DISTRIBUCION MUESTRAL

MUESTRA ALEATORIA: Sea X una variable aleatoria con función de densidad ( fx

(x) ) o función de cuantía ( px(x)) con

media y varianza 2, una muestra aleatoria de tamaño “n” de X, es un conjunto de “n” variables aleatorias x1, x2, x3,......, xn que cumplen:

1. Cada xi( i=1,2,3.....n) tiene la misma distribución de X

fxi(xi) = fx

(x) i=1,2,3..........,n

pxi(xi) = px

(x) i=1,2,3..........,n

2. Las variables aleatorias muestrales xi( i=1,2,3.....n) son independientes en consecuencia:

a. Cada xi tiene la misma distribución de X con media

xi = E(Xi) = E(X) =

xi2 = Var(Xi) = Var(X) = 2

b. La función de probabilidad conjunta de la muestra aleatoria x1, x2, x3,......, xn esta dado por:

p(xi.......xn)(xi......xn) = pxi

(xi) . pxi(xi) . pxi

(xi) ... pxi(xi) si X es discreta

f(x1........xn)(xi.......xn) = fxi

(xi) . fxi(xi) ......... fxi

(xi) si X es continua

NOTA Nº 1: S e cumple cuando la muestra proviene de una población infinita discreta o continua y cuando la muestra es con remplazamiento de una población finita.

NOTA Nº 2 : Cuando la muestra se extrae sin remplazamiento de una población finita no satisface la distribución de la muestra pues las variables aleatorias x1, x2, x3,......, xn no son independientes sin embargo si el tamaño de la muesta es muy pequeña en comparación con la población se cumple aproximadamente la definición.

En la investigación de mercados, en las encuestas, en los negocios el muestreo se realiza sin remplazamiento y en poblaciones finitas, en este caso sea x1, x2, x3,......, xn una muestra de tamaño “n” estraida sin remplazamiento, de una población finita de “N” elementos, distribuidos con media y varianza 2 entonces:

E(x) = y Var (x) = 2/n* N-n/N-1

Donde N-n/N-1 se llama factor de corrección para población finita

Ejemplo:

Una población consta de cinco elementos X= {1, 2, 3, 4, 5}

a. Calcular la y de la población

b. Grafique la distribución de probabilidades de la población

Se extrae una muestra de tamaño 2 de la población

i). Con remplazamiento

ii) Sin remplazamiento

c. Escribir todas las muestras posibles de tamaño 2

d. Calcular la media muestral de estas muestras

e. Calcular la medias de estas medias muestrales

f. Calcular la varianza de las medias muestrales

DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA

Sea X una población una distristribución de probabilidades fxi(xi)

con media y varianza 2 , sea x1, x2, x3,......, xn , una muestra de tamaño “n” de X la media muestral es:

X = Xi/n entonces:

1. X = y Var(X) = 2/n

2. Para muestra “n” suficientemente grande por teorema de Limite central, la variable aleatoria X se distribuye aproximadamente a una normal con media y varianza 2/n

En símbolos X N (, 2/n)

Por lo tanto la variable aleatoria Z = X - / / n tiene una distribución normal estandarizada.

NOTA 3:

Este es válido para cualquier población finita o infinita discreta o continua cuando n> = 30

Si la población es normal se cumple cuál fuera el tamaño de muestra.

Cuando la población es finita de “N” elementos y el muestreo es sin remplazamiento, entonces la distribución X obedece a una distribución de probabilidades Hipergeométrica por lo tanto la media

x = y Var(X) = 2/n* N-n/N-1

DISTRIBUCION DE UNA PROPORCION

Una v.a X tiene una distribución Binomial con

Rx = {0, 1,3,...n}, P(E)=p en “n” ensayos de bernoulli, entonces la proporción de éxitos x/n, es una variable aleatoria que se denota por p = x/n, los valores que toma la variable aleatoria x/n, son números comprendidos entre 0 y 1 , el rango de esta variable aleatoria será:

Rp = { 0, 1/n, 2/n, 3/n, 4/n,.........1}

La media y varianza de la proporción de éxitos son:

i). p = E(x/n) = 1/nE(x) = 1/n.n.p = p

ii). 2p = Var(x/n) = 1/n2. Var(x) = 1/n2.n.p.q = p.q/n

iii) p = p.q/n

NOTA Nº 4:

1. Se cumple para una población finita cualquer sea el tipo de muestreo.

2. Para población finita y cuándo el muestreo es con remplazamiento

Si el muestreo es sin reposición de una población Binomial finita la distribución de p a la distribución Hipergeometrica

p = p y Var(p) = p.q/n*N-n/N-1

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

Un  estimador es un valor que puede calcularse a partir de los datos muestrales y que proporciona información sobre el valor del parámetro. Por ejemplo la media muestral es un estimador de la media poblacional, la proporción observada en la muestra es un estimador de la proporción en la población.Una estimación es puntual cuando se obtiene un sólo valor para el parámetro. Más útil es la estimación por intervalos en la que calculamos dos valores entre los que se encontrará el parámetro, con un nivel de confianza fijado de antemano.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA

De una población desconocemos la media y deseamos estimarla a partir de la media x obtenida en una muestra de tamaño nSabemos que si la población es normal N(,) y extraemos de ella muestras de tamaño n, o sin ser la población normal es n>30, La distribución muestral de medias es ,   por tanto si fijamos una probabilidad 1-, sabemos que la

 

es decir, el (1-)% de las x está a una distancia de inferior a          Entonces para un nivel de confianza 1-, pertenece al intervalo:  

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN

         la distribución muestral de proporciones sigue una distribución normal

con q=1-p

•Entonces para un nivel de confianza 1-, p pertenece al intervalo:

PARAMETRO ESTIMADOR VARIANZA DEL ESTIMADOR VARIANZA ESTIMADA DEL ESTIMADOR

V(y) = S2/n*(1-n/N) V(y) = S2/n*(1-n/N)Con S2 =1/N-1*(Σy2-Ny2) Con S2 =1/n-1*(Σy2-ny2)

Total: Y Y = Ny V(y) = N2S2 /n*(1-n/N) V(y) = N2S2 /n*(1-n/N)V(p) = S2/n*(1-n/N) V(p) = S2/n*(1-n/N)Con S2 =N/N-1*PQ Con S2 =n/n-1*p.q

n = nº /(1+ nº/N);

nº = z2s2/d2

n = nº /(1+ nº/N);

nº = N2 z2s2/d2

n = nº /[1+ (nº -1) /N];

nº = z2pq/d2

n=Tamaño de muestra, nº=T. muestra piloto, e=error relativo d=error de precisión

Total: Y Y = Ny d=e.y

Proporción:P p d=e.p

TAMAÑO DE MUESTRAMedia:µ y d=e.y 1% <=e<=20%

DISEÑO MUESTRAL- MUSTREO ALEATORIO SIMPLE

Media:µ y

Proporción:P p

Ejercicio de Tamaño de Muestra Población Finita para la estimación de la mediaN=10,000Media=2500 Soles Desviación Estandar = 2000soles

Z 75% 80% 85% 90% 95% 99% 99.5%e

5%7%10%12%15%18%20%

Ejercicio de Tamaño de Muestra Población Finita para estimar la proporciónN=20,000p=0.65

Z 75% 80% 85% 90% 95% 99% 99.5%e

5%7%10%12%15%18%20%