DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

Carrera Mora SaraiGarcıa Ramırez Aaron

Gutierrez Garcıa Lucıa ConcepcionJimenez Esquivias Alejandra Guadalupe

Martınez Mejıa Arlette Elvira

June 3, 2015

1 EL PLANO

Un plano es un subconjunto de puntos P de R 3 , donde cada punto se puedeexpresar de la forma P0+α ~a + β ~b , donde P0 es un punto fijo en R 3 , ~a y ~b∈ R 3 son vectores no paralelos y α ,β ∈ R son escalares. Es decir:

P= { P0 + α ~a + β ~b : α ,β ∈ R } P0 ∈ R3 es un punto por donde pasa el plano.

La ecuacion P= P0 +α ~a + β ~b Se llama ecuacion vectorial del plano, aquı Pindica un punto general del plano.

Escribiendo esta ecuacion en terminos de coordenadas se tiene:

Para P = (x, y, z), ~a = (a1, a2, a3) , ~b = (b1, b2, b3) y P0 = (x0, y0, z0) ∈ R3

x = x0 + α a1 + β b2y = y0 + α a2 + β b3z = z0 + α a3 + β b3

Llamada ecuacion parametrica del plano.

Figure 1: Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Tridimensional

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1.1 1 DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

Sea P0 un punto en el plano P con normal ~n y Q un punto que no pertenece a P.

1.1 DEFINICION.

La distancia entre un punto Q a un plano P con normal ~n, d(Q,P), es lalongitud del segmento dirigido con punto inicial en el plano y punto final en elpunto Q.

→ Si P es un punto del plano P , entonces la distancia es cero.

Para cualquier punto P0 del plano P, se proyecta Q−P0 sobre el vector normal,y la distancia del punto Q al plano sera la magnitud del vector proyeccion loque es lo mismo, el valor absoluto de la componente.Esto es:

d(Q,P)= |~n•(Q−P0)|‖~n‖ = Proy~n (Q− P0)

Como~n • (Q− P0) = ~n •Q− ~n • P = ~n •Q− d

Tambiend(Q,P) = |~n•Q−d|

‖~n‖

Recordando quen • (Q− P0) = a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0)

la distancia se expresa como:

d(Q,P)= |n•(Q−P0)|‖n‖ = |a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)|√

a2+b2+c2donde Q = (x, y, z)

1.2 DEMOSTRACION.Sea Q(x0, y0, z0) un punto cualquiera y un plano cualquiera generico de ecuacionP : Ax + By + Cz + D = 0 , el vector normal del plano sera ~n(A,B,C) y unpunto P0 = (x′, y′, z′) que pertenece al plano:

d(Q,P)= |~n•(Q−P0)|‖~n‖

Q− P0=(x0, y0, z0)− (x′, y′, z′)=(x0 − x′, y0 − y′, z0 − z′)

Sustituyendo tenemos:

d(Q,P)=|(A,B,C)•(x0−x′,y0−y′,z0−z′)|√

A2+B2+C2

d(Q,P)=|A(x0−x′)+B(y0−y′)+C(z0−z′)|√

A2+B2+C2

d(Q,P)=|Ax0+By0+Cz0−Ax′−By′−Cz′|√

A2+B2+C2

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Figure 2: Fuente: Elaboracion Propia

De lo anterior tenemos −Ax′ − By′ − Cz′ que es un punto en el plano quedebe cumplir con la ecuacion que tiene el plano que es P : Ax+By+Cz+D = 0y entonces al sustituir tenemos:

⇒ Ax′ +By′ + Cz′ +D = 0

Despejando:

⇒ D = −Ax′ −By′ − Cz′

Y ası podemos sustituir por D de la siguiente manera:

= |Ax0+By0+Cz0+D|√A2+B2+C2

1.3 EJEMPLO:Encuentra la distancia del punto Q(1,−2, 4) al plano P = 2x− y + 3z = 10

Solucion 1)

Tomando a P0 = (1, 1, 3)

Q− P0= (1,−2, 4)− (1, 1, 3) = (0,−3, 1) por lo que:

d(Q,P)=|Proy~n (Q− P0)|= |~n•(Q−P0)|‖~n‖

d(Q,P)= |(2,−1,3)•(0,−3,1)|√22−12+32

= |6|√4+1+9

= |6|√14

d(Q,P)= |6|√14

Solucion 2)

Como ~n = (2,−1, 3) y D = 10

~n •Q = (2,−1, 3) • (1,−2, 4) = 16

Ası usando d(Q,P) = |~n•Q−D|‖~n‖ tenemos que:

d(Q,P) = |16−10|√4+1+9

= 6√14

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Solucion 3)

Considerando P0 = (1, 1, 3), ~n = (2,−1, 3) y Q = (1,−2, 4)

d(Q,P)= |a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)|√a2+b2+c2

d(Q,P)= |2(1−1)−1(−2−1)+3(4−3)|√4+1+9

d(Q,P)= |3+3|√14

= 6√14

2 LA IMPORTANCIA DE MAXIMA EN LAS MATEMATICAS.

Maxima es un sistema de Algebra Computacional (CAS por sus siglas en ingles)que es capaz de realizar calculos para la manipulacion de expresiones simbolicasy numericas. Que te ayuda a simplificar todos los pasos de los calculos implıcitosque se hacen de forma rutinaria y requieren de mayor cantidad de tiempo .

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Referencias• Haaser, LaSalle, Sullivan. (1990). Analisis Matematico. Vol. 2. Ed, Trillas.

• Marsden. (1991). Calculo Vectorial. Addison-Wesley.

• www.youtube.com/watch?v=hGOLyaxw-icnoredirect=1

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