade superficie a cualquier dimensión y sobre cuerpos variados (y no forzosamen-te el de los reales). Al añadir el concepto de diferenciables se está asumiendoque dichas superficies son lisas, por lo que no presentan puntos angulosos y,por tanto, es posible definir en cualquier punto de ellas vectores (o planos)tangentes. Para completar la terminología, un grupo queda definido como laestructura algebraica formada por un conjunto de elementos K sobre los cualesse ha definido una operación binaria ” ∗ ”:

K ∗K −→ K

que satisface las siguientes propiedades:

Operación interna: Todo nuevo elemento obtenido a partir de otros dosha de estar incluido necesariamente en el conjunto inicial.

∀f, g ∈ K f ∗ g = h⇒ h ∈ K

Propiedad asociativa.

∀f, g, h ∈ K f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h

Elemento neutro que, además, es además único.

∃e ∈ K f ∗ e = e ∗ f = f

Elemento inverso que, además, es único.

∀f ∈ K ∃g ∈ K f ∗ g = g ∗ f = e

A partir de esta definición se puede observar que, por ejemplo, el conjuntode matrices reales cuadradas de orden n invertibles poseen la estructura degrupo, siendo el producto matricial usual su operación interna asociada. Estegrupo es denominado grupo lineal general GL (n; R).


3.2.2. Fundamentos BásicosLos fundamentos básicos de la Teoría de Grupos de Desplazamientos están

íntimamente ligados a la forma en la que se ha de describir un desplazamientoentre dos determinadas configuraciones de un sólido rígido. Dicho desplaza-miento puede ser descrito a partir del Teorema de Chasles:

Teorema 3.2.2 (Teorema deChasles)Dadas dos posiciones distintas de un sólido, siempre se puede pasar de una aotra aplicando una traslación seguida de un giro de infinitas formas posibles.Entre ellas hay una en la que el eje de rotación es paralelo a la traslación, porlo que el desplazamiento resultante es de tipo helicoidal o de screw.

Por tanto, dado un sólido rígido en el espacio, se puede describir el despla-zamiento de dicho sólido de una posición a otra, sabiendo que ha de verificarsela condición de sólido rígido entre todos y cada uno de sus puntos:

Teorema 3.2.3Todos los puntos que han sido afectados por el desplazamiento del sólido debentener las mismas coordenadas en el sistema ligado al sólido en la posicióndesplazada y en la posición original.

De este modo, un desplazamiento de sólido rígido puede ser definido des-cribiendo la transformación de coordenadas que sufre un sistema de referencialigado al sólido. Todo desplazamiento general de sólido rígido puede ser expre-sado como

jr = jiR

ir + jid (3.1)

donde jiR es la matriz de rotación, de dimensión 3 × 3, que relaciona las

orientaciones del sistema de referencia i con el sistema de referencia j, y jid es

el vector de traslación del origen de sistema de referencia (Hernández, 2004).Sin embargo, la relación (3.1) de transformación entre las coordenadas de

los sistemas de referencia i y j (Fig. 3.1) puede ser también expresada de lasiguiente forma: [

jr1

]=[jiR

jid

0T 1

] [ir1

](3.2)

Denominando jiT a la matriz de transformación homogénea de dimensión

4× 4 que aparece en la expresión (3.2)

jiT =

[jiR

jid

0T 1

](3.3)


jid

Xj Yj

Zj

Xi

Yi

Zi

O

Figura 3.1: Transformación de coordenadas

cualquier desplazamiento de sólido rígido puede ser expresado como[jr1

]= jiT[ir1

](3.4)

Se pueden establecer diferentes subcasos particulares de desplazamientos desólido rígido, como puede ser el desplazamiento de traslación en la direccióndel vector jid, cuya matriz de transformación asociada queda definida como

jiT =

[I j

id0T 1

](3.5)

siendo la matriz I la matriz identidad o, de forma análoga, en el caso de undesplazamiento de rotación pura alrededor del origen de coordenadas su matrizde transformación asociada queda definida como

jiT =

[jiR 00T 1

](3.6)

De este modo, el caso general de desplazamiento de traslación y rotación si-multáneas puede ser descompuesto en un desplazamiento de rotación alrededorde la posición del origen del sistema de referencia seguido de un desplazamientode traslación pura definido por jid:

jiT =

[jiR

jid

0T 1

]=[

I jid

0T 1

] [jiR 00T 1

](3.7)

El hecho de que un sólido rígido se vea sometido a una serie de desplaza-mientos de forma sucesiva se describe matemáticamente mediante el producto


matricial de las diferentes matrices de transformación que permiten obtenerla orientación del sistema de coordenadas y la posición de su origen, lo quees denominado como regla de la cadena. De este modo, el desplazamiento desólido rígido en el que su sistema de referencia asociado pasa de su posición yorientación i a la posición y orientación m, a través de los estados intermediosj, k y l queda descrito mediante la matriz de transformación m

i T:

mi T = m

l T lkT k

jTjiT (3.8)

El desplazamiento inverso, esto es, el desplazamiento que devuelve al sólidorígido a su posición tras un desplazamiento de i a j, se puede definir como[

ir1

]= ijT[jr1

](3.9)

Sustituyendo la expresión (3.4) en (3.9)[ir1

]= ijT

jiT[ir1

](3.10)

es inmediato llegar a la conclusión queijT

jiT = I (3.11)

Desarrollando la expresión anterior[ijR i

jd0T 1

] [jiR

jid

0T 1

]=[ijR

jiR i

jRjid + i

jd0T 1

]=[

I 00T 1

](3.12)

y teniendo en cuenta la ortogonalidad de la matriz de rotaciónjiR

jiR

T = I (3.13)

es necesario que se verifiquen las siguientes expresiones:ijR

jiR = I⇒ i

jR = jiR−1 = j

iRT (3.14)

ijR

jid + i

jd = 0⇒ ijd = −ijR

jid = −jiR

T jid (3.15)

De este modo, la matriz de transformación homogénea asociada al despla-zamiento inverso i

jT queda definida como

ijT = j

iT−1 =

[ijR i

jd0T 1

]=[jiRT −jiRT j

id0T 1

](3.16)


Esto demuestra matemáticamente, para cualquier desplazamiento de sólidorígido, la existencia de su desplazamiento inverso.

Los desarrollos antes mostrados nos permiten llegar a la conclusión de quelas matrices de transformación asociadas a los desplazamientos de sólido rígidoestán incluidas en el grupo matricial general lineal GL (4; R), con lo que losdesplazamientos de sólido rígido presentan a su vez la estructura algebraica degrupo. En concreto, al conjunto de matrices de la forma

T =[R d0T 1

](3.17)

se denomina grupo matricial especial euclídeo SE (3), de gran importancia enrobótica. El grupo especial euclídeo SE (3) es, por tanto, un subgrupo del grupogeneral lineal GL (4; R).

En el caso de las matrices de transformación, el hecho de que este subgruposea además diferenciable tiene su propio sentido físico. Derivando respecto deltiempo la expresión (3.1) se puede plantear la siguiente relación (Angeles, 2007):

j r = ji R

ir + jiR

ir + ji d (3.18)

A partir de la hipótesis de sólido rígido es inmediato deducir queir = 0 (3.19)

por lo que la relación (3.18) queda reducida aj r = j

i Rir + j

i d (3.20)

Esto hace que sea posible replantear la relación (3.20) de la siguiente ma-nera: [

j r1

]=[ji R

ji d

0T 0

] [ir1

](3.21)

La expresión (3.21) representa la ecuación de campo de velocidades. Unaforma más común de ver esta ecuación se obtiene despejando el vector ir apartir de la expresión (3.1)

ir = jiR

T(jr− j

id)

(3.22)

con lo que la relación (3.20) puede expresarse como

j r = ji R

jiR

T(jr− j

id)

+ ji d

j r = jiΩ(jr− j

id)

+ ji d

(3.23)


donde jiΩ es la matriz que define la velocidad angular que el sistema de re-

ferencia ligado al sólido rígido experimenta en su desplazamiento, mientras elvector ji d define la velocidad lineal del origen del sistema de referencia.

Además, recordando que la matriz de rotación jiR es una matriz ortogo-

nal (3.13), podemos llegar a la conclusión de que la matriz jiΩ es una matriz

antisimétrica:ji R

jiR

T + jiR

ji R

T = O (3.24)

jiΩ = j

i RjiR

T = −jiRji R

T = −(ji R

jiR

T)T

= −jiΩT (3.25)

Por tanto, se puede afirmar que el espacio de desplazamientos de sólidorígido, a partir de ahora denominado D, representado por la matriz de trans-formación homogénea T, posee las características matemáticas de un grupode Lie continuo de dimensión 6, los seis parámetros linealmente independien-tes necesarios para definir completamente cualquier desplazamiento de sólidorígido.

3.3. Grupo de Lie de los Desplazamientos de SólidoRígido

De este modo, la estructura de grupo que posee el espacio de desplazamien-tos de sólido rígido D definido por medio del grupo matricial SE (3), tal ycomo se mostró en el apartado 3.2.1, debe verificar las siguientes propiedadespara ser considerado como tal:

1. Operación Interna. La realización de dos desplazamientos de sólido rígidoconsecutivamente es nuevamente un desplazamiento de sólido rígido. Estaoperación vendrá definida mediante el operador producto ”·” de las ma-trices homogéneas de transformación asociadas a cada desplazamiento.Todo grupo es, por tanto, un grupo cerrado.

∀D1 (T1) ,D2 (T2) ∈ D (D2 · D1) (T2 ·T1) ∈ D (3.26)

2. Propiedad Asociativa.

∀D1,D2,D3 ∈ D D3 · (D2 · D1) = (D3 · D2) · D1 (3.27)

3. Elemento Neutro. El elemento neutro del grupo de desplazamientos esel desplazamiento nulo, resultante de una traslación nula del origen de

3.3. Grupo de Lie de los Desplazamientos de Sólido Rígido 63

coordenadas del sistema de referencia asociado al sólido rígido y la norotación de dicho sistema de referencia.

∀D ∈ D ∃I ∈ D I · D = D · I = D (3.28)

4. Elemento Inverso. El elemento inverso del grupo de desplazamientos esaquél que somete a un sólido rígido que, tras haber sufrido un desplaza-miento, a ser posicionado nuevamente en su configuración inicial.

∀D ∈ D ∃D−1 ∈ D D · D−1 = D−1 · D = I (3.29)

Para ser considerado un Grupo de Lie se debe verificar además que las ope-raciones de concatenación de desplazamientos y obtención del elemento inversosean ambas transformaciones diferenciables. El grupo de desplazamientos desólido rígido cumple también estos axiomas, por lo que se pone de manifiestoque tiene la estructura de Grupo de Lie.

3.3.1. Subgrupos del Grupo General de Desplazamientos

Todo subgrupo del Grupo de Desplazamientos D debe tener a su vezestructura de grupo. Dentro del Grupo D de dimensión 6, pueden definirsediferentes subgrupos:

I, de dimensión 0. Desplazamiento nulo. Subgrupo representado por elelemento neutro de D. Físicamente viene representado por el par rígido,aquel par que conecta dos sólidos rígidos y no permite movimiento relativoentre ambos.

Tu, de dimensión 1. Subgrupo representado por un desplazamiento detraslación en la dirección definida por el vector unitario u, siendo estadirección constante. Puede ser representado físicamente mediante un parprismático. Cada elemento de este subgrupo queda caracterizado median-te la traslación de magnitud s en la dirección de u.

RA,ra, de dimensión 1. Subgrupo representado por un desplazamientode rotación alrededor de un eje A, de vector director ra. Puede ser repre-sentado físicamente mediante un par rotacional. Cada elemento de estesubgrupo queda caracterizado mediante el ángulo de giro φ alrededor deleje de giro A.


HA,h,ra , de dimensión 1. Subgrupo representado por un desplazamientode rotación puro y una traslación a lo largo del eje de rotación acoplados,comúnmente conocido como movimiento helicoidal, alrededor de un ejeA de vector director ra. Puede ser representado físicamente mediante unpar helicoidal. Los desplazamientos de traslación, definido por s, y derotación, definido por φ, están relacionados a través del paso p mediantela expresión s = hφ. De este modo, cada elemento de este subgrupoqueda caracterizado, bien a partir de la traslación s en la dirección de A,o bien empleando la rotación φ alrededor del eje de giro A.

Tu,v, de dimensión 2. Subgrupo representado por dos desplazamientosde traslación en direcciones u y v linealmente independientes. Cada ele-mento de este subgrupo queda caracterizado mediante las traslaciones demagnitud su y sv en las direcciones de u y v respectivamente.

CA, de dimensión 2. Subgrupo representado por un desplazamiento derotación alrededor de un eje A y un desplazamiento de traslación en ladirección definida por u, ambos desacoplados. Puede ser representadofísicamente mediante un par cilíndrico. Cada elemento de este subgrupoqueda caracterizado mediante la traslación de magnitud s en la direccióndel eje A y la rotación alrededor de A definida por el ángulo φ.

T3, de dimensión 3. Subgrupo representado por tres desplazamientosde traslación en direcciones linealmente independientes. Subgrupo repre-sentado por tres desplazamientos de traslación en direcciones u, v y wlinealmente independientes. Cada elemento de este subgrupo queda carac-terizado mediante tres traslaciones de magnitud su, sv y sw en direccionesu, v y w ortogonales.

Fu,v, de dimensión 3. Subgrupo representado por dos desplazamientosde traslación en direcciones u y v linealmente independientes y un des-plazamiento de rotación alrededor de un eje ortogonal a u y v. Puede serrepresentado físicamente mediante un par plano. Cada elemento de estesubgrupo queda caracterizado mediante las traslaciones de magnitud suy sv en las direcciones de u y v respectivamente, y el ángulo de giro φalrededor de la dirección ortogonal a u y v.

SO, de dimensión 3. Subgrupo representado por tres desplazamientos derotación en direcciones linealmente independientes alrededor del punto O.Puede ser representado físicamente por un par esférico. Cada elemento deeste subgrupo queda caracterizado mediante tres rotaciones linealmente


independientes alrededor de tres ejes designados. Una forma puede ser lautilización de los conocidos ángulos de Euler .

Yu,h, de dimensión 3. Subgrupo representado por dos desplazamientosde traslación linealmente independientes en direcciones ortogonales a uy un desplazamiento helicoidal en la dirección de u de paso h. Cadaelemento de este subgrupo queda caracterizado mediante las traslacionesde magnitud sv y sw en las direcciones de v y w ortogonales a u y, biena partir de la traslación su en la dirección de u, o bien empleando larotación φ alrededor de la dirección de giro u.

Xe, de dimensión 4. Subgrupo representado por tres desplazamientosde traslación en direcciones linealmente independientes y un desplaza-miento de rotación alrededor de una dirección fija e. Este subgrupo sedenomina subgrupo Schönflies. Este tipo de desplazamiento fue estudiadopor el matemático A. Schönflies5, según aparece en la referencia (Botte-ma y Roth, 1979). Cada elemento de este subgrupo queda caracterizadomediante tres traslaciones de magnitud su, sv y sw en direcciones u, v yw ortogonales, y un ángulo de giro φ alrededor de la dirección definidapor e.

D, de dimensión 6. Todo grupo es subgrupo de sí mismo. Cada elementode este subgrupo queda caracterizado mediante tres traslaciones y tresrotaciones independientes entre sí.

Alejándonos de los formalismos matemáticos, la obtención de desplazamien-tos de sólido rígido de dimensión superior se obtendrá generalmente a partirde la combinación o producto de subgrupos de dimensión inferior obtenidos apartir de elementos mecánicos o pares cinemáticos sencillos.

3.3.2. Producto o Unión de DesplazamientosLa combinación de desplazamientos para obtener el desplazamiento deseado

De se realiza por medio del producto de los diferentes desplazamientos ge-neradores necesarios para la obtención del mismo. Cada desplazamiento puedeser combinado con cualquier otro obteniendo desplazamientos más generales.

5La definición original de este desplazamiento es el de un elemento con desplazamientodentro de un plano, trasladándose dicho plano por el espacio. Según la notación aquí em-pleada, este desplazamiento sería representado por el producto Fu,v · Tw, siendo u, v yw linealmente independientes.


A

B

ra

rb

Figura 3.2: Unión de desplazamientos

Sean Di y Dj dos desplazamientos de sólido rígido genéricos. La di-mensión de un desplazamiento De obtenido a partir del producto dos des-plazamientos Di y Dj

De = Di · Dj (3.30)

será igual a la suma de las dimensiones de los desplazamientos iniciales menosla dimensión de la intersección del desplazamiento intersección:

dim De = dim Di + dim Dj − dim Di ∩ Dj (3.31)

Una propiedad importante que hay que tener en cuenta es la no conmuta-tividad en el caso general del producto de dos desplazamientos cualesquiera.

Mediante la operación de unión o producto de desplazamientos se puededeterminar de forma intuitiva la movilidad de cualquier mecanismo formado porcadenas cinemáticas definidas por generadores de desplazamientos dispuestosen disposición serie.

A modo de ejemplo, consideraremos el caso del producto de dos desplaza-mientos rotacionales RA,ra y RB,rb de ejes paralelos, según se observa enla Fig. 3.2. Obviamente la dimensión de cada uno de estos desplazamientos esla unidad. ¿Cuál es la dimensión del desplazamiento resultante?


Consideremos la intersección de los desplazamientos RA,ra y RB,rb. Yaque ambos giros están asociados a ejes que, aunque paralelos no son coin-cidentes, el desplazamiento intersección será el desplazamiento nulo I, dedimensión 0.

Por lo tanto, la dimensión del desplazamiento unión RA,ra · RB,rb será

dim RA,ra · RB,rb = dim RA,ra+ dim RB,rb − dim RA,ra ∩ RB,rb= 1 + 1− 0 = 2

(3.32)

Ya que los dos desplazamientos rotacionales son de ejes paralelos, es evidenteque únicamente existirá una rotación independiente. El otro desplazamientoserá, de este modo, una traslación, el único desplazamiento de dimensión unidadque no conlleva rotaciones. Sin embargo, la dirección en la que estará definidaesta traslación dependerá de la posición en la que estén dispuestos los dos ejes,por lo que el desplazamiento resultante no poseerá estructura de grupo.

3.3.3. Intersección de DesplazamientosSin embargo, en el caso de mecanismos en los que existan generadores de

desplazamientos dispuestos en cadena cerrada, como puede ser el caso de losmanipuladores de cinemática paralela, es necesario introducir el concepto deintersección de desplazamientos.

En este tipo de mecanismos, al existir lazos cerrados que unen unos elemen-tos con otros, la movilidad de un determinado elemento deberá ser generadaa partir de todas y cada una de las cadenas cinemáticas que lo unen al ele-mento fijo. Lo que es lo mismo, el desplazamiento de dicho elemento vendrádefinido por el desplazamiento compatible con cada uno de los desplazamientosgenerados por cada una de las cadenas cinemáticas que lo unen al elemento fijo.

De este modo, el elemento e poseerá un desplazamiento De definido por laintersección de los desplazamientos Di generados por cada una de las n cadenascinemáticas que lo unen al elemento fijo. Matemáticamente este concepto quedaexpresado como

De =n⋂i=1

Di (3.33)

A modo de ejemplo consideraremos el manipulador paralelo 3 − RRPaRdesarrollado por la Universidad de Maryland (Stamper, 1997) (Fig. 3.3).

Si estudiamos por separado cada una de las cadenas cinemáticas que unenel elemento terminal con su base fija, podemos observar como cada una de


Figura 3.3: Manipulador paralelo 3−RRPaR

ellas es capaz de generar el subgrupo de movimiento Schönflies Xe, siendo ladirección del vector unitario e la dirección de los ejes paralelos de los tres paresR que componen dicha cadena cinemática (Fig. 3.4).

Cuando se realiza el ensamblado, el desplazamiento que el elemento terminaldel manipulador podrá realizar vendrá determinado por la intersección de estossubgrupos. Debido a que cada una de las cadenas cinemáticas es capaz degenerar tres traslaciones independientes, el elemento terminal estará dotadode este movimiento. Sin embargo, esto no pasa con las rotaciones permitidaspor cada cadena cinemática que, al estar definidas en direcciones diferentes, alrealizar el ensamblado, desaparecen.

De =3⋂i=1Xei = T3 (3.34)

3.3.4. Desplazamientos sin Estructura de Grupo

Un hecho que quizá pueda resultar extraño al lector es el que la clasificaciónanteriormente expuesta únicamente incluya doce subgrupos de desplazamien-tos, dejando fuera de ellos otro tipo de desplazamientos: ¿no existe ningún


Figura 3.4: Cadena cinemática RRPaR generando el desplazamiento Xe

subgrupo de desplazamientos de dimensión dos definido por dos rotaciones?¿Tampoco definido por una traslación y una rotación?

A pesar de que pudiera parecer lo contrario, en el apartado 3.3.1 se muestrauna clasificación completamente exhaustiva de los doce subgrupos del grupo dedesplazamientos D, según queda remarcado en las referencias (Angeles, 2004,2005). Es necesario recordar que para que un subgrupo de desplazamientossea definido como tal, es necesario que verifique las cuatro propiedades quedefinen la estructura de grupo. Observando con un mayor detenimiento losdesplazamientos no incluidos en la anterior lista se puede llegar a la conclusiónde que la operación interna no se verifica en estos casos.

De un modo posiblemente más práctico, el hecho de que un desplazamientoposea estructura de subgrupo permite que pueda ser definido de forma senci-lla. Por ejemplo, un elemento realizando un desplazamiento correspondiente alsubgrupo Schönflies puede ser definido a partir de cuatro valores, los desplaza-mientos lineales en las tres direcciones independientes del espacio junto con undesplazamiento angular alrededor de un eje de dirección fija. Es evidente queesto no es tan sencillo en los casos en los que los desplazamientos no poseenla estructura de subgrupo. Consideremos el desplazamiento genérico 3T2R, ca-paz de realizar tres traslaciones y dos rotaciones independientes. Ya que nosencontramos ante un desplazamiento de dimensión 5, sería necesario definir 5


coordenadas para definirlo completamente. Se podría pensar que esto no es ungran problema, ya que empleando tres coordenadas lineales y dos angularesestaría solucionado. El problema aparecería a la hora de definir las posiblesrotaciones, ya que las direcciones de los ejes pueden cambiar de una posición aotra tras un desplazamiento general dentro de este tipo de movimientos.

Sin embargo, desde un punto de vista práctico esto no presenta un ma-yor inconveniente. Este aspecto debe ser visto como un formalismo puramentematemático de relativa importancia, pero no decisivo en la síntesis de manipu-ladores, ya que son desplazamientos perfectamente realizables desde el puntode vista físico.

3.3.5. Procedimiento de Síntesis

Una vez expuestos los fundamentos básicos, el siguiente paso es analizar deforma detenida el proceso a partir del cual se obtendrán diferentes arquitecturasde manipuladores.

El primer paso y, quizás el de mayor importancia, es el de determinar cuáleshan de ser los desplazamientos que son necesarios para una aplicación indus-trial determinada. Es evidente que para cada aplicación son necesarios unosdeterminados movimientos de unas características determinadas, por lo que elproceso de síntesis morfológica deberá buscar las arquitecturas más adecuadasque cumplan los requisitos exigidos de movimiento.

El paso siguiente consistirá en elegir cuál es la arquitectura de mecanismomás adecuada, esto es, definir si la arquitectura deseada será la de un robotserie, paralelo, híbrido, etc. En el caso de manipuladores paralelos habría quedecidir en este paso el número de cadenas cinemáticas a emplear junto con elemplazamiento preferido de los accionamientos del robot. Por ejemplo, a pesarde que frecuentemente se empleen manipuladores compuestos por un núme-ro de cadenas cinemáticas igual al número de GDL del manipulador, existenmanipuladores paralelos de 4 GDL con movimiento Schönflies compuestos pordos únicas cadenas cinemáticas, como es el caso del SMG desarrollado en laUniversidad de McGill (Angeles et al., 2006), en el que cada cadena cinemáticaes actuada por dos accionamientos simultáneamente.

Siguiendo con el caso de los robots paralelos, cada una de las cadenas cine-máticas que lo compondrían generarían en su elemento terminal un desplaza-miento determinado, el cual debe ser compatible con el movimiento requerido.Esto nos lleva a la necesidad de determinar cuáles son todos los posibles des-plazamientos compatibles con el requerido.

Como se vio en el apartado 3.3.3, una vez realizado el ensamblado de todas

3.4. Empleo de la Screw Theory 71

las cadenas cinemáticas que formarían parte del manipulador, el movimientode su elemento terminal vendría determinado por la intersección de los despla-zamientos generados independientemente por cada una de las cadenas cinemá-ticas. Esto nos llevaría a determinar cuáles han de ser las características queha de verificar el ensamblado de estas cadenas con objeto de poder obtener eldesplazamiento deseado.

Por último, una vez realizadas las consideraciones anteriores, se deberándeterminar cuáles han de ser todas las materializaciones de los desplazamien-tos que podrían generar tras todos estos pasos el desplazamiento deseado enel elemento terminal, materializaciones definidas por el conjunto de elementosy pares cinemáticos que serían necesarios, junto con las relaciones geométricasque deben cumplir para generar el desplazamiento que a cada cadena cinemá-tica se le exigiría generar.

En el siguiente Capítulo, se procederá a la definición de las diferentes ma-terializaciones de los desplazamientos que debería generar cada cadena cine-mática, con vistas a la definición de nuevas arquitecturas de manipuladoresparalelos de baja movilidad.

3.4. Empleo de la Screw Theory

A pesar de que en esta Tesis Doctoral se empleará la Teoría de Grupos deDesplazamientos, a continuación expondremos un breve apartado que, ademásde permitir al lector tomar contacto con las nociones básicas de Screw Theoryempleadas en otros apartados de esta Tesis Doctoral, ofrecerá una visión generaldel empleo de esta herramienta en la síntesis morfológica de manipuladoresparalelos de baja movilidad.

3.4.1. Nociones PreliminaresUn screw (Ball, 1900) es un vector de 6 componentes que permite repre-

sentar campos de velocidades o fuerzas de manera sencilla y compacta. Pormedio de las coordenadas screw puede definirse el eje del movimiento asociadoa un determinado par cinemático. Su expresión matemática es la mostrada acontinuación

$ =[

sr× s + h s

]siendo s el vector unitario en la dirección del eje del screw $ y el productovectorial r × s es el momento del screw respecto de un punto O, el cual suele


ser habitualmente el origen del sistema de referencia empleado (Fig. 3.5). Elvector r quedaría definido de este modo como un vector con origen en estepunto O y final en cualquier punto del eje del movimiento. El valor escalarh definiría el paso del eje al que hace referencia, definiendo este paso comoel cociente entre la traslación y la rotación permitida por el par cinemáticoasociado a dicho screw.

$

s

r

X Y

Z

O

Figura 3.5: Screw

Quizás para alguien familiarizado con la Screw Theory, estos datos ya sonsuficientes para comprender qué es y significa el término screw. Sin embargo,todos aquellos ajenos a esta teoría querrán conocer cuáles son sus fundamentosy el por qué de la utilización de la expresión anterior.

De este modo, según enuncia el Teorema de Chasles 3.2.2, cualquier mo-vimiento general de un sólido rígido en el espacio quedaría definido medianteuna rotación alrededor de un eje y una traslación en la dirección de dicho eje.A este eje se le denomina eje instantáneo de rotación y deslizamiento o, ennomenclatura inglesa, instantaneous screw axis. La posición de este eje quedadefinida a partir de las características cinemáticas del sólido. Este conceptosuele estar asociado a las características absolutas del movimiento del sólido,aunque también puede ser asociado al movimiento relativo entre elementos.

Definiendo la posición y orientación de este eje quedan definidas las carac-terísticas del movimiento del sólido. Por esto, es necesario establecer un sistemade coordenadas que permita definirlo.


3.4.2. Coordenadas Proyectivas de un PuntoPueden plantearse diferentes coordenadas para definir el eje del screw. De

entre todas ellas, las más comunes son las coordenadas de Plücker , capaces dedefinir rectas en puntos del infinito. En su definición es necesario emplear elconcepto de coordenadas proyectivas.

Habitualmente, la posición de un punto P del espacio euclídeo tridimen-sional puede ser representado mediante tres coordenadas independientes. Porejemplo, mediante el empleo de coordenadas cartesianas:

p =

xPyPzP

(3.35)

Sin embargo, la posición de P puede ser definida utilizando coordenadasproyectivas. Este tipo de coordenadas tienen la peculiaridad de definir la posi-ción de P utilizando cuatro parámetros, siendo éstos de la forma siguiente

p =

xPyPzPwP

(3.36)

donde éstas se diferenciarían de las coordenadas cartesianas clásicas en la uti-lización de una cuarta coordenada wP .

Debido a que únicamente se necesitan tres coordenadas para definir la po-sición de P , ésta podría ser definida de infinitas formas. Sin embargo, todasellas harían referencia al mismo punto del espacio. A modo de ejemplo, las doscoordenadas proyectivas siguientes definirían de forma equivalente la posicióndel punto P :

p =

xPyPzPwP

=

xP /wPyP /wPzP /wP

1

(3.37)

Una ventaja de la utilización de las coordenadas proyectivas es la de poderdefinir la posición de puntos situados en el infinito. Por definición, estos puntostienen su cuarta coordenada proyectiva de valor nulo:

p∞ =

xPyPzP0

(3.38)


Sin embargo, para la definición del movimiento nos interesaría conocer laforma de expresar la posición de una recta.

3.4.3. Coordenadas de Plücker de una RectaCualquier recta r en el espacio euclídeo tridimensional puede ser defini-

da mediante la posición de dos de sus puntos. Sean P1 y P2 dos puntos decoordenadas proyectivas

p1 =

xP1

yP1

zP1

wP1

=[

p1wP1

]p2 =

xP2

yP2

zP2

wP2

=[

p2wP2

]

pertenecientes a la recta r. Si agrupamos las coordenadas de estos puntos enuna matriz 2× 4 [

wP1 xP1 yP1 zP1

wP2 xP2 yP2 zP2

](3.39)

podremos definir las coordenadas de Plücker de la recta r como los seis deter-minantes de segundo orden de la matriz (3.39):

R =

∣∣∣∣wP1 xP1

wP2 xP2

∣∣∣∣∣∣∣∣wP1 yP1

wP2 yP2

∣∣∣∣∣∣∣∣wP1 zP1

wP2 zP2

∣∣∣∣∣∣∣∣zP1 yP1

zP2 yP2

∣∣∣∣∣∣∣∣xP1 zP1

xP2 zP2

∣∣∣∣∣∣∣∣yP1 xP1

yP2 xP2

∣∣∣∣

(3.40)

La utilización de estas coordenadas hace que la recta pueda ser definidacorrectamente aún estando todos sus puntos en el infinito. Las coordenadas de


Plücker (3.40) pueden también escribirse como:

R =[wP1 p2 − wP2 p1

p1 × p2

]=[wP1 p2 − wP2 p1p1 × (p2 − p1)

](3.41)

A partir de las expresiones (3.41) se pueden considerar dos casos:

Cuando es posible definir dos puntos finitos pertenecientes a la recta.

Cuando todos los puntos de la recta se encuentran en el infinito y, portanto, se está describiendo una recta en el infinito.

En el primer caso, las coordenadas de la línea toman la forma siguiente:

R =[

p2 − p1p1 × (p2 − p1)

](3.42)

Definiendo el vector de posición r de cualquier punto de la recta r respectodel origen de coordenadas O elegido como

r = p1 + k (p2 − p1) (3.43)

pudiendo tomar k cualquier valor real. De este modo, a partir de la expresiónanterior podemos deducir que

r× (p2 − p1) = p1 × (p2 − p1) + k (p2 − p1)× (p2 − p1) == p1 × (p2 − p1)

(3.44)

Obteniendo el vector unitario s en la dirección p2 − p1 se obtienen lascoordenadas de Plücker normalizadas de la recta r:

R =[

sr× s

](3.45)

Físicamente, una rotación pura alrededor del eje vendría definida simple-mente por el vector R .

En el segundo caso, las coordenadas de la línea toman la forma siguiente:

R =[0v

](3.46)

caso que describiría una traslación en la dirección definida por el vector v =r× s.


Sin embargo, estos dos casos no permitirían describir cualquier tipo demovimiento diferente a los anteriormente descritos. Por esto, se introduce elvalor del paso h del movimiento como el cociente entre la traslación y su girorespectivo:

h = t

θ(3.47)

siendo este paso una propiedad del movimiento independiente del sistema decoordenadas empleado.

Tras estos preliminares, el screw se define como la conjunción de una rectaR y un escalar h.

$ = (R , h) (3.48)

Mediante un screw se puede definir completamente las propiedades de cual-quier par cinemático, basado en la geometría que lo define (Waldron, 1972). Deeste modo, para un screw de paso h = 0, un par rotacional, su screw asociadoes:

$ =[

sr× s

]= $0 (3.49)

con s en la dirección del par rotacional. Del mismo modo, para un screw depaso h =∞, un par prismático, su screw asociado es:

$ =[0v

]= $∞ (3.50)

con el vector unitario v definido en la dirección del par prismático.

3.4.4. Twist

Se define como twist el producto de un screw unitario $i por una intensidadqi , que en el caso de pares rotacionales será una magnitud de variación angular,y en el de pares prismáticos una magnitud de variación lineal:

$i = qi · $i (3.51)

siendo $i el twist del par cinemático i, qi el valor de la intensidad del twist i,y $ el screw unitario asociado al par cinemático i.

En el caso del análisis cinemático de velocidades las coordenadas screwrepresentan la velocidad angular de un sólido y la velocidad de un punto Operteneciente a ese sólido.


De las seis coordenadas screw sólo 5 son independientes, ya que es evidenteque

sT (r× s) = 0 (3.52)

Para definir el movimiento con un único grado de libertad se precisa unscrew, para el movimiento con dos grados de libertad se precisan dos screws, yasí sucesivamente. El movimiento se obtiene por combinación lineal de los twistsasociados a esos screws. Al conjunto de screws linealmente independientes sele denomina n-sistema. De este modo, el twist instantáneo resultante asociadoal elemento plataforma $P queda expresado como:

$P =n∑i=1

qi · $i (3.53)

3.4.5. Screw SystemsUn screw system de orden n (0 ≤ n ≤ 6) representa el conjunto de todos los

screws linealmente dependientes a n screws linealmente independientes, siendotambién denominado como n-sistema. De este modo, estos n screws linealmenteindependientes definen una base del n-sistema.

Existen diferentes tipos de screw systems diferentes, tal y como se muestraen las referencias (Hunt, 1978; Kong et al., 2007). Los más relevantes y los quepresentan una mayor aplicación práctica son los siguientes:

1-sistemas:

• 1-$∞-sistema, compuesto de todo el conjunto de screws de paso∞ a lo largo de una dirección. Ligado al movimiento de traslacióninstantánea unidimensional.• 1-$0-sistema, compuesto de todo el conjunto de screws de paso 0alrededor de un mismo eje. Ligado al movimiento de rotación purainstantánea unidimensional.• 1-$-sistema, compuesto de todo el conjunto de screws de paso h deligados a un mismo eje. Ligado al movimiento de helicoidal.

2-sistemas:

• 2-$∞-sistema, compuesto de todo el conjunto de screws de paso ∞de direcciones paralelas a un plano dado. Ligado al movimiento detraslación instantánea plana.


• 1-$∞-1-$0-sistema, compuesto de todo el conjunto de screws de paso0, de ejes paralelos y situados sobre un mismo plano, y un screw depaso ∞ perpendicular a todos ellos.

• 1-$∞-1-$0-sistema, compuesto de todo el conjunto de screws de pasoh cualquiera situados sobre una misma recta. Ligado al movimientocilíndrico instantáneo.

• 2-$0-sistema, compuesto de todo el conjunto de screws de paso 0cuyos ejes, todos coplanares, se cortan en un mismo punto.

3-sistemas:

• 3-$∞-sistema, compuesto de todo el conjunto de screws de paso ∞.Ligado al movimiento de traslación instantánea espacial.

• 2-$∞-1-$0-sistema, compuesto de todo el conjunto de screws de paso0 de dirección común y los screws de paso ∞ de direcciones perpen-diculares a aquella. Ligado al movimiento instantáneo plano.

• 3-$0-sistema, compuesto de todo el conjunto de screws de paso 0 dedirección cualquiera cuyos ejes se cortan en un punto común. Ligadoal movimiento esférico.

4-sistemas:

• 3-$∞-1-$0-sistema, compuesto de todo el conjunto de screws de pasoh de direcciones paralelas a una dada junto a todos los screws depaso ∞. Ligado al movimiento Schönflies.

5-sistemas:

• 3-$∞-2-$0-sistema, compuesto de todo el conjunto de screws de pasoh de direcciones paralelas a un plano dado junto con todos los screwsde paso ∞.

3.4.6. Operaciones con Screw SystemsSubsistema de un Screw Sytem. Un subsistema de un n-sistema se com-pone de todos los screws obtenidos como combinación lineal de ns (0 ≤ ns ≤ n)screws pertenecientes al n-sistema.

A modo de ejemplo, podríamos definir como subsistemas del 3-$∞-1-$0-sistema: el 1-$∞-sistema, el 2-$∞-sistema, el 3-$∞-sistema, el 1-$0-sistema ocualquier 1-$-sistema de un paso genérico h en una dirección común.


Combinación Lineal de Screw Systems. La combinación lineal de dosscrew systems se compone de todas las combinaciones lineales resultantes delas bases de los dos screw systems. El orden del screw system resultante de lacombinación de los dos anteriores tendrá como valor la suma de los órdenes deambos screw systems menos el orden del screw system intersección.

Intersección de Screw Systems. La intersección de dos screw systemsagrupa a todos aquellos screws que pertenecen simultáneamente a ambos screwsystems, esto es, que pueden ser obtenidos como combinación lineal a partir delas bases de ambos screw systems simultáneamente.

3.4.7. Reciprocal ScrewsPara poder obtener matemáticamente la expresión de la matriz jacobiana

del sistema a partir del twist instantáneo es necesario introducir el concepto dereciprocal screw $r. El reciprocal screw asociado a un par cinemático i es unscrew que cumple:

$r $i =[Π$r

]T$i = 0 (3.54)

siendo Π la matrizΠ =

[O3 I3I3 O3

]donde I3 es la matriz identidad de orden 3 y O la matriz nula del mismo orden.El operador ”” queda de este modo definido como el producto recíproco dedos screws.

Para un par cinemático determinado de un único GDL, su reciprocal screwtiene 6 coordenadas, de las cuales 5 son linealmente independientes (como entodos los screws). Añadiendo la condición

$r $i = 0

se deduce que existen ∞4 posibles reciprocal screw para el screw asociado aun determinado par cinemático. La referencia (Dai y Jones, 2003) muestra laforma general de obtención de un sistema de reciprocal screws.

De este modo, un reciprocal screw de paso h = 0 representa una fuerza puraque restringe el movimiento definido por su screw recíproco $i:

$r =[

srr× sr

](3.55)


Del mismo modo, un reciprocal screw de paso h = ∞ representa un mo-mento puro que restringe el movimiento definido por su screw recíproco $i:

$r =[0sr

](3.56)

3.4.8. WrenchTal y como se mencionó anteriormente, el movimiento relativo entre dos ele-

mentos unidos por una cadena cinemática puede ser representado por un screwsystem, normalmente denominado como twist, el cual define todo el conjuntode posibles movimientos entre estos movimientos. Sin embargo, a no ser queestos elementos puedan moverse libremente uno respecto del otro, existirá unconjunto de fuerzas y momentos de restricción que impiden el libre movimientoentre elementos.

Físicamente, el concepto de reciprocidad de screws va asociado a la obten-ción de una potencia nula a partir de la aplicación de un esfuerzo determinadosobre un movimiento concreto, por lo que el conjunto de fuerzas de restric-ción definirán de este modo un screw system recíproco al twist, normalmentedenominado wrench de la cadena cinemática.

De este modo, considerando que el twist generado por una cadena cinemá-tica define un n-sistema, cuyo orden n es menor o igual a los GDL de la cadenacinemática F

n ≤ F (3.57)

el wrench de la cadena cinemática definirá por tanto, un c-sistema, donde elorden c vendrá definido por la siguiente relación:

c = 6− n (3.58)

3.4.9. Aplicación a la Síntesis MorfológicaUna vez introducidos los conceptos previos de la Screw Theory podemos

plantear cuál sería el procedimiento a seguir en la síntesis morfológica de ma-nipuladores paralelos de baja movilidad.

En primer lugar, una vez conocido el movimiento que se desea obtener enel elemento terminal del manipulador es posible definir el twist y el wrench queeste elemento debe tener.

El siguiente paso es la materialización de estos twist y wrench por mediode varias cadenas cinemáticas reales. Ya que el robot paralelo poseerá varias


cadenas cinemáticas que unirán su elemento terminal con una base fija, el twistque cada una de ellas podrá generar deberá incluir como subsistema el twistque se desea obtener. El caso del wrench, el término complementario al twist,es evidentemente análogo. El wrench generado por cada una de las cadenascinemáticas deberá definir un subsistema del wrench que el elemento terminalposeerá tras su ensamblado.

Nuevamente, la obtención de las cadenas cinemáticas que ofrezcan los twisty wrench necesarios para la obtención de un movimiento determinado deberárealizarse de una forma sistematizada, debido al gran número de combinacionesque pueden llegar a plantearse. La referencia (Kong et al., 2007) muestra losprogresos en la síntesis de manipuladores paralelos empleando esta herramientamatemática.

4

Ligaduras Cinemáticas

4.1. Introducción

Según se vio en los apartados 3.3.2 y 3.3.3, mediante las operaciones deunión ” · ” e intersección ”

⋂” de desplazamientos es posible generar nuevos

desplazamientos, los cuales pueden poseer o no la estructura de grupo. Sinembargo, hasta este momento mediante el concepto de desplazamiento hemosestado considerando cualquier tipo de movimiento relativo de un determinadoelemento respecto del elemento fijo. Sin embargo, dicho concepto es perfecta-mente aplicable al movimiento relativo entre dos elementos pertenecientes o noa un mismo mecanismo.

El concepto de movimiento relativo entre elementos provoca de forma in-mediata la asociación al concepto de par cinemático (Hernández, 2004):

Definición 4.1.1 (Par Cinemático)Queda definido como par cinemático la unión entre determinados elementos deun mecanismo, que restringe algunos grados de libertad del movimiento relativoentre los elementos que une.

Esta definición de par cinemático, aplicable cuando los elementos entre loscuales existe un movimiento relativo se encuentran en contacto físico, no per-mite ser generalizada a cualquier tipo de movimiento relativo entre elementos.

Es en este punto donde autores como J. Hervé (Hervé, 1978, 1999) o J.Angeles (Angeles, 2004) proponen el término de ligadura cinemática1 L (i, j)

1En terminología inglesa denominada como kinematic bond.

83

84 Ligaduras Cinemáticas

como la generalización del concepto de par cinemático entre dos elementos i yj.

El concepto de ligadura cinemática queda definido como el desplazamientorelativo existente entre dichos elementos i y j, independientemente de que seencuentren o no unidos por un único par cinemático y pertenezcan o no a unmismo mecanismo. Evidentemente cada uno de los subgrupos de D descritosen el apartado 3.3.1 son casos particulares de ligadura cinemáticas.

El desarrollo de las diferentes ligaduras cinemáticas, así como la defini-ción de sus posibles materializaciones, es un aspecto fundamental en la síntesismorfológica de nuevas arquitecturas de manipuladores paralelos, la cual buscadefinir el conjunto de elementos y pares que son necesarios para que un de-terminado elemento sea capaz de realizar el tipo de movimientos que se deseaobtener. Particularizado al caso de los robots paralelos, cada ligadura cinemá-tica representará el desplazamiento que cada una de las cadenas cinemáticaspermitirá realizar a su elemento terminal respecto a su elemento base.

De este modo, a continuación iremos exponiendo las diferentes ligadurascinemáticas existentes, de dimensiones de 1 a 5, éstas son aquellas que resultande utilidad en el caso de manipuladores paralelos de baja movilidad.

4.2. Dimensión 1

Se comenzará la discusión con las ligaduras cinemáticas de dimensión 1: losrelativos a la traslación unidimensional Tu, rotación RA,ra y desplazamien-to helicoidal HA,h,ra. En la Tabla 4.1 se pueden observar diferentes solucionesprácticas para la obtención de dichos desplazamientos.

L MaterializaciónTu Par prismático

Paralelogramo articuladoRA,ra Par de rotación

Cuadrilátero articuladoBiela-manivela

HA,h,ra Par helicoidal

Tabla 4.1: Ligaduras cinemáticas de dimensión 1

En un aspecto puramente teórico, el par helicoidal puede ser incluído nor-malmente en el proceso de síntesis. Por este motivo, se omitirá en el procesode síntesis todas las estructuras cinemáticas que incluyan pares de este tipo.

4.2. Dimensión 1 85

A continuación se expone en la Tabla 4.2 la naturaleza que pueden adquirirlos diferentes desplazamientos de dimensión 1 considerados:

Ligadura Cinemática Desplazamientos generadosRA,ra 0T1RTu 1T0R

Tabla 4.2: Características de desplazamiento ofrecidas por las ligaduras cine-máticas de dimensión 1

Los siguientes subapartados desarrollarán las posibles materializaciones deestas ligaduras cinemáticas que ofrecen una mayor utilidad práctica.

4.2.1. Ligadura TuEn la Fig. 4.1 podemos observar dos soluciones para la obtención de Tu.

La forma usual de obtener dicho desplazamiento es mediante un par prismáticoP siendo la dirección de traslación u la del elemento guía (Fig. 4.1a).

u

(a) Generado mediante un par prismático(P ). Dirección u constante

u

(b) Generado mediante la estructu-ra paralelogramo articulado (Pa).Dirección u variable

Figura 4.1: Generadores de desplazamiento Tu

Otra forma alternativa para la obtención del desplazamiento Tu es lautilización de la cadena cinemática paralelogramo articulado Pa (Fig. 4.1b),aunque este caso en un sentido puramente matemático no representa una ma-terialización del subgrupo Tu, ya que la traslación aparece en una direcciónno constante, sino que debe ser considerado como un subconjunto de dimensión


1 del subgrupo de traslación plana Tu,v. En este caso, al contrario que en elcaso del par prismático, la dirección de traslación definida mediante el vectorunitario u no permanece invariante durante el movimiento. Dicha direcciónviene definida a partir de la intersección de un plano paralelo al plano que con-tiene a la cadena cinemática paralelogramo y un plano normal a la direcciónde los elementos a los cuales está unido el elemento que adquiere el GDL detraslación.

4.2.2. Ligadura RA,ra

En la Fig. 4.2 se observan dos soluciones diferentes para la obtención delsubgrupo de rotación RA,ra. La primera muestra la forma usual de obtenerdicho subgrupo mediante un par de rotación, apareciendo un único GDL derotación en la dirección del eje del par (Fig. 4.2a). Sin embargo, la obtencióndel desplazamiento de rotación puede ser realizada de otras formas alternativasque, a pesar de no poseer quizás un gran interés práctico, permiten aumentarel espectro de posibilidades para la síntesis morfológica desde un punto de vistapuramente teórico.

A, ra

(a) Par de rotación R

A, ra

(b) Cuadrilátero articulado

Figura 4.2: Generadores RA,ra

Estas soluciones se obtienen a partir de mecanismos de un GDL, como elcuadrilátero articulado, el mecanismo biela-manivela, los mecanismos de Watt y


Stephenson, y otros capaces de generar en su elemento acoplador una rotaciónpura independiente. Sin embargo, dicho desplazamiento debería considerarsecomo un subconjunto de dimensión 1 del subgrupo de movimientos planosFu,v ya que, en todos ellos, el eje de rotación A sería un eje de posiciónvariable coincidente con el eje instantáneo de rotación y deslizamiento.

4.3. Dimensión 2

El siguiente paso es realizar todos los posibles productos de las ligadurascinemáticas de dimensión 1 para así poder obtener las diferentes posibilidadesde ligaduras cinemáticas de dimensión 2. Las cuatro posibles combinaciones seencuentran reflejadas en la Tabla 4.3:

Tv RB,rbTu Tu · Tv Tu · RB,rbRA,ra RA,ra · Tv RA,ra · RB,rb


Sin embargo, a diferencia de las ligaduras cinemáticas de dimensión 1, enfunción de las diferentes posiciones relativas entre los diferentes generadoresde desplazamientos o las direcciones de los mismos, es posible que los des-plazamientos generados sean de una naturaleza o de otra. En concreto, en laTabla 4.4 se exponen las diferentes posibilidades de desplazamientos que sepueden obtener a partir de cada ligadura cinemática. A continuación se ex-pondrá el estudio detallado de cada una de las cuatro ligaduras cinemáticasobtenidas.

Ligadura Cinemática Desplazamientos generadosTu · Tv 2T0R, 1T0RTu · RB,rb 1T1RRA,ra · Tv 1T1RRA,ra · RB,rb 0T2R, 1T1R, 0T1R



4.3.1. Ligadura Tu · TvEl producto de desplazamientos Tu · Tv es generador del desplazamien-

to de traslación plana Tu,v siempre que los vectores unitarios u y v seanlinealmente independientes. En la Tabla 4.5 se pueden observar diferentes po-sibilidades para la obtención de dicho desplazamiento.

P PaP PP (Fig. 4.3a) PPa (Fig. 4.3b)Pa PaP PaPa

Tabla 4.5: Cadenas generadoras de Tu · Tv

uv

(a) PP

v u

(b) PPa

Figura 4.3: Generadores Tu,v

El hecho de que los vectores u y v sean linealmente dependientes

u× v = 0⇔ u ‖ v (4.1)

hace que el desplazamiento resultante degenere a un desplazamiento de dimen-sión inferior: en este caso, al desplazamiento de traslación Tu. Por tanto, estoscasos presentan ligaduras cinemáticas que no serán capaces de generar los des-plazamientos buscados. Evidentemente, en caso de presentarse esta situación


(a) PP (b) PaP

Figura 4.4: Casos degenerados Tu

de forma permanente, hace obligatorio desechar esa posibilidad. Algunos casosen los que la condición (4.1) se verifica pueden ser observados en la Fig. 4.4.

Sin embargo, las posibilidades planteadas no son las únicas posibilidadesexistentes capaces de generar el desplazamiento de traslación plana Tu,v.Otras soluciones más complejas se presentan en la Fig. 4.5:

(a) Pa2 materializada con pares U (b) Pa2 materializada con pares R

Figura 4.5: Generadores de desplazamiento Tu,v


Sin embargo, en ambas soluciones mostradas en la Fig. 4.5 es más correctohablar de cadenas generadoras de un subconjunto de desplazamientos de di-mensión 2 del subgrupo de desplazamientos de traslación espacial T3, ya quelas direcciones de traslación generadas no permanecerían constantes.

4.3.2. Ligadura Tu · RB,rbEl producto Tu · RB,rb genera un desplazamiento 1T1R, con un grado

de libertad de traslación en la dirección definida por el vector u, y un grado delibertad de rotación en la dirección definida por eje del par de rotación B. Enla Tabla 4.6 podemos ver diferentes cadenas cinemáticas generadoras de estedesplazamiento.

RP PR, CPa PaR

Tabla 4.6: Cadenas generadoras de Tu · RB,rb

Un caso particular de este desplazamiento ocurre en el caso de que las direc-ciones de u y B sean paralelas en todo instante. En este caso, el desplazamientogenerado por Tu · RB,rb será equivalente al generado por un par cilíndricode eje B CB (Fig. 4.6).

4.3.3. Ligadura RA,ra · TvEl producto RA,ra · Tv produce, al igual que el producto Tu · RB,rb

un desplazamiento de 2 GDL 1T1R, un grado de libertad de rotación alrededordel eje A y un grado de libertad de traslación en la dirección variable definida encada instante por el vector v. En la Tabla 4.7 podemos ver diferentes cadenascinemáticas generadoras de este desplazamiento.

La diferencia con el caso anterior es que en este caso es el GDL de rotaciónalrededor del eje A el que permanece invariante. En el caso que el eje A y vsean siempre paralelos, ambos GDL permanecen invariantes, siendo el despla-zamiento generado nuevamente equivalente al generado por un par cilíndricode eje A CA (Fig. 4.7a).

El resto de posibilidades generarían desplazamientos sin la estructura desubgrupo, ya que la dirección de la traslación no se mantendría constante. Unejemplo de este caso sería el presentado en la Fig. 4.7b. Dicho desplazamiento


u

B, rb

(a) PR no paralelos (b) PR paralelos

(c) Par Cilíndrico C

Figura 4.6: Generadores de desplazamiento Tu · RB,rb

P PaR RP, C RPa

Tabla 4.7: Cadenas generadoras de RA,ra · Tv

quedaría definido como un subconjunto de dimensión 2 dentro del subgrupo dedesplazamientos Xe.

4.3.4. Ligadura RA,ra · RB,rb

La principal particularidad del desplazamiento generado a partir de la com-binación de dos generadores de rotación es su capacidad de generar desplaza-mientos de muy diferente naturaleza.


v

A, ra

(a) RP (b) RPa

Figura 4.7: Generadores de desplazamiento RA,ra · Tv

RR RR, U

Tabla 4.8: Cadenas generadoras de RA,ra · RB,rb

Dependiendo de las posiciones relativas que adopten entre sí los ejes de losgeneradores de rotación A y B se pueden presentar cuatro diferentes posibili-dades:

En el caso de que los ejes A y B se crucen en el espacio sin llegar acortarse, la naturaleza del desplazamiento generado es 0T2R, pudiendoser generada cualquier rotación encerrada en un plano definido por losvectores unitarios en la dirección de los ejes de rotación A y B (Fig. 4.8a).Su estructura sería la de un subconjunto de dimensión 2 del grupo generalde desplazamientos D.

En el caso de que los ejes A y B se corten, la naturaleza del desplaza-miento generado es nuevamente 0T2R, coincidiendo las direcciones de losGDL de rotación en la dirección de los ejes de los generadores de rotaciónA y B (Fig. 4.8b). Su estructura sería la de un subconjunto de dimensión2 del subgrupo de desplazamientos SO.

En el caso de que los ejes A y B sean paralelos pero no coincidentes, lanaturaleza del desplazamiento generado se altera completamente. Debidoa la existencia de dos generadores de rotación de ejes A y B paralelos esde esperar la aparición de un GDL en la dirección de común de A y B.


(a)

RA,ra·

RB,rb

cru-zándose los ejes A y B

(b)

RA,ra·

RB,rb

cor-tándose los ejes A y B

(c)

RA,ra·

RB,rbsien-

do A y B paralelos(d)

RA,ra·

RB,rbcon los ejes A

y B coincidentes

Figura 4.8: Generadores de desplazamiento RA,ra · RB,rb

Sin embargo, gracias a ser ambos ejes paralelos, aparece además un GDLde traslación en dirección ortogonal al plano definido por ambos ejes A yB (Fig. 4.8c), definida mediante el vector unitario normal nA,B . De estemodo, la naturaleza del desplazamiento generado es 1T1R, mientras quesu estructura sería la de un subconjunto de dimensión 2 del subgrupoplano Fu,v.

En el caso de que los ejes A y B sean coincidentes, el desplazamientogenerado degenera al desplazamiento RA,ra ≡ RB,rb, de naturaleza0T1R (Fig. 4.8d).


4.4. Dimensión 3

Una vez han sido analizados los diferentes desplazamientos que pueden sergenerados mediante las ligaduras cinemáticas de dimensión 2, se procede conel estudio de los desplazamientos de dimensión 3. El proceso de productossucesivos que obtiene como resultado las ligaduras cinemáticas de dimensión 3puede ser observado en la Tabla 4.9.

Tw RC,cTu · Tv Tu · Tv · Tw Tu · Tv · RC,rcTu · RB,rb Tu · RB,rb · Tw Tu · RB,rb · RC,rcRA,ra · Tv RA,ra · Tv · Tw RA,ra · Tv · RC,rcRA,ra · RB,rb RA,ra · RB,rb · Tw RA,ra · RB,rb · RC,rc


Nuevamente, dependiendo de la disposición relativa entre unos generadoresde desplazamientos y otros, se generarán unos desplazamientos de distinta na-turaleza. De este modo, en la Tabla 4.10 podemos observar los diferentes tiposde desplazamientos que se pueden generar a partir de cada ligadura cinemática.A continuación se procederá al estudio detallado de cada uno de los 8 posibles

Ligadura Cinemática Desplazamientos generadosTu · Tv · Tw 3T0R, 2T0R, 1T0RTu · Tv · RC,rc 2T1R, 1T1RTu · RB,rb · Tw 2T1R, 1T1RTu · RB,rb · RC,rc 1T2R, 2T1R, 1T1RRA,ra · Tv · Tw 2T1R, 1T1RRA,ra · Tv · RC,rc 1T2R, 2T1R, 1T1RRA,ra · RB,rb · Tw 1T2R, 2T1R, 1T1RRA,ra · RB,rb · RC,rc 0T3R, 1T2R, 0T2R, 2T1R, 1T1R, 0T1R


desplazamientos de dimensión 3, analizando los diferentes subcasos que puedenaparecer en función de las posiciones y orientaciones relativas de los diferentesgeneradores de desplazamientos.


4.4.1. Ligadura Tu · Tv · TwEste producto de desplazamientos genera el subgrupo de desplazamiento de

traslación espacial T3, siempre que los vectores u, v y w sean linealmenteindependientes, produciendo por tanto un desplazamiento de naturaleza 3T0R.En el caso que los vectores unitarios u, v y w verifiquen

uT (v×w) = 0 (4.2)

el desplazamiento generado será de dimensión inferior, generándose o bien undesplazamiento de traslación plana, o bien un desplazamiento de traslaciónrectilínea si se verifican las siguientes expresiones:

(u× v) = (u×w) = (v×w) = 0 (4.3)

Centrándonos en el supuesto inicial en el que las tres direcciones definidaspor los generadores de traslación Tu, Tv y Tw son linealmente indepen-dientes, las cadenas cinemáticas que generan este desplazamiento pueden sercreadas combinando exclusivamente pares P y Pa con los casos obtenidos vistosen la Tabla 4.5, según se exponen en la Tabla 4.11.

P PaPP PPP PPPaPPa PPaP PPaPaPaP PaPP PaPPaPaPa PaPaP PaPaPa

Tabla 4.11: Cadenas generadoras de T3

Continuando dentro del supuesto anterior, el desplazamiento Tu · Tv ·Tw puede ser generado empleando generadores Tu,v o Tv,w como losexpuestos en la Fig. 4.5, dispuestos como Tu,v · Tw o Tu · Tv,w. Unejemplo de cadena generadora de desplazamiento T3, generada a partir delos desplazamientos Tu · Tv,w, puede verse en la Fig. 4.9.

4.4.2. Ligadura Tu · Tv · RC,rcLas cadenas cinemáticas que generan este desplazamiento provienen de com-

binar un generador de rotación con los casos expuestos en la Tabla 4.5. Eldesplazamiento generado es un desplazamiento 2T1R, siempre que los dos ge-neradores de los desplazamientos de traslación sean independientes, en cuyo


u

v

w

Figura 4.9: Cadena cinemática generadora del grupo T3 (PPa2)

caso el desplazamiento obtenido será de naturaleza 1T1R. En la Tabla 4.12podemos observar diferentes soluciones constructivas para generar este despla-zamiento.

RPP PPR, PCPPa PPaRPaP PaPR, PaCPaPa PaPaR

Tabla 4.12: Cadenas generadoras de Tu · Tv · RC,rc

El desplazamiento Tu · Tv · RC,rc puede ser obtenido de forma equi-valente por medio de generadores Tu,v como los expuestos en la Fig. 4.5 o, sila dirección del eje del generador de rotación C es coincidente con la definidapor el vector unitario v, por medio del producto Tu · CC. Un ejemplo decadena cinemática generadora de este desplazamiento a partir de esta últimasolución puede verse en la Fig. 4.10.

Nuevamente las posibilidades expuestas hasta ahora no son las únicas exis-tentes para generar este desplazamiento, ya que puede ser obtenido a partirde la intersección de diferentes generadores de desplazamiento de dimensiónsuperior.


u

v

rc

Figura 4.10: Materializaciones de la ligadura cinemática Tu · Tv · RC,rc(PC)

4.4.3. Ligadura Tu · RB,rb · TwLas cadenas cinemáticas que generan este desplazamiento provienen de com-

binar un generador de traslación con los casos expuestos en la Tabla 4.6. Enfunción de la disposición relativa de estos tres generadores de desplazamien-tos podremos obtener desplazamientos bien de naturaleza 2T1R en el caso deque las traslaciones sean independientes (u ×w 6= 0), o bien 1T1R en el casocontrario. En la Tabla 4.13 podemos observar diferentes cadenas cinemáticasgeneradoras de este desplazamiento.

En el caso de que la dirección del eje del generador de rotación B coincidacon la de u o w, el desplazamiento resultante será equivalente a CB · Tw oTu · CB respectivamente. De este modo, en la Fig. 4.11 se incluyen algunassoluciones de este tipo, señalando posibles materializaciones que incluyen paresC.

4.4.4. Ligadura Tu · RB,rb · RC,rcLas cadenas cinemáticas que generan este desplazamiento provienen de com-

binar un generador de rotación con los casos expuestos en la Tabla 4.6, segúnpuede observarse en la Tabla 4.14.

Sin embargo, la naturaleza de este desplazamiento variará en función de ladisposición relativa de los pares de rotación, de idéntica forma a la expuestaen la Fig. 4.8:

Los ejes B y C se cruzan, con lo que el desplazamiento generado es de


u

v

rb

(a) PRP = CP (b) PRPa = CPa

Figura 4.11: Cadenas cinemáticas generadoras del grupo Tu · RB,rb · Tw

P PaPR PRP,PC PRPaC CP CPaPaR PaRP, PaC PaRPa

Tabla 4.13: Cadenas generadoras de Tu · RB,rb · Tw

RPR PRR, PUC CRPaR PaRR, PaU

Tabla 4.14: Cadenas generadoras de Tu · RB,rb · RC,rc

naturaleza 1T2R.

Los ejes B y C se cortan, con lo que nuevamente el desplazamiento ge-nerado es de naturaleza 1T2R.

Los ejes B y C son paralelos, pero no coincidentes. Debido a esto, losdos pares de rotación generan por sí mismos un desplazamiento 1T1Rde características explicadas anteriormente. En el caso de que el des-


plazamiento de traslación generado por RB,rb · RC,rc sea linealmenteindependiente con Tu, el desplazamiento generado será 2T1R, salvo quela dirección normal al plano definido por los ejes paralelos B y C sea coin-cidente con la de u, caso en el que el desplazamiento sería de naturaleza1T1R.

Los ejes B y C son coincidentes. El desplazamiento generado es de natu-raleza 1T1R.

u

(a) PRR = CR

vu

rb = rc

(b) PRR = CR paralelos

Figura 4.12: Cadenas cinemáticas generadoras del grupo Tu·RB,rb·RC,rc

De este modo, en la Fig. 4.12 podemos observar dos cadenas cinemáticasgeneradoras de este desplazamiento. Es necesario recordar que si la direccióndel eje del generador de rotación coincide con la del vector u, el desplazamientoresultante es equivalente al generado a partir de la ligadura cinemática CB ·RC,rc.

4.4.5. Ligadura RA,ra · Tv · Tw

Las cadenas cinemáticas que generan este desplazamiento provienen de com-binar un generador de traslación con los casos expuestos en la Tabla 4.7. En laTabla 4.15 podemos observar cuatro cadenas cinemáticas generadoras de estedesplazamiento.


P PaRP RPP RPPaC CP CPaRPa RPaP RPaPa

Tabla 4.15: Cadenas generadoras de RA,ra · Tv · Tw

ra

w

v

Figura 4.13: Cadena cinemática generadora del grupo RA,ra · Tv · Tw(RPa2)

Al igual que se fue comentado en el caso de los desplazamientos Tu ·RB,rb · Tw y Tu · Tv · RB,rb, este desplazamiento será de naturaleza2T1R siempre que las direcciones de traslación u y v sean linealmente indepen-dientes. Un ejemplo de cadena generadora de desplazamiento RA,ra · Tv ·Tw puede verse en la Fig. 4.13.

4.4.6. Ligadura RA,ra · Tv · RC,rcLas cadenas cinemáticas que generan este desplazamiento provienen de com-

binar un generador de traslación con los casos expuestos en la Tabla 4.7, segúnpuede observarse en la Tabla 4.16.

Las consideraciones hechas en el caso del desplazamiento Tu · RB,rb ·RC,rc son aplicables a este desplazamiento. Nuevamente la disposición relati-


RRP RPR, RCC CRRPa RPaR

Tabla 4.16: Cadenas generadoras de RA,ra · Tv · RC,rc

va de los ejes de los generadores de rotación hará que este desplazamiento seade naturaleza 1T2R, 2T1R ó 1T1R.

4.4.7. Ligadura RA,ra · RB,rb · TwLas cadenas cinemáticas que generan este desplazamiento provienen de com-

binar un generador de traslación con los casos expuestos en la Tabla 4.8, segúnpuede observarse en la Tabla 4.17.

P PaRR RRP, RC RRPaU UP UPa

Tabla 4.17: Cadenas generadoras de RA,ra · RB,rb · Tw

Las consideraciones hechas en el caso del desplazamiento Tu · RB,rb ·RC,rc son aplicables a este desplazamiento. En función de la disposición re-lativa de los ejes de los generadores de rotación, este desplazamiento será denaturaleza 1T2R, 2T1R ó 1T1R.

4.4.8. Ligadura RA,ra · RB,rb · RC,rcLas cadenas cinemáticas que generan este desplazamiento provienen de com-

binar generador de rotación con los casos expuestos en la Tabla 4.8, según puedeobservarse en la Tabla 4.18.

RRR RRR, RUU UR, S

Tabla 4.18: Cadenas generadoras de RA,ra · RB,rb · RC,rc


(a) Los ejes se cruzan. Direccionesindependientes. 0T3R

(b) Los ejes se cruzan. Direcciones dependien-tes. 1T2R

(c) Dos ejes se cortan. 0T3R (d) Los ejes se cortan dos a dos. 0T3R

Figura 4.14: Materializaciones de la ligadura cinemática RA,ra · RB,rb ·RC,rc

La capacidad de generar desplazamientos a medida que se van combinandosucesivamente generadores de rotación hacen a esta ligadura cinemática capazde generar desplazamientos de muy diferente naturaleza. De este modo:

En el caso de que los ejes A, B y C se crucen en el espacio, el despla-zamiento generado será de naturaleza 0T3R, pudiendo realizar cualquiergiro alrededor de una dirección dada, siempre que las direcciones de lostres ejes sean independientes (Figuras 4.14a, 4.14c y 4.14d). En caso con-


trario, el desplazamiento generado es de naturaleza 1T2R (Fig. 4.14b).

En el caso de que dos de ellos se corten, el desplazamiento generado seríanuevamente de naturaleza 0T3R2. Sin embargo, es necesario remarcarque, en el caso de que sean los ejes A y B, o B y C, los que se corten,los generadores RA,ra · RB,rb o RB,rb · RC,rc en cada caso podránser materializados empleando una unión universal U . En el caso de quelos tres ejes se corten en un mismo punto (Fig. 4.15a), el desplazamientogenerado sería equivalente al producido por un par esférico SO, siendoO el punto común a los tres ejes3.

En el caso de que dos de los ejes sean paralelos entre sí, el desplazamientogenerado será de naturaleza 1T2R (Fig. 4.15c), apareciendo una posibi-lidad de traslación en la dirección normal al plano definido por los ejesparalelos. De ser los tres ejes paralelos entre sí, el desplazamiento gene-rado sería de naturaleza 2T1R (Fig. 4.15d), siendo posible la traslaciónen cualquier dirección normal a la dirección común de los tres ejes de losgeneradores de rotación, siempre y cuando, dichos ejes no estén situadosdentro de un mismo plano, caso en el cual el desplazamiento degenera-ría a uno de naturaleza 1T1R, debido a la dependencia lineal de las dostraslaciones generadas.

En el caso de que los ejes A, B o C sean coincidentes, el desplazamientogenerado degenerará a uno de dimensión inferior: 0T2R si coinciden 2ejes y el eje no coincidente no es paralelo a los otros dos, 1T1R si el ejeno coincidente es paralelo y 0T1R si los tres ejes son coincidentes.

4.5. Dimensión 4

A partir de las ligaduras cinemáticas que aparecen en la Tabla 4.9 se prosi-gue en el proceso de síntesis añadiendo un nuevo generador de desplazamientode dimensión 1 en su extremo. Procediendo de este modo, las ligaduras cine-máticas de dimensión 4 pueden ser observadas en las Tablas 4.19.

2Si los tres ejes se encuentran en un mismo plano, cortándose dos a dos, el desplazamientogenerado es de naturaleza 1T2R, pudiendo ser considerado en cierto modo equivalente al casoexpuesto en la Fig. 4.14b.

3Un caso degenerado se presenta cuando los tres ejes se encuentran encerrados en unmismo plano (Fig. 4.15b), siendo la naturaleza del desplazamiento generado 0T2R.


(a) Tres ejes se cortan en un mismo punto. Ejesno coplanares

(b) Tres ejes se cortan en un mismopunto. Ejes coplanares

(c) Dos ejes paralelos (d) Ejes paralelos

Figura 4.15: Cadenas cinemáticas generadoras de RA,ra · RB,rb · RC,rc

Nuevamente, el hecho de disponer diferentes generadores de desplazamien-tos uno a continuación de otro no implica obtener necesariamente el despla-zamiento que se puede presuponer. En concreto, en la Tabla 4.20 podemosobservar los diferentes tipos de desplazamientos que se pueden generar a partirde las ligaduras cinemáticas anteriormente mostrados.

Es inmediato observar a partir de la Tabla 4.20 cómo cada una de las 16ligaduras cinemáticas de dimensión 4 presentan un número de posibilidades


TqTu · Tv · Tw Tu · Tv · Tw · TqTu · Tv · RC,rc Tu · Tv · RC,rc · TqTu · RB,rb · Tw Tu · RB,rb · Tw · TqTu · RB,rb · RC,rc Tu · RB,rb · RC,rc · TqRA,ra · Tv · Tw RA,ra · Tv · Tw · TqRA,ra · Tv · RC,rc RA,ra · Tv · RC,rc · TqRA,ra · RB,rb · Tw RA,ra · RB,rb · Tw · TqRA,ra · RB,rb · RC,rc RA,ra · RB,rb · RC,rc · Tq

(a) Añadiendo un generador Tq

RD,rdTu · Tv · Tw Tu · Tv · Tw · RD,rdTu · Tv · RC,rc Tu · Tv · RC,rc · RD,rdTu · RB,rb · Tw Tu · RB,rb · Tw · RD,rdTu · RB,rb · RC,rc Tu · RB,rb · RC,rc · RD,rdRA,ra · Tv · Tw RA,ra · Tv · Tw · RD,rdRA,ra · Tv · RC,rc RA,ra · Tv · RC,rc · RD,rdRA,ra · RB,rb · Tw RA,ra · RB,rb · Tw · RD,rdRA,ra · RB,rb · RC,rc RA,ra · RB,rb · RC,rc · RD,rd

(b) Añadiendo un generador

RD,rd


que va haciéndose cada vez más elevado. Una vez han quedado patentes en losapartados anteriores las particularidades geométricas que han de suceder paraque desplazamientos de dimensión inferior sean generados por ligaduras cine-máticas de dimensión superior, limitaremos el estudio a partir de este punto aaquellos desplazamientos de dimensión igual a la de las ligaduras cinemáticasque los generan. En concreto, sólo existen tres diferentes tipos de desplaza-mientos de 4 GDL:

El desplazamiento de naturaleza 3T1R, también denominado desplaza-miento Schönflies4 o SCARA5 (Furuya y Makino, 1980; Makino y Furuya,

4Según se hizo referencia en el apartado 3.3.1.5Nombre que reciben los robots de estructura serie que capaces de generar este despla-

zamiento, Selective Compliant Assembly Robot Arm.


Ligadura Cinemática Desplazamientos generadosTu · Tv · Tw · Tq 3T0R, 2T0R, 1T0RTu · Tv · Tw · RD,rd 3T1R, 2T1R, 1T1RTu · Tv · RC,rc · Tq 3T1R, 2T1R, 1T1RTu · Tv · RC,rc · RD,rd 2T2R, 3T1R, 2T1R, 1T2R, 1T1RTu · RB,rb · Tw · Tq 3T1R, 2T1R, 1T1RTu · RB,rb · Tw · RD,rd 2T2R, 3T1R, 2T1R, 1T2R, 1T1RTu · RB,rb · RC,rc · Tq 2T2R, 3T1R, 2T1R, 1T2R, 1T1RTu · RB,rb · RC,rc · RD,rd 1T3R, 2T2R, 3T1R

1T2R, 2T1R, 1T1RRA,ra · Tv · Tw · Tq 3T1R, 2T1R, 1T1RRA,ra · Tv · Tw · RD,rd 2T2R, 3T1R, 2T1R, 1T2R, 1T1RRA,ra · Tv · RC,rc · Tq 2T2R, 3T1R, 2T1R, 1T2R, 1T1RRA,ra · Tv · RC,rc · RD,rd 1T3R, 2T2R, 3T1R

1T2R, 2T1R, 1T1RRA,ra · RB,rb · Tw · Tq 2T2R, 3T1R, 2T1R, 1T2R, 1T1RRA,ra · RB,rb · Tw · RD,rd 1T3R, 2T2R, 3T1R

1T2R, 2T1R, 1T1RRA,ra · RB,rb · RC,rc · Tq 1T3R, 2T2R, 3T1R

1T2R, 2T1R, 1T1RRA,ra · RB,rb · RC,rc · RD,rd 1T3R, 2T2R, 0T3R

1T2R, 2T1R, 1T1R, 0T1R


1981, 1982), representado por el subgrupo de desplazamiento Xe, ca-paz de realizar un desplazamiento de traslación en cualquiera de las tresdirecciones del espacio, y un movimiento de rotación alrededor de unadirección fija.

El desplazamiento de naturaleza 2T2R, capaz de realizar un movimientode traslación en dirección paralela a un plano determinado, así como deun movimiento de rotación alrededor de cualquier dirección paralela aotro plano, paralelo o no al anterior. Dicho desplazamiento posee unaestructura de subconjunto de dimensión 4 del grupo de desplazamientosgeneral D.

El desplazamiento de naturaleza 1T3R, capaz de realizar un desplaza-


miento de traslación en una dirección dada y un desplazamiento de rota-ción alrededor de cualquier dirección del espacio. Dicho desplazamientoposee una estructura de subconjunto de dimensión 4 del grupo de des-plazamientos general D.

Las ligaduras cinemáticas generadores de estos tres desplazamientos puedenser observadas en la Tabla 4.21.

Tras esto procedemos a mostrar bajo qué condiciones geométricas puedenobtenerse los desplazamientos deseados de 4 GDL.

4.5.1. Generadores XeA partir de las 16 ligaduras cinemáticas de dimensión 4 que aparecen en

las Tablas 4.19 se puede observar cómo 14 de ellas son capaces de generarel tipo de desplazamiento 3T1R bajo ciertas condiciones geométricas. Quizáspueda aparecer la duda de por qué las ligaduras cinemáticas Tu · Tv · Tw ·Tq y RA,ra · RB,rb · RC,rc · RD,rd no son capaces de generar estedesplazamiento.

En el primer caso la respuesta es obvia, ya que no es posible generar ningúndesplazamiento de rotación empleando únicamente generadores de traslación.Sin embargo, en el segundo caso la respuesta puede no parecer tan obvia. Enapartados anteriores se ha mostrado cómo es posible generar desplazamientosde traslación a partir de generadores de rotación, siempre que los ejes de losmismos sean paralelos.

Para conseguir generar desplazamientos de traslación en tres direcciones in-dependientes del espacio, debería ser necesario que los ejes de los generadoresde rotación A, B, C y D fuesen paralelos con objeto de obtener las traslacionesnecesarias. Sin embargo, esta solución, a pesar de generar tres desplazamientosde traslación, las direcciones en las cuales son generados no son linealmenteindependientes, por lo que el desplazamiento generado es únicamente de natu-raleza 2T1R.

Las 14 ligaduras cinemáticas generadoras de desplazamiento Schönflies pue-den ser divididas en tres subgrupos, según aparece en la Tabla 4.21:

Aquellos que generan desplazamientos Schönflies por medio de 3 genera-dores de traslación y 1 de rotación,

mediante 2 generadores de traslación y 2 de rotación,

o empleando 1 único generador de traslación y 3 de rotación.


Desplazamiento Ligaduras CinemáticasTu · Tv · Tw · RD,rdTu · Tv · RC,rc · TqTu · RB,rb · Tw · TqRA,ra · Tv · Tw · TqTu · Tv · RC,rc · RD,rdTu · RB,rb · Tw · RD,rdRA,ra · Tv · Tw · RD,rd

3T1R - Xe Tu · RB,rb · RC,rc · TqRA,ra · Tv · RC,rc · TqRA,ra · RB,rb · Tw · TqTu · RB,rb · RC,rc · RD,rdRA,ra · Tv · RC,rc · RD,rdRA,ra · RB,rb · Tw · RD,rdRA,ra · RB,rb · RC,rc · TqTu · Tv · RC,rc · RD,rdTu · RB,rb · Tw · RD,rdRA,ra · Tv · Tw · RD,rdTu · RB,rb · RC,rc · TqRA,ra · Tv · RC,rc · Tq

2T2R RA,ra · RB,rb · Tw · TqTu · RB,rb · RC,rc · RD,rdRA,ra · Tv · RC,rc · RD,rdRA,ra · RB,rb · Tw · RD,rdRA,ra · RB,rb · RC,rc · TqRA,ra · RB,rb · RC,rc · RD,rdTu · RB,rb · RC,rc · RD,rdRA,ra · Tv · RC,rc · RD,rd

1T3R RA,ra · RB,rb · Tw · RD,rdRA,ra · RB,rb · RC,rc · TqRA,ra · RB,rb · RC,rc · RD,rd

Tabla 4.21: Ligaduras cinemáticas generadoras de desplazamientos de dimen-sión 4


4.5.1.1. Generadores Xe mediante 3 generadores de traslación y1 de rotación

En la Tabla 4.22 se recogen las condiciones geométricas bajo las cuales tresgeneradores de traslación y uno de rotación generan el subgrupo de desplaza-miento Xe.

Es evidente que para poder generar este desplazamiento es necesario verifi-car que los tres generadores de traslación estén dispuestos de tal forma que lasdirecciones en las que están definidos sean linealmente independientes.

Ligadura cinemática Condiciones Dirección de rotaciónTu · Tv · Tw · RD,rd uT (v×w) 6= 0 Paralela a DTu · Tv · RC,rc · Tq uT (v× r) 6= 0 Paralela a CTu · RB,rb · Tw · Tq uT (w× r) 6= 0 Paralela a BRA,ra · Tv · Tw · Tq vT (w× r) 6= 0 Paralela a A

Tabla 4.22: Generadores Xe con 3 generadores de traslación y 1 de rotación

RPPP PPPR, PPCPPPa PPPaRPPaP PPaPR, PPaCPPaPa PPaPaRPaPP PaPPR, PaPCPaPPa PPPaRPaPaP PaPaPR, PaPaCPaPaPa PaPaPaR

Tabla 4.23: Cadenas generadoras de Xe a partir de Tu·Tv·Tw·RD,rd

Estas ligaduras cinemáticas se materializan mediante pares cinemáticos.Para la generación de cada ligadura cinemática existen múltiples posibilidades.Por ejemplo, para la generación de la ligadura cinemática Tu · Tv · Tw ·RD,rd son posibles todas las combinaciones de la Tabla 4.11 a las cuales se hade añadir un generador de rotación materializado mediante un par de rotaciónR, según se puede observar en la Tabla 4.23.

De entre todas las opciones mostradas, aquellas que incluyen pares P o C denaturaleza pasiva pueden ser relegadas a un segundo plano, ya que presentan


un menor interés práctico. La opción basada en la cadena cinemática PPa2Rpuede ser considerada una de las más adecuadas, accionada a partir del par Pinicial (Fig. 4.16).

Figura 4.16: Cadena cinemática generadora del desplazamiento Xe con 3generadores de traslación y 1 de rotación (PPa2R)

P PaPPR PPRP PPRPaPC PCP PCPaPPaR PPaRP, PPaC PPaRPaPaPR PaPRP, PaPC PPRPaPaC PaCP PaCPaPaPaR PaPaRP, PaPaC PaPaRPa

Tabla 4.24: Cadenas generadoras de Xe a partir de Tu · Tv · RC,rc · Tq

La materialización de la ligadura cinemática Tu · Tv · RC,rc · Tq esposible con todas las combinaciones de la Tabla 4.12 a las que les es añadidoun generador de traslación en la dirección adecuada, según se puede observaren la Tabla 4.24.

Poniendo en un segundo plano las opciones que incluyen pares P o C pasi-vos, la opción preferente puede ser la basada en la cadena cinemática PPaRPa,


accionada por su par P inicial. A modo de ejemplo, en la Fig. 4.17 se muestrauna materialización diferente de este desplazamiento.

Figura 4.17: Cadena cinemática generadora del desplazamiento Xe con 3generadores de traslación y 1 de rotación (PPaRPa)

La materialización de la ligadura cinemática Tu · RB,rb · Tw · Tq esposible con todas las combinaciones de la Tabla 4.13 a las que les es añadido ungenerador de traslación en la dirección adecuada, como se ve en la Tabla 4.25.

De entre todas las opciones mostradas, descartando aquellas que incluyenpares P o C de naturaleza pasiva, podemos considerar como más adecuada labasada en la cadena cinemática PRPaPa (Fig. 4.18).

P PaPRP PRPP PRPPaPC PCP PCPaPRPa PRPaP PRPaPaCP CPP CPPaCPa CPaP CPaPaPaRP PaRPP PaRPPaPaC PaCP PaCPaPaRPa PaRPaP PaRPaPa

Tabla 4.25: Cadenas generadoras de Xe a partir de Tu ·RB,rb ·Tw ·Tq

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra · Tv · Tw · Tq esposible con todas las combinaciones de la Tabla 4.15 a las que les es añadido


Figura 4.18: Cadena cinemática generadoras del desplazamiento Xe con 3generadores de traslación y 1 de rotación (PRPa2)

un generador de traslación en la dirección adecuada, según se puede observaren la Tabla 4.26.

P PaRPP RPPP RPPPaCP CPP CPPaRPPa RPPaP RPPaPaCPa CPaP CPaPaRPaP RPaPP RPaPPaRPaPa RPaPaP RPaPaPa

Tabla 4.26: Cadenas generadoras de Xe a partir de RA,ra ·Tv ·Tw ·Tq

Desde un punto de vista puramente práctico, no existe ninguna cadena cine-mática que podamos considerar como preferente. A partir de las consideracionesantes utilizadas podemos descartar aquellas cadenas cinemáticas con pares P oC pasivos, lo que nos dejaría como única alternativa la cadena RPaPaPa, ac-cionada por su par R inicial. Esta cadena presenta el inconveniente de necesitar


un gran número de elementos para materializar los tres generadores de trasla-ción, lo que nos llevaría a una cadena cinemática excesivamente compleja. Espreferible por tanto utilizar alternativas basadas en otras ligaduras cinemáticaspara la obtención del desplazamiento Xe.

4.5.1.2. Generadores Xe con 2 generadores de traslación y 2 derotación

En la Tabla 4.27 se recogen las condiciones geométricas bajo las cuales dosgeneradores de traslación y dos de rotación generan el desplazamiento Xe.

Ligadura cinemática Condiciones Direcciónde rotación

Tu · Tv · RC,rc · RD,rd C ‖ D Paralela a C y DuT (v× nC,D) 6= 0

Tu · RB,rb · Tw · RD,rd B ‖ D Paralela a B y DuT (nB,D ×w) 6= 0

RA,ra · Tv · Tw · RD,rd A ‖ D Paralela a A y DnTA,D (v×w) 6= 0

Tu · RB,rb · RC,rc · Tq B ‖ C Paralela a B y CuT (nB,C × r) 6= 0

RA,ra · Tv · RC,rc · Tq A ‖ C Paralela a A y CnTA,C (v× r) 6= 0

RA,ra · RB,rb · Tw · Tq A ‖ B Paralela a A y BnTA,B (w× r) 6= 0

Tabla 4.27: Generadores Xe empleando 2 generadores de traslación y 2 derotación

Para que esto se produzca es necesario que los dos generadores de rotacióngeneren un desplazamiento de una traslación y un giro, lo que se verifica enel caso de que los ejes de los dos generadores de rotación sean paralelos entresí, siendo generado un desplazamiento de traslación en la dirección del vectorunitario normal ni al plano definido por ambos ejes, dirección que deberá serlinealmente independiente con las direcciones en las que están definidos losotros dos generadores de traslación.


La materialización de la ligadura cinemática Tu · Tv · RC,rc · RD,rdes posible con todas las combinaciones de la expuestas en la Tabla 4.12 a lasque les es añadido un generador de rotación bajo las condiciones anteriormenteexpuestas, según se puede ver en la Tabla 4.28.

Figura 4.19: Cadena cinemática generadora del desplazamiento Xe con 2generadores de traslación y 2 de rotación (PPaRR)

RPPR PPRRPC PCRPPaR PPaRRPaPR PaPRRPaC PaCRPaPaR PaPaRR

Tabla 4.28: Cadenas generadoras de Xe a partir de Tu·Tv·RC,rc·RD,rd

Sin embargo, desde un punto de vista práctico la utilización de las opcionesbasadas en pares P o C pasivos no es deseable. Se recomienda por tanto utilizarsoluciones pasadas en pares Pa y R. Posicionando el accionamiento en el ge-nerador de traslación inicial, es preferible emplear pares P a pares Pa, debido


a su mayor rango de movimiento. Esto hace a la cadena cinemática PPaRRuna opción preferente dentro de este subgrupo, cadena accionada por el par P(Fig. 4.19).

La materialización de la ligadura cinemática Tu · RB,rb · Tw · RD,rdes posible a partir de todas las combinaciones expuestas en la Tabla 4.13 a lasque les es añadido un generador de rotación en las condiciones anteriormenteexpuestas, según se ve en la Tabla 4.29.

RPRP PRPR, PRCPC PCRPRPa PRPaRCP CPR, CCCPa CPaRPaRP PaRPR, PaRCPaC PaCRPaRPa PaRPaR

Tabla 4.29: Cadenas generadoras de Xe a partir de Tu · RB,rb · Tw ·RD,rd

Figura 4.20: Cadena cinemática generadora del desplazamiento Xe con 2generadores de traslación y 2 de rotación (CPaR)


Nuevamente, desde un punto de vista puramente práctico han de prevalecerlas posibilidades basadas en pares Pa y R sobre las que incluyen pares P o Cpasivos. Esto hace a la cadena cinemática PRPaR una opción preferente dentrode este subgrupo, cadena accionada por el par P (Fig. 4.20).

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra · Tv · Tw · RD,rdes posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.15 a las que leses añadido un generador de rotación, según se ve en la Tabla 4.30.

RRPP RPPR, RPCRPPa RPPaRCP CPR, CCCPa CPaRRPaP RPaPR, RPaCRPaPa RPaPaR

Tabla 4.30: Cadenas generadoras de Xe a partir RA,ra ·Tv ·Tw ·RD,rd

Descartando por consideraciones prácticas las alternativas que incluyen pa-res P o C de naturaleza pasiva, las opciones preferentes son el empleo decadenas cinemáticas RPaPaR y CPaR, obviando las dificultades prácticas deaccionar un par cilíndrico.

La materialización de la ligadura cinemática Tu·RB,rb·RC,rc·Tq esposible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.14 que incluyanpares R paralelos, a las que les es añadido un generador de traslación, segúnse ve en la Tabla 4.31.

P PaPRR PRRP, PRC PRRPaCR CRP, CC CRPaPaRR PaRRP PaRRPa

Tabla 4.31: Cadenas generadoras de Xe a partir de Tu·RB,rb·RC,rc·Tq

Descartando nuevamente las opciones que incluyen pares P de naturalezapasiva junto con aquellas que impliquen accionar la cadena cinemática a partirdel par Pa, pueden considerarse como más adecuadas las cadenas cinemáticasPRRPa y CRPa.


La materialización de la ligadura cinemática RA,ra · Tv · RC,rc · Tqes posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.16 a las que leses añadido un generador de traslación, según se ve en la Tabla 4.32.

P PaRPR RPRP, RPC RPRPaRC RCP RCPaCR CRP, CC CRPaRPaR RPaRP, RPaC RPaRPa

Tabla 4.32: Cadenas generadoras de RA,ra · Tv · RC,rc · Tq

Descartando las opciones que incluyen pares P o C pasivos, podemos con-siderar como más adecuada la cadena cinemática RPaRPa, accionada por elpar R inicial.

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra · RB,rb · Tw · Tqes posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.17 a las que leses añadido un generador de traslación, según se ve en la Tabla 4.33.

P PaRRP RRPP RRPPaRC RCP RCPaRRPa RRPaP RRPaPa

Tabla 4.33: Cadenas generadoras de Xe a partir de RA,ra·RB,rb·Tw·Tq

De entre todas opciones mostradas, podemos considerar como más adecuadala cadena cinemática preferente es la RRPaPa, accionada por el par R inicial(Fig. 4.21).


Figura 4.21: Cadena cinemática generadora de Xe con 2 generadores de tras-lación y 2 de rotación (RRPaPa)

4.5.1.3. Generadores Xe mediante 1 generador de traslación y 3de rotación

En la Tabla 4.34 se recogen las condiciones geométricas bajo las cualesla combinación de generador de traslación con tres generadores de rotacióngeneran un desplazamiento Xe.

Ligadura cinemática Condiciones Direcciónde Rotación

Tu · RB,rb · RC,rc · RD,rd B ‖ C ‖ D Paralela auT (nB,C × nB,D) 6= 0 B, C y D

RA,ra · Tv · RC,rc · RD,rd A ‖ C ‖ D Paralela anTA,B (v× nA,D) 6= 0 A, C y D

RA,ra · RB,rb · Tw · RD,rd A ‖ B ‖ D Paralela anTA,B (nA,D ×w) 6= 0 A, B y D

RA,ra · RB,rb · RC,rc · Tq A ‖ B ‖ C Paralela anTA,B (nA,C × r) 6= 0 A, B y C

Tabla 4.34: Generadores Xe con 1 generador de traslación y 3 de rotación

La materialización de la ligadura cinemática Tu·RB,rb·RC,rc·RD,rdes posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.14 que seandefinidas empleando pares R paralelos, a las que se les añade un generador derotación en la dirección deseada, según se muestra en la Tabla 4.35.


RPRR PRRRCR CRRPaRR PaRRR

Tabla 4.35: Cadenas generadoras de Xe a partir de Tu · RB,rb · RC,rc ·RD,rd

Dentro de este grupo, las cadenas cinemáticas más adecuadas son las PRRRy CRR, accionadas por los pares P y C iniciales.

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra·Tv·RC,rc·RD,rdes posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.16 a las que seles añade un generador de rotación en la dirección adecuada, según se muestraen la Tabla 4.36.

RRPR RPRRRC RCRCR CRRRPaR RPaRR

Tabla 4.36: Cadenas generadoras de RA,ra · Tv · RC,rc · RD,rd

De las cuatro opciones mostradas, se puede considerar como más adecuadala cadena cinemática RPaRR, accionada a partir del par R inicial.

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra·RB,rb·Tw·RD,rdes posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.17 que incluyentres pares R paralelos, a las que se les añade un generador de rotación en ladirección adecuada, según se muestra en la Tabla 4.37.

RRRP RRPR, RRCRC RCRRRPa RRPaR

Tabla 4.37: Cadenas generadoras de RA,ra · RB,rb · Tw · RD,rd


Dentro de las opciones mostradas, podemos considerar como opción prefe-rente la cadena cinemática RRPaR, accionada por el par R inicial (Fig. 4.22).

Figura 4.22: Generador Xe con 1 generador de traslación y 3 de rotación(RRPaR)

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra·RB,rb·RC,rc·Tqes posible con tres generadores de rotación paralelos a la que se le añade ungenerador de traslación en la dirección adecuada.

P PaRRR RRRP RRRPa

Tabla 4.38: Cadenas generadoras de RA,ra · RB,rb · RC,rc · Tq

De las dos opciones mostradas, es preferible la basada en la cadena cine-mática RRRPa, accionada a partir de su par R inicial.


4.5.2. Generadores 2T2R

A partir de las 16 ligaduras cinemáticas de dimensión 4 que aparecen enlas Tablas 4.19 se puede observar cómo 11 de ellos son capaces de generar undesplazamiento 2T2R bajo ciertas condiciones geométricas.

Estas 11 ligaduras cinemáticas generadores de desplazamiento 2T2R puedenser divididas en tres subgrupos, según aparece en la Tabla 4.21:

Aquellas que generan desplazamientos 2T2R por medio de 2 generadoresde traslación y 2 de rotación,

mediante 1 generador de traslación y 3 de rotación,

o empleando 4 generadores de rotación.

4.5.2.1. Generadores 2T2R mediante 2 generadores de traslación y2 de rotación

En la Tabla 4.39 se recogen las condiciones geométricas bajo las cuales dosgeneradores de traslación y dos de rotación generan desplazamientos de tipo2T2R. Para ello únicamente es necesario que los dos generadores de rotacióngeneren dos rotaciones independientes o, lo que es lo mismo, no sean paralelos,siendo los generadores de traslación independientes.

Ligadura Cinemática CondicionesTu · Tv · RC,rc · RD,rd u× v 6= 0

rC × rD 6= 0Tu · RB,rb · Tw · RD,rd u×w 6= 0

rB × rD 6= 0RA,ra · Tv · Tw · RD,rd v×w 6= 0

rA × rD 6= 0Tu · RB,rb · RC,rc · Tq u× q 6= 0

rB × rC 6= 0RA,ra · Tv · RC,rc · Tq v× q 6= 0

rA × rC 6= 0RA,ra · RB,rb · Tw · Tq w× q 6= 0

rA × rB 6= 0

Tabla 4.39: Generadores 2T2R con 2 generadores de traslación y 2 de rotación


La materialización de la ligadura cinemática Tu · Tv · RC,rc · RD,rdes posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.12, a las queles es añadido un generador de traslación, según se ve en la Tabla 4.40.

RPPR PPRR, PPUPC PCRPPaR PPaRR, PPaUPaPR PaPRR, PaPUPaC PaCRPaPaR PaPaRR, PaPaU

Tabla 4.40: Cadenas generadoras de desplazamientos 2T2R a partir de Tu ·Tv · RC,rc · RD,rd

Las opciones más adecuadas pueden ser las basadas en las cadenas cine-máticas PPaRR o PPaU , accionadas por su par P inicial. Sin embargo, losdiseños que suelen ofrecer los fabricantes hacen que los pares U reales presen-ten un ángulo de giro reducido, lo que hace descartar su empleo en numerosasocasiones.

La materialización de la ligadura cinemática Tu · RB,rb · Tw · RD,rdes posible a partir de todas las combinaciones expuestas en la Tabla 4.13 a lasque les es añadido un generador de rotación en las condiciones anteriormenteexpuestas, según se ve en la Tabla 4.41.

RPRP PRPR, PRCPC PCRPRPa PRPaRCP CPR,CCCPa CPaRPaRP PaRPR, PaRCPaC PaCRPaRPa PaRPaR

Tabla 4.41: Cadenas generadoras de desplazamientos 2T2R a partir de Tu ·RB,rb · Tw · RD,rd


Figura 4.23: Generador 2T2R con 2 generadores de traslación y 2 de rotación(PRPaR)

Nuevamente, desde un punto de vista puramente práctico han de prevalecerlas posibilidades basadas en pares Pa y R sobre las que incluyen pares P o Cpasivos. Esto hace a la cadena cinemática PRPaR una opción preferente dentrode este subgrupo, cadena accionada por el par P (Fig. 4.23).

La materialización de la ligadura cinemática Tu · RB,rb · RC,rc · Tqes posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.14, a las queles es añadido un generador de traslación, según se ve en la Tabla 4.42.

P PaPRR PRRP, PRC PRRPaPU PUP PUPaCR CRP, CC CRPaPaRR PaRRP PaRRPaPaU PaUP PaUPa

Tabla 4.42: Cadenas generadoras de desplazamientos 2T2R a partir de Tu ·RB,rb · RC,rc · Tq


Figura 4.24: Generador 2T2R con 2 generadores de traslación y 2 de rotación(PUPa)

De las alternativas mostradas las más adecuadas pueden ser las basadasen cadenas cinemáticas PRRPa o PUPa accionadas por su par P inicial,recordando el inconveniente que presenta la materialización de los pares Ureales (Fig. 4.24).

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra · Tv · RC,rc · Tqes posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.16 a las que leses añadido un generador de traslación, según se ve en la Tabla 4.43.

P PaRPR RPRP, RPC RPRPaRC RCP RCPaCR CRP, CC CRPaRPaR RPaRP, RPaC RPaRPa

Tabla 4.43: Cadenas generadoras de desplazamientos 2T2R a partir de RA,ra·Tv · RC,rc · Tq

Descartando las opciones que incluyen pares P o C pasivos, podemos con-siderar como más adecuada la cadena cinemática RPaRPa, accionada por elpar R inicial (Fig. 4.25).

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra · RB,rb · Tw · Tqes posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.17 a las que leses añadido un generador de traslación, según se ve en la Tabla 4.44.


Figura 4.25: Generador 2T2R con 2 generadores de traslación y 2 de rotación(RPaRPa)

P PaRRP RRPP RRPPaUP UPP UPPaRC RCP RCPaRRPa RRPaP RRPaPaUPa UPaP UPaPa

Tabla 4.44: Cadenas generadoras de desplazamientos 2T2R a partir de RA,ra·RB,rb · Tw · Tq

De entre todas las opciones mostradas, las cadenas cinemáticas preferentespueden ser la RRPaPa o UPaPa, accionadas por el par R o U inicial. Ademáses necesario recordar la dificultad de accionar la cadena cinemática a partir delpar U .

4.5.2.2. Generadores 2T2R mediante 1 generador de traslación y 3de rotación

En la Tabla 4.45 se recogen las condiciones geométricas bajo las cuales unúnico generador de traslación y tres de rotación generan desplazamientos de


tipo 2T2R. Para ello es necesario que dos de los tres ejes de los generadores derotación sean paralelos y la traslación generada por estos dos generadores derotación sea independiente con la del generador de traslación.

Ligadura Cinemática CondicionesTu · RB,rb · RC,rc · RD,rd rB × rC = 0⇒ u× nB,C 6= 0

rB × rD = 0⇒ u× nB,D 6= 0rC × rD = 0⇒ u× nC,D 6= 0

RA,ra · Tv · RC,rc · RD,rd rA × rC = 0⇒ v× nA,C 6= 0rA × rD = 0⇒ v× nA,D 6= 0rC × rD = 0⇒ v× nC,D 6= 0

RA,ra · RB,rb · Tw · RD,rd rA × rB = 0⇒ w× nA,B 6= 0rA × rD = 0⇒ w× nA,D 6= 0rB × rD = 0⇒ w× nB,D 6= 0

RA,ra · RB,rb · RC,rc · Tq rA × rB = 0⇒ q × nA,B 6= 0rA × rC = 0⇒ q × nA,C 6= 0rB × rC = 0⇒ q × nB,C 6= 0

Tabla 4.45: Generadores 2T2R con 1 generadores de traslación y 3 de rotación

La materialización de la ligadura cinemática Tu·RB,rb·RC,rc·RD,rdes posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.14 a las que seles añade un generador de rotación en la dirección deseada, según se muestraen la Tabla 4.46.

RPRR PRRR, PRUPU PURCR CRR, CUPaRR PaRRR, PaRUPaU PaUR

Tabla 4.46: Cadenas generadoras de desplazamientos 2T2R a partir de Tu ·RB,rb · RC,rc · RD,rd

Las opciones basadas en cadenas cinemáticas PRRR, PRU , PUR, PS,CRR o CU pueden ser alternativas válidas, salvando las dificultades del accio-namiento del par C y la materialización de los pares U y S.



RRPR RPRR, RPURC RCRCR CRR, CURPaR RPaRR

Tabla 4.47: Cadenas generadoras de desplazamientos 2T2R a partir de RA,ra·Tv · RC,rc · RD,rd

La opción basada en la cadena cinemática RPaRR accionada a partir desu par R inicial puede ser considerada como la más adecuada.

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra·RB,rb·Tw·RD,rdes posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.17 a las que seles añade un generador de rotación en la dirección adecuada, según se muestraen la Tabla 4.48.

RRRP RRPR, RRCRC RCRRRPa RRPaRUP UPR, UCUPa UPaR

Tabla 4.48: Cadenas generadoras de desplazamientos 2T2R a partir de RA,ra·RB,rb · Tw · RD,rd

La opción basada en la cadena cinemática RRPaR accionada a partir desu par R inicial puede ser considerada como la más adecuada (Fig. 4.26).


Figura 4.26: Generador 2T2R con 1 generador de traslación y 3 de rotación(RRPaR)

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra·RB,rb·RC,rc·Tqse realiza a partir de tres generadores de rotación a los que se les ha añadidoun generador de traslación, según se puede observar en la Tabla 4.49. Lasalternativas más adecuadas pueden ser las basadas en las cadenas cinemáticasRRRPa, RUPa o URPa.

P PaRRR RRRP, RRC RRRPaRU RUP RUPaUR URP, UC URPa

Tabla 4.49: Cadenas generadoras de desplazamientos 2T2R a partir de RA,ra·RB,rb · RC,rc · Tq

La opción basada en la cadena cinemática RRRPa accionada a partir desu par R inicial puede ser considerada como la más adecuada (Fig. 4.27).


Figura 4.27: Generador 2T2R con 1 generador de traslación y 3 de rotación(RRRPa)

4.5.2.3. Generadores 2T2R mediante 4 generadores de rotación

En la Tabla 4.50 se recogen las condiciones geométricas bajo las cualescuatro generadores de rotación generan desplazamientos de tipo 2T2R. Paraello es necesario que tres de los cuatro ejes de los generadores de rotación seanparalelos sin estar los tres dentro de un mismo plano.

Ligadura Cinemática CondicionesRA,ra · RB,rb · RC,rc · RD,rd A ‖ B ‖ C y nA,B × nB,C 6= 0

A ‖ B ‖ D y nA,B × nB,D 6= 0A ‖ C ‖ D y nA,C × nC,D 6= 0B ‖ C ‖ C y nB,C × nC,D 6= 0

Tabla 4.50: Generadores 2T2R con 4 generadores de rotación

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra · RB,rb · RC,rc ·RD,rd se realiza según se puede observar en la Tabla 4.51.

4.5.3. Generadores 1T3RA partir de las 16 ligaduras cinemáticas de dimensión 4 que aparecen en

las Tablas 4.19 se puede observar cómo únicamente 5 de ellos son capaces degenerar un desplazamiento 1T3R bajo ciertas condiciones geométricas.


RRRR RRRR, RRURU RURUR URR, UU

Tabla 4.51: Cadenas generadoras de desplazamientos 2T2R a partir de RA,ra·RB,rb · RC,rc · RD,rd

Estas 5 ligaduras cinemáticas generadores de desplazamiento 1T3R puedenser divididos en dos subgrupos, según aparece en la Tabla 4.21:

Aquellos que generan desplazamientos 1T3R por medio de 1 generadorde traslación y 3 de rotación,


En las Tablas 4.52 y 4.57 se pueden ver las diferentes posibilidades de ob-tener el desplazamiento 1T3R.

4.5.3.1. Generadores 1T3R mediante 1 generador de traslación y 3de rotación

En la Tabla 4.52 se recogen las condiciones geométricas bajo las cuales unúnico generador de traslación y tres de rotación generan desplazamientos detipo 1T3R. Para ello únicamente es necesario que los ejes de los tres generadoresde rotación estén definidos en tres direcciones linealmente independientes.

Ligadura Cinemática CondicionesTu · RB,rb · RC,rc · RD,rd rTB (rC × rD) 6= 0RA,ra · Tv · RC,rc · RD,rd rTA (rC × rD) 6= 0RA,ra · RB,rb · Tw · RD,rd rTA (rB × rD) 6= 0RA,ra · RB,rb · RC,rc · Tq rTA (rB × rC) 6= 0

Tabla 4.52: Generadores 1T3R con 1 generador de traslación y 3 de rotación

La materialización de la ligadura cinemática Tu·RB,rb·RC,rc·RD,rdes posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.14 a las que seles añade un generador de rotación en la dirección deseada, según se muestraen la Tabla 4.53.


Figura 4.28: Cadena cinemática generadora del desplazamiento 3R1T con 1generadores de traslación y 3 de rotación (CRR)

RPRR PRRR, PRUPU PUR, PSCR CRR, CUPaRR PaRRR, PaRUPaU PaUR, PaS


Desde un punto de vista puramente práctico han de prevalecer las posibili-dades basadas en pares Pa y R sobre las que incluyen pares P o C pasivos. Estohace a la cadena cinemática PRRR o CRR una opciones preferentes dentro deeste subgrupo (Fig. 4.28).



Figura 4.29: Cadena cinemática generadora del desplazamiento 3R1T con 1generador de traslación y 3 de rotación (RPaRR)

RRPR RPRR, RPURC RCRCR CRR, CURPaR RPaRR, RPaU

Tabla 4.54: Cadenas generadoras de desplazamientos 1T3R a partir de RA,ra·Tv · RC,rc · RD,rd

Desde un punto de vista puramente práctico han de prevalecer las posibi-lidades basadas en pares Pa y R sobre las que incluyen pares P o C pasivos.Esto hace a la cadena cinemática RPaRR una opción preferente dentro de estesubgrupo (Fig. 4.29).

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra·RB,rb·Tw·RD,rdes posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.17 a las que seles añade un generador de rotación en la dirección adecuada, según se muestraen la Tabla 4.55.

Desde un punto de vista puramente práctico han de prevalecer las posibi-lidades basadas en pares Pa y R sobre las que incluyen pares P o C pasivos.Esto hace a la cadena cinemática RRPaR una opción preferente dentro de estesubgrupo (Fig. 4.30).


RRRP RRPR, RRCRC RCRRRPa RRPaRUP UPR, UCUPa UPaR

Tabla 4.55: Cadenas generadoras de desplazamientos 1T3R a partir de RA,ra·RB,rb · Tw · RD,rd

Figura 4.30: Generador 1T3R con 1 generadores de traslación y 3 de rotación(RRPaR)

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra·RB,rb·RC,rc·Tqse realiza a partir de tres generadores de rotación a los que se les ha añadidoun generador de traslación, según se puede observar en la Tabla 4.56.

P PaRRR RRRP, RRC RRRPaRU RUP RUPaUR URP, UC URPa

Tabla 4.56: Cadenas generadoras de desplazamientos 2T2R a partir de RA,ra·RB,rb · RC,rc · Tq


4.5.3.2. Generadores 1T3R mediante 4 generadores de rotación

En la Tabla 4.57 se recogen las condiciones geométricas bajo las cuales unúnico generador de traslación y tres de rotación generan desplazamientos detipo 2T2R. Para ello es necesario que los ejes de los cuatro generadores de rota-ción definan tres direcciones independientes. Aparecerá un GDL de traslaciónen dirección determinada por la disposición relativa de los ejes de los cuatrogeneradores de rotación.

Ligadura Cinemática CondicionesRA,ra · RB,rb · RC,rc · RD,rd rB × rC = 0⇒ u× nB,C 6= 0

rB × rD = 0⇒ u× nB,D 6= 0rC × rD = 0⇒ u× nC,D 6= 0

Tabla 4.57: Generadores 1T3R con 4 generadores de rotación

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra · RB,rb · RC,rc ·RD,rd se realiza según se puede observar en la Tabla 4.58.

RRRR RRRR, RRURU RUR, RSUR URR, UUS SR

Tabla 4.58: Cadenas generadoras de desplazamientos 1T3R a partir de RA,ra·RB,rb · RC,rc · RD,rd


4.6. Dimensión 5

Tal y como se ha venido realizando hasta ahora, las ligaduras cinemáticas dedimensión 5 se obtienen añadiendo una nueva ligadura cinemática de dimensión1 a las ligaduras obtenidas en las Tablas 4.19, mostrándose en las Tablas 4.59y 4.60.

TsTu · Tv · Tw · Tq · TsTu · Tv · Tw · RD,rd · TsTu · Tv · RC,rc · Tq · TsTu · Tv · RC,rc · RD,rd · TsTu · RB,rb · Tw · Tq · TsTu · RB,rb · Tw · RD,rd · TsTu · RB,rb · RC,rc · Tq · Ts

Tabla 4.19 Tu · RB,rb · RC,rc · RD,rd · TsRA,ra · Tv · Tw · Tq · TsRA,ra · Tv · Tw · RD,rd · TsRA,ra · Tv · RC,rc · Tq · TsRA,ra · Tv · RC,rc · RD,rd · TsRA,ra · RB,rb · Tw · Tq · TsRA,ra · RB,rb · Tw · RD,rd · TsRA,ra · RB,rb · RC,rc · Tq · TsRA,ra · RB,rb · RC,rc · RD,rd · Ts

Tabla 4.59: Ligaduras cinemáticas de dimensión 5 con un generador de trasla-ción terminal

Sin embargo, con objeto de limitar la exposición del estudio de las ligadurascinemáticas de dimensión 5, nos centraremos únicamente en aquellas capacesde generar desplazamientos de dimensión 5.

A pesar de que puedan existir desplazamientos de dimensión 5 de muydiferente naturaleza, al final deberán estar incluidos en uno de los dos subgrupossiguientes:

Desplazamientos de naturaleza 3T2R, capaces de trasladarse en cualquierdirección del espacio y de rotar alrededor de cualquier dirección paralelaa un plano determinado.


RE,reTu · Tv · Tw · Tq · RE,reTu · Tv · Tw · RD,rd · RE,reTu · Tv · RC,rc · Tr · RE,reTu · Tv · RC,rc · RD,rd · RE,reTu · RB,rb · Tw · Tq · RE,reTu · RB,rb · Tw · RD,rd · RE,reTu · RB,rb · RC,rc · Tq · RE,reTu · RB,rb · RC,rc · RD,rd · RE,re

Tabla 4.19 RA,ra · Tv · Tw · Tq · RE,reRA,ra · Tv · Tw · RD,rd · RE,reRA,ra · Tv · RC,rc · Tq · RE,reRA,ra · Tv · RC,rc · RD,rd · RE,reRA,ra · RB,rb · Tw · Tq · RE,reRA,ra · RB,rb · Tw · RD,rd · RE,reRA,ra · RB,rb · RC,rc · Tq · RE,reRA,ra · RB,rb · RC,rc · RD,rd · RE,re

Tabla 4.60: Ligaduras cinemáticas de dimensión 5 con un generador de rotaciónterminal

Desplazamientos de naturaleza 2T3R, capaces de rotar alrededor de cual-quier dirección del espacio y de trasladarse en cualquier dirección paralelaa un plano determinado.

4.6.1. Generadores 3T2RDe las 32 ligaduras cinemáticas de dimensión 5 que aparecen en las Tablas

4.59 y 4.60, 26 de ellas son capaces de generar un desplazamiento 3T2R bajociertas condiciones geométricas, mostradas en la Tabla 4.61.

Estas 26 ligaduras cinemáticas generadoras de desplazamientos 2T2R pue-den ser clasificadas dentro de cuatro tipos diferentes, según aparecen en laTabla 4.61:

Aquellos que generan desplazamientos 3T2R por medio de 3 generadoresde traslación y 2 de rotación,

mediante 2 generadores de traslación y 3 de rotación,




Desplazamiento Ligaduras CinemáticasTu · Tv · Tw · RD,rd · RE,reTu · Tv · RC,rc · Tq · RE,reTu · Tv · RC,rc · RD,rd · TsTu · RB,rb · Tw · Tq · RE,reTu · RB,rb · Tw · RD,rd · TsTu · RB,rb · RC,rc · Tq · TsRA,ra · Tv · Tw · Tq · RE,reRA,ra · Tv · Tw · RD,rd · TsRA,ra · Tv · RC,rc · Tq · TsRA,ra · RB,rb · Tw · Tq · TsTu · Tv · RC,rc · RD,rd · RE,reTu · RB,rb · Tw · RD,rd · RE,re

3T2R Tu · RB,rb · RC,rc · Tq · RE,reTu · RB,rb · RC,rc · RD,rd · TsRA,ra · Tv · Tw · RD,rd · RE,reRA,ra · Tv · RC,rc · Tq · RE,reRA,ra · Tv · RC,rc · RD,rd · TsRA,ra · RB,rb · Tw · Tq · RE,reRA,ra · RB,rb · Tw · RD,rd · TsRA,ra · RB,rb · RC,rc · Tq · TsTu · RB,rb · RC,rc · RD,rd · RE,reRA,ra · Tv · RC,rc · RD,rd · RE,reRA,ra · RB,rb · Tw · RD,rd · RE,reRA,ra · RB,rb · RC,rc · Tq · RE,reRA,ra · RB,rb · RC,rc · RD,rd · TsRA,ra · RB,rb · RC,rc · RD,rd · RE,re

Tabla 4.61: Ligaduras cinemáticas generadoras de desplazamientos de dimen-sión 5 3T2R


4.6.1.1. Generadores 3T2R empleando 3 generadores de traslacióny 2 de rotación

En la Tabla 4.62 podemos encontrar las ligaduras cinemáticas que, siendogeneradas mediante 3 generadores de traslación y 2 de rotación, son capacesde generar desplazamientos 3T2R bajo las condiciones geométricas que en ellase indican. Para que esto se produzca es necesario que los tres generadoresde traslación sean definidos en tres direcciones linealmente independientes, asícomo que los ejes de los generadores de rotación sean de diferente dirección.

Ligadura Cinemática Condiciones Direccionesde Rotación

Tu · Tv · Tw · RD,rd · RE,re rD × rE 6= 0 Plano definidouT (v×w) 6= 0 por rD y rE

Tu · Tv · RC,rc · Tq · RE,re rC × rD 6= 0 Plano definidouT (v× q) 6= 0 por rC y rE

Tu · Tv · RC,rc · RD,rd · Ts rC × rD 6= 0 Plano definidouT (v× s) 6= 0 por rC y rD

Tu · RB,rb · Tw · Tq · RE,re rB × rE 6= 0 Plano definidouT (w× q) 6= 0 por rB y rE

Tu · RB,rb · Tw · RD,rd · Ts rB × rD 6= 0 Plano definidouT (w× s) 6= 0 por rB y rD

Tu · RB,rb · RC,rc · Tq · Ts rB × rC 6= 0 Plano definidouT (q × s) 6= 0 por rB y rC

RA,ra · Tv · Tw · Tq · RE,re rA × rE 6= 0 Plano definidovT (w× q) 6= 0 por rA y rE

RA,ra · Tv · Tw · RD,rd · Ts rA × rD 6= 0 Plano definidovT (w× s) 6= 0 por rA y rD

RA,ra · Tv · RC,rc · Tq · Ts rA × rC 6= 0 Plano definidovT (q × s) 6= 0 por rA y rC

RA,ra · RB,rb · Tw · Tq · Ts rA × rB 6= 0 Plano definidovT (w× s) 6= 0 por rA y rB

Tabla 4.62: Ligaduras cinemáticas de dimensión 5 generadoras de desplaza-mientos 3T2R con 3 generadores de traslación y 2 de rotación


La materialización de la ligadura cinemática Tu · Tv · Tw · RD,rd ·RE,re es posible con todas las combinaciones de pares mostradas en la Ta-bla 4.23 a las que les es añadido un generador de rotación en la direcciónadecuada, según puede verse en la Tabla 4.63.

RPPPR, PPC PPPR, PPC, PPCRPPPaR PPPaRR, PPPaU

PPaPR, PPaC PPaPRR, PPaPU, PPaCRPPaPaR PPaPaRR, PPaPaU

PaPPR, PaPC PaPPRR, PaPPU, PaPCRPPPaR PPPaRR, PPPaU

PaPaPR, PaPaC PaPaPRR, PaPaPU, PaPaCRPaPaPaR PaPaPaRR, PaPaPaU

Tabla 4.63: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de Tu ·Tv · Tw · RD,rd · RE,re

De entre todas las posibilidades mostradas en la Tabla 4.63, las cadenascinemáticas PPaPaRR o PPaPaU accionadas por su par P inicial pueden serconsideradas como las más adecuadas. Sin embargo, el problema antes indicadode la materialización del par U , junto con el gran número de elementos necesa-rios para materializar ambos pares Pa, relegan a un segundo plano todas estasalternativas.

La materialización de la ligadura cinemática Tu · Tv · RC,rc · Tq ·RE,re es posible con todas las combinaciones de pares mostradas en la Ta-bla 4.24 a las que les es añadido un generador de rotación en la direcciónadecuada, según puede verse en la Tabla 4.64.

De entre todas las posibilidades mostradas en la Tabla 4.64, la cadena cine-mática PPaRPaR accionada por su par P inicial puede ser considerada comola más adecuada.Sin embargo, el gran número de elementos necesarios paramaterializar ambos pares Pa, relegan a un segundo plano esta alternativa.


RPPRP , PCP PPRPR, PPRC,PCPR, PCCPPRPa, PCPa PPRPaR,PCPaRPPaRP , PPaC PPaRPR, PPaRC, PPaCR

PPaRPa PPaRPaRPaPRP , PaPC PaPRPR, PaPRC, PaPCR

PPRPa PPRPaRPaCP PaCPR, PaCCPaCPa PaCPaR

PaPaRP , PaPaC PaPaRPR, PaPaRC, PaPaCRPaPaRPa PaPaRPaR

Tabla 4.64: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de Tu ·Tv · RC,rc · Tq · Ts

La materialización de la ligadura cinemática Tu · RB,rb · Tw · Tq ·RE,re es posible con todas las combinaciones de pares mostradas en la Ta-bla 4.25 a las que les es añadido un generador de rotación en la direcciónadecuada, según puede verse en la Tabla 4.65.

RPRPP , PCP PRPPR, PRPC, PCPR, PCCPRPPa PRPPaR

PRPaP , PCPa PRPaPR, PRPaC, PCPaRPRPaPa PRPaPaRCPP CPPR, CPCCPPa CPPaRCPaP CPaPR, CPaCCPaPa CPaPaR

PaRPP , PaCP PaRPPR, PaRPC, PaCPR, PaCCPaRPPa PaRPPaR

PaRPaP , PaCPa PaRPaPR, PaRPaC, PaCPaRPaRPaPa PaRPaPaR

Tabla 4.65: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de Tu ·RB,rb · Tw · Tq · Rw

De entre todas las posibilidades mostradas en la Tabla 4.65, las cadenascinemáticas PRPaPaR y CPaPaR, accionadas por su par P o C inicial, pue-


den ser consideradas como las más adecuadas. Sin embargo, el gran número deelementos necesarios para materializar ambos pares Pa, relegan a un segundoplano estas alternativas.

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra · Tv · Tw · Tq ·RE,re es posible con todas las combinaciones de pares mostradas en la Ta-bla 4.26 a las que les es añadido un generador de rotación en la direcciónadecuada, según puede verse en la Tabla 4.66.

RRPPP , CPP RPPPR, RPPC, CPPR, CPCRPPPa, CPPa RPPPaR, CPPaRRPPaP , CPaP RPPaPR, RPPaC, CPaPR, CPaCRPPaPa, CPaPa RPPaPaR, CPaPaR

RPaPP RPaPPR, RPaPCRPaPPa RPaPPaRRPaPaP RPaPaPR, RPaPaCRPaPaPa RPaPaPaR

Tabla 4.66: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·Tv · Tw · Tq · RE,re

De entre todas las posibilidades mostradas en la Tabla 4.66, la cadena ci-nemática RPaPaPaR, accionada por su par R inicial, puede ser consideradacomo la más adecuada. Sin embargo, el gran número de elementos necesariospara materializar los tres pares Pa de los que está compuesta, relegan a unsegundo plano a esta alternativa.

La materialización de la ligadura cinemática Tu · Tv · RC,rc · RD,rd ·Ts es posible con todas las combinaciones de pares mostradas en la Tabla 4.40a las que les es añadido un generador de traslación en la dirección adecuada,según puede verse en la Tabla 4.67.

De entre todas las posibilidades mostradas en la Tabla 4.67, las cadenascinemáticas PPaRRPa o PPaUPa, accionadas por su par P inicial, puedenser consideradas como las más adecuadas. Sin embargo, el gran número deelementos necesarios para materializar los pares Pa de los que está compuesta,relegan a un segundo plano estas alternativas.


P PaPPRR PPRRP, PPRC PPRRPaPPU PPUP PPUPaPCR PCRP, PCC PCRPaPPaRR PPaRRP, PPaRC PPaRRPaPPaU PPaUP PPaUPaPaPRR PaPRRP, PaPRC PaPRRPaPaPU PaPUP PaPUPaPaCR PaCRP, PaCC PaCRPaPaPaRR PaPaRRP, PaPaRC PaPaRRPaPaPaU PaPaUP PaPaUPa

Tabla 4.67: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de Tu ·Tv · RC,rc · RD,rd · Ts

La materialización de la ligadura cinemática Tu · RB,rb · Tw · RD,rd ·Ts es posible con todas las combinaciones de pares mostradas en la Tabla 4.41a las que les es añadido un generador de traslación en la dirección adecuada,según puede verse en la Tabla 4.68.

P PaPRPR PRPRP, PRPC PRPRPaPRC PRCP PRCPaPCR PCRP, PCC PCRPaPRPaR PRPaRP, PRPaC PRPaRPaCPR CPRP, CPC CPRPaCC CCP CCPaCPaR CPaRP, CPaC CPaRPaPaRPR PaRPRP, PaRPC PaRPRPaPaRC PaRCP PaRCPaPaCR PaCRP, PaCC PaCRPaPaRPaR PaRPaRP, PaRPaC PaRPaRPa

Tabla 4.68: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de Tu ·RB,rb · Tw · RD,rd · Ts

De entre todas las posibilidades mostradas en la Tabla 4.68, las cadenascinemáticas PRPaRPa o CPaRPa, accionadas por sus pares P o C iniciales,


pueden ser consideradas como las más adecuadas. Sin embargo, el gran nú-mero de elementos necesarios para materializar los pares Pa de los que estáncompuestas, relegan a un segundo plano estas alternativas.

P PaRPPR RPPRP, RPPC RPPRPaRPC RPCP RPCPaRPPaR RPPaRP, RPPaRP RPPaRPaCPR CPRP, CPC CPRPaCC CCP CCPaCPaR CPaRP, CPaC CPaRPaRPaPR RPaPRP, RPaPC RPaPRPaRPaC RPaCP RPaCPaRPaPaR RPaPaRP, RPaPaC RPaPaRPa

Tabla 4.69: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir RA,ra ·Tv · Tw · RD,rd · Ts

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra · Tv · Tw · RD,rd ·Ts es posible con todas las combinaciones de pares mostradas en la Tabla 4.30a las que les es añadido un generador de traslación en la dirección adecuada,según puede verse en la Tabla 4.69.

De entre todas las posibilidades mostradas en la Tabla 4.69, la cadena ci-nemática RPa2RPa, accionada por su par R inicial, puede ser consideradacomo la más adecuada. Sin embargo, el gran número de elementos necesariospara materializar los pares Pa de los que está compuesta, relegan a un segundoplano a esta alternativa.

La materialización de la ligadura cinemática Tu · RB,rb · RC,rc · Tq ·Ts es posible con todas las combinaciones de pares mostradas en la Tabla 4.42a las que les es añadido un generador de traslación en la dirección adecuada,según puede verse en la Tabla 4.70.

De entre todas las posibilidades mostradas en la Tabla 4.70, las cadenascinemáticas PUPaPa, PRRPa2 o CRPaPa, accionada por sus pares P o Ciniciales, pueden ser consideradas como las más adecuadas. Sin embargo, elgran número de elementos necesarios para materializar los pares Pa de los queestán compuestas, relegan a un segundo plano estas alternativas.

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra · Tv · RC,rc · Tq ·Ts es posible con todas las combinaciones de pares mostradas en la Tabla 4.43


P PaPRRP PRRPP PRRPPaPRC PRCP PRCPaPRRPa PRRPaP PRRPaPaPUP PUPP PUPPaPUPa PUPaP PUPaPaCRP CRPP CRPPaCC CCP CCPaCRPa CRPaP CRPaPaPaRRP PaRRPP PaRRPPaPaRRPa PaRRPaP PaRRPaPaPaUP PaUPP PaUPPaPaUPa PaUPaP PaUPaPa

Tabla 4.70: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de Tu ·RB,rb · RC,rc · Tq · Ts

a las que les es añadido un generador de traslación en la dirección adecuada,según puede verse en la Tabla 4.71.

P PaRPRP RPRPP RPRPPaRPC RPCP RPCPaRPRPa RPRPaP RPRPaPaRCP RCPP RCPPaRCPa RCPaP RCPaPaCRP CRPP CRPPaCC CCP CCPaCRPa CRPaP CRPaPaRPaRP RPaRPP RPaRPPaRPaC RPaCP RPaCaPRPaRPa RPaRPaP RPaRPaPa

Tabla 4.71: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·Tv · RC,rc · Tq · Ts

De entre todas las posibilidades mostradas en la Tabla 4.71, la cadena ci-nemática RPaRPa2, accionada por su par R inicial, puede ser considerada


como la más adecuada. Sin embargo, el gran número de elementos necesariospara materializar los pares Pa de los que está compuesta, relegan a un segundoplano esta alternativa.

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra · RB,rb · Tw · Tq ·Ts es posible con todas las combinaciones de pares mostradas en la Tabla 4.44a las que les es añadido un generador de traslación en la dirección adecuada,según puede verse en la Tabla 4.72.

P PaRRPP RRPPP RRPPPaRRPPa RRPPaP RRPPaPaUPP UPPP UPPPaUPPa UPPaP UPPaPaRCP RCPP RCPPaRCPa RCPaP RCPaPaRRPaP RRPaPP RRPaPPaRRPaPa RRPaPaP RRPaPaPaUPaP UPaPP UPaPPaUPaPa UPaPaP UPaPaPa

Tabla 4.72: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·RB,rb · Tw · Tq · Ts

De entre todas las posibilidades mostradas en la Tabla 4.72, las cadenascinemáticas RRPaPaPa o UPaPaPa, accionadas por su par R o U iniciales,pueden ser consideradas como las más adecuadas. Sin embargo, el gran nú-mero de elementos necesarios para materializar los pares Pa de los que estáncompuesta, relegan a un segundo plano estas alternativas.

4.6.1.2. Generador 3T2R empleando 2 generadores de traslación y3 de rotación

En las Tablas 4.73, 4.74, 4.75, 4.76, 4.77, 4.78, 4.79, 4.80, 4.81 y 4.82 semuestran las ligaduras cinemáticas que siendo generadas mediante 2 generado-res de traslación y 3 de rotación son capaces de generar desplazamientos 3T2Rbajo unas determinadas condiciones geométricas.



Tu · Tv · RC,rc · u× v 6= 0 Plano formado· RD,rd · RE,re rC × rD = 0 por rC y rE

rC × rE 6= 0nTC,D (u× v) 6= 0

u× v 6= 0 Plano formadorC × rE = 0 por rC y rDrC × rD 6= 0

nTC,E (u× v) 6= 0u× v 6= 0 Plano formado

rD × rE = 0 por rC y rDrC × rD 6= 0

nTD,E (u× v) 6= 0

Tabla 4.73: Ligaduras cinemáticas de dimensión 5 generadores de desplaza-mientos 3T2R con 2 generadores de traslación y 3 de rotación

Ligaduras Cinemática Condiciones Direccionesde Rotación

Tu · RB,rb · Tw · u×w 6= 0 Plano formado· RD,rd · RE,re rB × rD = 0 por rB y rE

rB × rE 6= 0nTB,D (u×w) 6= 0

u×w 6= 0 Plano formadorB × rE = 0 por rB y rDrB × rD 6= 0

nTB,E (u×w) 6= 0u×w 6= 0 Plano formado

rD × rE = 0 por rB y rDrB × rD 6= 0

nTD,E (u×w) 6= 0



Ligadura Cinemáticas Condiciones Direccionesde Rotación

RA,ra · Tv · Tw · v×w 6= 0 Plano formado· RD,rd · RE,re rA × rD = 0 por rA y rE

rA × rE 6= 0nTA,D (v×w) 6= 0

v×w 6= 0 Plano formadorA × rE = 0 por rA y rDrA × rD 6= 0

nTA,E (v×w) 6= 0v×w 6= 0 Plano formado

rD × rE = 0 por rA y rDrA × rD 6= 0

nTD,E (v×w) 6= 0



Tu · RB,rb · RC,rc · u× q 6= 0 Plano formado· Tq · RE,re rB × rC = 0 por rB y rE

rB × rE 6= 0nTB,C (u× q) 6= 0

u× q 6= 0 Plano formadorB × rE = 0 por rB y rDrB × rC 6= 0

nTB,E (u× q) 6= 0u× q 6= 0 Plano formado

rC × rE = 0 por rB y rDrB × rC 6= 0

nTC,E (u× q) 6= 0




RA,ra · Tv · RC,rc · v× q 6= 0 Plano formado· Tq · RE,re rA × rC = 0 por rA y rE

rA × rE 6= 0nTA,C (v× q) 6= 0

v× q 6= 0 Plano formadorA × rE = 0 por rA y rDrA × rC 6= 0

nTA,E (v× q) 6= 0v× q 6= 0 Plano formado

rC × rE = 0 por rA y rDrA × rC 6= 0

nTC,E (v× q) 6= 0



Tu · RB,rb · RC,rc · u× s 6= 0 Plano formado· RD,rd · Ts rB × rC = 0 por rB y rD

rB × rD 6= 0nTB,C (u× s) 6= 0

u× s 6= 0 Plano formadorB × rD = 0 por rB y rDrB × rC 6= 0

nTB,D (u× s) 6= 0u× s 6= 0 Plano formado

rC × rD = 0 por rB y rDrB × rC 6= 0

nTC,D (u× s) 6= 0




RA,ra · Tv · RC,rc · v× s 6= 0 Plano formado· RD,rd · Ts rA × rC = 0 por rA y rD

rA × rD 6= 0nTA,C (v× s) 6= 0

v× s 6= 0 Plano formadorA × rD = 0 por rA y rDrA × rC 6= 0

nTA,D (v× s) 6= 0v× s 6= 0 Plano formado

rC × rD = 0 por rA y rDrA × rC 6= 0

nTC,D (v× s) 6= 0



RA,ra · RB,rb · Tw · w× s 6= 0 Plano formado· RD,rd · Ts rA × rB = 0 por rA y rD

rA × rD 6= 0nTA,B (w× s) 6= 0

w× s 6= 0 Plano formadorA × rD = 0 por rA y rDrA × rB 6= 0

nTA,D (w× s) 6= 0w× s 6= 0 Plano formado

rB × rD = 0 por rA y rDrA × rC 6= 0

nTB,D (w× s) 6= 0




RA,ra · RB,rb · Tw · w× q 6= 0 Plano formado· Tq · RE,re rA × rB = 0 por rA y rE

rA × rE 6= 0nTA,B (w× q) 6= 0

w× q 6= 0 Plano formadorA × rE = 0 por rA y rErA × rB 6= 0

nTA,E (w× q) 6= 0w× q 6= 0 Plano formado

rB × rE = 0 por rA y rErA × rC 6= 0

nTB,E (w× q) 6= 0



RA,ra · RB,rb · RC,rc · q × s 6= 0 Plano formado· Tq · Ts rA × rB = 0 por rA y rC

rA × rC 6= 0nTA,B (q × s) 6= 0

q × s 6= 0 Plano formadorA × rC = 0 por rA y rCrA × rB 6= 0

nTA,E (q × s) 6= 0q × s 6= 0 Plano formado

rB × rC = 0 por rA y rCrA × rC 6= 0

nTB,E (q × s) 6= 0

Tabla 4.82: Ligadura cinemática de dimensión 5 generadores de desplazamien-tos 3T2R con 2 generadores de traslación y 3 de rotación


La materialización de la ligadura cinemática Tu · Tv · RC,rc · RD,rd ·RE,re es posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.40, alas que les es añadido un generador de rotación, según se ve en la Tabla 4.83.

RPPRR PPRRR, PPRUPPU PPURPCR PCRR, PCUPPaRR PPaRRR, PPaRUPPaU PPaURPaPRR PaPRRR, PaPRUPaPU PaPURPaCR PaCRR, PaCUPaPaRR PaPaRRR, PaPaRUPaPaU PaPaUR

Tabla 4.83: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de Tu ·Tv · RC,rc · RD,rd · RE,re

De entre todas las posibilidades mostradas en la Tabla 4.83, las opcionesmás adecuadas desde un punto de vista práctico pasan por las cadenas cine-máticas PPaRRR, PPaRU o PPaUR, accionadas por su par P inicial. Encaso de decantarnos por las soluciones que incluyen pares U es necesario te-ner presentes sus limitaciones físicas reales, que hacen que presenten un valorbastante limitado del ángulo de giro entre los elementos que une.

La materialización de la ligadura cinemática Tu · RB,rb · Tw · RD,rd ·RE,re es posible a partir de todas las combinaciones expuestas en la Ta-bla 4.41 a las que les es añadido un generador de rotación en las condicionesanteriormente expuestas, según se ve en la Tabla 4.84.

Dentro del grupo de cadenas cinemáticas mostradas en la Tabla 4.84 ,pode-mos encontrar diferentes posibilidades adecuadas, como pueden ser las cadenascinemáticas PRPaRR, PRPaU , CPaRR o CPaU , accionadas por su par P oC iniciales.

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra · Tv · Tw · RD,rd ·RE,re es posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.30 alas que les es añadido un generador de rotación, según se ve en la Tabla 4.85.

De entre las posibilidades mostradas en la Tabla 4.85, podemos conside-rar como más adecuadas las basadas en las cadenas cinemáticas RPaPaRR oRPaPaU , accionadas por su par R inicial. Sin embargo estas dos alternativas


RPRPR PRPRR, PRPUPRC PPRCRPCR PCRR, PCUPRPaR PRPaRR, PRPaUCPR CPRR, CPUCC CCRCPaR CPaRR, CPaUPaRPR PaRPRR, PaRPUPaRC PaRCRPaCR PaCRR, PaCUPaRPaR PaRPaRR, PaRPaU

Tabla 4.84: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de Tu ·RB,rb · Tw · RD,rd · RE,re

RRPPR RPPRR, RPPURPC RPCRRPPaR RPPaRR, RPPaUCPR CPRR, CPUCC CCRCPaR CPaRR, CPaURPaPR RPaPRR, RPaPURPaC RPaCRRPaPaR RPaPaRR, RPaPaU

Tabla 4.85: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir RA,ra ·Tv · Tw · RD,rd · RE,re

presentan el inconveniente de necesitar numerosos elementos para materializarlos pares Pa de los que están compuestas.


La materialización de la ligadura cinemática Tu · RB,rb · RC,rc · Tq ·RE,re es posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.42, alas que les es añadido un generador de traslación, según se ve en la Tabla 4.86.

RPRRP PRRPR, PRRCPRC PRCRPRRPa PRRPaRPUP PUPR, PUCPUPa PUPaRCRP CRPR, CRCCC CCRCRPa CRPaRPaRRP PaRRPR, PaRRCPaRRPa PaRRPaRPaUP PaUPR, PaUCPaUPa PaUPaR

Tabla 4.86: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de Tu ·RB,rb · RC,rc · Tq · RE,re

De entre las diferentes posibilidades mostradas en la Tabla 4.86, pode-mos considerar como más adecuadas las basadas en las cadenas cinemáticasPRRPaR, PUPaR o CRPaR, accionadas por medio de sus pares P o C ini-ciales.

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra · Tv · RC,rc · Tq ·RE,re es posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.32 alas que les es añadido un generador de traslación, según se ve en la Tabla 4.87.

De entre las opciones mostradas en la Tabla 4.87, podemos considerar comomás adecuada la solución basada en la cadena cinemática RPaRPaR, accio-nada por su par R inicial.


RRPRP RPRPR, RPRCRPC RPCRRPRPa RPRPaRRCP RCPR, RCCRCPa RCPaRCRP CRPR, CRCCC CCRCRPa CRPaRRPaRP RPaRPR, RPaRCRPaC RPaCRRPaRPa RPaRPaR

Tabla 4.87: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·Tv · RC,rc · Tq · RE,re

La materialización de la ligadura cinemática Tu·RB,rb·RC,rc·RD,rd·Ts es posible con las combinaciones mostradas en la Tabla 4.46 que no inclu-yen pares S, a las que se les añade un generador de traslación, según se muestraen la Tabla 4.88.

P PaPRRR PRRRP, PRRC PRRRPaPRU PRUP PRUPaPUR PURP, PUC PURPaCRR CRRP, CRC CRRPaCU CUP CUPa

PaRRR PaRRRP, PaRRC PaRRRPaPaRU PaRUP PaRUPaPaUR PaURP, PaUC PaURPa


De entre las soluciones mostradas en la Tabla 4.88, podemos considerar co-mo más adecuadas las basadas en las cadenas cinemáticas PRRRPa, PRUPa,PURPa, CRRPa o CUPa, accionadas por sus respectivos pares P o C inicia-les.


La materialización de la ligadura cinemática RA,ra·Tv·RC,rc·RD,rd·Ts es posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.47 a lasque se les añade un generador de traslación, según se muestra en la Tabla 4.89.

P PaRPRR RPRRP, RPRC RPRRPaRPU RPUP RPUPaRCR RCRP, RCC RCRPaCRR CRRP, CRC CRRPaCU CUP CUPa

RPaRR RPaRRP, RPaRC RPaRRPa

Tabla 4.89: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·Tv · RC,rc · RD,rd · Ts

De entre las soluciones mostradas en la Tabla 4.89, podemos considerarcomo más adecuada la basada en la cadena cinemática RPaRRPa, accionadaspor su respectivo par R inicial. La materialización de la ligadura cinemáticaRA,ra · RB,rb · Tw · RD,rd · Ts es posible con todas las combinacionesmostradas en la Tabla 4.48 a las que se les añade un generador de traslación,según se muestra en la Tabla 4.90.

P PaRRPR RRPRP, RRPC RRPRPaRRC RRCP RRCPaRCR RCRP, RCC RCRPaRRPaR RRPaRP, RRPaC RRPaRPaUPR UPRP, UPC UPRPaUC UCP UCPaUPaR UPaRP, UPaC UPaRPa

Tabla 4.90: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·RB,rb · Tw · RD,rd · Ts

De entre las soluciones mostradas en la Tabla 4.90, podemos considerarcomo más adecuada la basada en la cadena cinemática RRPaRPa, accionadaspor su respectivo par R inicial.


La materialización de la ligadura cinemática RA,ra · RB,rb · Tw · Tq ·RE,re es posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.44 alas que les es añadido un generador de traslación, según se ve en la Tabla 4.91.

RRRPP RRPPR, RRPCRRPPa RRPPaRUPP UPPR, UPCUPPa UPPaRRCP RCPR, RCCRCPa RCPaRRRPaP RRPaPR, RRPaCRRPaPa RRPaPaRUPaP UPaPR, UPaCUPaPa UPaPaR

Tabla 4.91: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·RB,rb · Tw · Tq · RE,re

De entre las soluciones mostradas en la Tabla 4.91, podemos considerarcomo más adecuada la basada en la cadena cinemática RRPaPaR, accionadaspor su respectivo par R inicial.

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra · RB,rb · RC,rc ·Tq · Ts se realiza a partir las opciones mostradas en la Tabla 4.49, a lasque se les ha añadido un generador de traslación, según se puede observar enla Tabla 4.92.

De entre las soluciones mostradas en la Tabla 4.92, podemos considerarcomo más adecuada la basada en la cadena cinemática RRRPaPa, accionadaspor su respectivo par R inicial.

4.6.1.3. Generador 3T2R empleando 1 generador de traslación y 4de rotación

En las Tablas 4.93, 4.94, 4.95, 4.96, 4.97 se muestran las ligaduras cinemá-ticas de dimensión 5 que siendo definidas mediante 1 generador de traslacióny 4 de rotación son capaces de generar desplazamientos 3T2R bajo ciertascondiciones geométricas.


P PaRRRP RRRPP RRRPPaRRC RRCP RRCPaRRRPa RRRPaP RRRPaPaRUP RUPP RUPPaRUPa RUPaP RUPaPaURP URPP URPPaUC UCP UCPaURPa URPaP URPaPa

Tabla 4.92: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·RB,rb · RC,rc · Tq · Ts


Tu · RB,rb · RC,rc · B ‖ C ‖ D Plano definido· RD,rd · RE,re uT (nB,C × nC,D) 6= 0 por rB y rE

rB × rE 6= 0B ‖ C ‖ E Plano definido

uT (nB,C × nC,E) 6= 0 por rB y rDrB × rD 6= 0B ‖ D ‖ E Plano definido

uT (nB,D × nD,E) 6= 0 por rB y rCrB × rC 6= 0C ‖ D ‖ E Plano definido

uT (nC,D × nD,E) 6= 0 por rB y rCrB × rC 6= 0B ‖ C y D ‖ E Plano definido

uT (nB,C × nD,E) 6= 0 por rB y rDB ‖ D y C ‖ E Plano definido

uT (nB,D × nC,E) 6= 0 por rB y rCB ‖ E y C ‖ D Plano definido

uT (nB,E × nC,D) 6= 0 por rB y rC

Tabla 4.93: Ligaduras cinemáticas de dimensión 5 generadores de desplaza-mientos 3T2R mediante 1 generador de traslación y 4 de rotación



RA,ra · Tv · RC,rc · A ‖ C ‖ D Plano definido· RD,rd · RE,re vT (nA,C × nC,D) 6= 0 por rA y rE

rA × rE 6= 0A ‖ C ‖ E Plano definido

vT (nA,C × nC,E) 6= 0 por rA y rDrA × rD 6= 0A ‖ D ‖ E Plano definido

vT (nA,D × nD,E) 6= 0 por rA y rCrB × rC 6= 0C ‖ D ‖ E Plano definido

vT (nC,D × nD,E) 6= 0 por rA y rCrA × rC 6= 0

A ‖ C Plano definidoD ‖ E por rA y rD

vT (nA,C × nD,E) 6= 0A ‖ D Plano definidoC ‖ E por rA y rC

vT (nA,D × nC,E) 6= 0A ‖ E Plano definidoC ‖ D por rA y rC

vT (nA,E × nC,D) 6= 0




RA,ra · RB,rb · Tw · B ‖ A ‖ D Plano definido· RD,rd · RE,re wT (nB,A × nA,D) 6= 0 por rB y rE

rB × rE 6= 0B ‖ A ‖ E Plano definido

wT (nB,A × nA,E) 6= 0 por rB y rDrB × rD 6= 0B ‖ D ‖ E Plano definido

wT (nB,D × nD,E) 6= 0 por rB y rArB × rA 6= 0C ‖ D ‖ E Plano definido

wT (nA,D × nD,E) 6= 0 por rB y rArB × rA 6= 0

A ‖ B Plano definidoD ‖ E por rA y rD

wT (nA,B × nD,E) 6= 0A ‖ D Plano definidoB ‖ E por rA y rB

wT (nA,D × nB,E) 6= 0A ‖ E Plano definidoB ‖ D por rA y rB

wT (nA,E × nB,D) 6= 0




RA,ra · RB,rb · RC,rc · A ‖ B ‖ C Plano definido· Tq · RE,re qT (nA,B × nB,C) 6= 0 por rB y rE

rB × rE 6= 0B ‖ C ‖ E Plano definido

qT (nB,C × nC,E) 6= 0 por rA y rBrA × rB 6= 0A ‖ B ‖ E Plano definido

qT (nA,B × nB,E) 6= 0 por rB y rCrB × rC 6= 0A ‖ C ‖ E Plano definido

qT (nA,C × nC,E) 6= 0 por rB y rCrB × rC 6= 0

A ‖ B Plano definidoC ‖ E por rA y rC

qT (nA,B × nC,E) 6= 0A ‖ C Plano definidoB ‖ E por rA y rB

qT (nA,C × nB,E) 6= 0A ‖ E Plano definidoB ‖ C por rA y rB

qT (nA,E × nB,C) 6= 0




RA,ra · RB,rb · RC,rc · B ‖ C ‖ D Plano definido· RD,rd · Ts sT (nB,C × nC,D) 6= 0 por rA y rB

rA × rB 6= 0A ‖ B ‖ C Plano definido

sT (nA,B × nB,C) 6= 0 por rB y rDrB × rD 6= 0A ‖ B ‖ D Plano definido

sT (nA,B × nB,D) 6= 0 por rB y rCrB × rC 6= 0A ‖ C ‖ D Plano definido

sT (nA,C × nC,D) 6= 0 por rB y rCrB × rC 6= 0

A ‖ B Plano definidoC ‖ D por rA y rC

sT (nA,B × nC,D) 6= 0A ‖ C Plano definidoB ‖ D por rA y rB

sT (nA,C × nB,D) 6= 0A ‖ D Plano definidoB ‖ C por rA y rB

sT (nA,D × nB,C) 6= 0



La materialización de la ligadura cinemática Tu·RB,rb·RC,rc·RD,rd·RE,re es posible con las combinaciones mostradas en la Tabla 4.46, a las quese les añade un generador de rotación en la dirección deseada, según se muestraen la Tabla 4.98.

RPRRR, PRU , PUR PRRRR, PRRU, PRUR, PURR, PUU

CRR, CU CRRR, CRU, CURPaRRR, PaRU , PaUR PaRRRR, PaRRU, PaRUR

PaURR, PaUU

Tabla 4.98: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de Tu ·RB,rb · RC,rc · RD,rd · RE,re

De entre las soluciones mostradas en la Tabla 4.98, podemos considerarcomo más adecuada la basada en la cadena cinemática PRRRR, accionadaspor su respectivo par P inicial, aunque el gran número de pares R que presentapuede llevar a obtener una cadena cinemática de un gran número de elementoscon una rigidez no muy elevada.

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra·Tv·RC,rc·RD,rd·RE,re es posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.54 alas que se les añade un generador de rotación en la dirección adecuada, segúnse muestra en la Tabla 4.99.

RRPRR, RPU RPRRR, RPRU, RPUR

RCR, CRR, CU RCRR, RCU, CRRR, CRU, CURRPaRR, RPaU RPaRRR, RPaRU, RPaUR

Tabla 4.99: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de RA,ra·Tv · RC,rc · RD,rd · RE,re

De entre las soluciones mostradas en la Tabla 4.99, podemos considerarcomo más adecuada la basada en la cadena cinemática RPaRRR, accionadaspor su respectivo par R inicial.


La materialización de la ligadura cinemática RA,ra·RB,rb·Tw·RD,rd·RE,re es posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.48 alas que se les añade un generador de rotación en la dirección adecuada, segúnse muestra en la Tabla 4.100.

RRRPR, RRC, RCR RRPRR, RRPU, RRCR, RCRR, RCU

UPR,UC UPRR, UPU, UCRRRPaR, UPaR RRPaRR, RRPaU, UPaRR, UPaU

Tabla 4.100: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir deRA,ra · RB,rb · Tw · RD,rd · RE,re

De entre las soluciones mostradas en la Tabla 4.100, podemos considerarcomo más adecuada la basada en la cadena cinemática RRPaRR, accionadaspor su respectivo par R inicial.

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra·RB,rb·RC,rc·Tq·RE,re se realiza a partir de las combinaciones mostradas en la Tabla 4.49, alas que se les ha añadido un generador de traslación, según se puede observaren la Tabla 4.101.

RRRRP RRRPR, RRRCRRC RRCRRRRPa RRRPaRRUP RUPR, RUCRUPa RUPaRURP URPR, URCUC UCRURPa URPaR

Tabla 4.101: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir deRA,ra · RB,rb · RC,rc · Tq · RE,re

De entre las soluciones mostradas en la Tabla 4.101, podemos considerarcomo más adecuada la basada en la cadena cinemática RRRPaR, accionadaspor su respectivo par R inicial.

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra · RB,rb · RC,rc ·RD,rd·Ts se realiza a partir de las combinaciones mostradas en la Tabla 4.51,


a las que se les ha añadido un generador de traslación, según se puede observaren la Tabla 4.102.

P PaRRRR RRRRP, RRRC RRRRPaRRU RRUP RRUPaRUR RURP, RUC RURPaURR URRP, URC URRPaUU UUP UUPa

Tabla 4.102: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir deRA,ra · RB,rb · RC,rc · RD,rd · Ts

De entre las soluciones mostradas en la Tabla 4.101, podemos considerarcomo más adecuada la basada en la cadena cinemática RRRRPa, accionadaspor su respectivo par R inicial.

4.6.1.4. Generador 3T2R empleando 5 generadores de rotación

En la Tabla 4.103 se muestran las ligaduras cinemáticas de dimensión 5formadas por 5 generadores de rotación capaz de generar desplazamientos 3T2Rbajo ciertas condiciones geométricas.

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra · RB,rb · RC,rc ·RD,rd · RE,re se realiza según se puede observar en la Tabla 4.104.

De entre las soluciones mostradas en la Tabla 4.104, podemos considerarcomo más adecuada la basada en la cadena cinemática RRRRR, accionadaspor su respectivo par R inicial.



A ‖ B ‖ C Plano definidoD ‖ E por rA y rD

A ‖ B ‖ D Plano definidoC ‖ E por rA y rC

A ‖ B ‖ E Plano definidoC ‖ D por rA y rC

A ‖ C ‖ D Plano definidoB ‖ E por rA y rB

RA,ra · RB,rb · RC,rc · A ‖ C ‖ E Plano definido· RD,rd · RE,re B ‖ D por rA y rB

A ‖ C ‖ D Plano definidoB ‖ E por rA y rB

B ‖ C ‖ D Plano definidoA ‖ E por rA y rB

B ‖ C ‖ E Plano definidoA ‖ D por rA y rB

B ‖ D ‖ E Plano definidoA ‖ C por rA y rB

C ‖ D ‖ E Plano definidoA ‖ B por rA y rC

Tabla 4.103: Ligaduras cinemáticas de dimensión 5 que incluyen desplazamien-tos 3T2R mediante 5 generadores de rotación

RRRRR RRRRR, RRRURRU RRURRUR RURR, RUUURR URRR, URUUU UUR

Tabla 4.104: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir deRA,ra · RB,rb · RC,rc · RD,rd · RE,re


4.6.2. Generadores 2T3RDe las 32 ligaduras cinemáticas de dimensión 5 que aparecen en las Tablas

4.59 y 4.60, 16 de ellos son capaces de generar un desplazamiento 2T3R bajociertas condiciones geométricas. Estas 16 ligaduras cinemáticas se muestran enla Tabla 4.105.

Estas 16 ligaduras cinemáticas generadoras de desplazamientos 2T3R pue-den ser divididas en tres tipos de ligaduras diferentes, según aparece en laTabla 4.105:

Aquellos que generan desplazamientos 2T3R por medio de 2 generadoresde traslación y 3 de rotación,



Desplazamiento Ligaduras CinemáticasTu · Tv · RC,rc · RD,rd · RE,reTu · RB,rb · Tw · RD,rd · RE,reTu · RB,rb · RC,rc · Tq · RE,reTu · RB,rb · RC,rc · RD,rd · TsRA,ra · Tv · Tw · RD,rd · RE,reRA,ra · Tv · RC,rc · Tq · RE,reRA,ra · Tv · RC,rc · RD,rd · TsRA,ra · RB,rb · Tw · Tq · RE,re

2T3R RA,ra · RB,rb · Tw · RD,rd · TsRA,ra · RB,rb · RC,rc · Tq · TsTu · RB,rb · RC,rc · RD,rd · RE,reRA,ra · Tv · RC,rc · RD,rd · RE,reRA,ra · RB,rb · Tw · RD,rd · RE,reRA,ra · RB,rb · RC,rc · Tq · RE,reRA,ra · RB,rb · RC,rc · RD,rd · TsRA,ra · RB,rb · RC,rc · RD,rd · RE,re

Tabla 4.105: Ligaduras cinemáticas generadoras de desplazamientos de dimen-sión 5 2T3R

Estas diferentes posibilidades pueden ser observadas en las Tablas 4.106,4.114 y 4.120 se pueden ver las diferentes posibilidades de obtener el desplaza-miento 2T3R.


4.6.2.1. Generador 2T3R empleando 2 generadores de traslación y3 de rotación

En segundo lugar se analizan las ligaduras cinemáticas que tienen 2 genera-dores de traslación y 3 de rotación con las condiciones geométricas necesariasen la Tabla 4.106.

Ligadura Cinemática Condiciones Direccionesde Traslación

Tu · Tv · RC,rc · u× v 6= 0 Plano definido· RD,rd · RE,re rTC (rD × rE) 6= 0 por u y vTu · RB,rb · Tw · u×w 6= 0 Plano definido· RD,rd · RE,re rTB (rD × rE) 6= 0 por u y wRA,ra · Tv · Tw · v×w 6= 0 Plano definido· RD,rd · RE,re rTA (rD × rE) 6= 0 por v y w

Tu · RB,rb · RC,rc · u× q 6= 0 Plano definido· Tq · RE,re rTB (rC × rE) 6= 0 por u y q

RA,ra · Tv · RC,rc · v× q 6= 0 Plano definido· Tq · RE,re rTA (rC × rE) 6= 0 por v y q

Tu · RB,rb · RC,rc · u× s 6= 0 Plano definido· RD,rd · Ts rTB (rC × rD) 6= 0 por u y s

RA,ra · Tv · RC,rc · v× s 6= 0 Plano definido· RD,rd · Ts rTA (rC × rD) 6= 0 por v y s

RA,ra · RB,rb · Tw · w× s 6= 0 Plano definido· RD,rd · Ts rTA (rB × rD) 6= 0 por w y s

RA,ra · RB,rb · Tw · w× q 6= 0 Plano definido· Tq · RE,re rTA (rB × rE) 6= 0 por w y q

RA,ra · RB,rb · RC,rc · q × s 6= 0 Plano definido· Tq · Ts rTA (rB × rC) 6= 0 por q y s


La materialización de la ligadura cinemática Tu · Tv · RC,rc · RD,rd ·RE,re es posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.40, alas que les es añadido un generador de rotación, según se ve en la Tabla 4.107.

De entre las soluciones mostradas en la Tabla 4.107, podemos considerarcomo más adecuada la basada en la cadena cinemática PPaS, accionada por


RPPRR, PPU ,PCR PPRRR, PPRU, PPUR, PCRR, PCUPPaRR, PPaU PPaRRR, PPaRU, PPaUR, PPaSPaPRR, PaPU PaPRRR, PaPRU, PaPUR

PaCR PaCRR, PaCUPaPaRR, PaPaU PaPaRRR, PaPaRU, PaPaUR, PaPaUR

Tabla 4.107: Cadenas generadoras de desplazamientos 2T3R a partir de Tu ·Tv · RC,rc · RD,rd · RE,re

su respectivo par P inicial, aunque la materialización del par S presenta limi-taciones prácticas importantes.

La materialización de la ligadura cinemática Tu · RB,rb · Tw · RD,rd ·RE,re es posible a partir de todas las combinaciones expuestas en la Ta-bla 4.41 a las que les es añadido un generador de rotación en las condicionesanteriormente expuestas, según se ve en la Tabla 4.108.

RPRPR, PRC, PCR PRPRR, PRPU, PPRCR

PCRR, PCUCPR, CC CPRR, CPU, CCR

PRPaR, CPaR PRPaRR, PRPaU, CPaRR, CPaUPaRPR, PaRC, PaCR PaRPRR, PaRPU, PaRCR

PaCRR, PaCUPaRPaR PaRPaRR, PaRPaU

Tabla 4.108: Cadenas generadoras de desplazamientos 2T3R a partir de Tu ·RB,rb · Tw · RD,rd · RE,re

De entre las soluciones mostradas en la Tabla 4.108, podemos considerarcomo más adecuada la basada en la cadena cinemática PRPaRR, accionadapor su respectivo par P inicial.

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra · Tv · Tw · RD,rd ·RE,re es posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.30 alas que les es añadido un generador de rotación, según se ve en la Tabla 4.109.

De entre las soluciones mostradas en la Tabla 4.109, podemos considerarcomo más adecuada la basada en la cadena cinemática RPaPaRR, accionadapor su respectivo par R inicial.


RRPPR, RPC, CPR, CC RPPRR, RPPU, RPCR

CPRR, CPU, CCRRPPaR, CPaR RPPaRR, RPPaU, CPaRR, CPaURPaPR, RPaC RPaPRR, RPaPU, RPaCR

RPaPaR RPaPaRR, RPaPaU

Tabla 4.109: Cadenas generadoras de desplazamientos 2T3R a partir RA,ra ·Tv · Tw · RD,rd · RE,re

La materialización de la ligadura cinemática Tu·RB,rb·RC,rc·RD,rd·Ts es posible con las combinaciones mostradas en la Tabla 4.46 que no inclu-yen pares S, a las que se les añade un generador de traslación, según se muestraen la Tabla 4.110.

P PaPRRR PRRRP, PRRC PRRRPaPRU PRUP PRUPaPUR PURP, PUC PURPaPS PSP PSPaCRR CRRP, CRC CRRPaCU CUP CUPa

PaRRR PaRRRP, PaRRC PaRRRPaPaRU PaRUP PaRUPaPaUR PaURP, PaUC PaURPaPaS PaSP PaSPa


De entre las soluciones mostradas en la Tabla 4.110, podemos considerarcomo más adecuada la basada en la cadena cinemática CRRPa, accionada porsu respectivo par C inicial.

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra·Tv·RC,rc·RD,rd·Ts es posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.47 a lasque se les añade un generador de traslación, según se muestra en la Tabla 4.111.


P PaRPRR RPRRP, RPRC RPRRPaRPU RPUP RPUPaRCR RCRP, RCC RCRPaCRR CRRP, CRC CRRPaCU CUP CUPa

RPaRR RPaRRP, RPaRC RPaRRPaRPaU RPaUP RPaUPa

Tabla 4.111: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir deRA,ra · Tv · RC,rc · RD,rd · Ts

De entre las soluciones mostradas en la Tabla 4.111, podemos considerarcomo más adecuada la basada en la cadena cinemática RPaRRPa, accionadapor su respectivo par R inicial.

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra·RB,rb·Tw·RD,rd·Ts es posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.48 a lasque se les añade un generador de traslación, según se muestra en la Tabla 4.112.

P PaRRPR RRPRP, RRPC RRPRPaRRC RRCP RRCPaRCR RCRP, RCC RCRPaRRPaR RRPaRP, RRPaC RRPaRPaUPR UPRP, UPC UPRPaUC UCP UCPaUPaR UPaRP, UPaC UPaRPa

Tabla 4.112: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir deRA,ra · RB,rb · Tw · RD,rd · Ts

De entre las soluciones mostradas en la Tabla 4.112, podemos considerarcomo más adecuada la basada en la cadena cinemática RRPaRPa, accionadapor su respectivo par R inicial.

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra · RB,rb · RC,rc ·Tq · Ts se realiza a partir las opciones mostradas en la Tabla 4.49, a lasque se les ha añadido un generador de traslación, según se puede observar enla Tabla 4.113.


P PaRRRP RRRPP RRRPPaRRC RRCP RRCPaRRRPa RRRPaP RRRPaPaRUP RUPP RUPPaSP SPP SPPa

RUPa RUPaP RUPaPaURP URPP URPPaUC UCP UCPaURPa URPaP URPaPaSPa SPaP SPaPa

Tabla 4.113: Cadenas generadoras de desplazamientos 2T2R a partir deRA,ra · RB,rb · RC,rc · Tq · Ts

De entre las soluciones mostradas en la Tabla 4.113, podemos considerarcomo más adecuada la basada en la cadena cinemática RRRPa2, accionadapor su respectivo par R inicial.


4.6.2.2. Generador 2T3R empleando 1 generador de traslación y 4de rotación

En la Tabla 4.114 se muestran las ligaduras cinemáticas de dimensión 5que siendo generadas mediante 1 generador de traslación y 4 de rotación soncapaces de generar desplazamientos 2T3R bajo ciertas condiciones geométricas.Sin embargo, las direcciones de traslación no se podrán conocer a priori, ya quela segunda traslación vendrá determinada por la configuración relativa de losejes de los cuatro generadores de rotación.

Ligadura Cinemática CondicionesTu · RB,rb · RC,rc · RD,rd · RE,re rTB (rC × rD) 6= 0

rTB (rC × rE) 6= 0rTB (rD × rE) 6= 0rTC (rD × rE) 6= 0

RA,ra · Tv · RC,rc · RD,rd · RE,re rTA (rC × rD) 6= 0rTA (rC × rE) 6= 0rTA (rD × rE) 6= 0rTC (rD × rE) 6= 0

RA,ra · RB,rb · Tw · RD,rd · RE,re rTA (rB × rD) 6= 0rTA (rB × rE) 6= 0rTA (rD × rE) 6= 0rTB (rD × rE) 6= 0

RA,ra · RB,rb · RC,rc · Tq · RE,re rTA (rB × rC) 6= 0rTA (rB × rE) 6= 0rTA (rC × rE) 6= 0rTB (rC × rE) 6= 0

RA,ra · RB,rb · RC,rc · RD,rd · Ts rTA (rB × rC) 6= 0rTA (rB × rD) 6= 0rTA (rC × rD) 6= 0rTB (rC × rD) 6= 0


La materialización de la ligadura cinemática Tu·RB,rb·RC,rc·RD,rd·RE,re es posible con las combinaciones mostradas en la Tabla 4.46, a las quese les añade un generador de rotación en la dirección deseada, según se muestraen la Tabla 4.115.


RPRRR, PRU PRRRR, PRRU,PRURPUR, PS PURR, PUU, PSRCRR, CU CRRR, CRU, CUR

PaRRR, PaRU PaRRRR, PaRRU, PaRURPaUR, PaS PaURR, PaUU, PaSR

Tabla 4.115: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir de Tu ·RB,rb · RC,rc · RD,rd · RE,re

De entre las soluciones mostradas en la Tabla 4.115, podemos considerarcomo más adecuada la basada en la cadena cinemática CRRR, accionada porsu respectivo par C inicial.

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra·Tv·RC,rc·RD,rd·RE,re es posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.54 alas que se les añade un generador de rotación en la dirección adecuada, segúnse muestra en la Tabla 4.116.

RRPRR RPRRR, RPRURPU RPURRCR RCRR, RCUCRR CRRR, CRUCU CUR

RPaRR RPaRRR, RPaRURPaU RPaUR

Tabla 4.116: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir deRA,ra · Tv · RC,rc · RD,rd · RE,re

De entre las soluciones mostradas en la Tabla 4.116, podemos considerarcomo más adecuada la basada en la cadena cinemática RPaRRR, accionadapor su respectivo par R inicial.

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra·RB,rb·Tw·RD,rd·RE,re es posible con todas las combinaciones mostradas en la Tabla 4.48 alas que se les añade un generador de rotación en la dirección adecuada, segúnse muestra en la Tabla 4.117.


RRRPR RRPRR, RRPURRC RRCRRCR RCRR, RCURRPaR RRPaRR, RRPaUUPR UPRR, UPUUC UCRUPaR UPaRR, UPaU

Tabla 4.117: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir deRA,ra · RB,rb · Tw · RD,rd · RE,re

De entre las soluciones mostradas en la Tabla 4.117, podemos considerarcomo más adecuada la basada en la cadena cinemática RRPaRR, accionadapor su respectivo par R inicial.

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra·RB,rb·RC,rc·Tq·RE,re se realiza a partir de las combinaciones mostradas en la Tabla 4.49, alas que se les ha añadido un generador de traslación, según se puede observaren la Tabla 4.118.

RRRRP RRRPR, RRRCRRC RRCRRRRPa RRRPaRRUP RUPR, RUCSP SPR

RUPa RUPaRURP URPR, URCUC UCRURPa URPaRSPa SPaR

Tabla 4.118: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir deRA,ra · RB,rb · RC,rc · Tq · RE,re

De entre las soluciones mostradas en la Tabla 4.118, podemos considerarcomo más adecuada la basada en la cadena cinemática RRRPaR, accionadapor su respectivo par R inicial.


La materialización de la ligadura cinemática RA,ra · RB,rb · RC,rc ·RD,rd·Ts se realiza a partir de las combinaciones mostradas en la Tabla 4.58,a las que se les ha añadido un generador de traslación, según se muestra en laTabla 4.119.

P PaRRRR RRRRP, RRRC RRRRPaRRU RRUP RRUPaRUR RURP, RUC RURPaRS RSP RSPaURR URRP, URC URRPaUU UUP UUPaSR SRP SRPa

Tabla 4.119: Cadenas generadoras de desplazamientos 3T2R a partir deRA,ra · RB,rb · RC,rc · RD,rd · Ts

De entre las soluciones mostradas en la Tabla 4.119, podemos considerarcomo más adecuada la basada en la cadena cinemática RRRRPa, accionadapor su respectivo par R inicial.


4.6.2.3. Generador 2T3R empleando 5 generadores de rotación

Y finalmente, se analizan las ligaduras cinemáticas que tienen 5 generadoresde rotación con las condiciones geométricas necesarias en la Tabla 4.120.

Ligadura Cinemática CondicionesRA,ra · RB,rb · RC,rc · RD,rd · RE,re rTA (rB × rC) 6= 0

rTA (rB × rD) 6= 0rTA (rB × rE) 6= 0rTA (rC × rD) 6= 0rTA (rC × rE) 6= 0rTA (rD × rE) 6= 0rTB (rC × rD) 6= 0rTB (rC × rE) 6= 0rTB (rD × rE) 6= 0rTC (rD × rE) 6= 0

Tabla 4.120: Ligaduras cinemáticas de dimensión 5 generadores de desplaza-mientos 2T3R mediante 5 generadores de rotación

La materialización de la ligadura cinemática RA,ra · RB,rb · RC,rc ·RD,rd · RE,re se realiza según se puede observar en la Tabla 4.121.

RRRRR RRRRR, RRRURRU RRUR, RRSRUR RURR, RUURS RSRURR URRR, URUUU UUR, USSR SRR

Tabla 4.121: Cadenas generadoras de desplazamientos 2T3R a partir deRA,ra · RB,rb · RC,rc · RD,rd · RE,re

De entre las soluciones mostradas en la Tabla 4.121, podemos considerarcomo más adecuada la basada en la cadena cinemática RRRRR, accionada porsu respectivo par R inicial.

5

Síntesis de ManipuladoresParalelos con MovimientoSchönflies

5.1. Introducción

Una vez descritas en detalle las ligaduras cinemáticas que pueden ser em-pleadas en la síntesis morfológica de manipuladores paralelos de baja movilidadse plantea la cuestión de cómo ir combinándolas para conseguir el desplazamien-to deseado. Sin embargo, el proceso realizado anteriormente detallando cuáleshan de ser las condiciones que permiten obtener un determinado desplazamien-to u otro facilita en gran medida este procedimiento, el cual puede ser divididoen los siguientes pasos:

Una vez definido cuál es el desplazamiento a generar en el elemento ter-minal del manipulador, quedan definidas qué ligaduras cinemáticas soncapaces de generar dicho desplazamiento. Estas ligaduras cinemáticas sonaquellas que, poseyendo una dimensión igual o superior a la buscada, soncapaces de generar un desplazamiento de las mismas direcciones y carac-terísticas.

El siguiente paso es el de combinar adecuadamente las diferentes ligadu-ras cinemáticas para generar el desplazamiento buscado por medio de laoperación intersección ”

⋂”.

177

178 Síntesis de Manipuladores Paralelos con Movimiento Schönflies

Finalmente, una vez se ha generado el desplazamiento deseado en el ele-mento terminal del manipulador, es necesario seleccionar cuáles han deser los accionamientos que controlen el movimiento del manipulador. Esteúltimo aspecto excede ya la temática de la síntesis morfológica del mani-pulador, pasando ya a análisis más relacionados con singularidades quecon la síntesis en sí.

5.2. Manipuladores con Movimiento Schönflies

El subgrupo de movimiento Schönflies Xe no puede ser obtenido directa-mente por un único par cinemático, sino que se obtiene a partir del productode diferentes desplazamientos, combinando diferentes elementos y pares cine-máticos de la forma vista en el apartado 4.5.1. El siguiente paso en la síntesismorfológica de un manipulador paralelo de esta naturaleza se centra en defi-nir las diferentes formas de combinar las diferentes cadenas cinemáticas queformarán parte del manipulador, permitiendo que su elemento terminal puedarealizar el desplazamiento buscado.

Es evidente que existen múltiples formas de obtener desplazamientos detipo Schönflies en el elemento terminal de un manipulador paralelo a partirde las operaciones de unión e intersección de desplazamientos. Para ello, to-das las cadenas cinemáticas generadoras de desplazamiento Schönflies en dichoelemento han de incluir necesariamente al desplazamiento Xe, lo que implicanecesariamente que estas cadenas han de generar desplazamientos de los tiposexpuestos en la Tabla 5.1.

Ligadura Cinemática Dimensión / GDL Condiciones necesariasXu 4 e× u = 0

Xu · RL,rl 5 eT (u× rl) = 0D 6 –

Tabla 5.1: Ligaduras cinemáticas que incluyen a Xe en su interior

El primer caso expuesto en la Tabla 5.1 muestra que todo desplazamientoSchönflies es compatible con otro de su idéntica naturaleza siempre que poseael GDL de rotación definido en la misma dirección. El segundo caso puedeser quizás el más complejo: el desplazamiento Xu · RA,ra posee tres GDLde traslación y dos de rotación. Consecuencia directa de esto es que cualquierrotación en la dirección definida por el vector unitario e puede ser realizada

5.3. Manipuladores Completamente Simétricos 179

sí y sólo sí dicho vector puede ser expresado como combinación lineal de losvectores u y ra, vector en la dirección del eje del par de rotación A. El tercercaso es evidente, ya que cualquier desplazamiento de sólido rígido puede serrealizado mediante el grupo general de desplazamientos D.

El objetivo de la síntesis morfológica desarrollada en esta Tesis Doctoralse centrará en la obtención de nuevas arquitecturas de manipuladores comple-tamente paralelos con movimiento Schönflies, compuestos de 4 cadenas cine-máticas dotadas de un único accionamiento en cada una de ellas. Además, sebuscará la definición de arquitecturas completamente simétricas, dotadas decadenas cinemáticas idénticas situadas en una disposición simétrica. Esto pro-porcionará a las nuevas arquitecturas de robots así definidas la posibilidad deofrecer un comportamiento homogéneo a lo largo de su espacio de trabajo, elcual será también simétrico, lo que facilitará en gran medida la planificaciónde trayectorias del robot.

5.3. Manipuladores Completamente Simétricos

Cuando se ensamblan cuatro cadenas cinemáticas capaces de generar cadauna desplazamientos de tipo Xui en el elemento terminal del manipulador, sumovimiento será el definido por la intersección de los movimientos permitidospor todas y cada una de sus cadenas cinemáticas:

4⋂i=1Xui =

Xe si e = uiT3 en cualquier otro caso (5.1)

De este modo, para generar el desplazamiento Schönflies Xe en el elemen-to terminal del manipulador, los cuatro vectores unitarios ui asociados a losdesplazamientos Schönflies generados por cada una de las cadenas deben serparalelos entre sí y paralelos a la dirección de rotación deseada.

En la Tabla 4.21 se muestra una relación de ligaduras cinemáticas gene-radoras del desplazamiento Schönflies Xui 1. De este modo, a lo largo delapartado 4.5.1, se mostraron diferentes materializaciones de las ligaduras cine-máticas que generan este desplazamiento. Además, en el caso de que se cumplanlas condiciones apropiadas, se podrían generar cadenas cinemáticas de estruc-tura más compleja, como por ejemplo el empleo de pares cilíndricos C en lugarde las cadenas PR o RP , juntas universales U en vez de cadenas RR, la cadena

1Se recuerda que las ligaduras cinemáticas que incluyan generadores de desplazamientosHA,h,ra

no se incluyeron debido a su limitadas aplicaciones prácticas.


cinemática Pa2 en lugar de la cadena PaPa, etc., añadiendo algunas posibili-dades adicionales a las presentadas en las referencias (Hervé y Sparacino, 1991;Lee y Hervé, 2005).

Las cadenas cinemáticas, simples o complejas, generadoras de un deter-minado movimiento de sólido rígido, dotado o no de estructura de subgrupo,serán denominadas como generadores de movimiento (Angeles, 2004). De es-te modo, los generadores de movimiento Xui deberán verificar las siguientescondiciones:

Cuando se empleen tres generadores de traslación y uno de rotación, lasdirecciones de los tres generadores de traslación deberán ser independien-tes, tal y como se muestra en la Tabla 4.22.

Cuando se empleen dos generadores de traslación con dos generadores derotación, los ejes de los generadores de rotación deberán ser paralelos y nocoincidentes, y dispuestos de tal forma que generen una tercera traslaciónindependiente, tal y como se muestra en la Tabla 4.27.

Cuando se emplee un único generador de traslación y tres generadores derotación, los ejes de los generadores de traslación deberán ser paralelos,siendo su dirección no perpendicular a la del generador de traslación, taly como se muestra en la Tabla 4.34.

Tal y como se mostró en la enumeración de las diferentes ligaduras cinemá-ticas, cada una de ellas presentaba unas materializaciones más adecuadas queotras desde un punto de vista puramente práctico. De este modo, en la Fig. 5.1se muestran algunas de estas materializaciones, todas ellas generadoras deldesplazamiento Xui.

El siguiente paso debe ensamblar las soluciones anteriores en un único me-canismo, de forma que se consigan manipuladores paralelos completamentesimétricos. Evidentemente, podemos considerar diferentes disposiciones de lascadenas cinemáticas resultando en diferentes arquitecturas de este tipo. A par-tir de estas opciones, en las Figuras 5.2, 5.3, 5.4, 5.5 y 5.6 se muestran diferen-tes arquitecturas de manipuladores completamente paralelos con movimientoSchönflies.


(a) PPa2R (b) RPa2R

(c) PRPaR

Figura 5.1: Generadores de movimiento Xe


Figura 5.2: Manipulador paralelo 4− PPa2R

Figura 5.3: Manipulador paralelo 4−RPa2R


Figura 5.4: Manipulador paralelo 4− PPa2R

Figura 5.5: Manipulador paralelo 4− PRPaR


Figura 5.6: Manipulador paralelo 4− PRPaR

Cuando se ensamblan cuatro cadenas cinemáticas generadoras del desplaza-miento 3T2R Xui·RL,rl, el movimiento definido en el elemento terminal delmanipulador será el definido por la intersección de los movimientos generadospor cada cadena cinemática:

4⋂i=1

(Xui ·

RLi,rli

)=

Xu · RL,rlXeT3

(5.2)

Considerando el movimiento Xe · RL,rl generado por una única cadenacinemática2, el elemento terminal unido a la misma podrá realizar tres trasla-ciones independientes junto con dos rotaciones independientes. Una vez ensam-bladas las cuatro cadenas cinemáticas, los tres casos mostrados por la ecuación(5.2) podrían darse en función de cómo estén dispuestas estas cadenas unasrespecto de otras:

2El desplazamiento de 5 GDL 3T2R no posee la estructura de subgrupo de desplaza-mientos de sólido rígido.


Cualquiera de las dos direcciones de rotación independientes generadaspor la cadena cinemática i puede ser generada por cualquiera de las 3 ca-denas cinemáticas restantes. A causa de esto, el movimiento del elementoterminal del manipulador que habría sido generado por una cadena cine-mática no es restringido tras el ensamblado del resto de cadenas, siendosu movimiento resultante el desplazamiento 3T2R Xu · RL,rl.

(ui × rli)×(uj × rlj

)= 0 ∀i 6= j (5.3)

Únicamente existe una posible dirección de rotación del movimiento 3T2Rgenerado por la cadena cinemática i que a su vez pueda ser generada porcada una de las restantes cadenas cinemáticas que componen el manipu-lador. De este modo, el movimiento generado en el elemento terminal poruna cadena cinemática es restringido tras el ensamblado del resto de ca-denas al movimiento Schönflies Xe, donde el vector unitario e definiríadicha dirección común.

No existe ninguna dirección de rotación del movimiento generado por lacadena cinemática i que pueda ser generado simultáneamente por el restode cadenas cinemáticas del manipulador, siendo por tanto el movimientoresultante el del subrgupo de traslación espacial T3.

De este modo, en las Tablas 4.59 y 4.60 se mostraron las diferentes ligadu-ras cinemáticas capaces de generar el desplazamiento 3T2R Xui ·

RLi,rli

,

presentándose a lo largo del apartado 4.6.1 diferentes materializaciones de losmismos, añadiendo nuevas posibilidades a las presentadas en la referencia (Leey Hervé, 2006). Estos generadores de movimiento debían cumplir las siguientescondiciones:

Cuando se empleen tres generadores de traslación y dos generadores derotación, tanto las direcciones definidas por los generadores de traslacióncomo las de los ejes de los generadores de rotación deben ser indepen-dientes respectivamente, tal y como se muestra en la Tabla 4.62.

Cuando se empleen dos generadores de traslación y tres generadores derotación, los ejes asociados a dos de los generadores de rotación deben seren todo instante paralelos, siendo la dirección del eje del tercer generadorindependiente a las de los dos anteriores, tal y como se muestra en lasTablas 4.73 a 4.82.


Cuando se emplee un único generador de traslación y cuatro generadoresde rotación, los cuatro generadores de rotación deben ser dispuestos detal forma que en todo instante generen únicamente dos direcciones derotación independientes y dos traslaciones independientes con la direccióndel generador de traslación, como se muestra en las Tablas 4.93 a 4.97.

Cuando se empleen cinco generadores de rotación, sus ejes deben sercolocados de tal forma que generen las tres direcciones de traslación in-dependientes y dos direcciones de rotación independientes, tal y como semuestra en la Tabla 4.103.

A modo de ejemplo, la Fig. 5.7 muestra diferente posibilidades de cade-nas cinemáticas generadoras del desplazamiento 3T2R Xui ·

RLi,rli

. Una

vez ensambladas cuatro cadenas cinemáticas idénticas a las mostradas en laFig. 5.7, se pueden obtener diferentes tipos de arquitecturas de manipuladorescompletamente paralelos con movimiento Schönflies, tal y como se muestranen las Figuras 5.8, 5.9, 5.10, 5.11 y 5.12.

(a) PRPaRR (b) RRPaRR

Figura 5.7: Generadores de movimiento Xe · RL,rl


Figura 5.8: Manipulador paralelo 4− PRPaRR




Figura 5.11: Manipulador paralelo 4−RRPaRR



5.3.1. Manipuladores Quasi-SimétricosSin embargo, es posible que para la obtención de movimientos de tipo Schön-

flies de unas características determinadas no sea posible definir arquitecturascompletamente simétricas. El hecho de que el GDL de rotación de dicho mo-


vimiento deba ser conseguido en una dirección paralela al elemento terminaldel manipulador, necesaria para determinado según que tipo de aplicaciones,conlleva la necesidad de plantear el manipulador empleando bien cadenas ci-nemáticas de diferente tipo y diferente movilidad, o bien con cadenas idénticascolocadas de forma no perfectamente simétrica.

Sin embargo, en busca de mantener en gran medida la simetría del mani-pulador, lo que evidentemente tiene sus ventajas, las cadenas cinemáticas quese emplearán deberán ser prácticamente idénticas. La visualización de unosejemplos pueden ayudar a comprender mejor este concepto.

La opción mostrada en la Fig. 5.13 presenta un manipulador con movi-miento Schönflies con la dirección de rotación paralela a una base horizontal,compuesto por cuatro cadenas cinemáticas de tipos CPaR y CPaRR. Comopuede observarse en la Fig. 5.13, esa disposición de los accionamientos no per-mite el empleo de cuatro cadenas cinemáticas idénticas, ya que esto provocaríabien la eliminación del GDL de rotación en caso de optar por una solución4−CPaR, o bien la definición de un manipulador de 5 GDL en el caso de unasolución 4 − CPaRR. La solución idónea, buscando la definición de una ar-quitectura lo más simétrica posible es la combinación de ambas cadenas en unrobot de arquitectura 2−CPaR+2−CPaRR como la mostrada en la Fig. 5.13.Las Figuras 5.14 y 5.15 muestran otras posibles soluciones desarrollando estaidea.

Figura 5.13: Manipulador paralelo 2− CPaR+ 2− CPaRR


Figura 5.14: Manipulador paralelo 2− PRPaR+ 2− PaRPaRR

Figura 5.15: Manipulador paralelo 2−RRPaR+ 2−RRPaRR


El problema de estas soluciones con una disposición simétrica de los accio-namientos es la aparición de singularidades asociadas al problema directo enlas posiciones que pueden ser consideradas como posición origen.

La búsqueda de soluciones que no presenten estas singularidades en lasposiciones origen deberán estar basadas en arquitecturas quasi-simétricas enlas que las cadenas cinemáticas estén colocadas de forma no completamentesimétrica. Una solución de este tipo es la mostrada en la Fig. 5.16, dondese muestra un manipulador paralelo con movimiento Schönflies con el GDLde rotación definido en una dirección paralela a la superficie de su elementoterminal, de arquitectura 4−RRPaRR.


Según se observa en la Fig. 5.16, el manipulador, a pesar de poseer cuatrocadenas cinemáticas idénticas de tipo RRPaRR, pierde la total simetría debidoa la colocación de sus cadenas cinemáticas, y más en concreto, de la diferentedisposición de sus cuatro accionamientos rotativos.

5.4. Selección de las Diferentes Alternativas 193

5.4. Selección de las Diferentes Alternativas

Como hemos visto a lo largo de este Capítulo, el procedimiento de síntesismorfológica ha obtenido como resultado la definición de un abundante númerode nuevas arquitecturas de manipuladores paralelos con movimiento Schönflies,todas las cuales son susceptibles de ser empleadas en cualquier aplicación queprecise del patrón de movimiento que estas ofrecen.

Sin embargo, a pesar de que todas ellas ofrezcan un mismo tipo de movi-miento, es evidente que no ofrecerán unas prestaciones idénticas, haciendo queunas determinadas arquitecturas sean más adecuadas que otras para según quetipo de aplicación. La forma que quizás al principio nos venga a la cabeza sea lade estudiar de forma completa los diferentes aspectos relacionados con el ma-nipulador (resolución de sus problemas de posición, planteamiento y resoluciónde la ecuación de velocidades, realización del análisis de singularidades, etc.).Sin embargo, realizar todos estos estudios para todas las posibles alternativases un arduo proceso que sin duda llevaría un largo periodo, que además habríade repetirse para cada una de ellas.

Con objeto de facilitar estos análisis y poder estudiar de forma idéntica deuna forma más simple y automatizada todas estas posibles alternativas, a lolargo de la Parte III de esta Tesis Doctoral se presenta un procedimiento decarácter general para el análisis cinemático de cualquier tipo de mecanismoo manipulador, el cual ha sido implementado en un software empleado comocomplemento al diseño de nuevas arquitecturas de manipuladores paralelos.

Finalmente, las Partes IV y V de esta Tesis Doctoral realizará el estudioteórico tradicional de dos arquitecturas de manipuladores paralelos de las pre-sentadas en este Capítulo, el cual permitirá realizar los diseños completos deestas soluciones.

Parte III

Formulación Jacobiana basada enPuntos para el AnálisisCinemático de RobotsManipuladores de MorfologíaGeneral

195

6

Introducción

6.1. Definición de una Herramienta de Apoyo al Diseñode Manipuladores

Según se ha mostrado a lo largo de la Parte II de esta Tesis Doctoral,el proceso de síntesis morfológica aplicada a manipuladores paralelos de bajamovilidad ofrece como resultado la obtención de múltiples arquitecturas queson capaces de realizar un tipo de movimientos idénticos. Sin embargo, debidoa que cada una estas alternativas presenta una estructura cinemática diferente,es evidente que cada una de ellas ofrecerá unas prestaciones diferentes a lasque otras alternativas puedan ofrecer.

Las alternativas tradicionales estarían basadas en el análisis analítico deestas posibles alternativas, estudios que deberían realizarse de forma separaday particularizada para cada arquitectura concreta, lo que evidentemente se tra-duciría en gran número de horas de estudio, aún para soluciones que tras estosanálisis resultaran ser no válidas. Además, estos análisis están fundamentadosen la realización de unos modelos cinemáticos previos de unas característicasconcretas, por lo que el estudio de posibles variaciones o modificaciones en laarquitectura del manipulador añadiría una complejidad adicional a estos aná-lisis.

De este modo, la formulación jacobiana que se presentará a lo largo de lossiguientes Capítulos tiene por objeto el servir como herramienta de apoyo aldiseño de estas nuevas arquitecturas de propósito completamente general, deforma que cualquier tipo de mecanismo o manipulador podrá ser analizado

197

198 Introducción

de forma idéntica y totalmente sistematizada. En concreto, esta formulaciónha sido implementada dentro de un software con este objetivo, disponiendode este modo de una herramienta simple y rápida a partir de la cual decidircuáles de las alternativas obtenidas anteriormente son más adecuadas para unadeterminada aplicación.

6.2. Ámbito de Aplicación

Dentro del campo del análisis, el diseño y el control de manipuladores,de estructura serie, paralela, híbrida, etc., existen numerosos problemas queposeen un punto en común: todos ellos son resueltos empleando, de una formamás o menos directa, la denominada ecuación de velocidad del manipulador.Algunos de estos problemas son los expuestos a continuación:

Los análisis de velocidades y aceleraciones. Una vez resueltos los proble-mas de posición, el siguiente paso es el de obtener la velocidad y acelera-ción de todos y cada uno de los puntos y elementos que forman parte delmecanismo, como paso previo a la realización de los necesarios análisisdinámicos para la puesta en funcionamiento del manipulador.

El análisis de singularidades es un problema fundamental íntimamenteligado a la ecuación de velocidad. Las posibles alteraciones en el compor-tamiento cinemático del manipulador que puedan existir en el espacio detrabajo deben ser localizadas durante la fase inicial de diseño del mis-mo, se encuentran ligadas a las alteraciones en el rango de las matricesjacobianas relacionadas con la ecuación de velocidad.

La obtención de indicadores de singularidad, manipulabilidad y destrezaque permitan determinar cuáles son las zonas del espacio de trabajo enlas que un manipulador puede trabajar de una forma más adecuada.

El problema de transmisión de fuerzas. Dicho problema, bien bajo con-sideraciones estáticas o bien dinámicas, puede ser resuelto empleando elprincipio de los trabajos virtuales (Tsai, 1999). Dicha alternativa se apo-ya de forma bastante importante en conceptos basados en la ecuación develocidad y las matrices jacobianas.

6.3. Clasificación de los Métodos de Análisis Cinemático 199

6.3. Clasificación de los Métodos de Análisis Cinemático

El primer paso a dar en el estudio de esta serie de problemas es el de elegircuál es el método de análisis idóneo para afrontar todos ellos de la forma másadecuada, teniendo siempre en cuenta que éste ha de estar enfocado al análisisy diseño de nuevas arquitecturas de manipuladores paralelos de baja movilidad.

Los diferentes métodos de análisis cinemático existentes en la literaturapueden ser clasificados bien como métodos particulares, o bien como méto-dos de propósito general. Los primeros, como su propio nombre indica, estáncaracterizados por el hecho de que su planteamiento está ligado a la arquitec-tura de manipulador estudiada. Esto es, una vez se ha definido la arquitecturade manipulador que se desea analizar, se deben plantear todos los problemasque se desean estudiar particularizados a esa arquitectura concreta de robot.Por un lado, esto hace posible simplificar en gran medida los estudios que sedesean realizar, gracias a que se pueden aprovechar todas las particularidadesgeométricas (paralelismos, perpendiculares, orientaciones constantes, etc.) queel robot por la propia definición de su arquitectura pudiera tener. Entre estosmétodos se pueden destacar los basados en la Screw Theory (Ball, 1900) y elmétodo clásico de derivación de las ecuaciones de lazo del manipulador, ambosdescritos en la referencia (Tsai, 1999).

Por otro lado, los métodos de propósito general pueden ser aplicados acualquier arquitectura de manipulador empleando una forma sistemática deproceder. A partir de un enfoque completamente general e incluso simplista,entendiendo esto como que cualquier tipo de robot quedará completamentedefinido a partir de sus restricciones más básicas, buscan proceder de idénticamanera para cualquier mecanismo estudiado, independiente de la arquitecturaque éste pudiera tener. Hasta el momento, algunos de los métodos de propó-sito general más representativos pueden ser los implementados en el softwareAutolev R© (Kane y Levinson, 1983) basados en los métodos de Kane, y el im-plementado en el software MSC ADAMSTM (Orlandea et al., 1977).

El método aquí presentado es también un método de propósito general,planteado para el análisis cinemático de mecanismos y robots manipuladoresde arquitectura general. Sin embargo, los métodos de propósito general ante-riormente mencionados no están enfocados específicamente a este cometido y,aunque es posible que en su formulación todos los temas mencionados en elapartado 6.2 pudieran ser también abarcados, no son especialmente adecuadospara estudiar en la profundidad que se requiere todos los campos del análisiscinemático de mecanismos.

200 Introducción

6.4. Selección del Tipo de Coordenadas Empleadas

Uno de los aspectos fundamentales que deben ser considerados inicialmentecomo paso previo a la formulación de la ecuación de velocidad es la eleccióndel sistema de coordenadas a emplear. Posiblemente la formulación más simplepuede estar basada en el empleo de las coordenadas de puntos de referencia1

(García de Jalón y Bayo, 1994). Sin embargo, el principal inconveniente delempleo de dichas coordenadas es el de definir el mecanismo en cuestión me-diante un número muy elevado de variables, pudiendo ser más adecuadas otrasalternativas por este motivo.

El empleo de coordenadas relativas es muy adecuado fundamentalmente enel caso de manipuladores serie, ya que conlleva una reducción máxima del nú-mero de variables utilizadas. El caso típico es el método matricial basado enla notación de Denavit-Hartenberg (Denavit y Hartenberg, 1955) que se aplicaa este tipo de robots. El principal inconveniente en la utilización de dichascoordenadas es que no determinan directamente la posición de los diferenteselementos que componen el manipulador, por lo que las ecuaciones que deter-minan el problema están más acopladas, aumentando así su complejidad.

Empleando una alternativa diferente encontramos las coordenadas naturales(García de Jalón et al., 1986, 1987). Dichas coordenadas definen la posición yorientación de un elemento a partir de la posición de dos o más de sus puntos, ylas coordenadas cartesianas de uno o más vectores unitarios asociados a dichoelemento. Estos puntos y vectores ligados a un elemento suelen ser posicionadospreferiblemente en la localización de los pares cinemáticos del mecanismo. Lasventajas de la utilización de dichas coordenadas se ven reflejadas indudable-mente en la formulación de la dinámica de sistemas multicuerpo, como muestrala referencia (García de Jalón y Bayo, 1994).

6.5. El Problema de las Unidades

Una vez planteadas las diferentes alternativas que podemos encontrar den-tro de qué coordenadas emplear, surge ante nosotros un problema íntimamenteligado a esta elección: la heterogeneidad dimensional de los términos que apare-ce en las ecuaciones a partir de las cuales se desarrollan los análisis siguientes.

Empleando un enfoque tradicional, la ecuación de velocidad de un mecanis-mo concreto tiene por objeto obtener una relación entrada-salida de la forma

1En terminología inglesa reference point coordinates.

6.5. El Problema de las Unidades 201

siguientex = J q (6.1)

donde los vectores q y x definen los términos de velocidad de entrada y sa-lida del mecanismo respectivamente, siendo J la matriz jacobiana que realizala transformación entre ellos. Quizás este planteamiento no nos diga muchoacerca del problema dimensional y no seamos capaces de ver cuál es el incon-veniente que aparece en esta ecuación. Sin embargo, la respuesta se encuentraen la propia definición de las entradas y salidas del mecanismo. Dentro de estadenominación de entradas y salidas podemos encontrar términos de diferentenaturaleza. Por ejemplo, en el caso de las entradas, nuestro mecanismo pue-de tener como entrada de movimiento un motor rotativo y un motor lineal,por lo que es evidente que, dentro de nuestro vector de entradas q aparecerántérminos con diferentes unidades. En el caso de las salidas el razonamientoes completamente análogo: el robot estudiado puede tener como misión la decolocar un sólido en una posición y orientación determinadas, estando en estecaso nuestro vector de salidas definido por términos de velocidades lineales yangulares.

Alguien no introducido en esta problemática pudiera pensar que no existegran inconveniente en lo anteriormente mencionado. Por ejemplo, en la reso-lución de problemas estáticos estructurales se plantea un problema bastantesimilar al definido por la ecuación (6.1), como podemos ver a continuación:

F = K δ (6.2)

En la ecuación (6.2) el vector F representa el vector de cargas aplicadassobre la estructura y el vector δ define el vector de desplazamientos, estandoambos términos ligados mediante la matriz de rigidez K. En este caso, es evi-dente que tanto F como δ incluyen términos de diferentes unidades, fuerzas ymomentos en el caso del vector de cargas, y desplazamientos y deformacionesangulares en el caso del vector de deformaciones. Si echamos la vista atrás ypensamos en si alguna vez alguien nos dĳo que esto pudiera ser un inconve-niente, seguramente que no recordaremos ninguna referencia a este respecto.El problema de las unidades aparece en el estudio del comportamiento cinemá-tico del mecanismo, aspecto íntimamente ligado a la medida de la cercanía asingularidades de la matriz jacobiana J (Schwartz et al., 1999), singularidadesno existentes en la matriz de rigidez K en el caso estructural, puesto que impli-caría que la estructura tendría desplazamientos en sus uniones y articulacionessin que sea necesario que se aplique sobre ella ninguna carga.

202 Introducción

Las teorías que estudian el comportamiento cinemático y la manipulabilidadde mecanismos y manipuladores (Yoshikawa, 1985) están basadas en el análisisdel producto de la matriz jacobiana por su traspuesta JJT . Sin embargo, nohace demasiado tiempo la comunidad científica se percató de la inconsistenciafísica y de la naturaleza arbitraria de estas teorías en el caso de los sistemas noconmensurables, sistemas que emplean como variables términos con diferentestipos de unidades. Particularmente evidente es el hecho de que en este tipode sistemas, el hecho de analizar un mecanismo concreto por lado y el mis-mo mecanismo escalado una cierta cantidad, ofrezca resultados completamenteno relacionados. Desde entonces se han planteado diferentes alternativas parasolucionar este problema.

De este modo, en la referencia (Tandirci et al., 1992) se propuso la intro-ducción de una longitud característica para normalizar la matriz jacobiana entérminos lineales, no angulares. El artículo (Schwartz et al., 2002) presentaclaramente la arbitrariedad y la inconsistencia física de las medidas de ma-nipulabilidad basadas en el producto JJT , además de proporcionar algunasreglas básicas para la manipulación matemática de este tipo de sistemas física-mente consistente. En el caso de definir la posición de la plataforma móvil deun manipulador paralelo empleando como variables la posición de tres de suspuntos (Kim y Ryu, 2003), es posible obtener un jacobiano dimensionalmentehomogéneo. Sin embargo, esto sólo es posible en el caso de que las entradasintroducidas sean del mismo tipo, bien todas de velocidad lineal o bien develocidad angular. Empleando este método es posible obtener una matriz jaco-biana homogénea en términos de longitudes en el caso del manipulador paraleloplano 3−RRR y una matriz jacobiana adimensional en el caso de la platafor-ma Gough-Stewart. Finalmente, en esa referencia se reconoce que para evitarcualquier tipo de escalado, la obtención de una matriz jacobiana adimensionalsería el caso ideal a conseguir.

6.6. Desarrollo del Procedimiento

Una vez enfocado el ámbito de aplicación y los inconvenientes que apare-cen frecuentemente en este tipo de problemas, es posible establecer cuál es laforma más adecuada de afrontarlos. De este modo, el procedimiento de análi-sis cinemático de mecanismos de morfología general desarrollado en esta TesisDoctoral estará estructurado de la siguiente manera:

Nuestro principal objetivo es obtener una formulación jacobiana con lamayor generalidad posible en su planteamiento, buscando un plantea-

6.6. Desarrollo del Procedimiento 203

miento totalmente general de las ecuaciones que definen los diferentesproblemas que se plantean en el análisis cinemático de mecanismo, inde-pendiente de la arquitectura del mismo. Sin embargo, el planteamientodebe ser también general incluso cuando se está realizando el estudiode un mecanismo de una morfología concreta. Inmersos en el análisis deun tipo concreto de mecanismo es posible que la selección de entradasy salidas del mecanismo pueda no ser la más adecuada, por lo que esde gran interés el poder hacer frente a este tipo de cambios sin realizargrandes modificaciones en su planteamiento, lo que, desde un punto devista tradicional, conllevaría rehacer completamente el estudio previa-mente realizado, teniendo que ser planteadas nuevamente las ecuacionesque rigen el comportamiento del mecanismo. Con este fin utilizaremoscomo coordenadas que describirán el mecanismo las coordenadas carte-sianas de un conjunto de puntos característicos del mismo, sin definirespecíficamente cuáles son los parámetros activos, entradas y salidas.

Una vez definidas las coordenadas empleadas, el siguiente paso será elde modelizar el mecanismo de acuerdo a su geometría instantánea, lalocalización y orientación de los diferentes elementos y pares cinemáticosque forman parte del mismo. Para ello se emplearán restricciones básicasaplicadas de forma local sobre cada uno de los puntos característicos quedefinen el mecanismo. Esto permitirá realizar la modelización completadel mecanismo de una forma sencilla y estructurada.

Una vez finaliza el proceso de modelización, la ecuación de velocidad ha-brá quedado completamente definida. Dicha ecuación permitirá obtenerel denominado espacio del movimiento, a partir del cual es posible rea-lizar diferentes estudios y análisis que permiten determinar cuáles sonlas características del movimiento que el mecanismo es capaz de realizaren la posición en cuestión. Algunos de estos análisis y resultados quedanexpuestos a continuación:

• La determinación de la movilidad instantánea del mecanismo.• La determinación de las características del movimiento de cualquierelemento que forme parte del mecanismo, esto es, determinar cuáles la forma en la que dicho elemento puede moverse y cuáles son lasdirecciones permitidas para ello.• La resolución de los problemas cinemáticos de velocidades directo einverso, una vez han sido definido el movimiento de los actuadoreso el elemento de salida.

204 Introducción

• La capacidad de realizar de un análisis de singularidades exhaustivo.

La formulación escogida permite también la realización de análisis de ordensuperior, como pueden ser la obtención de aceleraciones y sobreaceleraciones.De este modo, en los siguientes capítulos se presentarán de forma detalladatodos y cada uno de los diferentes puntos que forman parte de esta formulaciónjacobiana basada en puntos.

7

Ecuaciones de Restricción

7.1. Introducción

La exposición de esta formulación jacobiana basada en puntos comienza conel planteamiento de las ecuaciones básicas que forman parte de la modeliza-ción del mecanismo, las cuales definen diferentes tipos de relaciones cinemáti-cas existentes entre los puntos característicos del mecanismo. En concreto, lasecuaciones de restricción que se emplean para la obtención de las ecuacionesde velocidad y aceleración del mecanismo son de tres tipos diferenciados:

En primer lugar se presentan las restricciones de distancia, las cualesdotan de naturaleza de sólido rígido a dos puntos pertenecientes a unmismo elemento.

En segundo lugar aparecen las restricciones de sólido rígido, las cualesligan los términos de velocidad angular de un sólido con los términos develocidad de dos o más puntos pertenecientes al mismo.

En tercer lugar se desarrollan las restricciones de movimiento relativo,las cuales complementan a las restricciones de distancia, estableciendolas relaciones cinemáticas que aparecen cuando algunas característicasdel movimiento relativo de un punto respecto un elemento cualquiera sonconocidas.

La aplicación sistematizada de este tipo de restricciones cinemáticas per-mitirá realizar la modelización del mecanismo y la obtención de la ecuación

205

206 Ecuaciones de Restricción

de velocidad del sistema mecánico,a partir de la cual se pueden determinar losdiferentes aspectos que definen el movimiento del mecanismo. En los siguientesapartados se describe la formulación de estas restricciones cinemáticas.

7.2. Restricción de Distancia

La condición de sólido rígido es una noción que viene recogida en cualquierade los libros de Mecánica Clásica (Goldstein et al., 2000), la cual puede serexpresada de la forma siguiente:

Lema 7.2.1 (Condición de Sólido Rígido)Todos y cada uno de los puntos pertenecientes a un sólido rígido se encuentranen todo instante a la misma distancia de todos y cada uno del resto de puntosque lo componen.

De este modo, esto implica que la condición de sólido rígido entre dos pun-tos pertenecientes al mismo sólido puede ser expresada empleando una simplerestricción de distancia.

La restricción de distancia entre dos puntos i y j de un sólido rígido(Fig. 7.1) queda expresada mediante una ecuación cuadrática ligando las coor-denadas de dichos nudos de la forma siguiente

l2ij = (pj − pi)T (pj − pi) (7.1)

donde la posición de los puntos i y j queda definida a partir de los vectores

pi =

xiyizi

pj =

xjyjzj

los cuales representan los vectores de posición de dos nudos i y j pertenecientesa un mismo sólido, expresados en un sistema de referencia cartesiano y fijoOXY Z.

Sin embargo, la relación (7.1) puede ser planteada de un modo alternativo.Definiendo el vector unitario r en la dirección del vector de posición entre losnudos pj − pi como

r = 1lij

(pj − pi) (7.2)

es posible reescribir la ecuación de la restricción de distancia (7.1) de la si-guiente manera:

lij = rT (pj − pi) (7.3)

7.2. Restricción de Distancia 207

i

j

zj − zi

yj − yixj − xi

pj − pi

r

pi

X Y

Z

O

Figura 7.1: Restricción de distancia entre los nudos i y j

Reordenando la ecuación (7.3), la ecuación de la restricción de distanciapuede ser también expresada como el siguiente producto escalar

lij = hTxr = xTr h (7.4)

donde el vectorxr =

[pipj

]es definido como el vector que aglutina las coordenadas cartesianas de los nudosi y j entre los cuales se ha establecido la restricción de distancia. Por otro lado,el vector h, que tiene por expresión

h =[−rr

]define la orientación en la que la restricción de distancia ha sido aplicada.

Sustituyendo la expresión (7.4) en la ecuación (7.1), la ecuación de la res-tricción de distancia puede ser reescrita de la forma siguiente:

l2ij = lij · lij =(xTr h

)·(hTxr

)= xTr hhTxr = xTr Grxr (7.5)

La matriz Gr que aparece en la expresión anterior se denomina matrizgeométrica asociada a la restricción de distancia, restricción impuesta en la


dirección del vector unitario r. A partir de los términos que componen el vectorh, los términos de Gr pueden ser obtenidos de la siguiente manera:

Gr = hhT =[−rr

] [−rT rT

]=[

r rT −r rT−r rT r rT

](7.6)

Las submatrices r rT que componen la matriz Gr tienen una expresiónsencilla, la cual puede obtenerse por medio de los cosenos directores que definenel vector r:

r =

cosα1cosα2cosα3

De este modo, las matrices r rT pueden ser expresadas de la forma como se

muestra a continuación

r rT =

cosα1cosα2cosα3

[cosα1 cosα2 cosα3]

=

=

cos2 α1 cosα1 cosα2 cosα1 cosα3cosα1 cosα2 cos2 α2 cosα2 cosα3cosα1 cosα3 cosα2 cosα3 cos2 α3

(7.7)

donde el valor de los cosenos directores del vector unitario r se obtiene a partirde los siguientes productos escalares:

cosα1 = rT icosα2 = rT jcosα3 = rTk

La expresión (7.5) permite obtener algunas conclusiones interesantes:

La ecuación de la restricción puede ser expresada mediante una formabilineal, cuya matriz característica es la propia matriz geométrica Gr.

El producto r rT representa una matriz 3 × 3 de proyección ortogonal,unitaria1, simétrica e idempotente2.(

r rT)2 =

(r rT

) (r rT

)= r

(rT r)rT = r rT

1Su rango es la unidad.2Se denominan así a las matrices que multiplicadas por sí mismas resultan en la misma

matriz.


Al ser r rT una matriz de proyección ortogonal, todo vector v es trans-formado en el vector proyección de v sobre la dirección definida por elvector r. (

r rT)v =

(rTv

)r

La matriz Gr correspondiente a la restricción de distancia r es una matrizcuadrada de orden 6 simétrica, cuyos términos dependen únicamente dela orientación en la que es aplicada la restricción de distancia entre losdos nudos i y j, definida por el vector unitario r.

Al haber sido definida a partir de los términos r rT como se muestra enla expresión (7.6), la matriz Gr es también una matriz unitaria.

Debido a que r es un vector unitario y, por tanto, adimensional, ambasmatrices r rT y Gr son matrices adimensionales. Dicha propiedad será degran importancia en apartados posteriores.

7.2.1. Ecuación de Velocidad

Para obtener la expresión de la restricción de distancia en términos develocidades lineales absolutas de los puntos entre los cuales ha sido impuesta, esnecesario derivar la expresión (7.4) respecto del tiempo, obteniendo la siguienterelación

d lijdt

= lij = d

dt

(hTxr

)= hT xr + hTxr = 0 (7.8)

donde el vectorxr =

[pipj

]agrupa los vectores de velocidad lineal absoluta de los nudos i y j entre loscuales se ha establecido la restricción de distancia expresadas en un sistema dereferencia cartesiano y fijo OXY Z. Por otro lado, el vector

h =[−rr

]define la variación con el tiempo de la orientación en la que la restricción dedistancia ha sido aplicada, determinada a partir del vector r.

El lector comprobará fácilmente como el segundo término de la expresión(7.8) puede ser simplificado. Expandiendo el producto escalar hTxr en función


de los términos que lo componen, así como recordando la expresión (7.2), esposible obtener que dicho producto tiene por expresión:

hTxr =[−rT rT

] [pipj

]= rT (pj − pi) = lij rT r (7.9)

De este modo, el resultado obtenido a partir de la expresión (7.9) suponeque el producto escalar hTxr es directamente proporcional al valor que adquiereel producto escalar rT r en cada instante. Por definición, el vector r es en todoinstante un vector unitario, por lo que su módulo permanece constante a lolargo del tiempo:

‖r‖2 = rT r = 1 (7.10)

Derivando respecto del tiempo la expresión anterior es posible demostrarque los vectores r y r son en todo instante ortogonales:

ddt

(rT r)

= rT r + rT r = 2 rT r = 0⇒ rT r = 0 (7.11)

Por lo tanto, la expresión (7.8) queda reducida únicamente a su primertérmino:

lij = hT xr = 0 (7.12)

Analicemos detenidamente a continuación la expresión (7.12). Realizandoel producto escalar como producto matricial de un vector fila por un vectorcolumna se pueden obtener las siguientes expresiones:

hT xr = rT (pj − pi) = 0rT pi = rT pj

(7.13)

Ambas ecuaciones (7.13), así como su expresión equivalente (7.12), mues-tran un teorema presente en cualquier libro de Mecánica Clásica:

Lema 7.2.2 (Proyección de Velocidades)Las velocidades de dos puntos i y j pertenecientes a un mismo sólido rígidoposeen idénticas componentes de velocidad en la dirección de la recta que losune.

Tras esta breve aclaración, premultiplicando ambos miembros de la ecuación(7.12) por el vector h, y recordando la expresión (7.6) obtenemos la denominada


ecuación matricial de velocidad de la restricción de distancia3:

hhT xr = Grxr = 0 (7.14)

El sistema de ecuaciones que aparece en la ecuación (7.14) posee las siguien-tes características:

La expresión (7.14) representa un sistema lineal y homogéneo de 6 ecua-ciones con 6 incógnitas, que introduce la misma restricción cinemáticaque la ecuación (7.12).

La teoría de Álgebra Lineal demuestra que los sistemas lineales homogé-neos poseen siempre solución, la cual estará definida por todos los vectoresxr incluidos dentro del subespacio nulo4 de la matriz Gr.

Gr xr = 0 ⇒ xr ∈ ker (Gr)

El problema de valores y vectores propios de la matriz geométrica Gr

puede ser planteado de la siguiente forma:

Gr xr = λ xr ⇒ (Gr − λ I) xr = 0

Para que el sistema de ecuaciones anterior presente una solución distintade la trivial, es necesario obtener los valores λ que son solución del polinomiocaracterístico p (λ) de la matriz Gr:

p (λ) = |Gr − λ I| = 0 (7.15)3A pesar de que la deducción se ha desarrollado para obtener la ecuación (7.14) a partir

de la relación (7.12), el procedimiento inverso por el cual se obtiene la relación (7.12) apartir de la ecuación (7.14) también es posible. Premultiplicando la ecuación (7.14) por xTrse alcanza la siguiente expresión:

xTr Grxr = 0Desarrollando la expresión xTr Grxr a partir de la expresión (7.6), y haciendo uso de la

propiedad asociativa del producto matricial, es posible reescribir la expresión anterior como:

xTr Grxr =(xTr h

) (hT xr

)= 0

El producto escalar hTxr es de valor lij conocido, tal y como muestra la ecuación (7.4).Esto permite alcanzar de forma inmediata la relación (7.12), cuya obtención se buscaba:

lij(hT xr

)= 0⇒ hT xr = 0

4También denominado núcleo de la matriz, o núcleo de su aplicación lineal asociada.


Desarrollando el determinante que lo define, se obtiene la expresión delpolinomio característico de Gr:

p (λ) = λ5 (λ− 2) = 0 (7.16)

En concreto, el vector propio asociado al valor propio no nulo λ = 2 es enla dirección del vector h, como se demuestra a continuación:

Gr h =(hhT

)h = h

(hTh

)= 2h

(rT r)

= 2h (7.17)

De este modo, el subespacio imagen de la matriz Gr queda definido comoel espacio generado como combinación lineal del vector h. Esto implica necesa-riamente que el subespacio nulo de la Gr, el complemento ortogonal al vectorh, sea de una dimensión igual a 5.

Como se puede observar, el hecho de que el subespacio nulo de Gr sea dedimensión 5 demuestra que el elemento modelizado mediante esta única restric-ción posee únicamente 5 GDL. Recordando las nociones básicas de la MecánicaClásica (Goldstein et al., 2000), para definir el movimiento de un sólido rígidoen el espacio es necesario conocer los datos de velocidad de al menos 3 puntosno colineales del mismo ya que, en caso contrario, no es posible definir com-pletamente la velocidad angular de dicho elemento. En el caso de definir unsólido rígido empleando únicamente dos puntos del mismo, como hemos ope-rado hasta ahora con los puntos i y j, dicho elemento poseerá únicamente 5GDL perfectamente definidos, quedando indefinida la componente de la velo-cidad angular en la dirección del vector pj − pi. Esto requerirá que exista unprocedimiento de modelización del mecanismo que introduzca un tercer puntono alineado, procedimiento que será explicado en profundidad a lo largo delCapítulo 8.

7.2.2. Ecuación de AceleraciónA continuación se procederá a obtener la expresión de la restricción de

distancia en términos de aceleraciones. Derivando la ecuación (7.12) respectodel tiempo se obtiene la siguiente ecuación:

d2 lijdt2

= lij = d

dt

(hT xr

)= hT xr + hT xr = 0 (7.18)

dondexr =

[pipj

]


es el vector de aceleraciones lineales absolutas de los nudos i y j entre loscuales se ha establecido la restricción de distancia, expresadas en un sistemade referencia cartesiano y fijo OXY Z.

Premultiplicando ambos miembros de la ecuación (7.18) por el vector h seobtiene la siguiente ecuación

hhT xr + hhT xr = 0 (7.19)

la cual, teniendo en cuenta la expresión (7.6), permite obtener la denominadaecuación matricial de aceleración de la restricción de distancia

Gr xr = cr (7.20)

donde el vector cr es un término no homogéneo de términos cuadráticos develocidad:

cr = −hhT xr = −(hT xr

)h (7.21)

El sistema de ecuaciones definido por la expresión (7.20) posee las siguientescaracterísticas:

Es un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo5 cuya matriz asociadaes siempre singular.

La solución de este tipo de ecuaciones viene dada por la solución delsistema de ecuaciones homogéneo hxr a la que se le suma la soluciónparticular del sistema de ecuaciones completo pxr.

Gr xr = cr ⇒ xr = hxr + pxr

Evidentemente, como paso previo al planteamiento del problema de acele-raciones ha de ser resuelto el problema de velocidades. De este modo podrá serdeterminado el término independiente cr de la ecuación de aceleración. Dichovector, según se observa en la expresión (7.21), presenta dos partes diferencia-das:

El vector h, cuyo valor ya fue obtenido a partir de los datos de posición,

y el producto escalar hT xr, cuadrático en términos de velocidad, cuyovalor todavía no ha sido determinado.

5Posee un término independiente cr no nulo.


Desarrollando el producto escalar hT xr es posible obtener la siguiente ecua-ción:

hT xr =[−rT rT

] [pipj

]= rT (pj − pi) (7.22)

El vector r puede ser obtenido fácilmente, sin más que derivar la expre-sión (7.2) respecto del tiempo, sabiendo que la longitud lij ha de permanecerconstante:

r = d

dt

[1lij

(pj − pi)]

= 1lij

(pj − pi) (7.23)

Sustituyendo la expresión (7.23) en la ecuación (7.22) es posible expresarel producto escalar hT xr de la forma siguiente

hT xr = 1lij

(pj − pi)T (pj − pi) = 1lij‖pj − pi‖2 (7.24)

con lo que la expresión del término no homogéneo cr de la ecuación de acele-ración queda completamente determinado y mostrado a continuación:

cr = 1lij‖pj − pi‖2 h (7.25)

Por otro lado, análogo resultado al mostrado en la expresión (7.20) puedeobtenerse derivando respecto del tiempo la ecuación de velocidad (7.14):

d

dt(Gr xr) = Gr xr + Gr xr = 0 (7.26)

Gr xr = −Gr xr (7.27)En este caso, el término no homogéneo de la ecuación de aceleración es

obtenido como el productocr = −Gr xr (7.28)

donde la matriz Gr, definida como la matriz derivada de la matriz geométricaasociada a la restricción de distancia, tiene por expresión

Gr = h hT + h hT (7.29)

Sustituyendo la expresión de Gr en la ecuación (7.28), a partir de la relación(7.12), se obtiene la expresión (7.21):

cr = −h hT xr − h hT xr = −h hT xr (7.30)

7.3. Relaciones de Sólido Rígido 215

7.3. Relaciones de Sólido Rígido

El movimiento de un sólido rígido queda definido una vez se han conocidosus vectores de velocidad y aceleración angular, y la velocidad y aceleraciónlineal de uno de los puntos que a él pertenece. Sin embargo, para conocer elvalor de las tres componentes de los vectores velocidad y aceleración angulardel sólido, es necesario conocer previamente las velocidades y aceleraciones detres puntos pertenecientes al mismo, ya que, en caso contrario, no quedaríacompletamente definido su movimiento. En este apartado se obtendrán lasexpresiones que ligarán dichos términos angulares con los obtenidos a partirde puntos pertenecientes al mismo sólido.

7.3.1. Velocidad y Aceleración Angular a partir de tresPuntos no Alineados

Dados tres nudos no alineados i, j y k pertenecientes a un mismo elementoe (Fig. 7.2), una vez son conocidas sus posiciones a partir de los vectores pi,pj y pk y sus velocidades absolutas pi, pj y pk, las expresiones del campo develocidades del sólido que ligan cada uno de estos términos con su velocidadangular ωe son las siguientes:

pj = pi + ωe × (pj − pi)pi = pk + ωe × (pi − pk)

(7.31)

pj − pi

pi − pki

j

k

e

Figura 7.2: Tres puntos no colineales pertenecientes al elemento e

Dichas expresiones pueden ser reordenadas de la siguiente manera

pj − pi + (pj − pi)× ωe = 0pi − pk + (pi − pk)× ωe = 0

(7.32)


con objeto de ser expresadas en forma matricial como se muestra a continuaciónpj − pi + Pij ωe = 0pi − pk + Pki ωe = 0

(7.33)

donde Pij y Pki son las matrices antisimétricas asociadas a los productosvectoriales que aparecen en las relaciones (7.32), expresadas en los siguientestérminos:

Pij = ∂ [(pj − pi)× ωe]∂ωe

=

0 − (zj − zi) yj − yizj − zi 0 − (xj − xi)− (yj − yi) xj − xi 0

Pki = ∂ [(pi − pk)× ωe]

∂ωe=

0 − (zi − zk) yi − ykzi − zk 0 − (xi − xk)− (yi − yk) xi − xk 0

De este modo, agrupando las relaciones (7.33) se alcanza la siguiente ex-

presión: [−I I OI O −I

]pipjpk

+[Pij

Pki

]ωe =

[00

](7.34)

El sistema descrito mediante la ecuación (7.34) muestra un sistema su-pradeterminado6, el cual será resuelto empleando la matriz pseudoinversa deMoore-Penrose7. Premultiplicando el sistema de ecuaciones (7.34) por la matrizsiguiente [

Pij

Pki

]T=[PTij PT

ki

]= −

[Pij Pki

](7.35)

obtenemos el sistema de ecuaciones resultante:[Pij

Pki

]T [−I I OI O −I

]pipjpk

+[Pij

Pki

]T [Pij

Pki

]ωe = 0 (7.36)

Operando sobre la ecuación (7.36), y teniendo en cuenta la relación (7.35),se obtiene la siguiente expresión

[(Pki −Pij) Pij −Pki

] pipjpk

+(P2ij + P2

ki

)ωe = 0 (7.37)

6Presenta un número mayor de ecuaciones (6), que de incógnitas (3), las tres componentesde la velocidad angular del elemento ωe.

7Formulación análoga a su resolución basada en la técnica de los mínimos cuadrados.


la cual, puede ser escrita de una forma más compacta como

Rp

pipjpk

+ Rω ωe = 0 (7.38)

donde la matriz Rp es una matriz rectangular 3× 9 de la forma

Rp =[(Pki −Pij) Pij −Pki

](7.39)

y Rω es una matriz cuadrada de orden 3 no singular, gracias a que los puntosi, j y k no son colineales.

Rω = P2ij + P2

ki (7.40)Invirtiendo la matriz Rω obtenemos la expresión de la velocidad angular ωe

del elemento e en función de las velocidades de los nudos pi, pj y pk mediantela siguiente expresión:

ωe = −R−1ω Rp

pipjpk

(7.41)

El siguiente paso es obtener de forma explícita la expresión de la matrizinversa R−1

ω , punto que tendrá su importancia en la Sección 7.4. Para ello, esnecesario observar la forma de Rω. A partir de la expresión (7.40) es posiblededucir que Rω es obtenida como suma de las matrices P2

ij y P2ki. Ya que

dichas matrices quedan definidas como

P2ij = Pij Pij

P2ki = PkiPki

el producto Rω ωe puede ser desarrollado como

Rω ωe = P2ij ωe + P2

ki ωe == Pij (Pij ωe) + Pki (Pki ωe) == (pj − pi)× [(pj − pi)× ωe] + (pi − pk)× [(pi − pk)× ωe]

(7.42)

De este modo queda demostrado que las matrices P2ij y P2

ki tienen el signi-ficado del operador doble producto vectorial. Desarrollando el doble productovectorial en función de los tres vectores que lo definen (Arfken y Weber, 2005)

a × (b× c) =(aT c

)b−

(aTb

)c =

=[baT −

(aTb

)I]c


es posible expresar el producto Rω ωe de la forma siguiente:

Rω ωe =[(pj − pi) (pj − pi)T − ‖pj − pi‖2 I +

+ (pi − pk) (pi − pk)T − ‖pi − pk‖2 I]ωe (7.43)

Analizando en detalle los términos que la componen, es evidente que lamatriz Rω puede ser expresada de la forma siguiente

Rω = P− tr (P) I (7.44)

donde la matriz I es la matriz identidad, y la matriz P y su traza tienen lassiguientes expresiones:

P = (pj − pi) (pj − pi)T + (pi − pk) (pi − pk)T

tr (P) = ‖pj − pi‖2 + ‖pi − pk‖2

A partir de estos resultados, y según aparece en la referencia (Angeles,2007), se puede demostrar que la matriz inversa de Rω puede ser obtenida apartir de la siguiente expresión, en función de la posición de los puntos i, j yk:

R−1ω = 2

tr (P)[tr (P2)− tr (P)2

]P2 − 1tr (P)

I (7.45)

De idéntica forma al caso expuesto de la obtención de la velocidad angular serealizará el desarrollo para la obtención de la expresión de la aceleración angularαe. A partir de las expresiones de campo de aceleraciones pueden plantearselas siguientes ecuaciones

pj = pi +αe × (pj − pi) + ωe × [ωe × (pj − pi)]pi = pk +αe × (pi − pk) + ωe × [ωe × (pi − pk)]

(7.46)

las cuales pueden ser reordenadas de la siguiente manera

pj − pi + (pj − pi)×αe = ωe × [ωe × (pj − pi)] = cijpi − pk + (pi − pk)×αe = ωe × [ωe × (pi − pk)] = cki

(7.47)

lo que permite que puedan ser expresadas como

pj − pi + Pij αe = cijpi − pk + Pkiαe = cki

(7.48)


De este modo, agrupando las expresiones (7.47) en una única ecuación ma-tricial se obtiene la siguiente expresión:[

−I I OI O −I

]pipjpk

+[Pij

Pki

]αe =

[cijcki

](7.49)

El procedimiento de resolución de la ecuación (7.49) es análogo al del casoanteriormente descrito, esto es:[

Pij

Pki

]T [−I I OI O −I

]pipjpk

+[Pij

Pki

]T [Pij

Pki

]αe =

[Pij

Pki

]T [cijcki

](7.50)

Operando sobre la ecuación (7.50), y teniendo en cuenta nuevamente laexpresión (7.35), se obtiene una ecuación análoga a la obtenida para el caso dela velocidad angular del elemento:

Rp

pipjpk

+ Rω αe =[Pij Pki

] [cijcki

](7.51)

De este modo, invirtiendo la matriz Rω obtenemos la expresión de la acele-ración angular αe del elemento e a partir de los datos de velocidad y aceleraciónde tres puntos i, j y k:

αe = R−1ω

[Pij Pki

] [cijcki

]−R−1

ω Rp

pipjpk

(7.52)

Sin embargo, la aceleración angular de un elemento no depende de los tér-minos cuadráticos de velocidad, esto es, no depende de los términos de acelera-ción normal. La expresión (7.52) aparentemente contradice este último punto,al incluir en ella términos cuadráticos velocidad. Desarrollando, es posible de-mostrar que la contribución de dichos términos al vector aceleración angulares nula

R−1ω

[Pij Pki

] [cijcki

]= 0

por lo que la expresión de la aceleración angular se reduce únicamente a laforma siguiente:

αe = −R−1ω Rp

pipjpk

(7.53)


7.3.2. Velocidad y Aceleración Angular a partir de dosPuntos

En algunos casos no se podrán encontrar tres nudos pertenecientes a unmismo elemento que no se encuentren alineados, bien porque el elemento hasido definido mediante únicamente dos puntos, o bien porque, a pesar de estardefinido por más de dos puntos, todos ellos se encuentran posicionados sobreuna misma línea siendo, por tanto, colineales. De este modo únicamente sedispondrá de dos nudos de un mismo elemento denominados i y j, siendo susvectores de posición los vectores pi y pj expresados en un sistema de referenciaabsoluto OXY Z y sus velocidades lineales pi y pj . A partir de estos datos,la ecuación de campo de velocidades del elemento entre estos dos nudos puedeplantearse a partir de la siguiente ecuación

pj = pi + ωe × (pj − pi) (7.54)

que, a su vez, puede ser reescrita de la forma siguiente:

pj − pj + (pj − pi)× ωe = 0 (7.55)

Escribiendo la expresión (7.55) en forma matricial se puede plantear lasiguiente ecuación: [

−I I] [pi

pj

]+ Pij ωe = 0 (7.56)

Debido a ser Pij una matriz antisimétrica, el sistema de ecuaciones lineales(7.56) posee infinitas soluciones, ya que la matriz Pij es singular. Recordandoque dicha matriz Pij es a su vez la expresión matricial del producto vectorial(pj − pi)×, se puede deducir de forma inmediata que el vector pj−pi perteneceal subespacio nulo de Pij :

Pij (pj − pi) = (pj − pi)× (pj − pi) = 0 (7.57)

La conclusión que se deduce a partir de la expresión anterior es que lacomponente de la velocidad angular en la dirección del vector pj − pi no po-drá ser determinada8. Por eso, ante la imposibilidad de conocer el valor de la

8Para que la componente de la velocidad angular en la dirección del vector pj−pi quededefinida es necesario poseer los datos de velocidad pk de un tercer nudo k no colineal con losnudos i y j.


componente en esta dirección, se optará por imponer un valor nulo a la misma9.Volviendo atrás en la deducción, premultiplicamos ambos miembros de la

ecuación (7.56) por la matriz Pij obteniendo las siguientes expresiones:

Pij

[−I I

] [pipj

]+ PijPij ωe = 0 (7.58)

[−Pij Pij

] [pipj

]+ P2

ij ωe = 0 (7.59)

Recordando nuevamente la propiedad del triple producto vectorial, es po-sible plantear la siguiente relación:

P2ij ωe =

[(pj − pi)T ωe

](pj − pi)−

[(pj − pi)T (pj − pi)

]ωe (7.60)

Debido a que se ha exigido que la componente de la velocidad angular enla dirección del vector pj − pi sea nula

(pj − pi)T ωe = 0

la expresión (7.60) se puede ser reescrita de la forma siguiente:

P2ijωe = −

[(pj − pi)T (pj − pi)

]ωe =

= −‖pj − pi‖2 ωe == −l2ij ωe

(7.61)

De este modo, sustituyendo la expresión (7.61) en la ecuación (7.59) sepuede obtener la siguiente ecuación:

[−Pij Pij

] [pipj

]− l2ij ωe = 0 (7.62)

9Desde un punto de vista puramente cinemático, este punto puede ser perfectamenteaceptado y asimilable, como puede ser el caso de un elemento unido al resto de elementos pormedio de pares esféricos situados en sus dos puntos extremos, ya que el hecho de consideraresta componente supondría incluir posibilidades de movimiento que no afectarían al restode elementos que componen el mecanismo, evitando la introducción de grados de libertadadicionales. Sin embargo, desde el punto de vista dinámico, esta consideración debe ser tenidaen cuenta, ya que el hecho de imponer la nulidad de la componente de la velocidad angular enesta dirección supondría la aparición de esfuerzos que han de limitar ese posible movimiento.


La ecuación (7.62) puede ser expresada en la misma forma de la ecuación(7.40) siendo, en este caso la matriz

Rp =[−Pij Pij

](7.63)

una matriz de dimensión 3×6 y la matriz Rω una matriz diagonal de la formasiguiente:

Rω = −l2ij I (7.64)

De este modo, la expresión de la velocidad angular ωe del elemento e par-ticularizada a este caso es obtenida como se muestra a continuación:

ωe = 1l2ij

[−Pij Pij

] [pipj

]=

= 1l2ij

Pij (pj − pi) =

= 1l2ij

(pj − pi)× (pj − pi) =

= r× r

(7.65)

El siguiente paso es proceder a determinar la expresión de la aceleración an-gular αe en este caso. De idéntica forma, planteando la ecuación de campode aceleraciones del elemento e entre los puntos i y j se obtiene la siguienteexpresión

pj = pi +αe × (pj − pi) + ωe × [ωe × (pj − pi)] (7.66)

expresión que puede ser reescrita de la forma siguiente:

pj − pj + (pj − pi)×αe = ωe × [ωe × (pj − pi)] = cij (7.67)

En este caso, la expresión del vector cij puede ser reducida significativa-mente, gracias a que ha sido impuesta la condición de ortogonalidad entre losvectores ωe y pj − pi. Esta condición permite obtener el vector cij expresadoen los siguientes términos:

cij = ωe × [ωe × (pj − pi)]=[ωTe (pj − pi)

]︸︷︷︸0

ωe −(ωTe ωe

)(pj − pi)

= −‖ωe‖2 (pj − pi)

(7.68)


Tras este inciso, retomando la deducción de la expresión de la aceleraciónangular, la ecuación (7.67) puede ser reescrita de forma matricial como:[

−I I] [pi

pj

]+ Pij αe = cij (7.69)

De forma análoga al caso de la obtención de la expresión de la velocidadangular, es posible premultiplicar ambos miembros de la ecuación (7.69) por lamatriz Pij obteniendo las siguientes relaciones:

Pij

[−I I

] [pipj

]+ Pij Pij αe = Pij cij (7.70)

[−Pij Pij

] [pipj

]+ P2

ij αe = Pij cij (7.71)

Gracias a esta operación, el producto Pij cij se anula, empleando para ellola expresión (7.68):

Pij cij = (pj − pi)× cij = −‖ωe‖2 (pj − pi)× (pj − pi) = 0

Por tanto, la ecuación (7.71) queda reducida a una expresión análoga ala empleada para el cálculo de la velocidad angular, tal y como se muestra acontinuación: [

−Pij Pij

] [pipj

]− l2ij αe = 0 (7.72)

Rp

[pipj

]+ Rω αe = 0 (7.73)

De este modo se obtiene la expresión de la aceleración angular αe en funciónde dos puntos i y j pertenecientes al sólido:

αe = −R−1ω RP

[pipj

](7.74)

que desarrollada queda expresada de la forma siguiente:

αe = 1l2ij

[−Pij Pij

] [pipj

]=

= 1l2ij

Pij (pj − pi) =

= 1l2ij

(pj − pi)× (pj − pi) =

= r× r

(7.75)


7.4. Movimiento Relativo de un Punto respecto a unSólido Rígido

La velocidad de un punto q deslizando sobre un sólido rígido e viene deter-minada por las ecuaciones de movimiento relativo, en términos de velocidades(7.76) y aceleraciones (7.77) mostradas a continuación:

pq = pi + ωe × (pq − pi) + prel eq (7.76)

pq = pi +αe × (pq − pi) + ωe × [ωe × (pq − pi)] + prel eq + pCoriolis e

q (7.77)

En ellas, los vectores pq y pq definen los vectores velocidad y aceleraciónabsolutas correspondientes al punto q, los vectores ωe y αe son los vectoresvelocidad y aceleración angular absolutas del sólido rígido e, mientras el vectorpq − pi es el vector de posición entre los puntos q e i.

En estas ecuaciones entran en juego los vectores prel eq y prel e

q , los cualesdefinen la velocidad y aceleración del punto q relativas al elemento e, y elvector pCoriolis e

q define el término de aceleración de Coriolis del punto q en sumovimiento relativo respecto al elemento e, siendo su expresión la mostrada acontinuación:

pCoriolis eq = 2ωe × prel e

q

La formulación empleada en el planteamiento de la ecuación de velocidadexige emplear las velocidades y aceleraciones absolutas respecto de un sistemade referencia fijo. Por lo tanto, es necesario obtener todas las restriccionescinemáticas en términos de velocidades y aceleraciones absolutas. Esto conllevala necesidad de eliminar los términos en velocidades y aceleraciones relativas.

Para ello se emplearán las características del movimiento que son conocidasen un primer análisis, como puede ser el conocer la dirección del movimientorelativo del punto q sobre el sólido rígido e.

Esto sucederá bien cuando el punto q deslice sobre la superficie del sólidorígido e o bien cuando se conozca el plano dentro del cual se desplazará dichopunto (Fig. 7.3a), o bien cuando sea conocida la dirección de desplazamientorelativo del punto q (Fig. 7.3b). De este modo puede hacerse un mismo razona-miento para los dos casos mostrados en la Fig. 7.3 haciendo uso de los vectoresnormales ni que definen el movimiento relativo del punto q.

7.4. Movimiento Relativo de un Punto respecto a un Sólido Rígido 225

S

q

n

prel eq

(a) Punto q desplazándose por el plano S de vector normal n

i

j

k

q

n1

n2

e

prel eq

(b) Sobre una dirección determinada, ortogonal a n1 y n2

Figura 7.3: Movimiento relativo del punto q repecto el sólido rígido e

Por propia definición, los vectores ni verifican las siguientes relaciones10:

nT prel eq = 0 (7.78)

nT prel eq = nT nprel e

q (7.79)

10A pesar de que esta deducción se está realizando en el caso de que el punto q nopertenezca el elemento e, todas las expresiones obtenidas son también válidas en el casode que dicho nodo sí pertenezca a e, ya que, en este caso, tanto el término de velocidadrelativa prel e

q como el término de aceleración relativa tangente prel eq son de valor nulo. Esta

particularidad será de aplicación en el apartado 8.13


7.4.1. Relaciones de Movimiento Relativo en VelocidadesAbsolutas

Multiplicando escalarmente ambos miembros de la ecuación vectorial (7.76)por el vector unitario n, vector que define la dirección sobre la cual se impondrála restricción de movimiento relativo al punto q, se puede plantear:

nT pq = nT pi + nT [ωe × (pq − pi)] + nT prel eq (7.80)

Asumiendo la condición (7.78) y reordenando, la ecuación (7.80) puede serreescrita de la forma siguiente:

nT (pq − pi) + nT [(pq − pi)× ωe] = 0 (7.81)

Empleando la propiedad del producto mixto, la ecuación (7.81) también sepuede expresar en forma matricial:

[nT −nT

] [pqpi

]+[n× (pq − pi)

]Tωe = 0 (7.82)

Con objeto de obtener una expresión análoga a la obtenida para el caso dela restricción de distancia (7.14), se ha de premultiplicar la expresión (7.82)por el vector

[nT − nT

]T :[n−n

] [nT −nT

] [pqpi

]+[

n−n

] [n× (pq − pi)

]Tωe = 0 (7.83)

Operando sobre la ecuación (7.83), se obtiene la siguiente expresión[nnT −nnT−nnT nnT

] [pqpi

]+[

n−n

] [n× (pq − pi)

]Tωe = 0 (7.84)

ecuación que puede ser expresada de una forma más compacta como

nqCp

[pqpi

]+ nqCω ωe = 0 (7.85)

donde la matriz nqCp es una matriz cuadrada de orden 6 expresada en los

siguientes términosnqCp =

[nnT −nnT−nnT nnT

]


mientras nqCω es una matriz de dimensión 6×3 expresada de la forma siguiente:

nqCω =

[n−n

] [n× (pq − pi)

]TPara obtener una relación que contenga únicamente términos en velocidades

lineales absolutas es necesario expresar la velocidad angular ωe en función delos términos de velocidad de puntos pertenecientes al elemento e. De este modo,en el caso de que el elemento e sea definido mediante 3 puntos no alineados,sustituyendo la expresión (7.41) en la ecuación (7.85), ésta queda reescrita dela siguiente forma:

nqCp

[pqpi

]− nqCωR−1

ω Rp

pipjpk

= nCq

pqpipjpk

= 0 (7.86)

Por el contrario, en el caso de no poder ser encontrados tres puntos noalineados en el elemento e, la velocidad angular ωe del elemento vendría de-terminada a partir de dos puntos i y j pertenecientes al mismo. De este modo,sustituyendo la expresión (7.65) en la ecuación (7.85), ésta queda reescrita dela siguiente forma:

nqCp

[pqpi

]− nqCωR−1

ω Rp

[pipj

]= nCq

pqpipj

= 0 (7.87)

La matriz nCq se denomina matriz geométrica asociada a la restricciónde movimiento relativo, siendo en el caso mostrado por la ecuación (7.86) dedimensión 6× 12, y de dimensión 6× 9 en el caso de mostrado por la ecuación(7.87).

7.4.2. Relaciones de Movimiento Relativo en AceleracionesAbsolutas

Como paso inicial a la construcción de la expresión de la restricción de mo-vimiento relativo en términos de aceleración deberemos comprender el porquéde la expresión (7.79).

La deducción inicial de la expresión de la restricción de movimiento relativoestaba basada en el movimiento relativo de un punto q sobre una superficie


plana perteneciente al elemento e. Sin embargo, este razonamiento puede seraplicado de una forma general a superficies de una geometría cualquiera, sobrelas cuales se esté desplazando un punto q. Dichas superficies poseerán unageometría conocida, esto es, serán conocidas tanto la dirección normal n a lasuperficie de contacto en el punto q como la curvatura de la superficie, definidapor el radio ρ de la esfera osculatriz en el punto de contacto.

S

q

n

prel eq

tprel eq

nprel eq

Esfera osculatriz

Figura 7.4: Punto q desplazándose por la superficie de plano tangente S devector normal n en dicho punto

Conocida la dirección normal al contacto, es evidente que el punto q nopenetrará la superficie debido a la indeformabilidad de los sólidos en contacto,por lo que el vector velocidad relativa será paralelo al plano tangente a lasuperficie, por lo que la ecuación en términos de velocidad (7.78) se cumpleen cualquier caso. Sin embargo, esta generalización añade nuevos términos a laecuación de aceleración.

Por lo tanto, el término de aceleración relativa prel eq del punto q puede ser

descompuesto en dos términos, una componente en la dirección normal nprel eq

y otra sobre el plano tangente tprel eq :

prel eq = tprel e

q + nprel eq (7.88)

Multiplicando escalarmente la expresión anterior por el vector normal nes evidente que la proyección del vector prel e

q en la dirección normal coincide


con esta componente normal de la aceleración, la cual tiene además un valorconocido:

nT prel eq = nT tprel e

q + nT nprel eq = nT nprel e

q = −1ρ

∥∥prel eq

∥∥2 (7.89)

Tras este inciso, proseguiremos con la deducción de la ecuación de acelera-ción de la restricción de movimiento relativo. Denominando como cq al términocuadrático en términos de velocidad que aparece en la ecuación (7.77)

cq = ωe × [ωe × (pq − pi)] + pCoriolis eq (7.90)

ésta se puede escribir de la forma siguiente:

pq = pi +αe × (pq − pi) + prel eq + cq (7.91)

A partir de la expresión anterior, siendo multiplicados escalarmente ambosmiembros de la misma por el vector n se puede plantear la siguiente ecuación:

nT pq = nT pi + nT [αe × (pq − pi)] + nT prel eq + nT cq (7.92)

Asumiendo la condición (7.79) y reordenando, la ecuación (7.92) puede serreescrita como

nT (pq − pi) + nT [(pq − pi)×αe] = nT(cq + nprel e

q

)(7.93)

Empleando nuevamente la propiedad del producto mixto, la expresión (7.93)se puede expresar en notación matricial como

[nT −nT

] [pqpi

]+[n× (pq − pi)

]Tαe = nT

(cq + nprel e

q

)(7.94)

Premultiplicando la ecuación (7.94) por el vector[nT −nT

]T es posibleobtener[

n−n

] [nT −nT

] [pqpi

]+

+[

n−n

] [n× (pq − pi)

]Tαe = nT

(cq + nprel e

q

) [ n−n

](7.95)


que se reduce a[nnT −nnT−nnT nnT

] [pqpi

]+[

n−n

] [n× (pq − pi)

]Tαe = nT

(cq + nprel e

q

) [ n−n

](7.96)

y xpresada de una forma más compacta como

nqCp

[pqpi

]+ nqCω αe = nT

(cq + nprel e

q

) [ n−n

](7.97)

Para obtener una ecuación que contenga únicamente términos en aceleracio-nes absolutas es necesario expresar la aceleración angular αe en función de lostérminos de aceleración de puntos pertenecientes al elemento e. De este modo,en el caso de que el elemento e sea definido mediante tres puntos no alineados,sustituyendo la expresión (7.53) en la ecuación (7.97), ésta queda reescrita dela siguiente forma

nqCp

[pqpi

]− nqCωR−1

ω Rp

pipjpk

= nCq

pqpipjpk

= ncq (7.98)

donde el término ncq queda definido como

ncq = nT(cq + nprel e

q

) [ n−n

](7.99)

En caso contrario, sustituyendo la expresión (7.75) en la ecuación (7.97),ésta queda reescrita de la siguiente forma:

nqCp

[pqpi

]− nqCωR−1

ω Rp

[pipj

]= nCq

pqpipj

= ncq (7.100)

De idéntica forma al caso de la restricción de distancia, el término no ho-mogéneo ncq de las ecuaciones (7.98) y (7.100) admite a su vez una expresiónen forma matricial. Volviendo a la expresión del término cq mostrada en laecuación (7.90), éste puede ser escrito de la forma siguiente:

cq = −[ωe × (pq − pi) + 2 prel e

q

]× ωe (7.101)


De este modo, denominando l al vector

l = −ωe × (pq − pi)− 2 prel eq

el término cq puede expresarse como

cq = Lωe (7.102)

siendo L la matriz antisimétrica asociada al producto vectorial correspondienteal vector l. Gracias a esta simplificación, es posible expresar el término ncq como

ncq =[

nnT−nnT

]Lωe +

[nnT−nnT

]nprel e

q (7.103)

expresión a partir de la cual, en función de si el elemento ha sido definidoempleando dos o tres puntos, se obtiene el vector ncq en términos cuadráticosde velocidad.

8

Modelización del Mecanismo

8.1. Introducción

Una vez han sido definidas las ecuaciones de restricción fundamentales quese emplearán en la modelización del mecanismo a analizar, el siguiente pasoconsistirá en realizar esta modelización. El concepto de modelización debe serentendido como el paso de la geometría instantánea de elementos y pares cine-máticos que forman el mecanismo, al conjunto de puntos característicos que lorepresentarán, junto al conjunto de restricciones que definirán cómo se mueveel mecanismo. Este apartado explicará el proceso de modelización empleadopara la obtención de las ecuaciones de velocidad y aceleración del mecanismo,ecuaciones que servirán de base para posteriores análisis del mismo.

Entre las diferentes posibilidades del método, es necesario destacar la ca-pacidad de analizar cualquier tipo de mecanismos / sistemas mecánicos com-plejos1 de las siguientes características:

Elementos rígidos definidos mediante un número determinado de nudos(dos, tres o un número superior),

elementos extensibles o émbolos,

pares esféricos, de rotación, cilíndricos, prismáticos y helicoidales,

1El procedimiento de modelización no realizará ninguna distinción entre si estamos tra-tando con un robot serie, paralelo, híbrido, varios robots en cooperación, etc. Cualquier tipode mecanismo será modelizado empleando una sistemática idéntica.

233

234 Modelización del Mecanismo

pares resultantes de la combinación de los anteriores,

juntas cardan o universales.

De este modo, en los sucesivos apartados de este Capítulo se presentarántodos los aspectos relativos a la modelización del sistema mecánico que se deseaanalizar.

8.2. Definición de Nudos

El paso que se debe dar en primer lugar es el de definir cuáles serán las coor-denadas que se emplearán para representar el movimiento del sistema mecánico,esto es, cuáles serán los puntos pertenecientes al mecanismo cuyas coordenadascartesianas se emplearán para definirlo.

Dichos nudos serán definidos en puntos característicos del mecanismo aanalizar, como son aquellos puntos en los que se encuentre posicionado un parcinemático o los puntos que definen un elemento rígido. Todos estos nudosvendrán dados por la propia geometría del mecanismo analizado, por lo que elproceso de modelización no hará otra cosa que introducirlos dentro del modelo.

De este modo, el proceso de modelización comienza con la inclusión deestos nudos dentro del vector de nudos característicos del sistema, nudos cuyascoordenadas (pi, pj , pk, . . . ) serán perfectamente conocidas y disponibles paracualquier tipo de operación posterior. Estos nudos serán almacenados dentrodel vector x de nudos característicos del sistema mecánico:

x =

pipjpk...

(8.1)

Sin embargo, según se explicará en apartados posteriores, el empleo de estosnudos característicos del sistema no bastará para definirlo completamente, fun-damentalmente debido a la existencia de diferentes tipos de pares cinemáticos,pares que para su correcta representación llevarían a la introducción de comple-jas expresiones. De este modo, con objeto de mantener ante todo la simplicidaddel método, basado en el empleo de los tres tipos de restricciones mostradas enel Capítulo 7, se ha optado como mejor opción por la inclusión de un conjuntode nudos auxiliares que completen la modelización del sistema, modelizandopor un lado los diferentes pares cinemáticos que lo componen y completando

8.2. Definición de Nudos 235

el número de nudos necesarios para definir completamente el movimiento detodos los elementos que forman parte de él.

Restricción distancia

Restricción movimiento relativo

Nudo auxiliar

Figura 8.1: Modelización de la plataforma paralela 3−RPS

Como resultado del proceso de modelización, se habrán posicionado estosdiferentes nudos auxiliares y, por tanto, sus coordenadas serán conocidas, porlo que se podrá proceder con la aplicación de todas las restricciones necesariaspara completar la modelización del sistema mecánico, definidas en el mismoproceso2, tal y como muestra la Fig. 8.1.

2En la Fig. 8.1, además de la geometría instantánea del mecanismo y el posicionamientode los tres nudos auxiliares empleados en este caso, se presentan las restricciones de distanciaque unen rígidamente a los nudos auxiliares con el resto de elementos del manipulador, juntocon las restricciones de movimiento relativo necesarias, representadas mediante una flecha enla dirección de su vector n asociado sobre el nudo en cuestión.


Dichos nudos auxiliares serán a su vez introducidos dentro del vector denudos característicos del sistema:

x =

pipjpk...

papb...

(8.2)

Con carácter general, se introducirán nudos auxiliares en la modelización delos siguientes pares cinemáticos y elementos, según se observa en la Tabla 8.1.

Elemento / Par Cinemático Nudos auxiliares necesariosS 0R 1U 2P 1C 1H 1CS 0F 0

Émbolo 0, 1 ó 2

Tabla 8.1: Nudos auxiliares necesarios

Durante la definición de los nudos auxiliares será necesario obtener los si-guientes datos que permiten modelizar completamente el sistema a analizar.Estos datos son:

Su posición, definida por sus coordenadas cartesianas;

considerarlo unido o no al elemento fijo;

en el caso de los nudos auxiliares asociados a juntas cardan especificar supertenencia a un determinado elemento en vez de a todos los elementosque llegan a él, como ocurre con el resto de los pares;

y saber si es un nudo auxiliar creado en la modelización del émbolo o no.

8.3. Restricciones de un Par Esférico 237

En los siguientes apartados se explicará el posicionamiento de los nudosauxiliares necesarios para modelizar el sistema mecánico en función de los ele-mentos y pares cinemáticos que lo componen, junto a las restricciones que seránecesario aplicar.

8.3. Restricciones de un Par Esférico

Un par esférico (S), mostrado en la Fig. 8.2, permite una rotación relativapura definida en cualquier dirección entre los elementos unidos mediante elmismo.

Par S

Figura 8.2: Par esférico

Desde el punto de vista de esta formulación, en la que se emplearan coorde-nadas cartesianas de nudos característicos del mecanismo, el par esférico suponeque dos nudos extremos i y j pertenecientes respectivamente a dos elementosunidos por dicho par S coinciden en cada instante en la posición de dicho par.Por tanto, la restricción que dicho par impone es la igualdad de velocidades yaceleraciones de los nudos i y j:

pi = pj (8.3)pi = pj (8.4)

Sin embargo, la modelización del mecanismo se realiza a partir de unaconfiguración ensamblada del mismo, en la que se emplean como coordenadasla posición de los puntos en los que se encuentran definidos los diferentes parescinemáticos del mecanismo. Esto hace que, en la práctica, no sea necesario ladefinición de dos nudos i y j pertenecientes a cada uno de los elementos unidos


a los que aplicar las restricciones anteriores, sino que la propia coincidencia denudos vendrá implícita en la definición de un único nudo situado en la posicióndel par S.

8.4. Restricciones del Par Rotacional

La modelización del par de rotación (R), mostrado en la Fig. 8.3, se rea-liza incluyendo un nudo auxiliar en utilización conjunta con restricciones dedistancia.

Par Rsi

j

i

k

a

Figura 8.3: Modelización del par R

Pensemos por un momento en esta afirmación para poder entenderla enprofundidad. Un par R situado en el nudo i lleva consigo asociado un eje,definido por el propio nudo i mediante su vector de coordenadas cartesianas piy un vector unitario si en la dirección del mismo. De este modo, todo nudo asituado sobre dicho eje tendrá por coordenadas

pa = pi + d si (8.5)

donde el parámetro d es la distancia entre los puntos i y el nudo auxiliar a.En concreto, la restricción que un par R aplica en el movimiento relativo

entre dos elementos rígidos unidos por el mismo es que cualquier punto decada uno de los elementos unidos por el par R equidista en cualquier instante

8.5. Restricciones de una Junta Cardan 239

de cualquier punto situado sobre dicho eje de rotación. En cierto modo, se puedeconsiderar que todos los puntos pertenecientes al eje de rotación pertenecen asu vez a todos y cada uno de los elementos unidos por dicho par. De hecho,dicho nudo auxiliar a pasará a formar parte de todos los elementos unidos pordicho par R.

Quizás el lector pudiera pensar en un modo alternativo de realizar la mo-delización del par R, a partir de imponer la dirección de la velocidad angularrelativa entre dos de los elementos unidos por el par R, empleando para elloecuaciones del tipo de (7.41) y (7.65) y los vectores normales a si. Debido a lamayor simplicidad de la primera solución, esta segunda alternativa no ha sidoimplementada.

Una representación esquemática de la modelización del par R puede verseen la Fig. 8.3. Una vez posicionado el nudo auxiliar a, deberemos imponer suunión rígida con todos y cada uno de los nudos de los elementos unidos porel par de rotación (según aparece en la Fig. 8.3, los nudos i, j y k), así comotambién a todos los nudos auxiliares asociados a estos nudos.

En el emplazamiento de los nudos auxiliares, el único requerimiento im-puesto aparte de su pertenencia al eje de rotación es que la distancia existenteentre el par R y el nudo auxiliar sea del mismo orden de magnitud que laslongitudes existentes entre los nudos de los elementos. Una justificación másrigurosa de este punto, cuya índole es puramente numérico, puede encontrarseen la Sección 8.16.

8.5. Restricciones de una Junta Cardan

Desde un punto de vista puramente conceptual, la modelización de la juntacardan o universal (U) no presenta ningún concepto adicional al presentadopara la modelización del par R, por lo que el lector podrá comprender de unaforma sencilla el razonamiento seguido.

Según se puede observar en la Fig. 8.4, la modelización del par U añadirádos nudos auxiliares a y b localizados en las direcciones de los ejes del par.Esto es debido a que el par U puede ser considerado como dos pares R situadosen una misma posición, de ejes perpendiculares unidos rígidamente entre sí yrespectivamente a cada uno de los elementos a los que están ligados. De estemodo, cada nudo auxiliar se unirá rígidamente a cada uno de los nudos delelemento ligado al eje en la dirección del cual está situado. Según el ejemplomostrado en la Fig. 8.4, esto llevaría a incluir restricciones de distancia entrelos nudos (a, i) y (a, j) por un lado, y por otro restricciones de distancia entre


Junta U

i

j

k

a

b

Figura 8.4: Modelización de la junta universal

los nudos (b, j) y (b, k). Además, con objeto de garantizar la unión rígidaexistente entre ambos ejes del par U , se añadirá una restricción de distanciaentre ambos nudos auxiliares a y b.

8.6. Restricciones del Par Plano

La descripción del par cinemático plano (F ) puede venir dada como aquelpar que restringe el movimiento de un punto a desplazarse únicamente sobreuna superficie plana, la cuál puede estar a su vez desplazándose como un só-lido por el espacio. Sin embargo esta definición puede ser considerada comodemasiado restrictiva, ya que el mismo planteamiento puede ser aplicado cuan-do dicho punto se desplaza exclusivamente sobre una superficie de geometríaconocida.

Si pensamos en el movimiento del punto q desplazándose sobre esta super-ficie, es evidente que se verifica el supuesto más general mostrado en la Sección7.4. Por lo tanto, la modelización de este par quedará definida mediante la apli-cación de una restricción de movimiento relativo sobre el nudo q en la direccióndel vector unitario n normal a la superficie en dicho punto pq.

8.7. Restricciones del Par Cilíndrico 241

S

q

n

prel eq

prel eq

Figura 8.5: Punto q desplazándose por el plano S de vector normal n en dichopunto

8.7. Restricciones del Par Cilíndrico

El par cilíndrico (C) puede ser considerado como un par R que capaz asu vez de trasladarse a lo largo de su eje de rotación. Debido a esto, podemosintuir cuál será la modelización de este par cinemático.

Par Ci

q

aj

k

l

n1n2

n1n2

Figura 8.6: Modelización del par C


De idéntica forma al caso del par R, el par C se modelizará empleando unpunto q en la posición del par cinemático, junto con un nudo auxiliar a posicio-nado en la dirección sobre la cuál el par C se desplaza, la cuál queda definidamediante el vector pj − pi, obtenido a partir de los puntos i y j del elementoe (Fig. 8.6), y posicionado según el procedimiento descrito en la Sección 8.16.De este modo, la rotación permitida por el par C quedará modelizada sin másque introducir restricciones de distancia entre el nudo auxiliar a y el resto denudos l pertenecientes al elemento unido rígidamente al par C.

Sin embargo, la sola inclusión de las restricciones de distancia anteriores noevitaría la posibilidad de la pérdida del contacto entre el nudo q y el elementoe sobre el cual desliza. Para ello se deberán incluir restricciones al movimientorelativo como las vistas en la Sección 7.4 sobre los nudos q y a. Dichas res-tricciones implican definir una base de vectores n ortonormales a los vectoresprel eq y prel e

a .Según se observa en la Fig. 8.6, las direcciones de los vectores prel e

q y prel ea

son en todo momento paralelas al vector pj − pi. Es evidente entonces que sepueden definir dos vectores unitarios n1 y n2 normales a la dirección anterior, loque supone que cuatro restricciones de movimiento relativo serán introducidas,dos sobre el nudo q correspondientes a ambas direcciones n1 y n2 y dos sobreel nudo a de idéntica forma.

8.8. Par Prismático

El par prismático (P ) puede ser considerado como un par cilíndrico al quese le ha restringido la capacidad de rotación independiente. Debido a esto, deidéntica forma al caso del par C, el par P se modelizará empleando un punto qen la posición del par cinemático, junto con un nudo auxiliar a posicionado enla dirección sobre la cuál el par P se desplaza, la cuál queda definida medianteel vector pj −pi obtenido a partir de los puntos i y j del elemento e (Fig. 8.7).

Sin embargo, el par P restringe la capacidad de rotación de la que estabadotado el par C, por lo que será necesario introducir restricciones adicionales alas expuestas en el caso anterior. Para ello será necesario introducir restriccionesde movimiento relativo sobre los nudos q y a, de forma análoga a la descritapara el par C, una vez han sido definidos dos vectores ortonormales n1 y n2 ala dirección de deslizamiento pj − pi (Fig. 8.7). Para eliminar la capacidad derotación del par C se introducirán restricciones de movimiento relativo sobretodos los nudos l del elemento unido rígidamente al par P en las direccionesn1 y n2.

8.9. Restricciones del Par Helicoidal 243

Par Pq

i

a

j

k

l

n1n2

n1n2

n1

n2

Figura 8.7: Modelización del par P

8.9. Restricciones del Par Helicoidal

El par helicoidal (H) puede ser considerado como un par cilíndrico al quese le ha restringido la capacidad de rotación independiente, acoplándolo a undesplazamiento longitudinal. Debido a esto, de idéntica forma al caso del par C,el par H se modelizará empleando un punto q en la posición del par cinemático,junto con un nudo auxiliar a posicionado en la dirección sobre la cuál el parH se desplaza longitudinalmente según el procedimiento descrito en la Sección8.16, la cuál queda definida mediante el vector pj −pi obtenido a partir de lospuntos i y j del elemento e (Fig. 8.8).

Sin embargo, el par H acopla la capacidad de rotación independiente de laque estaba dotado el par C con el desplazamiento longitudinal del nudo q, porlo que será necesario introducir restricciones adicionales a las expuestas en elcaso anterior.

Consideremos en primer lugar las restricciones cinemáticas que hay queaplicar. Es evidente que para mantener los nudos q y a en contacto con suelemento guía, es necesario imponer condiciones de movimiento relativo en di-recciones ortonormales n1 y n2 a la dirección de deslizamiento pj−pi de formaidéntica a la vista en el caso del par C. Sin embargo, para acoplar la capaci-


Par H

q

i

aj

k

l

h θ

h θ

h θ

θ × (pl − pq)

d

n1

n2

n1

n2

n3

n4

Figura 8.8: Modelización del par H

dad de rotación del par H con el desplazamiento longitudinal se introduciránrestricciones de movimiento relativo sobre todos los nudos del elemento unidorígidamente al par H, en direcciones que a priori no resultan evidentes.

La relación cinemática establecida por el par H es la siguiente:

s = h θ (8.6)

donde s es el desplazamiento longitudinal del nudo q al girar un ángulo θ,siendo h el valor del paso del par H.

A partir de esta relación es posible obtener la expresión de la velocidadrelativa del nudo q sin más que derivarla respecto del tiempo:

prel eq = h θ (8.7)

siendo θ el vector velocidad angular relativa del elemento unido rígidamente alpar H, cuya dirección coincide con la del vector pj − pi.

De este modo, pasamos a considerar la velocidad relativa de un nudo lperteneciente al elemento unido rígidamente al par H. Dicha velocidad relativaposeerá dos componentes, una debida al movimiento longitudinal del punto q,

8.10. Par Prismático-Rotación 245

y otra debida a la rotación asociada a este desplazamiento longitudinal. Sinembargo, una vez definido el paso h del par, la velocidad relativa del punto lqueda definida a partir de la siguiente expresión

prel el = prel e

q + θ × (pl − pq) == h θ + θ × (pl − pq) == (h I−Pql) θ

(8.8)

donde Pql es la matriz antisimétrica asociada al producto vectorial del vectorpl − pq, y la matriz I representa a la matriz identidad.

Por tanto, si en vez de θ empleamos un vector unitario r en su mismadirección, definido como

r = 1lij

(pj − pi) (8.9)

obtenemos el vector d que define la dirección de la velocidad relativa del nudol como

d = (h I−Pql) r (8.10)

De este modo, imponiendo condiciones de movimiento relativo sobre el nudol en las direcciones de dos vectores ortonormales n3 y n4 a la dirección de d esposible modelizar adecuadamente el par H.

Sin embargo, en la aplicación de las condiciones de movimiento relativo entérminos de aceleración es necesario tener en cuenta que, en el caso del nudol, la componente de aceleración relativa normal no es nula, sino que tiene porvalor

nprel el = θ ×

[θ × (pl − pq)

](8.11)

mientras que en el caso de los nudos q y a, su respectiva componente de acele-ración relativa normal es nula.

8.10. Par Prismático-Rotación

El par prismático-rotación (PR) queda definido como la combinación deun par P con un par R en un mismo punto3. Dicho par puede ser considerado

3En la práctica, en un caso real no es posible la creación de mecanismos en donde aparezcaeste par. Sin embargo, tiene su utilidad en el estudio de modelos cinemáticos simplificadosde mecanismos más complejos, en los que la separación física de los pares P y R no añadaninguna restricción al movimiento de la que su simple combinación en un mismo punto puedarealizar.


como una generalización del par C, en la que la dirección del eje del par R notiene por qué coincidir con la dirección del elemento guía sobre el que deslizael par P .

Par PRq

i

a

j

k

l

n1n2

n1n2

n3

Figura 8.9: Modelización del par PR

Gracias a esto, la modelización de este par y las restricciones cinemáticasintroducidas serán idénticas a las descritas en el caso del par C, salvo la únicavariación en el posicionamiento del nudo auxiliar a. Según se explicó en laSección 8.7, en este caso el nudo auxiliar era colocado en la dirección pj−pi delelemento guía, la cuál puede considerarse a su vez, la dirección del hipotéticopar R incluido en el par C. Por tanto, el nudo auxiliar a se colocará en ladirección del eje del par R asociado al par PR, de idéntica forma a la descritaen la Sección 8.4.

Las restricciones de movimiento relativo a imponer sobre los nudos q y a(Fig. 8.9) serán idénticas a las descritas en el caso del par C, en las direccionesde dos vectores ortonormales n1 y n2 a la dirección de deslizamiento pj − pi,

8.11. Restricciones del Par Cilíndrico-Rotación 247

ya que el eje del par R, definido mediante ambos nudos q y a, se consideraunido rígidamente al par P .

Sin embargo, en el caso de que la dirección del par R sea exactamenteperpendicular a la dirección de deslizamiento pj − pi, las restricciones de mo-vimiento relativo anteriormente impuestas no garantizan la igualdad de ambasvelocidades relativas, sino que simplemente garantizan su paralelismo. Debidoa esto, se introducirá una condición de movimiento relativo adicional sobre elnudo auxiliar a en la dirección n3 definida como

n3 = 1lij

(pj − pi) (8.12)

con objeto de garantizar esta igualdad de velocidades.

8.11. Restricciones del Par Cilíndrico-Rotación

El par cilíndrico-rotación (CR) queda definido como la combinación de unpar C con un par R en un mismo punto4, estando el par R y su eje asociadounidos rígidamente al par C.

El análisis de este par cinemático así definido resulta de una complejidadligeramente superior a la del resto de casos estudiados hasta el momento, yaque permite un total de tres movimientos relativos entre los elementos unidospor él, como son la traslación y rotación relativas independientes obtenidasgracias al par C, junto a la rotación independiente añadida por el par R.

La modelización de este par es, sin embargo, idéntica a la de los paresC, P y PR, tal y como muestra la Fig. 8.10. Nuevamente en la posición delpar será definido un nudo q junto con un nudo auxiliar a en la dirección delpar R asociado al par PR, junto con la introducción de las restricciones dedistancia necesarias para unir al nudo auxiliar a rígidamente al elemento unidofísicamente al par PR. Sin embargo, las restricciones de movimiento relativoque se han de introducir sobre estos nudos no serán totalmente idénticas a lasanteriormente explicadas.

En el caso del nudo q las restricciones impuestas serán las usuales: se apli-carán condiciones de movimiento relativo en dos direcciones ortonormales n1 yn2 a la dirección pj−pi del elemento guía con objeto de garantizar el contactodel nudo q con el elemento guía.

4Nuevamente, este par tiene su utilidad en el estudio de modelos cinemáticos simplificadosde mecanismos más complejos, en los que la separación física de los pares C y R no añadaninguna restricción al movimiento de la que su simple combinación en un mismo punto puedarealizar.


Par CRqi

a

j

k

l

n1n2

n3n4

Figura 8.10: Modelización del par CR

Sin embargo, el caso del nudo a es ligeramente diferente. Observemos por uninstante la Fig. 8.11. Considerando el movimiento relativo del nudo auxiliar a esposible observar como ésta se posee dos componentes diferentes: una debido aldesplazamiento longitudinal permitido por el par C, y otra debida a la rotacióndel eje del par R permitida por el par C:

prel ea = s + θ × (pa − pq) (8.13)

La principal complejidad de este caso es que ambas componentes son inde-pendientes y pueden adquirir cualquier valor, por lo que no se puede asegurarque dicha velocidad relativa tenga una dirección conocida. Sin embargo, lo quesi se puede concluir es que dicha velocidad relativa será paralela a un plano de-terminado, el plano tangente, el cual vendrá definido por los vectores unitariosen las direcciones de los vectores s y θ × (pa − pq). De este modo, definiendoel vector unitario r en la dirección común de los vectores paralelos s y θ

r = 1lij

(pj − pi) (8.14)

8.11. Restricciones del Par Cilíndrico-Rotación 249

Par CRqi

a

j

k

l

θ × (pa − pq)

s

Figura 8.11: Movimientos independientes del nudo auxiliar a

es posible plantear el vector ortonormal n a la superficie por la cual se podríadesplazar el nudo auxiliar a en el propio punto como

n3 = 1‖r× [r× (pa − pq)]‖

r× [r× (pa − pq)] (8.15)

Sin embargo, en el caso de que la dirección del par R sea exactamenteperpendicular a la dirección de deslizamiento pj − pi, las restricciones de mo-vimiento relativo anteriormente impuestas no garantizan la igualdad de ambasvelocidades relativas, sino que simplemente garantizan su paralelismo. Debidoa esto, se introducirá una condición de movimiento relativo adicional sobre elnudo auxiliar a en la dirección n3 definida como

n4 = 1lij

(pj − pi) (8.16)

con objeto de garantizar esta igualdad de velocidades.En la aplicación de las condiciones de movimiento relativo en términos de

aceleración es necesario tener en cuenta que, en el caso del nudo a, la compo-


nente de aceleración relativa normal no es nula, sino que tiene por valor

nprel ea = θ ×

[θ × (pa − pq)

](8.17)

8.12. Restricciones del Par Cilíndrico-Esférico

El par cilíndrico-rotación (CS) queda definido como la combinación de unpar C con un par S en un mismo punto. El análisis de este par cinemático asídefinido resulta de una complejidad inferior a la del resto de casos estudiadoshasta el momento, ya que permite a pesar de permitir un total de cuatro des-plazamientos independientes (una traslación y tres rotaciones), no es necesariala introducción de ningún auxiliar.

Par CSqi

j

k

n1n2

Figura 8.12: Modelización del par CS

Por tanto, en el caso del nudo q, el cual define la posición del par, las res-tricciones impuestas serán las usuales: se aplicarán condiciones de movimientorelativo en dos direcciones ortonormales n1 y n2 a la dirección pj − pi del

8.13. Modelización de Elementos 251

elemento guía con objeto de garantizar el contacto del nudo q con el elementoguía.

8.13. Modelización de Elementos

La modelización de los elementos que componen el mecanismo se basa endotarles de las propiedades de sólido rígido, una vez definidos los nudos quelos componen, tanto nudos reales como nudos auxiliares, cuya pertenencia adichos elementos también ha sido exigida. De este modo, para realizar la mo-delización de un elemento definido mediante n nudos, será necesario imponer lacondición de restricción de distancia entre cada dos de sus nudos. Esto conllevala introducción de un total de n (n− 1) /2 restricciones de distancia.

Para ello, una vez han sido definidos todos los nudos que forman parte delelemento deberemos determinar en primer lugar ante qué tipo de elemento nosencontramos, para así poder definir adecuadamente su velocidad y aceleraciónangular: esto es, si es posible encontrar tres nudos pertenecientes al mismoque no se encuentren alineados o si, por el contrario, todos los nudos que locomponen se encuentran alineados. El procedimiento que se seguirá será elsiguiente, mostrado a su vez en la Fig. 8.14:

En primer lugar se deberá determinar el número de nudos n que formanparte de dicho elemento.

• Si el elemento sólo posee dos nudos, es evidente que únicamente sepodrán emplear estos dos nudos para modelizarlo. Este es el caso deun elemento barra con pares S en sus extremos.

• Si el elemento posee tres o más nudos deberemos realizar una bús-queda entre todos los nudos que forman parte de él con objeto deencontrar tres nudos no alineados. En caso de una búsqueda afirma-tiva, dicho elemento quedará modelizado mediante tres nudos. Encaso contrario, sólo podremos utilizar dos de los mismos.

Tras este proceso se habrán definido los nudos mediante los cuales seremoscapaces de determinar la velocidad angular de dicho elemento. Sin embargo,existen disposiciones de nudos para las que la única aplicación de restriccionesde distancia no son capaces dotar al elemento de la naturaleza de sólido rígido,apareciendo ciertas posibilidades de movimiento en alguno de sus nudos que enverdad no representan movimientos reales del mecanismo. Estas son:


Elementos de 3 o más nudos los cuales se encuentran todos alineados.En dichos elementos aparecen posibilidades de movimiento no reales endirecciones normales a la dirección del elemento.

Elementos de 4 o más nudos los cuales se encuentran todos en un mis-mo plano. En dichos elementos aparecen posibilidades de movimiento noreales en direcciones normales al plano del elemento.

Para ello, será necesario comprobar si los elementos definidos por medio detres nudos poseen todos sus demás nudos posicionados dentro del plano definidopor los tres anteriores. De este modo, los elementos quedarán clasificados comoelementos no singulares, elementos colineales o elementos coplanares. En laFig. 8.14 puede verse un resumen de todo este proceso.

i

j

k

n1

n2

(a) Elemento colineal

i

j

k

l

n

(b) Elemento coplanario

Figura 8.13: Elementos colineales y coplanares

En el caso de elementos definidos con nudos colineales o coplanares es ne-cesario añadir restricciones adicionales con objeto de eliminar las posibilidadesde movimiento no reales que pudieran aparecer. El lector comprenderá rápida-mente a qué movimientos nos estamos refiriendo:

Pensemos en el caso de elementos en el que todos sus nudos sean coli-neales, mostrado en la Fig. 8.13a. Llegado a este punto, dichos elementoshabrían sido modelizados incluyendo únicamente restricciones de distan-cia, con objeto de garantizar la condición de sólido rígido existente entretodos y cada uno de los nudos que definen el elemento. Sin embargo,


por el hecho de estar todas estas restricciones aplicadas en una mismadirección aparecerían posibilidades de movimiento independientes en to-dos los nudos del elemento en cualquier dirección normal al mismo. Estemovimiento, aún siendo de naturaleza infinitesimal, no debería estar per-mitido por la modelización. Por tanto, es evidente que nos encontramosante un caso de modelización singular.

Según se vio en el apartado 7.4, las restricciones de movimiento relativopueden ser aplicadas no sólo sobre nudos pertenecientes a diferentes ele-mentos cuya dirección de movimiento relativo sea conocida, sino tambiénsobre nudos pertenecientes a un mismo elemento. De éste modo, unavez determinadas cuáles son las direcciones en las que aparecerían losmovimientos no reales anteriormente citados, deberán ser aplicadas res-tricciones de movimiento relativo entre cada uno de los nudos que definenel elemento con objeto de eliminar dichos movimientos no deseados.

En el caso de nudos pertenecientes a un mismo elemento posicionadosdentro de un mismo plano, mostrado en la Fig. 8.13b, el razonamientoes similar. Por el hecho de estar aplicadas todas las restricciones de dis-tancia sobre los nudos pertenecientes al elemento en direcciones paralelasal plano del mismo, la condición de sólido rígido se verifica en dichasdirecciones, pero no en la dirección normal al plano. Debido a esto, lamodelización se completará incluyendo las restricciones de movimientorelativo oportunas para eliminar dichos movimientos no deseados.

A continuación se describirán cuáles son las comprobaciones que se han derealizar para determinar la colinealidad o coplanaridad de los diferentes nudosque forman parte de un elemento.

8.13.1. Condición de Colinealidad

Tres nudos i, j y k son colineales si sus vectores de posición verifican lasiguiente igualdad:

(pj − pi)× (pk − pj) = 0 (8.18)

Para proceder a comprobar esta igualdad procederemos de la siguiente for-ma. En primer, normalizaremos los vectores pj − pi y pk − pj obteniendo los


Elemento e

Determinarn

n = 2

Elementocon 2nudos

n ≥ 3

¿Colineales?Elementocon 2nudos

¿n>3?Elementocon 3nudos

¿Coplanares?

Elementocon 3nudos

Elementocon 3nudos

Sí

No

Sí

No

Sí

No

Figura 8.14: Modelización de elementos


siguientes vectores unitarios:

sij = 1‖pj − pi‖

(pj − pi) (8.19)

sjk = 1‖pk − pj‖

(pk − pj) (8.20)

A continuación, calcularemos el vector normal n a ambos vectores unitariossij y sjk, obtenido como

n = sij × sjk (8.21)Ya que la comprobación se realizará numéricamente, ésta se reducirá a

determinar si el valor del módulo del vector n es menor que la tolerancia pre-viamente fijada:

‖n‖ =√

nTn < ε (8.22)El módulo del vector n estará necesariamente comprendido entre los valores

0 ≤ ‖n‖ ≤ 1 (8.23)

ya que su valor corresponde exactamente con del seno del ángulo comprendidoentre los vectores sij y sjk:

‖n‖ = ‖sij × sjk‖ = ‖sij‖ · ‖sjk‖ · sin (sij , sjk) = sin (sij , sjk) (8.24)

8.13.2. Condición de CoplanaridadCuatro nudos i, j, k, y l son coplanares si sus vectores de posición verifican

la siguiente expresión:

(pj − pi)T [(pk − pj)× (pl − pk)] = 0 (8.25)

Para proceder a comprobar esta igual procederemos de la siguiente forma.En primer, normalizaremos los vectores pj −pi, pk −pj y pl −pk obteniendolos siguientes vectores unitarios:

sij = 1‖pj − pi‖

(pj − pi) (8.26)

sjk = 1‖pk − pj‖

(pk − pj) (8.27)

skl = 1‖pl − pk‖

(pl − pk) (8.28)


A continuación, calcularemos el vector normal n a ambos vectores unitariossij y sjk, obtenido como

n = sij × sjk (8.29)

La comprobación se reducirá determinar si el valor del producto escalar delvector sTkln es menor que la tolerancia previamente fijada:

sTkl n < ε (8.30)

8.14. Modelización del Émbolo

El elemento émbolo, pistón, o actuador neumático, es un elemento de longi-tud variable frecuentemente utilizado en el campo de la Teoría de Mecanismosy Máquinas. Este elemento, a pesar de estar considerado como tal, no estaformado por una única pieza, sino que esta formado por dos elementos unidosentre sí unidos por un par P .

Sin embargo, su definición, esto es su longitud, posición y orientación, vie-ne dada cuando queda definida la posición de los dos nudos extremos que locomponen, denominados i y j. ¿Son suficientes estos datos para definir el mo-vimiento de este elemento?

La modelización de este elemento es a priori sencilla. Debido a que ambosnudos i y j han de desplazarse a lo largo de la dirección pj − pi, en principiopodemos pensar en el procedimiento usual seguido en casos anteriores: obtenerdos vectores ortonormales n1 y n2 a la dirección pj −pi y aplicar restriccionesde movimiento relativo sobre ambos con objeto de garantizar su desplazamientorelativo a lo largo de dicha línea. Sin embargo esto plantea varias cuestiones:

¿Respecto a qué elemento e se desplazan ambos nudos i y j?

¿Pertenecen o han de pertenecer dichos nudos al mismo elemento / sólidorígido?

¿Cómo quedan definidas la velocidad y angular del elemento émbolo?

Llegados a este punto vemos cómo los problemas aparecen ante nosotros,problemas que nos impiden modelizar el émbolo con la información que hastaahora tenemos. Sin embargo estos problemas se podrán solucionar introducien-do dos nudos auxiliares a y b que ayuden a completar la modelización de esteelemento.

8.14. Modelización del Émbolo 257

i

j

(a) Elemento émbolo

i

j

a

b

(b) Nudos que ejecutan su modeliza-ción

Figura 8.15: Émbolo y los nudos que lo definen

En primer lugar es necesario definir la posición de estos dos nudos auxiliares.Aunque podrían ser colocados en cualquier lugar a lo largo de la línea definidapor los nudos i y j, por simplicidad serán posicionados en las mismas posicionesque dichos nudos, esto es

pa = pi pb = pj

Estos dos nudos auxiliares ayudarán a definir los dos sólidos rígidos ficticiosque componen el elemento émbolo. De este modo, aplicando restricciones dedistancia entre los nudos i, b y otros nudos auxiliares ligados al nudo i quedarádefinido un de estos sólidos, y entre los nudos j, a y otros nudos auxiliaresligados al nudo j el otro sólido.

Tras este artificio, los pasos siguientes son análogos a los descritos en el casodel par P , considerando la existencia de pares prismáticos en ambos nudos i yj.


8.15. Obtención de las Ecuaciones de Velocidad yAceleración: Ensamblado

8.15.1. Ensamblado de la Ecuación de VelocidadTras el proceso de modelización y la posterior aplicación de las ecuaciones

de restricción necesarias para definir el mecanismo, es necesario proceder a lacreación de la ecuación de velocidad que combine todas estas ecuaciones derestricción de forma simultánea.

Por un lado encontramos las ecuaciones de restricción asociadas a las res-tricciones de distancia. Dichas ecuaciones poseen la forma siguiente:

Gij

[pipj

]= 0

Gik

[pipk

]= 0

...

Gkq

[pkpq

]= 0

(8.31)

Cada una de estas ecuaciones involucran a dos nudos de los diferentes ele-mentos que definen el mecanismo, pero, a pesar de definir una misma entidad,el mecanismo, sus ecuaciones son disjuntas, ya que presenta como variables lostérminos de velocidad de puntos diferentes. Sin embargo, estas expresiones pue-den ser expresadas de forma que todas estén expresadas en los mismos términos,ampliando cada una de las ecuaciones a la dimensión global del mecanismo:

Gik

[pipk

]= 0⇒ Gikx = 0 (8.32)

⇒

O · · · O O O · · · O...

. . ....

......

. . ....

O · · · rikrTik O −rjkrTjk · · · OO · · · O O O · · · OO · · · −rikrTik O rikrTik · · · O...

. . ....

......

. . ....

O · · · O O O · · · O

pa...pipjpk...

pq

=

0...000...0

(8.33)

8.15. Obtención de las Ecuaciones de Velocidad y Aceleración: Ensamblado 259

El proceso se realiza de forma análoga para el resto de restricciones dedistancia aplicadas.

Gijx = 0Gikx = 0

...Gkqx = 0

(8.34)

Esto hace que sea posible sumar todas las ecuaciones de restricción aso-ciadas a las restricciones de distancia, lo que se denomina ensamblado de lasrestricciones:

Gij x + Gik x + · · ·+ Gkq x = 0 (8.35)

Sacando factor común al vector de velocidades lineales nodales x obtenemosla siguiente expresión:

[Gij + Gik + · · ·+ Gkq

]x = Gx = 0 (8.36)

De este modo, cada una de las matrices Gr elementales asociadas a cadauna de las M restricciones de distancia es ensamblada en la expresión

G =M∑r=1

Gr (8.37)

donde la matriz G se denomina matriz geométrica asociada a las restriccionesde distancia. Por tanto, la ecuación de velocidad correspondiente a las restric-ciones de distancia es

Gx = 0 (8.38)

Por otro lado, encontramos las ecuaciones de restricción asociadas a las res-


tricciones de movimiento relativo. Dichas ecuaciones poseen la siguiente forma:

n1Cq

pqpipjpk

= 0

n2Cq

pqpipjpk

= 0

...

niCp

pppapbpc

= 0

(8.39)

Ampliando dichas ecuaciones a la dimensión global del mecanismo podemosensamblar estas ecuaciones, de forma idéntica a la explicada para las restric-ciones de distancia:

n1Cq x + n2Cq x + · · ·+ +niCp x = 0 (8.40)

[n1Cq + n2Cq + · · ·+ niCp

]x = 0 (8.41)

De este modo, cada una de las matrices nCq elementales asociadas a cadauna de las R restricciones de movimiento relativo es ensamblada en la siguienteexpresión:

C =R∑q=1

nCq (8.42)

donde la matriz C es denominada la matriz geométrica asociada a las restric-ciones de movimiento relativo. Por tanto, la ecuación de velocidad que englobatodas estas restricciones es

Cx = 0 (8.43)En tercer lugar, se incluirán las condiciones de contorno que exigen que

determinados nudos del mecanismo son nudos unidos al elemento fijo. Dichosnudos requieren una restricción de velocidad del tipo

pi = I pi = 0 (8.44)


Desde un punto de vista puramente práctico, las condiciones de contornorelativas a nudos unidos al elemento fijo se introducirán suprimiendo las filas ycolumnas de las matrices G y C correspondientes a dichos nudos, reduciendola dimensión total del modelo, de una forma similiar a como se procede en elMétodo de los Elementos Finitos.

Finalmente, las ecuaciones (8.38) y (8.43) pueden ser nuevamente sumadas,siendo ensambladas las matrices G y C, con lo que se obtiene la ecuación develocidad del mecanismo

[G + C] x = Gg x = 0 (8.45)

donde la matriz Gg es denominada matriz geométrica global y el vector xincluye las velocidades lineales de los nudos que definen el mecanismo. Lasprincipales características a destacar son:

La ecuación (8.45) representa un sistema lineal de ecuaciones homogéneo.

Gg es una matriz jacobiana cuadrada, cuyos términos son adimensionales.

8.15.2. Ensamblado de la Ecuación de AceleraciónUna vez resuelta la ecuación de velocidad, y determinado el campo de ve-

locidades que el mecanismo poseerá en su movimiento real (ver Capítulo 9,Sección 9.1), podemos proceder al ensamblado de la ecuación de aceleración.Las ecuaciones de aceleración correspondientes a las restricciones de distanciason de la forma siguiente:

Gij

[pipj

]= cij

Gik

[pipk

]= cik

...

Gkq

[pkpq

]= ckq

(8.46)

Aumentando estas ecuaciones a la dimensión global del mecanismo permi-te sumar todas las ecuaciones de restricción asociadas a las restricciones dedistancia y obtener la ecuación de aceleración que las engloba

Gx = cd (8.47)


donde cd es el vector que ensambla los vectores cr:

cd =M∑r=1

cr (8.48)

Por otro lado encontramos las ecuaciones de aceleración asociadas a las res-tricciones de movimiento relativo. Dichas ecuaciones poseen la forma siguiente:

n1Cq

pqpipjpk

= n1 cq

n2Cq

pqpipjpk

= n2 cq

...

nCp

pppapbpc

= ncp

(8.49)

Ensamblando las ecuaciones de aceleración correspondientes a las restric-ciones de movimiento relativo obtenemos

Cx = cm (8.50)

donde cm es el vector que ensambla los vectores ncq:

cm =N∑q=1

ncq (8.51)

En tercer lugar, se incluirán las condiciones de contorno que exigen quedeterminados nudos del mecanismo son nudos unidos al elemento fijo. Dichosnudos requieren una restricción de aceleración del tipo

pi = I pi = 0 (8.52)

Desde un punto de vista puramente práctico, las condiciones de contornorelativas a nudos unidos al elemento fijo se introducirán suprimiendo las filas


y columnas de las matrices G y C correspondientes a dichos nudos, así comotambién las filas correspondientes de cd y cm.

Finalmente, las ecuaciones (8.47) y (8.50) pueden ser ensambladas, con loque se obtiene la ecuación de aceleración del mecanismo:

[G + C] x = Gg x = cd + cm (8.53)

Gg x = c (8.54)

Tras todo el proceso que en teoría conllevaría la obtención de la ecuaciónde aceleración del mecanismo, el lector podrá comprobar cómo no es necesarioobtener nuevamente la matriz Gg a partir de el ensamblado de todas las res-tricciones, ya que esto ya fue realizado con anterioridad en la obtención de laecuación de velocidad. De este modo, el proceso de ensamblado de la ecuaciónde aceleración se reducirá únicamente al ensamblado del término independientec.

8.15.3. Consideraciones sobre Mecanismos PlanosEl procedimiento aquí seguido tiene como objetivo realizar la modelización

de un sistema mecánico de mayor o menor complejidad, pero siempre conside-rado como espacial. Sin embargo, en el caso de que el sistema analizado seaespecíficamente plano, el lector se preguntará si no es posible reducir en granmedida el tamaño del modelo resultante, ya que la matriz Gg tendría unadimensión muy elevada para un análisis relativamente sencillo.

Desde un punto de vista puramente teórico no existe diferencia entre con-siderar un mecanismo plano como espacial. Sin embargo, desde un punto devista práctico y operacional, el plantear un modelo más reducido del mecanismosupone reducir en gran medida el coste computacional que éste conlleva.

La primera consecuencia y más evidente es que, dado que el sistema me-cánico vendrá definido exclusivamente por las coordenadas cartesianas de unconjunto de nudos característicos del mecanismo, las componentes Z de lasvelocidades y aceleraciones de todos estos nudos será nula:

kT pi = kT pi = 0 (8.55)

lo que ya de por sí permitiría definir la matriz Gg como una matriz cuadradade orden 2n, siendo n el número de nudos empleados en la modelización, envez del valor 3n del caso espacial.


Por otro lado, en el caso de mecanismos planos, nos encontraríamos conla necesidad de modelizar únicamente pares cinématicos R, P y PR, lo quereduce en gran medida la casuística. En el caso de los pares R del sistema, susejes estarían siempre orientados en la dirección Z. Sin embargo, a la restricción(8.55) del movimiento plano, no sería necesario emplear ningún nudo auxiliarligados a estos pares, ya que la simple utilización de las restricciones de distanciaentre los nudos físicos del modelo definiría completamente el movimiento delpar. En el caso de los pares P y PR la situación sería análoga, no siendonecesario añadir tampoco los nudo auxiliares que utilizados en el caso espacial.

De este modo, en el caso plano únicamente sería necesario incluir los nu-dos auxiliares asociados a los elementos émbolos, no siendo necesario emplearningún otro tipo de nudo auxiliar.

El número de restricciones de movimiento relativo se vería considerablemen-te reducido, debido al menor número de nudos introducidos al modelo, siendonecesario su utilización únicamente en la modelización de los pares P y PR. Aeste hecho hay que añadir la no necesidad de añadir nuevas restricciones en elcaso de elementos de más de 3 nudos coplanares, ya que los movimientos pará-sitos que vendrían ligados a ellos quedarían eliminados gracias a la restricción(8.55), siendo éstas todavía necesarias en el caso de elementos colineales.

8.16. Posicionamiento de los Nudos Auxiliares

Según se comentó anteriormente, el posicionamiento de los nudos auxiliaresse hace de tal modo que se van creando estructuras regulares, sin que hayaningún elemento de una dimensión muy superior o inferior a los demás. Eneste apartado se incidirá en la justificación de esta afirmación.

Los nudos auxiliares, según se vio en apartados anteriores, son introducidospara, por un lado, permitir modelizar cualquier arquitectura de mecanismoempleando únicamente coordenadas cartesianas de puntos pertenecientes almismo y, por otro lado, definir nudos adicionales pertenecientes a los diferenteselementos que permitan definir completamente el movimiento de los mismos.

Para poder posicionar en el espacio estos nudos auxiliares es necesario co-nocer los dos datos siguientes:

La dirección en la que será posicionado, lo que será un dato de partida,ya que vendrá dado por las características geométricas del par o elementoque queramos modelizar.

A qué distancia y en qué sentido será posicionado.

8.16. Posicionamiento de los Nudos Auxiliares 265

De este modo, el problema del posicionamiento de los nudos auxiliares secentra en obtener cuál es la distancia más adecuada a la que se deben colocar.

En el instante en que un nudo auxiliar es añadido al modelo del mecanismo,se le exige su pertenencia a un determinado sólido rígido, siendo creados de estemodo cuerpos que incluirán tres nudos. De este modo, el elemento definido porlos nudos i, j y el nudo auxiliar a, deberá verificar la hipótesis de sólido rígido.

Según se observa en la Fig. 8.16, los nudos i, j y a siempre definirán untriángulo de forma general. Las propias restricciones física del elemento exigenque los nudos i y j se encuentren separados una distancia fija lij , quedandoel nudo auxiliar a posicionado en una dirección conocida, la cual viene dadapor la propia geometría del par cinemático al que el nudo auxiliar está ligado.Dicha dirección queda definida por el ángulo φ, cuyo valor viene dado por laecuación

cosφ = 1lij

rTa (pj − pi) (8.56)

siendo ra el vector unitario en la dirección del par cinemático asociado al nudoa.

ra

d

θφ

liji j

a

X Y

Z

Figura 8.16: Posicionamiento del nudo auxiliar a

Conocidos los datos anteriores, el único valor que falta por definir es la longi-tud de separación d entre el nudo auxiliar a y el nudo i o, de forma equivalente,el valor del ángulo θ. Conceptualmente, el posicionamiento del nudo auxiliar a


es totalmente indiferente al comportamiento cinemático del mecanismo anali-zado. Sin embargo, desde el punto de vista numérico esta arbitrariedad no esprocedente. Consideremos por un instante que la distancia d es de valor muyinferior al de la distancia lij . El lector podrá comprobar como, en este caso elteórico sólido triangular definido por los nudos i, j y a quedaría prácticamen-te reducido al caso de un elemento con sus nudos situados sobre una mismarecta. Dicho caso presentaría evidentemente problemas de tipo numérico, co-mo aparición de posibilidades de movimiento no reales. Con objeto de eliminarestos posibles problemas numéricos, el emplazamiento del nudo a dejará de serarbitrario.

Consideremos por tanto el elemento definido por estos tres nudos, movién-dose libre por el espacio. Según lo visto en los apartados anteriores, la ecuaciónde velocidad de este elemento vendría definida por la siguiente ecuación develocidad

Gg

pipjpa

= 0 (8.57)

donde la matriz Gg queda definida, tras el proceso de ensamblado de las tresrestricciones de distancia que modelizan el elemento, de la siguiente forma:rijrTij + riarTia −rijrTij −riarTia

−rijrTij rijrTij + rjarTja −rjarTja−riarTia −rjarTja riarTia + rjarTja

pipjpa

=

000

(8.58)

A partir del propio planteamiento del problema mostrado en la Fig. 8.16,las submatrices riarTia, rijrTij y rjarTja tienen la forma siguiente:

riarTia =

0 0 00 cos2 φ cosφ sinφ0 cosφ sinφ sin2 φ

rijrTij =

0 0 00 1 00 0 0

rjarTja =

0 0 00 cos2 θ − cos θ sin θ0 − cos θ sin θ sin2 θ


El siguiente paso es analizar el condicionamiento numérico del elementodefinido por estas tres restricciones de distancia. Calculando los valores singu-lares5 de Gg se obtienen los siguientes valores no nulos:

σ1 = 3 (8.59)

σ2 = 32

+ 12√

3 + 2 cos 2 (θ + φ) + 2 cos 2 θ + 2 cos 2φ (8.60)

σ3 = 32− 1

2√

3 + 2 cos 2 (θ + φ) + 2 cos 2 θ + 2 cos 2φ (8.61)

Este resultado confirma lo esperado: el sólido rígido definido por las res-tricciones de distancia presenta en todo instante al menos 6 GDL, ya que losvalores singulares σi de la matriz Gg para valores i = 4, . . . 9 son nulos. Elcondicionamiento numérico de Gg puede ser examinado mediante su númerode condición κ. En concreto, el numero de condición κ2 asociado a la norma 2queda definido como

κ2 = σmaxσmin

⇔ 1κ2

= σminσmax

(8.62)

Sin embargo, las matrices aquí estudiadas son matrices siempre singulares,por lo que para estudiar la variación en el condicionamiento numérico de Gg

en función del posicionamiento del nudo auxiliar, se deberán considerar úni-camente los valores singulares que pudieran ser no nulos. De este modo, elcondicionamiento numérico de la matriz Gg puede ser analizado a partir de laexpresión mostrada a continuación:

1κ2 (Gg)

= σ3

σ1= 1

2− 1

6√

3 + 2 cos 2 (θ + φ) + 2 cos 2 θ + 2 cos 2φ (8.63)

Como el lector podrá observar, el condicionamiento numérico del elementodefinido por estos tres nudos es función exclusivamente de los ángulos φ y θ.

La condición que se exigirá en el posicionamiento del nudo auxiliar a es lade definir el sólido rígido que, incluyendo los nudos i, j y a, permita obtenerel condicionamiento óptimo de la matriz Gg. Dicho valor óptimo se obtendrápara el valor del ángulo θ para el cual el inverso del número de condición1/κ2 asociado a la norma 2 presente su valor máximo. Ya que el ángulo φ vienedado por la propia geometría del problema, el condicionamiento numérico de lamatriz Gg será función únicamente del ángulo θ, el cual define el emplazamiento

5En el caso de matrices cuadradas simétricas la Singular Value Decomposition (SVD)(Golub y Van Loan, 1996) es coincidente a la descomposición resultante del problema devalores y vectores propios.


del nudo auxiliar a. Por tanto, derivando respecto de la variable θ la expresióndel inverso del número de condición de Gg se obtiene la siguiente relación:

∂

∂θ

(1

κ2 (Gg)

)= 0⇒ tan 2 θ = − sin 2φ

1 + cos 2φ(8.64)

De este modo, el ángulo de orientación θ para el cual se obtiene dichocondicionamiento óptimo viene dado por la siguiente expresión

θ = arctan 1 +√

1 + tan2 φ

tanφ(8.65)

la cual muestra una relación lineal entre los valores de los ángulos φ y θ, segúnse puede observar en la Fig. 8.17.

0 π8

π4

3π8

π2

φ

π4

3π8

π2

θ

Figura 8.17: Ángulo θ para el que se da el condicionamiento numérico máximo

Posicionando el nudo auxiliar a en la dirección definida por el ángulo θ paraun valor de φ dado, el condicionamiento numérico de la matriz Gg quedaríacomprendido entre 1/3 y 1/2, según se puede observar en la Fig. 8.18.

13≤(

1κ2 (Gg)

)max

≤ 12

(8.66)

Sin embargo, a efectos prácticos el nudo auxiliar a se posicionará de unaforma más sencilla una vez conocida la distancia d en la dirección definida porφ a la que éste debe ser colocado. Empleando el teorema del seno

d

sin θ= lij

sin (π − θ − φ)(8.67)


0 π6

π3

π2

φ0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

(1

k2(Gg)

)max

Figura 8.18: Condicionamiento numérico máximo para cada valor de φ

se obtiene la relación entre las distancias d y lij que permiten obtener el con-dicionamiento óptimo de Gg:

d

lij= sin θ

sin (π − θ − φ)= sin θ

sin (θ + φ)(8.68)

Sustituyendo la relación (8.65) en la ecuación (8.68) y simplificando, esposible obtener que, asumiendo que el valor del coseno del ángulo φ verifica

cosφ ≥ 0 (8.69)

la relación entre las longitudes d y lij necesaria para obtener el condiciona-miento numérico óptimo del elemento definido por los nudos i, j y a ha de sernecesariamente la unidad:

d

lij= 1 (8.70)

El razonamiento hasta aquí realizado implicaría el emplazamiento óptimodel nudo auxiliar a dentro del sólido al que pertenecen los nudos i y j. Sinembargo, es necesario recordar que los nudos auxiliares fueron incluidos conobjeto de modelizar unos determinados pares cinemáticos, los cuales, como esevidente, unen físicamente diferentes elementos de dimensiones diferentes. El


lector podrá darse cuenta que, en la práctica, el hecho de posicionar un nudoauxiliar de forma óptima en relación a dos nudos i y j pertenecientes a unelemento implicaría en el caso más general no conseguir este posicionamientoóptimo para otro de los elementos unidos por el par cinemático al que el nudoauxiliar a estaría también ligado.

El procedimiento más adecuado sería el realizar un proceso de optimizaciónmultiobjetivo con objeto de buscar el emplazamiento óptimo con respecto atodas y cada una de las diferentes posibilidades que se podrían plantear. Esteproceso, que además debería ser resuelto para todos y cada uno de los nudosauxiliares añadidos al modelo del mecanismo sería complejo y muy costoso. Espor este motivo que se intentará mantener en la medida de lo posible la mayorsimilitud entre las distancias a las cuales serán emplazados los nudos auxiliarescon las dimensiones reales del modelo del mecanismo.

8.17. Comparación con Otros Métodos

Las ecuaciones de velocidad y aceleración resultantes de aplicar el proce-dimiento presentado en esta Tesis son perfectamente aplicables a cualquiertipo de arquitectura cinemática de mecanismo considerada, siendo por tantode propósito general; son completas, esto es, incluyen no sólo términos acti-vos sino también pasivos; su matriz jacobiana asociada es adimensional; y suresolución es realizada empleando el concepto de espacio del movimiento, elcual se desarrollará a lo largo del Capítulo 9. De este modo, la comparacióncon otros métodos debería ser hecha con otros enfoques de propósito generalempleados en análisis cinemático de mecanismos, como puede ser el caso delos métodos multicuerpo. Dependiendo del tipo de coordenadas empleadas po-drían considerarse dos posibilidades diferentes, posibilidades que aparecen enla referencia (García de Jalón y Bayo, 1994). La comparación se realizará em-pleando el manipulador paralelo 3−RPS, representado en la Fig. 8.19. Usandola formulación jacobiana basada en puntos, la dimensión de la matriz jacobianaresultante sería de 27 × 27, de términos homogéneos y adimensionales.

La primera posibilidad sería considerar, el método multicuerpo que em-plearía coordenadas de puntos de referencia. Dicho método usaría como coor-denadas la posición de los centros de masa de los diferentes elementos y, comoparámetros para definir su orientación, los denominados ángulos de Euler. Laformulación de la ecuación de velocidad empleando dicho método impondría so-bre dichas coordenadas las restricciones impuestas por los pares cinemáticos dedefinen el mecanismo. En el ejemplo de la Fig. 8.19, existen cuatro elementos,

8.17. Comparación con Otros Métodos 271

Figura 8.19: Modelización de la plataforma paralela 3−RPS

siendo por tanto 6 × 4 = 24 parámetros cinemáticos implicados, restringidospor las 21 limitaciones impuestas por los pares cinemáticos. Esto es, 3 por ca-da par S, y 2 por cada par R y P . de este modo, el jacobiano obtenido seríauna matriz de dimensión 21 × 24, con el inconveniente de ser sus términos nohomogéneos.

Otra posibilidad sería el empleo de coordenadas naturales, las cuales em-plean como coordenadas la posición de los puntos en los que se encuentran lospares cinemáticos que componen el mecanismo, y vectores unitarios en las direc-ciones características de los pares. Para el caso del ejemplo, existirían 6 puntosy 3 vectores unitarios definidos, empleando un total de 27 parámetros cinemá-ticos en la modelización del problema, empleándose un total de 6 restriccionesde distancia, 6 restricciones causadas por los pares R y 12 restricciones debidasa los pares P . En total, el jacobiano asociado al sistema quedaría definido poruna matriz de dimensión 24× 27 de términos no homogéneos nuevamente.

9

Espacio del Movimiento

9.1. Resolución de la Ecuación de Velocidad

El paso siguiente que se ha de realizar es el obtener el denominado espa-cio del movimiento del mecanismo en la configuración analizada; la solucióno conjunto de soluciones que verifican la ecuación de velocidad (8.45). Esteconcepto, ya empleado en la referencia (García de Jalón y Bayo, 1994), seráde una importancia fundamental, según se irá desarrollando a lo largo de lossiguientes apartados de este Capítulo.

La ecuación de velocidad (8.45) que modeliza el mecanismo, matemática-mente representa un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. Una caracterís-tica fundamental de este tipo de sistemas de ecuaciones es que poseen siempresolución (Meyer, 2000). Dicha solución puede ser la solución trivial x = 0, lacual está siempre presente en este tipo de ecuaciones. En el caso que estamosanalizando, como es el análisis cinemático de mecanismos, dicha solución noposee un gran interés, ya que representa la existencia del estado de reposo delmecanismo. Sin embargo, este tipo de ecuaciones pueden presentar también so-luciones distintas de la trivial. Para ello es necesario que la matriz Gg presentedeficiencia en su rango o, lo que es lo mismo, que sea singular.

Una condición suficiente para que se de la existencia de soluciones en laecuación de velocidad (8.45) distintas de la trivial es que el determinante de sumatriz característica Gg su determinante sea de valor nulo:

|Gg| = 0 (9.1)

Sin embargo, a parte de comprobar que la matriz Gg es singular, hecho

273

274 Espacio del Movimiento

por otro lado esperado en el análisis cinemático de mecanismos, es necesariodeterminar cuáles son los vectores x que verifican la ecuación de velocidad(8.45). A partir de las nociones de Álgebra Matricial, dichos vectores han deestar incluidos necesariamente dentro del subespacio nulo de Gg:

x ∈ ker (Gg) (9.2)

De este modo, el problema queda reducido a determinar una base de vec-tores linealmente independientes generadores del subespacio nulo de Gg.

vi ∈ ker (Gg) i = 1, . . . Fker (Gg) = span v1, . . .vF

(9.3)

donde F define la dimensión del subespacio nulo de la matriz Gg, quedandodefinidos los vectores vi como una base de F vectores generadores de dichosubespacio, ortonormales con respecto al producto escalar estándar en Rn.

F = dim [ker (Gg)] (9.4)

Relacionando el concepto matemático con el concepto físico que buscamos,es inmediato llegar a la conclusión de que, por el hecho de expresar cada vectorvi una posibilidad de movimiento linealmente independiente, F representa elnúmero de grados de libertad instantáneos que el mecanismo posee en la con-figuración estudiada. De este modo, los vectores ortonormales vi constituyenuna base del espacio del movimiento del manipulador.

Por tanto, se define como espacio del movimiento al espacio de solucionesde la ecuación de velocidad, el espacio de posibles campos de velocidades xpermitidos por el conjunto de restricciones cinemáticas impuestas por la propiageometría del mecanismo en la configuración analizada.

De este modo, en la Fig. 9.1 se pueden observar los 3 vectores vi que formanla base de su espacio del movimiento en la posición mostrada en la figura.

9.1.1. Campo de Velocidades LinealesUna vez conocidos los vectores que definen las base del espacio del movi-

miento, se puede establecer la siguiente afirmación:

Lema 9.1.1Todo desplazamiento permitido por las restricciones geométricas del manipu-lador puede ser definido como combinación lineal de los vectores del espaciodel movimiento.

9.1. Resolución de la Ecuación de Velocidad 275

Figura 9.1: Espacio del movimiento correspondiente a la plataforma paralela3-RPS

De este modo, todo desplazamiento de sólido rígido definido por el vectorde velocidades lineales nodales x puede ser expresado como

x =F∑i=1

βi · vi =[v1 · · · vF

] β1...βF

= Vβ (9.5)

donde β representa el vector de coeficientes de la combinación lineal y la ma-triz V agrupa los vectores generadores del espacio del movimiento. La expresión(9.5) se denomina campo de velocidades lineales del mecanismo en la configu-ración analizada.

Recordando la expresión (8.2), podemos obtener a partir de (9.5) la ex-presión del campo de velocidades de cada uno de los nudos que definen el


mecanismo particionando adecuadamente la matriz V

pipjpk...

papb...

=

Vi

Vj

Vk

...Va

Vb

...

β (9.6)

siendo las matrices Vi las generadoras del movimiento de cada punto i delmecanismo.

9.1.2. Campo de Velocidades AngularesA continuación, una vez determinado el campo de velocidades lineales, es

necesario obtener la expresión del espacio del movimiento correspondiente alas velocidades angulares. Para ello, a partir de las velocidades lineales de tresnudos no colineales i, j y k pertenecientes a un elemento e, podemos obtener laexpresión de su velocidad angular ωe por medio de la ecuación (7.41). Sustitu-yendo las expresiones de campo de velocidades de los nudos i, j y k podemosplantear de este modo la siguiente ecuación:

ωe = −R−1ω Rp

Vi

Vj

Vk

β (9.7)

Llamando Ωe a la matriz

Ωe = −R−1ω Rp

Vi

Vj

Vk

(9.8)

podemos expresar la ecuación (9.7) de la forma siguiente:

ωe = Ωe β =[we

1 we2 . . . we

F

]β1β2...βF

=F∑i=1

βn ·wei (9.9)

9.1. Resolución de la Ecuación de Velocidad 277

De este modo, los vectores wei , expresados a partir de

wei = −R−1

ω Rp

viivjivki

(9.10)

definen los vectores generadores del movimiento angular del elemento e corres-pondientes al vector vi de la base del espacio del movimiento del mecanismo.

En caso de no ser posible definir tres nudos no colineales pertenecientes a unmismo elemento, la expresión a utilizar será la ecuación (7.65). Sustituyendolas expresiones de campo de velocidades de los nudos i y j:

ωe = −R−1ω Rp

[Vi

Vj

]β (9.11)

Llamando en este caso a la matriz Ωe como

Ωe = −R−1ω Rp

[Vi

Vj

](9.12)

podemos expresar la ecuación (9.11) de la forma siguiente:

ωe = Ωe β =[we

1 we2 . . . we

F

]β1β2...βF

=F∑i=1

βi ·wei (9.13)

En este caso, los vectores wei quedan definidos a partir de la siguiente ex-

presión:

wei = −R−1

ω Rp

[viivji

](9.14)

Finalmente, agrupando las expresiones de las velocidades angulares de cadauno de los m elementos que definen el mecanismo obtenidas a partir de losvectores de la base del espacio del movimiento llegamos a la expresión delcampo de velocidades angulares del mecanismo en la configuración analizada

ω =

ω1ω2...ωe...ωm

=

Ω1Ω2...

Ωe

...Ωm

β = Ωβ (9.15)


siendo la matriz Ω la matriz que agrupa los vectores del espacio del movimientocorrespondiente al movimiento angular de todos los elementos que forman partedel mecanismo.

9.2. Resolución de la Ecuación de Aceleración

Una vez resuelto el problema de velocidad, quedando definido el campo develocidades del mecanismo (ver apartado 9.5.1), el siguiente paso es resolverla ecuación de aceleración (8.54) del mecanismo. Dicha ecuación presenta unagran similitud con la ecuación de velocidad (8.45), con la diferencia de que eneste caso, el término independiente de la ecuación de aceleración (8.54) no eshomogéneo. De este modo, un sistema de ecuaciones como el mostrado en laecuación de aceleración (8.54) puede ser de los tipos siguientes:

El sistema de ecuaciones lineales es compatible e indeterminado, esto es,existe un número infinito de posibles soluciones a dicha ecuación corres-pondientes a movimientos finitos del sistema mecánico.

El sistema es incompatible; el sistema mecánico no es capaz de desplazarsede forma finita para el campo de velocidades deseado.

En este apartado se considerará garantizada la compatibilidad del sistemade ecuaciones lineales que define la ecuación de aceleración (8.54). Sin embargo,pudiera ser posible que campos de velocidades compatibles con el conjunto derestricciones impuesto por el conjunto de elementos y pares cinemáticos queforman parte del sistema mecánico no fuesen compatibles en la ecuación deaceleración. Debido a esto, en la Sección 9.4 se analizará en profundidad elanálisis de la compatibilidad o incompatibilidad del movimiento, el cual estaráligado con los conceptos de movimiento infinitesimal y movimiento finito.

El principal inconveniente aparece en la imposibilidad de utilizar métodosconvencionales de resolución de sistemas de ecuaciones lineales (eliminacióngaussiana, factorización LU, . . . ), por el mero hecho de que la matriz Gg essingular. Por este motivo es necesario profundizar en la forma de la soluciónde la ecuación de aceleración (8.54).

Dicha solución estará compuesta de dos términos:

El término px es la solución particular de la ecuación de aceleracióncompleta, verificando la siguiente expresión:

Ggpx = c (9.16)

9.2. Resolución de la Ecuación de Aceleración 279

Sin embargo, hay que recordar que la matriz Gg es una matriz singular,por lo que al término px se le debe añadir un término hx que verifiqueser solución de la ecuación homogénea:

Gghx = 0 (9.17)

De este modo, podemos expresar la solución de la ecuación de aceleración(8.54) como suma de estas dos componentes:

x = px + hx (9.18)

Evidentemente, es inmediato comprobar que la solución (9.18) verifica exac-tamente la ecuación de aceleración (8.54):

Gg x = Gg

(px + hx

)= Gg

px + Gghx = c + 0 = c (9.19)

9.2.1. Campo de Aceleraciones LinealesEl término hx ha de ser solución de la ecuación homogénea, por lo que es

necesario que dicho vector esté incluido dentro del subespacio nulo de la matrizGg:

hx ∈ ker (Gg) (9.20)

Recordando que en la resolución de la ecuación de velocidad se definióuna base de este subespacio nulo, dicho término se puede expresar como unacombinación lineal de los vectores vi de la base del espacio del movimiento

hx =F∑i=1

γn · vi =[v1 v2 · · · vF

]γ1γ2...γF

= Vγ (9.21)

donde γ es el vector de coeficientes de la combinación lineal1.Para que el término px verifique ser una solución particular de la ecuación

completa, es necesario que el vector c esté incluido en el subespacio imagen de1Comparando las expresiones (9.5) y (9.21), el lector podrá notar cómo ambas son prác-

ticamente análogas. La principal diferencia radica en los vectores β y γ de la combinaciónlineal. Ya que la matriz V presenta términos adimensionales, los vectores β y γ deberántener unidades diferentes, con objeto de generar velocidades o aceleraciones según se estéconsiderando la expresión (9.5) o la (9.21). Este punto será analizado en mayor profundidaden la Sección 9.3.


Gg ya que, en caso contrario, la ecuación de aceleración resultaría incompatible,por lo que no tendría solución.

c ∈ R (Gg) (9.22)

Para determinar el valor de px es necesario utilizar, por ejemplo, la SingularValue Decomposition, según se describe en la referencia (Watkins, 2002).

Desde un punto de vista físico, es inmediato comprender qué representacada término:

El término px representa el término de aceleración normal de los nudosque definen el mecanismo, ya que es obtenido a partir de c, cuyo ori-gen está en las componentes de aceleración cuadráticas en términos develocidad.

El término hx representa el término de aceleración tangencial de los nudosque definen el mecanismo, ya que está generado a partir de los vectoresque definen el campo de velocidades lineales de los nudos del mecanismo.

Sustituyendo la expresión de la solución de la ecuación homogénea (9.21) enla expresión de la solución general de la ecuación de aceleración (9.18), podemosplantear la expresión general del campo de aceleraciones del mecanismo en laconfiguración analizada:

x = px + Vγ (9.23)

De forma idéntica a la realizada para el campo de velocidades, podemosobtener a partir de la ecuación (9.23) la expresión del campo de aceleracionesde cada uno de los nudos que definen el mecanismo:

pipjpk...

paxb...

=

ppippjppk...

ppappb...

+

Vi

Vj

Vk

...Va

Vb

...

γ (9.24)

De este modo, la expresión de la aceleración del punto i viene dada por lasiguiente ecuación:

pi = ppi + Vi γ (9.25)

9.2. Resolución de la Ecuación de Aceleración 281

9.2.2. Campo de Aceleraciones AngularesA continuación, una vez determinado el campo de aceleraciones lineales, es

necesario obtener la expresión del campo de aceleraciones angulares de todoslos elementos que definen el mecanismo.

Para ello, a partir de las aceleraciones lineales de tres nudos no colineales i,j y k pertenecientes a un elemento e, podemos obtener la expresión de su velo-cidad angular ωe por medio de la ecuación (7.53). Sustituyendo las expresionesde campo de velocidades de los nudos i, j y k podemos plantear la siguienteecuación:

αe = R−1ω

[Pij Pki

] [cijcki

]−R−1

ω Rp

ppippjppk

−R−1ω Rp

Vi

Vj

Vk

γ (9.26)

Debido a que tanto los términos cij y cki como los términos ppi, ppj y ppktienen como origen los términos de aceleraciones dependientes de los términosde velocidad del mecanismo, se verifica la siguiente expresión:

[Pij Pki

] [cijcki

]= Rp

ppippjppk

(9.27)

Por tanto, la expresión (9.26) queda reducida a la siguiente ecuación:

αe = −R−1ω Rp

Vi

Vj

Vk

γ (9.28)

La forma de la ecuación (9.28) es idéntica a la obtenida para el caso de lavelocidad angular (ver ecuación (9.7)), con lo que la expresión de la aceleraciónangular αe queda de la siguiente manera:

αe = Ωe γ (9.29)

En caso de no ser posible definir tres nudos no colineales pertenecientes a unmismo elemento, la expresión a utilizar será la ecuación (7.75). Sustituyendolas expresiones de campo de aceleraciones de los nudos i y j:

αe = 1l2ij

[−Pij Pij

] [ppippj

]+[−Pij Pij

] [Vi

Vj

]γ (9.30)


Recordando que la siguiente expresión tiene valor nulo

[−Pij Pij

] [ppippj

]= 0 (9.31)

obtenemos una expresión análoga a la expresión de la velocidad angular (9.11)obtenida en este caso, con lo que la ecuación (9.30) puede ser expresada comode igual forma a la expresión (9.29).

Agrupando las aceleraciones angulares de cada uno de los m elementosque definen el mecanismo obtenemos la expresión del campo de velocidadesangulares del mecanismo:

α =

α1α2...αe...αm

=

Ω1Ω2...

Ωe

...Ωm

γ = Ωγ (9.32)

9.3. Coordenadas Generalizadas: Significado yCaracterísticas

Según podemos ver en las expresiones correspondientes a los campos develocidades y aceleraciones lineales y angulares (9.5), (9.15), (9.23) y (9.32),todas las características cinemáticas del mecanismo pueden ser definidas a par-tir del concepto de espacio del movimiento. En dichas expresiones, los camposde velocidades y aceleraciones son expresados como combinación lineal de losvectores de la base del espacio del movimiento. En ellas, los coeficientes β y γparecen no tener un mayor significado que el de coeficientes de las diferentescombinaciones lineales en los que aparecen.

Debido a que los vectores vi que definen la base del espacio del movimientoson vectores unitarios, los términos de la matriz V son adimensionales. De estemodo, para conseguir la igualdad dimensional de la expresión (9.5), es necesarioque el término de coeficientes β tenga unidades de velocidad, según se puedeobservar en la Tabla 9.1.

El mismo razonamiento puede ser aplicado en el caso de la expresión (9.15),en la que la igualdad dimensional es obtenida considerando β como vector de

9.3. Coordenadas Generalizadas: Significado y Características 283

x V β

Unidades[LT−1] [−]

[LT−1]

Tabla 9.1: Análisis dimensional de la expresión de campo de velocidades lineales

velocidades, según vemos en la Tabla 9.2. De este modo, el vector β representael vector de velocidades generalizadas asociadas a cada vector de la base delespacio del movimiento.

ω Ω β

Unidades[T−1] [

L−1] [LT−1]

Tabla 9.2: Análisis dimensional de la expresión de campo de velocidades angu-lares

En el caso de la expresión de campo de aceleraciones (9.23), la igualdaddimensional se consigue considerando que el vector de coeficientes γ poseeunidades de aceleración, según se puede observar la Tabla 9.3.

x px V γ

Unidades[LT−2] [

LT−2] [−][LT−2]

Tabla 9.3: Análisis dimensional de la expresión de campo de aceleraciones li-neales

Idéntico razonamiento puede ser aplicado en la expresión (9.32). De estemodo, el vector γ representa el vector de aceleraciones generalizadas asociadasa cada vector de la base del espacio del movimiento.

α Ω γ

Unidades[T−2] [

L−1] [LT−2]

Tabla 9.4: Análisis dimensional de la expresión de campo de aceleraciones an-gulares

En resumen, la principal característica del espacio del movimiento es quecualquier movimiento permitido por las restricciones geométricas impuestaspor elementos y pares cinemáticos es expresado empleando un conjunto de


coordenadas generalizadas independientes, siendo β el término de velocidadesgeneralizadas independientes, y γ el término de aceleraciones generalizadasindependientes.

Otra idea en la que es conveniente profundizar es la relación que pudieraexistir entre los vectores de velocidades y aceleraciones generalizadas. Para elloderivaremos con respecto del tiempo la ecuación de velocidad (9.5), obteniendola siguiente expresión:

x = Vβ + V β (9.33)

Comparando la expresión (9.33) con la expresión de campo de aceleraciones(9.23), podemos sacar las siguientes conclusiones:

El término Vβ, cuadrático en términos de velocidades, es el vector deaceleraciones normales px.

px = Vβ (9.34)

El valor de la derivada con respecto del tiempo del vector de velocidadesgeneralizadas β es el vector de aceleraciones generalizadas γ.

γ = β (9.35)

Sin embargo, es necesario recalcar que las anteriores expresiones se verifi-can instantáneamente, esto es posición a posición. El lector notará que ambosvectores β y γ son vectores de dimensión F , valor que define el número degrados de libertad instantáneos del mecanismo en la posición analizada. Dichovalor F es, en general de valor contante a lo largo del espacio de trabajo delmecanismo. Sin embargo, pueden existir dentro de dicho espacio de trabajoconfiguraciones singulares que aumenten su valor. Esto hace que no podamosconsiderar la derivación de las diferentes expresiones con respecto del tiempocomo forma de obtener los valores de las diferentes coordenadas generalizadasdel mecanismo.

9.4. Análisis de la Compatibilidad del Movimiento:Desplazamientos Finitos

La determinación del espacio de posibles movimientos de un determinadomovimiento pasa por dos etapas. La primera, como es obvio, se centra en laresolución de la ecuación de velocidad (8.45). Dicha ecuación representa unsistema de ecuaciones lineales homogéneo y, por tanto, compatible e indeter-minado. A partir de dicha ecuaciones podemos obtener el espacio de posibles

9.4. Análisis de la Compatibilidad del Movimiento: Desplazamientos Finitos 285

movimientos que el sistema mecánico puede realizar en cada posición del mis-mo, expresado mediante la ecuación (9.5).

Sin embargo, el conjunto de todas estas posibles soluciones nos da única-mente una visión parcial de la capacidad de movimiento del sistema mecánico,como es su capacidad de movimiento instantánea, expresada en términos dela ecuación de campo de velocidades (9.5). Sin embargo, dicha capacidad demovimiento no ofrece una visión completa de cuáles son los movimientos realesdel sistema mecánico, entendiendo por reales los movimientos finitos que elsistema es capaz de realizar.

El concepto de desplazamiento finito lleva asociado la noción del desplaza-miento de los diferentes elementos que componen el sistema mecánico a lo largode unas determinadas trayectorias, desplazamientos que han de ser compatiblescon el conjunto de restricciones impuestas por elementos y pares cinemáticosque lo componen. Esto conlleva el hecho de poder determinar en todo instantela posición, velocidad y aceleración del sistema.

Todo este razonamiento nos lleva al estudio de la compatibilidad de laecuación de aceleración (8.54), tal y como muestra la referencia (Fernández deBustos et al., 2007) lo que permitirá discernir de entre el conjunto de posi-bles desplazamientos aquellos que realmente provocan movimientos finitos delsistema mecánico.

En primer lugar analicemos la forma del término no homogéneo de la ecua-ción de aceleración (8.54). Dicho término es dependiente de, no sólo la configu-ración del sistema mecánico x, sino también de la velocidad del mismo. Segúnse observa en (9.36), dicho término es obtenido como el producto

c = −Gg x (9.36)

Debido a que la matriz Gg es a su vez dependiente de la posición y lavelocidad del sistema mecánico, el término c es necesariamente cuadrático entérminos de velocidad.

En el caso de un sistema mecánico de F grados de libertad instantáneos,la matriz Gg puede ser expresada como combinación lineal de sus diferentescomponentes asociadas a los vectores de la base del espacio del movimiento.

Gg =F∑i=1

βi · Gig =

[G1g · · · GF

g

]β (9.37)

Sustituyendo las ecuaciones (9.5) y (9.37) en la expresión (9.36) podemos


plantear las siguientes expresiones:

c = −[G1g · · · GF

g

]β[v1 · · · vF

]β = (9.38)

= −βT

G1g...

GFg

[v1 · · · vF]β = (9.39)

= βT

−G1g v1 · · · −G1

g vF...

. . ....

−GFg v1 · · · −GF

g vF

β = (9.40)

= βT

c1,1 · · · c1,F...

. . ....

cF,1 · · · cF,F

β = (9.41)

= βT Cβ = (9.42)

=F∑i=1

F∑j=1

βiβj · ci,j (9.43)

De este modo, la expresión 9.42 demuestra que el término no homogéneo cde la ecuación de aceleración puede ser obtenido como una forma cuadrática.

Para poder verificar la compatibilidad o incompatibilidad de los diferentescampos instantáneos de velocidades posibles es necesario comprobar la compa-tibilidad o incompatibilidad del sistema de ecuaciones definido por la ecuaciónde aceleración (8.54). Matemáticamente hablando, para que dicho sistema deecuaciones lineales sea compatible es necesario que el término no homogéneo cesté incluido dentro del subespacio imagen de Gg:

c ∈ R (Gg) (9.44)

Debido a que la matriz Gg no presenta rango completo, pudiera darse elcaso de que el término c no estuviera incluido en dicho subespacio para unosdeterminados valores de β, y sí lo estuviera para otros. Esto es, de todo elconjunto de movimientos infinitesimales que el mecanismo pudiera realizar,sólo una parte de ellos podría verificar la ecuación de aceleración.

El procedimiento que aquí seguiremos será similar al descrito en la referencia(Kumar y Pellegrino, 2000), que se compondrá de los pasos siguientes:

1. Una vez definidos los vectores ci,j generadores del término independientec, deberemos definir una base de vectores ui de vectores no pertenecientes

9.5. Resolución del Movimiento Instantáneo 287

al subespacio imagen de Gg, los cuáles se encuentran el subespacio nulode GT

g .uk /∈ R (Gg)⇔ uk ∈ kerGT

g (9.45)

2. Los desplazamientos de primer orden que verifiquen la ecuación de acele-ración han de generar un término independiente c perteneciente al subes-pacio imagen de Gg, por lo que la proyección de dicho término sobre cadauno de los vectores ui no pertenecientes a dicho subespacio imagen ha deser nula.

uTk c = 0 k = 1, . . .m (9.46)

3. Tras el paso anterior, obtendremos como resultado un sistema de m ecua-ciones cuadráticas con F incógnitas, las F componentes del vector deentradas generalizadas β, de la forma siguiente:

F∑i=1

F∑j=1

βiβj · uTk ci,j = 0 k = 1, . . .m (9.47)

La resolución de este sistema de ecuaciones no lineales presenta la dificultadde no poder ser realizada en forma explícita en el caso general, teniendo querealizar un enfoque numérico-símbolico con los inconvenientes que esto conlleva.A modo de ejemplo, en la referencia (Kumar y Pellegrino, 2000) la resoluciónde este sistema de ecuaciones era llevada a cabo empleando bases de Gröbner.A este problema hay que añadir la existencia de infinitas posibles soluciones,debido a que estamos ante un sistema de ecuaciones homogéneo. Sin embargo,este problema puede ser fácilmente solventado sin más que incluir una ecuaciónadicional de la forma

βTβ =F∑i=1

β2i = 1 (9.48)

la cual es nuevamente una ecuación cuadrática en los mismos términos que lasanteriores, que normaliza las posibles soluciones obtenidas.

9.5. Resolución del Movimiento Instantáneo

Para definir completamente el movimiento del manipulador, es necesariodeterminar el valor del vector β, quedando resuelto el problema de velocidades,


y a continuación determinar el valor de γ, quedando resuelto el problema deaceleraciones. Para ello, en el caso de un manipulador de F GDL, es necesariodefinir el valor de F parámetros cinemáticos, con sus correspondientes términosde velocidad y aceleración. Este concepto, quizás definido de forma demasiadoabstracta, puede ser comprendido más fácilmente cuando hacemos referenciaa los dos problemas básicos del movimiento instantáneo, la resolución de losproblemas directo e inverso.

El problema cinemático directo consiste en determinar, a partir de unosparámetros cinemáticos de entrada en términos de posición q, velocidad q yaceleración q, el movimiento del mecanismo en la posición analizada. Como ellector podrá imaginar, las expresiones que definen los parámetros de entrada delmecanismo tiene una estructura muy similar a la mostrada por las ecuacionesde campo de velocidad (9.5) y de campo de aceleraciones (9.23), pudiendo serexpresadas de la forma siguiente

q = Qβ (9.49)q = pq + Qγ (9.50)

donde la matriz Q incluye las componentes de velocidad obtenidas para cadavector de la base del espacio del movimiento, mientras que pq representa elvector de aceleraciones de entrada ligado a términos cuadráticos de velocidad.

La resolución del problema directo se realizaría de la siguiente forma. Unavez conocidos las n componentes qi del vector de velocidades de entrada q enuna configuración dada del mecanismo, es necesario obtener el valor del vectorde velocidades generalizadas β. Sin embargo, este problema puede no ser tansimple como parece.

De este modo, la matriz Q sería, en el caso general, una matriz rectangularde dimensiones n × F . Esto nos llevaría a los siguientes subcasos, los cualesserán estudiados en mayor profundidad en los siguientes apartados:

El número de entradas n coincide con el número de GDL instantáneos F ,caso suele ser el más habitual en la práctica.

El número de entradas n es superior al número de GDL instantáneos Fdel mecanismo, correspondiente al caso de actuación redundante.

El número de entradas n es inferior al número de GDL instantáneos Fdel mecanismo, correspondiente al caso de subactuación.

En el otro lado encontraríamos el denominado problema inverso, el cualconsiste en determinar, a partir de unos parámetros cinemáticos de salida en


términos de posición, velocidad y aceleración, el movimiento del mecanismoen la posición analizada. La selección de los parámetros cinemáticos de salidaposee una gran variedad. Por ejemplo, en el caso de manipuladores robóticos,serie o paralelos, los movimientos de salida buscados suelen estar asociados alcontrol del movimiento del elemento sobre el cual está colocada la herramientaque el robot porta. Sin embargo, también este movimiento de salida puedebuscar determinar el movimiento de un determinado extremo de un elemento,o incluso el movimiento en una única dirección del mismo.

Por este motivo, y con objeto de unificar el procedimiento independiente-mente de que se esté tratando de parámetros de entrada, salida o pasivos, lanotación empleada usará una forma genérica para la resolución del movimientoinstantáneo.

9.5.1. Resolución del Problema de VelocidadesUna vez se ha determinado cuáles serán los parámetros cinemáticos desig-

nados para definir el movimiento, el siguiente paso es obtener la expresión delos mismos a partir de los vectores de la base del espacio del movimiento, ha-ciendo uso de las expresiones (9.5) y (9.15). De este modo, seremos capaces dedefinir un sistema de ecuaciones lineales a partir del cual determinar el valorde β.

Cualquier parámetro cinemático activo o pasivo, lineal o rotacional, abso-luto o relativo, denominado de forma genérica como υ, puede ser expresadocomo

υ =F∑i=1

ui · βi = uTβ (9.51)

donde ui representa el valor del parámetro cinemático υ asociado al vector vide la base del espacio del movimiento (ver ecuación (9.5)).

Por tanto, una vez conocidos los valores de los n parámetros cinemáticosdesignados

υj = uTj β j = 1, . . . n

podemos agrupar las n ecuaciones (9.51) correspondientes de la siguiente formaυ1υ2...υn

=

uT1uT2...

uTn

β (9.52)


υ = UT β (9.53)

donde la matriz U agrupa los n vectores uj relacionados con los n parámetroscinemáticos designados.

U =[u1 u2 · · · un

](9.54)

A partir de los datos considerados, la matriz UT sería, en el caso general,una matriz rectangular de dimensiones n×F . Esto nos llevaría a los siguientessubcasos:

El número de entradas n coincide con el número de GDL instantáneos F .

n = F

Este caso suele ser el más habitual en la práctica. Suponiendo la confi-guración estudiada como no singular en los parámetros designados2, elvector de velocidades generalizadas β quedaría determinado a partir dela siguiente expresión:

β = U−T υ (9.55)

El número de entradas n es superior al número de GDL instantáneos Fdel mecanismo, correspondiente al caso de actuación redundante.

n > F

Este caso supondría que el sistema lineal de ecuaciones a partir del cual seobtendría el vector de velocidades generalizas sería un sistema supradeter-minado, esto es, tendría un número de ecuaciones superior al número deincógnitas a determinar. Dicho sistema de ecuaciones puede ser resuel-to numéricamente empleando el Método de los Mínimos Cuadrado sinmayor inconveniente. Sin embargo, dicho sistema de ecuaciones pudierano tener solución, esto es, puede que sea incompatible. Ha de notarseque, una vez definido el valor de F parámetros de entrada, el movimientodel mecanismo queda totalmente determinado. Esto hace que el resto deparámetros no puede tener unos valores arbitrarios, sino que deben sercompatibles con el resto de entradas introducidas.

2El estudio de las configuraciones singularidades y las diferentes implicaciones que es-tas pueden tener en la resolución del movimiento instantáneo será analizado a lo largo delCapítulo 12.


El número de entradas n es inferior al número de GDL instantáneos F delmecanismo, correspondiente al caso de subactuación. Bajo este supuesto,es evidente que el movimiento del mecanismo no podrá ser completa-mente determinado, ya que sería necesario introducir un número superiorde entradas, apareciendo de este modo posibilidades de movimiento in-controladas. Este supuesto será analizado en mayor profundidad en elCapítulo 12.

En el caso más habitual, sustituyendo la expresión (9.55) en las ecuaciones(9.5) y (9.15), se obtienen las velocidades lineales de todos los nudos del meca-nismo y las velocidades angulares de todos los elementos del mismo definidaspor los parámetros υ designados.

x = VU−T υ (9.56)ωe = ΩU−T υ (9.57)

9.5.2. Resolución del Problema de AceleracionesUna vez resuelto el problema de velocidad y obtenido el vector de veloci-

dades generalizadas β, la ecuación de aceleración (8.54) puede ser planteada yresuelta, ya que el valor del término independiente c queda determinado a par-tir de los datos de posición y velocidad. De este modo, la solución particular pxde la ecuación de aceleración, solución dependiente de la posición y velocidadinstantáneas del mecanismo, puede ser obtenida, siempre que la compatibilidaddel movimiento, estudiada en al apartado 9.4, esté garantizada.

Tras esto, el siguiente paso es obtener la expresión de los parámetros cine-máticos designados en sus términos de aceleración a partir de los vectores de labase del espacio del movimiento, haciendo uso de las expresiones (9.23) y (9.32).De este modo, seremos capaces de definir un sistema de ecuaciones lineales apartir del cual determinar el valor del vector de aceleraciones generalizadas γ.

Cualquier parámetro cinemático de aceleración, activo o pasivo, lineal orotacional, absoluto o relativo, denominado de forma genérica como υ puedeser expresado como

υ = pυ +F∑i=1

ui · γi = pυ + uT γ (9.58)

donde pυ representa el valor del parámetro cinemático de aceleración υ ligadoa la solución particular px de la ecuación de aceleración.


Por tanto, una vez conocidos los valores de los n parámetros cinemáticosdesignados

υj = pυj + uTj γ j = 1, . . . n

podemos agrupar las n ecuaciones (9.58) correspondientes de la siguiente forma:υ1υ2...υn

=

pυ1pυ2...

pυn

+

uT1uT2...

uTn

γ (9.59)

υ = pυ + UT β (9.60)

Analicemos nuevamente los tres posibles subcasos que aquí se nos presentan:

El número de entradas n coincide con el número de GDL instantáneos F .El vector de aceleraciones generalizadas γ quedaría determinado a partirde la siguiente expresión:

γ = U−T (υ − pυ) (9.61)

El número de entradas n es superior al número de GDL instantáneos Fdel mecanismo, correspondiente al caso de actuación redundante. Nue-vamente el sistema lineal de ecuaciones a partir del cual se obtendríael vector de aceleraciones generalizas sería un sistema supradetermina-do, esto por lo que las consideraciones hechas para la resolución de lasvelocidades instantáneas son nuevamente aplicables.

El número de entradas n es inferior al número de GDL instantáneos Fdel mecanismo, correspondiente al caso de subactuación. Debido a laindefinición del problema de velocidades, el problema de aceleraciones nopuede ser planteado de una forma completamente general.

En el caso más habitual, sustituyendo la expresión (9.61) en las ecuaciones(9.23) y (9.32), se obtienen las velocidades lineales de todos los nudos del me-canismo y las velocidades angulares de todos los elementos del mismo definidaspor los parámetros υ designados.

x = xp + VU−T (υi − υpi ) (9.62)αe = ΩU−T (υi − υpi ) (9.63)

9.6. Parámetros Cinemáticos de Entrada 293

9.6. Parámetros Cinemáticos de Entrada

A continuación se determinarán las expresiones de los parámetros cinemáti-cos de entrada más habituales, en sus componentes de velocidad y aceleración,mediante los cuales se procede a definir el movimiento.

9.6.1. Movimiento Absoluto de un Punto en una DirecciónDeterminada

El movimiento absoluto de un punto P concreto perteneciente al manipu-lador queda expresado a partir de las siguientes expresiones

p = Vp β

p = pp + Vp γ

las cuales han sido obtenidas extrayendo de las ecuaciones (9.5) y (9.23) lascomponentes referidas al punto P .

Multiplicando escalarmente por el vector unitario s, podemos obtener laexpresión de la componente de la velocidad absoluta del punto P en la direcciónde s como

sT p = sTVp β (9.64)

De este modo, comparando con la expresión (9.51), considerando como pa-rámetro de entrada la componente de la velocidad absoluta del punto P en ladirección de s, podemos identificar los siguientes términos:

υ = sT p (9.65)u = VT

p s (9.66)

Para el caso de la aceleración, el razonamiento es idéntico. Multiplican-do escalarmente por el vector unitario s, podemos obtener la expresión de lacomponente de la aceleración absoluta del punto P en la dirección de s como

sT p = sT pp + sTVp γ (9.67)

Por último, comparando con la expresión (9.58), los términos υ y pυ tienenla siguiente expresión

υ = sT p (9.68)pυ = sT pp (9.69)


s

Figura 9.2: Definición de la dirección de la velocidad de un punto

quedando de este modo completamente definidos todos los términos de lasecuaciones (9.51) y (9.58).

La propia definición de estas ecuaciones implica necesariamente que el puntoP pueda moverse en la dirección del vector s ya que, en caso contrario, estascondiciones serían imposibles de cumplir, ya que

u = VTp s = 0 (9.70)

Para ello será necesario definir previamente cuáles son las posibles direc-ciones del movimiento del punto P , para así conocer las direcciones en las quesí tiene sentido aplicar estas condiciones. Este punto será analizado en mayorprofundidad en el apartado 10.10.

Por otro lado, el lector puede suponer llegado a este punto que estas ecua-ciones exigen que el punto P se mueva de una forma y dirección determinadas,


pudiendo ser posible que se mueva en otras direcciones. Sin embargo esto noes exactamente así, ya que lo único que se ha exigido ha sido imponer que lacomponente de tanto la velocidad como la aceleración absolutas del punto Psobre la dirección definida por el vector unitario s tengan una magnitud de-terminada. Para que se verifique que el punto P se mueva en una direccióndeterminada sería necesario imponer varias condiciones de este tipo.

9.6.2. Movimiento Relativo de un Punto en una DirecciónEl movimiento relativo de un nudo P respecto del elemento e queda definido

a partir de las expresiones del movimiento relativo vistas en el apartado 7.4. Enconcreto, siendo el punto A un punto perteneciente al elemento e, reordenandolas ecuaciones (7.76) y (7.77) se obtienen las siguientes expresiones:

prel e = p− a + Pap ωe (9.71)

prel e = p− a + Papαe −[ωTe (p− a)

]ωe+

+ ‖ωe‖2 (p− a)− pCoriolis e (9.72)

Multiplicando escalarmente por el vector unitario s, podemos obtener laexpresión de la componente de la velocidad relativa del punto P con respectoal elemento e en la dirección de s como

sT prel e = sT (p− a) + sTPap ωe (9.73)

Expresando los términos de la expresión (9.71) en función de los vectoresde la base del espacio del movimiento se obtienen las siguientes expresiones:

p = Vp β

a = Va β

ωe = Ωe β

Comparando con la expresión (9.51), es posible identificar los términos queen ella aparecen:

υ = sT prel e (9.74)

u = (Vp −Va + PapΩe)T s (9.75)


Para el caso de la aceleración, el razonamiento se realiza de idéntica for-ma. Multiplicando escalarmente por el vector unitario s, la expresión de laaceleración relativa puede expresarse como

sT prel eq = sT (p− a) + sTPapαe −

[ωTe (p− a)

] (sTωe

)+

+ ‖ωe‖2[sT (p− a)

]− sT pCoriolis e (9.76)

donde el término de aceleración de Coriolis queda definido como

pCoriolis e = 2ωe × prel e

Expresando los términos de la expresión (9.72) a partir de los vectores dela base del espacio del movimiento

p = Vp γ

a = Va γ

αe = Ωe γ

y comparando con la expresión (9.58), los términos υ y pυ tienen la siguienteexpresión

υ = sT prel e (9.77)pυ = −

[ωTe (p− a)

] (sTωe

)+ ‖ωe‖2

[sT (p− a)


quedando de este modo completamente definidos todos los términos de lasecuaciones (9.51) y (9.58).

Las consideraciones hechas en el apartado anterior sobre las direcciones deaplicación de estas condiciones y su significado son nuevamente aplicables.

9.6.3. Movimiento Angular Absoluto de un ElementoLa velocidad y aceleración angular de un elemento e en su movimiento

absoluto se pueden expresar en función de los vectores de la base del espaciodel movimiento como

ωe = Ωe β

αe = Ωe γ

sin más que extraer de la ecuaciones (9.15) y (9.32) los términos correspon-dientes a dicho elemento.


Multiplicando escalarmente por el vector unitario s, podemos obtener laexpresión de la componente de la velocidad angular absoluta del elemento e enla dirección de s como

sTωe = sTΩe β (9.79)Comparando con la expresión (9.51), podemos identificar los siguientes tér-

minos:

υ = sTωe (9.80)u = ΩT

e s (9.81)

s

Figura 9.3: Definición de la dirección de la velocidad angular de un elemento

Para el caso de la aceleración angular, el razonamiento es idéntico. La ex-presión de la componente de la velocidad angular del elemento e en la direccióndefinida por el vector unitario s es la siguiente:

sTαe = sTΩe γ (9.82)

De este modo, comparando la expresión anterior con la ecuación (9.58),podemos identificar los términos υ y pυ como

υ = sTαe (9.83)pυ = 0 (9.84)


El caso del movimiento angular de un determinado elemento requiere lasmismas consideraciones hechas en los apartados anteriores. La propia definiciónde estas ecuaciones implica necesariamente que el elemento e pueda moverseen la dirección del vector s ya que, en caso contrario, estas condiciones seríanimposibles de cumplir, ya que el vector u sería de valor nulo:

u = ΩTp s = 0 (9.85)

Para ello será necesario definir previamente cuáles son las posibles direccio-nes del movimiento angular del elemento e, para así conocer las direcciones enlas que sí tiene sentido aplicar estas condiciones. Este punto será analizado enmayor profundidad en el Capítulo 10.

Nuevamente, el lector puede suponer llegado a este punto que estas ecuacio-nes exigen que el elemento e se mueva de una forma y dirección determinadas,pudiendo ser posible que se mueva en otras direcciones. Tal y como se explicóen apartados anteriores esto no es así, ya que lo único que se ha exigido hasido imponer que la componente de tanto la velocidad como la aceleración an-gular absoluta del elemento e sobre la dirección definida por el vector unitarios tengan una magnitud determinada.

9.6.4. Movimiento Angular Relativo de un Elemento

La velocidad y aceleración angular de un elemento e en su movimientorelativo respecto un elemento f se pueden expresar a partir de las expresionesdel movimiento relativo de la forma siguiente:

ωrel fe = ωe − ωf

αrel fe = αe −αf + ωe × ωf

Multiplicando escalarmente por el vector unitario s, podemos obtener laexpresión de la componente de la velocidad angular relativa del elemento e conrespecto al elemento f en la dirección de s:

sTωrel fe = sT (ωe − ωf ) (9.86)

Expresando los términos de la ecuación (9.71) en función de los vectores de


la base del espacio del movimiento

ωe = Ωe β

ωf = Ωf β

αe = Ωe γ

αf = Ωf γ

sin más que extraer de la ecuaciones (9.15) y (9.32) los términos correspon-dientes a los elementos e y f .

Comparando con la expresión (9.51), los términos υ y u particularizados aeste caso tienen las siguientes expresiones:

υ = sTωrel fe (9.87)

u = (Ωe −Ωf )T s (9.88)

Para el caso de la aceleración angular, el razonamiento es idéntico. Multi-plicando escalarmente por el vector unitario s, podemos obtener la expresiónde la componente de la velocidad angular relativa del elemento e respecto delelemento f en la dirección de s como

sTαrel fe = sT (αe −αf ) + sT (ωe × ωf ) (9.89)

Comparando con la expresión (9.58), considerando como parámetro de en-trada la componente de la aceleración relativa del elemento e respecto del f enla dirección de s, podemos identificar los siguientes términos:

υ = sTαrel fe (9.90)

pυ = sT (ωe × ωf ) (9.91)

Las consideraciones hechas en el apartado anterior sobre las direcciones deaplicación de estas condiciones y su significado son nuevamente aplicables.

9.6.5. Entrada por Par R FĳoLa entrada por par R unido al elemento fijo puede ser considerada como

un caso particular del movimiento angular absoluto de un elemento en unadirección. Como es evidente, dicho elemento sólo podrá realizar un movimientodeterminado, esto es la rotación alrededor del eje del par R. Por lo tanto, unavez definida la dirección del vector unitario s en la dirección del eje del par R(Fig. 9.4), son aplicables las ecuaciones vistas en el apartado 9.6.3.


Elemento e

s

Figura 9.4: Entrada por par R fijo

9.6.6. Entrada por Par R FlotanteLa entrada por par R flotante entre los elemento e y f queda definida

mediante las expresiones correspondientes al movimiento angular relativo entredichos elementos, vistas en 9.6.4, definiendo la dirección del vector unitario sen la dirección del eje del par R.

La entrada por par R flotante al elemento fijo puede ser considerada comoun caso particular del movimiento angular relativo entre los dos elementosunidos por el par R. Como es evidente, ambos elementos sólo podrán realizarun movimiento relativo determinado, la rotación alrededor del eje del par R.Por lo tanto, una vez definida la dirección del vector unitario s en la direccióndel eje del par R (Fig. 9.5), son aplicables las ecuaciones vistas en el apartado9.6.4.

9.6.7. Entrada por DeslizaderaLa entrada por deslizadera situada en el nudo P queda definida mediante

la expresión del movimiento relativo vista en el apartado 9.6.2, definiendo ladirección del vector unitario s en la dirección del elemento e sobre la que


Elemento e

Elemento f

s

Figura 9.5: Entrada por par R flotante

desliza. En el caso de que P deslice en la dirección definida por los puntos A yB pertenecientes al elemento e, el vector unitario s queda definido como

s = 1‖b− a‖

(b− a) (9.92)

Es habitual que el vector unitario s indique la misma dirección que el vectorp−a, por lo que en este caso algunos términos que sí aparecían en el caso generalse anulan:

sTPap ωe = 0 (9.93)sTPapαe = 0 (9.94)

De este modo, considerando como parámetro de entrada la componente dela velocidad relativa del nudo i en la dirección de s, que en este caso indica elmódulo de la velocidad relativa de i, podemos identificar los siguientes términos:

υ = sT prel e (9.95)

u = (Vp −Va)T s (9.96)

Para el caso de la aceleración, el razonamiento se realiza de idéntica forma.

sT prel e = sT (p− a)−[ωTe (p− a)

] (sTωe

)+

+ ‖ωe‖2[sT (p− a)



eP

A

Bs

Figura 9.6: Entrada por deslizadera

A consecuencia de esto, la velocidad relativa del punto Q respecto del ele-mento e puede expresarse como

prel e =(sT prel e) s (9.98)

lo que hace quesT pCoriolis e

q = 0 (9.99)De este modo:

υ = sT prel eq (9.100)

pυ = −[ωTe (pq − pi)

] (sTωe

)+ ‖ωe‖2

[sT (pq − pi)

](9.101)

9.6.8. Entrada por ÉmboloLa entrada por elemento émbolo puede ser definida de forma idéntica a la

de la entrada por deslizadera. Siendo el elemento émbolo definido mediante lospuntos A y B, considerando el movimiento relativo del nudo B sobre el propioelemento émbolo. En este caso, el vector unitario s queda definido como

s = 1‖b− a‖

(b− a) (9.102)

9.7. Homogeneidad Dimensional 303

A

s

B

Figura 9.7: Elemento émbolo

9.7. Homogeneidad Dimensional

Uno de los aspectos a tener en cuenta en la medida de la cercanía a posi-ciones singulares, que se tratará en profundidad a lo largo del Capítulo 12, esel hecho de obtener matrices jacobianas que posean términos homogéneos, estoes que los términos que en ella aparecen posean las mismas unidades.

Según se ha visto en los apartados anteriores, es posible definir como pará-metros cinemáticos escogidos parámetros de dos tipos diferentes: bien de tipolineal o de tipo angular. En caso de estar agrupados términos correspondien-tes a diferentes tipos de entradas dentro de una ecuación del tipo (9.53), lostérminos que formarían parte de la matriz característica UT serían claramenteno homogéneos.

Observando la expresión (9.51), en el caso de que ésta haga referencia aun parámetro lineal, el vector u correspondiente tendría términos adimensio-nales [−] en su interior. Sin embargo, en el caso de que ésta haga referencia aun parámetro angular, el vector u tendrá términos de dimensión [L−1] en suinterior.

Para solucionar esta cuestión se ha optado por escalar las ecuaciones (9.51) y(9.58) correspondientes a parámetros angulares, escalado realizado de la forma


siguiente

lc · υ = lc · uTβ (9.103)lc · υ = lc · pυ + lc · uT γ (9.104)

donde el valor lc la longitud característica asociada al elemento al cual hacereferencia la entrada cuyas unidades son, obviamente, [L]. De este modo, in-troduciendo dentro de UT los términos lc · uT correspondientes se consigue lahomogeneidad dimensional de los términos de esta matriz.

Este hecho permitirá obtener matrices UT idénticas y adimensionales parael caso de mecanismos que únicamente presenten diferencia en el escalado delas longitudes de sus elementos.

9.7.1. Longitud CaracterísticaEl concepto de longitud característica introducido es ligeramente diferente

al introducido en referencia (Tandirci et al., 1992). En este artículo, la homo-geneidad dimensional de términos se consigue multiplicando a las componentesrelativas a términos de velocidad angular por un término denominado longitudcaracterística lc. Dicho valor se define de tal forma que se consiga la isotropi-cidad de la matriz estudiada en alguna configuración del manipulador.

Sin embargo, en el procedimiento aquí mostrado no es posible conocer quées lo que sucede en otra configuración distinta a la analizada, por lo que elconcepto de longitud característica ha de ser definida de otra manera. En con-creto, nosotros definiremos el valor de la longitud característica para cada unode los elementos que definen el mecanismo.

Si recordamos capítulos anteriores, en la Sección 7.3 se obtuvieron las ex-presiones que relacionaban las velocidades de puntos pertenecientes a nuestroelemento e considerado, con la expresión de su velocidad angular ωe. En concre-to, según se puede apreciar en las expresiones (7.41) y (7.65), ambos términosaparecen relacionados por la matriz −R−1

ω Rp. Dicha matriz, función de lospuntos escogidos para definir ωe, posee términos de unidades [L−1], por quela obtención de la expresión de la longitud característica lc puede obtenerse apartir de ella.

En concreto, esta longitud característica puede ser definida como

1lc

=∥∥−R−1

ω Rp∥∥ (9.105)

donde ‖·‖ representa una norma de la matriz −R−1ω Rp.

9.8. Análisis en Posiciones Sucesivas 305

Las normas matriciales más usuales suelen ser la Norma 2 ‖·‖2 y la NormaFröbenius ‖·‖F . Ambas expresiones son función de la geometría característi-ca del elemento, dependen exclusivamente de las distancia existentes entre lospuntos escogidos. Debido a su mayor simplicidad de cómputo y a su indepen-dencia de la disposición relativa de los nudos, se preferirá el empleo de la normaFröbenius.

9.8. Análisis en Posiciones Sucesivas

A pesar de que todos los planteamientos aquí realizados afectan al estudioinstantáneo del movimiento de diferentes arquitecturas de mecanismos, el pasoal análisis en diferentes posiciones sucesivas de todos estos aspectos es total-mente inmediato. Una vez resueltas el conjunto de posiciones que va adoptandoel mecanismo para seguir una determinada trayectoria, por ejemplo emplean-do el método geométrico descrito en la referncia (Petuya et al., 2005) para laresolución del problema de desplazamientos finitos, el procedimiento aquí pre-sentado se podría lanzar para el análisis cinemático de todas estas posiciones,siendo tratadas todas ellas una por una.

De este modo, el análisis de cada una de estas posiciones pasaría por cadauna de las diferentes etapas:

Definición de las ecuaciones de velocidad y aceleración del mecanismo apartir de su geometría instantánea y la modelización realizada.

Realización del análisis cinemático considerado, como pudiera ser la ob-tención de las velocidades y aceleraciones resultantes para cada uno delos diferentes puntos y elementos del mecanismo en la realización de latrayectoria deseada (Fig. 9.8).

Obtención de otros resultados relevantes, como pueden ser la localiza-ción y definición del eje instantáneo del movimiento, la localización delos centros de curvatura de las trayectorias de los diferentes puntos, laobtención de los axoides fijo y móvil de un elemento determinado durantesu movimiento (Fig. 9.9), etc.


Figura 9.8: Gráfica de la velocidad angular del elemento terminal del manipu-lador paralelo 3− PRS en la realización de una trayectoria determinada

9.8. Análisis en Posiciones Sucesivas 307

Axoide fijo

ISA

Axoide móvil

Figura 9.9: Axoides del elemento terminal del manipulador paralelo 3 − PRSen la realización de una trayectoria determinada

10

Caracterización Modal delMovimiento de RobotsManipuladores

10.1. Introducción

Hoy en día, los robots y los manipuladores robóticos son elementos queaparecen frecuentemente en los procesos de fabricación y montaje de diferentescomponentes y productos: robots serie realizando operaciones en las líneas demontaje de las plantas de fabricación de automóviles, robots paralelos cogiendoobjetos y llevándolos a otra posición a la mayor velocidad y aceleración posibles,máquinas de 5 ejes con control numérico realizando operaciones de mecanizadosobre diferentes piezas, etc.

Sin embargo, quizás deberíamos preguntarnos porqué se escogió una de-terminada arquitectura de robot sobre otra para una aplicación determinada.La respuesta parece bastante obvia. Durante la fase de diseño del robot, unavez considerados las necesidades y requisitos de la aplicación a la que iba aser destinado (como pueden ser por ejemplo la magnitud de las cargas que hade soportar, la precisión que debe tener, los valores de aceleración que debealcanzar, etc.), los ingenieros encargados de su diseño decidieron que una ar-quitectura determinada de robot ofrecía mejores resultados que cualquier otra.Evidentemente, este razonamiento es totalmente correcto. Sin embargo, an-tes de llegar a este punto, otra pregunta diferente tuvo que ser respondida:

309

310 Caracterización Modal del Movimiento de Robots Manipuladores

¿El robot se mueve como nosotros queremos que se mueva? Aunque parezcaigualmente algo obvio, este punto puede conllevar una complejidad bastanteelevada.

El primer concepto que quizás venga a nuestra mente cuando pensamosen las capacidades que un robot manipulador puede ofrecer es su movilidada lo largo de su espacio de trabajo, el número de parámetros cinemáticos queson necesarios para definir completamente la configuración y movimientos delrobot. La movilidad, también expresada como el número de GDL del mecanismo(Ionescu, 2003), puede ser calculada de una forma bastante simple empleandouna gran variedad de fórmulas, recopiladas la gran mayoría en la referencia(Gogu, 2004b).

Estas fórmulas no son tampoco los únicos procedimientos para obtener lamovilidad del mecanismo, siendo de gran valor teórico el trabajo realizado porJ. Hervé en este campo, como muestran algunas de sus referencias (Hervé,1978, 1982, 1999). En ellas, Hervé emplea la estructura de grupo de Lie delconjunto de desplazamientos de sólido rígido con objeto de determinar la mo-vilidad. Sin embargo, ninguno de estos métodos es capaz de determinar losGDL instantáneos del robot en una configuración determinada si para ello nose analiza la geometría particular de sus elementos y pares cinemáticos, ya quees posible que su valor cambie de una posición a otra. Considerando un meca-nismo de morfología general, se puede concluir que su espacio de trabajo puedeno estar libre de singularidades que incrementen instantáneamente el valor dela movilidad (Altuzarra et al., 2004). Por ejemplo, esto sucede en el caso delos mecanismos cinematotrópicos (Galletti y Fanghella, 2001; Fanghella et al.,2006), mecanismos que pueden ofrecer diferentes capacidades de movimientodentro de su espacio de trabajo con valores de movilidad diferentes.

Además, en el caso de los robots manipuladores, una vez hemos sido capa-ces de determinar su movilidad, es posible que nuestro robot no sea capaz derealizar el movimiento necesario. Por esto se debe prestar atención a los mo-vimientos que su elemento terminal puede ofrecer, denominado técnicamentecomo la conectividad del elemento terminal con respecto al elemento fijo, lacual, nuevamente, puede variar de una configuración a otra del robot. Yendoaún más lejos, incluso determinando el valor instantáneo de la conectividadpuede que no seamos capaces de responder a la pregunta que hicimos al prin-cipio de este apartado. Existen aplicaciones que precisan específicamente unpatrón de movimiento (Kong et al., 2007), definido como

Definición 10.1.1 (Patrón de movimiento del manipulador)Conjunto continuo de posiciones que describen el tipo de movimiento que puede


realizar su elemento terminal.

Este patrón de movimiento puede definir para un determinado tipo de apli-caciones la realización de rotaciones alrededor de unos ejes determinados, mien-tras que para otras aplicaciones puede ser necesario realizar únicamente demovimientos de traslación. Por tanto, todo esto puede no ser tan simple. Ladeterminación de las capacidades de movimiento de rotación y traslación delelemento terminal del manipulador es un punto que ha de realizarse obligato-riamente.

Normalmente, suele ser bastante sencillo determinar que un manipuladortraslacional es capaz de realizar únicamente traslaciones, o que un manipula-dor esférico sólo produce rotaciones alrededor de ejes que pasan por un puntofijo, o que un robot SCARA realiza únicamente traslaciones independientes encualquier dirección y una única rotación independiente alrededor de un eje dedirección fija. Sin embargo, si nos olvidamos de estos casos sencillos y nos cen-tramos por ejemplo en el caso de manipuladores paralelos de baja movilidad dearquitectura general capaces de realizar movimientos complejos, movimientossin la estructura de grupo de Lie en los que la capacidad de realizar rotacioneso traslaciones en una dirección determinada varía de una posición a otra, escuando realmente nos encontramos ante la complejidad del problema. Un pro-cedimiento para realizar la determinación de las capacidades de movimientodel elemento terminal del manipulador se presenta en la referencia (Bandyo-padhyay y Ghosal, 2004).

Además, el hecho de que el robot se encuentre en una configuración singularpuede alterar también las capacidades de movimiento que éste puede ofrecer.De hecho, las singularidades del problema inverso (Gosselin y Angeles, 1990)reducirán las posibilidades de movimiento efectivas del robot, las denominadasconstraint singularities (Zlatanov et al., 2002; Zoppi et al., 2003) aumentarándichas posibilidades, y las singularidades asociadas al patrón de movimiento,denominadas como motion pattern singularities (Altuzarra et al., 2006a), varia-rán la distribución de las posibilidades de movimiento de rotación y traslación,cuyo número usualmente permanece constante en una posición no singular.

La Screw Theory (Ball, 1900) ha sido empleada normalmente como herra-mienta para analizar y representar las capacidades de movimiento que un robotmanipulador puede ofrecer. Las referencias (Zhao et al., 2006a,d) muestra unanálisis bastante sencillo de la movilidad que puede ofrecer el elemento terminalde un manipulador, análisis hecho a partir de las restricciones que cada una delas cadenas cinemáticas que lo componen imponen sobre dicho elemento.

La Screw Theory también ha sido empleada para clasificar los diferentes


tipos de movimiento de sólido rígido. En la referencia (Hunt, 1978), Hunt pre-sentó la que puede ser primera clasificación de los screw systems (ver apartado3.4) y su aplicación a la mecánica de manipuladores. Tras él, otras referenciasaparecieron bien tratando de completar la anteriormente citada clasificación,o bien discutían acerca de sí esa clasificación realmente presentaba todas lasdiferentes posibilidades de movimiento (Gibson y Hunt, 1990a,b), esto es, sirealmente era esta clasificación completa (Rico y Duffy, 1992a,b,c). Estos screwsystems, los cuales definen el espacio de todos los posibles movimientos que undeterminado elemento de un mecanismo podría realizar en una posición da-da, se pueden caracterizar una vez hemos determinado una base del mismo.Esta base suele ser escogida empleando como vectores de la base a los princi-pal screws del sistema de screws. En las referencias (Parkin, 1990; Tsai y Lee,1993; Rico y Duffy, 1998b; Huang y Wang, 2001) podemos encontrar diferentesformas de calcular estos principal screws.

Sin embargo, a pesar de que la Screw Theory es una herramienta lo suficien-temente poderosa como para analizar, determinar y caracterizar las diferentesposibilidades de movimiento que un robot manipulador puede ofrecer, otrosprocedimientos también deben ser propuestos con objeto de ayudar a cualquieringeniero a saber si el robot que está considerando realmente se puede movercomo él desea. Por tanto, el objetivo de este Capítulo es el de presentar unmétodo alternativo para analizar y caracterizar las capacidades de movimientoinstantáneas de un robot manipulador de arquitectura arbitraria, serie, para-lelo, híbrido, etc. Una vez presentados los conceptos matemáticos esenciales,se definirán los modos de movimiento del elemento terminal del robot. Estosmodos de movimiento permitirán introducir otros indicadores valiosos de lascapacidades de movimiento del robot, como pueden ser los elipsoides de rota-ción y traslación. Estos modos de movimiento, apoyados en la realización deun cambio de base en los variables de entrada del mecanismo, simplificaránel cómputo de los principal screws, además de proporcionar demostracionesalternativas de las propiedades que estos screws cumplen. Finalmente, el pro-cedimiento también permite obtener el screw system instantáneo del elementoterminal del robot, pudiendo representar de forma gráfica todos los movimien-tos que podría realizar en una posición dada.

10.2. Conceptos Previos

El procedimiento comienza con la ecuación de velocidad del elemento ter-minal del robot manipulador, la cual viene definida por su vector velocidad

10.3. Modos del Movimiento y Entradas Modales 313

angular ωe y el vector velocidad lineal p de un punto P perteneciente a dichoelemento, expresado en términos de un vector de entradas q en la forma usual:

ωe = Jr q (10.1)p = Jt q (10.2)

En la obtención de las ecuaciones (10.1) y (10.2) puede utilizarse cualquierade los métodos usuales, como pueden ser la simple derivación con respecto altiempo de las ecuaciones vectoriales de posición del mecanismo o el empleo dela Screw Theory y los reciprocal screws (Tsai, 1999). Sin embargo, el empleode estos métodos tradicionales hacen surgir diversos problemas numéricos en elcaso de que el vector de entradas q incluya términos de diferente tipo (lineales yrotacionales), debido a la inconsistencia dimensional de las matrices jacobianasJr y Jt. Sin embargo, esta problemática es fácilmente evitada empleando laformulación jacobiana que se está desarrollando en esta Tesis Doctoral.

Una vez calculado el espacio del movimiento, representado por las ecuacio-nes (9.5) y (9.15), la ecuación de velocidad del elemento terminal e del mani-pulador queda definida, ya que son conocidas las expresiones de su velocidadangular ωe y la velocidad de uno de sus puntos p, sin más que extraer de lasecuaciones (9.5) y (9.15) los términos asociados al punto P y al elemento e:

ωe = Ωe β (10.3)p = Vp β (10.4)

Puede observarse de forma sencilla cómo las expresiones anteriores son com-pletamente análogas a las ecuaciones (10.1) y (10.2), aunque es cierto queposeen algunas diferencias que es necesario destacar. En esta formulación, elvector de entradas queda definido como el vector de velocidades generalizadasβ del mecanismo, el cual no posee el sentido físico que el término q ligado alos actuadores del robot tendría. Sin embargo, es necesario volver a destacarque dicho término presentará un vector de entradas que serán independientesen cualquier tipo de configuración, singular o no. Gracias a esto, las expresio-nes (10.3) y (10.4) pueden ser obtenidas incluso en singularidades asociadas alproblema directo o constraint singularities, quedando en todo caso garantizadala homogeneidad dimensional de los términos que en ella aparecen.

10.3. Modos del Movimiento y Entradas Modales

El análisis de las capacidades de movimiento de un robot manipulador deF GDL instantáneos en la configuración estudiada, debería emplear la forma


más simple de definir el movimiento de salida que su elemento terminal podríarealizar. De esto modo, el denominado modo de salida del manipulador definirálas capacidades de movimiento del robot, las cuales pueden ser de rotaciónpura, como en los manipuladores esféricos; traslacionales como en el caso delos robots cartesianos; una combinación de rotaciones y traslaciones como enlos robots SCARA; o movimientos de naturaleza compleja, que combinadospudieran producir rotaciones o traslaciones, como es el caso de la mayoría delos manipuladores paralelos de baja movilidad.

Normalmente, la ecuación de velocidad emplea como entradas aquellas co-rrespondientes a los actuadores físicos del robot. Sin embargo, estas entradasno suelen representar el movimiento de salida en su forma más sencilla, deforma que las posibles direcciones de rotación y traslación se determinen fácil-mente, junto con la actuación simultánea de los accionamientos que hay querealizar para obtenerlos1. Como el lector podrá comprender, el actuar de formaseparada cada uno de los accionamientos del robot implicará en el caso generalla realización de un movimiento complejo que no nos permitirá comprender deuna forma evidente cuál es el conjunto de movimientos que es capaz de realizar.De este modo, en este apartado se presentará una base de entradas alterna-tiva, la cual estará formada por las entradas modales ηr y ηt del elementoterminal del robot, las cuales permitirán realizar un análisis más sencillo desus capacidades de movimiento.

En primer lugar, expresaremos el vector de velocidades generalizadas βcomo suma de tres componentes ortogonales de la forma siguiente:

β = βr + βt + βp (10.5)

Estas tres componentes, βr, βt y βp, pertenecen a tres subespacios orto-gonales que definen el espacio completo de velocidades de entrada, según semuestra en la Fig. 10.1.

Cada uno de estos subespacios posee un significado determinado:

1. La componente βr pertenece al subespacio FR (0 ≤ FR ≤ 3) dimensionalde entradas capaces de producir movimientos helicoidales de paso finito.

2. La componente βt pertenece al subespacio FT (0 ≤ FT ≤ 3) dimensio-nal de entradas capaces de producir movimientos de traslación, esto es,movimientos helicoidales de paso infinito.

1A modo de ejemplo, para obtener una traslación vertical en el caso de la plataformaGough-Stewart en su disposición octahédrica es necesario actuar simultáneamente sus seisactuadores.


βr

βt

βp

ωe 6= 0p = pr

ωe = 0p = pt

ωe = 0p = 0

Entrada Salida

βωe = Ωe β

p = Vp β

Figura 10.1: Transformación entrada-salida, en la que se muestran los diferentessubespacios de entrada y salida

3. La componente βp pertenece al subespacio FP = F − FR − FT (FP ≥ 0)dimensional de entradas que no producen movimientos de salida en elelemento terminal del robot, ni rotaciones ni traslaciones, sino que pro-ducen movimientos en otros elementos del mecanismo, los movimientospasivos del manipulador.

La razón por la que tanto FR como FT tienen un valor máximo de tres,viene dada por las tres rotaciones y traslaciones independientes que el sólidolibre en el espacio puede tener.

10.3.1. Modo RotacionalEn términos de estas tres componentes, el movimiento rotacional del ele-

mento terminal del robot, definido a partir de la expresión (10.3), queda ex-presado como

ωe = Ωe β = Ωe βr + Ωe βt + Ωe βp (10.6)

Bajo las suposiciones anteriores, ambas componentes βt y βp no produ-cen movimientos de rotación; la suma directa de ambos subespacios a las quepertenecen las componentes βt y βp define el subespacio nulo de la matriz Ωe:

Ωe βt = Ωe βp = 0 (10.7)


De este modo, los movimientos de rotación del elemento terminal del mani-pulador, en el caso de estar permitidos, son generados únicamente por entradaspertenecientes al subespacio al que pertenece la componente βr:

ωe = Ωe βr (10.8)

Por conveniencia, haremos un cambio en la base de entradas rotacionales, lascuales generarán cualquier vector de entradas capaz de producir movimientosque impliquen rotación en el elemento terminal del manipulador

βr =FR∑i=1

ηri · βri =

[βr1 · · · βrFR

] ηr1...

ηrFR

=

= Br ηr

(10.9)

donde los vectores βri definirán una base ortonormal del subespacio rotacionalde entradas, el cual produce las FR rotaciones independientes, siendo por estarazón la matriz Br una matriz ortogonal:

BTrBr = I (10.10)

En la ecuación (10.9) aparece por vez primera el término ηr, denominadovector de entradas modales correspondientes al modo de movimiento rotacionaldel elemento terminal del manipulador. Nótese que ηr representa un vector FRdimensional de entradas que producen exclusivamente movimientos de rotación.

De este modo, en términos de estas velocidades modales, el subespacio ro-tacional de salida, caracterizado por el vector ωe, puede ser expresado como

ωe = Ωe βr = ΩeBr ηr =

=[Ωe β

r1 · · · Ωe β

rFR

] ηr1...

ηrFR

=

=[ψr1 · · · ψrFR

] ηr1...

ηrFR

=

=FR∑i=1

ηri ·ψri = Ψηr

(10.11)


donde la matriz Ψ agrupa los vectores velocidad angular ψri que generaránel subespacio de posibles rotaciones del elemento terminal del manipulador,expresado en términos de las velocidades modales ηr2.

A partir de la ecuación (10.11), podemos formular la expresión del elipsoidede velocidad angular como

‖ωe‖2 = ηTr ΨT Ψηr (10.12)

donde ‖ωe‖ define la norma euclídea del vector ωe producido por una entradaηr o, de forma idéntica, por cualquier componente βr perteneciente al subes-pacio rotacional de entradas.

Para definir una base de las diferentes posibilidades de movimiento de ro-tación, los vectores ψri serán escogidos de tal forma que se correspondan concada uno de los ejes principales de este elipsoide de velocidad angular3, y asig-nados a cada vector de la base estándar de entradas modales ηr. Recordandola expresión (10.9), se puede observar como los vectores ψri no serán vectoresunitarios, sino que su norma euclídea será igual a la longitud de su eje principalde elipsoide de velocidad angular asociado.

10.3.2. Modo TraslacionalEl siguiente paso tiene por objetivo determinar los posibles movimientos de

traslación que el elemento terminal del robot podría realizar. Recordando lasrelaciones (10.7), las componentes βt y βp serían las encargadas de generarcualquier movimiento de traslación en dicho elemento. Sin embargo, ya que βppertenece al subespacio de entradas que no producen movimientos de salida, eltérmino pt será generado únicamente por la componente βt:

pt = Vp βt + Vp βp = Vp βt (10.13)

Hagamos nuevamente un cambio de base, semejante al hecho en el casoanterior

βt =FT∑i=1

ηti · βti =

[βt1 · · · βtFT

] ηt1...

ηtFT

=

= Bt ηt

(10.14)

2Los vectores ψri definen una base ortogonal del subespacio imagen de Ωe, mientras lasentradas βri que los generan definen una base ortonormal del subespacio imagen de ΩT

e .3Este elipsoide degenerará en una elipse plana o una única dirección en el caso de que

únicamente dos o un GDL de rotación estén permitidos.


donde los vectores βti definirán una base ortonormal del subespacio de entradastraslacionales, el cual producirá las FT traslaciones independientes que el ma-nipulador es capaz de realizar, siendo por esta causa Bt una matriz ortogonal:

BTt Bt = I (10.15)

En la ecuación (10.14) aparece por vez primera el término ηt, denominadovector de velocidades modales correspondientes al modo de movimiento trasla-cional del elemento terminal del manipulador. Nótese que ηt define un vectorFT dimensional de entradas que producen movimientos de traslación exclusi-vamente.

Esto permite que podamos expresar la componente de traslación del ele-mento terminal del manipulador como:

pt = Vp βt = VpBt ηt =

=[Vp β

t1 · · · Vp β

tFT

] ηt1...

ηtFT

=

=[υt1 · · · υtFT

] ηt1...

ηtFT

=

=FT∑i=1

ηti · υti = Υt ηt

(10.16)

De este modo, la matriz Υt agrupa los vectores traslacionales υti, que gene-rarán el subespacio de posibles movimientos de traslación del elemento terminaldel manipulador, en términos del vector de entradas modales ηt.

A partir de la ecuación (10.16), podemos formular la expresión del elipsoidede traslación en términos de las velocidades modales ηt como

‖pt‖2 = ηTt ΥTt Υt ηt (10.17)

donde ‖pt‖ define la norma euclídea del vector pt producido por una entrada ηto, de forma idéntica, por cualquier componente βt perteneciente al subespaciotraslacional de entradas.

Para definir la base de los posibles movimientos de traslación, los vectoresυti se escogerán asignados a cada uno de los ejes principales del elipsoide de


traslación4, correspondiendo estos vectores a cada uno de los vectores de la baseestándar de entradas ηt. Recordando la expresión (10.14), se puede observarque los vectores υti no son vectores unitarios, siendo su norma euclídea igual ala longitud de su eje principal asignado.

10.3.3. Modo PasivoEn un caso completamente general, es perfectamente posible la existencia de

valores no nulos de la componente βp, la cual generará movimientos en otroselementos del manipulador pero no en su extremo terminal. De este modo,una vez determinado el subespacio de entradas pasivas en el que se encuentrala componente βp, el cual define el modo pasivo del manipulador, podemosemplear la expresión (9.5) para definir qué elementos se mueven cuando elelemento terminal se mantiene en reposo:

xp = Vβp (10.18)

En una posición no singular, la componente βp se encontrará en el subes-pacio vacío. Únicamente en el caso de manipuladores redundantes, o cuandoaparecen singularidades relacionadas con el problema inverso o singularidadesde Increased Instantaneous Mobility (ver apartado 12.6), la componente βp seencontrará en un subespacio no vacío. En singularidades del problema inversose pierden algunas de las diferentes posibilidades de movimiento del elementoterminal del manipulador, rotacionales o traslacionales, sin ser alterado los FGDL del manipulador, lo que implica que aparecerán vectores no nulos en elsubespacio de entradas pasivas. En las singularidades IIM (Altuzarra et al.,2004) que no son constraint singularities5 también aparecen este tipo de mo-vimientos pasivos (ver apartado 12.6.1), ya que el espacio del movimiento del

4Este elipsoide degenerará en una elipse plana o una única dirección cuando únicamenteestén permitidos dos o un GDL de traslación.

5Normalmente la comunidad científica considera las singularidades de tipo IIM como lacoalescencia de ambos tipos de singularidad I y II, según la clasificación mostrada en la re-ferencia (Gosselin y Angeles, 1990). Sin embargo, las singularidades IIM aparecen cuando elvalor de F aumenta instantáneamente en estas posiciones, sin que esto esté relacionado concúales son las entradas y salidas del mecanismo. Por tanto, las singularidades IIM puedendeterminarse únicamente a partir del estudio de una ecuación de velocidad completa deltipo de (8.45), incluyendo no sólo los términos de entradas y salidas del mecanismo, sinotambién los términos pasivos, y no cuando las singularidades de tipos I y II aparecen simul-táneamente. Las Constraint Singularities son un subconjunto de singularidades IIM, en lascuales el elemento terminal del manipulador también adquiere algunas de las posibilidadesde movimiento adicionales que el mecanismo completo adquiere.


mecanismo aumenta sin aumentar simultáneamente las posibilidades de movi-miento de su elemento terminal.

Un ejemplo de este caso, en el que aparecen posibilidades de movimientopasivas es el presentado en la Fig. 10.2, donde las tres cadenas cinemáticas delmanipulador paralelo 3 − URU DYMO (Zlatanov et al., 2002) pueden rotarindependientemente a pesar de que su plataforma no pueda moverse.

Figura 10.2: Rotaciones pasivas de las cadenas cinemáticas en una singularidadIIM del manipulador paralelo multioperacional 3− URU

10.4. Determinación del Patrón de Velocidades

El patrón de velocidades de un manipulador (Hirschhorn, 1988) define lascapacidades de movimiento instantáneas de su extremo terminal, esto es, susmodos de movimiento y las direcciones en las que éstos están permitidos.

Las capacidades de movimiento de rotación definirán las FR direccionesindependientes que la velocidad angular del elemento terminal del manipuladorpuede adoptar, las cuales pueden obtenerse a partir de la expresión (10.11).

Las capacidades de movimiento de traslación definirán las FT traslacionesindependientes que el elemento terminal del manipulador puede realizar, lascuales pueden obtenerse a partir de la expresión (10.16).

10.4. Determinación del Patrón de Velocidades 321

Por un lado, y a pesar que el patrón de velocidades define una cualidad denaturaleza instantánea, el número y el tipo de sus grados de libertad son, engeneral, constantes a lo largo del espacio de trabajo del manipulador. De hecho,cuando estas características varían instantáneamente, es un hecho inequívocode que el manipulador ha alcanzado una posición singular. Sin embargo, lasdirecciones de rotación y traslación permitidas del manipulador son a menudovariables con la posición.

Siguiendo el razonamiento anterior, cualquier movimiento posible del ele-mento terminal del manipulador puede ser expresado de la forma siguiente:

ωe = Ωe βr (10.19)p = pr + pt = Vp βr + Vp βt (10.20)

En el caso de la componente de p generada por las entradas rotacionales,esto es pr, podemos realizar un desarrollo similar al realizado en la ecuación(10.16)

pr = Vp βr = VpBr ηr =

=[Vp β

r1 · · · Vp β

rFR

] ηr1...

ηrFR

=

=[υr1 · · · υrFR

] ηr1...

ηrFR

=

=FR∑i=1

ηri · υri = Υr ηr

(10.21)

donde los vectores υri agrupados dentro de la matriz Υr generan la componentede la velocidad del punto P producidas por las entradas modales ηr.

Esta última consideración, junto con las expresiones (10.11) y (10.16), per-miten expresar de forma general las ecuaciones (10.19) y (10.20) de la formasiguiente:

ωe = Ψηr (10.22)p = pr + pt = Υr ηr + Υt ηt (10.23)

Deducido a partir del Teorema de Mozzi (1763), la versión infinitesimal delTeorema de Chasles (1830), dado un sólido realizando un movimiento de natu-raleza general, un conjunto de sus puntos situados sobre una recta realizarán


idénticos desplazamientos de magnitud mínima, siendo esa recta y la direcciónde este desplazamiento de mínima magnitud paralelas al eje de rotación queestaría involucrado. A consecuencia de esto, se puede determinar que la proyec-ción del vector velocidad de cualquier punto perteneciente al elemento terminaldel manipulador sobre su velocidad angular es invariante:

τ = ωTe p (10.24)

Ya que la velocidad de magnitud mínima del elemento terminal del mani-pulador es paralela a su velocidad angular, se puede afirmar que

pmin = hωe (10.25)

siendo h el valor del paso del movimiento general / helicoidal realizado.Entonces, el valor invariante τ puede ser también expresado como

τ = hωTe ωe = h ‖ωe‖2 (10.26)

En términos de las entradas modales, la expresión (10.24) puede ser reescritatambién de la forma siguiente:

τ = ωTe p = ηTr ΨTΥr ηr + ηTr ΨTΥt ηt (10.27)

De este modo, a partir de la ecuación anterior, es posible realizar una cla-sificación de los diferentes tipos de movimiento que el elemento terminal delmanipulador es capaz de realizar, clasificación basada en el valor de sus entra-das modales ηr y ηt.

10.4.1. Movimiento de Traslación PuraEn caso de que el vector de entradas modales ηr tenga valor nulo

ηr = 0

o, de idéntica forma, cuando la componente βr pertenezca al subespacio vacío,el elemento terminal del manipulador realizará movimientos de traslación paracualquier valor no nulo del vector de entradas modales ηt

ηt 6= 0

ya que únicamente el modo traslacional estará involucrado en su movimiento.Esta consideración implica

ωe = Ψηr = 0 (10.28)p = pt = Υt ηt (10.29)


Debido a esto, el valor del invariante τ es nulo en cualquier caso:

ηr = 0 ∀ηt 6= 0 ⇔ τ = 0 (10.30)

Un ejemplo de manipulador con un patrón de velocidades exclusivamentetraslacional es el mostrado en la Fig. 10.3, el robot paralelo Orthoglide (Pash-kevich et al., 2005), de estructura cinemática 3− PRPaR. En ella se muestracomo el elipsoide de traslación permite observar la existencia de una direcciónpredominante en el movimiento.

Figura 10.3: Elipsoide de traslación del manipulador paralelo Orthoglide


10.4.2. Movimiento Rotacional GeneralEn el caso de que el vector de entradas modales ηt tenga valor nulo

ηt = 0

o, idénticamente, cuando la componente βt pertenezca al subespacio vacío,el elemento terminal del manipulador realizará movimientos de rotación paracualquier valor no nulo del vector de entradas modales ηr

ηr 6= 0

un movimiento que puede ser bien helicoidal (de paso no nulo) o bien unarotación pura. Esta consideración nos conduce a las siguientes expresiones

ωe = Ψηr (10.31)p = pr = Υr ηr (10.32)

En este caso, el invariante τ puede ser expresado de la forma siguiente

τ = ωTe pr = hr ‖ωe‖2 (10.33)

donde hr es el valor del paso debido exclusivamente al modo rotacional delmanipulador, valor que, en este caso, posee el mismo valor que el paso delmovimiento general h. En términos de las entradas modales, la ecuación (10.33)puede reescribirse como

τ = ηTr ΨT Υr ηr = hr ηTr ΨTΨηr (10.34)

Para poder realizar una rotación pura, h = hr = 0, la siguiente condicióndebería poder cumplirse:

τ = 0

ωTe pr = 0⇔ ∃ηr tal que ηTr ΨT Υr ηr = 0 (10.35)

Sin embargo, a la vista de la expresión (10.34), no es posible obtener cual-quier valor del paso hr para una dirección de ωe dada, debido a que existe unarelación unívoca entre ambos hr y ωe. Esto es, cualquier dirección posible delvector ωe está ligada con un único valor del paso hr, ya que ambos pueden serdefinidos como función dependiente de forma única de las entradas modales ηr.Para poder determinar qué rango de valores del paso hr están permitidos, esnecesario realizar otro tipo de análisis, como se mostrará en el apartado 10.5.

A modo de ejemplo, en la Fig. 10.4 se muestra el robot paralelo 3 − RPS(Huang y Wang, 2001) dispuesto de tal forma que es capaz de realizar movi-mientos rotacionales, pero no únicamente esféricos.


Figura 10.4: Hiperboloide de paso hr = 0 del manipulador paralelo 3 − RPSen la configuración estudiada

10.4.3. Movimiento GeneralEn el caso de que ambos vectores de entradas modales ηt y ηt tengan valores

no nulos

ηt 6= 0ηr 6= 0

el elemento terminal del manipulador realizará un movimiento de tipo gene-ral, en el que se combinen movimientos de tipo rotacional con otros de tipotraslacional. En este caso, el valor τ puede expresarse como

τ = ωTe p = ωTe pr + ωTe pt (10.36)

que, en términos de las entradas modales, queda de la forma siguiente:

τ = ηTr ΨT Υr ηr + ηTr ΨT Υt ηt (10.37)


Recordando las expresiones (10.26) y (10.33), la ecuación (10.36) representa:

h ‖ωe‖2 = hr ‖ωe‖2 + ωTe pt (10.38)

Las capacidades de movimiento rotacional del elemento terminal del mani-pulador vienen dadas por el modo rotacional, definido por el vector velocidadangular ωe, vector que está intrínsicamente ligado a un único valor del pasohr, según se demostró previamente. Estas capacidades de movimiento son lasque proporcionan al manipulador la capacidad de realizar movimientos de na-turaleza helicoidal. En el momento que aparecen capacidades de movimientotraslacionales, el movimiento helicoidal generado por el modo rotacional puedeser modificado, no sólo pudiéndose variar el valor de paso resultante h una vezque se ha podido obtener la magnitud traslacional pt apropiada, sino tambiénpudiendo cambiar la posición del eje del movimiento, aunque no su dirección.

Para poder obtener un movimiento helicoidal en una determinada direccióndada por el vector ωe de paso arbitrario h, la ecuación (10.38) puede expresarsecomoh

ωTe pt = (h− hr) ‖ωe‖2 (10.39)

La ecuación anterior puede enunciarse como: Un movimiento helicoidal depaso h en la dirección de ωe puede obtenerse sí y sólo sí un movimiento detraslación se produce simultáneamente, cuya proyección sobre el vector ωe seaigual a (h− hr) ωe.

Para poder obtener una rotación pura en la dirección deseada, h = 0, lacondición que se ha de cumplir se obtiene de forma inmediata:

ωTe pt = −hr ‖ωe‖2 (10.40)

Como el lector puede observar, la condición anterior se cumple de forma evi-dente cuando hr = 0 y pt = 0. En cualquier otro caso, la geometría instantáneadel movimiento determinará si es posible cumplir los anteriores supuestos.

10.5. Principal Screws

El enfoque clásico basado en la Screw Theory clasifica las propiedades delmovimiento de sólido rígido de F GDL, definido como un F -screw system,obteniendo los que son conocidos como sus principal screws. Estos screws sonlos que definen definen las direcciones del movimiento con valores extremos delpaso h.

10.5. Principal Screws 327

Empleando los conceptos aquí presentados posible calcular estos principalscrews. El procedimiento presentado en esta sección puede separar de formasencilla los movimientos de traslación de los de rotación, gracias a las entradasmodales del elemento terminal del manipulador. Ya que los principal screwsasociados a los movimientos de traslación (de paso infinito) ya han sido sepa-rados de los de paso finito, queda por dar es determinar los principal screwsrelacionados con los movimientos exclusivamente rotacionales.

El paso asociado a este tipo de movimientos, denominado hr, queda definidoa partir de la expresión (10.33) como

hr = ωTe pr‖ωe‖2

(10.41)

Ya que el valor de hr no depende de la norma euclídea del vector ωe (verapartado 10.4.2), la expresión (10.41) puede ser reducida imponiendo la si-guiente condición:

‖ωe‖2 = 1 (10.42)

De este modo, la ecuación (10.41) puede expresarse como

hr = ωTe pr (10.43)

que en términos de las entradas modales queda en la siguiente forma:

hr = ηTr ΨTΥr ηr (10.44)

Ya que los principal screws definen las direcciones de rotación asociadosa valores extremos del paso, todos los valores que puedan obtenerse deberánestar incluidos entre sus valores mínimo y máximo. Debido a esto, el cálculode los principal screw puede ser planteado como un problema de optimización.Considerando la ecuación (10.42) como la ecuación de restricción

‖ωe‖2 = ηTr ΨTΨηr = 1 (10.45)

la función lagrangiana asociada a la función (10.44) puede ser expresada como

L (ηr, hp) = ηTr ΨTΥr ηr + hp

(1− ηTr ΨTΨηr

)(10.46)

donde hp es su multiplicador de Lagrange asociado.


De este modo, podemos obtener los valores extremos de la función (10.44)a partir de las ecuaciones siguientes:

∂L

∂ηr= 0 (10.47)

∂L

∂hp= 1− ηTr ΨTΨηr = 0 (10.48)

Realizando la derivada (10.47) obtenemos la siguiente relación:

∂L

∂ηr= ΨTΥr ηr + ΥT

r Ψηr − 2hpΨTΨηr = 0 (10.49)

Definiendo la matrizA = ΨTΥr (10.50)

y su respectiva parte simétrica

As = 12(A + AT

)(10.51)

es posible expresar la ecuación (10.49) como

∂L

∂ηr= 2As ηr − 2hpΨTΨηr = 0 (10.52)

De este modo, el problema queda reducido a la resolución del siguienteproblema de valores y vectores propios generalizado[

As − hpΨTΨ]pηr = 0 (10.53)

donde los valores hp pueden ser obtenidos a partir de la ecuación característica∣∣∣As − hpΨTΨ∣∣∣ = 0 (10.54)

y las entradas modales pηr se obtienen como los vectores propios que verificanla ecuación de restricción (10.45). Volviendo a la expresión (10.44), se verificaque

hr = ηTr Aηr = ηTr As ηr (10.55)

debido a que hr se obtiene como una forma cuadrática en términos de lasentradas modales ηr. Ya que cada entrada modal pηr ligada a un principal

10.6. Propiedades de los Principal Screws 329

screw verifica las ecuaciones (10.45) y (10.53), la sustitución de pηr en la formacuadrática (10.55) conduce a

hr = pηTr Aspηr = hp

pηTr ΨTΨ pηr = hp (10.56)

Según se puede deducir a partir de la relación (10.56), los valores hp obteni-dos a partir de la ecuación (10.54) son, de hecho, los valores del paso asociadoa los principal screws relacionados con las capacidades de movimiento rotacio-nales. La sustitución de los autovectores pηr en la expresión (10.31) permiteobtener la dirección del principal screw, mientras que su posición podrá ob-tenerse a partir de la expresión (10.32). Este último punto será explicado enmayor detalle en el apartado 10.7.

De este modo, el problema de valores y vectores propios (10.53) permitecalcular de forma simultánea los principal screws asociados a los movimientosrotacionales y sus respectivos pasos asociados.

10.6. Propiedades de los Principal Screws

Las propiedades conocidas del problema de valores y vectores propios gene-ralizado nos permitirá proponer demostraciones alternativas de las propiedadesya conocidas de los principal screws (Ball, 1900).

10.6.1. Límites Inferior y Superior del Paso del MovimientoLa ecuación (10.41), expresada como

hr = ηTr AηrηTr ΨTΨηr

= ηTr As ηrηTr ΨTΨηr

(10.57)

representa de hecho el Cociente de Rayleigh asociado al problema de valores yvectores propio generalizado anterior.

Empleando las entradas modales asociadas a los principal screws pηr comobase

ηr =FR∑i=1

pηri · ζri =

=[pηr1 · · · pηrFR

] ζr1...

ζrFR

=

= Γpζr

(10.58)


la expresión (10.57) se puede expresar de una forma más compacta

hr = ζTrHζrζTr ζr

= 1ζTr ζr

FR∑i=1

ζ2ri hpi (10.59)

debido a que se verifican las siguientes igualdades

ΓT ΨTΨΓ = IΓT ΨTΥrΓ = H

donde I es la matriz identidad y H es una matriz diagonal cuyos elementosson los pasos principales hpi asociados a cada principal screw.

De este modo, la ecuación (10.59) demuestra que los límites superior einferior de los pasos rotacionales vienen definidos por los valores máximo ymínimo de los pasos principales.

La existencia de capacidades de movimiento traslacionales puede modificarestos límites, desde h = −∞ a h = +∞. Sin embargo, este hecho dependede la dirección en la que éstas están definidas. Esto hace que no sea posiblegarantizar la existencia de screws con valores continuos del paso.

10.6.2. OrtogonalidadConsiderando dos principal screws asociados con las entradas modales pηri

y pηrj , con pasos principales hpi y hpj de valores diferentes

Aspηri = hpi Ψ

TΨ pηri

Aspηrj = hpj Ψ

TΨ pηrj(10.60)

Premultiplicando las anteriores expresiones por pηTrj ypηTri respectivamente

podemos obtener las siguientes expresiones:

pηTrj Aspηri = hpi

pηTrj ΨTΨ pηri (10.61)

pηTri Aspηrj = hpj

pηTri ΨTΨ pηrj (10.62)

Restando las ecuaciones (10.61) y (10.62), y recordando la simetría de lamatriz As, es posible obtener(

hpi − hpj)pηTri Ψ

TΨ pηrj = 0 (10.63)

10.6. Propiedades de los Principal Screws 331

Generalmente, ya que los valores de hpi y hpj no son idénticos, se verificala ortogonalidad de las entradas modales pηri y

pηrj con respecto a la matrizΨTΨ:

pηTri ΨTΨ pηrj = 0 (10.64)

Teniendo en cuenta la expresión (10.31), las direcciones de los principalscrews quedan definidas a partir de las siguientes expresiones:

iωe = Ψ pηrijωe = Ψ pηrj

(10.65)

Entonces, lo que en verdad representa la expresión (10.64) es la ortogo-nalidad de las direcciones de los principal screws asociadas a pasos de valordiferente:

iωTejωe = 0 (10.66)

La existencia de principal screw de pasos idénticos implica la aparición de unconjunto de screws linealmente dependientes dotados todos ellos de un mismovalor de paso, a partir de los cuales siempre podrían definirse dos screws dedirecciones ortogonales.

10.6.3. ConcurrenciaSustituyendo la ecuación (10.64) en la expresión (10.62), la ortogonalidad

de las entradas principales pηri y pηrj con respecto a la matriz As quedademostrada:

pηTri Aspηrj = 0 (10.67)

Los vectores ip y jpj definirán las denominadas velocidades principales delpunto P , esto es, las velocidades que este punto tendría considerando que elmovimiento definido por cada principal screw se está realizando.

ip = Υrpηri

jp = Υrpηrj

(10.68)

El producto escalar iωTe jp puede ser expresado de la forma siguiente:iωTe

jp = pηTri Apηrj (10.69)

Expandiendo la matriz A en sus formas simétrica y antisimétrica

A = As + Ass (10.70)


el producto escalar iωTe jp tiene por valor

iωTejp = pηTri Ass

pηrj (10.71)

De idéntica forma, el producto escalar jωTe ipi puede ser también expresadocomo

jωTeip = pηTrj Ass

pηri =

= −pηTri Asspηrj =

= −iωTe jp

(10.72)

Por otro lado, los vectores ip y jpj pueden ser determinados a partir de lapropia relación de campo de velocidades del sólido

ip = hpiiωe + iωe × (p− ci)

jp = hpjjωe + jωe × (p− cj)

(10.73)

siendo ambos vectores ci y cj los vectores de posición de dos puntos cualquierasituados a lo largo de los principal screws i y j respectivamente, siendo p elvector de posición del punto P .

Multiplicando escalarmente las anteriores expresiones por los vectores iωey jωe llegamos a las siguientes relaciones:

iωTejp = (p− cj)T

(iωe × jωe

)jωTe

ip = (p− ci)T j(ωe × iωe

) (10.74)

Por tanto, sustituyendo las anteriores expresiones en la ecuación (10.72) yreordenando obtenemos

(p− cj)T(iωe × jωe

)= − (p− ci)T

(jωe × iωe

)(ci − cj)T

(iωe × jωe

)= 0 (10.75)

De este modo, la expresión (10.75) demuestra que los puntos definidos porlos vectores ci y cj se encuentran situados sobre un mismo plano. Lo quees lo mismo, demuestra que los principal screws, aparte de ser ortogonales,concurren en un punto común.

Considerando las capacidades de movimiento traslacionales, según J. Phi-llips muestra en su libro (Phillips, 1984), los screws relacionados con este tipo

10.7. Screw Systems 333

de movimientos pueden ser considerados como situados en el infinito y orto-gonales a la dirección del movimiento, o en algún otro lugar más cercano yparalelo a la dirección del movimiento. Aunque quizás la primera considera-ción sea la más aceptada, la posterior puede ser también asumida. Esto haríaque la concurrencia de los principal screws de paso infinito estuviera tambiénjustificada.

10.7. Screw Systems

Para proporcionar una información completa del movimiento instantáneoque es capaz de realizar el elemento terminal, es de gran utilidad proporcionaralgún tipo de información visual, como recalca Hunt en (Hunt, 2003), espe-cialmente en el emplazamiento y dirección de los principal screws y los screwsystems generados.

El eje instantáneo en el screw system del elemento terminal del manipuladorpuede ser obtenido a partir de la siguiente ecuación paramétrica

c− p = ωe × pωTe ωe

+ λωe (10.76)

donde el vector c representa un punto genérico del eje, siendo λ su parámetroasociado.

Si sustituimos las expresiones (10.22) y (10.23) en la ecuación del eje (10.76),es posible obtener la posición de cualquier eje instantáneo en términos de lasentradas modales. Esto nos permitirá representar bien los principal screws unavez han sido calculados, o bien el screw system al completo.

En el caso de un robot capaz de realizar únicamente movimientos de tras-lación, las posibles direcciones del mismo pueden ser obtenidas y representadasde forma sencilla.

En el caso de un robot capaz de realizar únicamente movimientos de ro-tación, es conocido que su screw system viene definido a partir de diferenteshiperboloides asociados a cada valor del paso hr (Hunt, 1978) limitados porsus límites superior e inferior. De este modo, podemos dibujar cada uno delos ejes instantáneos del movimiento definido por cada posible dirección derotación, calculando por medio de la ecuación (10.44) su valor del paso hr aso-ciado. Como ejemplo, en la Fig. 10.5 se presenta el screw system completo delmanipulador paralelo 3-RPS con patrón de velocidades 3R0T .

En el caso de manipuladores con capacidades de movimiento de rotación ytraslación, debe notarse la posibilidad de obtener ejes instantáneos para una


Figura 10.5: Screw system del manipulador paralelo 3R0T 3−RPS

misma dirección de ωe asociados a diferentes valores del paso h, según muestrala ecuación (10.39). En este caso, para determinar dónde se encuentran todoslos ejes instantáneos, definiendo una superficie reglada asociada al paso h, elprocedimiento seguido será el siguiente:

1. Cualquier dirección posible de rotación se podrá obtener a partir de unvalor unitario del vector de entradas modales ηr.

2. Para cada una de estas direcciones, se obtendrá el valor del paso hr.

3. Los valores de ηt se calcularán a partir de la expresión (10.39). En funciónde la naturaleza del movimiento, tres casos diferentes podrán aparecer:

a) No existencia de solución, lo que implica que no existirá ningún ejeinstantáneo de paso h en la dirección definida por ηr.

b) Una única solución, lo que significa existirá que un único eje instan-táneo de paso h en la dirección de rotación estudiada.

c) Infinitas soluciones, lo que implica la existencia de infinitos ejes ins-tantáneos de paso h en la dirección de rotación estudiada, los cualesdefinirán un plano o el espacio completo de ejes paralelos en fun-ción de la existencia de un conjunto simple o doblemente infinito desoluciones.

10.8. Clasificación de las Capacidades de Movimiento 335

Este proceso, realizado computacionalmente, permitirá obtener toda la in-formación gráfica posible relacionada con los posibles movimientos que el ele-mento terminal del manipulador podrá realizar.

Figura 10.6: Screws de paso h = 0 del manipulador paralelo 3-RPS, definiendouna radiación de rectas asociadas a una solución única solución (Caso 3b) y unplano de ejes paralelos ligado a un conjunto simplemente infinito de solucionescorrespondientes a una única dirección de rotación instantánea (Caso 3c)

10.8. Clasificación de las Capacidades de Movimiento

Finalmente, una vez los modos de movimiento instantáneos de un robot ma-nipulador han sido determinados y completamente definidos, puede establecerseuna clasificación práctica de los mismos. En la literatura aparecen diferentes


clasificaciones de las propiedades del movimiento de sólido rígido, como son lasmostradas en las referencias (Gibson y Hunt, 1990a,b; Rico y Duffy, 1992c,a,b).Sin embargo, estas clasificaciones se basan principalmente en la naturaleza desus principal screws, lo que nos da una clasificación puramente teórica del mo-vimiento.

Uno de los propósitos buscados en la realización de este Capítulo era la deproponer una clasificación con un contenido más práctico de las capacidadesde movimiento que un robot podía ofrecer en una posición determinada. Laclasificación queda determinada a partir del siguiente razonamiento:

1. El primer paso determinará la movilidad, los F GDL del manipulador enuna posición dada del mismo.

2. El siguiente paso se centra en cómo su elemento terminal se puede moveren dicha posición, siendo éste considerado como una parte del mecanismocompleto. Según se mostró en el apartado 10.3, FR, FT y FP definiránel número de grados de libertad de rotación, traslación y pasivos que suextremo terminal posee en la posición estudiada, los cuales verifican lasiguiente relación:

F = FR + FT + FP (10.77)

a) Por un lado, centrados en las capacidades de movimiento de ro-tación, las direcciones de rotación independientes y el elipsoide derotación ofrecerán toda la información del modo de movimiento ro-tacional del elemento terminal, esto son, sus direcciones permitidasy su factor de amplificación en cada dirección.

b) Por otro lado, centrados en las capacidades de movimiento de tras-lación, las direcciones de traslación independientes y el elipsoide detraslación proporcionarán toda la información relacionada con elmodo traslacional del elemento terminal, sus direcciones permitidasy su factor de amplificación en cada dirección.

c) Por último, el modo pasivo completará las capacidades de movimien-to instantáneas de un robot manipulador, considerado éste como unsistema global.

3. La determinación de los principal screws permite obtener la completacaracterización de las capacidades de movimiento del manipulador.

4. Finalmente, toda esta información puede ser empleada para respondera la siguiente pregunta: ¿Puede el elemento terminal del manipulador

10.9. Movimiento Relativo 337

realizar un movimiento helicoidal de paso h instantáneamente en unadirección dada? La determinación de screw systems y la localización delas superficies regladas asociadas a un valor del paso h responderán a estapregunta.

De este modo, todos estos conceptos y entidades pueden ser agrupados enforma de tabla, con objeto de caracterizar completamente el movimiento que escapaz de ofrecer un robot manipulador, tal y como se muestra en la Tabla 10.1.

Capacidades de MovimientoGDL instantáneos F

ModosModo Rotacional FRModo Traslacional FT

Modo Pasivo FPPrincipal Screws Direcciones de principales del paso

pηrScrew Systems Rango de valores de h

Superficies de paso h Localización de ejes instantáneos

Tabla 10.1: Diferentes entidades que definen las capacidades de movimientoinstantáneas que puede ofrecer el manipulador

10.9. Movimiento Relativo

En los apartados anteriores hemos podido observar el análisis correspon-diente a determinar las capacidades de movimiento que un robot manipula-dor podía ofrecer. Sin embargo, estos estudios fueron realizados considerandoexclusivamente como referencia el elemento fijo. En ocasiones cada vez másfrecuentes, para la realización de determinadas aplicaciones no se emplea unúnico mecanismo o robot, sino que se busca obtener el movimiento deseado apartir del movimiento combinado de dos mecanismos.

A medida que se buscan movimientos más complejos y con un mayor nú-mero de GDL, la complejidad de las arquitecturas de robots necesarias va enaumento, así como su control. Esto hace que se planteen diferentes alternativasa partir de manipuladores de estructuras más sencillas que, combinados, permi-tan obtener el movimiento deseado a partir de sus movimientos relativos. Por


tanto, la necesidad de caracterizar el movimiento relativo entre dos elementossurge como otro punto a tratar.

Consideremos por tanto el movimiento relativo del elemento terminal, de-nominado mediante la letra e, respecto a otro elemento f cualquiera. El movi-miento relativo de dicho elemento e respecto del elemento f vendrá determinadoa partir del término de velocidad angular relativa del elemento e respecto delelemento f , y del término de la velocidad relativa de un punto P pertenecienteal elemento e. Dichas expresiones ya nos son conocidas

ωrel fe = ωe − ωf (10.78)

prel f = p− a − ωf × (p− a) (10.79)

siendo ωf el vector velocidad angular del elemento f , y a y a los vectoresposición y velocidad de un punto A perteneciente a dicho elemento f .

El estudio del movimiento relativo entre dos manipuladores diferentes me-diante el enfoque tradicional llevaría consigo el tener que plantear la ecuaciónde velocidad para ambos elementos terminales e y f de ambos manipuladores,lo que supondría una complejidad adicional. Sin embargo, empleando la for-mulación jacobiana basada en puntos, este inconveniente es salvado de formamuy sencilla.

Para ello, volveremos a apoyarnos en el concepto del espacio del movimiento,representado por las ecuaciones (9.5) y (9.15). A partir de ambas expresionespodemos obtener toda la información relativa a los términos que aparecen enlas expresiones (10.78) y (10.79):

ωrel fe = Ωe β −Ωf β (10.80)

prel f = Vp β −Va β + PapΩf β (10.81)

Agrupando los términos podemos obtener las ecuaciones del movimientorelativo del elemento e respecto del elemento f de la forma siguiente:

ωrel fe = Ωrel f

e β (10.82)prel f = Vrel f

p β (10.83)

siendo las matrices Ωrel fe y Vrel f

p obtenidas de la forma siguiente:

Ωrel fe = Ωe −Ωf (10.84)

Vrel fp = Vp −Va + PapΩf (10.85)

10.9. Movimiento Relativo 339

De este modo, a partir de las expresiones (10.82) y (10.83) se puede realizarde forma análoga a la vista en apartados anteriores la caracterización modaldel movimiento relativo entre los elementos e y f .

La Fig. 10.7 muestra el ejemplo de la plataforma Verne, desarrollada por elcentro tecnológico Fatronik. Esta plataforma paralela tiene la peculiaridad deque por sí sola es capaz de ofrecer movimientos de tipo 1R2T. Para conseguirdesarrollar los movimientos de un centro de mecanizado, la aplicación para laque ha sido desarrollada, la pieza se coloca sobre una mesa rotativa dotada de2 GDL de rotación. De este modo, a través del movimiento relativo entre elelemento terminal del manipulador y la mesa rotativo, se consiguen desarrollarlos 5 GDL buscados

Elemento terminal

Mesa rotativa

Figura 10.7: Principal screws asociados al movimiento relativo entre elementos


10.10. Caracterización del Movimiento de un Punto

En ocasiones, el movimiento de salida de un robot manipulador puede queno venga definido mediante el movimiento de un elemento completo, sino quequizás sólo haga referencia al movimiento de un punto determinado del mismo.Es por esto que se debe incluir en este punto una referencia a este supuesto.

El movimiento de un único punto P del mecanismo queda definido a partirde la expresión obtenida de la ecuación de campo de velocidades (9.5), tal ycomo ya se vio en apartados anteriores:

p = Vp β (10.86)

La expresión anterior define una transformación de un espacio de entradas,de dimensión F , a un espacio de dimensión 3, por lo que la matriz Vp será enel caso más general una matriz rectangular.

En la caracterización del movimiento de un punto P perteneciente al me-canismo no tiene sentido hablar de traslaciones o rotaciones, ya que no se estáhaciendo referencia al movimiento de un determinado elemento, sino que úni-camente tendrán importancia dos factores:

En primer lugar, el conocer cuáles son las direcciones en las que dichopunto P puede moverse;

y en segundo lugar, el determinar cuáles son las direcciones más favorablesal movimiento, esto es, conocer las direcciones en las que, para un valorde entrada semejante, se obtenga la mayor amplificación posible en lasalida.

Todos estos datos vienen definidos a partir la noción de elipsoide de veloci-dad. Considerando un vector de entradas β de norma euclídea unidad

‖β‖2 = βTβ = 1 (10.87)

el elipsoide de velocidad representa el módulo de las velocidades de salida en elpunto P a partir de entradas verificado esta condición. Por tanto, a partir dela expresión (10.86), podemos obtener la expresión del elipsoide de velocidadde un punto de la forma siguiente

pT p = βTVTpVp β (10.88)

expresión que nos permitirá visualizar de forma gráfica las direcciones predo-minantes del movimiento movimiento del punto P o, de igual modo, la amplifi-cación o atenuación del movimiento producido por unas entradas de un módulodado.

10.10. Caracterización del Movimiento de un Punto 341

De idéntica forma se podrá realizar el estudio del movimiento de un Prelativo a un elemento f del sistema mecánico global. Tal y como se mostróen el apartado 10.9, la expresión del movimiento relativo de este punto vienedado por la expresión

prel f = Vrel fp β (10.89)

por lo que la obtención del elipsoide de velocidad relativa del punto es inme-diata:

prel f Tprel f = βTVrel f Tp Vrel f

p β (10.90)

Como ejemplo, la Fig. 10.8 muestra el elipsoide de velocidad del puntoterminal del manipulador paralelo plano 2−RR.

Figura 10.8: Elipsoide de velocidad


10.11. Empleo de las Entradas Físicas

Quizás un pero que se le podría poner al desarrollo hasta ahora expuestoes la falta de relación de los movimientos de salida que pudieran obtenerse conlos movimiento de entrada físicos que sería necesario introducir. Sin embargo,este posible inconveniente puede ser salvado de forma muy sencilla.

Del mismo modo que se planteó el movimiento de salida del manipulador, elmovimiento de entrada del manipulador puede expresarse en función del vectorde velocidades generalizadas β como

q = Qβ (10.91)

siendo Q la matriz que agrupa los vectores del espacio de movimiento proyec-tados al espacio de las entradas.

Empleando las tres componentes ortogonales de β podríamos aplicar deeste modo un razonamiento completamente análogo al mostrado a lo largo delapartado 10.3

q = Qβr +Qβt +Qβp == qr + qt + qp

(10.92)

obteniendo que cada modo de movimiento del elemento terminal del manipula-dor tiene su correspondiente movimiento en las entradas físicas del mecanismo.

Empleando las relaciones (10.9) y (10.14), podemos obtener de forma equi-valente la expresiones de las componentes qr y qt en función de las entradasmodales ηr y ηt de la forma siguiente:

qr = QBr ηr == Ξr ηr

(10.93)

qt = QBt ηt == Ξt ηt

(10.94)

De este modo, teniendo un elemento terminal con una distribución de FRmovimientos independientes de rotación, FT movimientos independientes detraslación y FP movimientos pasivos, cabe esperar que las entradas físicas qfuesen capaces de generar todos estos movimientos. Sin embargo, en el caso deencontrarnos en una singularidad del problema directo, para la realización deun movimiento determinado en el elemento terminal del robot, definido por elvector de velocidades generalizadas β, pudiera darse el caso que

q = Qβ = 0 (10.95)

10.11. Empleo de las Entradas Físicas 343

esto es, el movimiento podría realizarse aún cuando las entradas físicas delmecanismo estuviesen bloqueadas, si se escogen adecuadamente otros acciona-mientos.

Debido a esto, en el paso del espacio de velocidades generalizadas β alespacio de las velocidades de entrada q, aún tratándose de espacios de idénticadimensión F , puede no existir correspondencia entre los diferentes subespacios.Expresado de otra manera, las entradas físicas, las encargadas de controlar elmovimiento, puede que no sean capaces de realizar todos los movimientos quea priori el extremo terminal del manipulador puede realizar, por el hecho deencontrarse en una posición singular. Este aspecto se profundizará durante elCapítulo 12.

Un aspecto a destacar es la posible distorsión existente a la hora de obtenerlos elipsoides característicos del movimiento, consideradas como entradas lasvelocidades generalizadas β, las entradas modales o las entradas físicas q.

Por su propia definición, los elipsoides característicos del movimiento mues-tran la transformación en salida correspondiente a entradas de módulo unidad.En el caso del elipsoide de rotación, la entrada considerada sería la componenterotacional βr:

βTr βr = 1 (10.96)

Recordando la relación (10.9), es inmediato obtener

βTr βr = ηTrBTrBrηr = ηTr ηr = 1 (10.97)

por la propia definición de la matriz Br.Sin embargo, considerando el vector de entradas físicas no es posible obtener

esta misma relaciónqTr qr = ηTr ΞT

r Ξrηr (10.98)

ya que la matriz Ξr no posee en el caso general la ortogonalidad que poseía lamatriz Br:

ΞTr Ξr 6= I (10.99)

De forma análoga, en el caso del elipsoide de traslación se obtendrían lassiguientes relaciones. En este caso, la entrada considerada viene restringida porla siguiente condición:

βTt βt = 1 (10.100)

Recordando la relación (10.14), es inmediato obtener

βTr βt = ηTrBTt Btηt = ηTt ηt = 1 (10.101)


por la propia definición de la matriz Bt.Sin embargo, considerando el vector de entradas físicas no es posible obtener

qTt qt = ηTt ΞTt Ξtηt (10.102)

ya que la matriz Ξt no verifica en el caso general la relación (10.15):

ΞTt Ξt 6= I (10.103)

En el caso del elipsoide de velocidad de un punto las consideraciones sonlas mismas. Considerando como relación la expresión (10.87), y recordando laexpresión (10.91) obtenemos

qT q = βTQTQβ (10.104)

expresión que representaría el elipsoide de velocidades de entrada y que, comoes de esperar, no verifica la expresión

QTQ 6= I (10.105)

Esta razón es la que explica la distorsión existente al considerar el vector deentradas físicas q en lugar del vector de entradas generalizadas β o los vectoresde entradas modales ηr o ηt.

10.12. Consideraciones sobre el Movimiento Finito

Las consideraciones hasta aquí realizadas en la caracterización del movi-miento que puede ofrecer un robot manipulador se han centrado exclusivamen-te en las características instantáneas del mismo, no pudiendo efectuarse con-sideraciones adicionales sobre si estos movimientos infinitesimales tienen susequivalentes en el movimiento finito del mecanismo sin antes realizar análisisadicionales.

Para realizar este paso deberemos retomar lo expuesto a lo largo del aparta-do 9.4, en el que se analizó la compatibilidad de los movimientos infinitesimalesen la ecuación de aceleración del mecanismo.

Centrados en determinar las capacidades de movimiento finitas del elementoterminal del manipulador, deberíamos comprobar si los movimientos infinite-simales para los cuales existía movimiento de salida, denominados como βe,expresados en en términos de las entradas modales

βe = βr + βt == Br ηr +Bt βt

(10.106)

10.13. Determinación de Capacidades de Aceleración Máximas 345

son compatibles con la ecuación de aceleración del mecanismo en cualquiercaso. Por el contrario, en el caso que esto no fuese posible, deberíamos de-terminar cuáles serían los desplazamientos realmente compatibles, siguiendo elrazonamiento expuesto en el apartado 9.4.

10.13. Determinación de Capacidades de AceleraciónMáximas

En los apartados anteriores se realizó la caracterización modal de las capaci-dades de movimiento que un manipulador podía llegar a ofrecer. Estos análisisestaban basados fundamentalmente en las relaciones de primer orden (velocida-des). La introducción de los elipsoides característicos del movimiento permitióno sólo comprender el movimiento de determinados elementos y puntos del sis-tema mecánico, sino determinar cuáles eran las direcciones más favorables delmovimiento, la dirección asociada al semieje principal del elipsoide de mayorlongitud.

Sin embargo, cuando se habla de las posibilidades que un determinado ma-nipulador es capaz de ofrecer, frecuentemente aparece mencionado el términode aceleración máxima que es capaz de alcanzar. Esta característica viene deter-minada fundamentalmente por el comportamiento dinámico del manipulador,un campo que queda fuera del alcance de los problemas tratados en esta TesisDoctoral. Sin embargo, sin entrar en consideraciones dinámicas es posible plan-tearse una pregunta: ¿Existen arquitecturas de manipuladores más favorablesque otras para este motivo? ¿Cómo se puede llegar a determinar esto?

Para realizar esto quizás la forma más sencilla sea estudiar cuál es la ace-leración máxima que un punto determinado puede experimentar. Para ello,deberemos plantear la ecuación de aceleración del punto P , obtenida a partirde extraer las filas correspondientes a dicho punto de la ecuación de campo deaceleraciones (9.23)

p = pp + Vp γ (10.107)

donde el término pp se corresponde al vector aceleración normal del punto P .Según se muestra en la ecuación (10.107), la aceleración del punto P de-

pende de dos factores: uno dependiente en forma cuadrática de la velocidad delpropio punto, y otro dependiente del término de aceleraciones generalizadas γ.

El término de aceleración normal pp sirve como dato al problema de acelera-ciones y, por tanto no se podría actuar sobre él en este punto. Sin embargo, conobjeto de obtener la máxima aceleración posible en el punto P , es convenienteobtener el valor máximo posible de esta componente normal.


A partir de la información obtenida de los elipsoides de velocidad de dichopunto es posible determinar cual sería la velocidad máxima de P , expresadade la forma siguiente

pmax = Vp βmax (10.108)siendo βmax el vector de velocidades generalizadas correspondiente al semiejede mayor longitud del elipsoide de velocidad del punto P .

Con estos resultados es posible resolver la ecuación de aceleración (8.54) yobtener el término pp correspondiente a dicho campo de velocidades, términoque puede expresarse de la forma siguiente

pp = ‖βmax‖2 · cp (10.109)

donde el vector cp es un vector de unidades[L−1] en la dirección normal a la

trayectoria definida por βmax.Una vez definidos estos datos, es necesario pasar al análisis de la ecuación

de aceleración del punto P , con objeto de obtener cuál sería la aceleraciónmáxima que dicho punto podría alcanzar. Para ello, es necesario obtener cuáles el módulo del vector p:

pT p = ppT pp + γT VTpVp γ + 2 ppT Vp γ (10.110)

A partir de la expresión (10.110), es evidente llegar a la conclusión de quea mayor valor del término de aceleraciones generalizadas γ se obtendría unmayor valor de aceleración en el punto P . Sin embargo, con objeto de limitareste punto y, ya que no es tan importante obtener cuál será esa aceleraciónmáxima sino conocer cuál es la mayor amplificación que se puede obtener,impondremos la siguiente condición:

‖γ‖2 = γTγ = 1 (10.111)

A partir de esta condición, la cuál es análoga a la empleada en la formula-ción del elipsoide de velocidad, nos permite plantear cuál es la interpretacióngeométrica de la ecuación anterior. Tal y como se muestra en la figura Fig. 10.9,la aceleración del punto P puede ser obtenida a partir de los puntos de la super-ficie del elipsoide de aceleración tangencial, idéntico al elipsoide de velocidad,desplazado del punto P en la dirección del vector pp.

El planteamiento de la obtención de la aceleración máxima del punto Pse realizará como un problema de optimización de la función pT p a la que sele ha impuesto la ecuación de restricción (10.111). De este modo la funciónlagrangiana puede expresarse como

L (γ, µ) = ppT pp + γT VTpVp γ + 2 ppT Vp γ + µ

(1− γTγ

)(10.112)


pp p

Vp γ

P

Figura 10.9: Determinación de la aceleración p máxima

El problema de la optimización de la función anterior queda planteada através de

∂L

∂γ= 0 (10.113)

∂L

∂µ= 1− γTγ = 0 (10.114)

Desarrollando la primera de las ecuaciones anteriores podemos plantear

∂L

∂γ= 2VT

pVp γ + 2VTppp− 2µγ = 0 (10.115)

que simplificada y reordenada se reduce a(VTpVp − µ I

)γ = −VT

ppp (10.116)

La expresión anterior define un sistema lineal de ecuaciones a partir del cualpodría obtenerse el valor del vector de aceleraciones generalizadas, una vez seconoce el valor del multiplicador de Lagrange µ, siempre y cuando µ no sea unvalor propio de la matriz VT

pVp.


Para obtener el valor de µ, multiplicaremos escalarmente ambos miembrosde la expresión (10.116) por el vector γ, obteniéndose

γTVTpVp γ − µγTγ = −γTVT

ppp (10.117)

la cual, recordando la restricción (10.111), permite obtener la expresión de µ:

µ = γTVTpVp γ + γTVT

ppp (10.118)

la cual es a su vez función del vector de aceleraciones generalizadas γ. Portanto, la resolución de este problema es claramente no lineal.

Sin embargo, la resolución iterativa de este problema no lineal puede hacersede forma bastante sencilla:

1. El proceso se iniciaría a partir de un valor γ0 unitario, obteniéndose unvalor µ0 a partir de él.

2. Resolución del sistema de ecuaciones lineales (10.116) para la obtenciónde un valor γ1.

3. Normalización del valor γ1 y comienzo del proceso nuevamente

4. El proceso iterativo se detendrá cuando∥∥γk+1 − γk∥∥

‖γk‖< ε (10.119)

siendo ε un valor de tolerancia suficientemente pequeño.

En único inconveniente que surge es el relacionado con las unidades delvector pp. Ya que todos los demás términos que aparecen en las diferentes ex-presiones son términos adimensionales, es necesario que el vector pp sea tam-bién adimensional. Para ello, vector de velocidades generalizadas produciendola dirección de la velocidad máxima se escogerá de tal forma que su móduloverifique

βTmax βmax = lc (10.120)

siendo lc el término de longitud característica ligado al elementos al cual seencuentra unido el punto P .

El caso de la determinación de las capacidades de aceleración máximas delelemento terminal, lineares y angulares, de un manipulador es un caso bastante


semejante al anterior. El estudio pasaría en analizar la ecuación de aceleraciónde dicho elemento, la cual puede expresarse como

αe = Ωe γ (10.121)p = pp + Vp γ (10.122)

Si hacemos una analogía entre los términos de velocidad y aceleración, yempleamos el concepto de entradas modales nuevamente, las expresiones ante-riores podrían reescribirse de la siguiente manera:

αe = Ψ ηr (10.123)p = pp + pr + pt = pp + Υr ηr + Υt ηt (10.124)

donde los términos ηr y ηt se corresponden con las componentes de aceleraciónde las entradas modales.

Si consideramos la expresión (10.123) y su clara similitud con la corres-pondiente expresión de la velocidad angular (10.22), la dirección en la quese conseguiría la aceleración angular máxima queda perfectamente conocida,ya que es la correspondiente con el semieje mayor del elipsoide de velocidadangular.

Por tanto, el siguiente paso sería conocer las capacidades de traslación má-ximas del elemento terminal e. Como ya es conocido, la traslación del elementoe se produce bajo los supuestos expuestos en el apartado 10.4.1, junto con suscorrespondientes expresiones en términos de aceleración:

ηr = 0 ηt 6= 0

Esto hace que la expresión de la aceleración del punto P durante el movi-miento de traslación se reduzca a

p = pp + pt = pp + Υt ηt (10.125)

Como puede observarse, la expresión (10.125) es prácticamente idéntica ala ecuación (10.107), por lo que el procedimiento de obtención de las capacida-des de traslación máximas del elemento e serán totalmente equivalentes a lasanteriormente descritas en este apartado.

11

Análisis Estático

11.1. Introducción

El análisis estático de un manipulador consiste en determinar la relación deequilibrio existente entre las fuerzas de entrada y las de salida bajo condicionesde sólido rígido y en ausencia de fuerzas gravitatorias. Empleando el principiode las potencias virtuales (Tsai, 1999), podemos plantear de forma genérica lasiguiente expresión de la potencia del sistema

P = υTi ψi − υTo ψo = 0 (11.1)

donde ψi es definido como el vector de fuerzas de entrada, y ψo es definido comoel vector de fuerzas de salida, siendo los términos υi y υo los correspondientes alos términos de velocidad de entrada y salida sobre los cuales actúan las fuerzasde entrada y salida. De este modo, ambos vectores ψi y ψo estarán referidos alos parámetros cinemáticos de entrada y salida elegidos.

Según se mostró en el apartado 9.5.1, ambos vectores υi y υo pueden serexpresados a partir de sus correspondientes componentes del espacio del movi-miento de la forma siguiente:

υi = UTi β (11.2)

υo = UTo β (11.3)

De esta forma, sustituyendo las expresiones anteriores (11.2) y (11.3) en laexpresión (11.1) podemos obtener la siguiente ecuación

βTUiψi − βTUoψo = 0 (11.4)

351

352 Análisis Estático

la cual, sacando factor común al vector de velocidades generalizadas β, quedaescrita de la forma siguiente:

βT (Uiψi −Uoψo) = 0 (11.5)

Es evidente que la expresión (11.5) debe ser verificada para cualquier valordel vector de velocidades generalizadas β, por lo que es absolutamente necesarioque se verifique la siguiente igualdad:

Uiψi = Uoψo (11.6)

La relación (11.6) permite a su vez plantear una consideración adicional.Dicha expresión presenta una igualdad entre los esfuerzos de entrada y salida.Equivalentemente, podemos escribir (11.6) introduciendo un nuevo vector enla igualdad, el denominado vector de fuerzas generalizadas φ:

Uiψi = Uoψo = φ (11.7)

Según se puede observar,por la propia definición de ambas matrices Ui y Uo,el vector φ presenta necesariamente unidades de fuerza. Sin embargo, quizás apartir de las anteriores relaciones no seamos capaces de ver su significado. Paraello deberemos regresar al comienzo de este apartado, en donde aparecía elpropio enunciado del principio de los trabajos virtuales (11.1). Dicha expresiónrepresenta matemáticamente la igualdad que ha de existir entre la potenciaintroducida al mecanismo Pi y la potencia resultante a la salida Po bajo lasuposición de que no existen rozamientos ni pérdidas de energía

Pi = Po (11.8)

donde las expresiones de ambos términos de potencia se obtienen de formainmediata:

Pi = υTi ψi (11.9)Po = υTo ψo (11.10)

Sustituyendo en las ecuaciones (11.9) y (11.10) las expresiones que definenlos términos de entrada (11.2) y (11.3) respectivamente obtenemos las expre-siones de la potencia de entrada y de salida:

Pi = βTUiψi (11.11)Po = βTUoψo (11.12)

11.2. Caracterización Estática del Movimiento de un Robot Manipulador 353

Recordando la expresión (11.7) es inmediato obtener la siguiente relación:

Pi = Po = βTφ (11.13)

De este modo, la potencia a la entrada, de valor idéntico a la potenciade salida, es obtenida como el producto escalar entre el vector de velocidadesgeneralizadas β y el vector φ. Por tanto, se llega a la conclusión de que elvector φ representa el vector de fuerzas generalizadas a cada vector de la basedel movimiento.

11.2. Caracterización Estática del Movimiento de unRobot Manipulador

En este apartado continuaremos empleando los aspectos vistos en la carac-terización modal del movimiento que podría generar un robot manipulador ensu elemento terminal, punto tratado en el Capítulo 10, tratando trasladar estosconceptos a la determinación de las características estáticas del mismo.

Considerando la potencia generada en el elemento terminal e del manipu-lador, ésta tiene por expresión

Po = ωTe m + pT f (11.14)

siendo f el vector resultante de fuerzas aplicadas sobre el elemento terminal ym el vector resultante de momentos aplicados sobre el elemento respecto delpunto P .

Sin embargo, es frecuente que, dependiendo del modo de movimiento queesté realizando el manipulador, las solicitaciones estáticas que pueden ser re-queridas varíen de un caso a otro. De este modo, en este apartado iremosestudiando los diferentes casos correspondientes.

11.2.1. Modo RotacionalEstando el manipulador realizando operaciones correspondientes al modo

de movimiento rotacional, es de suponer que el manipulador deba hacer frenteexclusivamente a momentos aplicados sobre su extremo terminal, siendo devalor nulo la resultante de fuerzas aplicadas sobre el mismo. De este modo, losvectores de cargas aplicadas en este supuesto quedarían expresados como

m 6= 0f = 0


De este modo, la expresión de la potencia necesaria a la salida para hacerfrente a este tipo de esfuerzos quedaría reducida a

Po = ωTe m (11.15)

Según se vio en el apartado 10.3.1, las direcciones en las que el vectorvelocidad angular ωe está definido, esto es, las direcciones en las que es posibleel movimiento angular del elemento terminal del manipulador, son dependientesde la posición, pudiendo haber por tanto, direcciones en las cuales este vectorno pueda estar definido, siendo su componente nula en esas direcciones. En casode aplicar un momento en esa dirección exclusivamente, la potencia resultantesería obviamente nula, lo que implicaría que los accionamientos no soportaríanninguna carga, sino que toda esta sería soportada por la propia estructura delrobot. De este modo, teóricamente, la carga aplicada en estas direcciones podríaalcanzar valores infinitos, supuesta la indeformabilidad de los elementos queforman parte del robot. Nuestro objetivo es estudiar exclusivamente aquellosesfuerzos que el mecanismo es capaz de soportar en la salida generando potenciamecánica.

Recordando la expresión (10.8), la potencia resultante en la salida puedeser expresada como

Po = βTr ΩTe m (11.16)

la cual, empleando el vector de entradas modales ηr puede expresarse como

Po = ηTr ΨTm (11.17)

Conceptualmente hablando, el vector de velocidades generalizadas βr esequivalente al vector de entradas modales ηr, por lo que, recordando la expre-sión (11.13), es posible identificar el siguiente término:

ΨTm = φ (11.18)

De este modo, a partir de la ecuación anterior es posible obtener la expresióndel elipsoide de momentos del modo rotacional:

mTΨΨTm = φTφ = ‖φ‖2 (11.19)

La particular ecuación del elipsoide de momentos del modo rotacional haceque guarde una gran relación con el elipsoide de velocidad angular, expresadomediante la ecuación (10.12):

11.2. Caracterización Estática del Movimiento de un Robot Manipulador 355

Ambos elipsoides tendrán sus ejes principales orientados de la mismaforma.

Sin embargo, la longitud de dichos ejes principales no será la misma. Deeste modo, denominando como ω a la longitud asociada a un semieje delelipsoide de velocidad angular, el semieje paralelo al anterior correspon-diente al elipsoide de momentos tendrá como longitud 1/ω.

La consecuencia de este razonamiento es evidente: en aquellas direccionesque el mecanismo ofrezca una mayor amplificación de la velocidad angular en lasalida, el mecanismo podrá hacer frente a unos momentos de menor magnitudque en aquellas direcciones en las que la amplificación de velocidad sea menor.

La Fig. 11.1 muestra el ejemplo de la plataforma Gough-Stewart en sudisposición octahédrica, mostrando conjuntamente el elipsoide de momentoscorrespondiente a la posición analizada, mostrando a su vez el elipsoide develocidad angular en su interior.

11.2.2. Modo TraslacionalEstando el manipulador operando en su modo traslacional, podemos supo-

ner de forma análoga al caso anterior que, en este caso, el elemento terminaldel manipulador soportará exclusivamente fuerzas sobre él

m = 0f 6= 0

con lo que la expresión de la potencia de salida quedará reducida a la siguienteexpresión:

Po = pT f (11.20)Del mismo modo que en el caso anterior y según se muestra en el apartado

10.3.2, las direcciones en las que el vector velocidad p en su movimiento detraslación está definido son dependientes de la posición, pudiendo haber portanto, direcciones en las cuales este vector no pueda estar definido, siendo sucomponente nula en esas direcciones. En caso de aplicar una fuerza resultanteen esas direcciones, nuevamente la potencia resultante sería nula, lo que impli-caría que los accionamientos no soportarían ninguna carga, sino que toda estasería soportada por la propia estructura del robot. De este modo, teóricamen-te, la carga aplicada en estas direcciones podría alcanzar nuevamente valoresinfinitos, supuesta la indeformabilidad de los elementos que forman parte delrobot.


Figura 11.1: Elipsoide de momentos de la plataforma Gough-Stewart, con elelipsoide de velocidad angular en su interior

Bajo el modo de movimiento traslacional del manipulador la expresión dela velocidad del punto P quedaba expresada por medio de la ecuación (10.16),por lo que la potencia de salida Po puede expresarse en términos de las entradasmodales como

Po = ηTt ΥTt f (11.21)

De idéntica forma a la explicada en el punto anterior, a partir de la expresión(11.21) podemos identificar el siguiente término:

ΥTt f = φ (11.22)

Por lo tanto, a partir de la ecuación anterior podemos plantear la expresióndel elipsoide de fuerzas en traslación como

fTΥtΥTt f = φTφ = ‖φ‖2 (11.23)

Dicho elipsoide guarda con el elipsoide de traslación unas relaciones análo-gas a las mostradas en el punto anterior:

11.3. Elipsoide de Fuerza en un Punto 357


Sin embargo, la longitud de dichos ejes principales no será la misma. Deeste modo, denominando como pt a la longitud asociada a un semieje delelipsoide de velocidad angular, el semieje paralelo al anterior correspon-diente al elipsoide de momentos tendrá como longitud 1/pt.

La consecuencia de este razonamiento vuelve a ser análoga a la del casoanterior: en aquellas direcciones que el mecanismo ofrezca una mayor ampli-ficación de la velocidad lineal en la salida, el mecanismo podrá hacer frentea unas fuerzas de menor magnitud que en aquellas direcciones en las que laamplificación de velocidad sea menor.

Siguiendo con el ejemplo anterior de la plataforma Gough - Stewart, laFig. 11.2 muestra conjuntamente el elipsoide de momentos correspondiente ala posición analizada junto al elipsoide de traslación del mismo elemento en suinterior.

11.3. Elipsoide de Fuerza en un Punto

Pasando al caso posible de que los esfuerzos de salida se obtengan en un úni-co punto del mecanismo, es inmediato deducir que la expresión de la potenciade salida Po queda expresada en este caso como

Po = pT f (11.24)

siendo p la velocidad del punto P en el está aplicado la resultante de fuerzasf .

Según se vio en apartados anteriores, las direcciones en las que el vectorvelocidad p en su movimiento son dependientes de la posición, pudiendo ha-ber por tanto, direcciones en las cuales este vector no pueda estar definido,siendo su componente nula en esas direcciones. En caso de aplicar una fuerzaresultante en esas direcciones, nuevamente la potencia resultante sería nula, loque implicaría que los accionamientos no soportarían ninguna carga, sino quetoda esta sería soportada por la propia estructura del robot. De este modo,teóricamente, la carga aplicada en estas direcciones podría alcanzar nuevamen-te valores infinitos, supuesta la indeformabilidad de los elementos que formanparte del robot.


Figura 11.2: Elipsoide de fuerzas de la plataforma Gough-Stewart, con el elip-soide de traslación en su interior

Dejando a un lado estos casos, a partir de la expresión (10.86) la expresiónde la potencia de salida queda definida como

Po = βTVTp f (11.25)

Nuevamente, a partir de la expresión anterior, podemos identificar el si-guiente término:

VTp f = φ (11.26)

Por lo tanto, a partir de la ecuación anterior podemos plantear la expresióndel elipsoide de fuerzas asociado al punto P como

fTVpVTp f = φTφ = ‖φ‖2 (11.27)

11.3. Elipsoide de Fuerza en un Punto 359

Dicho elipsoide guarda con el elipsoide de velocidad del punto las siguienterelaciones:


Sin embargo, la longitud de dichos ejes principales no será la misma. Deeste modo, denominando como v a la longitud asociada a un semieje delelipsoide de velocidad angular, el semieje paralelo al anterior correspon-diente al elipsoide de momentos tendrá como longitud 1/v.

A modo de ejemplo, la Fig. 11.3 muestra el elipsoide de fuerza en corres-pondiente al manipulador paralelo plano, junto al correspondiente elipsoide develocidad, encerrando este segundo al primero en este caso.

Elipsoide de fuerza

Elipsoide de velocidad

Figura 11.3: Elipsoide de fuerza


11.4. Fuerzas de Restricción

Durante el Capítulo 10 se realizó la determinación de las capacidades de mo-vimiento que un robot manipulador podía ofrecer, determinando cuáles debíande ser las direcciones posibles de ese movimiento. Sin embargo, también era po-sible que el movimiento no pudiera realizar determinados tipos de movimientoen unas determinadas direcciones. En este apartado daremos una explicaciónconcreta a las razones que justifican que el mecanismo no pueda moverse enunas determinadas direcciones.

Cuando un elemento no puede moverse libremente por el espacio es debido ala existencia de unas fuerzas de restricción que, actuando sobre dicho elemento,impiden que se mueva de una forma determinada. Dichas fuerzas de restricciónvendrán determinadas nuevamente por dos términos, el vector de fuerzas derestricción f y el vector de momentos de restricción m. Ya que dichos esfuerzosimpiden moverse a un elemento en unas determinadas direcciones, es evidenteque la potencia resultante de estas fuerzas de restricción es nula:

Po = ωTe m + pT f = 0 (11.28)

A partir de la caracterización modal del movimiento ofrecido por el ma-nipulador era posible obtener dos resultados: las direcciones de rotación nopermitidas y las direcciones de traslación no permitidas.

En el caso de las direcciones de rotación no permitidas, es evidente que unmomento de restricción m puro debería existir en cada una de estas direcciones,los cuales verificarían la siguiente ecuación:

Po = ωTe m = 0 (11.29)

En el caso de las direcciones de traslación no permitidas, podemos deducirde forma sencilla que éstas eran causadas por la existencia de unas fuerzas derestricción f en estas direcciones. Sin embargo, únicamente con esta direcciónno quedarían definidas estas fuerzas de restricción, ya que desconoceríamos supunto de aplicación. Lo que es lo mismo, generarían un momento m respectoel punto P de un valor determinado. Por tanto, con objeto de definir completa-mente estas fuerzas de restricción, deberemos calcular para cada una de estasdirecciones de traslación no permitida, el momento m necesario para que unafuerza de restricción f verifique la ecuación (11.28). De este modo, el valor dem puede ser obtenido como

ωTe m = −pT f (11.30)

11.4. Fuerzas de Restricción 361

Sustituyendo en la ecuación (11.30) las expresiones (10.3) y (10.4) se obtienela siguiente expresión:

βTΩTe m = −βTVT

p f (11.31)

La expresión anterior se verificará para cualquier valor del vector de ve-locidades generalizadas β introducido, por lo que obligatoriamente se deberáverificar la siguiente ecuación:

ΩTe m = −VT

p f (11.32)

Así, una vez conocidas las direcciones independientes del vector de fuerzasde restricción f , a partir del sistema de ecuaciones lineales (11.32) podremosobtener su momento m asociado, el cual define la posición de aplicación de lafuerza.

A partir de los resultados anteriores es inmediato deducir que estas fuerzasde restricción pueden ser también representados como screws:[

0m

],

[fm

](11.33)

El conjunto de screws asociado a las fuerzas de restricción recibe el nombrede wrench. Una vez definido una base del mismo, la caracterización del mismomediante la obtención de sus principal screws se realizará de forma análoga ala vista anteriormente.

La Fig. 11.4 muestra como ejemplo los principal screws del wrench systemdel manipulado paralelo 3− PRS.


Figura 11.4: Wrench del manipulador paralelo 3-RPS

12

Singularidades

12.1. Introducción

Una vez resuelto el problema cinemático de velocidades se está en disposi-ción de realizar el análisis de singularidades del mecanismo que se está diseñan-do. El campo del análisis de singularidades de diferentes tipos de mecanismosestá teniendo una gran actividad como puede desprenderse del gran número dedocumentos publicados sobre este temática.

12.2. Definición

Sin embargo, antes de entrar en el análisis de singularidades de una formamás profunda es necesario comprender cuál es el concepto de singularidad en unmecanismo. De este modo, se puede definir comosingularidad o configuraciónsingular a aquellas configuraciones que pueden aparecer dentro del espaciode trabajo de un mecanismo en las que el número o la localización de lascoordenadas generalizadas que han de definir el movimiento del mecanismose ven alterados. Su aparición o existencia se produce por causas puramentegeométricas, por lo que serán únicamente debidas a la propia arquitecturadel mecanismo. Desde un punto de vista más práctico, lo que le ocurre almecanismo al entrar en una configuración de este tipo es la imposibilidad derealizar adecuadamente la misión para la cual fue diseñado, bien por no poderrealizar el movimiento que se desea, o bien porque el movimiento no puedellegar a ser controlado.

363

364 Singularidades

Para el correcto diseño de un manipulador, serie o paralelo o de cualquierotra arquitectura, es necesario conocer las configuraciones singulares existentesdentro de su espacio de trabajo, para poder definir correctamente cuál es elespacio de trabajo libre de singularidades en el que el manipulador podríatrabajar correctamente.

12.3. Clasificaciones

Antes de entrar en materia es necesario revisar cuáles han sido los tra-bajos previos en esta temática, con objeto de conocer las diferentes tipos desingularidades que pueden aparecer en un mecanismo de arquitectura general.

La primera clasificación que encontramos es la propuesta por Sugimoto,Duffy y Hunt (Sugimoto et al., 1982). Es una clasificación muy simple quedivide las singularidades en configuraciones estacionarias y configuraciones in-determinadas. Sin embargo, presenta la limitación de que únicamente clasificalas singularidades de mecanismos de cadena simple. A pesar de esto, esta cla-sificación se ha tenido en cuenta en muchas de las variaciones realizadas hastala fecha.

La clasificación realizada por Gosselin y Angeles en la referencia (Gosseliny Angeles, 1990) es quizás la clasificación más difundida internacionalmentee, indiscutiblemente, la primera que plantea el análisis de singularidades decarácter general en mecanismos de cadena cerrada. Es planteada a partir dela función implícita que es posible obtener entre los parámetros de entrada yde salida del mecanismo, la cual permite obtener una ecuación de velocidad enla que aparecen dos matrices jacobianas denominadas A y B, asociadas a losparámetros de entrada y salida respectivamente. A partir de la singularidadmatemática de estas dos matrices se pueden plantear tres tipos de singulari-dad: el Tipo I, ligado a la singularidad de la matriz jacobiana B, denominadasingularidad en el problema inverso; el Tipo II ligado a la singularidad de lamatriz jacobiana A, denominada singularidad en el problema directo; y la sin-gularidad de Tipo III, ligado a la singularidad simultánea de ambas matrices.Sin embargo, el hecho de que la ecuación de velocidad que se plantea no incluyareferencias a los términos de velocidad pasivos, diferentes de los parámetros deentrada y salida del mecanismo hace que no sea una clasificación completa.

La clasificación propuesta por Park y Kim (Park y Kim, 1999) introduceel concepto de singularidad en el espacio de configuraciones, además de lasanteriormente mencionadas singularidades en los problemas directo e inverso,partiendo de un enfoque basado en la geometría diferencial del mecanismo. Es-

12.4. Métodos de Detección de Singularidades 365

pecialmente plantea un consideración de gran interés acerca de la clasificaciónpropuesta por Gosselin y Angeles (Gosselin y Angeles, 1990), la cual radicaen que si los parámetros de entrada y salida no son escogidos adecuadamente,podrían producirse resultados matemáticamente inconsistentes.

Sin embargo, es la clasificación propuesta por Zlatanov, Fenton y Benhabiben las referencias (Zlatanov et al., 1998a,b) la que plantea el análisis de singu-laridades de una forma más general. Esta clasificación parte de introducir enel análisis las velocidades de los pares pasivos que las anteriores no incluían. Aconsecuencia de esto, esta clasificación distingue seis tipos diferentes de singu-laridades:

Redundant Input: Posición singular en la que a partir de unas entradasde valor no nulo se obtienen salidas de valor nulo, a pesar de que estasentradas sí producen movimiento en otros elementos.

Redundant Output: Posición singular en la que salidas de valor no nulopueden ser obtenidas a pesar de valores nulos de las entradas, siendoposible el movimiento en otros elementos no activos.

Impossible Input: Posición singular en la existen valores de entradas queno están permitidos por la propia geometría instantánea del mecanismo,como es el caso de las posiciones de bloqueo.

Impossible Output: Posición singular en la existen valores de salidas queno están permitidos por la propia geometría instantánea del mecanismo.

Increased Instantaneous Mobility: Posición singular en la que la movilidadinstantánea del mecanismo completo aumenta con respecto a una posiciónno singular.

Redundant Passive Motion: Posición singular en la que son posibles mo-vimientos pasivos del mecanismo sin que se produzca movimiento ni enlos términos de entrada ni en los de salida.

12.4. Métodos de Detección de Singularidades

Tal y como se ha mostrado en el apartado anterior, las singularidades vienenasociadas a la aparición de singularidades numéricas en las diferentes matricesjacobianas que definen el movimiento del sistema. Sin embargo, la detección de

366 Singularidades

estas singularidades va también íntimamente ligado al método escogido para elplanteamiento de la ecuación de velocidad.

Un primer intento es el de analizar de forma completamente analítica la pre-sencia de singularidades. Debido al hecho de que éstas surjan al aparecer unadeficiencia en el rango en una determinada matriz jacobiana u otra, cuya expre-sión había sido obtenida anteriormente de forma analítica, es posible obtenerla expresión en forma cerrada que se ha de verificar para la aparición de dichasingularidad, anulando por ejemplo la expresión del determinante de esa matrizjacobiana. Sin embargo, esto hace que a menudo no se perciba claramente elconcepto geométrico que ha llevado a esta singularidad.

Sin embargo, los términos que aparecen en estas matrices jacobianas tienena menudo una interpretación física mediante el empleo de la Screw Theory(Ball, 1900; Tsai, 1998a). En concreto, estos screws suelen representar las lí-neas de acción de las fuerzas y momentos que permiten colocar cada elementoen la posición que le corresponde a medida que se produce el movimiento delmecanismo completo. De este modo, la aparición de singularidades vendría aso-ciada a la degeneración de este sistema de screws, la cual puede ser estudiada amenudo de forma geométrica, ofreciéndonos así la interpretación física que an-dábamos buscando. En casos más complejos, la degeneración de estos sistemasde screws puede ser analizada mediante el empleo del Álgebra de Grassmann(Merlet, 1989).

El otro enfoque que es posible utilizar es el de determinar numéricamentela existencia o la cercanía a estas singularidades. Debido a la naturaleza nu-mérica de la formulación aquí desarrollada, este punto será descrito en mayorprofundidad en el apartado 12.9.

12.5. Clasificación

Debido a las peculiares características del procedimiento desarrollado enesta Tesis Doctoral no es posible relacionar directamente ninguna de las clasifi-caciones anteriormente realizadas, ya que éstas provienen de unas formulacionesdiferentes del problema.

La clasificación de las singularidades empleada en esta Tesis Doctoral semuestra en la Fig. 12.1, en la que podemos localizar de forma sencilla en quétérminos aparecen las singularidades que a continuación definiremos. En con-creto, bajo esta formulación, las configuraciones singulares pueden aparecerdebido a las siguientes causas claramente diferenciadas:

El mecanismo, dotado en una posición no singular de un valor f de mo-

12.5. Clasificación 367

Mecanismo / Manipulador

Gg x = 0 IIM CS

Espacio del MovimientoEntradas

Salidas

Modo Rotacional

Modo Traslacional

MPS

Modo Pasivo

DKPSalidaTipo I

DKPEntradaTipo II

Figura 12.1: Clasificación general de las singularidades en manipuladores

368 Singularidades

vilidad, puede alcanzar valores de su movilidad instantánea F en unaposición singular superiores. Esta singularidad estará relacionada con lasdeficiencias en el rango de la matriz jacobiana Gg, correspondiéndose alo que las clasificaciones mostradas en las referencias (Zlatanov et al.,1998a,b) denominan Increased Instantaneous Mobility singularity.

F > f (12.1)

El mecanismo poseerá unos actuadores concretos que, en una posición nosingular, serán capaces de controlar completamente su movimiento. Sinembargo, pueden existir singularidades en las que las entradas definidas,capaces de controlar un total de Fc GDL, no sean capaces de controlarinstantáneamente la movilidad completa F del sistema. Esta singularidadse corresponde a deficiencias en el rango de la matriz Q mostrada en laecuación (10.91). Esta singularidad se correspondería a la singularidadde Tipo II de la clasificación de Gosselin y Angeles, y a la singularidadRedundant Input de la clasificación de Zlatanov et al.

Fc < F (12.2)

El mecanismo está concebido para permitir instantáneamente Fo movi-mientos independientes de salida en una posición no singular1, valor quegeneralmente coincide con el valor de la movilidad F del mecanismo. Sinembargo, existen posiciones singulares en la que los movimientos inde-pendientes de salida disminuyen su valor con respecto a este valor F ,haciendo que no sea posible obtener la totalidad de movimientos de sali-da independientes que cabría esperar. Esta singularidad se corresponde adeficiencias en el rango de la matriz Q mostrada en la ecuación (10.91).Esta singularidad se correspondería a la singularidad de Tipo I de la cla-sificación de Gosselin y Angeles, y a la singularidad Redundant Outputde la clasificación de Zlatanov et al.

Fo < F (12.3)

1El movimiento de salida de un manipulador quedaría representado a partir de los valoresFR y FT vistos en el Capítulo 10 siendo, verificándose la siguiente igualdad:

FR + FT = Fo

12.6. Increased Instantaneous Mobility 369

Según se vio en el Capítulo 10, el movimiento de salida que puede ofrecerun manipulador no queda simplemente determinado con definir cuál esel valor Fo de salidas independientes que puede realizar, sino que entretodas estas opciones es necesario definir los FR movimientos de rotacióny los FT movimientos de traslación independientes que el manipuladorpuede realizar. En concreto, pudiera darse el caso de que aún perma-neciendo constante el valor Fo, se produjese una reestructuración de losmodos rotacional y traslacional del manipulador, variando el valor de FRy FT con respecto a una configuración no singular, valores que suelenpermanecer constantes. Este hecho conlleva la alteración de la naturalezade los posibles movimientos de salida, la cual puede hacer que no seaposible obtener instantáneamente un tipo de movimiento determinado.

12.6. Increased Instantaneous Mobility

Definida según esta formulación en la referencia (Altuzarra et al., 2004),cuando un mecanismo alcanza una configuración singular Increased Instanta-neous Mobility2 (IIM) el manipulador adquiere unas posibilidades de movi-miento superiores a las que, de acuerdo con la geometría de elementos y parescinemáticos que lo forman, debería tener. Esto lleva consigo el consiguienteaumento de los GDL del mecanismo. Analicemos cuáles son las causas que laproducen.

Las diferentes configuraciones que un mecanismo puede alcanzar han deverificar necesariamente la denominada ecuación de posición del mecanismo:

χ (x) = 0 (12.4)

χ1 (x)χ2 (x)

...χn (x)

=

00...0

(12.5)

La expresión (12.4) nos muestra una expresión vectorial en la que se agrupanlas n ecuaciones no lineales que definen la posición del mecanismo en cualquierinstante, las cuales establecen las relaciones existentes entre las diferentes varia-bles que definen la posición del mismo, englobadas dentro del vector x. Dichas

2Aumento instantáneo de la movilidad global del mecanismo.

370 Singularidades

ecuaciones, de un modo abstracto y conceptual, representan superficies sobrelas cuales deben encontrarse los puntos que definen el mecanismo. En caso deno encontrarse dichos puntos sobre estas superficies, las ecuaciones de posiciónno se verificarían, quedando el mecanismo desmontado.

Derivando respecto del tiempo la ecuación (12.4) se obtiene la llamadaecuación de velocidad (12.6):

J (x) x = 0 (12.6)

Matemáticamente se puede observar como la expresión (12.6) es simple-mente el producto de la matriz jacobiana J de la ecuación de posición (12.4)por el vector de velocidades x. Los conceptos básicos de Cálculo Infinitesimalnos permite afirmar que los términos que forman la matriz jacobiana genéricaJ obtenida de esta forma son de la forma siguiente:

J = ∂χ(x)∂x

=

∂χ1∂x1

∂χ1∂x2

· · · ∂χ1∂xn

∂χ2∂x1

∂χ2∂x2

· · · ∂χ2∂xn

......

. . ....

∂χn∂x1

∂χn∂x2

· · · ∂χn∂xn

(12.7)

Si recordamos la expresión del vector gradiente a estas superficies

∇χi =

∂χi∂x1∂χi∂x2...∂χi∂xn

i = 1, . . . n (12.8)

podemos observar cómo la matriz jacobiana J lleva en su interior los vectoresgradiente de cada una de las n superficies que definen la posición del mecanismo:

J(x(t)) =[∇χ1(x) ∇χ2(x) · · · ∇χn(x)

]T (12.9)

De este modo, la ecuación de velocidad (12.6) exige la ortogonalidad entrelos n vectores gradiente y el vector de velocidades lagrangianas:

∇χTi x = 0 i = 1, . . . n (12.10)

Debido a que los vectores gradiente∇χi son vectores normales a las superfi-cies χi, los campos de velocidades lagrangianas permitidos deben ser tangentes


a dichas superficies. Sin embargo, estas condiciones impiden el libre desplaza-miento de los elementos que definen el mecanismo, por lo que los vectores ∇χitambién poseen un significado físico muy claro, como es el definir la direcciónde las fuerzas de restricción del mecanismo.

Una vez hechas estas aclaraciones y comprendido el significado físico decada término de la expresión (12.6) se puede ya describir la singularidad IIM.Considerando que la ecuación de velocidad obtenida en nuestro desarrollo es lamatriz adimensional Gg, equivalente a la matriz jacobiana J que aparece en laecuación (12.6), para un determinado mecanismo se puede determinar cuál essu movilidad a lo largo de su espacio de trabajo, los f GDL que el mecanismoposee en una configuración no singular por la simple geometría de sus elementosy de sus pares cinemáticos.

Figura 12.2: Plataforma 6− URS en una singularidad IIM (F = 7)

Según vimos a lo largo del Capítulo 9, el espacio del movimiento de es-te mecanismo estaría definido generalmente mediante F vectores linealmente

372 Singularidades

independientes, verificándose en cualquier posición no singular

F = f (12.11)

sin que este valor F disminuya en ninguna de ellas. Estos F vectores verifican lacondición de ortogonalidad con los n vectores gradiente incluidos dentro de lamatriz Gg, de los que únicamente n−F resultan ser linealmente independientes.

Sin embargo en el espacio de trabajo del mecanismo podría darse el casode aparecer configuraciones características en las que el subespacio de fuerzasde restricción del mecanismo completo degenere, disminuyendo la dimensióndel mismo por debajo del valor anterior n − F , apareciendo de este modoun número de GDL instantáneamente superior al valor f de la movilidad delmecanismo. Por tanto, esta singularidad tiene por característica fundamentalla disminución del rango de la matriz jacobiana Gg.

Una característica fundamental es que sólo en aquellos mecanismos queincluyan cadenas cinemáticas cerradas pueden encontrarse configuraciones sin-gulares IIM dentro de su espacio de trabajo, ya que únicamente este tipo decadenas pueden capaces de relajar las restricciones que sus pares cinemáticosimponen al movimiento bajo unas determinadas condiciones geométricas.

La Fig. 12.2 muestra una singularidad de este tipo, en la que el manipulador6 − URS posee una 7 GDL instantáneos, ofreciendo su elemento terminal unmovimiento 2T3R.

12.6.1. Constraint Singularity

La singularidad denominada en la literatura especializada como constraintsingularity (Zlatanov et al., 2002; Zoppi et al., 2003) (CS)es definida como unsubconjunto de las singularidades IIM, en las que, además de aumentar la mo-vilidad instanténea F global de todo el mecanismo, el elemento terminal delmismo también sufre una alteración de sus capacidades de movimiento, pudien-do realizar, al menos de forma instantánea, movimientos que anteriormente, enconfiguraciones no singulares, no era capaz de realizar. Dicho de otro modo,en este tipo de singularidades se produce la relajación de las restricciones quelos diferentes pares cinemáticos y elementos del mecanismo imponían en otrasposiciones no singulares al movimiento de su elemento terminal.

Según se explicó en el apartado anterior 12.6, estas singularidades se pro-ducían por el relajamiento global de las restricciones del conjunto de elementosy pares que forman parte del mecanismo. El caso de las constraint singularities(CS) es completamente idéntico al anterior, añadiéndose la particularidad de


que este relajamiento de las restricciones afectará también al elemento terminaldel manipulador.

Como particularidad, este tipo de singularidades se puede dar en meca-nismos de cadena cerrada, siendo particularmente habitual su aparición enmanipuladores paralelos de baja movilidad.

Una vez detectado el aumento de la movilidad instantánea del manipuladorproducido por la aparición de la singularidad IIM, la comprobación de si éstatambién define una CS será realizada a partir de la descomposición en modosde movimiento del elemento terminal del manipulador, mostrado a lo largo delCapítulo 10. Dicho procedimiento es capaz de determinar las capacidades demovimiento instantáneas del mismo incluso en este tipo de singularidades. Lacomprobación consistirá en, una vez definidos los modos de movimiento instan-táneos del manipulador y obtenidos los valores de FR, FT y FP , en comprobarsi las capacidades de movimiento efectivas del manipulador, definidas a partirde han variado respecto a una configuración no singular.

A modo de ejemplo, la Fig. 12.3 muestra una singularidad de este tipo,en la que el manipulador posee una 6 GDL instantáneos en vez de de los 3GDL de traslación que el manipulador posee en su configuración más habitual.Sin embargo, es destacable que el elemento terminal mantiene una movilidadinstantánea de Fo de valor igual a 3 GDL, aunque diferente a la habitual, con2 GDL de traslación en direcciones paralelas al elemento terminal y 1 GDLde rotación en su dirección normal. Además, se puede observar cómo ningunade las 3 entradas del manipulador, definidas en los pares R fijos pueden seraccionados independientemente, por lo que es evidente la diferencia de estasingularidad con respecto a la singularidad de Tipo III mostrada en la referencia(Gosselin y Angeles, 1990).

La existencia de este tipo de singularidades permite a algunos tipos con-cretos de manipuladores paralelos, como los mostrados en la referencia (Konget al., 2007), la posibilidad de cambiar su patrón de movimiento.

12.6.2. Dependencia en los Parámetros Cinemáticos

En el caso de un mecanismo de movilidad definida por sus F GDL instan-táneos es evidente que, definidos F valores independientes, como pudieran serlos F valores de los actuadores del mecanismo, cualquier otro parámetro cine-mático, bien velocidad lineal, velocidad angular o velocidad relativa, quedaríainmediatamente definido. A la vista de los conceptos presentados a lo largodel apartado 9.5, una vez definido el valor de las F componentes del vector develocidades generalizadas β, cualquier parámetro υ quedaría definido a partir

374 Singularidades

Figura 12.3: Robot Delta en una constraint singularity (F = 6, con un patrónde velocidades en su elemento terminal de naturaleza 2T1R)

de la relación (9.51).Sin embargo, la definición de este vector de velocidades independientes β no

puede realizarse de forma directa, sino que es necesario pasar por la definiciónde unos parámetros físicos para poder definir su valor.

12.6.2.1. Singularidad en los Parámetros de Entrada

Consideremos en primer lugar el problema directo de velocidades, en el que,una vez definidos n valores de entrada q, se buscaría obtener el valor del vector


de velocidades generalizadas β por medio de la siguiente expresión:

q = Qβ (12.12)

Sin embargo, pudiera darse el caso de que la matriz Q que aparece en laexpresión anterior presentase deficiencia en su rango, esto es, fuese singular.Si pensamos de forma exclusiva en conceptos de Álgebra Lineal, la ecuación(12.12) no tendría solución. Considerando el caso más habitual de que n = F ,es evidente que la matriz inversa Q−1 no podría ser calculada. Sí, todo esto escorrecto. ¿Pero qué más conclusiones podríamos sacar de este supuesto?

El hecho de que la matriz Q sea singular implicaría también el hecho deque, a pesar de imponer unos valores de entrada nulos

q = 0

podríamos obtener movimientos del mecanismo, ya que podrían existir vectoresde entradas β0 no nulos pertenecientes al subespacio nulo de esta matriz:

q = Qβ0 = 0 β0 6= 0 (12.13)

Evidentemente, esto supondría la aparición de un movimiento incontroladoen el mecanismo de tal forma que, si introduciésemos valores no nulos de q enla ecuación (12.12) se obtiene como resultado un valor de β como

β = β0 + βc (12.14)

siendo el movimiento obtenido compuesto de una componente controlada βc yotra incontrolada β0.

La siguiente pregunta que cabría realizar es si las entradas introducidas sonrealmente independientes en la configuración singular o si, por el contrario,aparece una dependencia lineal entre ellos.

Por tanto supongamos que aparece esta dependencia lineal, la cual podríaser expresada a través de la siguiente relación:

F∑i=1

τi · qi = τT q = 0 (12.15)

Sustituyendo en la expresión anterior la ecuación (12.12) se obtiene la si-guiente igualdad:

τTQβ = 0 (12.16)

376 Singularidades

Figura 12.4: Plataforma 3− PRS en una singularidad del problema directo

Ya que la dependencia lineal debería aparecer independientemente del valorde β que se fuese a obtener, la siguiente relación debe cumplirse obligatoria-mente:

QT τ = 0 (12.17)

Debido a que la matriz Q es singular, podrán aparecer valores de los coefi-cientes de la combinación lineal τ no nulos que verifiquen la expresión anterior,lo que demuestra la aparición de la dependencia lineal anteriormente citada.

En conclusión, esta singularidad aparece porque los parámetros cinemáticosde entrada, elegidos como independientes, fruto de la geometría instantánea delmanipulador dejan de serlos, dejando de ser por tanto, unas coordenadas gene-ralizadas válidas. Esto implica que, eligiendo n parámetros de entrada que enesa posición fuesen linealmente independientes, el movimiento quedaría total-mente controlado, lo que supone que el mecanismo no adquiere GDL adicionalesen esa posición.

La Fig. 12.4 muestra de este modo una singularidad de este tipo, en la queel movimiento ofrecido por manipulador 3 − PRS no puede ser controlado enesta posición actuando sus tres pares prismáticos.


12.6.2.2. Singularidad en los Parámetros de Salida

La extensión de estos conceptos al problema inverso de velocidades es deeste modo inmediata, estando la dependencia cinemática asociada en este casoa la desaparición de capacidades de movimiento a la salida. Considerando ladescomposición en modos de movimiento expuesta en el Capítulo 10, la causaque provoca la aparición de esta singularidad es la redistribución de vectoresdel espacio formado por subespacios rotacional y traslacional de entradas, y elsubespacio pasivo (apartado 10.3).

Considerando únicamente el espacio de salidas, lo que se produce es la de-pendencia lineal entre algunos de los movimientos de salida que en una posiciónno singular eran independientes, lo que evidentemente hace que se verifique

Fo < F (12.18)

De este modo, lo que en el caso del problema directo de velocidades suponíala aparición de un movimiento incontrolado, en el problema inverso de veloci-dades supondrá la aparición de movimientos pasivos (ver apartado 10.3.3).

Sin embargo, aunque quizás pudiera parecer que esta singularidad no guar-da ninguna relación con la expuesta en el apartado anterior, ambas definen unconcepto cinemático equivalente. Esta singularidad aparece porque los pará-metros cinemáticos de salida, los cuales fueron elegidos y determinados comoindependientes, fruto de la geometría instantánea del manipulador dejan deserlos, dejando de ser por tanto, unas coordenadas generalizadas válidas.

La Fig. 12.5 muestra una singularidad de este tipo para el caso de la plata-forma 3−CRR desarrollada por la Universidad de Laval, en la que su elementoterminal ha perdido totalmente su movilidad. Sin embargo, esta no es la únicasingularidad existente en esta posición, ya que también existe una singularidaddel problema directo en esta posición3.

3Esta afirmación entra en conflicto con la ecuación de velocidad de este manipulador(Kong y Gosselin, 2002b), que tiene por expresión

I x = I q

A partir de esta expresión se deduciría que no existen singularidades en el espacio detrabajo del manipulador. Sin embargo, la frontera de su espacio de trabajo no esta librede singularidades. La no detección de estas singularidades es achacable a la no inclusión detérminos pasivos en la ecuación de velocidad.

378 Singularidades

Figura 12.5: Tripteron en una singularidad de los problemas directo e inverso

12.6.3. Transiciones en el Patrón de Velocidades

Un tipo de singularidad adicional a los anteriores puede también ser con-siderado, según se muestra en la referencia (Altuzarra et al., 2006b), la cualguarda cierta analogía con la singularidad del problema inverso.

Supongamos un determinado manipulador, diseñado para realizar un ti-po determinado de movimiento. Esta singularidad presenta el hecho de queel manipulador pueda perder instantáneamente la capacidad de realizar unmovimiento determinado, a pesar de que el número de movimientos de salidaindependientes Fo permanezca invariante.

Lo que se produce en este caso es la redistribución de vectores entre lossubespacios rotacional y traslacional de entradas (ver apartado 10.3), que ha-bitualmente son definidos como subespacios de dimensiones constantes, lo queprovoca en el espacio de salidas la transición entre los posibles movimientos derotación y traslación del manipulador.


Este tipo de singularidad, denominada en esta referencia como motion pat-tern singularity (MOS), está presente en manipuladores paralelos de baja mo-vilidad, aunque no exclusivo, ya que los robots serie también puede sufrirla.

Las transiciones en el patrón de velocidades rotación-traslación se producende forma paulatina. Físicamente se comprueba la degeneración progresiva delelipsoide de velocidad angular asociado al elemento terminal del manipulador.Sin embargo, este hecho es común a la singularidad del problema inverso enla que se pierden únicamente movimientos de rotación. Por ello, existen otrosvalores que resultan determinantes en esta transición.

Figura 12.6: Transición en el patrón de velocidades, mostrada a través de ladegeneración del elipsoide de velocidad angular

Para ello es necesario determinar los principal screws asociados al movi-miento de rotación (ver apartado 10.5) del elemento terminal. En concreto,esta transición se producirá bien cuando exista un principal screw cuyo pasotienda a infinito, o bien cuando estos principal screws se desplazan hacia puntosdel infinito.

Por otro lado, la transición en el patrón de velocidades traslación-rotaciónse producirá siempre de forma brusca, sin que exista ningún indicador quepueda anticiparla.

En cualquier caso, la transición en el patrón de velocidades más habitual seproduce del modo de movimiento rotacional al traslacional. La Fig. 12.6 mues-tra el ejemplo de un manipulador paralelo de 3 GDL dotado de una cadena

380 Singularidades

cinemática pasiva RRR. Esta figura muestra en concreto el elipsoide de velo-cidad angular del elemento terminal en tres diferentes posiciones, desde unaposición no singular hasta la posición de MPS, en la que se produce la degene-ración de este elipsoide a una elipse plana, apareciendo un GDL de traslaciónen el lugar de la rotación perdida.

12.7. Movimiento Incontrolado

Según se mostró en anteriores apartados, la presencia de singularidadespuede llegar a suponer en el caso de mecanismos de cadena cerrada la posibi-lidad de que su movimiento no pueda ser controlado a partir de unas entradasintroducidas, lo que supone un gran inconveniente.

Dicho movimiento incontrolado queda definido como aquellas posibilidadesde movimiento que poseerá un mecanismo en una configuración singular en laque, a pesar de introducir entradas de valor nulo en los n actuadores que enuna configuración no singular deberían controlar totalmente el movimiento, elmecanismo es capaz de moverse eso sí, de forma incontrolada.

La aparición de movimientos incontrolados no es exclusivo de las singula-ridades del problema cinemático directo, relacionada con la aparición de de-pendencias lineales en los parámetros de entrada, sino que también puedenaparecer cuando el mecanismo alcanza una singularidad IIM. De este modo,considerando que el número de entradas introducidas en el caso de un manipu-lador no redundante siempre es de valor igual o inferior al valor de la movilidadinstantánea del mecanismo

n ≤ F

y definida de este modo la ecuación (12.12), la aparición de movimientos in-controlados en el mecanismo se producirá en el caso que el número de entradasrealmente independientes sea inferior a la movilidad instantánea del mismo.Esta idea queda expresada matemáticamente como

Fc = rank Q < F (12.19)

Una vez determinado el subespacio de movimientos incontrolados, definidopor el subespacio nulo de la matriz Q

β0 ∈ ker (Q) (12.20)

podemos comprobar el movimiento resultante en el mecanismo sin más quesustituir β0 en la expresión (9.5). Del mismo modo, la realización de la ca-

12.7. Movimiento Incontrolado 381

racterización de estos movimientos incontrolados producidos en el elementoterminal del manipulador es inmediata.

La Fig. 12.7 muestra una Constraint Singularity del manipulador paralelo3 − RPS, en la han sido incluidos la localización de los principal screws desu elemento terminal. El actuar normalmente el manipulador, definiendo losvalores de los tres émbolos que actúan como entradas, evidentemente no escapaz de controlar el movimiento instantáneo del manipulador, ya que en estaposición presenta un total de 4 GDL.

Figura 12.7: Manipulador paralelo 3−RPS en una constraint singularity

El hecho de poder definir el subespacio de velocidades generalizadas asocia-das al movimiento incontrolado al cual β0 pertenece, nos permite analizar lascapacidades de movimiento incontroladas de cualquiera de los elementos delmanipulador sin más que aplicar sobre él el procedimiento de caracterizaciónmodal mostrado en el Capítulo 10. En concreto, el movimiento del elementoterminal que queda incontrolado en esta posición singular al fijar los tres ém-bolos del manipulador es una rotación pura alrededor del eje mostrado en laFig. 12.8.

382 Singularidades

Figura 12.8: Movimiento incontrolado

12.8. Esfuerzos no Soportados

El concepto de esfuerzos no soportados es el equivalente estático del concep-to de movimiento incontrolado. Uno de los conceptos que frecuentemente vanasociados a la aparición de singularidades es el hecho de que puedan aparecer enlos accionamientos esfuerzos de una gran magnitud para valores relativamentepequeños de las cargas aplicadas en la salida del manipulador. Expresado estode otro modo, al aparecer determinados tipos de singularidades pueden apare-cer que la aplicación de determinados tipos de cargas no puedan ser equilibradascon valores finitos de los esfuerzos en los accionamientos. Estas direcciones sonlas que trataremos de definir en este apartado.

Si consideramos la expresión de la potencia introducida en la entrada delmanipulador

Pi = τT q (12.21)e introducimos en ella la expresión (10.91) obtenemos la siguiente expresión:

Pi = τTQβ (12.22)

12.9. Indicadores de Singularidad 383

Tal y como se vio en el Capítulo 11, a partir de la expresión anterior pode-mos identificar el término φ como

QT τ = φ (12.23)

La aparición del movimiento incontrolado debido a la deficiencia en el rangode la matriz Q implicaría también la existencia de valores de τ produciendovalores de fuerzas generalizadas nulos

QT τ = 0 (12.24)

Como el lector podrá observar, el denominado vector de coeficientes τ dela combinación lineal mostrada en la singularidad del problema cinemáticodirecto, define a su vez la relación lineal existente entre los esfuerzos de losaccionamientos.

Sin embargo, la expresión anterior podría ser también escrita como

QT τ = 0 · φ0 (12.25)

siendo este término φ0 el vector de fuerzas generalizadas asociado a las cargasno soportadas del manipulador, vector perteneciente al subespacio nulo de lamatriz Q.

Por tanto, una vez definidos parámetros de salida del manipulador podre-mos definir las cargas no soportadas del manipulador resolviendo la siguienteecuación:

Uoψo = φ0 (12.26)

De este modo, la caracterización de las singularidades ha quedado comple-tamente realizada.

12.9. Indicadores de Singularidad

Según se planteó ya en el apartado introductorio 2.6, el estudio del com-portamiento cinemático de mecanismos es un aspecto que esta íntimamenterelacionado a su análisis de singularidades, ya que ambos parten del estudiode las mismas ecuaciones y matrices jacobianas. De este modo, la evaluaciónde diferentes indicadores de singularidad, manipulabilidad y destreza de me-canismos y manipuladores es un aspecto fundamental, tal y como muestranlas referencias (Klein y Blaho, 1987; van den Doel y Pai, 1995; Doty et al.,1995; Kim et al., 2000; Hong y Kim, 2000; Voglewede y Ebert-Uphoff, 2005).

384 Singularidades

En concreto, tal y como se mostrará en el Capítulo 21, la evaluación de es-tos indicadores resultará un aspecto decisivo en los procesos de optimizacióndimensional de los diferentes elementos que forman parte de un mecanismo.

Sin embargo, en el procedimiento concreto mostrado en esta Tesis Docto-ral, la evaluación de estos indicadores resultará de una importancia adicional,debido a su enfoque de tipo general, no disponiéndose de forma analítica lasecuaciones que definen el movimiento del mecanismo.

12.9.1. Procedimientos NuméricosSegún se mostró en los Capítulos 9 y 10, junto a los apartados de éste an-

teriores a este apartado, el empleo de factorizaciones reveladoras del rango deuna matriz4 (Fierro y Bunch, 1995) es un punto totalmente esencial, las cualesdeben ser capaces de determinar el rango numérico de las matrices estudiadas,junto con permitir definir bases ortonormales de sus cuatro subespacios carac-terísticos (subespacios nulo e imagen de la matriz estudiada y su traspuesta).

En concreto, el procedimiento aquí mostrado hace uso principalmente dela Singular Value Decomposition (SVD) (Golub y Van Loan, 1996), una fac-torización reveladora del rango de una matriz que permite obtener todos lospuntos anteriormente mencionados simultáneamente con una gran precisión.Sin embargo, la realización de esta factorización es un proceso extremadamen-te costoso que desarrolla un procedimiento iterativo para la obtención de susresultados. Este coste computacional es especialmente evidente en la realizaciónde la SVD de la matriz Gg, matriz que habitualmente presenta dimensionesbastante elevadas. Por lo tanto, el estudio de otros métodos que resulten menoscostosas debe ser uno de los puntos de trabajo en los que se debe incidir entrabajos posteriores.

12.9.2. Empleo de la SVDLa SVD es una herramienta muy potente del Álgebra Lineal Computacional,

la cual permite realizar la descomposición matricial de una matriz rectangularAm×n de la forma siguiente:

A = UΣVT (12.27)

donde la matriz U es una matriz ortogonal de orden m, la matriz V representauna matriz ortogonal de orden, y la matriz Σ queda definida como una matriz

4Rank-revealing matrix factorizations.

12.9. Indicadores de Singularidad 385

pseudodiagonal de dimensiones m × n que contiene los denominados valoressingulares σi, los cuales poseen la característica de ser valores reales positivoso nulos. Debido a esto, el rango numérico de la matriz A queda definido comoel número de valores singulares σi no nulos.

Sin embargo, la descomposición matricial (12.27) puede ser también expre-sada de la siguiente manera:

Avi = σi ui (12.28)

A partir de la expresión (12.28) se desprenden las siguientes consecuencias:

A partir de los vectores vi agrupados en la matriz V asociados a valoressingulares σi = 0 se puede definir una base ortonormal del subespacionulo de la matriz A

A partir de los vectores ui agrupados en la matriz U asociados a valoressingulares σi 6= 0 se puede definir una base del subespacio imagen de lamatriz A.

A partir de los vectores ui agrupados en la matriz U asociados a valoressingulares σi = 0 se puede definir una base del subespacio nulo de lamatrizAT .

A partir de los vectores vi agrupados en la matriz V asociados a valoressingulares σi 6= 0 se puede definir una base del subespacio imagen de lamatriz AT .

Un aspecto que debe ser tenido en cuenta para que los resultados obtenidosa partir de la SVD sean físicamente consistentes, es que la matriz A analizadaposea términos homogéneos, con objeto de que los valores singulares σi, delas mismas unidades que los términos de la matriz A, puedan ser empleadospara determinar el rango numérico de la matriz. En nuestro caso, esta homo-geneidad dimensional está siempre garantizada para cualquiera de las matricesconsideradas.

De este modo, estos resultados nos permiten obtener las bases de los dife-rentes subespacios que forman parte del espacio del movimiento del mecanismo.

12.9.2.1. Deficiencia en el Rango

La aparición de una singularidad en un mecanismo está asociada a la repen-tina disminución del rango de la matriz analizada. Sin embargo, si pensamos

386 Singularidades

en el concepto físico asociado a las singularidades en mecanismos, éstas noaparecen por arte de magia, sino que la propia cercanía a las mismas afectaal comportamiento del mecanismo de forma progresiva hasta que la posiciónsingular es alcanzada. Esta idea es la que hace evidente que deben existir de-terminados valores de que permitan definir la cercanía a la deficiencia en elrango de las matrices consideradas.

La propia definición del rango numérico de una matriz obtenida a partirde la SVD nos da una pista de qué valor nos puede indicar la cercanía a lasingularidad. El primero que nos viene a la mente no es otro que el valorsingular σmin de valor no nulo más próximo al valor nulo, aquél que establecela frontera entre singularidad - no singularidad de la matriz analizada.

El número de condición κ de la matriz A asociado a una determinada normamatricial ‖·‖

κ (A) = ‖A‖ ·∥∥A−1∥∥ (12.29)

o más adecuadamente su valor inverso 1/κ, permite determinar la aparición deuna singularidad al igual al indicador anterior. Empleando la norma matricial2, el valor 1/κ2 puede ser obtenido a partir de la SVD como

1κ2 (A)

= σminσmax

(12.30)

donde el término σmax define el valor singular máximo de la matriz A. Comose puede observar a partir de esta definición, el valor inverso del número decondición tendrá valor nulo en la singularidad de la matriz A.

En los casos en que la matriz estudiada presenta la transformación entreun espacio de entradas y uno de salidas, como puede ser el caso mostradoen el Capítulo 10, es posible representar de forma gráfica esta transformaciónmostrando los elipsoides a ella asociados. Estos elipsoides son los que permitendeterminar la manipulabilidad del robot.

Tal y como muestra la referencia (Yoshikawa, 1985), los valores singularesσi definen las longitudes de los semiejes de estos elipsoides. Por la tanto, unaforma de evaluar la manipulabilidad del robot es calcular cuánto vale el volumende este elipsoide. Evidentemente, a mayor volumen de este elipsoide mayorcapacidad de manipular objetos tendrá el robot.

Recordando la expresión del volumen de un elipsoide de semiejes de longituda, b y c

V = π a b c

12.10. Mapas de Singularidad, Destreza o Manipulabilidad 387

el valor de manipulabilidad w puede ser definido como el producto de los valoressingulares no nulos de la matriz A:

w =∏i

σi (12.31)

12.10. Mapas de Singularidad, Destreza oManipulabilidad

Por su propia definición, el término indicador hace referencia a un conceptopuramente local, ya que asocia un valor determinado a una posición concretadel robot, el cual a su vez posee una arquitectura concreta. Sin embargo, esteindicador no poseerá ninguna importancia adicional si no son conocidos losvalores en otras posiciones diferentes dentro de su espacio de trabajo.

Figura 12.9: Mapa de singularidad IIM del manipulador 3 − SPS. Indicador:Número de condición asociado a la norma 2 de la matriz Gg

En concreto, la representación de los indicadores de singularidad, destrezao manipulabilidad por medio de mapas de singularidad, tiene por objetivoinicial el dar una visión global de los valores obtenidos en cualquiera de lasposiciones que el manipulador podría alcanzar. Sin embargo, su objetivo finalva un poco más allá, como es el ser capaces de definir cuáles son las zonasdel espacio de trabajo más adecuadas para que el manipulador realice su labormás adecuadamente, el espacio de trabajo útil de una arquitectura concreta de

388 Singularidades

manipulador. Evidentemente, esta es una fase esencial en el diseño de nuevasarquitecturas de manipuladores.

Figura 12.10: Mapa de singularidad IIM del manipulador paralelo 2 − RRcorrespondiente a diferentes modos de trabajo. Indicador: Número de condiciónasociado a la norma 2 de la matriz de entradas Q

12.10. Mapas de Singularidad, Destreza o Manipulabilidad 389

El procedimiento de obtención de los mapas seguido está basado en la discre-tización del espacio de trabajo en un conjunto de puntos, en los cuales evaluar elvalor de indicador elegido. Las Figuras 12.9 y 12.10 muestran los mapas de sin-gularidad obtenidos para diferentes arquitecturas de manipuladores paralelos,tanto espaciales como planos.

Parte IV

Diseño de un Manipulador deCinemática Paralela de 4 Gradosde Libertad basado en CadenasParalelogramo para MovimientoSchönflies

391

13

Descripción del Manipulador

13.1. Introducción

Como resultado del proceso de síntesis morfológica llevado a cabo a lo largode esta Tesis Doctoral y en concreto de los resultados expuestos en el apartado5.3.1 y la Fig. 5.13, el manipulador que se analizará a continuación será unaarquitectura de robot paralelo de 4 GDL con movimiento Schönflies, capaz derealizar 3 movimientos de traslación independientes y 1 movimiento de rotaciónalrededor de un eje de dirección constante y paralela al plano del elementoterminal del manipulador.

13.2. Aplicaciones

El manipulador en cuestión está ideado para la realización de diversas ope-raciones sobre la superficie de perfiles aeronáuticos acanalados, como puede serel mostrado en la Fig. 13.1.

Figura 13.1: Perfil de ala de avión

Si analizamos detenidamente el tipo de movimientos que serían necesario pa-ra realizar operaciones de taladrado o remachado sobre este tipo de superficies,podemos llegar a la conclusión que el robot que se presentará a continuación se

393

394 Descripción del Manipulador

ajusta a las necesidades planteadas. Evidentemente es necesario que el mani-pulador pueda posicionar la herramienta que su elemento terminal porta, bienun taladro o una pistola de remachado, en cualquiera de los puntos del espaciodentro de su espacio de trabajo, lo que se consigue con un elemento termi-nal dotado de la capacidad de trasladarse en cualquier dirección. Sin embargo,también resulta evidente que este tipo de operaciones no necesitan únicamenteposicionar la herramienta en un punto determinado en el que realizar la opera-ción, sino que también es necesario que la herramienta este orientada de formaadecuada. En el caso de la realización de operaciones de taladrado o remachadosobre este tipo de perfiles, es evidente que la herramienta debe estar orientadaen la dirección normal a la superficie del ala de un avión, como pudiera ser elcaso.

De este modo podríamos considerar como diferentes formas de operar sobreel ala de un avión las dos posibilidades mostradas en la Fig. 13.2.

(a) Ala situada en disposición ho-rizontal

(b) Ala situada en disposición vertical

Figura 13.2: Formas de operación sobre un ala de avión

La primera, mostrada en la Fig. 13.2a, presenta la posibilidad de un ma-nipulador trabajando sobre el perfil de un ala de avión situada en posiciónhorizontal, de tal forma que el robot pueda trabajar sobre la parte superior dela misma sin un mayor inconveniente y, en el caso de que éste ofrezca un espa-cio de trabajo reducido, poder ampliarlo mediante la utilización de una mesamóvil que recorra la longitud total del ala, portando sobre ella al manipulador.

La segunda opción, mostrada en la Fig. 13.2b, presenta un ala de avión endisposición vertical sujetada mediante un soporte. Esta disposición permitiría

13.3. Estructura del Manipulador 395

actuar simultáneamente a ambos lados de la superficie del ala de avión, situandopara ello varios manipuladores a cada uno de estos lados.

13.3. Estructura del Manipulador

Tras estos detalles, en la Fig. 13.3 puede verse una representación esquemá-tica de una arquitectura más general del manipulador de estructura cinemática2− PRPaR+ 2− PRPaRR mostrado en la Fig. 5.13, donde el término P re-presenta un par prismático actuado, R representa un par de rotación y Parepresenta un par paralelogramo articulado.

P

D1

D2D3

D4

E1

E2

E3

E4

OX Y

ZA1

A2A3

A4B1

B2B3

B4

C1

C2C3

C4

F1

F2

F3

F4

Figura 13.3: Manipulador de cinemática paralela de 4 GDL

De este modo, las cuatro cadenas cinemáticas que unen el elemento fijo conel elemento terminal del manipulador no son totalmente idénticas, sino queserán de los dos tipos siguientes:

dos cadenas cinemáticas PRPaR. Dicha cadena cinemática se componede un par prismático, un par rotacional, un par paralelogramo articu-lado y otro par rotacional. Estas cadenas cinemáticas son generadoras


de movimiento de tipo Schönflies, mostradas en la Tabla 4.29. Ambasson accionadas por medio de un accionamiento lineal desplazando el parprismático, numeradas con los índices 1 y 2,

dos cadenas cinemáticas PRPaRR, de estructura idéntica a las anterio-res con la salvedad de tener un par rotacional adicional. La justificaciónde la inclusión de este par adicional es muy sencilla. En caso de emplearcuatro cadenas cinemáticas completamente idénticas produciría a la horade realizar el ensamblado la pérdida de la capacidad de rotación del ele-mento terminal del manipulador, ya que las cuatro cadenas cinemáticasgenerarían movimientos de tipo Schönflies con las rotaciones definidasen direcciones diferentes. Con objeto de ser capaces de generar el mo-vimiento Schönflies deseado, se utilizarán las cadenas cinemáticas antescitadas, generadoras del desplazamiento de 3T2R, según se muestra enla Tabla 4.84, compatible con el movimiento Schönflies buscado. Estascadenas cinemáticas vendrán definidas por los índices 3 y 4.

13.4. Movilidad del Manipulador

Una vez planteada y definida la morfología del manipulador podemos con-siderar necesario el conocer la movilidad que éste posee según el criterio deGrübler-Kutzbach, el cual viene expresado a partir de la siguiente ecuación

F = λ (n− j − 1) +j∑i=1

fi (13.1)

donde F es el número de grados de libertad del manipulador, n es el númerode elementos diferentes que lo componen, j el número de pares cinemáticos queunen los diferentes elementos que forman parte del manipulador, fi el númerode grados de libertad permitidos por cada uno de los pares cinemáticos i delmecanismo y λ el parámetro que distingue a los mecanismos planos de losmecanismos espaciales.

Entonces, para el manipulador ahora desarrollado podemos obtener quecada uno de los términos anteriores tienen los valores siguientes:

λ = 6 por tratarse de un manipulador espacial

n = 16

j = 30

13.5. Geometría del Manipulador 397

∑fi = (4 · 1)︸︷︷︸

4 pares P

+ (26 · 1)︸︷︷︸26 pares R

= 30

Por lo tanto, sustituyendo los valores anteriores en la expresión (13.1) ob-tenemos

F = 6 (16− 30− 1) + 30 = −12

El hecho de que resulte un valor negativo tan elevado nos indica que elmanipulador es un mecanismo sobrerrestringido, siendo este valor de −12 elobtenido para una orientación completamente general de elementos y pares.

Sin embargo, con objeto de que el manipulador posea los 4 GDL necesariospara la aplicación en la que se iba destinar, la disposición de pares y elementosno es arbitraria. Es más, a partir del concepto de ligadura cinemática mos-trado por Hervé en su referencia (Hervé, 1978), si consideramos la estructuraparalelogramo como un par cinemático, los valores obtenidos son los siguientes:

λ = 6 por tratarse de un manipulador espacial

n = 24

j = 18∑fi = (4 · 1)︸︷︷︸

4 pares P

+ (10 · 1)︸︷︷︸10 pares R

+ (4 · 1)︸︷︷︸4 pares Pa

= 18

Por lo tanto, sustituyendo los valores anteriores en la expresión (13.1) ob-tenemos la siguiente expresión:

F = 6 (16− 18− 1) + 18 = 0

Como es evidente, el criterio de Grübler-Kutzbach, aún empleando las con-sideraciones de Hervé, muestra que el el mecanismo seguiría sin moverse. Estoes debido a que las particularidades geométricas existentes, como son los pa-ralelismos existentes entre determinados pares R, no son considerados en laaplicación de esta fórmula.

13.5. Geometría del Manipulador

Con objeto de realizar el estudio del manipulador de la forma más generalposible y más cercano al diseño real del manipulador, en la definición del modelo


cinemático del mismo evitaremos la inclusión de colinealidades y otras parti-cularidades geométricas que en la realidad difícilmente se pueden materializaren un modelo real.

De este modo, tal y como se muestra en la Fig. 13.3, las cadenas cinemáticas1 y 2 poseerán como accionamientos dos actuadores lineales colocados sobreuna misma línea, definida por los puntos A1 y A2, los cuales se encuentranseparados del origen de coordenadas O una distancia e1 y e2 respectivamen-te, mientras los actuadores correspondientes a las cadenas cinemáticas 3 y 4poseerán respectivamente las mismas características que los anteriores, siendopor tanto colineales (línea A3 y A4, donde dichos puntos estarán separadosdel origen de referencia O una distancia e3 y e4 respectivamente), y dispuestosperpendicularmente a la línea A1 −A2 sobre un mismo plano.

Las cadenas cinemáticas 1 y 2 tienen las siguiente geometría idéntica. Laseparación entre los puntos B1 − C1 y B2 − C2 será la misma y de valor b12,mientras que la separación entre los puntos C1 −D1 y C2 −D2 tendrán comovalores f1 y f2. Las longitudes de los elementos que definen ambos paralelogra-mos articulados tendrán por valor r1 o r2 dependiendo de cuál sea la cadenacinemática considerada. Ambas cadenas tendrán la particularidad de quedardefinidas en un único plano, denominado π12, y mostrado en la Fig. 13.4. Den-tro de este plano, la posición relativa entre los puntos E1 y F1, y E2 y F2vendrán definidas por las distancias a1, a2, g1 y g2.

B1 B2

γ1 γ2

A1 A2

D1 D2

E1 E2

F1 F2

C1 C2

P

O12 V12

W12

q1 q2f1 f2

g1 g2

r1 r2

e1 e2

d2d1

Figura 13.4: Vista frontal del plano π12

La cadena cinemática 3 puede definirse de una forma bastante similar alas del caso anterior. La separación entre los puntos B3 y C3 será de valor b3,

13.5. Geometría del Manipulador 399

mientras que la separación entre los puntos C3 y D3 tendrá como valor f3. Laslongitudes de los elementos que definen el paralelogramo articulado de estacadena cinemática quedarán definidas por la longitud r3. Esta cadena quedarádefinida también dentro de un plano, denominado π3. Finalmente, dentro deeste plano, según muestra la Fig. 13.5, la posición relativa entre los puntos E3y F3 vendrá definida por las distancias a3 y g3.

B3

γ1

A3

D3

E3

F3

C3 O3U3

W3

q3

f3

g3

r3

e3

d3

Figura 13.5: Vista frontal del plano móvil π3

El caso de la cadena cinemática 4 es idéntico al anterior. La separaciónentre los puntos B4 y C4 vendrá definida por el parámetro b4, mientras que laseparación entre los puntos C4 y D4 tendrá como valor f4. Las longitudes delos elementos que definen el paralelogramo articulado de la cadena 4 tienen porvalor r4. La cadena quedará definida nuevamente dentro de un plano, denomi-nado π4, dentro del cual la posición relativa entre los puntos E4 y F4 vendrádefinida por las distancias a4 y g4 (Fig. 13.6).

El elemento terminal del manipulador quedará definido como un sólido de5 puntos característicos de morfología general. Considerando el punto P comoreferencia, las posiciones de los puntos F1, F2, F3 y F4 quedarán definidas apartir de las distancias d12, d3 y d4, c3 y c4, y h3 y h4, distancias todas ellasmostradas en la Fig. 13.7.


B4

γ4

A4

D4

E4

F4

C4O4V4

W4

q4

f4

g4

r4

e4

d4

Figura 13.6: Vista frontal del plano móvil π4

13.6. Sistemas de Referencia Empleados

En la resolución de los problemas cinemáticos de posición, velocidades, etc.será necesario emplear diferentes sistemas de referencia que faciliten su com-prensión y resolución. Estos sistemas de referencia son los siguientes:

13.6.1. Sistema de Referencia Fĳo (OXYZ)

Se define el sistema de referencia fijo (OXY Z) como un sistema de referenciaortonormal y dextrógiro con origen en el punto O, punto de corte de las líneasde los actuadores A1 − A2 y A3 − A4. Este sistema de referencia puede verseen la Fig. 13.3.

13.6.2. Sistema de Referencia Móvil (OUVW)12

Se define el sistema de referencia móvil (OUVW )12 como un sistema dereferencia ortonormal y dextrógiro con origen en el punto O12, de coordenadas

o1 = b12 k (13.2)

13.6. Sistemas de Referencia Empleados 401

c3c4

F3

F4

P

h3h4

WP

UP

(a) Vista de perfil

P

F1

F2

F3

F4d1

d2

d3

d4

c3

c4

UP

VP

(b) Vista en planta

Figura 13.7: Geometría del elemento plataforma

Dicho sistema de referencia, con movimiento solidario al plano móvil π12puede verse en la Fig. 13.8.

Las características geométricas particulares de las cadenas cinemáticas pa-ralelogramo articulado plano que forman el manipulador hacen que cada una deellas se encuentre en todo instante dentro de un plano móvil. Esta peculiaridadlleva a ligar un sistema de referencia móvil a cada uno de los planos móviles enlos que se encuentran cada una de dichas cadenas cinemáticas. Sin embargo,en el caso de las cadenas cinemáticas 1 y 2, éstas se encuentran dentro de unúnico plano móvil denominado π12.

La orientación del plano móvil π12 no se define en el modo usual, medianteun ángulo de orientación definido en sentido antihorario alrededor del eje de


P

O12

U12

V12

W12

π12

β12

Figura 13.8: Sistema de referencia móvil (OUVW )12

giro, sino que está definida mediante el ángulo β12, el cual define el ángulode orientación del eje móvil W12 respecto del eje X. Esta elección tiene porobjetivo facilitar la identificación de las diferentes soluciones de los problemasde posición.

Según se observa en la Fig. 13.8, la expresión de los vectores unitarios enlas direcciones de los ejes móviles U12, V12 y W12 quedan definidos como:

u12 = i sin β12 − k cosβ12

v12 = jw12 = i cosβ12 + k sin β12

De este modo, una vez definidos todos los datos anteriores, la matriz detransformación del sistema de referencia móvil (OUVW )12 al sistema de refe-


rencia fijo (OXY Z) puede escribirse de la forma siguiente:

012T =

cos(π2 − β12

)0 sin

(π2 − β12

)0

0 1 0 0− sin

(π2 − β12

)0 cos

(π2 − β12

)b12

0 0 0 1

=

=

sin β12 0 cosβ12 0

0 1 0 0− cosβ12 0 sin β12 b12

0 0 0 1

(13.3)

13.6.3. Sistema de Referencia Móvil (OUVW)3

Se define el sistema de referencia móvil (OUVW )3 como un sistema dereferencia ortonormal y dextrógiro con origen en el punto O3, de coordenadas

o3 = b3 k (13.4)

Dicho sistema de referencia, con movimiento solidario al plano móvil π3anteriormente definido puede verse en la Fig. 13.9.

La orientación del plano móvil π3 no se define en el modo usual, medianteun ángulo de orientación definido en sentido antihorario alrededor del eje degiro, sino que está definida mediante el ángulo β3 de sentido horario, el cualdefine la orientación del eje móvil W3 respecto del eje Y .

A partir de la Fig. 13.9, la expresión de los vectores unitarios en las direc-ciones de los ejes móviles U3, V3 y W3 quedan definidos como:

u3 = iv3 = j cosβ3 − k sin β3

w3 = j sin β3 + k cosβ3

De este modo, a partir de los datos anteriores podemos obtener la matrizde transformación del sistema de referencia móvil (OUVW )3 al sistema de


O3U3

V3

W3

π3

β3

Figura 13.9: Sistema de Referencia Móvil (OUVW )3

referencia fijo (OXY Z) como

03T =

1 0 0 00 cos (−β3) − sin (−β3) 00 sin (−β3) cos (−β3) b30 0 0 1

=

=

1 0 0 00 cosβ3 sin β3 00 − sin β3 cosβ3 b30 0 0 1

(13.5)

13.6.4. Sistema de Referencia Móvil (OUVW)4Se define el sistema de referencia móvil (OUVW )3 como un sistema de

referencia ortonormal y dextrógiro con origen en el punto O4, de coordenadas

o4 = b4 k (13.6)

Dicho sistema de referencia, con movimiento solidario al plano móvil π4anteriormente definido puede verse en la Fig. 13.10.


O4U4

V4

W4

π4

β4

Figura 13.10: Sistema de referencia móvil (OUVW )4

La orientación del plano móvil π4 no se define en el modo usual, medianteun ángulo de orientación definido en sentido antihorario alrededor del eje degiro, sino que está definida mediante el ángulo β4 de sentido horario, el cualdefine la orientación del eje móvil W4 respecto del eje Y .

Tras observar la Fig. 13.10, la expresión de los vectores unitarios en lasdirecciones de los ejes móviles U3, V3 y W3 quedan definidos como:

u4 = iv4 = j cosβ4 − k sin β4

w4 = j sin β4 + k cosβ4

De este modo, a partir de los datos anteriores podemos obtener la matrizde transformación del sistema de referencia móvil (OUVW )3 al sistema de


referencia fijo (OXY Z) como

04T =

1 0 0 00 cos (−β4) − sin (−β4) 00 sin (−β4) cos (−β4) b40 0 0 1

=


(13.7)

13.6.5. Sistema de Referencia Móvil (PUVW)PSe define el sistema de referencia móvil (PUVW )P como un sistema de

referencia ortonormal y dextrógiro con origen en el punto P , de coordenadas

p = xP i + yP j + zP k (13.8)

Dicho sistema de referencia, con movimiento solidario al elemento terminaldel manipulador puede verse en la Fig. 13.11.

La orientación del sistema de referencia móvil vendrá definida una vez cono-cida a partir del ángulo de rotación θy que define el giro del elemento terminaldel manipulador respecto al eje VP .

Según se muestra en la Fig. 13.11, la expresión de los vectores unitarios enlas direcciones de los ejes móviles UP , VP y WP quedan definidos como:

uP = i cos θy − k sin θyvP = jwP = i sin θy + k cos θy

De este modo, a partir de los datos anteriores podemos obtener la matrizde transformación del sistema de referencia móvil (PUVW )P al sistema dereferencia fijo (OXY Z) como

0PT =

cos θy 0 sin θy xP

0 1 0 yP− sin θy 0 cos θy zP

0 0 0 1

(13.9)


P

UP

VP

WPθy

Figura 13.11: Sistema de referencia móvil (PUVW )P

Dentro de este sistema de referencia, las coordenadas de los puntos F1, F2,F3 y F4 serán las siguientes:

P f1 = −d1 vPP f2 = d2 vPP f3 = c3 uP + d3 vP + h3 wP

P f4 = c4 uP + d4 vP + h4 wP

14

Problema de Posición Directo

14.1. Introducción

El objetivo de la resolución del problema cinemático de posición directo esobtener la posición del punto P del elemento terminal del manipulador, definidapor sus coordenadas cartesianas xP , yP y zP , y el ángulo de orientación delelemento plataforma θy, definido por el giro de la dirección normal al elementoplataforma a partir de la dirección vertical definida por el eje Z, en torno aleje VP en dirección antihoraria, según se muestra en la Fig. 13.11.

14.2. Resolución del punto P en el Plano Móvil π12

Según se observa en la Fig. 13.4, la posición del punto P del elementoterminal del manipulador dentro del plano π12 queda determinada a partir delas longitudes de los accionamientos q1 y q2.

De este modo, se pueden plantear las siguientes ecuaciones vectoriales deposición de P a partir de las cadenas cinemáticas 1 y 2 de la siguiente manera:

p = ai + (bi − ai) + (ci − bi) + (di − ci)+ (ei − di) + (fi − ei) + (p− fi) i = 1, 2 (14.1)

A partir de las expresiones (14.1), y definiendo las longitudes auxiliares

n1 = −e1 + l1 + d1 + a1 (14.2)n2 = e2 − l2 − d2 − a2 (14.3)

409

410 Problema de Posición Directo

podemos definir los valores de las coordenadas 12uP , 12vP y 12wP del punto Pen el sistema de referencia (OV VW )1 ligado al plano móvil π12 como

12uP = 0 (14.4)12vP = −e1 + l1 + d1 + r1 cos γ1 = n1 + r1 cos γ1 (14.5)

= e2 − l2 − d2 − r2 cos γ2 = n2 − r2 cos γ2 (14.6)12wP = f1 + r1 sin γ1 + g1 (14.7)

= f2 + r2 sin γ2 + g2 (14.8)

Por simplicidad, a partir de este momento consideraremos la siguiente igual-dad:

12vP = vP12wP = wP

Elevando al cuadrado ambos miembros de las expresiones (14.5), (14.6),(14.7) y (14.8), y sumandolas apropiadamente, es posible plantear el sistemade ecuaciones no lineal a partir del cual se pueden obtener los valores de vP ywP :

(vP − n1)2 + (wP − f1 − g1)2 = r21

(vP − n2)2 + (wP − f2 − g2)2 = r22(14.9)

Geométricamente, las soluciones del sistema de ecuaciones anterior vienendefinidas por los puntos de intersección de las circunferencias (14.9). Para suresolución efectuaremos el siguiente cambio de variables:[

VPWP

]=[

cosµ sinµ− sinµ cosµ

] [vP − n1

wP − f1 − g1

](14.10)

donde el ángulo µ queda definido a partir de la siguiente relación:

tanµ = (f2 + g2)− (f1 + g1)n2 − n1

Por tanto, los valores del seno y el coseno de este ángulo pueden ser expre-sados de la siguiente manera:

cosµ = n2 − n1√(n2 − n1)2 + [(f2 + g2)− (f1 + g1)]2

sinµ = (f2 + g2)− (f1 + g1)√(n2 − n1)2 + [(f2 + g2)− (f1 + g1)]2

14.3. Resolución de β12 y θy 411

De este modo, tras realizar el cambio de variables anterior, el sistema deecuaciones (14.9) se transforma en

V 2P +W 2

P = r21

(VP − υ)2 +W 2P = r22

(14.11)

donde el término υ tiene la siguiente expresión:

υ =√

(n2 − n1)2 + [(f2 + g2)− (f1 + g1)]2

Por tanto, el sistema de ecuaciones (14.11) tiene como solución siempre que|υ − 1| ≤ ρ, solución que puede ser expresada de la forma siguiente:

VP = r21 − r22 + υ2

2 υ(14.12a)

WP = ±

√4 υ2 − (r21 − r2 + υ2)2

2 υ(14.12b)

Deshaciendo el cambio de variable (14.10) es posible obtener los valoressolución de las coordenadas vP y wP de la siguiente manera:[

vPwP

]=[

n1f1 + g1

]+[cosµ − sinµsinµ cosµ

] [VPWP

](14.13)

Por tanto, una vez conocida la posición del punto P dentro del plano móvilπ12, se puede plantear la posición de P en el sistema de referencia fijo (OXY Z)como: [

p1

]= 0

12T[12p

1

](14.14)

sin β12 0 cosβ12 00 1 0 0

− cosβ12 0 sin β12 b120 0 0 1

12uP12vP12wP

1

=

xPyPzP1

(14.15)

14.3. Resolución de β12 y θyUna vez resuelta la posición del punto P dentro del plano móvil π12, el

siguiente paso deberá centrarse en la resolución del ángulo de posición β12 dedicho plano, y del ángulo de orientación del elemento terminal del manipulador


θy. Para ello, como el lector podrá suponer será necesario encontrar relacionescinemáticas adicionales a partir de las cadenas cinemáticas 3 y 4.

El procedimiento de resolución será el siguiente. Dichas cadenas cinemáticasse unen al elemento plataforma en los puntos F3 y F4, por lo que la posición deestos puntos podrá ser definida a partir de la posición del punto P en el sistemade referencia fijo y la orientación del elemento terminal del manipulador. Porotro lado, la posición de estos dos puntos también podrá ser definida a partirde las cadenas cinemáticas 3 y 4, primero definiendo la posición de los mismosdentro de los planos móviles π3 y π4, y luego trasladando esta información alsistema de referencia fijo (OXY Z).

De este modo, seremos capaces de encontrar las dos relaciones adicionalesbuscadas, a partir de las cuales poder definir el valor de los ángulos β12 y θy

14.3.1. Resolución del Punto F3 en el Plano Móvil π3

La posición del punto F3 puede ser planteada a partir de la siguiente ex-presión vectorial:

f3 = a3 + (b3 − a3) + (c3 − b3) + (d3 − c3) + (e3 − d3) + (f3 − e3) (14.16)

De este modo, a partir de la expresión anterior y según se muestra en laFig. 13.5, la posición de este punto expresada en el sistema de referencia ligadoal plano móvil π3 queda definida a partir de las siguientes expresiones:

3uF3 = e3 − l3 − r3 cos γ3 − a3 (14.17)= n3 − r3 cos γ3 (14.18)

3vF3 = 0 (14.19)3wF3 = f3 + r3 sin γ3 + g3 (14.20)

Por lo tanto, una vez conocida la posición del punto F3 dentro del planomóvil π3, se puede plantear la posición de este punto en el sistema de referenciafijo (OXY Z) a partir de las relaciones siguientes:[

f31

]= 0

3T[3f3

1

](14.21)

xF3

yF3

zF3

1

=


3uF33vF33wF3

1

(14.22)


A partir del sistema de referencia móvil (PUVW )P solidario a la plataformamóvil del manipulador, la posición de F3 también puede ser planteada como:[

f31

]= 0PT

[P f31

](14.23)

xF3

yF3

zF3

1

=

cos θy 0 sin θy 0xP

0 1 0 0yP− sin θy 0 cos θy 0zP

0 0 0 1

d3c3h31

(14.24)

De este modo, sustituyendo las expresiones (14.18), (14.19) y (14.20) en laecuación (14.22), e igualando la expresión resultante con las relaciones (14.24)obtenemos las siguientes igualdades:

xP + d3 cos θy + h3 sin θy = n3 − r3 cos γ3 (14.25)yP + c3 = (f3 + r3 sin γ3 + g3) sin β3 (14.26)

zP − d3 sin θy + h3 cos θy = (f3 + r3 sin γ3 + g3) cosβ3 + b3 (14.27)

Reordenando las expresiones (14.25), (14.26) y (14.27) y definiendo los tér-minos d3 y h3 a partir de la Fig. 13.7

d3 = m3 sinφ3 (14.28)h3 = m3 cosφ3 (14.29)

se obtienen las siguientes relaciones:

xP − n3 +m3 sin (θy + φ3) = −r3 cos γ3 (14.30a)yP + c3 − (f3 + g3) sin β3 = r3 sin γ3 sin β3 (14.30b)

zP − b3 +m3 cos (θy + φ3)− (f3 + g3) cosβ3 = r3 sin γ3 cosβ3 (14.30c)

Sumando los cuadrados de las expresiones correspondientes a ambos miem-bros de las ecuaciones (14.30a), (14.30b) y (14.30c), es posible alcanzar la si-guiente ecuación

(xP − n3 +m3 sin (θy + φ3))2 + [yP + c3 − (f3 + g3) sin β3]2 ++ [zP − b3 +m3 cos (θy + φ3)− (f3 + g3) cosβ3]2 = r23

(14.31)

a partir de la cual, operando y reordenando, obtenemos la siguiente expresión:

(xP − n3 +m3 sin (θy + φ3))2 + (yP + c3)2 ++ (zP − b3 +m3 cos (θy + φ3))2 + (f3 + g3)2 − r23 == 2 (f3 + g3) [(yP + c3) sin β3 + (zP − b3 +m3 cos (θy + φ3)) cosβ3]

(14.32)


A partir de las relaciones (14.26) y (14.27) podemos obtener la expresióndel seno, coseno y tangente del ángulo β12:

tan β3 = yP + c3zP − b3 +m3 cos (θy + φ3)

(14.33a)

cosβ3 = zP − b3 +m3 cos (θy + φ3)√(yP + c3)2 + [zP − b3 +m3 cos (θy + φ3)]2

(14.33b)

sin β3 = yP + c3√(yP + c3)2 + [zP − b3 +m3 cos (θy + φ3)]2

(14.33c)

Por lo tanto, sustituyendo las expresiones (14.33b) y (14.33c) anteriores enla expresión (14.32) llegamos a la siguiente expresión resultante:

(xP − n3 +m3 sin (θy + φ3))2 + (yP + c3)2 ++ (zP − b3 +m3 cos (θy + φ3))2 + (f3 + g3)2 − r23 == 2 (f3 + g3)

√(yP + c3)2 + [zP − b3 +m3 cos (θy + φ3)]2

(14.34)

De este modo, la ecuación (14.34) define la primera de las dos ecuacionesno lineales que relacionan los ángulos β12 y θy.

14.3.2. Resolución del Punto F4 en el Plano Móvil π4

La posición del punto F4 puede ser planteada de una forma sencilla a partirde la siguiente ecuación vectorial:

f4 = a4 + (b4 − a4) + (c4 − b4) + (d4 − c4) + (e4 − d4) + (f4 − e4) (14.35)

Nuevamente, la cadena cinemática 4 se encuentra en todo instante dentrodel plano móvil π4. Definiendo un sistema de referencia móvil (OUVW )4 soli-dario a dicho plano π4, según se observa en la Fig. 13.6, la posición de dichopunto queda definida a partir de las tres componentes siguientes:

4uF4 = −e4 + l4 + r4 cos γ4 + a4 (14.36)= n4 + r4 cos γ4 (14.37)

4vF4 = 0 (14.38)4wF4 = f4 + r4 sin γ4 + g4 (14.39)


Por tanto, una vez conocida la posición del punto F4 dentro del plano móvilπ4, se puede plantear la posición de dicho punto en el sistema de referencia fijo(OXY Z) como: [

f41

]= 0

4T[4f4

1

](14.40)

0xF40yF40zF4

1

=


4uF44vF44wF4

1

(14.41)

La posición del punto F4 también puede ser planteada a partir del sistemade referencia móvil (PUVW ) como:[

f41

]= 0PT

[P f41

](14.42)

xF4

yF4

zF4

1

=

cos θy 0 sin θy 0xP

0 1 0 0yP− sin θy 0 cos θy 0zP

0 0 0 1

d4c4h41

(14.43)

De este modo, sustituyendo las expresiones (14.37), (14.38) y (14.39) en laecuación (14.41), e igualando con la expresión (14.43), se obtienen las siguientesigualdades:

xP + d4 cos θy + h4 sin θy = n4 + r4 cos γ4 (14.44a)yP + c4 = (f4 + r4 sin γ4 + g4) sin β4 (14.44b)

zP − d4 sin θy + h4 cos θy = (f4 + r4 sin γ4 + g4) cosβ4 + b4 (14.44c)

Reordenando las expresiones (14.44a), (14.44b) y (14.44c), y considerandoque

d4 = m4 sinφ4 (14.45)h4 = m4 cosφ4 (14.46)

es posible llegar a las siguientes expresiones:

xP − n4 +m4 sin (θy + φ4) = r4 cos γ4 (14.47a)yP + c4 − (f4 + g4) sin β4 = r4 sin γ4 sin β4 (14.47b)

zP − b4 +m4 cos (θy + φ4)− (f4 + g4) cosβ4 = r4 sin γ4 cosβ4 (14.47c)


Sumando los cuadrados de las expresiones (14.47a), (14.47b) y (14.47c)anteriores, llegamos a la siguiente ecuación:

(xP − n4 +m4 sin (θy + φ4))2 + [yP + c4 − (f4 + g4) sin β4]2 ++ [zP − b4 +m4 cos (θy + φ4)− (f4 + g4) cosβ4]2 = r24

(14.48)

la cual, operando y reordenando, permite llegar a la siguiente ecuación:

(xP − n4 +m4 sin (θy + φ4))2 + (yP + c4)2 ++ (zP − b4 +m4 cos (θy + φ4))2 + (f4 + g4)2 − r24 == 2 (f4 + g4) [(yP + c4) sin β4 + (zP − b4 +m4 cos (θy + φ4)) cosβ4]

(14.49)A partir de las relaciones (14.44b) y (14.44c) es posible obtener las expre-

siones del seno, coseno y tangente del ángulo β4

tan β4 = yP + c4zP − b4 +m4 cos (θy + φ4)

(14.50)

cosβ4 = zP − b4 +m4 cos (θy + φ4)√(yP + c4)2 + [zP − b4 +m4 cos (θy + φ4)]2

(14.51)

sin β4 = yP + c4√(yP + c4)2 + [zP − b4 +m4 cos (θy + φ4)]2

(14.52)

Sustituyendo las expresiones (14.51) y (14.52) en la ecuación (14.49) seobtiene la siguiente ecuación:

(xP − n4 +m4 sin (θy + φ4))2 + (yP + c4)2 ++ (zP − b4 +m4 cos (θy + φ4))2 + (f4 + g4)2 − r24 == 2 (f4 + g4)

√(yP + c4)2 + [zP − b4 +m4 cos (θy + φ4)]2

(14.53)

De este modo, la ecuación (14.53) constituye la segunda de las dos ecuacio-nes no lineales que permitirán obtener los valores de los ángulos β12 y θy. Conellos, será posible resolver el problema de posición directo del manipulador deforma completa.

14.3.3. Eliminación de la Variable θyLas ecuaciones (14.34) y (14.53), una vez se sustituyan las coordenadas del

punto P mostradas en la expresión (14.15), forman un sistema de dos ecuacio-nes no lineales con dos incógnitas, las variables β12 y θy. Geométricamente, si


analizamos la forma de las ecuaciones que constituyen el problema, las solu-ciones del problema de posición directo vienen determinadas por los puntos deintersección comunes entre el plano yP = vP , el cilindro x2

P +(zP − b12)2 = w2P ,

ambas expresiones resultantes de las ecuaciones (14.15), y las superficies tóricasdefinidas por las ecuaciones (14.34) y (14.53).

De este modo, a partir de la geometría relacionada con el problema podemosver cuál es su complejidad, la que se puede intuir bastante elevada.

14.3.3.1. Resolución General

Con objeto de eliminar los términos radicales que en ellas aparecen, eleva-remos al cuadrado ambos miembros de las ecuaciones (14.34) y (14.53), obte-niéndose dos ecuaciones en la forma siguiente para los valores de i iguales a 3y 4: [

(xP − ni +mi sin (θy + φi))2 + (yP + ci)2 +

+ (zP − bi +mi cos (θy − φi))2 + (fi + gi)2 − r2i]2−

−4 (fi + gi)2[(yP + ci)2 + (zP − bi +mi cos (θy + φi))2

]= 0

(14.54)

Haciendo el cambio de variable habitual

sθ = tan θy2

(14.55)

el cual permite expresear el seno y el coseno del ángulo θy como

cos θy = 1− s2θ1 + s2θ

(14.56)

sin θy = 2sθ1 + s2θ

(14.57)

y multiplicando ambas ecuaciones por(1 + s2θ

)2, se pueden reescribir las ecua-ciones (14.54) como de la forma siguiente

H34s4θ +H33s

3θ +H32s

2θ +H31sθ +H30 = 0

H44s4θ +H43s

3θ +H42s

2θ +H41sθ +H40 = 0

(14.58)


donde los términos que en ellas aparecen tienen por valor:

Hi4 = F 2i2 −Gi4

Hi3 = 2Fi1Fi2 −Gi3Hi2 = 2Fi0Fi2 −Gi2Hi1 = 2Fi0Fi1 −Gi1Hi0 = F 2

i0 −Gi4

Fi2 = (xP − ni)2 + (yP + ci)2 + (zP − bi)2 + 2di (xP − ni)− 2hi (zP − bi) +

+ (fi + gi)2 +m2i − r2i

Fi1 = 4hi (xP − ni) + 4di (zP − bi)

Fi0 = (xP − ni)2 + (yP + ci)2 + (zP − bi)2 − 2di (xP − ni) + 2hi (zP − bi) +

+ (fi + gi)2 +m2i − r2i

Ri4 = 4 (fi + gi)2[(yP + ci)2 + (zP − bi)2 + h2

i − 2hi (zP − bi)]

Ri3 = 16di (fi + gi)2 (zP − bi − di)

Ri2 = 8 (fi + gi)2[(yP + ci)2 + (zP − bi)2 − h2

i − 2hi (zP − bi)]

Ri1 = 16di (fi + gi)2 (zP − bi + di)

Ri0 = 4 (fi + gi)2[(yP + ci)2 + (zP − bi)2 + h2

i + 2hi (zP − bi)]

Poniendo las variables xP , yP y zP en función de β12, a partir de la expresión(14.15), los coeficientes anteriores se pueden reescribir como

Fi2 = 2wP (di − ni) cosβ12 + 2wP (b12 − bi − hi) sin β12+

+ (vP + ci)2 + w2P + (b12 − bi − hi)2 + (fi + gi)2 + d2

i − r2iFi1 = 4wPhi cosβ12 + 4wP di sin β12+

+ 4di (b12 − bi)− 4hiniFi0 = −2wP (di + ni) cosβ12 + 2wP (b12 − bi + hi) sin β12+

+ (vP + ci)2 + w2P + (b12 − bi + hi)2 + (fi + gi)2 + d2

i − r2i


Ri4 = 4 (fi + gi)2[2wP (b12 − bi − hi) sin β12 − w2

P cos2 β12+

+ (vP + ci)2 + w2P + (b12 − bi − h3)2

]Ri3 = 16di (fi + gi)2 (wP sin β12 + b12 − bi − di)

Ri2 = 8 (fi + gi)2[2wP (b12 − bi − hi) sin β12 − w2

P cos2 β12+

+ (vP + ci)2 + w2P + (b12 − bi − hi)2

]

Ri1 = 16di (fi + gi)2 (wP sin β12 + b12 − bi + di)

Ri0 = 4 (fi + gi)2[2wP (b12 − bi + hi) sin β12 − w2

P cos2 β12+

+ (vP + ci)2 + w2P + (b12 − bi + h3)2

]Aplicando el método de eliminación dialítica de Silvester al sistema de ecua-

ciones (14.58) se obtiene la siguiente ecuación matricial:

H30 H31 H32 H33 H34 0 0 0H40 H41 H42 H43 H44 0 0 00 H30 H31 H32 H33 H34 0 00 H40 H41 H42 H43 H44 0 00 0 H30 H31 H32 H33 H34 00 0 H40 H41 H42 H43 H44 00 0 0 H30 H31 H32 H33 H340 0 0 H40 H41 H42 H43 H44

1sθs2θs3θs4θs5θs6θs7θ

=

00000000

(14.59)

Para que el sistema lineal homogéneo (14.59) tenga solución, es necesarioque la matriz de dicha ecuación sea singular. Para que esto ocurra es necesarioque el determinante de la matriz anterior se anule:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

H30 H31 H32 H33 H34 0 0 0H40 H41 H42 H43 H44 0 0 00 H30 H31 H32 H33 H34 0 00 H40 H41 H42 H43 H44 0 00 0 H30 H31 H32 H33 H34 00 0 H40 H41 H42 H43 H44 00 0 0 H30 H31 H32 H33 H340 0 0 H40 H41 H42 H43 H44

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 (14.60)


Haciendo de nuevo el cambio de variable

sβ = tan β12

2(14.61)

cosβ12 =1− s2β1 + s2β

(14.62)

sin β12 = 2 sβ1 + s2β

(14.63)

se llega a obtener un polinomio univariante en sβ de grado 32 a partir delcual se podría resolver el valor del ángulo β12. La resolución de este polinomiounivariante se realizaría en primer lugar mediante computación simbólica, lacual permitiría obtener a partir de la ecuación (14.60) la expresión numéricadel polinomio univariante. Tras esto, la resolución de este polinomio deberá serefectuada numéricamente.

14.3.3.2. Caso Particular

Una resolución más sencilla se puede plantear en un caso como el mostradoen la Fig. 14.1, en el que los desalineamientos de los elementos superiores einferiores de las cadenas paralelogramo 3 y 4 quedan compensados

f3 + g3 = 0f4 + g4 = 0

haciendo que no sea necesario elevar al cuadrado las ecuaciones (14.34) y(14.53). Geométricamente, estas relaciones implican que las ecuaciones (14.34)y (14.53) pasan de ser superficies tóricas generales a degenerar a simples esferas.

De nuevo, haciendo el cambio de variable

sθ = tan θy2

(14.64)

y multiplicando ambas ecuaciones por(1 + s2θ

), se pueden reescribir las ecua-

ciones (14.30b) y (14.47b) de la forma siguiente:

F32s2θ + F31sθ + F30 = 0 (14.65)

F42s2θ + F41sθ + F40 = 0 (14.66)


Figura 14.1: Geometría simplificada del manipulador

Aplicando el método de eliminación dialítica de Silvester al sistema de ecua-ciones (14.65) se obtiene la siguiente ecuación matricial:

F30 F31 F32 0F40 F41 F42 00 F30 F31 F320 F40 F41 F42

1sθs2θs3θ

=

0000

(14.67)

Para que el sistema lineal homogéneo (14.67) tenga solución, nuevamente esnecesario que la matriz de dicha ecuación sea singular. Por tanto, la expresiónque se debe verificar es la siguiente:∣∣∣∣∣∣∣∣

F30 F31 F32 0F40 F41 F42 00 F30 F31 F320 F40 F41 F42

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 (14.68)

De este modo, la ecuación (14.68) definiría una ecuación univariante enel ángulo β12. Con objeto de obtener una ecuación polinómica efectuaremos


nuevamente el cambio de variable

sβ = tan β12

2(14.69)

a partir del cual es posible llegar a obtener un polinomio univariante en lavariable sβ de grado 8 a partir del cual se puede resolver el valor del ángulo β12.Nuevamente sería necesario recurrir en primer lugar a la computación simbólicade la ecaución (14.68) a partir de la cual obtener la exprisón numérica delpolinomio univariante, para acontnuación proceder a la resolución numéricadel mismo.

Como se puede observar, a medida que se va simplificando el modelo delmanipulador, el polinomio univariante que se obtiene va a siendo de menorgrado, lo que simplifica la resolución en gran medida. De este modo, en el casode que las siguientes relaciones se verifiquen

b12 = b3 = b4

h3 = 0h4 = 0

el polinomio univariante que se obtiene queda reducido a un polinomio de grado3 en cosβ12.

T3 cos3 β12 + T2 cos2 β12 + T1 cosβ12 + T0 = 0 (14.70)

Este último caso, mostrado en la Fig. 14.2, permite resolver en forma cerradala expresión del ángulo β12, resolución que será expuesta a continuación.

14.3.3.3. Resolución de β12

Una vez obtenido el polinomio univariante, es posible calcular a partir delos diferentes valores de β12 que el manipulador tendrá en cada uno de susdiferentes modos de ensamble.

En general, la resolución del polinomio univariante ha de ser numérica. Sinembargo, en el caso particular en el que el polinomio univariante se reducea un polinomio de grado 3, es posible su resolución analítica1. Dividiendo laexpresión (14.70) por T3 se obtiene la siguiente expresión

cos3 β12 +Q2 cos2 β12 +Q1 cosβ12 +Q0 = 0 (14.71)1El método de resolución de la ecuación cúbica será la Fórmula de Tartaglia.


Figura 14.2: Geometría simlificada del manipulador

siendo los términos que en ella aparecen

Q2 = T2

T3Q1 = T1

T3Q0 = T0

T3

Realizando el cambio de variable

ν = cosβ12 + Q2

3⇔ cosβ12 = ν − Q2

3(14.72)

también denominado como Transformación de Tchirnhausen, el problema que-da reducido a la resolución de la ecuación cúbica de la forma siguiente:

ν3 + ρν + σ = 0 (14.73)

siendo

ρ = Q1 −Q2

23

(14.74)

σ = 2(Q2

3

)3− Q2Q1

3+Q0 (14.75)

La expresión (14.73) sigue siendo un polinomio de grado 3 en ν, aparen-temente de resolución más sencilla que la de la ecuación (14.70), aunque noinmediata. Su resolución pasa por hacer la siguiente sustitución

ν = p1 + p2 (14.76)


sustitución que permite obtener la siguiente ecuación

p31 + p3

2 + σ + (3p1p2 + ρ) (p1 + p2) = 0 (14.77)

Sin embargo, con el cambio de variable ν = p1+p2 hemos pasado de resolveruna ecuación cúbica en una variable a un problema con dos incógnitas. Debidoa esto, es necesario imponer una restricción adicional que entre los valores delas incógnitas p1 y p2. Por ejemplo, la relación que podemos imponer es lasiguiente

3p1p2 + ρ = 0 (14.78)

la cual permite reducir la ecuación (14.77) a una expresión más sencilla:

p31 + p3

2 = −σ (14.79)

Además, a partir de la relación (14.78), es inmediato obtener también larelación

p31p

32 = −

(ρ3

)3(14.80)

Recordando las propiedades que verifican las dos soluciones de la ecuacióncuadrática, a partir de las expresiones (14.79) y (14.80), se deduce que lostérminos p3

1 y p32 son raíces de una ecuación cuadrática de la forma

(p3)2 + σ

(p3)− (ρ

3

)3= 0 (14.81)

Estudiando la resolución de la ecuación cuadrática anterior es posible plan-tear 3 casos diferenciados:

Si(σ2)2 +

(ρ3)3> 0 la ecuación cúbica (14.70) posee una única raiz real.

Si(σ2)2 +

(ρ3)3 = 0 la ecuación cúbica (14.70) posee raíces múltiples y

reales.

Si(σ2)2 +

(ρ3)3< 0 la ecuación cúbica (14.70) posee tres raíces reales.

Dejando a un lado la resolución general de la ecuación cúbica y volviendoal caso que estamos tratando, en nuestro problema siempre se verificará lasiguiente relación (σ

2

)2+(ρ

3

)3≤ 0 (14.82)


De este modo, la ecuación cuadrática (14.81) presentará soluciones comple-jas de la forma siguiente

p3k = −σ

2± i√−(σ

2

)2−(ρ

3

)3= 3

√−(ρ

3

)3e(−1)kiζ (14.83)

donde el ángulo ζ tiene por expresión

ζ = arctan√−1− 4ρ3

27σ2 (14.84)

Por tanto, los términos p1 y p2 se obtendrán obteniendo las tres raícescúbicas de los números complejos anteriores:

p1 =√−ρ

3eiζ+2j1π

3 j1 = −1, 0, 1 (14.85)

p2 =√−ρ

3ei−ζ+2j2π

3 j2 = −1, 0, 1 (14.86)

De este modo, recordando que p1 y p2 deben verificar (14.78), se puedeobtener que las soluciones ν de la ecuación cúbica tienen la forma siguiente:

ν1 =√−ρ

3

(eiζ−2π

3 + ei−ζ+2π

3

)= 2√−ρ

3cos(ζ − 2π

3

)(14.87)

ν2 =√−ρ

3

(eiζ3 + ei

−ζ3

)= 2√−ρ

3cos(ζ

3

)(14.88)

ν3 =√−ρ

3

(eiζ+2π

3 + ei−ζ−2π

3

)= 2√−ρ

3cos(ζ + 2π

3

)(14.89)

Deshaciendo el cambio de variable se obtienen las tres posibles solucionesde cosβ12 que estábamos buscando.

cosβ12 = νi −Q2

3= 2√−ρ

3cos(ζ + 2jiπ

3

)− Q2

3(14.90)

A partir de las soluciones de la ecuación cúbica (14.70) es necesario obtenerlas soluciones reales del ángulo β12, las cuales evidentemente verificarán larelación

−1 ≤ cosβ12 ≤ 1


14.3.4. Resolución de θyUna vez se han obtenido las raíces reales de cosβ12, las soluciones de la va-

riable θy se obtendrán como las raíces comunes a las dos ecuaciones cuadráticasdel sistema de ecuaciones (14.65).

θy = 2arctan

(−Gi ±

√G2i − 4FiHi

2Fi

)(14.91)

Operativamente se trabajará con orientaciones comprendidas en el inter-valo −π ≤ θy ≤ π ⇔ −∞ ≤ sθ ≤ ∞. La selección de la raíz adecuada serealizará según la orientación de trabajo que se esté buscando y sabiendo que,en cualquier caso obtendremos dos raíces, una de signo positivo y la otra designo negativo.

15

Problema de Posición Inverso

15.1. Introducción

El objetivo de la resolución del problema cinemático de posición inverso esobtener a partir de la posición y orientación conocidas de la plataforma móvilla posición de los actuadores. En el problema inverso se considera conocidala posición y orientación de la plataforma móvil a partir de la posición delpunto P , definida por su vector de posición p, y el ángulo de orientación θyde la plataforma móvil. Con estos datos se deberá obtener la posición de losactuadores lineales definida por las variables q1, q2, q3 y q4.

15.2. Resolución de q1 y q2

A partir de la expresión (14.15) es posible obtener la posición 12p del pun-to P en el sistema de referencia móvil (OUVW )12 a partir de la siguienteexpresión: [12p

1

]=[012RT −0

12RTo120T 1

] [p1

](15.1)

12uP12vP12wP

1

=

sin β12 0 − cosβ12 b12 cosβ12

0 1 0 0cosβ12 0 sin β12 −b12 sin β12

0 0 0 1

xPyPzP1

(15.2)

427

428 Problema de Posición Inverso

Sabiendo que el punto P estará en todo momento situado sobre el planomóvil π12 se puede plantear la siguiente relación

12uP = xP sin β12 − (zP − b12) cosβ12 = 0 (15.3)

relación a partir de la cual se puede definir el ángulo de posición β12 del planoπ12 mediante las siguientes relaciones

tan β12 = zP − b12xP

cosβ12 = xP√x2P + (zP − b12)2

sin β12 = zP − b12√x2P + (zP − b12)2

(15.4)

Conocido el valor del ángulo β12, se pueden obtener fácilmente las coorde-nadas 12vP y 12wP a partir de las expresiones siguientes:

12vP = yP12wP = xP cosβ12 + (zP − b12) sin β12 =

=√x2P + (zP − b12)2

(15.5)

El siguiente paso consistirá en resolver la cadena cinemática 1, resolviendoen primer lugar el valor de γ1 a partir de la expresión (14.7):

sin γ1 =12wP − f1 − g1

r1

cos γ1 =

√r21 − (12wP − f1 − g1)2

r1

(15.6)

Tras esto, podemos obtener el valor del término n1 a partir de la ecuación(14.5), con lo que la longitud del accionamiento q1 tendrá por valor

q1 = e1 + n1 − a1 − d1 (15.7)

15.3. Resolución de q3 429

La resolución de la cadena cinemática 2 se realizará de forma análoga. Apartir de la expresión (14.8) se puede obtener el valor del ángulo γ2 como

sin γ2 =12wP − f2 − g2

r2

cos γ2 =

√r22 − (2wP − f2 − g2)2

r2

(15.8)

Tras esto, a partir de la ecuación (14.6) se obtiene el valor del término n2,con lo que la longitud del accionamiento q2 tendrá por valor

q2 = e2 − n2 − a2 − d2 (15.9)

15.3. Resolución de q3

Conocidos el vector de posición p y el ángulo θy, es inmediato obtener laposición de F3 en el sistema de referencia fijo f3 a partir de las expresiones(14.24):

xF3 = xP +m3 sin (θy + φ3) (15.10a)yF3 = yP + c3 (15.10b)zF3 = zP +m3 cos (θy + φ3) (15.10c)

Tras esto, y a partir de las relaciones (14.22), se puede obtener la posición3f3 del punto F3 en el sistema de referencia móvil (OUVW )3 a partir de lassiguientes expresiones: [3f3

1

]=[03RT −0

3RTo30T 1

] [f31

](15.11)

3uF33vF33wF3

1

=

1 0 0 00 cosβ3 − sin β3 b3 sin β30 sin β3 cosβ3 −b3 cosβ30 0 0 1

xF3

yF3

zF3

1

(15.12)

Sabiendo que el punto F3 se encontrará en todo instante dentro del planomóvil F3

3vF3 = yF3 cosβ3 − (zF3 − b3) sin β3 = 0 (15.13)


se puede definir el ángulo de posición β3 del plano π12 a partir de las siguientesexpresiones:

tan β3 = yF3

zF3 − b3

cosβ3 = zF3 − b3√y2F3

+ (zF3 − b3)2

sin β3 = yF3√y2F3

+ (zF3 − b3)2

(15.14)

Conocido el valor del ángulo β3, se puede obtener fácilmente de las coorde-nadas 3uF3 y 3wF3 como:

3uF3 = xF3 (15.15)3wF3 = yF3 sin β3 + (zF3 − b3) cosβ3 = (15.16)

=√y2F3

+ (zF3 − b3)2 (15.17)

Si eliminamos a partir de las ecuaciones (14.18) y (14.20) el ángulo γ3 esposible obtener la siguiente ecuación:(3uF3 − n3

)2 +(3wF3 − f3 − g3

)2 = r23 (15.18)

ecuación a partir de la cual se obtiene el valor del término n3

n3 = 3uF3 ±√r23 − (3wF3 − f3 − g3)

2 (15.19)

Una vez calculado n3, a partir de la expresión (14.18) se obtiene el valor dela longitud del accionamiento q3 de la forma siguiente

q3 = e3 − n3 − a3 (15.20)

Con estos datos, el ángulo γ3 se puede obtener como

tan γ3 =3wF3 − f3 − g3n3 − 3uF3

cos γ3 = n3 − 3uF3

r3

sin γ3 =3wF3 − f3 − g3

r3

(15.21)

15.4. Resolución de q4 431

15.4. Resolución de q4

Del mismo modo explicado en el apartado anterior, una vez conocidos elvector de posición p y el ángulo de orientación θy, es inmediato obtener laposición del punto F4 en el sistema de referencia fijo f4 a partir de las relaciones(14.43):

xF4 = xP +m4 sin (θy + φ4)yF4 = yP + c4

zF4 = zP +m4 cos (θy + φ4)(15.22)

A partir de las relaciones (14.41) se puede obtener la posición del punto F4en el sistema de referencia móvil (OUVW )4 4f4 de la forma siguiente:[4f4

1

]=[04RT −0

4RTxO4

0T 1

] [f41

](15.23)

3uF43vF43wF4

1

=

1 0 0 00 cosβ4 − sin β4 b3 sin β40 sin β4 cosβ4 −b3 cosβ40 0 0 1

xF4

yF4

zF4

1

(15.24)

Sabiendo que el punto F4 se encontrará en todo instante dentro del planomóvil F4 podemos llegar a la siguiente relación

4vF4 = yF4 cosβ4 − (zF4 − b4) sin β4 = 0 (15.25)

a partir de la cual se puede definir el valor del ángulo de posición β4 del planoπ4 como

tan β4 = yF4

zF4 − b4

cosβ4 = zF4 − b4√y2F4

+ (zF4 − b4)2

sin β4 = yF4√y2F4

+ (zF4 − b4)2

(15.26)


Conocido el ángulo β4, el valor de las coordenadas 4uF4 y 4wF4 se puedenobtener también de forma sencilla:

4uF4 = xF4 (15.27)4wF4 = yF4 sin β4 + (zF4 − b4) cosβ4 = (15.28)

=√y2F4

+ (zF4 − b4)2 (15.29)

Eliminando el ángulo γ3 a partir de (14.37) y (14.39) es posible obtener lasiguiente relación: (4uF4 − n4

)2 +(4wF4 − f4 − g4

)2 = r24 (15.30)

relación a partir de la cual podemos obtener el valor del término n4:

n4 = 4uF4 ±√r24 − (4wF4 − f4 − g4)

2 (15.31)

Una vez calculado el término n4, a partir de la relación (14.37) obtenemosla longitud del accionamiento q4:

q4 = n4 + e4 − a4 (15.32)

Con estos datos, el ángulo γ4 se puede obtener como

tan γ4 =4wF4 − f4 − g4

4uF4 − n4

cos γ4 =4uF4 − n4

r4

sin γ4 =4wF4 − f4 − g4

r4

(15.33)

15.5. Espacio de Trabajo

Se define el Espacio de Trabajo del Manipulador como el lugar geométricode puntos del espacio a los cuales el manipulador es capaz de llegar en su salida.Matemáticamente vendrá dado por aquellos puntos del espacio para los cualesexiste solución del problema cinemático de posición inverso.

15.5. Espacio de Trabajo 433

15.5.1. Restricciones Matemáticas del Espacio de TrabajoA partir de lo visto en el apartado anterior, los puntos del espacio de trabajo

deberá verificar las siguientes condiciones:

r21 −(12wP − f1 − g1)2 ≥ 0⇔

∣∣12wP − f1 − g1∣∣ ≤ r1 (15.34)

r22 −(12wP − f2 − g2)2 ≥ 0⇔

∣∣12wP − f2 − g1∣∣ ≤ r2 (15.35)

r23 −(3wF3 − f3 − g3

)2 ≥ 0⇔∣∣3wF3 − f3 − g4

∣∣ ≤ r3 (15.36)

r24 −(4wF4 − f4 − g4

)2 ≥ 0⇔∣∣4wF4 − f4 − g4

∣∣ ≤ r4 (15.37)

Desarrollando las expresiones anteriores podemos obtener las expresionesde las superficies que limitan el espacio e trabajo:

Si wP − f1 − g1 ≥ 0

x2P + (zP − b12)2 ≥ (f1 + g1)2

x2P + (zP − b12)2 ≤ (r1 + f1 + g1)2

Si wP − f1 − g1 < 0

x2P + (zP − b12)2 ≤ (f1 + g1)2

x2P + (zP − b12)2 ≥ (r1 − f1 − g1)2

Si wP − f2 − g2 ≥ 0

x2P + (zP − b12)2 ≥ (f2 + g2)2

x2P + (zP − b12)2 ≤ (r2 + f2 + g2)2

Si wP − f2 − g2 < 0

x2P + (zP − b12)2 ≤ (f2 + g2)2

x2P + (zP − b12)2 ≥ (r2 − f2 − g2)2

Si 3wF3 − f3 − g3 ≥ 0

(yP + c3)2 + (zP − b3 +m3 cos (θy + φ3))2 ≥ (f3 + g3)2

(yP + c3)2 + (zP − b3 +m3 cos (θy + φ3))2 ≤ (r3 + f3 + g3)2


Si 3wF3 − f3 − g3 < 0

(yP + c3)2 + (zP − b3 +m3 cos (θy + φ3))2 ≤ (f3 + g3)2

(yP + c3)2 + (zP − b3 +m3 cos (θy + φ3))2 ≥ (r3 − f3 − g3)2

Si 4wF4 − f4 − g4 ≥ 0

(yP + c4)2 + [zP − b4 +m4 cos (θy + φ4)]2 ≥ (f4 + g4)2

(yP + c4)2 + [zP − b4 +m4 cos (θy + φ4)]2 ≤ (r4 + f4 + g4)2

Si 4wF4 − f4 − g4 < 0

(yP + c4)2 + [zP − b4 +m4 cos (θy + φ4)]2 ≤ (f4 + g4)2

(yP + c4)2 + [zP − b4 +m4 cos (θy + φ4)]2 ≥ (r4 − f4 − g4)2

Geométricamente, el espacio de trabajo del manipulador será el volumenencerrado por los ocho cilindros anteriores.

16

Análisis de Velocidades ySingularidades

16.1. Introducción

La realización del análisis de velocidades del manipulador supone obtener larelación por medio de la cuál se puede obtener los parámetros de velocidad desalida a partir de los parámetros de velocidad de entrada y viceversa, una vezha sido resuelto el problema de posición del manipulador. En su planteamientoaparecerán las denominadas matrices jacobianas, matrices que permitirán larealización del análisis de singularidades.

16.2. Ecuación Matricial de Velocidad

A partir de las ecuaciones vectoriales de posición del elemento terminal delmanipulador se pueden obtener las ecuaciones de velocidad. De este modo,derivando respecto del tiempo las ecuaciones vectoriales de posición (14.1),(14.16) y (14.35) obtenemos:

p = q1 j + ωP × (p− f1) + ωπ12 × (d1 − c1)+ ωD1E1 × (e1 − d1) + ωπ12 × (f1 − e1) (16.1)

p = −q2 j + ωP × (p− f2) + ωπ12 × (d2 − c2)+ ωD2E2 × (e2 − d2) + ωπ12 × (f2 − e2) (16.2)

435

436 Análisis de Velocidades y Singularidades

p = −q3 i + ωP × (p− f3) + ωπ3 × (d3 − c3)+ ωD3E3 × (e3 − d1) + ωπ3 × (f3 − e3) (16.3)

p = q4 i + ωP × (p− f4) + ωπ4 × (d4 − c4)+ ωD4E4 × (e4 − d4) + ωπ4 × (f4 − e4) (16.4)

Multiplicando escalarmente cada uno de los miembros de las ecuacionesanteriores por los vectores ei − di con objeto de eliminar los términos de velo-cidades angulares pasivos se obtienen las siguientes ecuaciones:

(e1 − d1)T p + ωTP (f1 − p)× (e1 − d1) = q1 (e1 − d1)T j (16.5)

(e2 − d2)T p + ωTP (f2 − p)× (e2 − d2) = −q2 (e2 − d2)T j (16.6)

(e3 − d3)T p + ωTP (f3 − p)× (e3 − d3) = q3 (e3 − d3)T i (16.7)

(e4 − d4)T p + ωTP (f4 − p)× (e4 − d4) = −q4 (e4 − d4)T i (16.8)

Sabiendo que la velocidad angular ωP de la plataforma móvil del manipu-lador queda definida como

ωP = θy j (16.9)agrupando las ecuaciones anteriores en forma matricial es posible obtener laecuación de velocidad del manipulador

Jv v = Jq q (16.10)

donde las matrices jacobianas que en ella aparecen tienen por expresión siendo

Jv =

[(f1 − p)× (e1 − d1)]T j (e1 − d1)T

[(f2 − p)× (e2 − d2)]T j (e2 − d2)T

[(f4 − p)× (e3 − d3)]T i (e3 − d3)T

[(f4 − p)× (e4 − d4)]T i (e4 − d4)T

(16.11)

Jq =

(e1 − d1)T j 0 0 0

0 − (e2 − d2)T j 0 00 0 − (e3 − d3)T i 00 0 0 (e4 − d4)T i

(16.12)

mientras los términos de velocidades de entrada q y twist 4-dimensional de laplataforma móvil v quedan definidos como

v =[θyp

](16.13)

16.2. Ecuación Matricial de Velocidad 437

q =

q1q2q3q4

(16.14)

donde el término p define la velocidad lineal del punto P , el término θy definela velocidad angular del elemento terminal del manipulador, mientras que lostérminos q1, q2, q3 y q4 definen las velocidades de entrada de cada uno de losaccionamientos lineales del manipulador.

Debido a que el manipulador que está siendo estudiado es un manipuladorparalelo de baja movilidad, la matriz jacobiana Jx es una matriz rectangularde dimensión 4×4, mientras la matriz jacobiana Jq es una matriz cuadrada dedimensión 4.

16.2.1. Aplicación de la Screw Theory

La movilidad instantánea del manipulador puede estudiarse analizando ladimensión del twist del elemento terminal del manipulador, a partir de losconceptos de Screw Theory, mostrados brevemente en el apartado 3.4.

Cadena cinemática 1 El twist resultante del elemento plataforma $p apartir de la cadena cinemática 1 puede obtenerse como combinación linealde cuatro screws linealmente independientes, que forman un 4-sistema. Estosscrews son:

$1,1 asociado al par prismático del punto B1. Éste es un screw de pasoh =∞.

$1,2 asociado al par rotacional del punto C1. Éste es un screw de pasoh = 0.

$1,3 asociado al paralelogramo articulado plano. El paralelogramo añadeuna traslación dentro del plano π al elemento E1F1. Éste es un screw depaso h =∞.

$1,4 asociado al par rotacional del punto F1. Éste es un screw de pasoh = 0.


De este modo, los screw que definen el movimiento del elemento terminaldel manipulador a partir de la cadena cinemática 1 quedan definidos como

$1,1 =[

0v12

]$1,2 =

[v12

c1 × v12

]$1,3 =

[0s1

]$1,4 =

[v12

f1 × v12

]siendo

s1 = (e1 − d1)× u12

‖(e1 − d1)× u12‖(16.15)

$P =4∑j=1

qj $1,j (16.16)

Al formar los screws de esta cadena cinemática un 4-sistema de tipo 3 $∞ y1 $0, el wrench1 del elemento terminal del manipulador ha de ser de dimensión2 del tipo 2-$∞. Este wrench estará definido por 2 reciprocal screws al twist dela plataforma móvil. Estos screws son los siguientes

$r,1 =[

0u12

]$r,2 =

[0

w12

]Los screws que componen el wrench de la plataforma móvil son ambos

screws de paso h = ∞ que representan momentos puros en las direccionesU12 y W12. Por tanto, esto indica que los únicos movimientos impedidos dela plataforma móvil son los giros en las direcciones X y Z. Por tanto dichoelemento presenta 4 GDL instantáneos, 3 de traslación y 1 de rotación en ladirección de V12, la cual coincide con la dirección Y .

Cadena cinemática 2 Al ser la cadena cinemática 2 de igual arquitecturaque la cadena cinemática 1, podemos plantear de forma idéntica los cuatroscrews que generan el movimiento del elemento terminal del manipulador:



1El conjunto de fuerzas y momentos que limitan el movimiento de un elemento.


(a) $1,1 y $2,1 (b) $1,2 y $2,2

(c) $1,3 y $2,3 (d) $1,4 y $2,4

Figura 16.1: Screws asociados a las cadenas cinemáticas 1 y 2

$2,3 asociado al paralelogramo articulado plano. El paralelogramo añadeuna traslación dentro del plano π al elemento D2E2. Éste es un screw depaso h =∞.



Estos screws tendrán la forma siguiente:

$2,1 =[

0−v12

]$2,2 =

[v12

c2 × v12

]$2,3 =

[0s2

]$2,4 =

[v12

f2 × v12

]siendo

s2 = (e2 − d2)× u12

‖(e2 − d2)× u12‖(16.17)

$P =4∑j=1

qj · $2,j (16.18)

Del mismo modo al plantado para la cadena cinemática 1, los reciprocalscrew al twist de la plataforma correspondientes a la cadena cinemática 2 son:

$r,1 =[

0u12

]$r,2 =

[0

w12

]Como se puede observar, el wrench proporcionado por esta cadena cinemá-

tica es idéntico al proporcionado por la cadena cinemática 1.

Cadena cinemática 3 El twist resultante del elemento plataforma $p apartir de la cadena cinemática 3 puede obtenerse como combinación lineal decinco screws linealmente independientes. Estos screws son de la forma siguiente:




$3,4 asociado al par rotacional del punto G3. Éste es un screw de pasoh = 0.



$P =5∑j=1

qj · $3,j (16.19)

De este modo, los screws anteriormente mencionados tienen la forma si-guiente:

$3,1 =[

0−u3

]$3,2 =

[u3

c3 × u3

]$3,3 =

[0s3

]$3,4 =

[u3

f3 × u3

]$3,5 =

[j

f3 × j

]siendo

s3 = − (e3 − d3)×w3

‖(e3 − d3)× u3‖(16.20)

Según puede observarse, el twist resultante del elemento plataforma $p apartir de la cadena cinemática 3 forma un 5-sistema del tipo 3-$∞ y 2-$0,siendo por tanto el wrench correspondiente a esta cadena el definido por unúnico screw de paso ∞ de la forma siguiente:

$r,1 =[0k

].

Cadena cinemática 4 El twist resultante del elemento plataforma $p apartir de la cadena cinemática 4 puede obtenerse como combinación lineal decinco screws linealmente independientes. Estos screws son de la forma siguiente:





(a) $3,1 y $4,1 (b) $3,2 y $4,2

(c) $3,3 y $4,3 (d) $3,4 y $4,4

(e) $3,5 y $4,5

Figura 16.2: Screws asociados a las cadenas cinemáticas 3 y 4


$4,4 asociado al par rotacional del punto G4. Éste es un screw de pasoh = 0.


De este modo, los screws anteriormente citados tienen la forma siguiente:

$3,1 =[

0u4

]$3,2 =

[u4

c4 × v4

]$3,3 =

[0w4

]$3,4 =

[u4

f4 × u4

]$3,5 =

[j

f4 × j

]siendo

s4 = (e4 − d4)×w4

‖(e4 − d4)× u4‖(16.21)

$P =5∑j=1

qj · $4,j (16.22)

De igual forma al caso anterior, el wrench correspondiente a esta cadenacinemática vendrá definido por un único screw de paso ∞ de la forma:

$r,1 =[0k

]Ensamblado del manipulador Tras el ensamblado de las cuatro cadenascinemáticas del manipulador con su elemento terminal, el movimiento que éstese será capaz de realizar vendrá definido por la intersección de los twist gene-rados por cada una de las cadenas. Lo que es lo mismo, el wrench resultantedel elemento terminal al estar unid a todas las cadenas vendrá definid por launión de los wrench correspondientes a cada una de ellas.

De este modo, el wrench resultante define un screw system de dimensión2 siendo todos sus screws de tipo $∞, el cual puede ser definido por los dosscrews siguientes:

$r,1 =[0i

]$r,2 =

[0k

]Por lo tanto, el twist resultante del elemento terminal del manipulador

definirá un 4-sistema de tipo 3-$∞ y 1-$0.


16.3. Ecuación de Velocidad Obtenida Mediante ScrewTheory

Un método alternativo para la obtención de la Ecuación de Velocidad es elempleo de la Screw Theory (Tsai, 1998a). En el apartado 16.2.1 analizamos lamovilidad del elemento terminal a partir de los screws asociados a cada uno delos pares cinemáticos que formaban cada cadena cinemática del manipulador.

El concepto de reciprocal screw puede ser usado nuevamente para la ob-tención de la ecuación de velocidad. El concepto está basado en la eliminaciónde los screws asociados a los pares cinemáticos pasivos, mediante los recipro-cal screws a todos los screws de cada cinemática excepto a los de los parescinemáticos actuados.

$R1 $P =4∑j=1

qj $R1 $1,j = q1 $R $1,1

$R2 $P =4∑j=1

qj $R2 $2,j = q2 $R $2,1

$R3 $P =5∑j=1

qj $R3 $3,j = q3 $R $3,1

$R4 $P =5∑j=1

qj $R4 $4,j = q4 $R $4,1

(16.23)

A partir de los screws de cada cadena cinemática del manipulador se puedenobtener los correspondientes reciprocal screws, screws definidos de la formasiguiente

$R1 =[

r1(f1 − p)× r1

]$R2 =

[r2

(f2 − p)× r2

]$R3 =

[r3

(f3 − p)× r3

]$R4 =

[r4

(f4 − p)× r4

]siendo los vectores ri los vectores unitarios en la dirección definida por cadauno de los paralelogramos que componen el manipulador:

r1 = 1ri

(ei − di) i = 1, . . . 4

16.3. Ecuación de Velocidad Obtenida Mediante Screw Theory 445

Agrupando las ecuaciones (16.23) obtenemos la siguiente expresión:

Π

$TR1

$TR2

$TR3

$TR4

$P =

$TR1

$1,1 0 0 00 $TR2

$2,2 0 00 0 $TR3

$3,3 00 0 0 $TR4

$4,4

q1q2q3˙lq4

(16.24)

Para una mayor simplicidad en la notación definiremos los vectores ni comolos siguientes productos vectoriales:

ni = (fi − p)× ri i = 1, . . . 4

De este modo, la ecuación de velocidad del manipulador puede escribirsede la forma siguiente:

nT1 rT1nT2 rT2nT3 rT3nT4 rT4

[ωPp]

=

rT1 v12 0 0 0

0 −rT2 v12 0 00 0 −rT3 u3 00 0 0 rT4 u4

q1q2q3q4

(16.25)

Se puede observar como las expresiones (16.10) y (16.25) son equivalen-tes, habiéndose eliminado en (16.25) las dimensiones ri de los paralelogramosarticulados.

Sin embargo, en la ecuación de velocidad anterior faltaría la inclusión de lasecuaciones de restricción que impone el wrench de cada cadena cinemática queforma el manipulador sobre el twist del elemento terminal del manipulador.Según se vio en el apartado 16.2.1, el wrench generado por las cuatro cadenascinemáticas sobre el elemento plataforma se define como

W = span([

0i

],

[0k

])(16.26)

A partir de estos resultados, sabiendo que

W T$P = 0 (16.27)

la ecuación de velocidad (16.25) puede ser reescrita como

A$P = Bq (16.28)


nT1 rT1nT2 rT2nT3 rT3nT4 rT4iT 0TkT 0T

[ωPp

]=

rT1 v12 0 0 0

0 −rT2 v12 0 00 0 −rT3 u3 00 0 0 rT4 u40 0 0 00 0 0 0

q1q2q3q4

(16.29)

obteniéndose la ecuación de velocidad completa del manipulador.

16.4. Análisis de Singularidades

16.4.1. Singularidades en el Problema DirectoAparece singularidad en el problema directo si el rango de la matriz jacobia-

na Jv decrece o, lo que es lo mismo, decrece el rango de la matriz jacobina A.Este último hecho lleva implícito que |A| = 0, al ser esta una matriz cuadrada.El significado físico de esta singularidad hace que aparezca la posibilidad deobtener movimientos de salida v no nulos para valores nulos de las variablesde entrada q.

Desarrollando el determinante de la matriz jacobiana A mostrada en laecuación (16.28), podemos llegar a la siguiente expresión

|A| = −(nT1 j

) [rT2 (r3 × r4)

]+(nT2 j

) [rT1 (r3 × r4)

]−(nT3 j

) [rT4 (r1 × r2)

]+(nT4 j

) [rT3 (r1 × r2)

]expresión que puede ser reescrita de una forma más simplificada como

|A| = (r1 × r2)T[(

nT4 j)

r3 −(nT3 j

)r4]

(16.30)

gracias a que, debido a la particular geometría del manipulador que verificaque los puntos F1, F2 y P se encuentran en todo instante en el plano π12, loque provoca que se anulen los siguientes términos:

nT1 j = nT2 j = 0

La Fig. 16.3 muestra una posición singular de este tipo, en donde se verificael paralelismo de los vectores r1 y r2.

16.4.2. Singularidades en el Problema InversoAparece singularidad en el problema inverso si decrece el rango de las ma-

trices jacobianas Jq y B. Para que esto se verifique es necesario que bien el


Figura 16.3: Movimiento incontrolado del manipulador

determinante de Jq sea igual a 0, o bien se anule el determinante de AAT . Fí-sicamente esta singularidad hace que para entradas q 6= 0 se obtengan valoresnulos de las velocidades de salida x. Esto puede ocurrir si matemáticamente seda alguna de estas situaciones:

rT1 v12 = 0⇔ r1 ⊥ v12 = j

rT2 v12 = 0⇔ r2 ⊥ v12 = j

rT3 u3 = 0⇔ r3 ⊥ u3 = i

rT4 u4 = 0⇔ r4 ⊥ u4 = i

A modo de ejemplo, la Fig. 16.4 muestra una posición singular de este tipoen donde se verifica la ortogonalidad de los vectores r3 e i.

16.4.3. Singularidades IIMLas singularidades IIM (ver apartado 12.6) aparecen cuando el manipulador

adquiere GDL adicionales. Siguiendo el procedimiento seguido en la referenciaGosselin y Angeles (1990), esta singularidad aparecería cuando se dan simultá-neamente las singularidades en ambos problemas directo e inverso (|A| = 0 y


|Jq| = 0). Las condiciones geométricas que provocan que ambas singularidadesaparezcan simultáneamente son las siguientes:

Figura 16.4: Elipse de traslación del elemento terminal en la posición singular

Figura 16.5: Singularidad IIM


1. r1 × r2 = 0.

2. rT1 j = 0.

3. rT2 j = 0.

Sin embargo, como ya fue mencionado en otros apartados, el procedimientomostrado en Gosselin y Angeles (1990) no es capaz de detectar todas las singu-laridades IIM, como por ejemplo la mostrada en la Fig. 16.5. En esta posiciónel manipulador alcanza un total de 9 GDL instantáneos, mientras que la pla-taforma móvil adquiere un patrón de velocidades 1T2R. Esta singularidad noes detectada a partir de las condiciones arriba expuestas, ya que no cumple lasparticularidades geométricas 2 y 3. El análisis de este tipo de singularidades serealizará a partir de la formulación jacobiana expuesta en esta Tesis Doctoral,la cual sí permite detectar este tipo de singularidades.

17

Prototipo del Manipulador

17.1. Aplicaciones

En la industria aeronáutica, se realizan continuamente operaciones como eltaladrado de paneles, el remachado de los mismos, o la aplicación de composites.Este tipo de operaciones son realizadas habitualmente de forma manual, ocuando son automatizadas se emplean máquinas enormes de estructura seriecon objeto de cumplir las especificaciones impuestas de precisión y de, porejemplo, magnitud del impacto del remachado.

De este modo, este tipo de operaciones pueden ser consideradas como unasaplicaciones potenciales en las que emplear manipuladores paralelos. Su pre-cisión, rigidez y su elevada relación carga/masa les hace perfectos candidatospara este tipo de aplicaciones. Sin embargo, las características espaciales queposeen los manipuladores paralelos hacen que sea necesario un diseño cuidadosoque tenga en cuenta el lugar donde van a ser empleados. Si tenemos en cuentalos reducidos espacios de trabajo que poseen en relación a la gran superficieen la que deberían operar en la industria aeronáutica, su montaje sobre mesastraslacionales puede ser una solución adecuada.

El manipulador presentado en este apartado está pensado para realizar ope-raciones de mecanizado sobre perfiles aeronáuticos dotados de una curvaturareducida, como puede ser el caso de un ala de avión. Con objeto de proporcionarun espacio de trabajo longitudinal lo suficientemente grande, el manipuladorse montará sobre una base desplazable, o alternativamente el montar el perfilaeronáutico sobre una mesa de trabajo traslacional. El prototipo mostrado enla Fig. 17.2 ha sido realizado en el Departamento de Ingeniería Mecánica de

451

452 Prototipo del Manipulador

(a) Operaciones manuales

(b) Operaciones automatizadas

Figura 17.1: Operaciones sobre superficies aeronáuticas

17.2. Diseño Libre de Singularidades 453

la Universidad del País Vasco – Euskal Herriko Unibertsitatea. La fotografíamostrada se corresponde con un diseño inicial del manipulador, en el que losactuadores lineales del mismo son accionados manualmente. Una vez redefinidala estructura del manipulador con objeto de evitar problemas con singularida-des y optimizar la operación, el maipulador será controlado por un CNC Fagor80701, dotado de una arquitectura abierta capaz de controlar manipuladoresbasados en cinemática paralela.

Figura 17.2: Prototipo

17.2. Diseño Libre de Singularidades

Sin embargo, la definición de un modelo totalmente simétrico del manipu-lador posee unos inconvenientes bastante importantes, debido a la aparición

1Fagor Automation R©.


de una singularidad de Tipo II en la posición que podría ser considerada co-mo origen. En esta singularidad se pierde el control sobre el GDL de rotacióndel elemento terminal, apareciendo el movimiento incontrolado mostrado en laFig. 17.3. Un video de este prototipo inicial alcanzando esta posición singularpuede verse en la página web http://www.ehu.es/compmech/web_research.html. Debido al efecto de las holguras y la reducida rigidez de algunos elemen-tos y pares, el teórico movimiento incontrolado instantáneo llega a convertirseen un movimiento incontrolado real y finito, tal y como se muestra en estevídeo.

Figura 17.3: Movimiento incontrolado en la posición singular citada

Este inconveniente se soluciona situando la posición origen rotada 45o, tal ycomo se muestra en la Fig. 17.4. Para conseguir obtener un espacio de trabajolo suficientemente grande, las longitudes r3 y r4 deben ser escogidas apropia-damente, lo cual conduce a la pérdida total de la simetría del manipulador.

http://www.ehu.es/compmech/web_research.html

http://www.ehu.es/compmech/web_research.html

17.2. Diseño Libre de Singularidades 455

Figura 17.4: Diseño libre de singularidades del manipulador

Parte V

Diseño de un Manipulador deCinemática Paralela de 4 Gradosde Libertad para MovimientoSCARA

457

18

Descripción del Manipulador

18.1. Introducción

El manipulador que ahora se presenta a continuación está orientado a suaplicación en operaciones de pick & place, en donde se requiere alcanzar velo-cidades y aceleraciones muy elevadas, una elevada rigidez y una alta precisión.Estos requisitos son los que hacen a los manipuladores paralelos una opción aser tenida en cuenta en este tipo de aplicaciones. Makino y Furuya (Makino yFuruya, 1982) reconocieron ya en los años 80 que la mayoría de operaciones depick & place están relacionadas con la manipulación de objetos de geometríaplana, como en la industria electrónica.

A pesar de que para este tipo de aplicaciones únicamente se requerirían3 GDL de traslación, la adición de un cuarto grado de libertad de rotacióndefinido en la hipotética dirección normal al elemento terminal del manipula-dor le proporcionaría la capacidad de situar cualquier objeto en la orientaciónadecuada según esta dirección.

Entre la extensa lista de posibilidades que a partir de lo mostrado en elapartado 5.2 se podrían plantear, se debería escoger una arquitectura determi-nada que cumpliera los requisitos impuestos de la mejor forma posible. Estosrequisitos serán los siguientes:

Se preferirá le empleo de actuadores lineales al uso de motores rotativos,con objeto de obtener una mayor precisión en el posicionamiento delrobot.

No se emplearán pares prismáticos en disposición flotante. Esto implicaría

459


la necesidad de incluir en el robot las necesarias guías sobre las que dichospares deslizarían, guías que deberían poseer la longitud adecuada para elrango de movimientos a realizar. Sin embargo, estas guías deberían estarsiempre ahí, lo que añadiría peso adicional al manipulador junto conla introducción de un mayor número de posibles interferencias entre elconjunto de elementos que compondrían la arquitectura del robot.

Una parte fundamental, con vistas a su producción y su mejor funciona-miento es la de que el manipulador considerado posea una estructura lomás sencilla posible.

Además, con objeto de realizar su control un CNC convencional, se de-berá buscar el manipulador con una cinemática lo más sencilla posible,buscando las resolución en forma cerrada de las ecuaciones de posicióndel mismo.

OBX Y

Z

P

M

A1 ≡ A2

A3 ≡ A4

B1 B2

B3B4 C1 C2

C3C4

D1 D2

D3D4

Figura 18.1: Arquitectura de manipulador paralelo de 4 GDL con movimientoSchönflies

18.2. Patrón de Movimiento a partir de la Teoría de Grupos 461

18.2. Patrón de Movimiento a partir de la Teoría deGrupos

La cadena cinemática PRPaRR, tal y como se puede observar en la Ta-bla 4.61, puede ser considerada como una de las posibles materializaciones dela ligadura cinemática de 5 GDL Tu · RB,rb · Tv · RC,rc · RD,rd, endonde el subgrupo de traslación Tu es realizado por el par P en la direcciónu, el subgrupo de traslación Tv es generado por el par Pa en la direcciónv, y los subgrupos RB,rb, RC,rc y RD,rd son realizados por los pares Rsituados en los puntos Bi, Ci y Di respectivamente (Fig. 18.2).

u v

rb

rc

rd

Figura 18.2: Ligadura cinemática 3T2R Xe · RD,rd generada por cada lacadena PRPaRR

Considerando que el eje de los generadores de rotación RB,rb y RC,rcson paralelos, el desplazamiento generado por la cadena cinemática PRPaRRes análogo a la ligadura cinemática Xe·RD,rd (Fig. 18.2), en donde el vectorunitario e define la dirección del GDL de rotación del subgrupo Xe, el cualverifica la siguiente ecuación:

e ‖ rb ‖ rc ⇔ e× rb = e× rc = 0 (18.1)


Cadena i ei ird1 j k2 i k3 j k4 i k

Tabla 18.1: Direcciones de rotación permitidas por cada cadena cinemática

Figura 18.3: Patrón de movimiento 3T1R Xk del manipulador

Si analizamos el modo en el que las cuatro cadenas cinemáticas se ensam-blan en el elemento terminal del manipulador, mostrado en la Tabla 18.1, el

18.2. Patrón de Movimiento a partir de la Teoría de Grupos 463

desplazamiento que el manipulador puede realizar, definido por la intersecciónde los desplazamientos generados por cada cadena cinemática, resultando elsubgrupo de movimiento Xk, quedando el GDL de rotación definido en ladirección Z:

4⋂i=1Xei ·

RDi,ird

= Xk (18.2)

De este modo, la arquitectura de manipulador escogida será la mostrada enla Fig. 18.1, figura en la que se puede observar una representación esquemáticade su modelo cinemático. La estructura del manipulador puede ser denominadacomo 4−PRPaRR, colocados los diferentes elementos y pares cinemáticos taly como se muestra en la figura.

19

Problemas de Posición

19.1. Problema de Posición Directo

El objetivo del problema de posición directo consiste en obtener el valor delos parámetros de salida, definidos a partir del vector de posición del puntocentral P del elemento central del manipulador

p =

xPyPzP

y la orientación de dicho elemento en su rotación alrededor de la direccióndel eje Z, definida por el ángulo θ, a partir de las variables de entrada delmanipuladores, esto es, la longitud de los actuadores lineales q1, q2, q3 y q4.

De este modo, la posición del punto P puede ser obtenida a partir de cadauna de las cadenas cinemáticas del manipulador (Fig. 18.1) como

p = ai + (bi − ai) + (ci − bi) + (di − ci) + (pi − di) i = 1, . . . 4 (19.1)

donde el vector de posición de un punto Xi se denota mediante el vector xi.Además, el vector de posición de los puntos Ai quedan definidos como

a1 = a2 = a (i + j) (19.2)a3 = a4 = −a (i + j) (19.3)

donde los vectores i, j,k definen una base ortonormal de referencia ligado ala base fija del manipulador B.Gracias a la arquitectura del manipulador, los

465

466 Problemas de Posición

vectores bi − ai quedan expresados en función de las variables qi como

b1 − a1 = q1 i b3 − a3 = −q3 ib2 − a2 = q2 j b4 − a4 = −q4 j (19.4)

mientras los vectores ci − bi quedan definidos como

c1 − b1 = −c i c3 − b3 = c ic2 − b2 = −c j c4 − b4 = c j (19.5)

El elemento terminal del manipulador tiene forma cuadrada, de valor desu semidiagonal d, quedando definida la posición de los puntos de unión Di

con cada una de las cadenas cinemáticas en un sistema de referencia móvilM(PUVW ) unido rígidamente a él como

p1 − d1 = du p3 − d3 = −dup2 − d2 = dv p4 − d4 = −dv (19.6)

siendo u,v,w una base ortonormal de vectores ligada al movimiento de laplataforma móvil.

La transformación de este sistema de vectores queda definida como

u = i cos θ + j sin θv = −i sin θ + j cos θw = k

(19.7)

de donde se obtiene la matriz R que rota el sistema de referenciaM al sistemade referencia fijo B como

R =

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

siendo θ el ángulo de orientación de la plataforma móvil respecto al sistema dereferencia fijo.

Ya que los vectores ci − bi han de verificar las condiciones de restricciónsiguientes

‖ci − bi‖2 = r2 i = 1, . . . 4 (19.8)

19.1. Problema de Posición Directo 467

P

UV

O X

Y

A1, A2

A3, A4

B1

B2

B3

B4

D1D2

D3 D4

C1

C2

C3

C4

θ

i

j

Figura 19.1: Vista en planta del manipulador

donde r representa la distancia de separación entre estos puntos, las cuatroecuaciones no lineales que definen la posición del manipulador quedan obtenidasde la forma siguiente:

(xP + d cos θ − n1)2 + (yP + d sin θ − a)2 + z2P = r2 (19.9)

(xP − d sin θ − a)2 + (yP + d cos θ − n2)2 + z2P = r2 (19.10)

(xP − d cos θ + n3)2 + (yP − d sin θ + a)2 + z2P = r2 (19.11)

(xP + d sin θ + a)2 + (yP − d cos θ + n4)2 + z2P = r2 (19.12)

donde los términos ni quedan definidos como

ni = qi + a− c i = 1, . . . 4 (19.13)

A partir de las ecuaciones (19.9), (19.10), (19.11) y (19.12), se pueden obte-ner tres ecuaciones lineales independientes en las variables xP y yP , expresadas


de la forma siguientes:

A1 · xP +B1 · yP + C1 = 0 (19.14)A2 · xP +B2 · yP + C2 = 0 (19.15)A3 · xP +B3 · yP + C3 = 0 (19.16)

A1 = cos θ − n1 + n3

2dA2 = sin θ + a

d

A3 = n1 − n3

2d

B1 = sin θ − a

d

B2 = − cos θ + n2 + n4

2dB3 = n4 − n2

2d

C1 = n3 − n1

2cos θ − n2

3 − n21

4d

C2 = n2 − n4

2cos θ − n2

2 − n24

4dC3 = n1 − n2 + n3 − n4

2cos θ + 2a sin θ

− n21 − n2

2 + n23 − n2

44d

De este modo, a partir de las ecuaciones lineales (19.14), (19.15) y (19.16),se puede obtener una ecuación univariante en la variable θ empleando la elimi-nación dialítica de Sylvester:A1 B1 C1

A2 B2 C2A3 B3 C3

xPyP1

=

000

(19.17)

19.2. Problema de Posición Inverso 469

⇒

∣∣∣∣∣∣A1 B1 C1A2 B2 C2A3 B3 C3

∣∣∣∣∣∣ = 0 (19.18)

Empleando el cambio de variable

s = tan θ2

(19.19)

cos θ = 1− s2

1 + s2sin θ = 2 s

1 + s2(19.20)

y multiplicando la expresión resultante por(1 + s2

)2, es posible obtener unpolinomio de cuarto grado en s:

T4s4 + T3s

3 + T2s2 + T1s+ T0 = 0 (19.21)

Es necesario recordar que el polinomio de cuarto grado posee resolución enforma cerrada (Barbeau, 1989). De este modo, una vez obtenidos los valoresreales de s, es posible obtener los valores resultantes del ángulo θ sin más quedeshacer el cambio de variable anterior:

θ = 2 · arctan s (19.22)

A partir de estos valores, los términos Ai, Bi y Ci quedan totalmente defini-dos, por lo que los valores de las variables xP e yP pueden obtenerse resolviendolas ecuaciones lineales (19.17). Finalmente, conocidos los valores de xP e yP ,a partir de cualquiera de las ecuaciones cuadráticas (19.9), (19.10), (19.11) o(19.12) se puede obtener el valor de la variable zP .

19.2. Problema de Posición Inverso

El objetivo del problema de posición inverso es obtener el valor de las va-riables de entrada q1, q2, q3 y q4 a partir de las variables de salida conocidas,la posición del punto P del manipulador, definida por su vector de posición p,y el ángulo de orientación θ.

A partir de las ecuaciones de posición (19.9), (19.10), (19.11) y (19.12),teniendo en cuenta las relaciones (19.13), los valores de las variables de entrada


qi se obtienen de forma inmediata:

q1 = xP + d cos θ − a+ c±√r2 − (yP + d sin θ − a)2 − z2

P (19.23)

q2 = yP + d cos θ − a+ c±√r2 − (xP − d sin θ − a)2 − z2

P (19.24)

q3 = −xP + d cos θ − a+ c±√r2 − (yP − d sin θ + a)2 − z2

P (19.25)

q4 = −yP + d cos θ − a+ c±√r2 − (xP + d sin θ + a)2 − z2

P (19.26)

Es obvio que las expresiones (19.23), (19.24), (19.25) y (19.26) definen un

Figura 19.2: Espacio de trabajo. θ = 0, a = 100, c = 100, r = 1000

total de 24 diferentes soluciones del problema de posición inverso. Además, laexistencia de estas soluciones implica que los puntos del espacio a los que elpunto P puede llegar deben estar incluidos dentro del volumen definido por laintersección de los cuatro cilindros siguientes:

(yP + d sin θ − a)2 + z2P ≤ r2 (19.27)

(xP − d sin θ − a)2 + z2P ≤ r2 (19.28)

(yP − d sin θ + a)2 + z2P ≤ r2 (19.29)

(xP + d sin θ + a)2 + z2P ≤ r2 (19.30)

19.2. Problema de Posición Inverso 471

Un hecho destacable que se puede observar a partir de las ecuaciones ante-riores es que el volumen del espacio de trabajo del manipulador es dependientede la orientación del elemento terminal, siendo mayor para valores de θ próxi-mos a 0 y de menor tamaño a medida que nos separamos de este valor.

El hecho de incluir las limitaciones físicas de los actuadores tiene a su vez unaspecto negativo en el espacio de trabajo del manipulador, ya que en funciónde los valores de estos límites mínimos y máximos, el volumen de su espacio detrabajo se vería considerablemente reducido.

Figura 19.3: Espacio de trabajo con limitaciones de carrera en los accionamien-tos. θ = 0, a = 100, c = 100, r = 1000, qmin = 0, qmax = 1400

En concreto, si incluimos las restricciones físicas de los accionamientos

qmin ≤ qi ≤ qmax i = 1, . . . 4 (19.31)

el espacio de trabajo se vería afectado por las siguientes condiciones

(xP − a+ c− qmax)2 + (yP + d sin θz − a)2 + z2P ≥ r2 (19.32)

(xP − d sin θz − a)2 + (yP − a+ c− qmax)2 + z2P ≥ r2 (19.33)

(xP + a− c− qmax)2 + (yP − d sin θz + a)2 + z2P ≥ r2 (19.34)

(xP + d sin θz + a)2 + (yP + a− c− qmax)2 + z2P ≥ r2 (19.35)


debido a los límites de carrera máximos y

(xP − a+ c− qmin)2 + (yP + d sin θz − a)2 + z2P ≤ r2 (19.36)

(xP − d sin θz − a)2 + (yP − a+ c− qmin)2 + z2P ≤ r2 (19.37)

(xP + a− c− qmin)2 + (yP − d sin θz + a)2 + z2P ≤ r2 (19.38)

(xP + d sin θz + a)2 + (yP + a− c− qmin)2 + z2P ≤ r2 (19.39)

debido a los límites de carrera mínimos.A modo de ejemplo, la Fig. 19.3 muestra el espacio de trabajo resultante

de considerar las diferentes restricciones físicas de los actuadores.

20

Análisis de Velocidades ySingularidades

20.1. Ecuación Matricial de Velocidad

A partir de las ecuaciones vectoriales de posición del manipulador es posibleobtener las ecuaciones de velocidad del mismo. En concreto, derivando respectodel tiempo las cuatro ecuaciones vectoriales de posición (19.1) obtenemos lassiguientes ecuaciones de velocidad:

p = q1 i + ωP × (p− d1) + ωB1C1 × (c1 − b1) (20.1)

p = q2 j + ωP × (p− d2) + ωB2C2 × (c2 − b2) (20.2)

p = −q3 i + ωP × (p− d3) + ωB3C3 × (c3 − b3) (20.3)

p = −q4 j + ωP × (p− d4) + ωB4C4 × (c4 − b4) (20.4)

Con objeto de obtener unas ecuaciones de velocidad ligan exclusivamentetérminos de entrada con términos de salida, multiplicaremos escalarmente estascuatro ecuaciones de velocidad por cada uno de los vectores unitarios en lasdirecciones BiCi, definidos como

ri = 1r

(ci − bi) i = 1, . . . 4 (20.5)

473


obteniendo de este modo las siguientes expresiones:

rT1 p + ωTP [(d1 − p)× r1] = q1 ·(rT1 i)

(20.6)rT2 p + ωTP [(d2 − p)× r2] = q2

(rT2 j)

(20.7)rT3 p + ωTP [(d3 − p)× r3] = q3

(−rT3 i

)(20.8)

rT4 p + ωTP [(d4 − p)× r4] = q4(−rT4 j

)(20.9)

Considerando que el vector velocidad angular del elemento terminal delmanipulador queda definida por medio de la expresión

ωP = θ k (20.10)

podemos expresar las ecuaciones de velocidad en forma matricial de la formasiguiente:

Jv v = Jq q (20.11)

donde

v =[θp

]define el twist 4-dimensional de la plataforma móvil y las matrices jacobianasJv y Jq quedan definidas como

Jv =

sT1 k rT1sT2 k rT2sT3 k rT3sT4 k rT4

, Jq =

rT1 i 0 0 00 rT2 j 0 00 0 −rT3 i 00 0 0 −rT4 j

(20.12)

donde el vector si define el siguiente producto vectorial:

si = (di − p)× ri i = 1, . . . 4

Además, el vector de entradas queda definido como

q =

q1q2q3q4

20.2. Singularidades 475

20.2. Singularidades

20.2.1. Singularidades del Problema Inverso

Cuando el manipulador se encuentra en una singularidad del problema in-verso, esto supone el hecho de que su elemento terminal no pueda realizar algu-nos de los cuatro desplazamientos que según su patrón de movimiento pudierarealizar, o incluso la totalidad de los mismos.

Desde un punto de vista matemático, estas singularidades aparecen cuandoel rango de la matriz jacobiana Jq disminuye instantánamente. Esta condiciónse cumple al anularse el determinante de la matriz jacobiana Jq:

|Jq| = 0 (20.13)

Esto sucede cuando se verifica alguna de las siguientes condiciones geomé-tricas:

rT1 i = 0⇔ r1 ⊥ i (20.14)rT2 j = 0⇔ r2 ⊥ j (20.15)rT3 i = 0⇔ r3 ⊥ i (20.16)rT4 j = 0⇔ r4 ⊥ j (20.17)

En la práctica, estas singularidades aparecen cuando el manipulador alcanzalos límites de su espacio de trabajo. A modo de ejemplo, la Fig. 20.1 presentauna singularidad de este tipo, en donde el elemento terminal del manipulador haperdido la capacidad cualquier movimiento. Esto es, se cumplen las condiciones(20.14), (20.15), (20.16) y (20.17) simultáneamente.

20.2.2. Singularidades del Problema Directo

El hecho de que el manipulador alcance una singularidad del problema ci-nemático directo supone que se puede perder el control sobre alguna de susposibilidades de movimiento. Esta pérdida del control tiene por causa la apa-rición de una dependencia lineal entre las entradas q del manipulador, tal ycomo se muestra en la referencia (Altuzarra et al., 2004).

Desde un punto de vista puramente matemático, estas singularidades apa-recen cuando el rango de la matriz jacobiana Jv disminuye. Por Este hecho se


Figura 20.1: Singularidad del problema cinemático inverso

verifica al anularse el determinante de Jv.

|Jv| =(sT1 k

) [rT2 (r3 × r4)

]−(sT2 k

) [rT1 (r3 × r4)

]+(sT3 k

) [rT4 (r1 × r2)

]−(sT4 k

) [rT3 (r1 × r2)

]= 0 (20.18)

Sin embargo, a pesar de que todas las singularidades del problema directoque el manipulador pueda presentar vengan definidas por la ecuación |Jv| = 0,el movimiento incontrolado que puede aparecer de unas singularidades a otraspuede ser completamente diferente. A partir del concepto de espacio del movi-miento mostrado en las referencias (Altuzarra et al., 2004) y (Altuzarra et al.,2006b), y desarrollado en el Capítulo 12 de esta Tesis, es posible determinar eltipo de movimientos incontrolados asociados a estas singularidades. En las Fi-guras 20.2 y 20.3 se muestran dos posibles singularidades del problema directoy sus movimientos incontrolados asociados

Tras el análisis de la ecuación (20.18), se debe destacar que la colinealidadde los actuadores debe ser evitada, con objeto de evitar la aparición de sin-gularidades de este tipo dentro del espacio de trabajo del manipulador, lo que

20.2. Singularidades 477

Figura 20.2: Singularidad del problema directo con un movimiento de traslaciónincontrolada a lo largo de la dirección

√2 (i− j) /2

conduce a imponer la siguiente relación:

a > 0 (20.19)

Sin embargo, a medida que el valor de a aumenta, el volumen de trabajo delmanipulador disminuye considerablemente, tal y como muestran las ecuaciones(19.27) a(19.30). De este modo, el dimensionamiento óptimo del manipuladordeberá encontrar una solución de compromiso entre el comportamiento del ma-nipulador frente a singularidades y la maximización de su volumen de trabajo.

20.2.3. Singularidades IIMTal y como se presentó en el apartado 12.6 , las singularidades IIM son po-

siciones singulares en las que el manipulador adquiere GDL adicionales. Paradeterminar la aparición de este tipo de singularidades es necesario emplear unaecuación de velocidad completa, esto es, que incluya no solo términos activos,sino también pasivos. Algunos procedimientos realizados desarrollando estaidea son los presentados en las referencias (Altuzarra et al., 2004) y (Zlatanov


Figura 20.3: Singularidad del problema directo con un movimiento helicoidalincontrolado a lo largo de la dirección k

et al., 1998a). En el caso del manipulador aquí presentado, el análisis de singu-laridades se ha realizado a partir de los enfoques expuestos en las referencias(Altuzarra et al., 2004) y (Altuzarra et al., 2006b), desarrolladas en profundi-dad en el transcurso de esta Tesis, resultando que no existen configuracionesIIM dentro del espacio de trabajo del manipulador.

20.3. Sensibilidad, Precisión y Amplificación deVelocidad

Un vez ha sido realizado el análisis de singularidades del manipulador y hansido definidas las condiciones necesarias para que éstas se produzcan, se hacenecesario estudiar cómo se ha de comportar el manipulador en condiciones nosingulares.

Los conceptos de sensibilidad y precisión en un manipulador hace referenciaa cuál va a ser su comportamiento ante el caso de que se haya cometido un ciertoerror en las entradas introducidas. Es evidente que, debido a estos errores, elmanipulador no podrá alcanzar la posición objetivo. Pero, por otro lado, se

20.3. Sensibilidad, Precisión y Amplificación de Velocidad 479

hace necesario poder cuantificar si estos errores se van a ver amplificados odisminuidos, y qué zonas del espacio de trabajo del manipulador van a ser másadecuadas en este aspecto.

El concepto de amplificación de velocidad hace referencia a la facultad delmanipulador de obtener unas velocidades de salida elevadas a partir de unasentradas de un módulo no elevado.

El lector puede entender cómo todos estos conceptos se encuentran ligadosentre sí y puede llegar a comprender cómo todos ellos se relacionan con losanálisis de singularidades precedentes. Partamos de la consideración de que elmanipulador analizado se encuentra en una configuración en la que el control delmovimiento de su extremo terminal ha sido perdido. Esta pérdida de controlconlleva irremediablemente la aparición de un movimiento incontrolado quepuede hacernos comprender la relación existente entre todos estos conceptos.

La pérdida del control del manipulador supone la extrema sensibilidad yla nula precisión del manipulador en este tipo de configuraciones singulares.Sin embargo, desde el punto de vista de la amplificación de velocidad podemosconsiderar este tipo de configuraciones como óptimas, entendiendo como tal lacapacidad de obtener salidas de módulo incontrolado a partir de entradas demódulo muy pequeño o incluso nulo.

A modo de ejemplo, y como prueba de evaluación del comportamiento delmanipulador, se obtiene el factor de amplificación de velocidad en el modo detrabajo habitual, para el caso de la traslación vertical del elemento terminal enel caso que

xP = yP = 0 θ = 0 (20.20)

factor de amplificación que tiene por expresión

‖zP ‖ =

√14r2 − a2 − z2

P

z2P

‖qt‖ (20.21)

ϕz (zP ) =

√14r2 − a2 − z2

P

z2P

= 12

√(r

zP

)2 [1−

(ar

)2]− 1 (20.22)

Según se puede observar en la expresión (20.22), dicho factor de amplifica-ción depende básicamente de la geometría del manipulador (expresada median-te el cociente a/r) y de la configuración en cuestión (el valor de la coordenadazP ). De este modo, en la Fig. 20.4 podemos observar diferentes curvas del factorde amplificación de velocidad para diferentes relaciones a/r.


0 r5√

32r

5√

33r

5√

34r

5√

3r√3 zP

ar = 1

10

ar = 9

10

1

2

3

4

5

6

7

8ψ

Figura 20.4: Amplificación de velocidad

Una imagen aclaradora del concepto de amplificación de velocidad puedeverse en la Fig. 20.5, donde a partir de entradas de módulo relativamentepequeño obtenemos una velocidad de salida de una magnitud considerable.

Para el caso de evaluar la sensibilidad del manipulador bajo idénticas condi-ciones a las antes descritas, basta con expresar la siguiente ecuación empleandodiferencias en vez de derivadas totales:

‖∆zP ‖ = ϕz (zP ) ‖∆qt‖ (20.23)

De este modo, podemos concluir que las configuraciones con una amplifica-ción de velocidad elevada son también configuraciones con una gran sensibilidada perturbaciones y de escasa precisión.

20.4. Análisis Estático

La realización del análisis estático permitirá obtener una idea preliminarde las condiciones operativas del manipulador, las fuerzas necesarias en los

20.4. Análisis Estático 481

Figura 20.5: Amplificación de velocidad

actuadores para equilibrar los esfuerzos exteriores aplicados sobre el elementoplataforma. De este modo también se obtendrá una idea sobre las característicasde rigidez del manipulador. Debido a la dualidad fuerza-velocidad, la ecuaciónde transmisión estática de fuerzas puede derivarse a partir de la ecuación develocidad del manipulador.

De este modo, en ausencia de fuerzas disipativas actuando sobre el mani-pulador puede aplicarse el principio de las potencias virtuales:

P = ρTv + τT q = 0 (20.24)

siendo ρ el vector de esfuerzos aplicados sobre el elemento terminal del mani-pulador y τ el vector de esfuerzos en los accionamientos.

A partir de la expresión (20.11), en ausencia de singularidad en el problemainverso, se puede obtener:

Jv v = Jq q⇒ q = J−1q Jv v = J−1v (20.25)


Sustituyendo la expresión (20.25) en la ecuación (20.24), se obtiene la si-guiente relación:

ρTv + τTJ−1v = vT(ρ+ J−T τ

)= 0 (20.26)

Debido a que la ecuación (20.26) debe verificarse para cualquier movimien-to v del elemento terminal del manipulador, es necesario que se verifique lasiguiente igualdad

J−T τ = −ρ (20.27)

de donde obtenemos la expresión de los esfuerzos en los accionamientos como:

τ = −JTρ = −Jq J−Tv ρ (20.28)

La expresión (20.28) pone de manifiesto las siguientes reflexiones:

Es sumamente beneficioso trabajar en zonas próximas a las superficiesde singularidad en el Problema Inverso, ya que en estas zonas es po-sible soportar grandes esfuerzos aplicados sobre el elemento plataformaempleando esfuerzos en los actuadores bastante reducidos.

En las proximidades a las superficies de singularidad del Problema Directola rigidez estática del manipulador cae drásticamente, por lo que estaszonas deben ser evitadas.

Quizá el punto más interesante desde el punto de vista del diseño es conocerde qué forma afecta la cercanía a configuraciones singulares a los esfuerzos quehan de soportar los actuadores.

Volvamos una vez más sobre el caso presentado en la Sección 20.3. Supon-gamos que bajo los supuestos anteriores cargamos nuestro manipulador con unesfuerzo vertical Rz, esfuerzo que puede ser considerado como el correspon-diente al peso de un determinado objeto situado sobre el elemento terminaldel manipulador. Bajo estos supuestos, el vector de fuerzas actuantes sobre elmanipulador ρ toma por expresión

ρ =

00−Rz

0

(20.29)

De este modo, el esfuerzo máximo que han de soportar los actuadores enel supuesto de traslación vertical a lo largo del eje Z para una orientación del

20.4. Análisis Estático 483

elemento plataforma θz = 0 tiene por expresión

‖τ‖∞ = Rz4

√r2 − a2 − z2

P

z2P

= Rz4

√r2 − a2 − z2

P

z2P

Rz =

= Rz4

√(r

zP

)2 [1−

(ar

)2]− 1 =

= Rz2ϕz (zP )

(20.30)

De este modo, queda de manifiesto que a medida que nos encontramos máscerca de una configuración singular en la que se pierde el control del manipu-lador, el esfuerzo máximo que han de soportar los actuadores bajo una cargade trabajo es dependiente del factor de amplificación de velocidad, esfuerzosque pueden verse multiplicados en gran medida según más cercana sea dichaconfiguración singular.

21

Diseño Óptimo del Manipulador

21.1. Introducción

El planteamiento de todos los estudios teóricos presentados en los anterio-res capítulos tiene un claro objetivo, el de definir y realizar un manipuladorparalelo real, dotado de las dimensiones más adecuadas que permitan obtenerel comportamiento más idóneo. Por tanto, este Capítulo profundizará en labúsqueda del diseño óptimo del manipulador.

En los últimos años, y en vista de la multitud de nuevas arquitecturas demanipuladores paralelos aparecidas, el diseño óptimo de este tipo de mecanis-mos ha recibido una gran atención por un buen número de investigadores, comomuestra por ejemplo las referencias (Hay y Snyman, 2004; Collard et al., 2005).En las referencias (Stock y Miller, 2003; Miller, 2004) se presenta el diseño óp-timo de dos manipuladores traslacionales de diferente arquitectura, el robotDelta lineal y el robot NUWAR; las referencias (Ottaviano y Ceccarelli, 2002)y (Huang et al., 2003) mostraron el caso del diseño óptimo de manipuladorescon un patrón de movimiento exclusivamente rotacional; la referencia (Xu yLi, 2006) empleó algoritmos genéticos para la optimización de la rigidez delmanipulador paralelo 3− PUU ; mientras que las referencias (Liu et al., 2006,2007) muestran dos casos simples de manipuladores paralelos planos.

Las referencias anteriores muestran el empleo de los enfoques más tradicio-nales en los procesos de optimización dimensional de manipuladores paralelos.Sin embargo, estas técnicas no son las únicas a utilizar dentro de este tipode problemas. Como muestra de esto, en la referencia (Hao y Merlet, 2005),

485

486 Diseño Óptimo del Manipulador

Hao y Merlet emplearon técnicas basadas en el análisis por intervalos para laoptimización multiobjetivo de manipuladores paralelos.

Ligado al diseño óptimo de manipuladores podemos encontrar el diseño iso-trópico de los mismos. Este tipo de diseño busca la localización de las posicionesdel manipulador que resulten estar mejor condicionadas, las denominadas posi-ciones isotrópicas, y las condiciones geométricas que deberían darse para poderalcanzarlas. Las referencias (Angeles, 1992; Angeles y López-Cajún, 1992; Da-niali et al., 1995; Zanganeh y Angeles, 1997; Fattah y Ghasemi, 2002) muestranun análisis intensivo de esta temática.

Los problemas de optimización multiobjetivo han sido un tema bastantefrecuente en los problemas relacionados con el campo de la ingeniería estruc-tural, como muestran las referencias (Pietrzak, 1999; Kim y de Weck, 2005;Carmichael, 1980; Das y Dennis, 1998). Este tipo de optimización tiene porobjetivo el obtener la maximización simultáneas de diferentes requisitos, loscuales suelen tener sentidos contrapuestos (esto es, los valores óptimos de unosrequisitos determinados producen en otros resultados muy pobres). Centradosen el campo de los manipuladores paralelos, estos requisitos contrapuestos sue-len estar relacionados con el volumen del espacio de trabajo del manipuladory la destreza del mismo.

Además, es posible que no se pueda definir un único valor óptimo de va-riables, sino que exista un conjunto de valores de variables que puedan serconsiderados igualmente óptimos. Estos conjuntos óptimos de variables son lasdenominadas soluciones óptimas de Pareto (Lin, 1976; Rao et al., 2005; Pashke-vich et al., 2005), las cuales definen un conjunto de variables óptimas, entre lascuales el diseñador debe elegir aquellas que mejor se adapten al caso específicode diseño.

De este modo, en este Capítulo se presentará el diseño óptimo del manipu-lador paralelo que se ha ido describiendo en los Capítulos anteriores.

21.2. Volumen del Espacio de Trabajo

El primer aspecto a analizar en el diseño óptimo del manipulador será eldeterminar cómo afecta la variación de determinadas dimensiones del mani-pulador en el volumen de su espacio de trabajo. Considerando que el espaciode trabajo del manipulador no queda limitado por los límites físicos de los ac-tuadores, el lector se dará cuenta de forma inmediata que, ya que el espaciode trabajo define el conjunto de puntos a los que el manipulador puede llegar,definido por el conjunto de posibles valores reales de las expresiones (19.23),

21.2. Volumen del Espacio de Trabajo 487

(19.24), (19.25) y (19.26), éste será definido por el volumen encerrado por laintersección de los cuatro cilindros siguientes, numerados de 1 a 4, tal y comose presentó en el apartado 19.2:

Cadena 1 – (yP + d sin θ − a)2 + z2P ≤ r2

Cadena 2 – (xP − d sin θ − a)2 + z2P ≤ r2

Cadena 3 – (yP − d sin θ + a)2 + z2P ≤ r2

Cadena 4 – (xP + d sin θ + a)2 + z2P ≤ r2

y

z

x

Figura 21.1: Espacio de trabajo del manipulador para una orientación dada,con a/r =0.1, d/r =0.15, θ = −π/4

Sin embargo, también es necesario destacar que, debido a su geometría, elmanipulador presenta un plano singular en la coordenada zP = 0. A causa deesto, podemos considerar perfectamente que el espacio de trabajo alcanzablepor el manipulador es el definido por los cilindros anteriores en la zona zP ≥ 0.


Gracias a que el espacio de trabajo del manipulador ha quedado definidomedia la intersección de superficies sencillas, en este caso será posible obteneruna expresión en forma cerrada de su volumen resultante. Sin embargo, estaexpresión poseerá una complejidad adicional, ya que el espacio de trabajo varíacon el ángulo de orientación θ, por lo que el volumen resultante también seráfunción de este parámetro.

Analizando la variación del espacio de trabajo en función de los valores delángulo θ, podemos obtener los resultados en la Fig. 21.2, en la que se muestranlos cuatro posibles emplazamientos de las cuatro superficies que definen elespacio de trabajo del manipulador en función de los valores que puede tomarel ángulo θ y la relación entre las longitudes a y d.

1 3

2

4

1 3

4

2

1 34

23 1

4

2

x x

x x

y y y y

sin θ ≤ −a/d −a/d ≤ sin θ ≤ 0 0 ≤ sin θ ≤ a/d sin θ ≥ a/d

A B C D

Figura 21.2: Vista superior del espacio de trabajo del manipulador, en la quese observa el emplazamiento de las diferentes superficies en función del valordel ángulo θ

Para el caso de que el ángulo θ verifique sin θ ≤ −a/d, la expresión analí-tica del volumen de trabajo del manipulador puede obtenerse a partir de las


siguientes integrales

VA(θ) =∫ x−2 a

0

√r2 − (x− d sin θ − a)2 dy dx

+ 4∫ r+d sin θ−a

0

∫ 2 a

0

√r2 − (y − d sin θ + a)2 dx dy


2 a

∫ y+2 a

2 a

√r2 − (y − d sin θ + a)2 dx dy (21.1)

De este modo, a partir de la expresión anterior, se obtiene el siguienteresultado:

VA(θ) = 83

√r2 − (a− d sin θ)2

(r2 − a2 + 1

2a d sin θ + 1

2d2 sin2 θ

)+ 4 r2 d sin θ

[π

2− arcsin

(a− d sin θ

r

)](21.2)

Para el caso en que se verifique la relación −a/d ≤ sin θ ≤ 0, la expresiónen forma cerrada del volumen de trabajo del manipulador se obtiene a partirde las siguientes integrales:

VB(θ) = 4∫ r−d sin θ−a

−2 d sin θ

∫ x+2 d sin θ

0

√r2 − (x+ d sin θ + a)2 dy dx


0

∫ −2 d sin θ

0

√r2 − (y − d sin θ + a)2 dx dy


0

∫ y−2 d sin θ

−2 d sin θ

√r2 − (y − d sin θ + a)2 dx dy (21.3)

Como en el caso anterior, la expresión del volumen de trabajo obtenido paraeste rango de orientaciones es la siguiente:

VB(θ) = 83

√r2 − (a− d sin θ)2

(r2 + 1

2a2 + 1

2a d sin θ − d2 sin2 θ

)− 4 r2 a

[π

2− arcsin

(a− d sin θ

r

)](21.4)


Para el caso 0 ≤ sin θ ≤ a/d, el volumen de trabajo del manipulador quedaexpresado en términos de las siguientes integrales

VC(θ) = 4∫ r−d sin θ−a

0

∫ 2 d sin θ

0


+ 4∫ r−d sin θ−a

0

∫ x+2 d sin θ

2 d sin θ



2 d sin θ

∫ y−2d sin θ

0

√r2 − (y − d sin θ + a)2 dx dy (21.5)

VC(θ) = 83

√r2 − (a+ d sin θ)2

(r2 + 1

2a2 − 1

2a d sin θ − d2 sin2 θ

)− 4 r2 a

(π

2− arcsin

(a+ d sin θ

r

))(21.6)

Por último, correspondiendo al caso sin θ ≥ a/d, la expresión del volumende trabajo del manipulador se obtiene a partir de las siguientes integrales

VD(θ) = 4∫ r−d sin θ−a

0

∫ 2a

0


+ 4∫ r−d sin θ−a

0

∫ x+2a

2a


+ 4∫ r−d sin θ+a

2 a

∫ y−2a

0

√r2 − (y + d sin θ − a)2 dx dy (21.7)

las cuales permiten obtener la siguiente expresión:

VD(θ) = 83

√r2 − (a+ d sin θ)2

(r2 − a2 − 1

2a d sin θ + 1

2d2 sin2 θ

)− 4 r2 d sin θ

[π

2− arcsin

(a+ d sin θ

r

)](21.8)

De este modo, una vez obtenidas las diferentes expresiones que permitenobtener el volumen del espacio de trabajo en cada caso, la función de volumendel espacio de trabajo del manipulador queda definida como

V (θ) =

VA(θ), sin θ ≤ −a/d;VB(θ), −a/d ≤ sin θ ≤ 0;VC(θ), 0 ≤ sin θ ≤ a/d;VD(θ), sin θ ≥ a/d

(21.9)


−π2 −π4 0 π4

π2

V

θ

ad = 1

ad = 2

3 < 1ad = 3

2 > 1

Figura 21.3: Volumen del espacio de trabajo del manipulador para diferentesvalores del ratio a/d

Sin embargo, la expresión obtenida del volumen del espacio de trabajo nodepende exclusivamente de las longitudes que definen el manipulador, sino quees función también del ángulo de orientación θ. Para salvar este inconveniente,definiremos como la función que deseamos optimizar relacionada con el espaciode trabajo un valor medio de este volumen.

El valor medio de dicho volumen para un rango angular dado

θmin ≤ θ ≤ θmax

puede obtenerse a partir de la siguiente expresión:

Vmean = 1θmax − θmin

∫ θmax

θmin

V dθ (21.10)

Sin embargo, la expresión (21.9) obtenida anteriormente no permite defi-nir mediante una expresión analítica el volumen medio del espacio de trabajopara un rango angular determinado. Debido a esto, es necesario obtener unaexpresión más simple de dicho volumen.

Después de estudiar las gráficas mostradas en la Fig. 21.31 y considerar lasdiferentes expresiones que podrían aproximar la función de volumen, la mejor

1Las gráficas mostradas de la función de volumen pueden parecer contradictorias, ya


aproximación se obtiene en el caso que a > d a partir de una expresión del tipo

Vap = (A−B) cos 2 θ +B (21.11)

donde las constantes A y B tienen los siguientes valores:

A = V (0)

B =V (0) + V

(π2)

2Por otro lado, en el caso que a < d, la expresión aproximada queda definida

como

Vap(θ) =

C1 sin θ +D1, sin θ ≤ −ad ;(C2 −D2) cos 2 θ +D2, −ad ≤ sin θ ≤ a

d ;C3 sin θ +D3, sin θ ≥ a

d

(21.12)

donde las constantes que en ella aparecen tienen por valor

C1 = 11− a/d

[V(arcsin

(−ad

))− V

(−π

2

)]D1 = 1

1− a/d

[V(arcsin

(−ad

))− a

dV(−π

2

)]C2 = V (0)

D2 = 11− cos

[2 arcsin

(ad

)] [V (ad

)− cos

[2 arcsin

(ad

)]V(arcsin

(ad

))]C3 = 1

1− a/d

[V(π

2

)− V

(arcsin

(ad

))]D3 = 1

1− a/d

[V(arcsin

(ad

))− a

dV(π

2

)]Analizando la precisión de la aproximación realizada, se puede obtener que

el error máximo aparece cuando

θ = ±π4

(21.13)

que se podría esperar una gráfica de valor a/d = 1 situada en puntos intermedios a lasotras dos gráficas. Sin embargo, para la completa definición de las gráficas sería necesariodefinir también la relación existente entre las longitudes a y d con la longitud r. La razónfundamental de la inclusión de estas gráficas es que el lector pueda apreciar la forma de lafunción de volumen para cada uno de los casos considerados.


De este modo, considerando cualquier combinación de longitudes a y d, elerror cometido en la aproximación alcanza un valor máximo del 1,3 % para elcaso a > d y del 3 % para el caso a < d. A efectos del diseño que estamosrealizando, estos errores pueden considerarse perfectamente asumibles.

De este modo, a partir de las expresiones aproximadas (21.11) y (21.12), elvalor medio del volumen del espacio de trabajo puede ser aproximado como

Vmean ≈1

θmax − θmin

∫ θmax

θmin

Vap dθ (21.14)

En el caso que a > d, la expresión del volumen medio queda definida como

Vmean = (A−B) (sin 2 θmax − sin 2 θmin) + 2B (θmax − θmin)2 (θmax − θmin)

(21.15)

En el caso contrario, cuando se verifica que a < d, la expresión del volumenmedio queda expresada como


[(C2 −D2) sin

[2 arcsin

(ad

)]+ 2D2 arcsin

(ad

)+ (C3 − C1)

√1−

(ad

)2− (D3 +D1) arcsin

(ad

)−C3 cos θmax + C1 cos θmin +D3 θmax −D1 θmin] (21.16)

Las expresiones anteriores, particularizadas para un rango de orientacionesespecífico, como puede ser

θmax = −θmin = π

2

se reducen, en el caso de a > d a

Vmean = B (21.17)

mientras que en el caso que a < d la expresión que se obtiene es la siguiente:


[(C2 −D2) sin

[2 arcsin

(ad

)]+ 2D2 arcsin

(ad

)+ (C3 − C1)

√1−

(ad

)2− (D3 +D1) arcsin

(ad

)+ π

2(D3 +D1)

](21.18)


Sin embargo, es obvio que el volumen medio del espacio de trabajo aumentamonotónicamente al aumentar el valor de la longitud r, haciendo que no sea po-sible obtener la relación idónea entre las diferentes longitudes del manipuladorque nos permitiría obtener un mayor volumen de trabajo medio. Con objetode salvar este inconveniente, consideraremos un valor adimensional definido entérminos del volumen máximo que es posible alcanzar

ϕ = VmeanVmax

(21.19)

donde Vmax se obtiene cuando los cilindros no cambian de posición con laorientación de la plataforma, lo que supone d = 0, y comparten unos mismoejes,lo que se cumple cuando a = 0, obteniendo

Vmax = 83r3

De este modo, la maximización de la función de volumen ϕ será una de lasfunciones objetivo consideradas en el dimensionamiento óptimo del manipula-dor.

21.3. Diseño Isotrópico

El diseño isotrópico de manipuladores tanto serie como paralelos, mostradopor ejemplo en las referencias (Angeles, 1992; Angeles y López-Cajún, 1992;Fattah y Ghasemi, 2002), está íntimamente ligado con su destreza y con ladeterminación de las posiciones de trabajo más adecuadas. Para poder deter-minar estas posiciones idóneas, las posiciones isotrópicas de ambas matricesjacobianas Jv y Jq de la ecuación (20.11), las siguientes relaciones deben cum-plirse

JTv Jv = σ2 I (21.20)JTq Jq = τ2 I (21.21)

donde los valores σ y τ definen el valor de los cuatro valores singulares idénticosque estas matrices poseen en este tipo de posiciones.

Sin embargo, esta definición de posiciones isotrópicas no posee ningún sig-nificado físico, aparte del simple concepto matemático de conseguir el mejorcondicionamiento numérico de las matrices anteriores. Para obtener una defi-nición física de posición isotrópica, es necesario reescribir la ecuación (20.11)de un modo alternativo:

J−1q Jv v = Jv = q (21.22)

21.3. Diseño Isotrópico 495

Ya que las posiciones isotrópicas de la matriz jacobiana J se obtiene cuandose verifica que

JTJ = φ2 I (21.23)esta definición también supone que cuando se introduce una entrada q de normaunidad

‖q‖ = 1las salidas resultantes podrán obtenerse a partir de la expresión (21.22), la cualdefine una hiperesfera de radio 1/φ:

vT JTJv = qT q = ‖q‖2 = 1 (21.24a)

φ2 vT I v = 1⇒ ‖v‖2 = 1φ2 (21.24b)

21.3.1. Posiciones Isotrópicas de JvLas posiciones en las que la matriz jacobiana Jv es isotrópica deben verificar

la relación (21.20). Sin embargo, para obtener valores singulares σ a partir dela matriz Jv que sean físicamente comparables, es necesario que los términosque forman parte de Jv sean dimensionalmente homogéneos.

Entre los diferentes procedimientos propuestos para evitar este problema,el presentado en la referencia (Tandirci et al., 1992) suele aparecer como elempleado más habitualmente. Este procedimiento se basa en reescribir el primermiembro de la ecuación de velocidad del manipulador (20.11) como

Jv v =[fω Fp

] [ωzp

] [ 1lc

fω Fp] [lc θ

p

](21.25)

donde

Fp =

rT1rT2rT3rT4

, fω =

sT1 ksT2 ksT3 ksT4 k

De este modo, introduciendo el término de longitud lc, denominado longi-

tud característica del manipulador, es posible obtener la homogeneidad de lostérminos de la matriz Jv.

A partir de esto, podemos aplicar la relación (21.20):

JTv Jv =

1l2c

fTω fω 1lc

fTω Fp

1lc

FTp fω FTp Fp

=[σ2 0T0 σ2 I

](21.26)


de donde podemos obtener las siguientes expresiones:

FTp Fp = σ2 I (21.27a)

1lc

FTp fω = 0 (21.27b)

1l2c

fTω fω = σ2 (21.27c)

Tomando los valores de la traza de las matrices a ambos lados de la ecuación(21.27a) se puede obtener la siguiente relación:

tr(FTp Fp

)= 3σ2 (21.28)

Por otro lado, recordando la expresión (21.27c), la longitud característicalc puede obtenerse como

tr(FTp Fp

)= 3l2c

fTω fω (21.29)

de donde se obtiene

l2c = 3 fTω fωtr(FTp Fp

) (21.30)

Por tanto, la resolución de las ecuaciones no lineales anteriores permiteobtener las posiciones isotrópicas del manipulador en términos de las variablescartesianas de salida como

xP = 0 yP = 0 zP = ±√

3 r3

θ = 0

siendo el valor de longitud característica obtenido

lc =√

3 ar

d

y el valor singular común

σ = 2√

33

21.3. Diseño Isotrópico 497

21.3.2. Posiciones Isotrópicas de JqLas posiciones en las que la matriz jacobiana Jq es isotrópica deben verificar

la relación (21.21). Siguiendo un procedimiento análogo al expuesto en el casoanterior, cualquier posición del manipulador en la que el punto P esté situadoa lo largo del eje Z con un valor nulo del ángulo de orientación θ

xP = yP = 0 ∀zP θ = 0

es una posición isotrópica, obteniendo de este modo

JTq Jq =

r2−a2−z2

P

r2 0 0 00 r2−a2−z2

P

r2 0 00 0 r2−a2−z2

P

r2 00 0 0 r2−a2−z2

P

r2

= τ2 I (21.31)

τ2 = r2 − a2 − z2P

r2= 1−

(ar

)2−(zPr

)2(21.32)

21.3.3. Posiciones Isotrópicas de JResolviendo de forma idéntica las posiciones isotrópicas de la matriz ja-

cobiana J podemos obtener que, en términos de las variables de salida, lasposiciones isotrópicas de J aparecen cuando

xP = 0 yP = 0 zP = ±√

3 r3

θ = 0 (21.33)

siendo su longitud característica definida por el valor

lc =√

3 ar

d (21.34)

en donde los accionamientos están situados en las posiciones siguientes:

q1 = d− a+ c∓√

23r2 − a2 (21.35)

q2 = d− a+ c±√

23r2 − a2 (21.36)

q3 = d− a+ c∓√

23r2 − a2 (21.37)

q4 = d− a+ c±√

23r2 − a2 (21.38)


21.3.4. ResumenDe este modo, se ha mostrado como Jv posee dos posiciones isotrópicas

simétricas del elemento terminal del manipulador, posiciones que también per-tenecen al conjunto de posiciones isotrópicas de Jq. Además, la matriz jacobianaJ = J−1

q Jv posee la misma posición isotrópica que Jv, lo cual va en relacióncon la isotropicidad de Jv y Jq mostrada anteriormente. La posición isotrópicapara Jv, con zP = +

√3r/3, y valores de los actuadores (21.35)–(21.38), se

muestra en la Fig. 21.4.

Figura 21.4: Posición isotrópica para las matrices jacobianas Jv, Jq y J paralos ratios a/r =

√3/15 y d/r = 2

√3/15

21.4. Análisis de la Destreza del Manipulador

Uno de los principales inconvenientes que los manipuladores paralelos suelenpresentar es la posible aparición de singularidades en las que la controlabilidaddel robot puede llegar a perderse. Obviamente, esto supone la necesidad de rea-lizar un diseño óptimo en relación a este aspecto, en el que la posible apariciónde este tipo de singularidades se vea considerablemente reducida, hasta el casohipotético de la completa eliminación de la mismas del espacio de trabajo delmanipulador. En el caso del manipulador aquí presentado, estas singularidades

21.4. Análisis de la Destreza del Manipulador 499

están ligadas a posibles variaciones en el rango de la matriz jacobiana Jv, de-bido a la no existencia de singularidades IIM dentro del espacio de trabajo delmanipulador, según se explicó en el apartado 20.2.3.

El análisis de singularidades de manipuladores paralelos, descrito en la re-ferencia (Gosselin y Angeles, 1990), también incluiría el estudio de las posiblesvariaciones en el rango de la matriz jacobiana Jq. Sin embargo, las singulari-dades ligadas a esta matriz no afectarán a la controlabilidad del manipuladorde la forma en la que las anteriores sí le afectan, sino que variarán los posiblesmovimientos de salida sin que se llegue a perder el control sobre ellos. Este tipode singularidades están localizadas en las fronteras del espacio de trabajo delmanipulador.

Para poder cuantificar el condicionamiento numérico de las diferentes ma-trices se suelen emplear diferentes indicadores, como pueden ser el número decondición, el valor singular mínimo o el indicador de manipulabilidad (Yoshi-kawa, 1985). Tal y como se mencionó en otros apartados, para obtener valorescon un sentido físico completo, es necesario que las matrices estudiadas poseantodos sus términos homogéneos (Schwartz et al., 2002). Esta homogeneidadpuede ser conseguida a partir del concepto de longitud característica, tal ycomo se mostró en el apartado 21.3.

Además, tal y como se señala en la referencia (Khan y Angeles, 2006),algunos aspectos puramente numéricos deben ser también tenidos en cuentacuando se escoge el número de condición de una matriz como indicador delcomportamiento del robot. Normalmente, en el campo de la robótica se sueleutilizar de forma habitual el número de condición ligado a la norma 2 κ2, el cualpuede obtenerse de forma sencilla a partir de la SVD de la matriz. Sin embargo,la expresión de este número de condición no es una función analítica de laposición del manipulador, esto es, no permite su expansión en serie en cualquierpunto, lo cual puede llegar a ser cuando se empleen métodos que necesiten laevaluación de gradientes de esta función para optimización de este índice. Portanto, en esta referencia se propuso como indicador del comportamiento delmanipulador el número de condición κF basado en la norma de Frobeniusponderada (Golub y Van Loan, 1996). De este modo, emplearemos el valor κFcomo indicador del comportamiento del robot, el cual tiene como expresión

κF (Jv) = ‖Jv‖F∥∥J−1

v

∥∥F

(21.39)

donde la expresión de la norma de Frobenius ponderada queda expresada para


el caso particular de la matriz Jv como

‖Jv‖F =√

14tr (Jv JTv ) (21.40)

A modo de ejemplo, la Fig. 21.5 muestra los mapas de destreza correspon-dientes a espacios de trabajo de diferente orientación, para una arquitecturadada de manipulador (a = 0.1115 · r, d = 0.06 · r).

Sin embargo, estos indicadores de comportamiento muestran únicamentelas propiedades locales de una posición determinada del manipulador, no mos-trando por tanto un único valor global que caracterice su comportamiento alo largo de todo su espacio de trabajo. En el diseño óptimo de manipulador esnecesario determinar el condicionamiento global del manipulador, por lo quees necesario obtener un único valor global que nos cuantifique cómo de bueno omalo es el comportamiento del robot a lo largo de todo su espacio de trabajo.

De este modo, considerando como indicador el inverso del número de condi-ción 1

κF, el indicador global asociado vendrá determinado como su valor medio

en todo su espacio de trabajo (Gosselin y Angeles, 1991):

εg =∫V

1κF

dV∫VdV

(21.41)

La integración de este tipo de funciones es a menudo imposible, princi-palmente por la falta de una expresión en forma cerrada del indicador. Esteproblema suele resolverse obteniendo los valores de estos indicadores de formadiscreta, a partir de un conjunto de N puntos que discretizarán su espacio detrabajo:

εg = 1N

N∑i=1

(1κF

)i

(21.42)

El proceso de discretización suele emplear frecuentemente procedimientosbasados en la selección aleatoria de un conjunto de N puntos, puntos en loscuales será evaluado el indicador del comportamiento. Son embargo, gracias aque se conoce de forma exacta el espacio de trabajo del manipulador, en estecaso podremos determinar de forma sencilla un conjunto de puntos igualmenteespaciados.

De este modo, εg definirá la segunda función objetivo del proceso de opti-mización del manipulador.

21.4. Análisis de la Destreza del Manipulador 501

(a) θ = −π2 (b) θ = −π3

(c) θ = −π6 (d) θ = π6

(e) θ = π3 (f) θ = π

2

Figura 21.5: Mapas de destreza para diferentes espacios de trabajo a una orien-tación determinada


21.4.1. Discretización del Espacio de TrabajoA continuación introduciremos las siguiente variables adimensionales:

α = a

r, δ = d

r, γ = c

r

ξ = xPr, η = yP

r, ζ = zP

r

(21.43)

De este modo, la discretización del espacio de trabajo del manipulador serealiza como se describe a continuación:

1. El desplazamiento angular se discretiza en nθ + 1 puntos:

θ = θmin + i

nθ(θmax − θmin) i = 0 . . . nθ

2. Si θ < 0:

a) Discretizar el rango de variación de la variable ζ en nz + 1 puntos:

ζ = i

nz

√1− (α− δ sin θ)2 i = 0 . . . nz

b) Discretizar el rango de variación de la variable ξ en 2nx+1 puntos:

Si δ sin θ < −α⇒ ξ = i

nx

(√1− ζ2 + δ sin θ + α

)i = −nx . . . nx

Si δ sin θ ≥ −α⇒ ξ = i

nx

(√1− ζ2 − δ sin θ − α

)i = −nx . . . nx

c) Discretizar el rango de variación de la variable η en 2ny +1 puntos:

Si δ sin θ < −α⇒ η = i

ny

(√1− ζ2 + δ sin θ − α

)i = −ny . . . ny

Si δ sin θ ≥ −α⇒ η = i

ny

(√1− ζ2 + δ sin θ − α

)i = −ny . . . ny

3. Si θ ≥ 0:

a) Discretizar el rango de variación de la variable nz + 1 puntos:

ζ = i

nz

√1− (α− δ sin θ)2 i = 0 . . . nz

21.5. Obtención del Conjunto de Variables Óptimas 503

b) Discretizar el rango de variación de la variable ξ en 2nx+1 puntos:

Si δ sin θ < α⇒ ξ = i

nx

(√1− ζ2 − δ sin θ − α

)i = −nx . . . nx

Si δ sin θ ≥ α⇒ ξ = i

nx

(√1− ζ2 − δ sin θ − α

)i = −nx . . . nx

c) Discretizar el rango de variación de la variable en 2ny + 1 puntos:

Si δ sin θ < α⇒ η = i

ny

(√1− ζ2 + δ sin θ − α

)i = −ny . . . ny

Si δ sin θ ≥ α⇒ η = i

ny

(√1− ζ2 − δ sin θ + α

)i = −ny . . . ny

Por lo tanto, el espacio de trabajo del manipulador quedará discretizadoen un total de (nθ + 1) · (nz + 1) · (2nx + 1) · (2ny + 1) puntos, a partir de loscuales se obtendrán los correspondientes valores locales necesarios para obtenerel valor del indicador global.

El hecho de que se definen diferentes número de puntos en la discretizaciónde cada variable está basado en la búsqueda de la generalidad del procedi-miento. En la práctica, las variables espaciales del manipulador se discretizanbuscando una distribución igualmente espaciada de puntos, mientras que lavariable angular emplea un mayor número de puntos que las anteriores.

Según muestran las ecuaciones (19.23)–(19.26), cada punto del espacio car-tesiano se corresponde con 16 posibles soluciones de las variables de entrada.Sin embargo, la obtención del valor de destreza global εg únicamente considera-rá el modo de trabajo habitual del manipulador, esto es, aquel en el las cuatrocadenas cinemáticas estén completamente extendidas, tal y como se muestraen la Fig. 18.1.

21.5. Obtención del Conjunto de Variables Óptimas

Una vez hemos obtenido las expresiones que definen las diferentes funcionesobjetivo, el dimensionamiento óptimo podrá realizarse en este caso gráficamen-te, evitando de este modo el empleo de métodos de optimización numérica.

De este modo, el dimensionamiento óptimo del robot deberá buscar lasrelaciones entre los ratios α, γ y δ anteriormente definidos. Sin embargo, exa-minando las expresiones (21.19) y (21.42) de las funciones objetivo ϕ y εg, nose encuentra ninguna dependencia entre estas funciones y la longitud c del ma-nipulador. Debido a esto, el dimensionamiento óptimo únicamente involucrará


a los ratios α y δ, quedando el ratio γ como un parámetro de diseño secun-dario. El valor de este parámetro deberá ser escogido para evitar las posiblesinterferencias que pudieran aparecer entre la plataforma móvil y cada una delas cadenas cinemáticas del manipulador cuando se alcanzan las orientacionesθmin o θmax.

En función de algunas consideraciones adicionales, como puede ser la ne-cesidad de tener un espacio suficiente para colocar una garra en el elementoterminal, o la obvia necesidad de evitar la colinealidad de los accionamientosque se apuntó en el apartado 20.2.2, el espacio de diseño D (Fig. 21.6) puedeser definido como cualquier par de las variables de diseño (α, δ) en la región

0.025 ≤ α ≤ 0.250.05 ≤ δ ≤ 0.15 (21.44)

0.025 0.1 0.175 0.25

0.05

0.075

0.1

0.125

0.15

α

δ

Frente de Pareto

Figura 21.6: Espacio de diseño

21.5. Obtención del Conjunto de Variables Óptimas 505

De este modo, el problema de optimización con múltiples criterios puedeser definido como

maximizar f = [ϕ (α, δ) ; εg (α, δ)]sujeto a (α, δ) ∈ D (21.45)

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

ϕ

ε g

Frente de Pareto

α=0.025

δ=0.15

δ=0.05α=0.25

Figura 21.7: Espacio de requisitos

Una vez evaluada la totalidad del espacio de diseño, el espacio de requisitospuede ser obtenido tal y como muestra la Fig. 21.7, para el cual se utilizaron199927 puntos en la discretización. A partir de la figura, es posible darse cuen-ta que los dos objetivos considerados de la optimización tienen sus máximosseparados y de valores opuestos.

Cuando aparece un conflicto entre los diferentes criterios empleados, comoes el caso del problema aquí expuesto, tiene una gran importancia el definir elconjunto óptimo de variables de diseño, los cuales están situados en el deno-minado frente de Pareto. De forma matemática, un par de variables de diseño


(k∗a, k∗d) ∈ D definen un valor óptimo de Pareto para el problema de optimi-zación (21.45), sí y sólo sí no existe ningún otro par de variables (ka, kd) queverifique bien

ϕ (α, δ) ≥ ϕ (α∗, δ∗)εg (α, δ) > εg (α∗, δ∗) (21.46)

yεg (α, δ) ≥ εg (α∗, δ∗)ϕ (α, δ) > ϕ (α∗, δ∗) (21.47)

lo cual puede ser expresado como la imposibilidad de obtener un valor mejorde ϕ sin para ello obtener un valor peor de εg, y viceversa.

La Figura 21.7 muestra la transformación de un conjunto particular depuntos del espacio de diseño D en el espacio de requisitos. Es destacable que lasisolíneas, líneas en las que las variables α o δ permanecen constantes, pueden serfácilmente determinadas. Este hecho determina de forma sencilla la expresióndel frente de Pareto para este caso particular:

δ = 0.05 ∀α (21.48)

La selección de las variables óptimas debe realizarse definiendo unos límitesmínimos admisibles de los requisitos planteados. De este modo, considerando

ϕ ≥ 0.7 (21.49)

el siguiente par de variables (ka, kd) puede ser considerado como el par devariables de diseño óptimas:

α = 0.1375 δ = 0.05 (21.50)

22

Prototipo del Manipulador

22.1. Aplicaciones

Los robots de pick & place son posiblemente los sistemas automatizadosde manejo de materiales más habituales en la industria. Este tipo de robotsse encargan de realizar tareas tediosas y repetitivas con una gran facilidad,rapidez y precisión. En concreto, presentan las siguientes ventajas:

Realización de los ciclos de operación de una forma mucho más rápida.

Realización de estas operaciones con una mayor precisión que la queun operario realizando la misma operación podría ofrecer, de una formacontinua y sin descanso.

Permiten aumentar en gran medida los flujos de producción.

Pueden estar funcionando 24 horas al día y 7 días a la semana.

Permiten reducir los costes.

Debido a su gran difusión, existen multitud de opciones para este tipo de siste-mas dentro de los productos comerciales actualmente existentes. En concreto,podemos citar algunas de las marcas que comercializan este tipo de robots:

Dentro de los robots serie realizando este tipo de operaciones encontra-mos los robots de la serie Adept Cobra; los modelos E2C, E2S, E2L, E2H,E2C251, E2C351, E2S451, E2S551, E2S651 de Epson Robots; las series

507


(a) Manipulador ensamblado

(b) Cadena cinemática

Figura 22.1: Modelo esquemático del manipulador

22.1. Aplicaciones 509

SR/TH/BA de Toshiba; el modelo YK500X de Yamaha Robotics; el mo-delo RS40B de Stäubli; las series HS y HM de Motoman; y el modeloKUKA KR10.

En el caso de los robots de cinemática paralela la oferta es más reducida,destacando el robot FlexPicker de ABB Robotics, y al reciente modelos650.

De este modo, el robot aquí desarrollado o cualquiera de las alternativassurgidas a partir del proceso de síntesis morfológica pretende ser una alternativamás a considerar dentro de la oferta sistemas automatizados para la realizaciónde operaciones de pick & place.

Figura 22.2: Prototipo realizado en plástico

Fruto de los estudios y análisis realizados, en la Fig. 22.1 se muestra unmodelo esquemático del prototipo del manipulador objeto de de estudio enlos últimos Capítulos desarrollado en el Departamento de Ingeniería Mecánicade la Universidad del País Vasco – Euskal Herriko Unibertsitatea, obtenido


a partir del diseño óptimo del mismo expuesto a lo largo del Capítulo 21, ydefinido con una longitud r = 1000 mm.

Una vez fabricado en aluminio, el prototipo permitirá evaluar la validez deldel modelo matemático desarrollado, así como también la realización sobre elmismo de los análisis estáticos y dinámicos necesarios en el caso de una futuracomercialización.

El manipulador será actuado mediante cuatro cilindros mecánicos desarro-llados por la empresa NIASA-Neff & Associates Inc. Estos cilindros mecánicosestán compuestos por un husillo a recirculación de bolas montado en el interiorde una carcasa de aluminio. Además, gracias a la simplicidad del modelo ma-temático del manipulador, se empleará para su control un CNC Fagor 80701,dotado de una arquitectura abierta capaz de controlar robots basados en cine-mática paralela.

Con objeto de examinar la forma de trabajo del manipulador una vez unaestructura de fundición de hierro, se elaboró un prototipo alternativo en ma-terial plástico (Fig. 22.2) que, si bien no ofrecía las características de rigideznecesarias, sí nos permitía realizar unas comprobaciones primarias de la utili-zación del prototipo real.

25 mm

300 mm

Figura 22.3: Ciclo de comprobación

Finalmente en la Fig. 22.4 se muestra el modelo real del prototipo desarro-llado en aluminio, en su disposición

El robot ha sido diseñado con el objeto de realizar un ciclo de comprobaciónhabitualmente aceptado para los robots SCARA, el cual consiste en realizaren un máximo de 500 ms una trayectoria de las siguientes características, re-presentando la típica operación de coger un objeto y desplazarlo a otro lugar.Esta trayectoria, mostrada en la Fig. 22.3, viene definida como:

1Fagor Automation R©.

22.1. Aplicaciones 511

(a)

(b)

Figura 22.4: Prototipo real


1. Desplazamiento hacia arriba de 25 mm;

2. desplazamiento horizontal de 300 mm, junto con una rotación simultáneade 180o;

3. desplazamiento hacia abajo de 25 mm;

4. y regreso a la posición inicial siguiendo la trayectoria anteriormente des-crita.

Sin embargo, tal y como apunta la referencia (Angeles et al., 2006), tal vezno exista ningún robot de cinemática estrictamente paralela que sea capaz derealizar la rotación de 180o anteriormente descrita, bien por sus propias limi-taciones físicas o por la aparición de singularidades en ese desplazamiento. Noobstante, este prototipo puede servir de base para comprobar si está afirmaciónes aplicable o no a este robot.

Parte VI

Conclusiones y Líneas Futuras deInvestigación

513

23

Conclusiones

Esta Tesis Doctoral puede considerarse como un compendio de análisis yresultados desarrollados para la síntesis, el análisis y el diseño de nuevas arqui-tecturas de manipuladores paralelos de baja movilidad.

Teniendo en cuenta la especial problemática de los manipuladores paralelosde baja movilidad, esta Tesis Doctoral toma como partida la definición deuna metodología de diseño que pretende paliar las deficiencias que poseíandiseños anteriores de este tipo de robots, haciendo que no pudieran completarlas grandes expectativas que habían provocado.

La primera fase de esta metodología de diseño se centra en la síntesis mor-fológica de estas nuevas arquitecturas, las cuales siempre deben responder a lasnecesidades concretas de una determinada aplicación. Gracias a su versatilidady a su aplicación altamente intuitiva, esta Tesis Doctoral realiza el desarrollodel proceso de síntesis morfológica de manipuladores a partir de la Teoría deGrupos de Desplazamientos, el cual permite determinar las diferentes cadenascinemáticas que permiten obtener en el elemento terminal un movimiento deunas características determinadas. Este estudio presenta una total generalidad,pudiendo ser empleado en la concepción de cualquier arquitectura de robot, apesar de que se ha prestado una especial atención al caso de los manipuladoresparalelos de baja movilidad.

Debido a la gran extensión que poseería la aplicación de este planteamientoa cualquier tipo de arquitectura de robot paralelo, esta Tesis Doctoral se cen-tra específicamente en el desarrollo de nuevas arquitecturas de manipuladorescompletamente paralelos capaces de producir movimientos de tipo Schönfliesen su elemento terminal, ofreciéndose numerosas alternativas de los mismos.

515

516 Conclusiones

Sin embargo, el desarrollo no tiene por objetivo presentar la totalidad de ma-nipuladores paralelos de este tipo que se pudieran plantear, sino ofrecer unnúmero de alternativas que, basadas en unas consideraciones de tipo práctico,mejores resultados podrán dar en una aplicación real. En concreto, el procesode síntesis define un conjunto de nuevas arquitecturas de manipuladores simé-tricos o quasi-simétricos, capaces de realizar movimientos de tipo Schönflies deunas características dadas.

El siguiente paso a desarrollar en esta metodología de diseño debe centrarseen el estudio de las diferentes alternativas de robots surgidas tras el procesode síntesis morfológica, con objeto de determinar la más adecuada para unaaplicación concreta. Sin embargo, el estudio teórico de todas estas alternativassupondría la realización de diferentes tipos de análisis sobre todas y cada unade esas alternativas, análisis que, en general, deben particularizados a un tipode arquitectura concreta de robot.

Debido al elevado número de horas que habría que destinar a la realizaciónde estos estudios, junto con la complejidad añadida que el estudio de una ar-quitectura de robot general supondría, esta Tesis Doctoral desarrolla un nuevoprocedimiento para análisis cinemático de mecanismos de morfología general,ofreciendo un planteamiento simple y totalmente sistemático que permite ana-lizar de forma sistemática cualquier tipo de arquitectura de manipulador quetras el procedimiento de síntesis morfológica podría haber surgido: serie, parale-lo, híbrido, robots trabajando en cooperación, sistemas mecánicos redundantes,etc.

Este procedimiento ha sido implementado en un software original destinadoal análisis y diseño de mecanismos, software dotado de unas especiales caracte-rísticas y diferentes a los actualmente comercializados, que le permiten ser unapoderosa herramienta de apoyo, además de proporcionar de una simple interfazal procedimiento a partir de la cual realizar los diferentes tipos de análisis yvisualizar los resultados que éstos ofrecen.

La formulación presentada tiene como origen el planteamiento de una ecua-ción de velocidad completa del mecanismo o del sistema mecánico en el casogeneral, que es definido a partir de un conjunto de nudos característicos dedicho sistema. Este conjunto de nudos característicos viene definido por lospuntos en los que se encuentran definidos los pares cinemáticos que posee elsistema junto con un conjunto de nudos auxiliares ligados a estos pares.

El hecho de emplear como coordenadas las coordenadas cartesianas de esteconjunto de nudos característicos permite obtener una ecuación de velocidadcuya matriz característica es una matriz jacobiana adimensional, propiedad degran importancia en la mecánica de manipuladores.

Conclusiones 517

A partir de esta ecuación de velocidad es posible obtener el denomina-do espacio del movimiento del sistema mecánico, término que engloba todoslos posibles movimientos que el sistema será capaz de ofrecer. El concepto deespacio del movimiento permite plantear de forma simple cualquier tipo deanálisis cinemático que se quiera realizar, además de evitar los problemas detipo dimensional que otro tipo de formulaciones poseen gracias al empleo deunas coordenadas generalizadas homogéneas y siempre independientes. De estemodo, los problemas directo e inverso de velocidades y aceleraciones quedandefinidos de idéntica forma independientemente del tipo de manipulador es-tudiado, permitiendo obtener tras su resolución el movimiento resultante detodos y cada uno de los elementos que forman el sistema completo, así comoplantear y resolver de forma idéntica el problema de transmisión estática defuerzas.

Centrado en las problemáticas específicas de los manipuladores paralelosde baja movilidad, se presenta un procedimiento capaz de determinar los mo-vimientos que un robot puede ofrecer instantáneamente, cuya naturaleza ycaracterísticas son habitualmente variables con la posición del manipulador.Éste es un punto de especial importancia, ya que permite determinar si elmanipulador puede realizar en cada posición el movimiento que la aplicaciónen la que iría destinado requeriría. Además, dado el planteamiento general dela formulación, la caracterización del movimiento que puede realizar un robotmanipulador puede ser realizada en cualquier tipo de posición, singular o nosingular.

Este procedimiento de caracterización desarrolla una descomposición en losdiferentes modos de movimiento que el manipulador es capaz de ofrecer, de tiporotacional, traslacional o pasivo, determinando a su vez las direcciones en queéstos se producen. Además, esta descomposición permite realizar de una formasimple el cómputo y la localización de los principal screws del movimiento de undeterminado elemento, junto a la obtención de sus respectivos screw systems.

Como resultado de esta caracterización, se presenta una clasificación alter-nativa y completamente general de los diferentes tipos de movimientos que unrobot manipulador puede ofrecer, dotada de un mayor sentido aplicado al deotras clasificaciones teóricas existentes.

De especial interés es el hecho de que este procedimiento se desarrolla nosólo para el movimiento absoluto del robot, sino también para el que se podríaobtener en el movimiento relativo entre diferentes robots, como puede ser elcaso de un robot traslacional realizando operaciones sobre una mesa móvildotada de dos rotaciones independientes, lo interés en el análisis de nuevasarquitecturas que en la actualidad están siendo desarrolladas, como es el caso

518 Conclusiones

del robot Verne del centro tecnológico Fatronik.La formulación presentada permite la obtención de diferentes tipos de in-

dicadores de destreza y manipulabilidad, los cuales pueden ser obtenidos paracualquier tipo de robot gracias al empleo en todo momento de matrices adi-mensionales.

Además, fruto de la dualidad entre el análisis cinemático y el análisis está-tico, es posible determinar las figuras estáticas equivalentes a cada uno de losconceptos cinemáticos desarrollados.

De particular importancia es la clasificación de todos los tipos de singulari-dades que un mecanismo de cualquier morfología podría presentar de acuerdoa la terminología empleada. Esta clasificación presenta como singularidadesaquellas posiciones en las que se de un aumento instantáneo de la movilidadglobal del mecanismo, junto con aquellas posiciones en las que aparece unadependencia lineal entre unas determinadas coordenadas generalizadas que apriori debían ser independientes, como es el caso de las singularidades en losproblemas cinemáticos directo e inverso.

Entendiendo como singularidad la incapacidad de un robot de realizar deforma adecuada la operación que debería efectuar, se propone el análisis deposibles transiciones que podrían aparecer en el patrón de velocidades de unmanipulador, haciendo surgir en una posición singular movimientos de trasla-ción donde antes había movimientos de rotación y viceversa, imposibilitando deesta forma al manipulador realizar un movimiento específico que én principiodebería poder realizar.

Además, esta formulación permite realizar otros tipos de análisis secun-darios derivados con el análisis de singularidades, como es el estudio de losmovimientos incontrolados del sistema y los esfuerzos que el mecanismo nosería capaz de soportar, que en determinadas singularidades podrían aparecer.

Tras esto, se realizaron los análisis convencionales correspondientes a dosarquitecturas de robots completamente paralelos con 4 GDL y movimientoSchönflies, aunque destinados a diferentes tipos de aplicaciones; análisis quepermitirán obtener de forma concreta el diseño más adecuado de estos robots.El primero, destinado a la realización de operaciones mecánicas sobre perfilesaeronáuticos como bien puede ser el ala de un avión, presenta la resolución enforma cerrada de los problemas directo e inverso, la definición de su espaciode trabajo en el caso más general y la realización del análisis de velocidades ysingularidades del manipulador. Finalmente, como materialización y aplicaciónpráctica de este proceso se presenta el prototipo de este robot desarrollado elDepartamento de Ingeniería Mecánica de la Universidad del País Vasco – Eus-kal Herriko Unibertsitatea, junto con la realización de un diseño que garantice

23.1. Contribuciones 519

la eliminación de las singularidades que hagan perder la controlabilidad delrobot dentro de su espacio de trabajo.

El segundo de los manipuladores paralelos desarrollados tiene su aplicaciónen la realización de operaciones de pick & place a altas velocidades y acelera-ciones. Nuevamente se presentan en este caso la resolución en forma cerradade los problemas de posición directo e inverso, el planteamiento de su ecuaciónde velocidad y la realización de los análisis de singularidades y destreza delmanipulador. Gracias a su particular geometría, es posible plantear de formaanalítica la forma de su espacio de trabajo a cualquier orientación que su ele-mento terminal pueda adoptar, junto con la obtención del volumen que ésteencierra. Todo esto permite la realización de un proceso quasi-analítico del di-mensionamiento óptimo del manipulador. Finalmente, se ha desarrollado unprototipo demostrativo en base a este diseño óptimo, a partir del cual se pre-vé la realización de los análisis que permitan determinar su adecuación a unaaplicación real.

23.1. Contribuciones

A continuación se presenta de forma breve las principales contribuciones dela Tesis Doctoral:

Definición de una metodología de diseño a partir de la cual poder desa-rrollar nuevas arquitecturas de manipuladores paralelos que puedan hacerfrente a los requisitos impuestos en una determina aplicación. Apartado2.11.

Sistematización del proceso de síntesis morfológica aplicado a la definiciónde nuevas arquitecturas de manipuladores paralelos de baja movilidad.Apartado 3.3.5.

Desarrollo exhaustivo de las diferentes materializaciones de las ligadurascinemáticas capaces de generar un determinado movimiento en el elemen-to terminal de un manipulador paralelo. Capítulo 4.

Definición de diferentes tipos de arquitecturas de robots dotados de mo-vimiento Schönflies con una disposición simétrica o quasi-simétrica de suscadenas cinemáticas, en base a la obtención de unas mejores prestacionesdesde un punto de vista puramente práctico. Capítulo 5.

520 Conclusiones

Desarrollo de una nueva formulación jacobiana de propósito completa-mente general para el análisis cinemático de cualquier tipo de mecanismoo manipulador. Parte III.

• Utilización de un conjunto de puntos característicos del mecanismopara su definición, lo que traduce en la obtención de una formu-lación homogénea que evita los problemas dimensionales que otrosprocedimientos poseen.

• Permite sistematizar el proceso, haciendo que sea posible su imple-mentación en un software específico.

• Desarrollo de un software definido a como una herramienta de apoyoal diseño de nuevas arquitecturas de robots paralelos, en el cual seaposible realizar cualquiera de los análisis planteados en esta formu-lación, así como visualizar los resultados que estos proporcionan.

Introducción del concepto de espacio del movimiento como un conceptobásico en la mecánica de manipuladores. Capítulo 9.

• Planteamiento y resolución de los problemas directo e inverso develocidades y aceleraciones de forma idéntica para cualquier tipo demecanismo. Apartado 9.5.

• Planteamiento y resolución del problema de transmisión estática defuerzas. Apartado 11.

Determinación de las características del movimiento que un robot dearquitectura general puede ofrecer, de particular interés en el caso demanipuladores paralelos de baja movilidad. Capítulo 10.

• Introducción de los conceptos de modo de movimiento y entradasmodales. Definición de los modos rotacional, traslacional y pasivo.Apartado 10.3.

• Definición del patrón de velocidades de un manipulador. Apartado10.4.

• Determinación de los principal screws del movimiento, junto con ladefinición y demostración de sus propiedades características. Apar-tado 10.5.

• Aplicación a la obtención de los screw systems. Apartado 10.7.

23.1. Contribuciones 521

• Definición de una clasificación de los movimientos que puede ofrecerun manipulador en base a los conceptos anteriormente desarrollados.Apartado 10.8.

Determinación de cualquier tipo de indicador de manipulabilidad y des-treza del robot, de naturaliza adimensional.

Realización de un análisis de singularidades exhaustivo, determinandocualquier tipo de singularidad de que el sistema pudiera poseer y anali-zando las implicaciones que éstas pudieran conllevar sobre él. Capítulo12.

Definición de una nueva clasificación de singularidades de mecanismos demorfología general, en base a la formulación desarrollada. Apartado 12.5.

• Aumento instantáneo de la movilidad. Increased Instantaneous Mo-bility y Constraint Singularity. Apartados 12.6 y 12.6.1.• Definición unificada de las singularidades en los problemas cinemá-ticos directo e inverso, en base a la aparición de una dependencialineal entre unas coordenadas generalizadas que a priori deberíanser independientes. Apartado 12.6.2.• Determinación de transiciones en el patrón de velocidades. Apartado12.6.3.

Estudio completo de un robot paralelo con movimiento Schönflies, des-tinado a la realización de operaciones sobre perfiles aeronáuticos. ParteIV.

• Resolución en forma cerrada de ambos problemas de posición directoe inverso. Capítulos 14 y 15.• Definición del espacio de trabajo del manipulador. Apartado 15.5.• Planteamiento de la ecuación de velocidad y realización de su análisisde singularidades derivado. Capítulo 16.• Elaboración de un prototipo demostrativo en base a consideracionessobre su diseño libre de singularidades. Capítulo 17.

Estudio completo de un robot paralelo con movimiento Schönflies, desti-nado a la realización de operaciones de pick & place. Parte V.

• Resolución en forma cerrada de ambos problemas de posición directoe inverso. Capítulo 19.

522 Conclusiones

• Definición del espacio de trabajo del manipulador. Apartado 19.2.• Planteamiento de la ecuación de velocidad y realización del análisisde singularidades derivado. Capítulo 20.

• Diseño óptimo del manipulador obtenido a partir de la definición deun conjunto de valores óptimos de Pareto obtenidos a partir de unprocedimiento de optimización multiobjetivo. Capítulo 21.

• Elaboración de un prototipo demostrativo en base a este diseño óp-timo. Capítulo 22.

23.2. Referencias Derivadas de la Tesis

Altuzarra, O.; Salgado, O.; Alonso, A. y Hernández, A., 2004. “Cinemática deManipuladores Paralelos: Parte I: Análisis de Velocidades y Movilidad de laPlataforma”. Anales de Ingeniería Mecánica, 15 (3): págs. 1587–1596.

Salgado, O.; Petuya, V.; Pinto, C. y Amezua, E., 2005. Proceedings of the NinthIFToMM International Symposium On Theory of Machines and MechanismsSYROM 2005 “Performance Indicators and Velocity Ellipsoids using a Non-dimensional Jacobian for Parallel Manipulators”. Bucharest.

Salgado, O.; Altuzarra, O.; Amezua, E. y Hernández, A., 2006. Proceedings ofthe ASME 2006 International Design Engineering Technical Conferences &Computers and Information in Engineering Conference “A Parallelogram-based Parallel Manipulator for Schönflies Motion”, DETC2006-99197.

Altuzarra, O.; Salgado, O.; Petuya, V. y Hernández, A., 2006. “Point-basedJacobian Formulation for Computational Kinematics of Manipulators”. Me-chanism and Machine Theory, 41 (12): págs. 1407–1423.

Salgado, O.; Altuzarra, O.; Petuya, V. y Hernandez, A., 2007a. Proceedingsof the 12th IFToMM World Congress in Mechanism and Machine Science“Type Synthesis of a Family of 3T1R Fully-Parallel Manipulators Using aGroup Theoretic Approach”. Besançon, France.

Salgado, O.; Altuzarra, O.; Amezua, E. y Hernandez, A., 2007b. Proceedings ofthe ASME 2007 International Design Engineering Technical Conferences &Computers and Information in Engineering Conference IDETC/CIE “ModalCharacterization of the Instantaneous Mobility of Manipulators”. Las Vegas,Nevada.

23.2. Referencias Derivadas de la Tesis 523

Salgado, O.; Altuzarra, O.; Amezua, E. y Hernández, A., 2007c. “A Para-llelogram-based Parallel Manipulator for Schönflies Motion”. To appear inASME Journal of Mechanical Design.

Salgado, O.; Altuzarra, O.; Hernández, A.; Pinto, Ch. y Petuya„ 2007d. “Pa-tente Española: Robot Paralelo con Cuatro Grados de Libertad”. SolicitudP200702793.

Salgado, O.; Altuzarra, O.; Petuya, V. y Hernández, A., 2008a. “Synthesis andDesign of a Novel 3T1R Fully-Parallel Manipulator”. To appear in ASMEJournal of Mechanical Design.

Altuzarra, O.; Salgado, O.; Petuya, V. y Hernández, A., 2008b. “ComputationalKinematics for Robotic Manipulators: Jacobian Problems”. To appear inEngineering Computations.

Salgado, O.; Altuzarra, O.; Amezua, E. y Hernández, A., Under review. “ModalCharacterization of the Instantaneous Mobility of Manipulators”. ASMEJournal of Mechanical Design.

Altuzarra, O.; Salgado, O.; Hernandez, A. y Angeles, J., In preparation. “Mul-tiobjective Design of a Symmetric Parallel Schönflies-Motion Generator”.

24

Líneas Futuras de Investigación

24.1. Análisis y Diseño de Nuevas Arquitecturas

A pesar de que el desarrollo de la síntesis morfológica de nuevos manipula-dores de baja movilidad se ha centrado en el desarrollo de nuevas arquitecturasde manipuladores simétricos con movimiento Schönflies, el trabajo desarrolladopuede servir como base para la obtención de arquitecturas de robots con otrotipo de movimientos.

En concreto, existen aplicaciones industriales en las que pudieran ser apli-cadas diferentes arquitecturas de robots paralelos con patrones de movimiento3T2R ó 1T3R, las cuales pueden ser concebidas a partir de la metodología desíntesis seguida en la presente Tesis Doctoral. Una breve muestra de este pro-cedimiento son los robots paralelos mostrados en la Fig. 24.1, donde se muestrados nuevas arquitecturas de robots de 5 GDL capaces de realizar movimientosde traslación en cualquier dirección, junto con movimientos de rotación de ejesparalelos al plano que define su plataforma móvil

Cada una de estas posibles arquitecturas debe ser a continuación estudiaday analizada, con objeto de determinar su aptitud en una determinada aplica-ción, por lo que la formulación jacobiana que se ha desarrollado en esta TesisDoctoral puede servir para este cometido, una vez ha sido ésta implementadaen un software de simulación de mecanismos.

Tras esto, y del mismo modo expuesto en esta Tesis Doctoral, sería necesariodesarrollar la resolución de sus problemas de posición, su análisis de velocidadesy la determinación de sus singularidades, destinados a la realización de losdiseños óptimos de estas arquitecturas.

525

526 Líneas Futuras de Investigación

(a)

(b)

Figura 24.1: Manipuladores paralelos de 5 GDL con un patrón de movimiento3T2R

24.2. Extensión al Análisis Dinámico de Manipuladores 527

24.2. Extensión al Análisis Dinámico de Manipuladores

El hecho de que la nueva formulación jacobiana presentada en esta TesisDoctoral se centre exclusivamente en análisis cinemático de mecanismos, haceque pensemos inmediatamente en la posibilidad de extender los conceptos aquípresentados al campo del análisis dinámico de este tipo de manipuladores,campo que en la actualidad no ha sido estudiado en demasía, y que presentaun gran interés en el diseño real de nuevas arquitecturas de robots.

Una línea que debe ser estudiada es el paso del análisis cinemático de me-canismos a su análisis dinámico empleando este tipo de formulación.

24.3. Estudio de las Imperfecciones en el Proceso deMontaje

Uno de los puntos de mayor interés relacionado con el diseño de nuevas ar-quitecturas de manipuladores paralelos, es el estudio de la influencia de posiblesimperfecciones y errores en los procesos de fabricación y montaje de este tipode robots, debido a los estrictos requisitos geométricos que se han de imponeren la definición de elementos y pares cinemáticos del mecanismo, para poderpermitir realizar al robot los movimientos que se buscan.

Debido a la generalidad y la versatilidad que ofrece la formulación jacobianapresentada en esta Tesis Doctoral, ésta pudiera ser empleada en la realizaciónde este tipo de estudios, destinados a la definición de diseños más adecuados.

24.4. Diseño Óptimo del Resto de ArquitecturasPropuestas

El proceso de síntesis morfológica permitió definir un buen número de nue-vas arquitecturas de manipuladores paralelos, de entre las cuales únicamentedos fueron analizadas en detalle. Evidentemente, el estudio y la determinaciónde los diseños óptimos del resto de arquitecturas planteadas debe ser tratado,con objeto de definir otras posibles alternativas para aplicaciones que precisenlas características que éstas ofrecen.

528 Líneas Futuras de Investigación

24.4.1. Determinación Analítica y Experimental de laRigidez

Una clara línea de investigación a desarrollar debe estar centrada en ladeterminación de las características de rigidez que los diferentes manipulado-res obtenidos pueden ofrecer, tanto teóricas como experimentales. Esto debeplantear en primer lugar cuál debe ser el enfoque a emplear (determinaciónanalítica, utilización de modelos numéricos basados en el Método de los Ele-mentos Finitos, etc.) y la metodología a seguir en la realización de las necesa-rias campañas de ensayos, destinadas a determinar la validez de los prototiposdesarrollados.

24.4.2. Determinación Analítica y Experimental delComportamiento Dinámico

Con vistas a la determinación de los parámetros secundarios óptimos de losdiferentes manipuladores desarrollados, además de los análisis estáticos nece-sarios para la determinación de la rigidez del manipulador es necesario realizaranálisis de dinámica estructural sobre los propios prototipos con objeto de de-terminar si sus características dinámicas son adecuadas para la aplicación enla que sería destinado.

En concreto, una línea de investigación puede abrirse hacia el planteamien-to de una metodología de ensayos con objeto de determinar las característicasdinámicas de manipuladores paralelos, las cuales serán nuevamente dependien-tes de la posición del manipulador, lo que plantea una complejidad adicionalal problema.

24.4.3. Calibración de los Prototipos

Debido a las propias imperfecciones que el prototipo real de manipuladorpueda poseer, el modelo matemático desarrollado no se corresponderá exac-tamente, lo que tendrá como principal resultado el hecho de que la precisióndel robot no sea la deseada. Para ello se debería abrir una nueva línea deinvestigación centrada en el desarrollo de métodos de calibración aplicados amanipuladores de cinemática paralela, para los cuales no se pueden aplicardirectamente los métodos desarrollados para los robots serie.

24.4. Diseño Óptimo del Resto de Arquitecturas Propuestas 529

24.4.4. Control de los PrototiposCentrado en el funcionamiento óptimo del robot se debe investigar en el

desarrollo de algoritmos de control de manipuladores de cinemática paralela,ya que los métodos hasta ahora existentes están centrados exclusivamente enrobots de estructura serie o cartesiana, lo que es absolutamente necesario parasu aplicación industrial.

Índice Alfabético

ABB Flexible Automation, 17, 509Aceleración, 9, 37, 198, 204, 212

angular, 218–219, 222–224campo, 281

campo, 279–282capacidades máximas, 345–349Coriolis, 224, 296Delta, 16relativa, 224

Aceleraciones generalizadas, 282Adept Quattro, 21, 509Agile Eye, 19Análisis

cinemático, 199, 202, 203dinámico, 198estático, 198, 351matemático, 12

Análisis por intervalosHansen, Método de, 35

Angeles, J., 56, 83, 364Artobolevskii, I.I., 3Autolev R© , 199

Bases de Gröbner, 35Bonev, I., 12Brazo robótico, 5Bricard, R., 29

Calibración, 12, 41

Cauchy, A., 29Chasles, Teorema de, 58, 72Cinemática, 12Cinematotrópico, 310Clavel, R., 16CNC, 5, 460, 510Compliant mechanisms, 27Condición de sólido rígido, 206Conectividad, 310Continuación polinomial, 35Control, 12, 34Controlabilidad, 498, 519Cooperación, 11Coordenadas

cartesianas, 206naturales, 200Plücker, 73proyectivas, 73puntos de referencia, 200, 270relativas, 200

Cosenos directores, 208

Delta, 16, 374Denavit-Hartenberg, 200Desplazamiento finito, 285Destreza, 39

Indicadores, 198Dinámica, 12, 41

531

532 Índice Alfabético

estructural, 41lagrangiana, 41Newton-Euler, 41potencias virtuales, 41

Diseñoóptimo, 503–506metodología, 42–44

Ecuaciónvelocidadmétodos particulares, 199

aceleración, 261–263velocidad, 36, 198, 258–261propósito general, 199

Ecuacionesde lazo, 199no lineales, 34

Eje instantáneo de rotación y desli-zamiento, 72

Electro-erosión, 28Elementos finitos, 35, 40, 41, 261Eliminación dialítica, 421, 468Eliminación simbólica, 34Elipsoide

fuerza, 355–359momentos, 353–355traslación, 318velocidad angular, 317

Ensamblado, 258–264Entradas modales, 313–320EPFL, 26Espacio de trabajo, 387, 432–434,

470–472, 486–494clasificación, 32–33singularidades, 37, 453–454

Espacio del movimiento, 203, 273–282

Estructuraadaptativa, 11

desplegable, 29Euler

Ángulos de, 65

Fagor Automation R©, 453, 510Fatronik, 21

Hermes, 26Verne, 27, 339

Fuerzas de restricción, 360–361

GDL, 3, 310Giddings & Lewis, 12Gogu, G., 26, 37, 55Gosselin, C. M., 19, 54, 364Gough, E., 14Gough-Stewart, 14–15, 34, 51, 202,

314Grübler-Kutzbach, 396Grados de libertad, 3Grassmann, Álgebra de, 38Grupo especial euclídeo SE (3), 61Grupo general lineal

GL (4; R), 61GL (n; R), 57

Grupos de desplazamientos, 54Teoría de, 56–63

H-robot, 56H4, 21Hervé, J., 56, 83, 310, 397Heterogeneidad dimensional, 200Hexápodo, 12, 14, 51Hexa, 16HexaM, 16HITA SST, 25Holguras, 40

Indicadores, 38, 198Ingersoll, 12


Isotropía, 54Isotropicidad, 37, 39, 304

Junta universal, 239

Kong, X., 54

Lebesgue, H., 29Lie

estructura, 62Grupo de, 56grupo de, 56, 57, 63, 310

Lie, S., 56Ligadura cinemática, 83

dimensión 1, 84–87dimensión 2, 87–94dimensión 3, 94–103dimensión 4, 103–134dimensión 5, 135–176

LIRMM, 21Longitud

característica, 202, 304, 348, 495–498

Máquina-herramienta, 31Método Geométrico Iterativo, 35Manipulabilidad, 39, 198, 202Manipulador, 6

esférico, 19, 52, 54isotrópico, 54paralelobaja movilidad, 20cables, 27definición, 13

traslacional, 52, 54manipulador

paralelobaja movilidad, 52

Masa móvil, 9

Matrizadimensional, 209idempotente, 208jacobiana, 36, 201, 437proyección, 208rigidez, 201simétrica, 208

Matriz geométricamovimiento relativo, 227restricción de distancia, 207

Mecánica clásica, 206, 210, 212Mecanismo

cadena abierta, 6cadena cerrada, 8

MEMS, 27Merlet, J. P., 13Modelización, 233–271Modos de ensamblado, 35Modos de movimiento, 313–320

clasificación, 335pasivo, 319rotacional, 315salida, 314traslacional, 317

Modos de trabajo, 32Moore-Penrose, 216Movilidad, 310, 396

instantánea, 203Movimiento

compatibilidad, 284–287esférico, 78finito, 344general, 322, 325helicoidal, 64pasivo, 315relativo, 83, 224–231, 337–339rotación, 324sólido rígido, 215

MSC ADAMSTM, 199


Multibody, 200, 270

Newton-Raphson, Método de, 35Nudo, 234–237

auxiliar, 236–257, 264–270

Optimización, 327, 485–486Orthoglide, 17, 323

Parcilíndrico, 64, 241–242cinemático, 83, 236esférico, 237–238helicoidal, 64, 243–245plano, 240prismático, 63, 76, 242rígido, 63rotacional, 63, 76, 238–239

Paralelogramo articulado, 55Patrón de movimiento, 310Pick & place, 30Planificación de trayectorias, 34Plano móvil, 400Poliedros, 29Polinomio

característico, 211univariante, 34

Polinomio univariante, 34Posición

Vector de, 206Potencia, 352Potencias virtuales, 351Precisión, 3

holguras, 40imperfecciones en el montaje,

40Problema de valores propios, 211Problemas de posición, 31–36

directo, 33–36, 409–426, 465–469

inverso, 31–33, 427–432, 469–472

Prototipado rápido, 28Proyección

ortogonal, 209velocidades, 210

Regla de la cadena, 60Repetitibilidad, 3Restricción, 205

distancia, 206–214relativo, 224–231sólido rígido, 214–224

Rigidez, 40Robot

brazo robótico, 6comparativa serie-paralelo, 10híbrido, 11manipulador, 3paralelo, 8–9, 13

características, 8serie, 6–8

Rotaciónmatriz de, 58pura, 324

Síntesis, 51–55, 177–193Schönflies, 21, 55, 65, 78, 178, 393Screw Theory, 14, 71–81, 199, 311,

366cadena virtual, 54constraint synthesis, 53eje, 73intensidad, 76isa, 72matriz jacobiana, 79movilidad, 437–443n-sistema, 77principal screws, 312, 326–333


propiedades, 329–333reciprocal screw, 79reciprocal screws, 38síntesis, 53–54, 80screw, 71screw system, 53, 77, 312twist, 76, 437, 438twist instantáneo, 77wrench, 80, 438

Simulador de vuelo, 14, 30Singularidades, 33, 37–38, 311, 363,

446–449análisis, 198, 204arquitecture singularities, 38cercanía, 38clasificación, 366clasificaciones, 37, 364–365CS, 319, 372–373definición, 363dependencia lineal, 373–377esfuerzos no soportados, 382–

383Grassman geometry, 366IIM, 319, 369–372indicadores, 383–387lugares geométricos, 37métodos analíticos, 366métodos numéricos, 366mapas, 387movimiento incontrolado, 380–

381MPS, 378–380singularity-free path planning,

38Sistema de ecuaciones

homogéneo, 211lineales, 211, 213no homogéneo, 213solución particular, 213

supradeterminado, 216Sistemas multicuerpo, 200Sistemas no conmensurables, 202SMG, 22SMT Tricept AB, 19Sobreaceleración, 204Sprint Z3, 5STAR, 17, 56Subespacio

imagen, 286nulo, 211

Subgrupo de DesplazamientoCA, 64D, 63Fu,v, 64HA,h,ra, 64I, 63RA,ra, 63SO, 64T3, 64Tu,v, 64Tu, 63Xe, 65Yu,p, 65

SVD, 499

Trabajos virtualesPrincipio de, 198

Transformación homogénea, Matrizde, 58

Transformaciones lineales, 37, 55Transmisión de fuerzas, 198Traslación, 64

pura, 322Tricept, 19Tripteron, 19

University of Maryland, 17

Valores propios, 328, 347


Velocidadanálisis, 36, 198angular, 62, 215–218, 220–222campo, 61relativa, 224

Velocidades generalizadas, 282

Western Australia UniversityNUWAR, 16

Wohlhart, K., 29Wren, C., 29Wunderlich, W., 29

Y-Star, 56

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