Realizado por: Jorge Luis Masache Omar Merizalde Laura Enríquez N. Sergio Cedeño Christian Chávez Revisado por: Mónica Mantilla

Una de las distribuciones de variable contínua más importantes es la distribución exponencial

Se la utiliza como modelo para representar el tiempo

de funcionamiento o de espera. Tiene como función expresar también el tiempo

transcurrido entre eventos que se contabilizan por medio de la distribución de Poisson.

El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. Por ejemplo, la datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14.

El tiempo que puede transcurrir, en un servicio de urgencias para la llegada de un paciente;

En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial. Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre que sufrimos dos veces una herida importante.

Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución exponencial de parámetro λ si su función de densidad es:

Donde λ es una constante positiva. Se nota como

X~E(λ)

𝑓 𝑥 = 0 𝑠𝑖 𝑥 < 0

𝜆𝑒−𝜆𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

La función de distribución

correspondiente es

𝑭 𝒙 = 𝟎, 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟎𝟏 − 𝒆

− 𝒙𝝀, 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎

0 ,0 para )( xexf x

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1

)(

0

0

x

x

e

dxedxxf

Distribución exponencial Exp ()

1

0

dxex x

Vida media

xx

tx

t eedte 100

Distribución exponencial Exp ()

0,0

0,1)(

x

xexF

x

Sea X la variable que cuenta el numero de eventos que ocurren en el tiempo (0,t), con media λt; entonces

Sea T el tiempo que transcurre hasta que sucede el primer evento de Poisson. El rango de T es el intervalo (0,∞( y su función de distribución es:

Donde el evento (T>t) indica que el primer evento de Poisson ocurre después de t, o lo que es lo mismo, que no ocurre ningún evento en el intervalo (0,t); es decir, (T > t) = (X = 0).

La distribución exponencial no tiene memoria : Poseer información de que el elemento que consideramos

ha sobrevivido un tiempo S (hasta el momento) no modifica la probabilidad de que sobreviva t unidades de tiempo más. La probabilidad de que el elemento falle en una hora (o en un día, o en segundo) no depende del tiempo que lleve funcionando. No existe envejecimiento ni mayor probabilidad de fallos al principio del funcionamiento

El tiempo durante el cual las baterías para un teléfono celular trabajan en forma efectiva hasta que fallan se distribuyen según un modelo exponencial, con un tiempo promedio de falla de 500horas.

a) Calcular la probabilidad de una batería funcione por más de 600horas.

b) Si una batería ha trabajando 350 horas, ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje más de 300 horas adicionales.

Solución: X = tiempo que dura la batería hasta que falla Entonces como E(x) = 500, entonces λ=1/500 con lo que E(1/500). Por tanto su función de distribución seria:

a) Pr(x > 600)

b) Si la batería ya trabajo 350horas, queremos conocer la probabilidad de que trabaje mas de 650:

Pr 𝑥 > 600 = 1 − Pr 𝑥 ≤ 600

𝑃𝑟 𝑥 > 600 = 1 − 𝐹(60)

𝑃𝑟 𝑥 > 600 = 1 − 1 − 𝑒−600500 = 0.301

𝑃𝑟 𝑥 > 350 + 300| 𝑥 > 350 =Pr(𝑋 > 650)

𝑃𝑟(𝑋 > 350)

𝑃𝑟 𝑥 > 350 + 300| 𝑥 > 350 =1 − F(650)

1 − 𝐹(350)

𝑃𝑟 𝑥 > 350 + 300| 𝑥 > 350 =1− 1−𝑒

−650500

1− 1−𝑒−

350500

=0.549

Se sabe que el tiempo de espera una persona que llama a un

centro de atención al público para ser atendido por un asesor es una variable aleatoria exponencial con µ = 5 minutos. Encuentre la probabilidad de que una persona que llame al azar en un momento dado tenga que esperar:

En un experimento de laboratorio se utilizan 10 gramos de Po sabiendo que la duración media de un átomo de esta materia es de 140 días, ¿cuantos días transcurrirán hasta que haya desaparecido el 90% de este material?

Solución: El tiempo T de desintegración de un átomo de

Po es una v.a. de distribución exponencial:

u = 1 / λ λ = 1/140

La duración de los neumáticos de una marca determinada siguen la ley exponencial cuyo promedio es 30 (en miles de kilómetros). Calcule la probabilidad de que un neumático dure: a) Más de 30 mil kilómetros b) Más de 30 mil kilómetros, dado que ha durado

15 mil Km.

La duración (en años) de la vida de los individuos de una población humana se puede modelar mediante una variable aleatoria con función de densidad:

0 si t ≤0

f(x)= 1/60 e-t/60 t>0

a) Determine la vida media de la población. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo llegue a los 42 años? c) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue a los 65 años un individuo que ya tiene 50 años?

El tiempo de reparación de unas máquinas de escribir tiene una distribución aproximadamente exponencial, con media 22 minutos. a) Hallar la probabilidad de que el tiempo de reparación

sea menor que diez minutos.

b) 2. El costo de reparación es de 2000 pts. por cada media hora o fracción. cueste 4000 pts.?