Samuel Quiroz Lima Nmero de cuenta: 414055764

Campo elctrico debido a una distribucin continua de carga.

Podemos obtener el campo elctrico creado por una distribucin de carga continua

integrando (superponiendo) la contribucin de un elemento de carga a toda la distribucin

de carga.

La densidad volumtrica de carga es, en trminos generales, una funcin de las

coordenadas. Ya que un elemento diferencial de carga se comporta como una carga

puntual, la contribucin a la intensidad de campo elctrico en el punto fuente P de la carga

en un elemento de volumen diferencial dv es

Intensidad de campo elctrico de una distribucin volumtrica.

Ecuacin A.

Intensidad de campo elctrico de una distribucin superficial de carga.

Ecuacin B.

Intensidad de campo elctrico de una distribucin lineal de carga.

Ecuacin C.

Intensidad de campo elctrico debido a una lnea de carga recta infinita con

densidad uniforme.

Dado que se trabaja con simetra cilndrica, lo ms conveniente es trabajar con

coordenadas cilndricas.

Ecuacin D.

Ecuacin E. Da el campo E aproximado de una lnea de carga recta muy larga en un

punto cercano a la lnea de carga.

Figura A. Lnea de carga recta infinitamente larga.

Intensidad de campo elctrico en el eje de un disco circular de radio b.

Figura B. Disco con carga uniforme.

Ejemplo de resolucin de campo elctrico de un anillo

Ley de Gauss y Aplicaciones

La ley de Gauss sigue directamente del postulado de divergencia de electrosttica,

mediante la aplicacin del teorema de la divergencia:

La Ley de Gauss establece que el flujo total de salida del campo E sobre cualquier

superficie cerrada en el espacio libre es igual a la carga total encerrada en esa superficie

dividida por 0.

La superficie S puede ser cualquier superficie cerrada hipottica (matemtica) por

conveniencia, no tiene que ser una superficie fsica.

La Ley de Gauss es particularmente til en determinar el campo E de distribuciones de

carga con algunas condiciones de simetra, tal que la componente normal de la intensidad

de campo elctrico es constante sobre una superficie cerrada.

Si no existen condiciones de simetra, la Ley de Gauss no ayuda mucho.

La esencia de la aplicacin de la Ley de Gauss yace en primero reconocer las

condiciones de simetra y segunda en la eleccin adecuada de una superficie sobre la

cual la componente normal de E resultante de una distribucin de carga es una constante.

Tal superficie se refiere como una superficie Gaussiana. Este principio bsico se utiliz

para obtener la Ley de Coulomb para una carga puntual que posee simetra esfrica,

consecuentemente, una superficie Gaussiana apropiada es la superficie de una esfera

centrada en la carga puntual.

Potencial elctrico

En conexin con la identidad nula, notamos que un campo vectorial libre de rotacional

puede expresarse siempre como el gradiente de un campo escalar.

Esto nos induce a definir el Potencial elctrico escalar V tal que:

Las cantidades escalares son ms fciles de manejar que las cantidades vectoriales.

Si podemos determinar V ms fcilmente, entonces E se puede encontrar por una

operacin de Gradiente.

La razn del signo negativo se da a continuacin.

El potencial elctrico tiene significado fsico, y se relaciona con el trabajo que se hace en

llevar una carga de un punto a otro.

Se defini la intensidad de campo elctrico como la fuerza que acta sobre la carga de

prueba unitaria.

0

QsdE

S

VE

Por lo tanto, para mover una carga unitaria de un punto P1 a un punto P2 en un campo

elctrico el trabajo que se debe hacer contra el campo es igual a:

Ya que la trayectoria entre P1 y P2 no est especificada, surge la siguiente pregunta:

Cmo depende el trabajo de la trayectoria tomada? Un poco de anlisis nos conduce a

que el W/q no depende de la trayectoria.

Ya que si esto fuera as, sera posible ir de P1 a P2 a travs de una trayectoria en el cual

W sea ms pequeo y entonces regresar a P1 a largo de otra trayectoria, logrando una

ganancia neta de trabajo o energa. Esto sera contrario al principio de conservacin de la

energa.

Anlogo al concepto de energa potencial en mecnica se representa la diferencia en

energa potencial elctrica de una carga unitaria entre el punto P2 y el punto P1.

Denotando la energa potencial elctrica por unidad de carga por V, el potencial elctrico

es:

De acuerdo a la definicin de gradiente de un campo escalar, la direccin de gradiente V

es normal (i.e. perpendicular) a las superficies de V constante.

Las lneas del campo E son perpendiculares a las lneas equipotenciales y superficies

equipotenciales.

Potencial Elctrico debido a una distribucin de carga

El potencial elctrico de un punto a una distancia R desde una carga puntual q referida a

aquella al infinito puede obtenerse fcilmente como:

Esta es una cantidad escalar y depende, adems de q, solo de la distancia R.

La diferencia de potencial entre dos puntos P2 y P1 a las distancias R2 y R1,

respectivamente de q es:

ldEq

W P

P

2

1

ldEVVP

P

2

112

dRaR

qaV R

R

R

2

04

R

qV

04

Referencias

Cheng, D. Fundamentos de electromagnetismo para ingeniera. Pearson. Addison Weasley Longman de

Mxico: Mxico, 1998. Pginas: 72-97.

120

1221

11

4 RR

qVVV PP