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Distribucin chi-cuadrado La Distribucin chi-cuadrado, tiene por funcin de densidad Donde el parmetro k de, se denomina grados de libertad de la distribucin. La Distribucin chi-cuadrado no tiene sentido para valores negativos de x, como se puede ver en la figura. Tngase en cuenta que para k = 1 y k = 2 la funcin de densidad para x = 0, se hace infinito: Para el resto de los valores de k, para x = 0, la funcin vale 0. La Distribucin de probabilidad de esta funcin para valores menores de un x dado, que representamos por donde: Esta integral no tiene una solucin conocida, y solo se conocen mtodos numricos para calcular sus valores, hay distintos tipos de tablas y algoritmos para ordenador con los que se pueden calcular sus soluciones, veamos una tabla distribucin chi-cuadrado y su modo de utilizacin. -La Tabla Esta tabla presenta la distribucin de probabilidad de chi-cuadrado para distintos valores de k(de 1 a 10) y de x(de 0 a 20 de 0,2 de incremento), presentndolo con seis cifras decimales, separadas de tres en tres por un espacio en blanco para facilitar la lectura, en la fila superior estn los valores de k, y en la columna de la izquierda los de x, donde se cruzan la columna de la k buscada y la fila de la x, se encuentra el valor de la probabilidad acumulada desde 0 a la x buscada. ejemplo: Cual es la Distribucin de probabilidad de chi-cuadrado de 4 grados de libertad de que x< 1,2 Buscando en la tabla la columna del 4 y la fila de 1,2, tenemos: Para otros valores de x En la tabla podemos encontrar directamente la probabilidad: , pero se pueden presentar otros casos, veamos algunos. Para la variable mayor que x Para calcular, partimos de la expresin: La probabilidad de que la variable estadstica sea menor que x ms la probabilidad de que sea mayor que x es la certeza, de probabilidad 1. Operando: Ejemplo Calcular la distribucin de probabilidad de una variable estadstica chi-cuadrado, de 6 grados de libertad sea mayor de 3,4. segn lo anterior: buscando en la tabla tenemos: con lo que tenemos: operando tenemos: que es la respuesta a la pregunta. Para la variable mayor que x1 y menor que x2 Para calcular la probabilidad de que: siendo: tenemos que: Ejemplo Cual es la probabilidad de que una variable chi-cuadrado de 8 grados de libertad este comprendida entre 3,4 y 5,6. Esto es: segn la tabla tenemos: segn lo anterior, tenemos que: sustituyendo los valores: operando: Con lo que tenemos la respuesta. Interpolacin lineal. La funcin chi-cuadrado es continua para x mayor que cero, pero en la tabla solo se recogen algunos de sus valores, si bien la tabla podra hacerse ms extensa el numero de valores recogidos siempre seria finito, para calcular los valores no recogidos en la tabla podemos emplear la nterpolacin lineal. La interpolacin lineal, parte de unos puntos conocidos de la funcin, y los valores intermedios los determina por la recta que une estos dos puntos, este mtodo siempre aade un cierto error, al sustituir la funcin: y= f(x) por la recta que une dos puntos: y= r(x), que siempre ser menor que tomar el valor conocido ms prximo de la funcin, ver la figura, es importante que los puntos tomados estn lo ms prximos entre s, para que este error sea el mnimo posible. La expresin: Determina el valor y de la funcin para un x dado, partiendo de dos puntos conocidos (x1,y1) y (x2,y2), siendo x1 < x < x2. Ejemplo Cul es la probabilidad de una distribucin chi-cuadrado de 5 grados de libertad, de que x sea menor que 1,75. Esto es: el valor 1,75 no esta en la tabla, pero si tenemos que: sustituyendo en la expresin: tenemos que: operando tenemos: esto es: que resulta: que es el resultado buscado: Tabla inversa de distribucin chi-cuadrado Otra forma de tabla de distribucin chi-cuadrado, en la cual los valores de bsqueda son los grados de libertad y la probabilidad acumulada, dada la expresin En este tipo de tablas se parte de los valoras conocidos k y p, y se obtiene x, de forma inversa a lo visto anteriormente, lo que resulta interesante pera responder a la pregunta: Para una distribucin chi-cuadrado de k grados de libertad, cual es el valor de x que deja a su izquierda una probabilidad p. Este tipo de problema en la practica, suele ser ms usual, la tabla es ms compacta y tambin nos permite calcular la probabilidad con la tabla directa. En la tabla tenemos en la fila superior las probabilidades P, en la columna de la izquierda los grados de libertad k, donde se cruzan la fila y la columna correspondientes el valor de x que en una funcin chi-cuadrado de k grados de libertad, deja a su izquierda una probabilidad P. Tabla distribucin chi-cuadrado, inversa. k \ P 0,010,050,100,200,250,300,400,500,600,700,750,800,900,950,99 1 0,000 0,004 0,016 0,064 0,102 0,148 0,275 0,455 0,708 1,074 1,323 1,642 2,706 3,841 6,635 2 0,020 0,103 0,211 0,446 0,575 0,713 1,022 1,386 1,833 2,408 2,773 3,219 4,605 5,991 9,210 3 0,115 0,352 0,584 1,005 1,213 1,424 1,869 2,366 2,946 3,665 4,108 4,642 6,251 7,815 11,34 4 0,29 0,71 1,06 1,64 1,92 2,19 2,75 3,35 4,04 4,87 5,38 5,98 7,77 9,48 13,2714935375859988 5 0,554 1,145 1,610 2,343 2,675 3,000 3,656 4,351 5,132 6,064 6,626 7,289 9,236 11,07 15,09 6 0,872 1,635 2,204 3,070 3,455 3,828 4,570 5,348 6,211 7,231 7,841 8,558 10,64 12,59 16,81 7 1,239 2,167 2,833 3,822 4,255 4,671 5,493 6,346 7,283 8,383 9,037 9,803 12,02 14,07 18,48 8 1,647 2,733 3,490 4,594 5,071 5,527 6,423 7,344 8,351 9,524 10,22 11,03 13,36 15,51 20,09 9 2,088 3,325 4,168 5,380 5,899 6,393 7,357 8,343 9,414 10,66 11,39 12,24 14,68 16,92 21,67 10 2,558 3,940 4,865 6,179 6,737 7,267 8,295 9,342 10,47 11,78 12,55 13,44 15,99 18,31 23,21 11 3,053 4,575 5,578 6,989 7,584 8,148 9,237 10,34 11,53 12,90 13,70 14,63 17,28 19,68 24,73 12 3,571 5,226 6,304 7,807 8,438 9,034 10,18 11,34 12,58 14,01 14,85 15,81 18,55 21,03 26,22 13 4,107 5,892 7,041 8,634 9,299 9,926 11,13 12,34 13,64 15,12 15,98 16,98 19,81 22,36 27,69 14 4,660 6,571 7,790 9,467 10,17 10,82 12,08 13,34 14,69 16,22 17,12 18,15 21,06 23,68 29,14 15 5,229 7,261 8,547 10,31 11,04 11,72 13,03 14,34 15,73 17,32 18,25 19,31 22,31 25,00 30,58 16 5,812 7,962 9,312 11,15 11,91 12,62 13,98 15,34 16,78 18,42 19,37 20,47 23,54 26,30 32,00 17 6,408 8,672 10,09 12,00 12,79 13,53 14,94 16,34 17,82 19,51 20,49 21,61 24,77 27,59 33,41 18 7,015 9,390 10,86 12,86 13,68 14,44 15,89 17,34 18,87 20,60 21,60 22,76 25,99 28,87 34,81 19 7,633 10,12 11,65 13,72 14,56 15,35 16,85 18,34 19,91 21,69 22,72 23,90 27,20 30,14 36,19 20 8,260 10,85 12,44 14,58 15,45 16,27 17,81 19,34 20,95 22,77 23,83 25,04 28,41 31,41 37,57 21 8,897 11,59 13,24 15,44 16,34 17,18 18,77 20,34 21,99 23,86 24,93 26,17 29,62 32,67 38,93 22 9,542 12,34 14,04 16,31 17,24 18,10 19,73 21,34 23,03 24,94 26,04 27,30 30,81 33,92 40,29 23 10,20 13,09 14,85 17,19 18,14 19,02 20,69 22,34 24,07 26,02 27,14 28,43 32,01 35,17 41,64 24 10,86 13,85 15,66 18,06 19,04 19,94 21,65 23,34 25,11 27,10 28,24 29,55 33,20 36,42 42,98 25 11,52 14,61 16,47 18,94 19,94 20,87 22,62 24,34 26,14 28,17 29,34 30,68 34,38 37,65 44,31 26 12,20 15,38 17,29 19,82 20,84 21,79 23,58 25,34 27,18 29,25 30,43 31,79 35,56 38,89 45,64 27 12,88 16,15 18,11 20,70 21,75 22,72 24,54 26,34 28,21 30,32 31,53 32,91 36,74 40,11 46,96 28 13,56 16,93 18,94 21,59 22,66 23,65 25,51 27,34 29,25 31,39 32,62 34,03 37,92 41,34 48,28 29 14,26 17,71 19,77 22,48 23,57 24,58 26,48 28,34 30,28 32,46 33,71 35,14 39,09 42,56 49,59 30 14,95 18,49 20,60 23,36 24,48 25,51 27,44 29,34 31,32 33,53 34,80 36,25 40,26 43,77 50,89 31 15,66 19,28 21,43 24,26 25,39 26,44 28,41 30,34 32,35 34,60 35,89 37,36 41,42 44,99 52,19 32 16,36 20,07 22,27 25,15 26,30 27,37 29,38 31,34 33,38 35,66 36,97 38,47 42,58 46,19 53,49 33 17,07 20,87 23,11 26,04 27,22 28,31 30,34 32,34 34,41 36,73 38,06 39,57 43,75 47,40 54,78 34 17,79 21,66 23,95 26,94 28,14 29,24 31,31 33,34 35,44 37,80 39,14 40,68 44,90 48,60 56,06 35 18,51 22,47 24,80 27,84 29,05 30,18 32,28 34,34 36,47 38,86 40,22 41,78 46,06 49,80 57,34 36 19,23 23,27 25,64 28,73 29,97 31,12 33,25 35,34 37,50 39,92 41,30 42,88 47,21 51,00 58,62 37 19,96 24,07 26,49 29,64 30,89 32,05 34,22 36,34 38,53 40,98 42,38 43,98 48,36 52,19 59,89 38 20,69 24,88 27,34 30,54 31,81 32,99 35,19 37,34 39,56 42,05 43,46 45,08 49,51 53,38 61,16 39 21,43 25,70 28,20 31,44 32,74 33,93 36,16 38,34 40,59 43,11 44,54 46,17 50,66 54,57 62,43 40 22,16 26,51 29,05 32,34 33,66 34,87 37,13 39,34 41,62 44,16 45,62 47,27 51,81 55,76 63,69 41 22,91 27,33 29,91 33,25 34,58 35,81 38,11 40,34 42,65 45,22 46,69 48,36 52,95 56,94 64,95 42 23,65 28,14 30,77 34,16 35,51 36,75 39,08 41,34 43,68 46,28 47,77 49,46 54,09 58,12 66,21 43 24,40 28,96 31,63 35,07 36,44 37,70 40,05 42,34 44,71 47,34 48,84 50,55 55,23 59,30 67,46 44 25,15 29,79 32,49 35,97 37,36 38,64 41,02 43,34 45,73 48,40 49,91 51,64 56,37 60,48 68,71 45 25,90 30,61 33,35 36,88 38,29 39,58 42,00 44,34 46,76 49,45 50,98 52,73 57,51 61,66 69,96 46 26,66 31,44 34,22 37,80 39,22 40,53 42,97 45,34 47,79 50,51 52,06 53,82 58,64 62,83 71,20 47 27,42 32,27 35,08 38,71 40,15 41,47 43,94 46,34 48,81 51,56 53,13 54,91 59,77 64,00 72,44 48 28,18 33,10 35,95 39,62 41,08 42,42 44,92 47,34 49,84 52,62 54,20 55,99 60,91 65,17 73,68 49 28,94 33,93 36,82 40,53 42,01 43,37 45,89 48,33 50,87 53,67 55,27 57,08 62,04 66,34 74,92 50 29,71 34,76 37,69 41,45 42,94 44,31 46,86 49,33 51,89 54,72 56,33 58,16 63,17 67,50 76,15 51 30,48 35,60 38,56 42,36 43,87 45,26 47,84 50,33 52,92 55,78 57,40 59,25 64,30 68,67 77,39 52 31,25 36,44 39,43 43,28 44,81 46,21 48,81 51,33 53,94 56,83 58,47 60,33 65,42 69,83 78,62 53 32,02 37,28 40,31 44,20 45,74 47,16 49,79 52,33 54,97 57,88 59,53 61,41 66,55 70,99 79,84 54 32,79 38,12 41,18 45,12 46,68 48,11 50,76 53,33 55,99 58,93 60,60 62,50 67,67 72,15 81,07 55 33,57 38,96 42,06 46,04 47,61 49,06 51,74 54,33 57,02 59,98 61,67 63,58 68,80 73,31 82,29 56 34,35 39,80 42,94 46,96 48,55 50,01 52,71 55,33 58,04 61,03 62,73 64,66 69,92 74,47 83,51 57 35,13 40,65 43,82 47,88 49,48 50,96 53,69 56,33 59,06 62,08 63,79 65,74 71,04 75,62 84,73 58 35,91 41,49 44,70 48,80 50,42 51,91 54,67 57,33 60,09 63,13 64,86 66,82 72,16 76,78 85,95 59 36,70 42,34 45,58 49,72 51,36 52,86 55,64 58,33 61,11 64,18 65,92 67,89 73,28 77,93 87,17 60 37,48 43,19 46,46 50,64 52,29 53,81 56,62 59,33 62,13 65,23 66,98 68,97 74,40 79,08 88,38 70 45,44 51,74 55,33 59,90 61,70 63,35 66,40 69,33 72,36 75,69 77,58 79,71 85,53 90,53 100,4 80 53,54 60,39 64,28 69,21 71,14 72,92 76,19 79,33 82,57 86,12 88,13 90,41 96,58 101,9 112,3 90 61,75 69,13 73,29 78,56 80,62 82,51 85,99 89,33 92,76 96,52 98,65 101,1 107,6 113,1 124,1 100 70,06 77,93 82,36 87,95 90,13 92,13 95,81 99,33 102,9 106,9 109,1 111,7 118,5 124,3 135,8 110 78,46 86,79 91,47 97,36 99,67 101,8 105,6 109,3 113,1 117,3 119,6 122,2 129,4 135,5 147,4 120 86,92 95,70 100,6 106,8 109,2 111,4 115,5 119,3 123,3 127,6 130,1 132,8 140,2 146,6 159,0 130 95,45 104,7 109,8 116,3 118,8 121,1 125,3 129,3 133,4 137,9 140,5 143,3 151,0 157,6 170,4 140 104,0 113,7 119,0 125,8 128,4 130,8 135,1 139,3 143,6 148,3 150,9 153,9 161,8 168,6 181,8 150 112,7 122,7 128,3 135,3 138,0 140,5 145,0 149,3 153,8 158,6 161,3 164,3 172,6 179,6 193,2 160 121,3 131,8 137,5 144,8 147,6 150,2 154,9 159,3 163,9 168,9 171,7 174,8 183,3 190,5 204,5 170 130,1 140,8 146,8 154,3 157,2 159,9 164,7 169,3 174,0 179,2 182,0 185,3 194,0 201,4 215,8 180 138,8 150,0 156,2 163,9 166,9 169,6 174,6 179,3 184,2 189,4 192,4 195,7 204,7 212,3 227,1 190 147,6 159,1 165,5 173,4 176,5 179,3 184,4 189,3 194,3 199,7 202,8 206,2 215,4 223,2 238,3 200 156,4 168,3 174,8 183,0 186,2 189,0 194,3 199,3 204,4 210,0 213,1 216,6 226,0 234,0 249,4 ejemplo Cual es el valor de x, de una distribucin chi-cuadrado de 6 grados de libertad, que deja a su izquierda una probabilidad del 80% Consultando la tabla tenemos que: [editar] Calculo de la probabilidad con la tabla inversa. empleando esta tabla podemos realizar clculos directos como en la anterior, normalmente ser necesaria recurrir a la interpolacin lineal para obtener los resultados [editar] Ejemplo Cul es la distribucin de probabilidad de chi-cuadrado de 4 grados de libertad de que x < 1,2 ? este es el mismo ejemplo que en la tabla directa, veamos como se hara en este caso: la pregunta es: este valor no figura en la tabla pero si tenemos en la fila de k= 4, que: por la expresin de interpolacin lineal: sustituyendo los valores de este caso: operando: esto es: que da como resultado: esto es: como se puede ver hay una diferencia del orden de la tercera cifra decimal, respecto a la bsqueda directa en la tabla, esta diferencia se produce por la interpolacin lineal, al sustituir la funcin por la recta que une dos puntos conocidos, y a la relativamente gran diferencia entre x1 y x2, que es el 60% al valor de x1. [editar] Para valores de k grandes cuando el valor de k es suficientemente grande se tiene en cuenta que: Con lo que podemos aproximar la distribucin Chi-cuadrado por la distribucin normal, de media k y desviacin tpica raz de 2k, empleando la tabla distribucin normal tipificada para su calculo. Clculo de Probabilidad El clculo de probabilidad en una distribucin muestral de varianzas nos sirve para saber como se va a comportar la varianza o desviacin estndar en una muestra que proviene de una distribucin normal. Ejemplos: 1.Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobs para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribucin normal con una desviacin estndar=1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.Solucin: Primero se encontrar el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue: El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el rengln de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un rea a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2) 2.Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una poblacin normal con varianza , tenga una varianza muestral:a.Mayor que 9.1b.Entre 3.462 y 10.745Solucin. a.Primero se proceder a calcular el valor de la ji-cuadrada: Al buscar este nmero en el rengln de 24 grados de libertad nos da un rea a la derecha de 0.05. Por lo que la P(s2 >9.1) = 0.05 1.Se calcularn dos valores de ji-cuadrada:y Aqu se tienen que buscar los dos valores en el rengln de 24 grados de libertad. Al buscar el valor de 13.846 se encuentra un rea a la derecha de 0.95. El valor de 42.98 da un rea a la derecha de 0.01. Como se est pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el rea de 0.95 menos 0.01 quedando 0.94. Por lo tanto la P(3.462s210.745) = 0.94 Estimacin de la Varianza Para poder estimar la varianza de una poblacin normal se utilizar la distribucin ji-cuadrada. Al despejar esta frmula la varianza poblacional nos queda: Los valores de X2 dependern de nivel de confianza que se quiera al cual le llamamos. Si nos ubicamos en la grfica se tiene: Ejemplos: 1.Los siguientes son los pesos, en decagramos, de 10 paquetes de semillas de pasto distribuidas por cierta compaa: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la varianza de todos los paquetes de semillas de pasto que distribuye esta compaa, suponga una poblacin normal.Solucin: Primero se calcula la desviacin estndar de la muestra: al elevar este resultado al cuadrado se obtiene la varianza de la muestra s2= 0.286. Para obtener un intervalo de confianza de 95% se elige un= 0.05. Despus con el uso de la tabla con 9 grados de libertad se obtienen los valores de X2. Se puede observar en la grfica anterior que el valor de X2 corre en forma normal, esto es de izquierda a derecha. Por lo tanto, el intervalo de confianza de 95% para la varianza es: Graficamente: Se observa que la varianza corre en sentido contrario, pero esto es slo en la grfica. La interpretacin quedara similar a nuestros temas anteriores referentes a estimacin. Con un nivel de confianza del 95% se sabe que la varianza de la poblacin de los pesos de los paquetes de semillas de pasto esta entre 0.135 y 0.935 decagramos al cuadrado.

2.En trabajo de laboratorio se desea llevar a cabo comprobaciones cuidadosas de la variabilidad de los resultados que producen muestras estndar. En un estudio de la cantidad de calcio en el agua potable, el cual se efecta como parte del control de calidad, se analiz seis veces la misma muestra en el laboratorio en intervalos aleatorios. Los seis resultados en partes por milln fueron 9.54, 9.61, 9.32, 9.48, 9.70 y 9.26. Estimar la varianza de los resultados de la poblacin para este estndar, usando un nivel de confianza del 90%.Solucin: Al calcular la varianza de la muestra se obtiene un valor de s2= 0.0285. Se busca en la tabla los valores correspondientes con 5 grados de libertad, obtenindose dos resultados. Para X2(0.95,5)= 1.145 y para X2(0.0,5)= 11.07. Entonces el intervalo de confianza esta dado por: y Ensayo de Hiptesis para la Varianza de una Poblacin Normal En la mayora de los casos se tiene el problema de desconocer la varianza o desviacin estndar de la poblacin, en donde las distribuciones son normales. Si se desea probar una hiptesis acerca de la varianza se puede hacer utilizando las medidas estadsticas con las que se construy el intervalo de confianza, esto es con la distribucin Ji- cuadrada. Ejemplos: 1.Una compaa que produce una parte maquinada para un motor, afirma que tiene una varianza de dimetro no mayor a 0.0002 pulgadas. Una muestra aleatoria de 10 de dichas partes dio una varianza de muestra s2 = 0.0003. Si se supone que las medidas del dimetro se distribuyen en forma normal, hay evidencia para refutar lo que afirma el proveedor? Use= 0.05.Solucin: Como en todos los ensayos de hiptesis que se han realizado anteriormente el procedimiento es el mismo. Despus de que se identifican los datos, se plantea la hiptesis para determinar el tipo de ensayo. Datos: = 0.0002 n = 10 s2 = 0.0003 = 0.05 Ensayo de hiptesis: Ho;= 0.0002 H1;> 0.0002 Regla de decisin: Si X2R 16.919 no se rechaza Ho. Si X2R>16.919 se rechaza Ho. Clculos: Justificacin y decisin: Como 13.5 no es mayor que 16.919 por lo tanto no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que no se puede refutar la afirmacin del proveedor. Este ejercicio se puede aprovechar para calcular el valor de P. En la tabla se busca el valor de 13.5 en el rengln de 9 grados de libertad. Interpolando entre 0.10 y 0.20 se obtiene un valor de P de 0.1484. 2.El contenido de azcar del almbar de los duraznos enlatados tiene una distribucin normal, donde se cree que la varianza es= 18 mg2. Se toma una muestra de 10 latas dieron una desviacin estndar de 4.8 mg. Muestran estos datos suficiente evidencia para decir que la varianza ha cambiado?. Use un= 0.05 y calcule el valor de P.Solucin: Datos: = 18 n = 10 s = 4.8 = 0.05 Ensayo de hiptesis: Ho;= 18 H1;18 Regla de decisin: Si 2.7X2R 19.023 no se rechaza Ho. Si X2R19.023 se rechaza Ho. Clculos: Justificacin y decisin: Como 11.52 est entre 2.7 y 19.023, no se rechaza Ho, y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que la varianza del contenido de azcar del almbar no ha cambiado, esto es es de 18 mg2. Si recordamos al principio de este tema se dijo que la media de la distribucin ji-cuadrada es (n-1), por lo tanto la media de este ejercicio es de 9. Como el valor real de X2R = 11.52 este nmero se encuentra a la derecha de la media, lo cual quiere decir que el valor de P/2 ser el rea a la derecha del valor de X2R. Al buscar el valor de 11.52 en la tabla se obtiene un rea de 0.2423, por lo tanto P/2 = 0.2423 y P= (2)(0.2423) = 0.4846 3.Experiencia anterior indica que el tiempo que se requiere para que los estudiantes de ltimo ao de preparatoria completen una prueba estandarizada es una variable aletoria normal con una desviacin estndar de seis minutos. Se toma una muestra aleatoria de 20 estudiantes de ltimo ao de preparatoria y se obtiene una desviacin estndar de 4.51. Muestran estos datos suficiente evidencia para decir que la desviacin estndar disminuy?. Utilice el valor de P para su decisin.Solucin: Datos: = 6 n = 20 s = 4.51 Ensayo de hiptesis: Ho;= 6 H1;< 6 Clculos: Para obtener el valor de P, se busca en la tabla el 10.735 con 19 grados de libertad, y el rea que se encuentra es la que est a la derecha de este valor. Como la media de esta distribucin ji-cuadrada es de 19, por lo tanto el valor de 10.735 queda a la izquierda de la media. El valor de P es de 0.07, y con esto se puede concluir que si hubiramos utilizado un nivel de significancia de 0.10, se rechaza Ho y se concluye que la desviacin estndar disminuyo, pero si se utiliza un valor de= 0.05, entonces no se rechaza Ho y se concluira que la desviacin estndar no disminuy. La decisin depende del error tipo I que est dispuesto a tolerar el investigador. Error tipo II El error tipo II se calcula de la misma forma en la que se calcul con la distribucin z. Se realizarn algunos ejercicios en los cuales se determinar la probabilidad de cometer el error tipo II, utilizando la tabla de la distribucin Ji-cuadrada. 1.Se tiene un ensayo de hiptesis unilateral derecho, con n=20 y= 0.05Ho;= 0.10 H1;> 0.10 Se quiere calcular el error tipo II si las desviaciones estndar verdaderas fueran de 0.12 y 0.14. Solucin: Para poder calcular el error tipo II, primero se debe encontrar el valor de la varianza muestral lmite, esto es s2L, para poder calcular los valores de X2 y posteriormente calcular el rea. Al buscar en la tabla X2(0.05,19)=30.144, este valor se sustituir en la formula. Al despejar de la frmula original de X2 se obtiene: 2.Encontrar el error tipo II para el ejercicio 2 de esta seccin, en donde el ensayo es bilateral pues se quiere ver si la varianza del contenido de azcar en el almbar de los duraznos ha cambiado. Suponga una varianza real de 20 y 26.

Solucin: Como este es un ensayo bilateral se tendrn dos valores de s2L. Los cuales se calcularn utilizando las ji-cuadradas lmites que eran de de 2.7 y 19.023. y Estos dos valores se utilizarn para calcular las nuevas ji-cuadradas para calcular el valor de. Distribucion Fisher Ejemplos : 1.Encontrar el valor de F, en cada uno de los siguientes casos:a.El rea a la derecha de F, es de 0.25 con=4 y=9.b.El rea a la izquierda de F, es de 0.95 con=15 y=10.c.El rea a la derecha de F es de 0.95 con con=6 y=8.o.El rea a la izquierda de F, es de 0.10 con con=24 y =24Solucin: a.Como el rea que da la tabla es de cero a Fisher, se tiene que localizar primero los grados de libertad dos que son 9, luego un rea de 0.75 con 4 grados de libertad uno. b.En este caso se puede buscar el rea de 0.95 directamente en la tabla con sus respectivos grados de libertad. c.Se tiene que buscar en la tabla un rea de 0.05, puesto que nos piden un rea a la derecha de F de 0.95. d.Se busca directamente el rea de 0.10, con sus respectivos grados de libertad. 1.Si s12 y s22 son las varianzas muestrales de muestras aleatorias independientes de tamaos n1=10 y n2 =20, tomadas de poblaciones normales que tienen las mismas varianzas, encuentre P(s12/s22 2.42).Solucin: Primero se establecen los grados de libertad. Como en el numerador est la poblacin uno y en el denominador la poblacin dos, entonces los grados de libertad uno equivalen a 10-1=9 y los grados de libertad dos a 20-1=19. Se procede a ir a la tabla a buscar los grados de libertad dos que son 19 y se observa que no estn, por lo tanto se tiene que interpolar entre 15 y 20 grados de libertad, buscando el valor de fisher que quedara: Este valor de 2.42 se busca en la columna de 9 grados de libertad uno, con 15 grados de libertad dos, y se encuentra los siguiente: Area 0.902.09 0.952.59 Al interpolar entre estos dos valores nos queda un rea de 0.933. Se procede a hacer lo mismo pero con 20 grados de libertad dos: Area 0.952.39 0.9752.84 Al interpolar entre estos dos valores nos queda un rea de 0.9516. Ahora ya se tienen las dos reas referentes a los grados de libertad dos, por lo que se interpolar para ver cunto le corresponde a los grados libertad dos con un valor de 19. Area 150.933 200.9516 Al interpolar nos queda que para 9 grados de libertad uno y 19 grados de libertad dos con un valor de Fisher de 2.42 el rea a la izquierda es de 0.9478. 2.Si s12 y s22 representan las varianzas de las muestras aleatorias independientes de tamao n1= 25 y n2 = 31, tomadas de poblaciones normales con varianzas 12 =10 y 22 = 15, respectivamente, encuentre P(s12/s22 > 1.26).Solucin: Calcular el valor de Fisher: Luego se va a la tabla de Fisher a buscar 30 grados de libertad 2 con 24 grados de libertad uno. Cuando se este en esta posicin se busca adentro de la tabla el valor de Fisher de 1.89. Al localizarlo y ver a la izquierda de este valor se obtiene un rea de 0.95, pero esta rea correspondera a la probabilidad de que las relaciones de varianzas muestrales fueran menor a 1.26, por lo que se calcula su complemento que sera 0.05, siendo esta la probabilidad de que s12/s22 > 1.26. Intervalo de Confianza para el Cociente de Varianzas de Dos Distribuciones NormalesSupngase que se tienen dos poblaciones normales e independientes con varianzas desconocidas 12 y 22, respectivamente. De este par de poblaciones, se tienen disponibles dos muestras aleatorias de tamaos n1 y n2, respectivamente, sean s12 y s22 las dos varianzas muestrales. Se desea conocer un intervalo de confianza del 100( ) por ciento para el cociente de las dos varianzas, 12/22. Para construir el intervalo de confianza para el cociente de dos varianzas poblacionales, se coloca la varianza muestral mayor en el numerador del estadstico F. Ejemplos: 1.Un fabricante de automviles pone a prueba dos nuevos mtodos de ensamblaje de motores respecto al tiempo en minutos. Los resultados se muestran el la tabla:Mtodo 1Mtodo 2 n1 = 31n2 = 25 s12 = 50s22 = 24 2.Construya un intervalo de confianza del 90% para 12/22. 3.Solucin: 4.Por la recomendacin de que la varianza muestral mayor va en el numerador se tiene la siguiente frmula: 5. 6.al despejar: . 7.F toma dos valores dependiendo del nivel de confianza y de los grados de libertad. En este caso los grados de libertad uno valen 30 y los grados de libertad dos 24.8. 9.y 10. Estos resultados los podemos interpretar de la siguiente manera: 11. Con un nivel de confianza del 90% se sabe que la relacin de varianzas 12/22 esta entre 1.07 y 3.93. Esto supondra que la varianza de la poblacin 1 es mayor a la varianza de la poblacin 2 entre 1.07 y 3.93. 12. Una compaa fabrica propulsores para uso en motores de turbina. Al ingeniero de manufactura le gustara seleccionar el proceso que tenga la menor variabilidad en la rugosidad de la superficie. Para ello toma una muestra de n1=16 partes del primer proceso, la cual tiene una desviacin estndar s1 = 4.7 micropulgadas, y una muestra aleatoria de n2=12 partes del segundo proceso, la cual tiene una desviacin estndar s2 = 5.1 micropulgadas. Se desea encontrar un intervalo de confianza del 90% para el cociente de las dos varianzas 12/22. Suponga que los dos procesos son independientes y que la rugosidad de la superficie est distribuida de manera normal.Solucin: Por la recomendacin de que la varianza muestral mayor va en el numerador se tiene la siguiente frmula: al despejar: . En este caso los grados de libertad uno valen 11 y los grados de libertad dos 15. y Estos resultados los podemos interpretar de la siguiente manera: Puesto que este intervalo de confianza incluye a la unidad, no es posible afirmar que las desviaciones estndar de la rugosidad de la superficie de los dos procesos sean diferentes con un nivel de confianza del 90%.

Ensayo de Hiptesis Supngase que se tiene inters en dos poblaciones normales independientes, donde las medias y las varianzas de la poblacin son desconocidas. Se desea probar la igualdad de las dos varianzas, ya que para poder comparar las medias de estas dos poblaciones se utiliza la distribucin t de Student, en la cual podemos tener varianzas iguales o diferentes en la poblacin.Para conocer esto ltimo se requiere de la distribucin Fisher, y despus de utilizarla, se tomar la decisin de tener o no varianzas iguales en la poblacin, dando pi a realizar la comparacin de las dos medias segn estemos hablando. Primer caso en que las varianzas de la poblacin son desconocidas pero iguales, o en el caso dos donde se tienen varianzas desconocidas pero dismiles. Para el ensayo de hiptesis se utilizar la relacin de varianzas, la cual puede dar tres resultados: En base a lo que se quiera probar, el ensayo podr ser unilateral derecho, izquierdo o bilateral. Ejemplos: 1.La variabilidad en la cantidad de impurezas presentes en un lote de productos qumicos, utilizada para un proceso en particular, depende del tiempo que tarda el proceso. Un fabricante que emplea dos lneas de produccin 1 y 2, hizo un pequeo ajuste al proceso 2, con la esperanza de reducir la variabilidad, as como la cantidad media de impurezas en los productos qumicos. Muestras de n1=25 y n2=20 mediciones de dos lotes produjeron las siguientes medias y varianzas: Presentan los datos evidencia suficiente para indicar que las variaciones del proceso son menores para el 2? Realice una prueba con un= 0.05.

Solucin: Datos: Poblacin 1 Poblacin 2 n1 = 25 n2 = 20 = 0.05 Ensayo de hiptesis: Estadstico de prueba: La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor . Entonces los grados de libertad uno ser el tamao de la muestra de la poblacin uno menos uno. 1= 25-1 = 24 y 2 = 20-1=19.

Regla de decisin: Si Fc 2.11 No se rechaza Ho,Si la Fc > 2.11 se rechaza Ho. Clculo: Decisin y Justificacin: Como 2.04 es menor que 2.11 no se rechaza Ho, y se concluye con un= 0.05 que no existe suficiente evidencia para decir que la varianza del proceso 2 es menor que la del proceso 1.

2.En su incansable bsqueda de un sistema de llenado adecuado, cierta empresa prueba dos mquinas. Robo-fill se usa para llenar 16 tarros y da una desviacin estndar de 1.9 onzas en el llenado. Con Automat-fill se llenan 21 frascos que dan una desviacin estndar de 2.1 onzas. Si la empresa tiene que elegir uno de estos sistemas en funcin de la uniformidad de llenado. Cual deber seleccionar? Use un = 0.10.Solucin: Datos: Robo-FillsRF = 1.9nRF = 16= 0.10 Automat-Fill sAF = 2.1 nAF = 21

Ensayo de hiptesis: Estadstico de prueba: La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor . Entonces los grados de libertad uno ser el tamao de la muestra de la poblacin uno menos uno. 1= 21-1 = 20 y 2 = 16-1=15. Regla de decisin: Si Fc 2.20 No se rechaza Ho,Si la Fc > 2.20 se rechaza Ho. Clculo: Decisin y Justificacin: Como 1.22 es menor que 2.20 no se rechaza Ho, y se concluye con un= 0.10 que la variacin de llenado de la mquina Robo-Fill no es menor a la de Automat-Fill, por lo que se selecciona cualquier mquina.3.Las capas de xido en las obleas semiconductoras son depositadas en una mezcla de gases para alcanzar el espesor apropiado. La variabilidad del espesor es una caracterstica crtica de la oblea, y lo deseable para los siguientes pasos de la fabricacin es tener una variabilidad baja. Para ello se estudian dos mezclas diferentes de gases con la finalidad de determinar con cul se obtienen mejores resultados en cuanto a la reduccin en la variabilidad del espesor del xido. Veintin obleas son depositadas en cada gas. Las desviaciones estndar de cada muestra del espesor del xido son s1 = 1.96 angstroms y s2 = 2.13 angstroms. Existe evidencia que indique una diferencia en las desviaciones? Utilice =0.05.Solucin: Datos: s1= 1.96n1 = 21s2 = 2.13 n2= 21 Ensayo de hiptesis: Estadstico de prueba: La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor . Entonces los grados de libertad uno ser el tamao de la muestra de la poblacin uno menos uno. 1= 21-1 = 20 y 2 = 21-1=20. Regla de decisin: Si 0.406Fc 2.46 No se rechaza Ho,Si la Fc < 0.406 si Fc > 2.46 se rechaza Ho. Clculo: Decisin y Justificacin: Como 0.85 esta entre los dos valores de Ho no se rechaza , y se concluye con un= 0.05 que existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las poblaciones son iguales. Error Tipo II 1.Para el ejercicio anterior, encontrar la probabilidad de cometer error tipo II si la verdadera relacin 12/22 = 2.

Solucin:

1.Del ejercicio nmero 1 del ensayo de hiptesis en donde la variabilidad en la cantidad de impurezas presentes en un lote de productos qumicos dependa del tiempo que tardaba el proceso y el fabricante empleaba dos lneas de produccin 1 y 2, e hizo un pequeo ajuste al proceso 2, calcular la probabilidad de cometer error tipo II si le relacin 12/22 = 1.5.Solucin: por lo tanto s12/s22 = 2.11 ya que esto fue lo que dio la tabla y al despejar nos queda los mismo. Se calcula un nuevo valor de F con la relacin de varianzas de 1.5. Si se recuerda para este ejercicio se tienen 24 grados de libertad uno y 19 de grados de libertad dos, por lo que se tiene que hacer una doble interpolacin ya que 19 grados de libertad dos no vienen en la tabla. Primero se interpolar para 24 grados de libertad uno y 15 grados de libertad dos: AreaValor de F 0.501.02 0.751.41 Al interpolar para un valor de Fisher de 1.406 se ve que este valor est muy cercano a 1.41, el cual le corresponde un rea de 0.75, por lo que queda un resultado de 0.7474 Ahora se procede a interpolar para 24 grados de libertad uno y 20 grados de libertad dos: AreaValor de F 0.751.35 0.901.77 La interpolacin para un valor de Fisher de 1.406 es de 0.77. Teniendo los dos valores, se puede calcular el rea correspondiente a 24 grados de libertad uno y 19 grados de libertad dos: 2 Area 150.7474 200.77 Por lo tanto al interpolar para 19 grados de libertad dos nos da un valor de 0.76548