Distribucin T de Students.

HISTORIA

La distribucin t de student fue descubierta por William S. Gosset en 1908.

Gosset era un estadstico empleado por la compaa de cerveza Guinness Irlandesa que desaprobaba la publicacin de investigaciones de sus empleados. Para evadir esta prohibicin, publico su trabajo en secreto bajo el nombre de Student. En consecuencia la distribucin de T normalmente se llama distribucin de t de Student o simplemente t. Lo interesante del caso es que su trabajo estaba enfocado al control de calidad de la cerveza. En el pasado otros investigadores de la compaa Guinness haban publicado artculos en los que se divulgaban secretos o informacin confidencial sobre el proceso de la cerveza y por eso se oblig a Gosset a aceptar la clusulaDEFINICINLa distribucin-t o distribucion T de Student es una distribucion de probabilidad que surge del problema de estimar la medida de una poblacion normalmente distribuida cuando el tamao de la muesta es pequeo.A la teoria de pequeas muestras tambien se le llama teoria exacta del muestreo,ya que tambien la podemos utilizar con muestras aleatorias de tamao grande.Para enender la distribucion t student hay que tomar en cuenta los Grados de libertad.Distribucin T de Students.Supngase que se toma una muestra de una poblacin normal con media m y varianza s2. Si x es el promedio de las n observaciones que contiene la muestra aleatoria, entonces la distribucin es una distribucin normal estndar. Supngase que la varianza de la poblacin s 2 es desconocida. Qu sucede con la distribucin de esta estadstica si se reemplaza s por s? La distribucin t proporciona la respuesta a esta pregunta.La media y la varianza de la distribucin t son m = 0 y ( 2) 2 s = u u -2 para n>2, respectivamente. La siguiente figura presenta la grfica de varias distribuciones t. La apariencia general de la distribucin t es similar a la de la distribucin normal estndar: ambas son simtricas y unimodales, y el valor mximo de la ordenada se alcanza en la media = 0. Sin embargo, la distribucin t tiene colas ms amplias que la normal; esto es, la probabilidad de las colas es mayor que en la distribucin normal. A medida que el nmero de grados de libertad tiende a infinito, la forma lmite de la distribucin t es la distribucin normal estndar.

Grados de libertad

Grafica de Distribucin T de Students.Una variable aleatoria se distribuye segn el modelo de probabilidad t o T-Student con grados de liberta, donde K es un entero positivo, si su funcin de densidad es la siguiente.

CARACTERISTICASPropiedade de las curvas T1. Cada curva t tiene forma de campana con centro en 02. Cada curva t, esta ms dispersa que la curva normal estndar z.3. A medida que v aumenta, la dispersin de la curva t correspondiente disminuye.4. A medida de v es infinito, la secuencia de curvas t se aproxima a la curva estndar,por lo que la curva z recibe a veces el nombre de curva t con gl= infinito.

La distribucin de la variable aleatoria T esta dada por:

TABLA DE LA DISTRIBUCION t- StudentLa tabla da reas 1 - a , para valores menores o iguales a t y n g.l, se construy con Excel.

1 - a

n0.750.800.850.900.950.9750.990.995

11.0001.3761.9633.0786.31412.70631.82163.657

20.8161.0611.3861.8862.9204.3036.9659.925

30.7650.9781.2501.6382.3533.1824.5415.841

40.7410.9411.1901.5332.1322.7763.7474.604

50.7270.9201.1561.4762.0152.5713.3654.032

60.7180.9061.1341.4401.9432.4473.1433.707

70.7110.8961.1191.4151.8952.3652.9983.499

80.7060.8891.1081.3971.8602.3062.8963.355

90.7030.8831.1001.3831.8332.2622.8213.250

100.7000.8791.0931.3721.8122.2282.7643.169

110.6970.8761.0881.3631.7962.2012.7183.106

120.6950.8731.0831.3561.7822.1792.6813.055

130.6940.8701.0791.3501.7712.1602.6503.012

140.6920.8681.0761.3451.7612.1452.6242.977

150.6910.8661.0741.3411.7532.1312.6022.947

160.6900.8651.0711.3371.7462.1202.5832.921

170.6890.8631.0691.3331.7402.1102.5672.898

180.6880.8621.0671.3301.7342.1012.5522.878

190.6880.8611.0661.3281.7292.0932.5392.861

200.6870.8601.0641.3251.7252.0862.5282.845

210.6860.8591.0631.3231.7212.0802.5182.831

220.6860.8581.0611.3211.7172.0742.5082.819

230.6850.8581.0601.3191.7142.0692.5002.807

240.6850.8571.0591.3181.7112.0642.4922.797

250.6840.8561.0581.3161.7082.0602.4852.787

260.6840.8561.0581.3151.7062.0562.4792.779

270.6840.8551.0571.3141.7032.0522.4732.771

280.6830.8551.0561.3131.7012.0482.4672.763

290.6830.8541.0551.3111.6992.0452.4622.756

300.6830.8541.0551.3101.6972.0422.4572.750

400.6810.8511.0501.3031.6842.0212.4232.704

600.6790.8481.0461.2961.6712.0002.3902.660

1200.6770.8451.0411.2891.6581.9802.3582.617

0.6740.8421.0361.2821.6451.9602.3262.576

EJERCICIOSEjemplo1: Un fabricante de focos afirma que su producto durar un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre t 0.05 y t 0.05, l se encuentra satisfecho con esta afirmacin. Qu conclusin deber l sacar de una muestra de 25 focos cuya duracin fue?:520521511513510=500 h

513522500521495n=25

496488500502512Nc=90%

510510475505521X=505.36

506503487493500s=12.07

SOLUCIN. t= x - SI n = 1- Nc = 10%v = n-1 = 24 t = 2.22Enseguida se muestra la distribucin del problema segn el grafico sig.

Ejemplo 2.- La longitud de los tornillos fabricados en una fbrica tienen media =10 mm y desviacin s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una muestra de tamao n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:

P (