Distancias, áreas y...

7

Unidad

l análisis de los vectores, desde la óptica de su estructura de espacio vectorial (mane-jando sólo combinaciones lineales), ha permitido establecer las relaciones de dependen-

cia e independencia lineal que han dado lugar a la obtención de las ecuaciones de rectas yplanos en el espacio y sus posiciones relativas.

Pero, para analizar el espacio desde un punto de vista métrico, es decir, para poder medirángulos, distancias, áreas y volúmenes, son necesarios los productos escalar, vectorial ymixto, que ya han sido estudiados en la Unidad 5. En esta unidad se verán las aplicacionesde dichas operaciones en el estudio de la medida en el espacio.

E

173

Distancias, áreas y volúmenes

07.bach.2 73 Tuesday, April 15, 2003 5:51 PM

7.1

Medida de ángulos

El coseno del ángulo que forman dos vectores es el producto escalar de los dosvectores normalizados (es decir, divididos por sus módulos):

Ésta es la herramienta que, en general, se utilizará para la medida de ángulos enel espacio.

A

Ángulo de dos rectas

Dadas las rectas y , se define el

ángulo de

r

y

s

como el que forman sus vectores directores:

Si las rectas se cortan o son paralelas, el ángulo no necesita mayor comentario.Pero si las rectas se cruzan, se observa que el ángulo será el formado por unarecta con la proyección de la otra sobre el plano que contiene a la primera y esparalelo a la segunda (véase la Figura 7.1).

Dos

rectas

son

perpendiculares

si sus vectores directores son ortogonales,es decir, si .

Hay que indicar también que en el plano se habla con frecuencia de encontrar laperpendicular a una recta por un punto, puesto que en el plano, dada una recta,existe una única dirección perpendicular a ella. Sin embargo, en el espacio, loadecuado es decir «una» perpendicular, pues, dada una recta, existirán infinitasdirecciones perpendiculares a ella: todas las contenidas en un plano perpendicu-lar a la recta dada (véase la Figura 7.2).

Ejemplo 1

Hallar el ángulo formado por las rectas y

Solución

Los vectores directores de las dos rectas son:

=

(2,

−

1,

−

2) y (

−

1, 2, 2).Así pues, el ángulo que forman es:

αcos u v⋅u · v

---------------------uu

-----------vu

-----------⋅= =→→

→ →→→

→ →

rA(x1 y, 1 z, 1)

u (u1 u, 2 u, 3)=

≡ → sB(x2 y, 2 z, 2)

v (v1 v, 2 v, 3)=

≡ →

α r s,( ) α ur vs,( ) arc cos� ur vs⋅ur vs⋅

-----------------------�= = =

arc cos� u1v1 u2v2 u3v3+ +

u12 u2

2 u32+ + v1

2 v22 v3

2+ +⋅--------------------------------------------------------------------------------�=

→ →→ →

→ →

ur vs⋅ 0 u1v1 u2v2 u3v3+ +⇔ 0= =→ →

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

•

r x 1–2

---------------≡ y 2+1–

----------------z 1+

2–---------------= =

sx 2 λ–=

y 1 2λ+=

z 2λ=

≡

u→

v→

α arc cos 2– 2– 4–

4 1 4+ + 1 4 4+ +⋅----------------------------------------------------------------- arc cos 8–

9--------- 27°16'≈= =

Fig. 7.1

r

s

u→

v→

Fig. 7.2

r

174

07.bach.2 Page 174 Tuesday, April 15, 2003 5:51 PM

B

Ángulo de dos planos

Dados los planos y ,el ángulo formado por ambos es el que forman sus vectores normales:

Como

=

(

a

1

,

b

1

,

c

1

) y

=

(

a

2

,

b

2

,

c

2

),

.

Dos

planos

son

perpendiculares

si sus vectores normales son ortogonales,es decir, si · ·

=

0

⇔

.

Observa que si dos planos son perpendiculares, el vector normal de cada uno delos planos está contenido en el otro plano.

Ejemplo 2

Hallar el ángulo que forman los planos y.

Solución

Los vectores normales de los dos planos son

=

(2,

−

3, 1) y

=

(1, 2, 5), y el

ángulo que forman es

=

87° 12' 11,31''

Ejemplo 3

Hallar las ecuaciones de una recta que pasa por el punto A(2, 1, 1) y es per-

pendicular a .

Solución

Sin otras condiciones, el problema de la obtención de una recta perpendiculara otra por un punto (como también el de la obtención de un plano perpendicu-lar a otro por un punto) es un problema indeterminado, con 2 grados de liber-tad.

El vector director de r es . Cualquier vector = (v1, v2, v3) quecumpla es ortogonal a . Pero esta condición suponeuna ecuación con tres incógnitas, que tiene infinitas soluciones. Es decir, exis-ten infinitos vectores (todos ellos coplanarios) que son perpendiculares alvector .

Así, cualquier recta cuyo vector director cumpla la relación = 0y pase por el punto A(2, 1, 1) será solución del problema.

π1 a1x b1y c1z d1+ + +≡ 0= π2 a2x b2y c2z d2+ + +≡ 0=

n1→

n2→ α π1 π, 2( ) α n1 n, 2( )= =

→ →

arc cos � n1

n1

-----------n2

n2

-----------�⋅ arc cos � a1a2 b1b2 c1c2+ +

a 12 b 1

2 c12+ + a2

2 b22 c2

2+ +⋅------------------------------------------------------------------------------�= =

→ →

→→

n1→

n2→

a1a2 + b1b2 c1c2+ 0=

••

••

••

••

••

••

••

π1 2x 3y– z 5+ +≡ 0=π2 x 2y 5z 7+ + +≡ 0=

n1→

n2→

α arc cos � 2 6– 5+

4 9 1+ + 1 4 25+ +⋅--------------------------------------------------------------------�=

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

r x 1+2

----------------≡ y 2–2

---------------z 1+

3---------------= =

u (2 2 3 ),,=→

v→

2v1 2v2 3v3+ + 0= u→

u→

2v1 2v2 3v3+ +

Calcula el ángulo que forman las rectas Halla el ángulo que forman los planos1

r x 3–1

---------------≡ y 2+1–

----------------z

2---------= =

s 2 x+1

----------------≡ y 3–1

---------------z 5+

2---------------= =

2

π x y– z 1–+≡ 0=

π1 2x 3y– 4z 1–+≡ 0=

Fig. 7.3

n1

n2

α

α

→

→

π1

π2

«La inclinación de un plano con res-pecto a otro plano es el ángulo agudocomprendido por las rectas trazadas aun mismo punto formando ángulosrectos con la sección común en cadauno de los planos.»

EUCLIDES. Definición 6. Libro XI

El ángulo entre dos planos que defineEuclides se llama ángulo diedro.

175

Actividades

� �


C Ángulo de recta y plano

El ángulo de la recta y el plano = 0,

es el ángulo formado por r con su proyección ortogonal sobre π, r �(Fig. 7.4).

Si r es perpendicular a π, su proyección ortogonal sobre π es un punto, pero, enese caso, el ángulo que forman r y π es el formado por r con cualquier recta con-tenida en el plano, que es 90° (Fig. 7.5).

Fig. 7.4 Fig. 7.5

De todos los ángulos formados por r con las rectas contenidas en π, elángulo α(r, r �) es el menor posible, y por eso se le define como el ángulo for-mado por la recta y el plano: .

Para obtenerlo, se consideran los vectores normal del plano = (a, b, c) y direc-tor de la recta = (u1, u2, u3) (véase la Figura 7.4). El ángulo β que forman entresí estos dos vectores, es el complementario del ángulo α formado por la recta yel plano, de modo que α + β = 90°. Teniendo en cuenta las relaciones entre lasrazones trigonométricas de ángulos complementarios, se tiene:

=

Si una recta es perpendicular a un plano, el vector director de la recta y el vectornormal del plano tienen la misma dirección, es decir, son proporcionales:

Observa que, en este caso, en la ecuación anterior se tiene:

=

= arc sen = arc sen (1) = .

Por tanto, la expresión para el ángulo de recta y plano obtenida es válida tambiéncuando la recta es perpendicular al plano.

rA(x1 y, 1 z, 1)

u u1 u2, u, 3( )=

≡ → π ax by cz d+ + +≡

r

r �

π

u

αβ

n →→

r

π

u→

n→

α(r π), α(r r�),=

n→

u→

sen α βcos nn

----------uu

----------⋅= =→ →

→→au1 bu2 cu3+ +

a2 b2 c2+ + u12 u2

2 u32+ +⋅

-------------------------------------------------------------------------------

α arc sen � au1 bu2 cu3+ +

a2 b2 c2+ + u12 u2

2 u32+ +⋅

---------------------------------------------------------------------------------�=

r π u1⇔⊥ λnu1

a--------⇔ u2

b--------

u3

c--------= = =

→→

α arc sen � a(λa) b(λb) c(λc)+ +

a2 b2 c2+ + (λa)2 (λb)2 (λc)2+ +⋅--------------------------------------------------------------------------------------------------------�=

� λa2 λb2 λc2+ +λ(a2 b2 c2)+ +

--------------------------------------------� π2

------

«Cuando desde el extremo de una rectaelevado sobre un plano se traza una per-pendicular al plano y se traza otra desde elpunto que resulta hasta el extremo de laprimera recta que está en el plano, elángulo comprendido por la recta así tra-zada y la que está sobre el plano es la incli-nación de la recta con respecto al plano.»

EUCLIDES. Elementos. Libro XI. Def. 5.

RecuerdaSi α y β son ángulos complementarios,es decir, su suma es 90°, entonces susrazones trigonométricas verifican lasrelaciones:

• sen α = cos β• cos α = sen β

176


Ejemplo 4

Hallar las ecuaciones de una recta que pasa por el punto A(2, 1, 1) y es per-pendicular .

Solución

Las rectas perpendiculares al plano π tienen la dirección de su vector normal

y, por tanto, la recta pedida tiene como vector director = = (3, −2, 1).

Las ecuaciones de la recta son .

Ejemplo 5

Indicar la ecuación de un plano que pasa por el punto A(4, −1, 0) y es perpen-dicular a los planos y .

Solución

El plano que es perpendicular simultáneamente a los dos planos dados, tienecomo vector normal el producto vectorial de los vectores normales de ambos

planos: = .

Como pasa por el punto A(4, −1, 0) su ecuación es: 6(x − 4) + 11(y + 1) + 4z = 0 ⇒ 6x + 11y + 4z − 13 = 0.

Ejemplo 6

Hallar las ecuaciones de la recta que es perpendicular a , es

paralela al plano 2x − 2y + 3z + 5 = 0 y pasa por el punto A(2, −3, 1).

Solución

La recta que se pide tiene la dirección perpendicular simultáneamente a la recta s

y al vector normal del plano: = = .

Por tanto, las ecuaciones de la recta pedida son .

••

••

••

••

••

••

••

•

π 3x 2y– z 5+ +≡ 0=

u→

n→

r x 2–3

---------------≡ y 1–2–

---------------z 1–

1---------------= =

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

π1 3x 2y– x 5+ +≡ 0= π2 2x 3z– 7–≡ 0=

nπ nπ1nπ2

×i 3 2j 2– 0k 1 3–

= =

→

→

→

→→→6i 11j 4k nπ⇒+ + (6 11 4),,=

→ → → →

π ≡

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

•

sx 3λ=

y 1– λ–=

z 2 2λ–=

≡

π ≡

ur us nπ×i 3 2j 1– 2–

k 2– 3

= =

→

→

→

→→→7i– 13j– 4k–

→ → →

r x 2–7

---------------≡ y 3+13

----------------z 1–

4---------------= =

Calcula el ángulo que forman la recta

y el plano

.

Halla las ecuaciones de la proyección orto-gonal de la recta r sobre el plano π, siendo ry π la recta y el plano de la Actividad 3, res-pectivamente.

3

r x 3–7

---------------≡ y1–

---------z 2–

3---------------= =

π x 3y z– 1+ +≡ 0=

4

RecuerdaSiempre que se necesita una direcciónperpendicular simultáneamente a otrasdos, se obtiene efectuando el productovectorial de los dos vectores que defi-nen las direcciones dadas.

n→

u→

π

177

Actividades


7.2

Medida de distancias

Entre los distintos elementos del espacio, se consideran las distancias punto-punto, punto-recta y punto-plano; recta-recta y recta-plano, y plano-plano.

La distancia entre dos puntos ya se ha comentado en la Unidad 5. A continua-ción, se tratará el resto de distancias.

A

Distancia de un punto a una recta

Dados un punto

P

(

x

0

,

y

0

,

z

0

) y una recta , la distancia

desde

P

a

r

es el mínimo del conjunto de distancias desde

P

a los infinitos puntos de

r:

Este mínimo es único y corresponde a la perpendicular trazada desde

P

hasta

r

.

Para obtener la distancia de un punto a una recta se puede operar de variasmaneras. A continuación se explicarán dos de ellas.

Primer método

Consiste en obtener las coordenadas del punto

M,

que es la proyección ortogo-nal de

P

sobre

r

. Para ello, se calcula la ecuación del plano perpendicular a

r

que pasa por

P,

teniendo en cuenta que su vector normal es el director de

r

. Acontinuación se obtiene el punto de corte de la recta y dicho plano (Fig. 7.6).

Sean el punto

P

(1, 3,

−

2) y la recta

El plano perpendicular a

r

que pasa por

P

tiene ecuación: 3(

x

−

1)

+

(

y

−

3)

−

2(

z

+

2)

=

0. Es decir:

La intersección de

r

y

π

se obtiene sustituyendo las ecuaciones paramétricas de

r

en la ecuación general de

π

:

3(2

+

3

λ

)

+

(

−

1

+ λ

)

−

2(1

−

2

λ

)

−

10

=

0

⇒

1

4λ

−

7

=

0

⇒ λ =

Para obtener

M

, se sustituye el valor de

λ

obtenido en las ecuaciones paramétri-

cas de

r

:

⇒

Y la distancia de

P

a

r

será la misma que la distancia de

P

a

M

:

d

(

P

,

r

)

=

d

(

P

,

M

)

=

=

rA(x1 y, 1 z, 1)

u (u1 u, 2 u, 3)=

≡ →

d P r,( ) Mín = d P x,( ) x r∈{ }

rx 2 3λ+=

y 1– λ+=

z 1 2λ–=

≡

π ≡

π 3x y 2z– 10–+≡ 0=

12

------

x 2 32

------+ 72

------= =

y 1– 12

------+ 12

------–= =

z 1 2 12

------– 0= =

M � 72

------ 1–2

------ 0�,,

� 72

------ 1�–2

� 12

------– 3�–2

(0 2)+ 2+ + 254

----------494

---------- 4+ + 3 102

-------------------=

Recuerda

La distancia entre los puntos

A

(

x

1

,

y

1

,

z

1

)y

B

(

x

2

,

y

2

,

z

2

) viene dada por el mó-dulo del vector , es decir,

d

(

A

,

B

)

= =

=

.

AB−−→

|AB|−−→

(x2 x1)– 2 (y2 y1)– 2 (z2 z1)– 2+ +

Fig. 7.6

A

B

C

M

D

E

P

r

π

178

07.bach.2 Page 178 Wednesday, February 18, 2004 2:03 AM

Segundo método

En este procedimiento, se obtiene la distancia del punto P a la recta r directa-mente, sin necesidad de calcular las coordenadas de M. Para ello, se considerael paralelogramo formado por el vector director de r y el vector , con origen enun punto A de la recta r y extremo en el propio punto P.

Por un lado, el área de ese paralelogramo es el módulo del producto vectorial de y : . Y, por otro lado, es el producto de la base por la

altura, siendo la base el módulo del vector director y la altura es la distanciadesde P hasta r : APar = · d(P, r ).

Igualando estas dos expresiones y despejando la distancia, se tiene:

Ejemplo 7

Hallar la distancia desde el punto P(1, 3, −2) a la recta .

Solución

Se obtiene, en primer lugar, el vector = (1 − 2, 3 − (−1), −2 −1) = (−1, 4, −3).

Después, el producto vectorial de = , y

su módulo: .

Por último, la distancia será el cociente entre este módulo y el del vector direc-

tor de la recta: d(P, r ) = .

AP−−−→

ur→

AP−−−→

APar ur AP×=−−−→→

ur→

ur→

d(P r), =ur AP×

ur

---------------------------→

→

−−−→

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

rx 2 3λ+=

y 1– λ+=

z 1 2λ–=

≡

AP−−−→

ur AP×i 3 1–

j 1 4k 2– 3–

=−−−→

→

→

→

→5i 11j 13k+ +

→ → →

ur AP× 25 121 169+ + 3 35= =−−−→→

3 35

9 1 4+ +----------------------------

3 35

14-------------------

3 102

-------------------= =

Calcula la distancia desde el punto P(2, −3, 2)

a la recta :

a) Determinando previamente la proyecciónortogonal del punto P sobre la recta r.

b) Hallando el área del paralelogramo for-mado por los vectores y .

Dado el triángulo de vértices A(0, 3, 2),B(−1, 5, −3) y C(4, −4, 1), halla la longitudde la altura sobre el lado AB, y el área deltriángulo.

Halla la distancia desde el punto de corte delas rectas

y

a la recta

5

r x 2+3

----------------≡ y 2–4

---------------z 1+12

---------------= =

AP−−−→

ur→

6

7

r x2------≡ y 1–

3--------------- 2 z–= =

sx y z+ + 5–=

2x z+ 4–=

≡

t5x 12y 8z–+ 9=

3x 4y– 8z– 15=

≡

Fig. 7.7

A M

r

P

d (P, r )

ur

→

179

Actividades


B

Distancia de un punto a un plano

Dados un punto

P

(

x

0

,

y

0

,

z

0

) y un plano

ax

+

by

+

cz

+

d

=

0, la distancia de

P

a

π

es el mínimo del conjunto de distancias desde

P

a los distintos puntosde

π

, mínimo que coincide con la perpendicular trazada desde

P

a

π

.

La distancia desde

P

hasta cualquier otro punto del plano

π

que no sea

M

, es lahipotenusa de un triángulo rectángulo, uno de cuyos catetos es

PM

. Por tanto,

PM

será menor que cualquier otra distancia desde

P

hasta un punto de

π

, consti-tuyendo el mínimo de las distancias desde

P

hasta

π

, y por eso se denomina

dis-tancia del punto al plano

.

Para obtener la distancia desde el punto hasta el plano, se puede operar de dosmaneras.

Primer método

Consiste en obtener las coordenadas del punto

M

(

x

m

,

y

m

,

z

m

), para lo cual setraza la recta perpendicular a

π

que pasa por

P,

teniendo en cuenta que su vectordirector coincide con el normal del plano

π

.

A continuación se calcula la intersección del plano con la recta obtenida.

Sean el punto

P

(3, 3,

−

2) y el plano

x

+

2

y

−

2

z

−

4

=

0.

Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por

P

y es perpendicular a

π

son .

Observa que se usa como vector director de

p

el normal de

π

,

=

(1, 2,

−

2).

Para hallar el punto de corte entre

p

y

π

, se sustituyen las ecuaciones paramétri-cas de

p

en la ecuación general de

π

:

Sustituyendo el valor de

λ

obtenido en las ecuaciones paramétricas de

p,

se tie-nen las coordenadas de

M

, que son

M

(2, 1, 0).

La distancia entre

P

y

π

es la misma que entre

P

y

M

:

d

(

P

,

π

)

=

d

(

P

,

M

)

=

Ejemplo 8

Hallar la proyección ortogonal del punto

A

(1, 3, 2) sobre el plano y la distancia de

A

a

π

.

Solución

La recta perpendicular a

π

que pasa por

A

es y su intersec-

ción con

π

es: 1

+

λ

+

2(3 + 2

λ

)

+

3(2 + 3

λ

)

+

1

=

0

⇒ λ

= −

1

⇒

M

(0, 1,

−

1).

La distancia de

A

a

π

es la distancia de

A

a

M

y, por tanto:

π ≡

π ≡

px 3 λ+=

y 3 2λ+=

z 2– 2λ–=

≡

n→

(3 λ)+ 2(3 2λ)+ 2( 2–– 2λ)– 4–+ 0=

9 9λ+ 0=

λ 1–=

(3 2)– 2 (3 1)– 2 ( 2– 0)– 2+ + 3=

••

••

••

••

••

••

••

••

••

•

π x≡ 2y 3z 1+ + + 0=

px 1 λ+=

y 3 2λ+=

z 2 3λ+=

≡

d(A π), d(A M), 12 22 32+ + 14= = =

Fig. 7.8

P

M X(x, y, z)π

π: ax + by + cz + d = 0

n→

d(P, π) xp→

Fig. 7.9

A

M

π

180

07.bach.2 Page 180 Thursday, February 19, 2004 1:09 AM

Segundo método

En este procedimiento no hace falta calcular las coordenadas de

M

, sino que serazona a partir de un punto cualquiera del plano,

X

(

x

,

y

,

z

). En la Figura 7.8 sepuede apreciar que la distancia de

P

a

π

es la proyección del vector sobre ladirección del vector normal del plano, :

d

(

P

,

π

)

= =

Como

=

(

x

0

−

x

,

y

0

−

y

,

z

0

−

z

) y

=

(

a

,

b

,

c

):

d

(

P

,

π

)

=

Ahora bien, dado que

X

(

x

,

y

,

z

) es un punto del plano

π

, sus coordenadas cum-plen la ecuación, de modo que

−

ax

−

by

−

cz

=

d

. Por tanto:

Ejemplo 9

Hallar la distancia desde el punto

P

(3, 3,

−

2) al plano

x

+

2

y

−

2

z

−

4

=

0.

Solución

Se sustituyen las coordenadas del punto en la ecuación general del plano,obteniéndose el valor absoluto del resultado, el cual se divide por el módulodel vector normal:

d

(

P

,

π

)

=

.

XP−−−→

n→

ProynXP−−−→

→XP n⋅

n-----------------------

−−−→ →

→

XP−−−→

n→

a(x0 x)– b(y0 y)– c(z0 z)–++

a2 b2 c2+ +------------------------------------------------------------------------------------- =

ax0 by0 cz0 ax by– cz––+ +

a2 b2 c2+ +------------------------------------------------------------------------------------

d(P π),ax0 by0 cz0 d+ + +

a2 b2 c2+ +--------------------------------------------------------=

••

••

••

••

••

••

••

•

π ≡

3 2 3 2– ( 2)– 4–⋅ ⋅+

12 22 ( 2)– 2+ +---------------------------------------------------------------

93

------ 3= =

Calcula la distancia del punto

P

(5,

−

1, 6) a la

recta

Hallla la distancia del punto

P

(3, 1, 7) alplano

=

0.


P

(1, 2, 3) alplano 2

x

+

3

y

−

z

=

0.

Determina el punto simétrico de

P

(1, 2, 0)respecto del plano 2

x

−

y

−

3

z

+

5

=

0.

Halla la longitud de la proyección del seg-mento de extremos

A

(2, 5, 3) y

B

(3, 4, 2) so-bre el plano de ecuación 2

x

+

y

−

2

z

=

0.


P

(2,

−

3, 4) a

la recta .

Determina la ecuación del plano cuyo puntomás próximo al origen es

P

(

−

1, 2, 3).


P

(3, 4, 1) a

Halla las ecuaciones de la recta que pasapor

P

(1, 0, 2) y corta perpendicularmente a

la recta

Dados el plano 3

x

+

by

−

z

+

2

=

0 y la recta

, halla

b

sabiendo que

r

y

π

son paralelos, y calcula la distancia de

r

a

π

.

8

rx 1 2λ–=

y λ–=

z 5 λ+=

≡

9π x 3y– 5z 1–+≡

10π ≡

11π ≡

12

π ≡

13

r x 1–2–

---------------≡ y1------

z 2+2

---------------= =

14

15

rx 0=

y 4z– 0=

≡

16

rx y z– 1+ + 0=

z 2+ 0=

≡

17 π ≡

rx 1– λ+=

y 2 2λ+=

z 7λ=

≡

RecuerdaLa distancia de un punto a una recta enla geometría en el plano es

La expresión que hemos obtenido parala distancia de un punto a un plano enel espacio es totalmente análoga. Sim-plemente, hay una coordenada más.

A(x0, y0)

r = Ax + By + C = 0 �d A r,( )

Ax0By0

C+ +

A2 B2+-------------------------------------=

181

Actividades

07.bach.2 Page 181 Sunday, February 29, 2004 11:46 AM

C Significado del signo de la distancia de un punto a un plano

Al sustituir las coordenadas de un punto en el primer miembro de la ecuacióngeneral de un plano, se puede obtener un número positivo o un número negativo(si el número obtenido es 0, significa que el punto pertenece al plano). En el epí-grafe anterior, se ha indicado que, para obtener la distancia del punto al plano, secalcula el valor absoluto de ese número y se divide por el módulo del vector nor-mal del plano (si se entiende que la distancia entre un punto y un plano ha de serun número positivo).

Sin embargo, si se analiza el proceso de obtención de la expresión que da la dis-tancia, se puede encontrar un significado geométrico al signo de la misma. Y esque, puesto que se ha obtenido como proyección del vector sobre la direc-ción de , el signo indica si el vector proyección tiene o no el mismo sentido queel vector . Es decir, si el punto P se encuentra o no en el mismo semiespaciohacia el que apunta el vector normal del plano que se está considerando.

Como d(P, π) = , dependiendo de que α sea

menor o mayor que 90°, la distancia resulta positiva o negativa, respectivamente.

En la Figura 7.10, el punto P se encuentra en el mismo semiespacio al queapunta el vector normal, y el ángulo que forma con es agudo, su coseno espositivo y, en consecuencia, la distancia es positiva.

Sin embargo, en la Figura 7.11, el punto P se encuentra en el semiespacioopuesto al que apunta el vector normal, de modo que el ángulo α es obtuso, sucoseno negativo y la distancia resulta negativa.

Fig. 7.10 Fig. 7.11

Ejemplo 10

Determina si el plano 2x + 3y − 2z − 4 = 0 corta o no al segmento de extre-mos A(2, 1, 3) y B(3, 2, 1).

Solución

Si las distancias desde los extremos del segmento al plano tienen el mismosigno, el plano no corta al segmento, haciéndolo en caso contrario:

Como d(A, π) =

y d(B, π) = , el plano corta al segmento.

XP−−−→

n→

n→

Proyn→ XP XP n⋅

n--------------- XP αcos⋅= =

−−−→−−−→

−−−→ →

→

XP−−−→

n→

n→

M

π: ax + by + cz + d = 0

P

d(P, π)

X(x, y, z)

X(x, y, z)αα

P

n→

π: ax + by + cz + d = 0

M

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

π ≡

2 2 3 1 ( 2) 3 4–⋅–+⋅+⋅22 32 ( 2)– 2+ +

-------------------------------------------------------------------3–

17------------ 0<=

2 3 3 2 ( 2) 1 4–⋅–+⋅+⋅22 32 ( 2)– 2+ +

-------------------------------------------------------------------6

17------------ 0>=

Historia y MatemáticasAunque los inicios del estudio de lageometría del espacio con coordena-das hay que buscarlos en los trabajosde Fermat, Descartes y La Hire, duran-te el s. XVII, su desarrollo efectivo seprodujo durante el s. XVIII.

Jean Bernouilli, en una carta a Leibnizen 1715, introduce los planos de trescoordenadas que utilizamos hoy en día.

Las aportaciones de Antoine Parent(1666-1716), Alexis Claude Clairnet(1713-1765) y Jacob Hermann (1678-1733) fueron fundamentales en elconocimiento de curvas y superficiesen el espacio.

Los trabajos posteriores de Euler,Lagrange y Gaspar Monge (1746-1815),hicieron de la geometría analítica unarama de las matemáticas independientey, según Morris Kline, acabada.

182


D Distancia entre planos paralelos

Aunque se puede obtener la distancia entre dos planos paralelos calculando ladistancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro, también se puede hacermediante la diferencia de las distancias orientadas de un punto cualquiera, porejemplo, el origen, a cada uno de los planos.

Dados dos planos paralelos, se pueden obtener sus ecuaciones generales conel mismo vector normal, ax + by + cz + d1 = 0 y ax + by + cz + d2 = 0.

d(π1, π2) =

Ejemplo 11

Calcular la distancia entre π1 2x − y − 2z + 5 = 0 y π2 4x − 2y − 4z + 15 = 0.

Solución

Los planos π1 y π2 son paralelos, pero las ecuaciones generales que nos pro-porcionan no corresponden al mismo vector normal. En primer lugar, se hande escribir ambas ecuaciones correspondientes al mismo vector normal, de

modo que se divide la segunda ecuación por 2: .

Ahora se puede calcular la distancia entre los dos planos restando los térmi-nos independientes y dividiendo por el módulo del vector normal común:

d(π1, π2) = .

π1 ≡ π2 ≡

d(O π2), d(O π1),– =

a 0 + b 0 c 0 d2+⋅+⋅⋅a2 b2 c2+ +

---------------------------------------------------------------a 0⋅ b 0⋅ c 0 d1+⋅+ +

a2 b2 c2+ +-------------------------------------------------------------–=

d2 d1–

a2 b2 c2+ +-----------------------------------=

d π1 π2,( ) d2 d1–

a2 b2 c2+ +--------------------------------------=

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

•

≡ ≡

π2 2x y– 2z– 152

----------+≡ 0=

152

---------- 5–

4 1 4+ +----------------------------

56

------=

Determina si los puntos P(3, −1, 5) y Q(1, 0, 7)están a un mismo lado del plano

2x − y + z = 0 o en semiespacios opuestos.

Averigua, en cada uno de los casos siguien-tes, si los puntos M(2, −1, 1) y N(1, 2, −3)están en un mismo ángulo diedro, en ángu-los diedros adyacentes o en ángulos die-dros opuestos, de los formados por los dosplanos.

a) 3x − y + 2z − 3 = 0, x − 2y − z + 4 = 0

b) 2x − y + 5z − 1 = 0, 3x − 2y + 6z − 1 = 0

Determina la distancia entre los planos pa-ralelos que contienen a las rectas

a) y

b) y

Estudia la posición relativa de la recta

y el plano

3x + 3y − z − 5 = 0, y calcula la distanciade r a π.

18

π ≡

19

π1 ≡π2 ≡π1 ≡π2 ≡

20

rx 3=

y 2=

≡ sx 1–=

z 2=

≡

r2x y– 0=

y z+ 0=

≡ sx 2y– 1=

2y 3z+ 2=

≡

21

r x2------≡ y 1–

1–---------------

z3

------= =

π ≡

Fig. 7.12

z

xy

183

Actividades


E Distancia entre dos rectas

La distancia entre dos rectas sólo tiene interés cuando éstas son paralelas o secruzan.

■ Rectas paralelas

Sean y dos rectas paralelas. La dis-

tancia de r a s es la distancia desde un punto cualquiera de r a s, o desde unpunto cualquiera de s a r:

d(r, s) = d(A, s) = d(B, r ) =

Ejemplo 12

Hallar la distancia entre las rectas de ecuaciones y

.

Solución

Conocidos un punto de la recta r, A(−1, 0, 3) y un punto de la recta s, B(2 , −1, 5),

así como el vector director de ambas, = (2, 3, 4), se calcula el vector

= (3, −1, 2) y el producto vectorial de × = (10, 8, −11), siendo ladistancia entre las rectas el cociente entre los módulos de los vectores

× y :

d(r, s) =

■ Rectas que se cruzan

La distancia entre dos rectas que se cruzan es la mínima entre un punto de unade las rectas y un punto de la otra. Es decir, entre todas las posibles distanciasdesde un punto de r hasta un punto de s, la más pequeña. Ésta corresponde alsegmento perpendicular común entre ambas.

Para obtener la distancia entre dos rectas que se cruzan existen varios procedi-mientos. A continuación se verá alguno de ellos.

Primer método

Si dos rectas se cruzan, existen dos planos paralelos tales que cada uno de elloscontiene a cada una de las rectas (véase la Figura 7.14). La distancia entre esosdos planos es la distancia entre las dos rectas.

rA(x1 y, 1 z, 1)

u u1 u2, u, 3( )=

≡ → sB(x2 y, 2 z, 2)

u u1 u2, u, 3( )=

≡ →

u AB×u

------------------------→

→

−−−→

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

•

r x 1+2

----------------≡ y3------

x 3–4

---------------= =

s x 2–2

---------------≡ y 1+3

----------------z 5–

4---------------= =

u→

AB−−−→

u→

AB−−−→

u→

AB−−−→

u→

100 64 121+ +

4 9 16+ +---------------------------------------------

285

29---------------=

d(r, s) = d(π1, π2)

Fig. 1.13

u→

A

B

u→

r

ds

Fig. 7.14

P r

Q s

d(r, s)

ur

→

vs

→

184


Ejemplo 13

Calcular la distancia entre y .

Solución

Se obtienen las ecuaciones de los planos paralelos entre sí que contienen acada una de las rectas.

El vector normal de ambos es .

Las ecuaciones de los planos son:

Como los planos no son coincidentes, las rectas se cruzan, y la distancia

entre ellas es d(

r

,

s

)

=

d(

π

1

,

π

2

)

=

.

Segundo método

La distancia entre las rectas

r

y

s

de la Figura 7.15 coincide con la distancia entrelos puntos

P

y

Q

, que son las intersecciones de

r

y

s

con su perpendicularcomún.

d

(

r

,

s

) =

d

(

P

,

Q

)

Ejemplo 14


Solución

Para calcular las coordenadas de los puntos

P

y

Q,

se consideran

X

(1

+

2µ,

−

1

+

µ, 2

−

µ) e

Y

(1

−

λ

, 3

λ

,

−

3

+

2

λ

), puntos genéricos de

r

y

s,

res-

pectivamente. Con ellos se obtiene el vector

=

(

−

λ

−

2µ, 3

λ

−

µ

+

1, 2

λ +

µ

−

5)

y se plantea que sea ortogonal simultáneamente a y :

·

=

0

⇒

−

2

λ

−

4µ

+

3

λ

−

µ

+

1

−

2

λ

−

µ

+

5

=

0

⇒ λ +

6µ = 6

·

=

0

⇒ λ +

2µ

+

9

λ

−

3µ

+

3

+

4

λ +

2µ – 10

=

0

⇒

14

λ +

µ

=

7

La solución de este sistema es y µ

=

, por lo que los puntos son:

P

y

Q

, siendo la distancia entre

r

y

s:

d

(

r

,

s

)

=

d

(

P

,

Q

)

=

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

r x 1–2

---------------≡ y 1+ z 2–1–

---------------= = sx 1 λ–=

y 3λ=

z 3– 2λ+=

≡

n u r vs×i 2 1–

j 1 3k 1– 2

5i 3j– 7k+= = =→ → →

→

→

→

→ → →

π1 5 x 1–( ) 3 y 1+( )– 7 z 2–( )+≡ 0 5x 3y– 7z 22–+⇒ 0= =

π2 5 x 1–( ) 3y– 7 z 3+( )+≡ 0 5x 3y– 7z 16+ +⇒ 0= =

16 ( 22)––

25 9 49+ +-----------------------------------

38

83-------------

38 8383

---------------------= =

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

•

r x 1–2

---------------≡ y 1+ z 2–1–

---------------= = sx 1 λ–=

y 3λ=

z 3– 2λ+=

≡

XY−−−→

XY−−−→

ur→

vs→

XY−−−→

ur→

XY−−−→

vs→

λ 3683

----------= 7783

----------

�23783

------------- 6–83

---------- 8983

----------,, � �4783

---------- 10883

------------- 177–83

----------------,, �

� 23783

-------------4783

----------�2

� 6–83

----------10883

-------------�–+2

� 8983

----------177–83

----------------�–+2

– =

38 8383

-----------------------=

Fig. 7.15

Pr

Q s

d (r, s)d (π1, π2)π1

π2

Responde¿Por qué no se puede hallar la distan-cia entre dos rectas que se cruzan cal-culando la distancia de un punto deuna recta a la otra?

185

07.bach.2 Page 185 Thursday, February 19, 2004 1:12 AM

Tercer método

Observa que en la Figura 7.16 están dibujadas las dos rectas que se cruzan, susvectores directores y el vector , con origen en un punto A, de r, y extremo enun punto B, de s. Se han representado los tres vectores con origen en el mismopunto P de la recta r, de modo que forman un paralelepípedo. La distancia entrelas dos rectas es, precisamente, la altura de dicho paralelepípedo, que sepuede calcular teniendo en cuenta el volumen de la figura: V = Ab × h.

Como el volumen es el valor absoluto del producto mixto de los vectores , y, y el área de la base es el módulo del producto vectorial de los vectores

directores de las dos rectas y :

d(r, s) = h =

Ejemplo 15


Solución

Se calcula el vector = (0, 1, −5), y el valor absoluto del producto mixto es:

=

Después, se calcula el producto vectorial de los dos vectores directores y sumódulo:

La distancia entre las rectas es d(r, s) = = .

AB−−−→

u→

v→

AB−−−→

u→

v→

VAb------

AB u v,,[ ]u v×

---------------------------------= → →

→ →−−−→

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

r x 1–2

---------------≡ y 1+ z 2–1–

---------------= = sx 1 λ–=

y 3λ=

z 3– 2λ+=

≡

AB−−−→

AB u v,,[ ]→ →−−−→ 0 2 1–

1– 1 35 1– 2

1– 30 5 4+ + + 38= =

u v× (5 3 7), u v×⇒–, 25 9 49+ + 83= = =→ → → →

AB u v,,[ ]u v×

---------------------------------→ →

→ →−−−→38

83------------

38 8383

-----------------------=

Determina la distancia entre las rectas

y

.

Calcula la distancia entre la recta

y el plano

2x − y − z + 6 = 0.

Determina la distancia entre las rectas

y

.

Halla la distancia entre las rectas

y

.

Determina la distancia mínima entre las rec-

tas y .

Halla la distancia de la recta

al plano

2x + 4y − 2z = 0.

22

r x 2–3

---------------≡ y 1+4

----------------z 3+

2–---------------= =

s x 4–3

---------------≡ y 6+4

----------------z2–

---------= =

23

r x 2–3

---------------≡ y 1–4

------------z 1+

2–---------------= =

π ≡

24

r x 1–2

---------------≡ y 2+3

----------------z 1–

2---------------= =

s x 2+5–

----------------≡ y 2–4

---------------z 5+

3–---------------= =

25

rx 9 6λ+=

y 2λ–=

z 2 λ–=

≡

s x 5+3

----------------≡ y 5+2

----------------z 1–

2–---------------= =

26

rx 2– 0=

y 3+ 0=

≡ sx 2z– 1=

y z+ 3=

≡

27

r x 3+4–

----------------≡ y 5–2

---------------z 3+

0---------------= =

π ≡

Fig. 7.16

Bs

rA

P

d(r, s)

v→

u→

u × →

v→

186

Actividades


7.3 Recta perpendicular común a otras dos

Dadas dos rectas que se cruzan, existen infinitas rectas que son perpendicu-lares a ambas, pero sólo una que las corta. A dicha recta se le llama perpen-dicular común.

• Si las rectas se cortan, la perpendicular común es la recta perpendicular alplano que determinan las dos rectas y que pasa por su punto de intersección.

• Si las rectas son paralelas o coincidentes, no existe una única perpendicularcomún, y el problema carece de interés.

Sean las rectas y , que se cortan o cruzan.

En primer lugar, se calcula el producto vectorial de sus vectores directores:

= (p1, p2, p3).

La recta perpendicular común, p, se obtiene como intersección de los planos π1

(determinado por r y ) y π2 (determinado por s y ).

⇒

Ejemplo 16

Hallar la perpendicular común a

y .

Solución

El vector director de p es .

La recta es, por tanto,

rA(x1 y, 1 z, 1)

u u1 u2, u, 3( )=

≡ → sB(x2 y, 2 z, 2)

v v1 v2, v, 3( )=

≡ →

p u v×i u1 v1

j u2 v2

k u3 v3

= =→ →

→

→

→

→

p→

p→

p

π1r

p

≡

π2s

p

≡

≡

→

→

p

π1

x x1– u1 p1

y y1– u2 p2

z z1– u3 p3

≡ 0=

π2

x x2– v1 p1

y y2– v2 p2

z z2– v3 p3

≡ 0=

≡

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

•r x 1–

2---------------≡ y 1+ z 2–

1–---------------= = s

x 1 λ–=

y 3λ=

z 3– 2λ+=

≡

p u v× 5i 3j– 7k+= =→→→→→→

π1

x 1– 2 5y 1+ 1 3–

z 2– 1– 7

≡ 0 4x 19y– 11z– 1–⇒ 0= =

π2

x 1– 1– 5y 3 3–

z 3+ 2 7

≡ 0 27x 17y 12z– 63–+⇒ 0= =

p4x 19y– 11z– 1– 0=

27x 17y 12z– 63–+ 0=

≡

Fig. 7.17

P

Qs

rp

π1π2

Responde¿La perpendicular común de dos rectasque se cruzan, y es larecta ? ¿Por qué?

r A u,( )→ s B v,( )→

p A u v×,( )→ →

187


7.4

Lugares geométricos

Se llama

lugar geométrico de puntos del espacio

a cualquier conjunto depuntos que tengan una característica común. La expresión matemática dedicha característica recibe el nombre de ecuación del lugar geométrico.

Por ejemplo, el conjunto de todos los puntos del espacio que están alineados con

P

(1, 1, 1) y

Q

(2, 3,

−

1) forman un lugar geométrico (evidentemente una recta),cuyas ecuaciones son

X

∈

r

Del mismo modo, el conjunto de todos los puntos del espacio cuya distancia alorigen es 3 unidades forman un lugar geométrico, una superficie esférica, cuyaecuación es:

⇔

Existen dos lugares geométricos elementales: el plano mediador de un seg-mento y los planos bisectores de un ángulo diedro.

A

Plano mediador de un segmento

Se llama

plano mediador

del segmento de extremos

A

(

x

1

,

y

1

,

z

1

) y

B

(

x

2

,

y

2

,

z

2

),al lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de

A

y de

B

.

Para obtener su ecuación sólo hay que aplicar esta definición:

X

∈

π

m

⇔

= Elevando al cuadrado los dos miembros de la ecuación y reduciendo términossemejantes, se obtiene:

Y dividiendo por 2:

El vector normal del plano es , es decir, el plano esperpendicular al segmento

PQ

. Además, el punto medio del segmento,

M

, pertenece al plano, ya que verifica la ecuación.

Por tanto, el plano mediador de un segmento es el plano perpendicular al mismopor su punto medio.

Ejemplo 17

Hallar el plano mediador del segmento de extremos

A

(2,

−

3, 2) y

B

(0, 3, 4).

Solución

Un punto

X

(

x

,

y

,

z

) pertenece al plano mediador si

d

(

X

,

A

)

=

d

(

X

,

B

).

PX⇔ λ PQ⋅ x 1–1

---------------⇔ y 1–2

---------------z 1–

2–---------------= = =

−−−→ −−−→

X E d X O,( )⇔∈ 3 ⇔= 3(x − 0)2 (y 0)– 2 (z 0)– 2+ + 3 ⇔=

x2 y2 z2 9–+ + 0=

d X A,( )⇔ d X B,( ) ⇔=

(x x1)– 2 (y y1)– 2 (z z1)– 2+ + =

(x x2)– 2 (y y2)– 2 (z z2)– 2+ +

2(x2 x1– )x 2(y2 y1)–+ y 2(z2 z1– )z (x22 x1

2)– (y22 y 1

2)– (z22 z1

2)––––+ 0=

πm (x2 x1– )x (y2 y1)–+ y (z2 z1– )z+≡ x2

2 x12–

2--------------------–

y 22 y1

2–2

--------------------z 2

2 z12–

2-------------------+ +

PQ (x2 x1 y2 y1 z2 z1)–,–,–=−−−→

�x1 x2+2

-------------------- y1 y2+

2--------------------

z1 z2+2

-------------------�,,

••

••

••

••

••

••

•

π (x 2)– 2 (y 3)+ 2 (z 2)– 2+ +≡ (x)2 (y 3)– 2 (z 4)– 2+ +=

π x 3y– z–≡ 2+ 0=

Fig. 7.18

PM

Q

188

07.bach.2 Page 188 Wednesday, February 18, 2004 11:14 PM

B Planos bisectores de un ángulo diedro

Como ya se ha comentado, un ángulo diedro es el formado por dos planossecantes. Los planos bisectores del diedro constituyen el lugar geométricode los puntos del espacio que equidistan de las caras del diedro.

Sean π1 a1x + b1y + c1z + d1 = 0 y π2 a2x + b2 y + c2z + d2 = 0 dos planos secantes.

Un punto X(x, y, z) pertenece a alguno de los planos bisectores si, y sólo si,d(X, π1) = d(X, π2), es decir, si:

Para que el valor absoluto de dos números coincida hay dos posibilidades: quelos números sean iguales o que sean opuestos. Existen, por tanto, dos planosbisectores:

Ejemplo 18

Hallar los planos bisectores del diedro cuyas caras son los planos x − 2y + z − 4 = 0 y 2x − y − z = 0.

Solución

≡ ≡

a1x b1y c1z d1+ + +

a12 b1

2 c12+ +

---------------------------------------------------------a2x b2y c2z d2+ + +

a22 b2

2 c22+ +

---------------------------------------------------------=

β1a1x b1y c1z d1+ + +

a12 b1

2 c12+ +

------------------------------------------------------≡ a2x b2y c2z d2+ + +

a22 b2

2 c22+ +

------------------------------------------------------=

β2a1x b1y c1z d1+ + +

a12 b1

2 c12+ +

------------------------------------------------------≡ a2x b2y c2z d2+ + +

a22 b2

2 c22+ +

------------------------------------------------------–=

••

••

••

••

••

••

••

••

π1 ≡ π2 ≡

β1x 2y– z 4–+

6-------------------------------------≡ 2x y– z–

6--------------------------- x y 2z– 4+ +⇒ 0= =

β2x 2y– z 4–+

6-------------------------------------≡ 2x y– z–

6---------------------------– 3x 3– y 4–⇒ 0= =

Determina algunas ecuaciones paramétricasde la recta perpendicular común a las rectas

y

.

Halla los planos bisectores de los planos x + 2y − 2z − 5 = 0 y 3x + 4y + 3z − 13 = 0.

Determina la posición relativa de las rectas

y

y halla las ecua-

ciones de su perpendicular común.

Determina los puntos de la recta

que equidistan de los

planos y

Calcula las coordenadas de los puntos de la

recta que equi-

distan de los planos 3x + 4y − 1= 0 y 4x − 3z + 1 = 0.

Halla la ecuación del plano mediador del seg-mento de extremos A(−2, −1, −1) y B(−1, 4, −2).

28

r x 2–3

---------------≡ y 1+1

----------------z 3+

2–---------------= =

s x 4–1

---------------≡ y 6+1–

----------------z2–

---------= =

29π1 ≡π2 ≡

30

r x2------≡ y 3–

1---------------

z 1–3

---------------= =

s x 1–1

---------------≡ y 1–1

---------------z2

------= =

31

rx y– z+ 0=

3y z 1–+ 0=

≡

π1 x y+≡ 1= π2 x z–≡ 1–=

32

r x 2–2

---------------≡ y 1+3

----------------z 2–

2---------------= =

π1 ≡π2 ≡

33

Fig. 7.19

b2

b1

π1π2

189

Actividades


7.5 Cálculo de áreas y volúmenes

A Áreas de figuras planas

Como ya se ha expuesto, el área de un paralelogramo es el módulo del pro-ducto vectorial de los vectores que definen el paralelogramo: .

De esta fórmula se deduce una expresión para el área de un triángulo. Si los vér-tices del triángulo son A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) y C(x3, y3, z3), entonces su área es:

Una vez conocida el área de un triángulo, se puede obtener el área de cualquierpolígono plano por triangulación.

En el caso de que la figura esté limitada por alguna línea curva, a no ser que seconozca la expresión de su área en función de las distancias implicadas en ella,como ocurre con el círculo o con las figuras planas relacionadas con él, habrá querecurrir al cálculo integral, pero este supuesto no se estudiará en esta unidad.

Ejemplo 19

Probar que los puntos A(1, 3, −2), B(1, 2, 4), C(4, −2, 1) y D(3, −1, 4) formanel cuadrilátero ABDC y calcular su área.

Solución

Para que A, B, C y D formen un cuadrilátero, deben ser coplanarios, es decir,

los vectores y han de serlinealmente dependientes. Esto exige que su determinante valga 0, comoocurre en este caso:

El área del cuadrilátero ABDC se obtiene calculando las áreas de los triángu-los ABC y BCD y sumándolas.

; =

Por tanto,

; =

Y el área del triángulo es

En consecuencia, el área del cuadrilátero es:

APar u v×=→→

APar12

------ AB AC×=−−−→ −−−→

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

AB (0 1 6,–, ) AC, (3 5 3),–,= =−−−→ −−−→

AD (2 4 6),–,=−−−→

0 3 21– 5– 4–

6 3 6

0=

AABC12

------ AB AC×=−−−→ −−−→

AB AC×i 0 3j 1– 5–

k 6 3

=−−−→ −−−→

→

→

→

27i 18j 3k+ +→ → →

AABC12

------ 272 182 32+ + 3 1182

-----------------------= =

ABCD12

------ BC BD×=−−−→ −−−→

BC BD×i 3 2j 4– 3–

k 3– 0

=−−−→−−−→

→

→

→

9i– 6j– k–→ → →

ABCD12

------ ( 9)2– ( 6)2– ( 1)2–+ + 1182

--------------= =

AABCD AABC ABCD+ 3 1182

-----------------------1182

---------------+ 2 118 u2= = =

RecuerdaEl área de un triángulo es la mitad delárea del paralelogramo formado pordos cualesquiera de sus lados.

Fig. 7.20

D

B

A

C

x

y

z

190


B

Volúmenes de cuerpos geométricos

En la Unidad 5 se ha visto que el

volumen

de un paralelepípedo es el valorabsoluto del

producto

mixto

de los tres vectores que lo definen.

Del mismo modo que, al trazar la diagonal de un paralelogramo, éste queda divi-dido en dos triángulos iguales, al trazar el plano diagonal de un paralelepípedo,éste se divide en dos prismas triangulares iguales, por lo que el volumen de cadauno de los prismas es la mitad del volumen del paralelepípedo.

Pero como cada prisma triangular se puede descomponer en tres tetraedros delmismo volumen, cada tetraedro tendrá un volumen igual a la tercera parte del volu-men del prisma triangular correspondiente, es decir, igual a la sexta parte del

volumen del paralelepípedo correspondiente: .

Fig. 7.21

Por tanto, si los puntos

A

(

x

1

,

y

1

,

z

1

),

B

(

x

2

,

y

2

,

z

2

),

C

(

x

3

,

y

3

,

z

3

) y

D

(

x

4

,

y

4

,

z

4

) no soncoplanarios, entonces forman un tetraedro, cuyo volumen es.

Respecto del concepto de volumen, y para terminar, hay que indicar que así comoen el plano es posible descomponer un polígono cualquiera en triángulos y con ellosreconstruir otro polígono cualquiera con su misma área, M. Dehn discípulo de Hil-bert, demostró en 1900 que en el espacio es imposible descomponer un cubo entetraedros y con ellos reconstruir un tetraedro regular del mismo volumen.

VTetraedro 16

------VParalelepípedo=

D

C

BA

V 16

------x2 x1– x3 x1– x4 x1–

y2 y1– y3 y1– y4 y1–

z2 z1– z3 z1– z4 z1–

16

------

1 1 1 1x1 x2 x3 x4

y1 y2 y3 y4

z1 z2 z3 z4

= =

Calcula el área del paralelogramo formadopor los vectores

=

(0, 0, 1) y

=

(1, 1, 1).

Halla el área del triángulo de vértices

A

(

−

1, 2, 3),

B

(2, 0, 4) y

C

(

−

10, 5, 0).

Determina el volumen del paralelepípedo dearistas

=

(1, 2, 1),

=

(3, 1,

−

2) y

=

(4,

−

1, 0).

Calcula el volumen del tetraedro de vértices

A

(

−

7,

−

2, 5),

B

(0, 2, 0),

C

(

−

9, 3, 8) y

D

(

−

7, 5, 9).

El triángulo

ABC

es rectángulo en

A,

siendo

A

(3, 0,

−

1),

B

(6,

−

4, 5) y

C

(5, 3,

z

). Calculael valor de

z

y halla el área del triángulo.

Sean

A

(

−

1, 2, 3),

B

(0, 1,

λ

),

C

(5, 0,

−

1) y

D

(0, µ, 4) los vértices de un tetraedro. Halla

λ

y µ sabiendo que la cara

ABC

es un trián-gulo isósceles, de lados iguales

AB

y

BC,

yque la cara

ACD

es un triángulo rectángulo,con ángulo recto en

A.

Calcula el volumendel tetraedro, así como su superficie, paralos valores hallados.

34u→

v→

35

36u→

v→

w−→

37

38

39

Recuerda

La doble línea que aparece en la fór-mula del volumen no tiene ningún sig-nificado especial. La línea interna es ladel determinante, y la externa es lacorrespondiente al valor absoluto.

191

Actividades

07.bach.2 1 Wednesday, February 18, 2004 11:19 PM

Ejercicios

Halla el ángulo de la recta

y el plano

2x − 5y + 7z − 11 = 0.

Calcula el ángulo que forman los planos x − y = 0 y 2x + 3z = 0.

Calcula el ángulo que forman las rectas

y

Halla el ángulo que forman la recta

y el plano 2x − 3y + z + 1= 0

y las ecuaciones de la proyección ortogonal de rsobre π.

Dada la recta , ha-

lla las ecuaciones de:

a) Una recta paralela.

b) Una recta perpendicular y secante.

c) Un plano paralelo.

d) Un plano perpendicular.

Dado el plano 2x − 3y + 5 = 0, calcula lasecuaciones de:

a) Una recta paralela.

b) Una recta perpendicular.

c) Un plano paralelo.

d) Un plano perpendicular.

Calcula la distancia desde el origen hasta la recta

de ecuaciones .

Calcula a para que la distancia entre los puntosP(a, 3, 5) y Q(7, 4, 1) sea 8.

Halla la ecuación del plano que corta a los tresejes coordenados en los semiejes positivos, enpuntos situados a distancia a del origen de co-ordenadas, y calcula la distancia desde el ori-gen hasta dicho plano.

Halla la distancia desde el punto P(1, −1 ,3) ala recta que pasa por los puntos Q(1, 2, 1) yR(1, 0, −1). Determina también el área deltriángulo de vértices P, Q y R.

Calcula la distancia entre los planos x − 5y + z + 2 = 0 y 2x + 3z − 4 = 0.

Calcula la distancia entre los planos x − 5y + 2z + 5 = 0 y 2x − 10y + 4z = 0.

Halla la distancia de

a 2x + 4y − 2z = 0.

Halla la distancia de

a x − 3y + 4z − 11 = 0.

Halla la proyección ortogonal del punto A(5, 2, −1)sobre el plano 2x − y + 3z + 23 = 0.

Determina si el plano 2x − 5y − 3z + 4 = 0corta a los segmentos cuyos extremos son:

a) A(1, 3, 2) y B(2, −1, 3)

b) A(1, 0, 2) y B(3, 2, 0)

c) A(2, 2, 0) y B(3, 1, 2)

d) A(2, 0, −3) y B(4, 1, 1)

Halla la distancia de P(0, 7, 0) a

Calcula la distancia mínima entre las rectas

y

Halla las ecuaciones de la perpendicular co-mún a

y

1

r x 3–2

---------------≡ y 1+5

----------------z 1–

1–---------------= =

π ≡

2π1 ≡ π2 ≡

3

rx 3z 7–+ 0=

y 0=

≡ sx 1– 2λ+=

y 0=

z λ 3–=

≡

4

rx 1– λ–=

y λ–=

z 2λ=

≡ π ≡

5 r x 1–2

---------------≡ 2x 1+3

------------------- z 1+= =

6 π ≡

7

r x 2+2

----------------≡ y 1–2

---------------z 1+

3---------------= =

8

9

10

11π ≡ π� ≡

12π ≡ π� ≡

13 r x 3+4–

----------------≡ y 5–2

---------------z 3+

0---------------= =

π ≡

14 r x 5+2

----------------≡ y 1+1–

----------------z 2–

3---------------= =

π ≡

15π ≡

16 π ≡

17

rx 5– 4λ+=

y 5 λ+=

z 10– 3λ+=

≡

18

r x 5+3

----------------≡ y 4+2

----------------z 1+

1–---------------= =

s x 7–6

---------------≡ y 5+5–

----------------z 2–

2–---------------= =

19

r x2

------≡ y 4+1–

----------------z 1–

3---------------= =

s x 1–4

---------------≡ y 1–5

---------------z2------= =

192


Determina los puntos de

que equidistan de los planos y.

Sean los puntos P(8, 13, 8) y Q(−4, −11, −8).Halla el plano π, perpendicular al segmento PQpor su punto medio.

Demuestra que los puntos del plano z = 0 equi-distan de las rectas x = y = z y x = y = −z.¿Existe algún punto con z ≠ 0 que equidiste de ry s?

Dadas las rectas y

, halla las ecuacio-

nes de la recta que las corta perpendicular-mente.


y , la dis-

tancia entre ambas y el plano que las contiene,si existe.

Halla el punto de corte de las rectas

y y las ecua-

ciones de su perpendicular común.

Halla el lugar geométrico de los puntos del es-pacio cuya distancia al origen es el triple que su

distancia a la recta .

Dadas las rectas ,

y , halla las co-

ordenadas de un punto P que está en la recta ty que determina con la recta s un plano quecontiene a r.

Determina los parámetros a y b para que las

rectas y se

corten ortogonalmente.

Halla un punto de la recta

que equidiste de los

planos x + y + z = – 3 y

Halla la distancia entre las rectas

y , y

las ecuaciones de su perpendicular común.

Halla las ecuaciones de la recta que corta a las

rectas y y es paralela a la

recta x = y = z.

Obtén los puntos de la recta

que equidistan de los planos x = 1 y y = 3.

Halla el punto de la recta x = −2y = −2z,cuya distancia al origen es el doble que su dis-

tancia a la recta .

Halla el lugar geométrico de los puntos del es-pacio que determinan con A(1, 0, 0), B(0, 1, 0)

y C(0, 0, 1) un tetraedro de volumen .

Demuestra que, para todo número real λ, todos lostetraedros con los vértices en A(λ, 1 + λ, 1 − 2λ),B(1 + λ, λ, 1 −2λ), C(1 + λ, 1 + λ, − 2λ) y un punto

D de la recta tienen el mismo

volumen.

20 rx y– z+ 0=

3y z 1–+ 0=

≡

π1 x≡ 0=π2 y≡ 0=

21

22r ≡ s ≡

23 rx 1 λ–=

y 3 λ+=

z 1 λ+=

≡

s x 4–2

---------------≡ y 4–4

---------------z 2–

1---------------= =

24

rx 2y– 1+ 0=

y z– 1– 0=

≡ sx 2z– 5=

x y– z– 1=

≡

25

rx 3 λ+=

y λ–=

z 2– λ+=

≡ sx µ=

y 2µ=

z 5– µ+=

≡

26

rx y– 0=

z 2=

≡

27 rx 2–=

y z– 0=

≡

s2x z+ 2–=

x y+ 0=

≡ tx z– 0=

y z+ 1–=

≡

28

r2x y– 0=

ax z– 0=

≡ sx by+ 3=

y z+ 3=

≡

29

r x 1–2

---------------≡ y 1+1

----------------z3

------= =

π1 ≡ π2

x 3– λ+=

y λ– µ+=

z 6– µ–=

≡

30

r x≡ y z4

------= = s x2------≡ y 1–

3---------------

z 4+1–

---------------= =

31

rx 0=

z 1=

≡ rx 1=

y 1=

≡

t ≡

32

rx y z–+ 1=

2x y– 2z+ 0=

≡

π ≡ σ ≡

33 r ≡

sx y+ 0=

z 3=

≡

34

16

------

35

rx y– 0=

2y z+ 0=

≡

193


Problemas

Un rayo luminoso cuyo foco es el punto A(−2, −3, 5)

y con la dirección de la recta ,

se refleja en el plano 2x + y + z − 1 = 0.Averigua si el rayo reflejado ilumina al puntoP(2, 8, −14).

Determina la ecuación del plano cuyo puntomás próximo al origen es P(−1, 2, 3).

Halla la ecuación de la perpendicular común a

y

.

Se consideran las rectas y

. Estudia su posición relativa, las

ecuaciones de su perpendicular común y la dis-tancia mínima entre ellas.

Calcula las coordenadas de los puntos de

que equidistan de

los planos 3x + 4y − 1 = 0 y 4x − 3z + 1 = 0.

Solución

Se obtienen, en primer lugar, las ecuaciones delos planos bisectores del ángulo diedro formadopor los planos y . Para ello se igualan lasdistancias de un punto genérico X a y :

d(X, π1) = d(X, π2) ⇒

⇒

⇒

⇒

Los puntos que equidistan de y pertene-cen a uno de estos dos planos, b1 o b2. Como sepiden los puntos de la recta r que equidistan delos planos y , las soluciones serán las in-tersecciones de la recta dada, r, con cada unode los planos b1 y b2. Para obtener estas inter-secciones, se escriben las ecuaciones paramé-

tricas de la recta . Se sustitu-

yen estas ecuaciones en las ecuacionesgenerales de los planos b1 y b2, de donde sedespejan los valores de λ que corresponden alos puntos buscados:

2 + 2λ − 4(−1 + 3λ ) − 3(2 + 2λ ) + 2 = 0 ⇒

7(2 + 2λ ) + 4(−1 + 3λ) − 3(2 + 2λ ) = 0 ⇒

Por tanto, los dos puntos que cumplen el enun-

ciado del problema son: y

.

Calcula el volumen del cubo, una de cuyas ca-ras tiene por aristas a las rectas

y .

Halla la ecuación de un plano que pase por elpunto P(−2, 2, 3), sabiendo que la proyecciónortogonal del origen sobre dicho plano es elpunto O�(3, 1, 2).

Se consideran la recta y el

plano x + y + z = 2.

Calcula:

a) Una recta s contenida en π y que corte a rcon un ángulo de 90°.

b) Una recta t contenida en π y que corte a rcon el menor ángulo posible. ¿Cuál es el co-seno de dicho ángulo?

1

rx y z+ + 0=

2x y– z+ 0=

≡

π ≡

2

3

rx 4 λ+=

y 3 2λ–=

z 5 2λ+=

≡

s x 4–1

---------------≡ y 6–1

---------------z 10+

4–-------------------= =

4 rx 2– 0=

y 3+ 0=

≡

sx 2z– 1=

y z+ 3=

≡

5

r x 2–2

---------------≡ y 1+3

----------------z 2–

2---------------= =

π1 ≡ π2 ≡

π1 π2

π1 π2

3x 4y 1–+

32 42+------------------------------------

4x 3z– 1+

42 ( 3)– 2+-----------------------------------=

b13x 4y 1–+

5--------------------------------≡ 4x 3z– 1+

5--------------------------------=

b23x 4y 1–+

5--------------------------------≡ 4x 3z– 1+

5--------------------------------–=

⇒

b1 x 4y– 3z– 2+≡ 0=

b2 7x 4y 3z–+≡ 0=

π1 π2

π1 π2

rx 2 2λ+=

y 1– 3λ+=

z 2 2λ+=

≡

λ 18

------=

λ 1–5

---------=

P � 94

------ 5–8

--------- 94

------�,,

Q � 35

------ 8–5

--------- 35

------�,,

6

r x 1+1

----------------≡ y 1–2

---------------z3

------= = sx 2 λ–=

y 1 2λ–=

z 1 3λ–=

≡

7

8 rx y– 1+ 0=

x y+ z=

≡

π ≡

194


Sean P(1, 1, 0), Q(0, 1, 1) y R un punto arbitra-rio de la recta x − 2 = y − 1 = z − 2, respecti-vamente. De todos los triángulos que se puedenobtener con P, Q y R, determina si hay algunorectángulo y halla el que tiene el área mínima.

Halla el punto del plano 2x + y − z = 0 queestá a la distancia mínima del punto A(1, 1, −1).

Determina el punto de que

se encuentra a la distancia mínima de la recta

.

Halla un punto A que se encuentre sobre la

recta , que diste doble del punto

B(1, 0, 1) que de C(0, 0, 0) y que esté por de-bajo del plano XY.

Comprueba que, para todo valor de λ, los pun-tos A(1, λ, 0), B(1, 1, λ − 2) y C(1, −1, λ) no es-tán alineados, y halla el área del triángulo quedeterminan.

Los puntos A(1, 1, 1), B(2, 2, 2) y C(1, 3, 3) sontres vértices consecutivos de un paralelogramo.Halla las coordenadas del cuarto vértice, D, ycalcula el área y el perímetro de dicho paralelo-gramo.


y = z en

función de los valores del parámetro a, y calculala distancia entre ambas cuando a = − 2.

Encuentra, en la recta que pasa por A(−1, 0, 1)y B(1, 2, 3), un punto que verifique que su dis-tancia a C(2, −1, 1) sea 3 unidades.

Halla el lugar geométrico de los puntos del espa-cio que equidistan de los planos x − y + 4 = 0,

x − y − 2 = 0 y x − 4y + z = 0.

Halla las ecuaciones del lugar geométrico de to-dos los puntos del plano x = y que distan 1unidad del plano 2x − y + 2z = 2.

Determina las ecuaciones de la recta que pasapor el punto A(1, 0, 2) y es perpendicular alplano determinado por el origen de coordena-

das y la recta de ecuaciones .

Halla el volumen del tetraedro determinado porel origen de coordenadas y las interseccionesdel plano 20x + 12y + 15z − 60 = 0 con losejes de coordenadas.

Determina el punto de la recta

que está más próximo al punto P(2, −1, 3) y cal-cula esa distancia.

Halla el plano mediador del segmento de extre-mos A(4, 5, 8) y B(−6, −9, −4), calcula su distan-cia al origen y el volumen del tetraedro quedetermina dicho plano con los ejes de coorde-nadas y con el origen.

Halla la ecuación de un plano paralelo a x − 2y + 3z + 6 = 0 y que dista 12 unida-

des del origen de coordenadas.

Halla las ecuaciones de los planos que contienen aleje OX y distan 4 unidades del punto P(0, 5, 0).

Halla las ecuaciones de la recta simétrica dela recta x = y = z respecto del plano

x − 2y + z − 1 = 0.

Calcula el volumen de la pirámide cuya base esel cuadrilátero de vértices A(1, 2, 0), B(2, 4, 0),C(5, 1, 0) y D(6, 3, 0) y cuya cúspide es el puntoV(3, 3, 5).

Un tetraedro tiene los vértices A(2, 1, 0), B(3, 4, 0)y C(5, 1, 0) en el plano XY, estando elcuarto vértice sobre la recta de ecuación

(x, y, z) = (1, 2, 3) + λ(−1, 1, 1). Deter-mina las coordenadas de D para que el volu-men del tetraedro sea de 6 unidades cúbicas.

9r ≡

10 π ≡

11 r2x y z+ + 3=

y z– 0=

≡

sx y– 1–=

2y z+ 2=

≡

12

ry 1 x+=

z 1 2x+=

≡

13

14

15

rx 2y– 6z– 1=

x y+ 0=

≡ s x2------≡ y 1–

a---------------=

16

17π1 ≡

π2 ≡ π3 ≡

18π1 ≡

π2 ≡

19

rx 2z 1–=

y z 2–=

≡

20

π ≡

21 rx 3λ=

y 5λ 7–=

z 2λ 2+=

≡

22

23π ≡

24

25r ≡

π ≡

26

27

r ≡

195


Problema

En un círculo se colocan dos círculos iguales y, después,otros dos de menor tamaño, como se indica en la Figura7.22, siendo los círculos pequeños tangentes al círculogrande y a los dos círculos medianos, los cuales, a suvez, son tangentes entre sí y tangentes al círculo grande.Si el área de la región azul vale 5

π

cm

2

, ¿cuánto vale elárea amarilla? ¿Y la verde?

Fig. 7.22

El Islam y las Matemáticas

Euclides, Arquímedes, Eratóstenes,Apolonio, Herón,… y otros muchosmatemáticos formaron parte de laEscuela de Alejandría, que fue elcentro del mundo científico durantetoda la época clásica.

La biblioteca de dicha ciudad, Ale-jandría, se mantuvo activa desde sufundación, alrededor del año 300a.C., hasta su clausura por los cris-tianos en el año 529, debido al ele-vado número de «obras paganas»que poseía. Finalmente, fue incen-diada y destruida por los árabes enel año 641; en este incendio, aunquese pudo salvar gran parte de susdocumentos, muchos de ellos seperdieron definitivamente.

El foco de la actividad matemática,centrado durante tanto tiempo enAlejandría, se desplazó entonces almundo árabe, de modo que, entrelos siglos

VIII

al

XIII

, los matemáticosárabes no sólo fueron los guardia-nes de la ciencia del mundo clásico,sino que también se convirtieron enauténticos innovadores de la mate-mática.

Con la extensión del Islam desde laIndia (a través de Persia y el MedioOriente) a lo largo de todo el nortede África, y su llegada a la Penín-sula Ibérica, los científicos islámi-cos asimilaron los conocimientos de

las numerosas civilizaciones conlas que entraron en contacto. Así,conocieron y difundieron el sistemade numeración hindú, que es nues-tro actual sistema de numeracióndecimal:

«Este sistema es el método másconciso y más expeditivo, el más fá-cil de captar y el más sencillo deaprender. Demuestra el espíritu pe-netrante de los hindúes, su magnífi-co talento creativo y su superioridadde discernimiento y genio inven-tivo».

A

UTOR

ÁRABE

(siglo

VIII

)

Se observa que esta declaracióncontrasta con la afirmación del pari-sino Michel de Montaigne, ochosiglos después:

«He nacido y crecido en los camposde labranza; tengo negocios y casadesde que los que me precedieronen la posesión de los bienes quedisfruto, me cedieron el sitio. Aunasí, no sé contar ni con fichas ni apluma».

M.

DE

M

ONTAIGNE

,

Ensayos,

Libro II(1580)

196

Cajónde sastre

07.bach.2 Page 196 Wednesday, February 18, 2004 11:23 PM

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