ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CON MS EXCEL

Prof. Oscar Tinoco

Distribución Binomial

Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo

de la distribución Binomial.:

En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A

(éxito) y su contrario`A (fracaso).

El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados

obtenidos anteriormente.

La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía

de una prueba a otra. La probabilidad de `A es 1- p y la representamos por q .

El experimento consta de un número n de pruebas.

Ejercicio 1:

Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de

piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una

defectuosa.

Datos n = 50

P = 7/1000 = 0.007

Nro éxitos: 1 (“una defectuosa”)

En este caso piden la probabilidad de un éxito sobre 50 ocurrencias.

Ejercicio 2

Se sabe que un tercio de los enfermos de hepatitis curan antes de los dos meses de

tratamiento. Calcular la probabilidad de que de cinco pacientes, curen dos antes de los

dos meses.

Rp. 0.3292

Ejercicio 3

La probabilidad de curación de un determinado tratamiento es de 0.65. Calcular la

probabilidad de que entre diez enfermos sanen cinco.

Rp. 0.1536

Ejercicio 4

Suponer que en el ejercicio 2 se requiere saber la probabilidad que de cinco pacientes se

recuperen:

a) A lo más dos

b) Al menos 3

Solución

a) En este caso se trata de la probabilidad acumulativa de que se recuperen 0, 1 y 2

pacientes.

b) La probabilidad “al menos 3” implica que se recuperen 3, 4 o cinco pacientes, lo cual

puede expresarse como 1 – P(“a lo más dos”)

Distribución de Poisson

Características:

En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área,

tiempo, pieza, entre otros,:

# de defectos de una tela por m2

# de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc.

# de bacterias por cm2 de cultivo

# de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc.

# de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o

producto, la fórmula a utilizar sería:

donde:

p(x, ) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de

ocurrencia de ellos es

= media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto

(número promedio de sucesos esperados)

= 2.718 (número neperiano)

!x),x(p

x

x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra

En esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o

producto es totalmente al azar y cada intervalo de tiempo es independiente de otro

intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto

es independiente de otro producto dado.

La probabilidad de que más de un resultado ocurra en un intervalo de tiempo tan

corto o en esa región tan pequeña es despreciable.

Se utiliza cuando las probabilidades de éxito (p) son menores a 0.05 y cuando (n) es

muy grande (p.e. mayor a 100). Se le conoce también como ley de los eventos

improbables.

Una diferencia entre una distribución binomial simple y la de Poisson es que, a

diferencia de la binomial (dónde debe existir un número fijo de ensayos), para la

distribución de Poisson X puede asumir un número infinito de valores.

Ejercicio 5

Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las

probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques

sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

Datos: Media = 6

Nro de éxitos deseados = 4

b) Rp 0.104837

Ejercicio 6:

Una empresa que se dedica a crear alimentos transgénicos experimenta problemas con

una plaga llamada gusano del maíz. El examen de 5000 mazorcas seleccionadas al azar

reveló que se encontraron en total 3500 gusanos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una mazorca seleccionada al azar no tenga

gusanos?

Se está pidiendo la probabilidad de que x = 0. En este ejercicio la media de la

ocurrencia del evento es 3500/5000 = 0.70.

Rp: 0.4966

Distribución Hipergeométrica

Su aplicación exige los mismos requisitos de la distribución binomial, con la variante de

que para la Hipergeométrica la probabilidad de éxito no permanece igual de un ensayo

al siguiente. Otras características que se deben cumplir son:

Que se seleccione una muestra de una población finita y sin reemplazo.

Que el tamaño de la muestra (n) sea más de 5% de la población (N).

Donde:

N = Tamaño de la población

s = # de éxitos en la población

x = # de éxitos que son de interés

n = Tamaño de la muestra o # de ensayos

C = Denota una combinación

Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes

características:

Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos

de resultados.

Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.

Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.

El número de repeticiones del experimento (n) es constante.

Ejercicio 7:

Suponga que durante la semana se fabricaron 50 estaciones de juego para video.

Cuarenta de ellas funcionaron perfectamente, y diez tuvieron al menos un defecto. Se

seleccionó al azar una muestra de cinco. Utilizando la fórmula Hipergeométrica, ¿cuál

es la probabilidad de que 4 de los 5 funcionen perfectamente?

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD P ( X ) = (s C x ) (N - S C n - x )

HIPERGEOMÉTRICA N C n

Ejercicio 8:

Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de

narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en

apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para

analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de

una tableta con narcóticos?

Solución:

Para este ejemplo:

Muestra de Éxito: 1 (“una tableta con narcótico”)

Num_de_Muestra: 3

Población Éxito: 6 (“coloca seis tabletas de narcótico”)

Num_Población: 15 (son seis + nueve tabletas)

Rp. 0.4747

Ejercicio 9:

Un embarque de 200 alarmas contra robo contiene 10 piezas defectuosas. Se selecciona

al azar 5 alarmas contra robo para enviarlas a un cliente. Use la distribución

hipergeométrica para encontrar la probabilidad de que el cliente reciba exactamente una

alarma contra robo defectuosa.

Rp. 0.20745

RESUMEN DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS

Distribución Características

Binomial Sólo son posibles dos resultados: éxito o fracaso.

Su parámetro principal es p: probabilidad de éxito.

La probabilidad de éxito de un ensayo permanece

constante de un evento a otro.

El resultado en cada prueba es independiente de los otros.

Debe darse un número fijo de ensayos

Poisson La variable aleatoria es el número de eventos que ocurren

en un intervalo de tiempo, o en una región plana.

Su parámetro principal es : número promedio de

ocurrencias por unidad de tiempo (período) o región.

Cada intervalo de tiempo es independiente de otro.

La probabilidad de que ocurra más de un resultado en un

intervalo corto de tiempo es despreciable.

Se utiliza cuando las probabilidades de éxito ( p ) son

menores a 0.05

Hipergeométrica Suceso que implican éxito o fracaso.

La probabilidad de éxito no permanece igual de un

ensayo al otro.

Seleccionar una muestra de una población finita y sin

reemplazo.

Trabajo Práctico

1. En un proceso de fabricación se sabe que el número de unidades defectuosas

producidas diariamente, viene dado por una variable de Poisson de parámetro

10. Determinar la probabilidad de que en 150 días el número de unidades

defectuosas sea 1480 o más, a) usando la distribución de Poisson;

2. La proporción de individuos de una población con renta superior a 24000 euros

es de 0.5%. Suponiendo que todos los consultados respondan, determina la

probabilidad de que entre 5000 individuos consultados haya como mucho 30 con

ese nivel de renta, usando la distribución binomial.

3. Un lote de piezas contiene un 20% de defectuosas. Un cliente decide comprar

el lote si tomando 100 piezas de éste elegidas al azar, como máximo 12 son defectuosas. Calcular la probabilidad de aceptar el lote.

4. Se supone que el número de automóviles que pasan por un cruce de carretera

en 5 mínutos sigue una distribución de Poisson de media 20 . Calcular: a) Probabilidad de que pasen menos de 2 automóviles durante 5 minutos de

observación. b) Probabilidad de que pasen menos de 20.

5. Una compañía ha establecido un procedimiento de prueba utilizando una

muestra de cinco pipetas que se analizan al final de un proceso químico. Si una o más pipetas contienen impurezas se decide limpiar todos los recipientes utilizados. Determinar la probabilidad de llegar a esta decisión en los siguientes casos de probabilidades de que una pipeta esté sucia: a) p = 0;01; b) p = 0;05; c) p = 0;20; d) p = 0;50.

6. Una compañía telefónica recibe llamadas a razón de 5 por minuto. Si la

distribución del número de llamadas es de Poisson, calcular la probabilidad de recibir menos de cuatro llamadas en un determinado minuto.

7. Una compañía tiene dos plantas de ensamblaje, cada una de ellas con una

media de averías de 2;4 veces por semana, según una distribución de Poisson. Se supone que los rendimientos de las plantas son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que falle como mínimo una planta al menos una vez en una determinada semana?

8. El departamento de control de calidad de una empresa que fabrica pañuelos

sabe que el 5% de su producción tiene algún tipo de defecto. Los pañuelos se empaquetan en cajas con 15 elementos. Calcule la probabilidad de que una caja contenga: a) 2 pañuelos defectuosos Sol: 0,1348 b) Menos de 3 pañuelos defectuosos Sol: 0,9634 c) Entre 3 y 5 pañuelos defectuosos Sol: 0,0362 d) Ningún pañuelo defectuoso Sol: 0,4633 e) El número esperado de pañuelos defectuosos en una caja Sol: 0,7500 Nota: resolver con soporte en Excel o SPSS. Enviar resultados en Word, con las pantallas correspondientes.