UNIVERSIDAD AUTNOMA DE QUERTARO FACULTAD DE INGENIERIA 1er SEMESTRE

UNIVERSIDAD AUTNOMA DE QUERTARO FACULTAD DE INGENIERIA 1er SEMESTRERAL ARTEAGA TREJOOSCAR URIEL ACEVEDO LEAL

PROBABILIDAD Y ESTADSTICA

UNIDAD 6: MODELOS PROBABILISTICOS BSICOSDISTRIBUCIN NORMAL

I.S.C Rosa E. Valdez V.

IntroduccinEnestadsticayprobabilidadse llamadistribucin normal,distribucin de Gaussodistribucin gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidaddevariable continuaque con ms frecuencia aparece en fenmenos reales.Lagrficade sufuncin de densidadtiene una forma acampanada y es simtrica respecto de un determinadoparmetro. Esta curva se conoce comocampana de Gauss.La importancia de esta distribucin radica en que permitemodelarnumerosos fenmenos naturales, sociales y psicolgicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenmenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observacin se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.De hecho, la estadstica es un modelo matemtico que slo permite describir un fenmeno, sin explicacin alguna. Para la explicacin causal es preciso eldiseo experimental, de ah que al uso de la estadstica en psicologa y sociologa sea conocido comomtodo correlacional.La distribucin normal tambin es importante por su relacin con la estimacin pormnimos cuadrados, uno de los mtodos de estimacin ms simples y antiguos.

Algunos ejemplos de variables asociadas a fenmenos naturales que siguen el modelo de la normal son:caracteresmorfolgicosde individuos como laestatura;caracteresfisiolgicoscomo el efecto de unfrmaco;caracteressociolgicoscomo elconsumode cierto producto por un mismo grupo de individuos;caracterespsicolgicoscomo elcociente intelectual;nivel deruidoentelecomunicaciones;errorescometidos al medir ciertas magnitudes;etc.

UNIDAD 6: MODELOS PROBABILSTICOS BSICOSDISTRIBUCIN NORMALLa distribucin normal fue reconocida por primera vez por el francs Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elabor desarrollos ms profundos y formul la ecuacin de la curva; de ah que tambin se la conozca, ms comnmente, como la"campana de Gauss". La distribucin de una variable normal est completamente determinada por dos parmetros, su media y su desviacin estndar, denotadas generalmente pory. Con esta notacin, la densidad de la normal viene dada por la ecuacin:

La ecuacin que determina la curva en forma de campana. As, se dice que una caracterstica sigue una distribucin normal de media y varianza , y se denota como si su funcin de densidad viene dada por la Ecuacin 1.

Al igual que ocurra con un histograma, en el que el rea de cada rectngulo es proporcional al nmero de datos en el rango de valores correspondiente si, tal y como se muestra en lafigura, en el eje horizontal se levantan perpendiculares en dos puntosayb, el rea bajo la curva delimitada por esas lneas indica la probabilidad de que la variable de inters,X, tome un valor cualquiera en ese intervalo.

Puesto que la curva alcanza su mayor altura en torno a la media, mientras que sus "ramas" se extienden asintticamente hacia los ejes, cuando una variable siga una distribucin normal, ser mucho ms probable observar un dato cercano al valor medio que uno que se encuentre muy alejado de ste.

Propiedades de la distribucin normalTiene una nica moda, que coincide con su media y su mediana.La curva normal es asinttica al eje de abscisas. or ello, cualquier valor entre- y+ es tericamente posible. El rea total bajo la curva es, por tanto, igual a 1.

Es simtrica con respecto a su media . Segn esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor.

El rea bajo la curva comprendido entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estndar de la media es igual a 0.95. En concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo .

La distancia entre la lnea trazada en la media y el punto de inflexin de la curva es igual a una desviacin tpica (). Cuanto mayor sea, ms aplanada ser la curva de la densidad.

Cmo se calcula?No existe una nica distribucin normal, sino una familia de distribuciones con una forma comn, diferenciadas por los valores de su media y su varianza. De entre todas ellas, la ms utilizada es ladistribucin normal estndar, que corresponde a una distribucin de media 0 y varianza 1. As, la expresin que define su densidad se puede obtener de laEcuacin:

Es importante conocer que, a partir de cualquier variableXque siga una distribucinN(,), se puede obtener otra caractersticaZcon una distribucin normal estndar, sin ms que efectuar la transformacin:

a partir de la que se puede obtener de modo sencillo la probabilidad de observar un dato menor o igual a un cierto valor z, y que permitirn resolver preguntas de probabilidad acerca del comportamiento de variables de las que se sabe o se asume que siguen una distribucin aproximadamente normal.

tablas

Tabla 1. reas bajo la curva normal estndar. Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a z. La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna, y el segundo decimal en la cabecera de la tabla.

P(Z > a) =1 - P(Z a)

P(Z a) = 1 P(Z a)

P(Z > a) =P(Z a)

P(Z a)P(Z > a) =P(Z a)

P(a < Z b )=P(Z b)P(Z a)

P(b < Z a ) = P(a < Z b )

Nos encontramos con el caso inverso a los anteriores, conocemos el valor de la probabilidad y se trata de hallar el valor de la abscisa. Ahora tenemos que buscar en la tabla elvalor que ms se aproxime a K.

P(a < Z b ) = P(Z b) [ 1 P(Z a)]

p = K

ejemplosEn una ciudad se estima que la temperatura mxima en el mes de junio si una distribucin normal, con media 23 y desviacin tpica 5. Calcular el nmero de das del mes en los que se espera alcanzar mximas entre 21 y 27.solucin

P(a < Z b )=P(Z b)P(Z a) sabiendo que: P(Z > a) =1 - P(Z a) Por los 30 dias del mesLa media y los que de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviacin tpica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuntos estudiantes pesan:1.Entre 60 kg y 75 kg. P(a < Z b )=P(Z b)P(Z a)

2.Menos de 64 kg.

3.64 kg o menos.

500 alumnos

Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacin sigue una distribucin aproximadamente normal, con una media de 80 Kg y una desviacin estndar de 10 Kg. Podremos saber cul es la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso superior a 100 Kg?

Denotando porXa la variable que representa el peso de los individuos en esa poblacin, sta sigue una distribucin

As, la probabilidad que se desea calcular ser:

Como sabemos que P(Z > a) =1 - P(Z a) esta ltima probabilidad puede ser fcilmente obtenida a partir de laTabla 1, resultando ser . Por lo tanto, la probabilidad buscada de que una persona elegida aleatoriamente de esa poblacin tenga un peso mayor de 100 Kg , es de 10.9772=0.0228, es decir, aproximadamente de un 2.3%.

EjerciciosSe supone que los resultados de un examen siguen una distribucin normal con media 78 y varianza 36. Se pide:1.Cul es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificacin superior a 72?

Varios test de inteligencia dieron una puntuacin que sigue una ley normal con media 100 y desviacin tpica 15.1.Determinar el porcentaje de poblacin que obtendra un coeficiente entre 95 y 110.