DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD BINOMIAL Y POISSON

1. En una fbrica de cmaras el 5% sale con defectos. Determine la probabilidad de que en una muestra de 12 se encuentren 2 cmaras defectuosas:

Solucin:

Probabilidad = 0.05

(P [x = 2] = 0.099

n = 12

x = 2

2. En una oficina de servicio al cliente se atienden 100 personas diarias. Por lo general 10 personas se van sin recibir bien el servicio. Determine la probabilidad de que en una encuesta a 15 clientes 3 no hayan recibido un buen servicio:

Solucin:

10% no reciben bien el servicio 0.10

n = 15

(X es b [15, 0.10]

x = 3

P [x = 3] = 0.129

3. Un comerciante de verduras tiene conocimiento de que el 10% de la caja est descompuesta. Si un comprador elige 4 verduras al azar, encuentre la probabilidad de que las 4 estn descompuestas; de 1 a 3 estn descompuestas.

Solucin:

Descompuesto 10% es ( 0.10

a = n = 4

(P [x = 4] = 0+b = x = 4

P [x = 1] + P [x = 2] + P [x = 3]

= 0.292 + 0.049 + 0.04

= 0.3454. En pruebas realizadas a un amortiguador para automvil se encontr que el 20% presentaban fuga de aceite. Si se instalan 20 de estos amortiguadores, hallar la probabilidad de que 4 salgan defectuosos; ms de 5 tengan fuga de aceite; de 3 a 6 amortiguadores salga defectuosos.

Solucin:

P = 0.2

n = 20

a) P (X = 4) ( X es b (20, 0.2) ( P (X = 4) = 0.218

b) P (X > 5) ( P (X 6) ( X es B (20, 0.2) ( P (X 6) = 0.196

c) P [3 X 6]= P [X 3] P [X 7]

= 0.794 0.087 = 0.707

5. Si 6 de 18 proyectos de viviendas violan el cdigo de construccin, Cul es la probabilidad de que un inspector de viviendas, que selecciona aleatoriamente a cuatro de ellas, descubra que ninguna de las casas viola el cdigo de construccin; dos violan el cdigo de construccin; al menos tres violan el cdigo de construccin?

X es b (4, 0.33) P [X = 0] = 0.1975

( 0.240

P [X = 32] = 0.2963

( 0.265

P [X 3] = P [X = 3] + P [X = 4] ( 0.076 + 0.008

0.084

6. Un agente de seguros vende plizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Segn las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 aos o ms es 2/3. Hllese la probabilidad de que, transcurridos 30 aos, vivan las cinco personas; al menos tres personas.

Solucin:

n = 5

P = 2 = 0.67

3

X es b (5, 0.67) X es b (5, 0.33)

P [X = 5] = X es b (5, 0.33) = P [X = 5 5 = 0] = 0.168

P [X 3] = P [X 2] = 0.4727. Si de seis a siete de la tarde se admite que un nmero de telfono de cada cinco est comunicando, cul es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 nmeros de telfono elegidos al azar, slo comuniquen dos?

Solucin:

P = Est comunicado

(P = 1/5 = 0.2

n = 10

X es b (10, 0.2)

P [X = 2] = 0.302

8. En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan aprovechado el cinturn de seguridad. Tambin se ha observado que las dos infracciones son independientes. Un guardia de trfico detiene a cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el nmero de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporcin de infractores no vara al hacer la seleccin. Determinar la probabilidad de que hayan cometido alguna de las dos infracciones, exactamente tres conductores: al menos uno de los conductores controlados. Solucin:

n = 5

X es b (5, 0.05)

P1 = 0.05

P [X = 3] = 0.001

P2 = 0.10

P [X 1] = 0.226 X es b (5, 0.10)

P [X = 3] = 0.008

P [X 1] = 0.410

9. En una ciudad, el 30% de los trabajadores emplean el transporte pblico urbano. Hallar la probabilidad de que en una muestra de diez trabajadores empleen el transporte pblico urbano: a) exactamente tres trabajadores, b) por lo menos tres trabajadores.

Solucin:

P = 0.3

(a) P [X = 3] = 0.267

n = 10

b) P [X 3] = 0.617

10. La probabilidad de que un artculo producido por una fbrica sea defectuoso es 0.002. Se envi un cargamento de 10.000 artculos a unos almacenes. Hallar el nmero esperado de artculos defectuosos, la varianza y la desviacin tpica.

Solucin:

n = 10 000

(Esperanza matemtica.

P = 0.002

E (x) = n.p. = 10 000 x 0.002 = 20.

q = 1 P

> Varianza:

1 0.002 = 0.998

V (x) = n.p.q = 10 000 x 0.002 x 0.998 = 19.96.

> Desviacin Estndar:

11. El nmero de clientes que llega a un banco es una variable aleatoria de Poisson. Si el nmero promedio es de 120 por hora, cul es la probabilidad de que en un minuto lleguen por lo menos tres clientes? Puede esperarse que la frecuencia de llegada de los clientes al banco sea constante en un da cualquiera?

Solucin:

120 ------60 minutos

------1 min.

= 2 P [X 3]=1 P [X 2]

=1 0.677

= 0.323

12. El nmero medio de clientes que entran en un banco durante una jornada, es 25. Calcular la probabilidad de que en un da entren en el banco al menos 35 clientes.

Solucin:

= 25

n = 1

P [X 35] = 1 P [X 34] = 1 0.966 = 0.034

13. Si de seis a siete de la tarde se admite que un nmero de telfono de cada cinco est comunicando, cul es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 nmeros de telfono elegidos al azar, slo comuniquen dos?

Solucin:

P = 1/5 = 0.2 (est comunicado)

(X es b (10, 0.2)

n = 10

P [X = 2] = 0.302

14. Los accidentes laborales diarios de una empresa siguen una distribucin de Poisson con = 0.4. Calcular las probabilidades. De que en un determinado da se produzcan dos; a lo sumo dos; por lo menos dos accidentes. De que haya 4 accidentes en una semana. De que haya un accidente hoy y ninguno maana.

Solucin:

= 0.4

n = 1

P (X = 2) = P (X 2) P (X 1)

0.992 0.938 = 0.054

A lo sumo 2

P (X 2) = 0.992

Por lo menos 2

P (X 2) = 1 P (X 1) = 1 0.938 = 0.062

n = 7

= 0.4

1

= 2.8

7 P [X = 4]= P [X 4] P [X 3]

= 0.848 0.692 = 0.156 P [X = 1]= P [X 1] P [X 0]

( = 0.4n = 1

= 0.938 0.670 = 0.268 P [X = 0]= 0.449

( = 0.8

15. Un representante realiza 5 visitas cada da a los comercios de su ramo y conoce que la probabilidad de que le hagan un pedido en cada visita es del 0.4. Obtener: El nmero medio de pedidos por da. La probabilidad de que el nmero de pedidos que realiza durante un da est comprendido entre 1 y 3. La probabilidad de que por lo menos realice dos pedidos.

Solucin:

n = 5

= ?

P = 0.4

= n x P

= 5 x 0.4 = 2

P [1 X 3] = P [X 3] - P [X 0]

0.857 0.135 = 0.722

P [X 2] = 1 P [X 1]

1 0.406 = 0.59416. Una empresa dedicada a la fabricacin y venta de bebidas refrescantes observa que el 40% de los establecimientos que son visitados por sus vendedores realizan compras de esas bebidas. Si un vendedor visita 20 establecimientos, determinar la probabilidad de que por lo menos 6 de esos establecimientos realicen una compra.

Solucin:

P = 0.4

X es b (20, 0.4)

n = 20

P [X 6] = 0.874

17. Un servicio dedicado a la reparacin de electrodomsticos en general, ha observado que recibe cada da por trmino medio 15 llamadas. Determinar la probabilidad de que se reciban ms de 20 llamadas en un da.

Solucin:

n = 1

P [X 20] = P [X 21]

= 15

= 1 P [X 20] = 1 0.917 = 0.083

18. Los mensajes que llegan a una computadora utilizada como servidor lo hacen de acuerdo con una distribucin Poisson con una tasa promedio de 0.1 mensajes por minuto. Cul es la probabilidad de que lleguen a lo ms 2 mensajes en una hora?

Solucin:

Variable de mensajes

Regla de 3 simple

Intervalo de minutos

0.1

1 min.

= 0.1 minuto

60 min.

Hallar P [X 2] con 1 hora

= 60 x 0.1 = 6

Intervalo horas

1

= 6

P [X 2] = 0.062

19. A una oficina de reservaciones de una aerolnea regional llegan 48 llamadas por hora: Calcule la probabilidad de recibir cinco llamadas en un lapso de 5 minutos. Estime la probabilidad de recibir exactamente 10 llamadas en un lapso de 15 minutos. Suponga que no hay ninguna llamada en espera. Si el agente de viajes necesitar 5 minutos para la llamada que est atendiendo cuntas llamadas habr en espera para cuando l termine? Cul es la probabilidad de que no haya ninguna llamada en espera? Si en ese momento no hay ninguna llamada cul es la probabilidad de que el agente de viajes pueda tomar 3 minutos de descanso sin ser interrumpido por una llamada?

Solucin:

= 48

n = 1 hora

P [X = 5]

= 48 -------- 60 min.

X -------- 5 min.

= 4

X = 4 P [X = 5] = P [X 5] P [X 4]

= 0.785 0.629

= 0.156

P [X = 10]

= 48 -------- 60 min.

X -------- 15 min.

= 12

X = 12P [X = 10]= P [X 10] P [X 9]

= 0.347 0.242

= 0.105

Habrn 4 llamadas en espera cuando l termine:

P [X = 0] ( = 4

= 48 -------- 60 min.

= 0.018

X -------- 3 min.

P [X = 0] ( = 2.4

X = 2.4= 0.091

20. Los pasajeros de las aerolneas llegan en forma aleatoria e independiente al mostrador de revisin de pasajeros. La tasa media de llegada es de 10 pasajeros por minuto. Calcule la probabilidad de que a) no llegue ningn pasajero en un lapso de un minuto. b) lleguen tres o menos pasajeros en un lapso de un minuto. c) no llegue ningn pasajero en un lapso de 15 segundos. d) llegue por lo menos un pasajero en un lapso de 15 segundos.

Solucin:

= 10 x minuto

a) P [X = 0] = aprox. 0

Regla de 3 simples:

b) P [X 3] = 0.010

10 -------- 60 seg.

c) = 2.5

X -------- 15 seg.

P [X = 0] = 0.082

X = 2.5d) P [X 1] = 1 P [X 0]

= 1 0.082

= 0.918.

21. Cada ao ocurre en promedio 15 accidentes areos. Calcule el nmero medio de accidentes areos por mes. Calcule la probabilidad de que no haya ningn accidente en un mes. De que haya exactamente un accidente en un mes. De que haya ms de un accidente en un mes.

Solucin:

= 15 -------- 1 ao = 12 meses

-------- 1 mes

= 1.25 x mes

P [X = 0] ( = 1.25 1.3

= 0.273

P [X = 1]= P [X 1] P [X 0]

= 0.627 0.273

= 0.354

P [X > 1]= P [X 2]

P (X 1) = 1 P (X 0)

= 1 P [X 1]

= 1 0.273

= 1 0.627

= 0.727

= 0.373

22. Se estima que los accidentes fuera del trabajo tienen para las empresas un costo de casi $ 200 mil millones anuales en prdidas de productividad. Con base en estos datos, las empresas que tienen 50 empleados esperan tener por lo menos tres accidentes fuera del trabajo por ao. Para estas empresas con 50 empleados Cul es la probabilidad de que no haya ningn accidente fuera del trabajo en un ao? De qu haya por lo menos dos accidentes fuera del trabajo en un ao? Cul es el nmero esperado de accidentes fuera del trabajo en un lapso de seis meses? Cul es la probabilidad de que no haya ningn accidente fuera del trabajo en los prximos seis meses?

Solucin:

= 3

P [X = 0]= 0.050

P [X 2]= 1 P [X 1]

= 1 0.199 = 0.801

Para los 6 meses (Regla de 3)

= 3 ------------ 12 meses

------------ 6 meses

= 1.5 ( en 6 meses

P [X = 0] = 0.223

23. Durante el periodo en que una universidad recibe inscripciones por telfono, llegan llamadas a una velocidad de una cada dos minutos. Cul es el nmero esperado de llamadas en una hora? Cul es la probabilidad de que haya tres llamadas en cinco minutos? De que no haya llamadas en un lapso de cinco minutos?

Solucin:

= 1 ----------- 2 minutos

----------- 60 minutos

= 30 ( En 1 hora

P [X = 3]

= 1 ------------- 2 minutos

------------- 5 minutos

= 2.5

P [X = 3] = P [X 3] P [X 2]

= 0.758 0.544

= 0.214

P [X = 0] = 0.082