INSTITUTO TECNOLOGICO DE TIJUANA

INGENIERIA INDUSTRIAL

MATERIA: CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD

TEMA: DISTRIBUCIÓN DE POISSON

PROFESOR: DR. HECTOR TRUJILLO

ALUMNOS:

NAVARRO GALLEGOS JOSE GABRIEL 11211380

NIÑO MERINO OSCAR JOAQUIN 11211603

PARRA FLORES JOSE 1121

FECHA DE ENTREGA: 13/11/13

INTRODUCCIÓN

En esta clase describiremos el uso de la distribución de Poisson para obtener la

probabilidad de ocurrencia de sucesos raros (eventos que ocurren con poca

frecuencia) cuyo resultado lo representa una variable discreta.

DISTRIBUCION DE POISSON

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es

una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia

de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de

eventos durante cierto periodo de tiempo.

Esta distribución debe su nombre al matemático francés Simón Poisson (1781-

1840), quien estableció su modelo.

Existen fenómenos o experimentos en los que los eventos ocurren en intervalos

continuos de tiempo o espacio (áreas y volúmenes), donde sólo importa la

ocurrencia del fenómeno, ya que la no ocurrencia no tiene sentido. Por ejemplo, si

en cierta región ocurren en promedio 2 terremotos por año, la variable aleatoria

será el número de terremotos por año y es claro que no tiene sentido hablar del

número de no terremotos por año. Lo mismo sucede para otros fenómenos, como

el número de errores en una página, derrumbes anuales en una región

montañosa, accidentes de tráfico diarios en cierto crucero, personas atendidas en

un banco en un período de 10 minutos, partículas de polvo en cierto volumen de

aire, nacimientos de niños en un periodo de tiempo, rayos que caen en una

tormenta, llamadas que llegan a un conmutados telefónico en un minuto, insectos

por planta en un cultivo, etc. También es de importancia mencionar que cada

ocurrencia puede considerarse como un evento en un intervalo de tiempo

determinado.

SI CONSIDERAMOS QUE:

1. La esperanza de ocurrencia de un evento en un intervalo es la misma que la

esperanza de ocurrencia del evento en otro intervalo cualesquiera, sin importar

donde empiece el intervalo

2. Que las ocurrencias de los eventos son independientes, sin importar donde

ocurran

3. Que la probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo de tiempo depende

de la longitud del intervalo

4. Que las condiciones del experimento no varían, y

5. Que nos interesa analizar el número promedio de ocurrencias en el intervalo

Entonces se puede afirmar, que la variable aleatoria mencionada en los

fenómenos descritos es una variable de Poisson.

CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Un modelo de probabilidad de Poisson tiene las siguientes características:

1. El espacio muestral se genera por un número muy grande (puede

considerarse infinito) de repeticiones de un experimento cuyo modelo de

probabilidad es el de Bernoulli, con probabilidad de éxito muy pequeña. Por esta

razón, a la distribución de Poisson suele llamársele de eventos raros. Las

repeticiones del experimento de Bernoulli se realizan en cada uno de los puntos

de un intervalo de tiempo o espacio.

2. El número de éxitos en el intervalo li es ajeno al número de éxitos en el

intervalo lk, por lo que li Ç lk = f

3. La probabilidad de que se tengan dos o más éxitos en el mismo punto del

intervalo es cero.

4. El número promedio de éxitos en un intervalo es una constante l, que no

cambia de intervalo a intervalo.

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

La deducción de la función de probabilidad de una variable aleatoria cuyo modelo

de probabilidad es de Poisson queda fuera del alcance de este curso, por lo que

enseguida se presenta una definición de esta función.

Una variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson, si su función de

probabilidades está dada por:

Donde e es la base de los logaritmos naturales y l el promedio de la distribución, la

cual debe ser mayor que cero.

MEDIA Y VARIANZA

La distribución de Poisson tiene la característica de que la esperanza y

la varianza son iguales, esto es:

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA

Si X es una variable aleatoria que tiene distribución de Poisson con parámetro l,

entonces:

La función de distribución acumulada correspondiente es:

En muchos casos el cálculo de probabilidades de variables aleatorias que se

apegan a una distribución de Poisson es largo y tedioso. En donde sea posible, al

igual que en la distribución Binomial, se puede hacer uso de las tablas que vienen

en el apéndice, las cuales se basan en la función de distribución acumulada y tan

sólo hay que aplicar las propiedades ya vistas para esta función para simplificar

los cálculos.

http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/Probabilidad/doc/Uni

dad%202/2.9.htm#item0