Distancias y Pendientes

8/20/2019 Distancias y Pendientes

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DISTANCIA Elemental

La separación entre dos puntos del terreno recibe el nombre de distancia.

Para expresarla se usan unidades de longitud: El centímetro ( cm ), El metro

( m ), el kilómetro ( Km. ), o en los países de habla inglesa: El pie ( p ), la

arda ( ) la milla ( m ).

La e!ui"alencia entre las unidades inglesas las del sistema m#trico

decimal son las siguientes:

$ milla % $&' Km. % $.' metros

$ arda % * pies % &++$ metros % +&+$ cm.

$ pie % $ pulgadas % &** metros % *&* cm.

$ pulgada % ,- cm. % -, mm.

Las altitudes se suelen expresar en los países de habla inglesa en pies. in

embargo, como "amos a "er a continuación a la hora de considerar dos

puntos / 0 sobre el terreno sobre el plano cabe hablar de di1erentes

tipos de distancias.

2. DISTANCIA REAL O TOPOGRÁFICA Elemental

La distancia real o topogr23ca es a!uella !ue es preciso recorrer

necesariamente para despla4arse entre dos puntos / 0 a tra"#s del

terreno.

3. DISTANCIA NATURAL O GEOMÉTRICA Elemental

Es la mínima distancia !ue existe entre dos puntos / 0, por tanto, la del

segmento !ue los une directamente mediante una recta. e cumple !ue:

5istancia geom#trica 6% 5istancia 7eal

e dice !ue una pendiente es uni1orme si la distancia geom#trica la real

coinciden.

4. DISTANCIA HORIZONTAL O REDUCIDA Elemental

Es la proección de la distancia geom#trica sobre un plano perpendicular a

dicha proección. e cumple !ue:

5istancia reducida 6% 5istancia geom#trica

Para un plano sin inclinación ( sin pendiente ) la distancia reducida

geom#trica coinciden.

En la 3gura se representan las di1erentes distancias !ue pueden ser

determinadas.


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La maor de ellas es la distancia real, seguida de la distancia geom#trica

dela distancia reducida.

8n caso particular es el de Pendiente 8ni1orme. En este caso el desni"el

aumenta de manera constante con la distancia.

La distancia real la distancia geom#trica son, en consecuencia, iguales.

5. DIFERENCIA DE NIVEL O DESNIVEL Elemental

La di1erencia de ni"el entre dos puntos es la distancia !ue los separamediados sobre la "ertical.

6. ITINERARIOS Y DISTANCIAS Elemental

9uando reali4amos un itinerario entre dos puntos nos suele interesar la

distancia entre ambos. ucha gente se !uedar2 satis1echa si se le indica

!ue el recorrido !ue "a a e1ectuar es de -, ; ó $ Km. in embargo cabe

preguntarnos ahora, < / !u# distancia nos estamos re3riendo =

9uando medimos una distancia en el plano con auda de una regla estamos

determinando la distancia reducida. i el desni"el existente entre los puntoses mu pe!ue>o, la distancia geom#trica ser2 aproximadamente igual a la


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distancia reducida. i el desni"el es mu importante, la distancia geom#trica

ser2 claramente maor.

La distancia real o topogr23ca no se puede determinar exactamente con el

plano. ?a !ue medirla sobre el terreno. i el terreno es m2s o menos

uni1orme no ha desni"eles apreciables, la distancia reducida medida sea@ustar2 bien a la distancia real. i el terreno posee grandes cambios de

ni"el durante el recorrido, la distancia reducida puede di1erir bastante de la

distancia real.

7esumiendo la distancia !ue medimos en el mapa ( distancia reducida )

siempre ser2 in1erior a la distancia real !ue tendremos !ue recorrer para

unir dos puntos.

Atro hecho !ue hace !ue la distancia real de un itinerario sea maor !ue la

distancia reducida determinada por el plano es !ue ser2 mu di1ícil !ue

unamos los dos puntos mediante una recta per1ecta. uchas "eces tenemos!ue describir largos 4igB4ag para remontar las "ertientes m2s inclinadas o

tendremos !ue reali4ar bordeos para e"itar ciertos obst2culos como paredes

rocosas o cerrados bos!ues.

Por otro lado, a "eces se le presta poca atención al desni"el del itinerario

cuando en realidad es la distancia m2s importante a considerar en un

itinerario de monta>a. Posteriormente se pro1undi4ar2 m2s en todo esto.

7. DETERMINACIÓN DE LA DISTANCIA REDUCIDA Elemental

La distancia reducida entre dos puntos se obtiene directamente de lamedición e1ectuada sobre el plano.

ean dos puntos / 0 de un mapa topogr23co de las siguientes

características:

E=1:50.000

La e!uidistancia entre cur"as de ni"el es de m. La distancia /0 en el

plano se puede medir con regla, supongamos !ue es:

Plano % /0 % $C; cm % ,$; m


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Por lo !ue la distancia sobre el terreno ser2:

Derreno % ,$; x -. % + m

. DETERMINACIÓN DEL DESNIVEL Elemental

La obser"ación de las cur"as de ni"el nos permite obtener el desni"el odi1erencia de ni"el entre dos puntos del mapa.

Para el e@emplo anterior, el punto / se halla a m. el punto 0 es la

cumbre de un monte de $.$ m. de altitud. El desni"el entre los dos puntos

es:

5esni"el % $.$ B % *$ m

!. DETERMINACIÓN DE LA DISTANCIA GEOMÉTRICA Elemental

e calcula 12cilmente usando el teorema de Pit2goras. i llamamos:

g % distancia geom#trica

r % distancia reducida

h % desni"el

La distancia geom#trica es:

g % r F h

Para el e@emplo anterior:

r % + m

h % *$ m

Por lo !ue la distancia geom#trica ser2:

g % +- m

Geamos un nue"o e@emplo.

ean dos puntos / 0 de un mapa topogr23co de las siguientes

características:

E%$:-.

E!uidistancia entre cur"as de ni"el % m


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edimos en el mapa con la auda de una regla la distancia /0 resulta:

Plano % /0 % $ cm % C$ m

La distancia sobre el Derreno ser2:

Derreno % C$ x -. % '. m

El desni"el entre los puntos / 0 ser2:

5esni"el % $.* B '-* % m

Por tanto:

r % '. m

h %

la distancia geom#trica ser2:

g % '.+ m

"#. APRO$IMACIÓN A LA DISTANCIA GEOMÉTRICA MEDIANTE LA

DISTANCIA REDUCIDA Elemental

abemos la di1erencia entre la distancia reducida ( la proporcionada

directamente al medir sobre el plano ) la distancia geom#trica. in

embargo, en un par de casos la medida de la distancia reducida es una

buena aproximación de la distancia geom#trica. 5icho de otro, la medida de

la distancia sobre el plano nos est2 dando con mu buena aproximación la

distancia geom#trica. Estas dos situaciones son las siguientes:

H El desni"el existente entre los dos puntos es mu pe!ue>a o incluso nulo.


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?aremos las siguientes obser"aciones:

H e consideran positi"os los desni"eles !ue se acometen en ascenso

negati"os los !ue se reali4an en descenso. Por tanto para sumar el desni"el

total del itinerario no se sumar2n los descensos.

H Dambi#n ha !ue se>alar !ue para algunos puntos su altitud se ha tomado

como el "alor medio para las cur"as de ni"el !ue lo limitan. Por e@emplo, el

punto d se halla por encima de la cur"a de ni"el de ; m por deba@o de la

de ;' m. Por ello se ha tomado su cota como ;- m. 5e igual manera se

ha procedido con los restantes puntos ( e, 1, g, h, i ).

H Abser"ar !ue en la maoría de los casos nos podíamos haber ahorrado el

c2lculo de la distancia geom#trica pues es pr2cticamente igual a la distancia

reducida al ser el desni"el pe!ue>o 1rente a esa distancia. 7esumiendo

podemos decir !ue la distancia real del recorrido propuesto es:5istancia real % .- m

su desni"el:

5esni"el % ;$* m

"2. TIEMPO NECESARIO PARA EFECTUAR UN ITINERARIO Elemental

8n hombre atra"esaba la monta>a en dirección a una aldea se encontró

con un pastor cuidado o"e@as. El hombre le preguntó:B < Podría decirme el

tiempo !ue tardar# en llegar al pueblo =. Pero el pastor permanecía a losuo no le contestó. El hombre "ol"ió a intentar la pregunta pero m2s alto

pues pensaba !ue a lo me@or no se había percatado de su presencia. in

embargo, tampoco obtu"o respuesta. /sí !ue nuestro hombre prosiguió su

camino pensando !ue sería sordomudo o algo así. 5espu#s de andar

algunos metros, la contestación la sobre"ino: B / ese paso tardar2s no m2s

de dos horas, le respondió el pastor.

La morale@a es clara : 5ime lo r2pido !ue a"an4as te dir# el tiempo !ue

in"ertir2s en tu recorrido. Por ello, intentar calcular el tiempo necesario para

cubrir un itinerario puede resultar baladí.


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in embargo, "amos a atre"ernos a pronosticar un tiempo !ue nos sir"a de

re1erencia al planear nuestras salidas. Para ello suponemos !ue:

H Las condiciones meteorológicas en las !ue se reali4a el itinerario son las

adecuadas.

H El terreno no impone di3cultades importantes. o se a"an4a por una

cerrada "egetación, no existen problemas para sortear ríos no se debe

recurrir a t#cnicas de escalada especiali4adas.

9on ello, sobre terreno llano calcularemos una hora por cada ' Km. Para

superar un desni"el de m necesitaremos una hora m2s. 9on ello, el

tiempo de re1erencia para reali4ar el itinerario ser2:

tiempo % 5istancia 7eal ( Km) ' F 5esni"el ( m )

Para el itinerario descrito en el e@emplo anterior, el tiempo necesario ser2:

tiempo % C- ' F ;$* % $C- F C* % *C; horas

Abser"emos !ue C; horas son C;x' % $'C; minutos, luego podemos

decir !ue:

tiempo % * h $- m

Mui42s ahora entiendas la importancia de conocer el desni"el del itinerario

para hacernos una idea del tiempo !ue necesitaremos para cubrirlo.

"3. PENDIENTE Elemental

El concepto de pendiente nos es 1amiliar a !ue inmediatamente nos "iene

a la mente una cuesta. Dambi#n hemos "isto la indicación de las pendientes

de las carreteras en una se>al como la de la 3gura.

Las pendientes de las carreteras se expresan en porcenta@e. Dodo plano

des"iado de la hori4ontal del suelo recibe el nombre general de pendiente.

Las pendientes se miden 1recuentemente en porcenta@es. 8na pendiente de

$N es a!uella !ue en una distancia de $ m experimenta un desni"el de $

m. El desni"el puede ser de subida o de ba@ada.


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La 3gura representa una pendiente del ' N. En $ m de distancia reducida

encontramos un desni"el de subida de ' m.

CÁLCULO DE LA PENDIENTE Elemental

i tenemos dos puntos / 0 separados por una distancia reducida r un

desni"el h, la pendiente entre ambos en porcenta@e es, simplemente:

pendiente (N) % h x $ r

Las siguientes 3guras muestran de 1orma gr23ca el concepto de pendiente

la manera de calcularla:

h % desni"el ( metros )

r % distancia reducida ( metros )

En la siguiente 3gura, la distancia reducida es r % + m. El desni"el es h %

*' m.


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La pendiente "ale, entonces:

p % *' x $ + % N

Para el itinerario /0 a estudiado anteriormente, "amos a obtener la

pendiente de cada uno de los tramos del mismo.

Para ello se parte de una tabla similar a la !ue hicimos para calcular la

longitud del recorrido. La pendiente se obtiene con la 1órmula p % h x $

r.


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e ha expresado una pendiente positi"a como a!uella !ue acometemos en

sentido ascendente, una pendiente negati"a como a!uella !ue se

acomete en descenso.

/hora podemos obser"ar !ue los tramos m2s duros del itinerario son el

tramo inicial /Ba, el tramo 3nal iB0, con pendientes del orden al - N. Dambi#n "emos !ue ha un tramo, el cBd !ue es descendente, !ue el

tramo eB1 es llano ( pendiente nula ).

"5. ÁNGULO DE PENDIENTE Elemental

/ "eces las pendientes se expresan mediante el "alor del 2ngulo !ue

determinan. Esta 1orma de expresión es mu 1recuente en alpinismo para

expresar la inclinación de las laderas cubiertas por la nie"e.

En la 3gura se "e el 2ngulo a determinado por una pendiente.

E"identemente existe una relación entre la pendiente porcentual el 2ngulo

de pendiente, pero para ello ha !ue hacer uso de la trigonometría, como se

"er2 m2s adelante.


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9omo puede "erse una pendiente del $;N !ue es bastante 1uerte en una

carretera de monta>a e!ui"ale $O Inicamente. 8na pendiente del $ N es

a!uella en la !ue al recorrer $ metros de distancia reducida se acomete

un desni"el de otros $ m. Esto se corresponde a un 2ngulo de -O.

Abs#r"ese !ue existen pendientes con porcenta@es superiores al $

( 2ngulos de pendientes superiores a - O ).

/ una pendiente del $N le corresponde un 2ngulo de pendiente de -O.

"6. CÁLCULO GRÁFICO DE PENDIENTES Elemental

La pendiente puede ser calculada de 1orma gr23ca mediante la construcción

de la 3gura, lo !ue e"ita tener !ue e1ectuar todo c2lculo.


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/sí, si medimos una distancia reducida de ; Km. un desni"el de * m, la

gr23ca nos da una pendiente ligeramente superior al N. 8na manera de

determinar con precisión los 2ngulos de pendiente es tra4ando una recta

!ue pase por la distancia reducida el desni"el medido sobre el mapa con

la auda de un transportador de 2ngulos determinarlo. Para "er como se

hace el c2lculo exacto ir a temas a"an4ados.

"7. PENDIENTE Y DIFICULTAD Elemental

9uanto maor sea la pendiente de un tramo en un recorrido maor ser2 el

es1uer4o di3cultad para remontarlo. La siguiente tabla nos puede audar a

interpretar los "alores de pendientes !ue calculemos.


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En n"ierno con las laderas cubiertas de nie"e hielo el conocimiento de las

pendientes por las !ue se desarrolla el recorrido resulta crucial en un

itinerario de alta monta>a. Las pendientes por encima de los *-O re!uieren,

en general, un buen e!uipo ( piolet crampones ). / pendientes de -O maores es habitual progresar en QcordadaQ. En pendientes de 'O

maores es normal !ue sólo progrese uno de los componentes de la cordada

a la "e4.

". RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS ENTRE DISTANCIAS ntermedio

i posee conocimientos b2sicos de trigonometría tal "e4 le interese conocer

!ue relación existe entre las distancias a explicadas el 2ngulo de

pendiente.

En cual!uier caso, para reali4ar las operaciones usaremos las 1uncionestrigonom#tricas: seno ( sen ), coseno ( cos ) tangente ( tan ), todas ellas

mu 12ciles de e"aluar con la auda de una calculadora cientí3ca.

5enominaremos:

r % 5istancia reducida

h % 5esni"el

g % 5istancia geom#trica


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El estudio de los tri2ngulos !ue nos proporciona la trigonometría plana nos

permite establecer las relaciones siguientes entre los lados 2ngulo a de un

tri2ngulo rect2ngulo:

r % g R cos a

h % g R sen a

tg a % h r

5onde sen a es el seno del 2ngulo, cos a es el coseno del 2ngulo tg a es la

tangente. Estas cantidades se llaman relaciones trigonom#tricas de un

2ngulo dado.

En la siguiente tabla se resumen algunos de los "alores de las relaciones

trigonom#tricas para algunos 2ngulos:

La relación trigonom#trica m2s importante !ue mane@aremos es, sin duda,

la tangente:

tg a % h r

"!. CÁLCULO NUMÉRICO DE LA PENDIENTE ntermedio

Por e@emplo, si hemos determinado sobre el mapa una distancia reducida de

r % '- m un desni"el de h % *- m, la pendiente de este tramo ser2:

tg a % h r

tg a % *- '- % C-

El 2ngulo !ue se corresponde con esta tangente puede obtenerse de latabla:


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a % * O

CÁLCULO DE LA PENDIENTE PORCENTUAL ntermedio

Para calcular la pendiente porcentual correspondiente a un 2ngulo a dadohacemos uso de la expresión de la tangente:

tg a % h r

poniendo como distancia reducida r % $ m, el "alor del desni"el h es la

pendiente porcentual buscada:

tg a % h $

ultiplicando por $ los dos miembros de la igualdad !ueda:

h % $ R tg a

Por e@emplo, para un 2ngulo de pendiente de a% *O, la pendiente

porcentual

es:

h % $ R tg *O % $ R C- % -C' N

Gemos !ue el c2lculo es, en realidad mu sencillo pues basta multiplicar por

$,la tangente del 2ngulo de pendiente !ue puede obtenerse de la tabla

anterior o con una calculadora.

2". CÁLCULO DEL ÁNGULO DE PENDIENTE ntermedio

Geamos como podemos calcular el 2ngulo de pendiente si conocemos la

pendiente porcentual. Para ello "ol"emos a la 1órmula de la tangente:

tg a % h r

ponemos en h el 2ngulo de pendiente r % $ :

tg a % h $

/sí, si tenemos una pendiente del $N entonces:

tg a % $ $ % C$

S, por la tabla podemos "er !ue esta tangente se corresponde con un

2ngulo aproximado:

a % $ O

En resumen, "emos !ue este calculo se reduce a di"idir la pendiente

porcentual entre cien "er a !ue 2ngulo le corresponde el "alor de tangenteasí calculado.


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DISTANCIAS Y COORDENADAS U.T.M ntermedio

El uso de coordenadas 8D permite calcular distancias mediante m#todos

matem2ticos !ue, adem2s, no resultan realmente complicados. Ello permite

sustituir el uso de la regla por la calculadora.

Para la determinación de las coordenadas 8.D. podemos usar un

dispositi"o TP ( Tlobal Position stem ). 5e este modo si anotamos los

puntos por donde "amos pasando ( o los memori4amos en el aparato

constituendo un UaBpoint de nuestra marcha ), podremos calcular la

distancia recorrida.

En cual!uier caso, las coordenadas 8.D.. permiten usar los conocimientos

de geometría analítica con ob@eto de resol"er los problemas topogr23cos

!ue se presenten.

23. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ntermedio

9ada punto en el !ue nos encontramos lo podemos caracteri4ar por tres

coordenadas 8D ( x,,4 ). 5ados, entonces, dos puntos / 0 cuas

coordenadas 8.D.. respecti"as son ( x$,$,4$) ( x,,4), la distancia

entre ambos se determina con 1acilidad mediante el teorema de Pit2goras.

La distancia reducida es:

r % ( x B x $) F ( y B y $)

la distancia geom#trica es:

r % ( x B x $) F ( y B y $) F ( z B z $)

el desni"el en metros entre los dos puntos es simplemente:

h % z B z $

5eberemos tener la precaución de expresar todas las coordenadas en las

mismas unidades, en general metros o kilómetros. D#ngase en cuenta !ue,

en general, la coordenada 4 !ue expresa la distancia del punto al plano de

re1erencia para la medición de la altitud ( cota ), suele medirse en metros,mientras !ue las otras dos pueden "enir dadas en metros o en kilómetros.

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