Distribuciones Binomiales y Normales
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Distribuciones Binomiales y Distribuciones Binomiales y Normales Normales
Integrantes:Integrantes:Patricio Córdova Patricio Córdova
Pablo Ruiz Pablo Ruiz Marcelo MontalvoMarcelo Montalvo
Distribuciones Binomiales y Distribuciones Binomiales y NormalesNormales
Proceso de Bernoulli, Distribucion Binomial.Proceso de Bernoulli, Distribucion Binomial.
Considere un experimento E con dos resultados solamente, uno Considere un experimento E con dos resultados solamente, uno denominado: éxito (S) y el otro denominado fracaso (F). Sea p la denominado: éxito (S) y el otro denominado fracaso (F). Sea p la probabilidad de éxito en un experimento E y sea probabilidad de éxito en un experimento E y sea q= 1 – p.q= 1 – p. Ensayos Ensayos repetidos independientes de un experimento como el proceso de repetidos independientes de un experimento como el proceso de Bernoulli con dos resultados, se denomina: Pruebas de Bernoulli.Bernoulli con dos resultados, se denomina: Pruebas de Bernoulli.
B(n,p)B(n,p) representa un experimento con representa un experimento con nn ensayos y una ensayos y una probabilidad probabilidad pp de éxito. de éxito.
La probabilidad de obtener exactamente La probabilidad de obtener exactamente kk exitos en experimento exitos en experimento binomial B(n,p) esta dado por:binomial B(n,p) esta dado por:
P (k)= P (k éxitos)= P (k)= P (k éxitos)= knkqpk
n −
),;( pnkb⇒
Propiedades:Propiedades:
1.- Media o numero esperado de éxitos. 1.- Media o numero esperado de éxitos.
2.- Varianza. 2.- Varianza.
3.- Desviación Estándar.3.- Desviación Estándar.
np=µ
npq=σ
npq=σ
Ejemplos:Ejemplos: Se lanza una moneda equilibrada 6 veces; sea el resultado cara un Se lanza una moneda equilibrada 6 veces; sea el resultado cara un
éxito. Encuentre la probabilidad de que: éxito. Encuentre la probabilidad de que: Ocurra exactamente dos carasOcurra exactamente dos caras Ocurra al menos cuatro caras.Ocurra al menos cuatro caras. Ocurra al menos una cara.Ocurra al menos una cara.
6,5,4,3,2,1,02
12
1
=
=
=
x
q
p
64
15
2
115)2(
2
1
2
1
2
6)2(
62)
6
42
=
=
=
=→=
P
P
nka
32
1164
1
32
3
64
15)6()5()4(
6,5,4)
=
++=++
=
PPP
kb
{ }{ }
64
63)(
64
11)(
64
1
2
1
2
1
0
6)(
0
6,5,4,3,2,1)
60
=⇒−=
=
=
=
=
APAP
AP
A
Ac
c
c
Suponga que el 20% de los artículos producidos por una fabrica Suponga que el 20% de los artículos producidos por una fabrica están defectuosos. Se selecciona 4 artículos al azar. Encuentre están defectuosos. Se selecciona 4 artículos al azar. Encuentre la probabilidad de que:la probabilidad de que:
Dos estén defectuosos.Dos estén defectuosos. Tres estén defectuosos.Tres estén defectuosos.
{ }4
4,3,2,1,0
80.0
20.0
=
==
n
x
q
p ( ) ( )
%151536.0)2(
)64.0)(04.0(6)2(
80.020.02
4)2(
2.)
22
⇒==
=
=
P
P
P
ka
( ) ( )
%56.2025.0)3(
)80.0)(008.0(4)3(
80.020.03
4)3(
3.)
13
⇒==
=
=
P
P
P
kb
Distribución Normal (Gauss)Distribución Normal (Gauss) Sea x una variable aleatoria en un Sea x una variable aleatoria en un
espacio muestral infinito S, donde espacio muestral infinito S, donde {a<=x<=b} es un evento del {a<=x<=b} es un evento del espacio muestral S.espacio muestral S.
Condiciones:Condiciones:
∫
∫
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−=
=
=≤≤
=
≥
dxxfxxVar
xxfxE
dxxfbxaP
dxxf
xf
b
a
)()()(
)()(
)()(.)3
1)(.)2
0)(.)1
2µ
Se dice que una variable aleatoria Se dice que una variable aleatoria x esta normalmente distribuida si x esta normalmente distribuida si su función de densidad o de su función de densidad o de probabilidad f(x) tienen la probabilidad f(x) tienen la siguiente forma:siguiente forma:
( )22
,2
1exp
2
1)( σµ
σµ
σπN
xxf =
−−=
Suponga que x esta distribuida normalmente La variable aleatoria estandarizada esta definida por
),( 2σµNx ≈
σµ−= xz