Distribuciones continuas. La distribución...

Distribuciones continuas.

La distribucin Normal.

Matemticas CSSS II

Cuaderno de ejercicios MATEMTICAS JRM

Nombre y apellidos ......

Distribuciones continuas. La distribucin normal Pgina 2


OBJETIVOS

1. Variables aleatorias continuas. Funcin de densidad.

OBJETIVO 1. Conocer los siguientes conceptos relacionados:

Variable Aleatoria Continua.

Funcin de densidad de una V.A.C.

Clculo de probabilidades para una V.A.C.

2. Variables aleatorias continuas con distribucin normal. Campanas de Gauss.

OBJETIVO 2. Conocer la expresin analtica, la grfica y las caractersticas de las funciones de densidad de las distribuciones normales.

3. Clculo de probabilidades en la distribucin normal estndar. Tabla tipificada.

OBJETIVO 3. Saber utilizar la tabla tipificada de la distribucin N(0 ; 1) para calcular probabilidades de dicha variable.

4. Niveles de confianza y valores crticos en la distribucin normal estndar.

OBJETIVO 4. Conocer el concepto de nivel de confianza y saber utilizar la tabla tipificada de la distribucin N(0 ; 1) para calcular el valor crtico correspondiente.

5. Clculo de probabilidades en otras distribuciones normales. Tipificacin.

OBJETIVO 5. Conocer el proceso de tipificacin de una variable normal para calcular probabilidades y abcisas de dicha variable, utilizando la tabla tipificada.

Si la variable X sigue una distribucin , entonces la variable

sigue una distribucin

normal tipificada:

6. Ajuste de una variable estadstica continua a una distribucin normal.

OBJETIVO 6. Utilizar los datos correspondientes a una muestra aleatoria de una variable estadstica X, para decidir si la variable se ajusta o no a una distribucin normal y en caso afirmativo realizar el ajuste:

7. Aproximacin de una binomial por una normal.

OBJETIVO 7. Conocer y saber aplicar el teorema de Moivre (Abraham de Moivre 1667-1754) sobre la aproximacin de una variable estadstica binomial mediante una normal:

cuando


1. Variables aleatorias continuas. Funcin de densidad.

OBJETIVO 1. Conocer los siguientes conceptos relacionados:

Variable Aleatoria Continua. Recorrido. Funcin de densidad de una V.A.C. Clculo de probabilidades para una V.A.C.

Variables aleatorias continuas.

Una variable aleatoria continua es una variable X que toma aleatoriamente cualquiera de los infinitos valores de un

intervalo (a, b). Dicho intervalo se denomina recorrido de la variable X. Para definir la distribucin de probabilidad de la

variable X sobre los infinitos valores del intervalo (a, b) se utiliza una funcin f(x), denominada funcin de densidad de

X, que cumple los dos siguientes requisitos:

1.

2. El rea que encierra la grfica de sobre el intervalo vale 1.

Con una funcin de densidad podemos calcular las probabilidades relacionadas con la variable X:

Ejemplo Cierta variable aleatoria X puede tomar todos los valores comprendidos entre X=0 y X=5. En la figura adjunta se ha representado la grfica de su funcin de densidad .

La funcin f(x) es una funcin de densidad porque es positiva en el intervalo (0, 5) y el rea que encierra con el recorrido de X es 1.

La probabilidad es el valor correspondiente a la superficie sombreada:


Ejercicio 1.1. Cierta variable aleatoria X puede tomar todos los valores comprendidos entre X=2 y X=4. En la figura adjunta se ha representado la grfica de su funcin de densidad .

1. Justifica si f(x) es una funcin de densidad. 2. Calcula las siguientes probabilidades:

a. b.

Solucin: 1. f(x) si es una funcin de densidad porque cumple los dos requisitos necesarios. 2. y

Ejercicio 1.2. Cierta variable aleatoria X puede tomar todos los valores comprendidos entre X=0 y X=5. En la figura adjunta se ha representado la grfica de su funcin de densidad .


a. b.

Solucin:

1. f(x) si es una funcin de densidad porque cumple los dos requisitos necesarios. 2. y


Ejercicio 1.3. Cierta variable aleatoria X puede tomar todos los valores comprendidos entre X=0 y X=7. En la figura adjunta se ha representado la grfica de su funcin de densidad


a. b.

Solucin: 3. f(x) si es una funcin de densidad porque cumple los dos requisitos necesarios. 4. y

Ejercicio 1.4. Cierta variable aleatoria X puede tomar todos los valores comprendidos entre X=-10 y X=10. En la figura adjunta se ha representado la grfica de su funcin de densidad .


a. b.

Solucin:

3. f(x) si es una funcin de densidad porque cumple los dos requisitos necesarios. 4. y


Ejercicio 1.5.

Dada la funcin {

1. Represntala grficamente 2. Comprueba que f(x) es una funcin de densidad.

3. Halla (

)

Solucin


2. Variables aleatorias continuas con distribucin normal. Campanas de Gauss.

OBJETIVO 2. Conocer la expresin analtica la grfica y las caractersticas de las funciones de densidad de las distribuciones normales.

Diremos que una variable estadstica X, cuantitativa y continua, sigue una distribucin normal de media y desviacin cuando su funcin de densidad sea:

(

)

En ese caso escribiremos: Estas funciones , denominadas campanas de Gauss, cumplen las siguientes caractersticas:

Estn definidas en todo R:

Son funciones de densidad, es decir, son positivas y encierran un rea total igual a 1.

Son simtricas respecto a la media , punto en el que alcanzan su mximo.

Tienen dos nicos puntos de inflexin, en

En el intervalo se encuentra el 99,9% de la distribucin (las ramas tocan abcisas)

El aumento de la desviacin achata la campana y dispersa los datos respecto a la media.

Por qu estudiamos estas funciones de densidad?

Porque muchas variables estadsticas reales del mundo de la economa, la sociologa, la medicina y otras ciencias se distribuyen siguiendo un comportamiento similar a las campanas de Gauss. De este modo, podemos aproximar el comportamiento de esas variables reales al modelo matemtico que nos ofrecen estas funciones.


Ejercicio 2.1.

1. Escribe la expresin analtica de la funcin de densidad de la distribucin normal 2. Determina la abcisa de su mximo, de sus puntos de inflexin y del intervalo que encierra el 99,9% de la

distribucin. 3. Utiliza la calculadora para hallar el valor aproximado que alcanza su mximo. 4. Representa la grfica de esa funcin de densidad.

Ejercicio 2.2.

1. Determina qu distribucin normal sigue una variable aleatoria continua X cuya funcin de densidad tiene la

expresin analtica siguiente:

(

)

2. Determina la abcisa de su mximo, de sus puntos de inflexin y del intervalo que encierra el 99,9% de la distribucin.

3. Utiliza la calculadora para hallar el valor aproximado que alcanza su mximo. 4. Representa la grfica de esa funcin de densidad.


Ejercicio 2.3. Cada una de las siguientes grficas se corresponde a la funcin de densidad de una variable aleatoria normal.

1. Determina justificadamente la media de cada una de ellas y su varianza aproximada. 2. Escribe la expresin analtica de cada una de estas funciones de densidad.

A) B) C)

Ejercicio 2.4. Cada una de las siguientes grficas se corresponde a la funcin de densidad de una de las siguientes distribuciones normales: Determina justificadamente cul corresponde a cada una de ellas.

A) B) C)


Ejercicio 2.5.

En una ciudad se estima que la temperatura mxima X en el mes de junio sigue una distribucin normal, con media de 23 y desviacin tpica de 3. 1. Determina justificadamente cul de estas funciones de densidad corresponde a esa distribucin.

A)

(

)

B)

(

)

C)

(

)

2. Determina cul es la grfica de esta distribucin y sombrea en ella la superficie correspondiente a la probabilidad de que la temperatura mxima est entre 25 y 28.

Ejercicio 2.6.

Las tallas de los recin nacidos se distribuyen normalmente con una media de 50 cm y una desviacin tpica de 5 cm.

1. Determina justificadamente cul de estas funciones de densidad corresponde a esa distribucin.

A)

(

)

B)

(

)

C)

(

)

2. Determina cul es la grfica de esta distribucin y sombrea en ella la superficie correspondiente a la probabilidad de que la talla de un nio recin nacido sea mayor que 56cm.


3. Clculo de probabilidades en la distribucin normal estndar. Tabla tipificada.

OBJETIVO 3. Saber utilizar la tabla valores de la distribucin N(0 ; 1) para calcular probabilidades de dicha variable.

La probabilidad para la distribucin normal tipificada Z = N(0 ; 1) est tabulada, lo que nos permite realizar clculos con esta distribucin de forma sencilla. Adems, cualquier otra distribucin normal puede modificarse de modo que se pueda utilizar la distribucin normal para calcular sus probabilidades (en un proceso denominado tipificacin o normalizacin, que estudiaremos ms adelante)

Colas principales: Colas complementarias:

Colas simtricas: Colas complementarias:


Ejercicio 3.1. Colas principales. Para k positivo,

A) Calcula la siguiente probabilidad y representa la correspondiente superficie.

B) Calcula la siguiente probabilidad y representa la correspondiente superficie.

C) Calcula la siguiente probabilidad y representa la correspondiente superficie.


Ejercicio 3.2. Colas complementarias de las principales. Para k positivo,





Ejercicio 3.3. Colas simtricas de las principales. Para k negativo,





Ejercicio 3.4. Colas simtricas de las complementarias. Para k negativo,





Ejercicio 3.5. Intervalos: Para a < b,

A) Calcula la probabilidad y representa la correspondiente superficie.

B) Calcula la probabilidad y representa la correspondiente superficie.


C) Calcula la probabilidad y representa la correspondiente superficie.

D) Calcula la probabilidad y representa la correspondiente superficie.


E) Calcula la probabilidad y representa la correspondiente superficie.

F) Calcula la probabilidad y representa la correspondiente superficie.


4. Clculo de valores crticos.

OBJETIVO 4. Saber calcular el valor crtico correspondiente a cualquier cola y a cualquier intervalo simtrico.

1. Colas a la izquierda del valor crtico.

Para una probabilidad conocida, queremos calcular el valor crtico que cumple la igualdad ( )

Si la probabilidad p es mayor que 0,5

Si la probabilidad p es menor que 0,5

es positivo y se encuentra e directamente en la tablas. es negativo y encontramos en las tablas el valor positivo que

cumple ( )

2. Colas a la derecha del valor crtico.

Para una probabilidad conocida queremos calcular el valor crtico que cumple la igualdad ( )



es negativo y encontramos en las tablas el valor positivo que

cumple ( )

es positivo y lo encontramos en las tablas cumpliendo que

( )

3. Intervalos simtricos. Para una probabilidad conocida, que este caso se denomina nivel de confianza, queremos calcular el valor crtico

que cumple la igualdad (

)

es positivo y lo encontramos en las tablas cumpliendo que

( )


Ejercicio 4.1. Calcula el valor crtico que cumple la siguiente igualdad: ( )

1. La superficie a sombrear est a la izquierda del valor y

mide ms de 0,5 luego es un valor positivo.

2. Representamos un valor aproximado y su

correspondiente superficie. Como es una cola principal, buscamos 0,7910 directamente en la tabla:

Por tanto,

Solucin:


Solucin:



Solucin:


Solucin:


Ejercicio 4.5. Calcula el valor crtico que cumple la siguiente igualdad: (

)

Solucin:

Ejercicio 4.6. Calcula el valor crtico que cumple la siguiente igualdad:

Solucin:



Solucin:


Solucin:


5. Clculo de probabilidades y abcisas en otras distribuciones normales. Tipificacin.

OBJETIVO 4. Conocer el proceso de tipificacin de una variable normal para calcular probabilidades y abcisas de dicha variable, utilizando la tabla tipificada.


sigue una distribucin

normal tipificada:

Proceso de tipificacin.

Las propiedades algebraicas de las variables aleatorias nos permiten asegurar la siguiente afirmacin:


sigue una distribucin normal tipificada:

Este resultado es muy prctico a la hora de calcular probabilidades de una distribucin normal puesto que:

(

)

El proceso de restar su propia media a una variable normal y a la variable resultante dividirla por

su propia varianza, para obtener la variable

, se conoce con el nombre de tipificacin o normalizacin de la

variable X.

Ejemplo. (PAU) La duracin media de un lavavajillas es de 15 aos, con una desviacin

tpica igual a 0,5 aos. Si la vida til del electrodomstico se distribuye normalmente,

halla la probabilidad de que al comprar un lavavajillas, este dure ms de 16 aos.

Solucin

P(El lavavajillas dure ms de 16 aos)

(

)

0.0228


Ejercicio 5.1. (PAU) Una mquina produce recipientes cuyas capacidades siguen una distribucin N(10; 0,1). Un fabricante considera que un recipiente es defectuoso si su capacidad no est entre 9,9 y 10,1. Qu probabilidad tiene un recipiente de ser considerado defectuoso?

Solucin

Ejercicio 5.2. (PAU) Las precipitaciones anuales en una regin son, en media, de 2000 L/m2, con una desviacin tpica de 300 L/m2 . Suponiendo que el volumen anual de precipitaciones por metro cuadrado sigue una distribucin normal, calcula la probabilidad de que un ao determinado la lluvia no supere los 1200 L/m2 Solucin


Ejercicio 5.3. (PAU) Las tallas de 800 recin nacidos se distribuyen normalmente con una media de 50 cm y una desviacin tpica de 5cm. Calcula cuntos recin nacidos cabe esperar con tallas comprendidas entre 47 y 52 cm. Solucin

Ejercicio 5.4. (PAU) Segn las informaciones mdicas actuales, el nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribucin normal centrada en el valor 192 y con una desviacin tpica de 12 unidades. Cul es la probabilidad de que una persona adulta sana tenga un nivel de colesterol inferior a 186 unidades? Solucin


Ejercicio 5.5. (PAU) En una ciudad se estima que la temperatura mxima en el mes de junio sigue una distribucin normal, con media de 23 y desviacin tpica de 5. Calcula el nmero de das del mes de julio en los que se espera alcanzar mximas entre 21o y 27o. Solucin

Ejercicio 5.6. (PAU) Los pesos de los habitantes adultos de una ciudad se distribuyen

normalmente con media de 75 kg y desviacin tpica de 4 kg.

a) Cul ser la probabilidad de que el peso de un habitante de esa ciudad

est entre 61 y 83 kg?

b) Qu probabilidad hay de que una persona de esa ciudad pese ms de 105

kg?

Solucin


Ejercicio 5.7. (PAU) Las alturas, expresadas en centmetros, de un colectivo de 300

estudiantes se distribuyen segn la distribucin normal con una media de 160 y

una desviacin tpica de 20.

a) Calcula cuantos estudiantes del grupo miden menos de 170.

b) Qu porcentaje de alumnos mide ms de 140?

Solucin

Ejercicio 5.8. (PAU) Las puntuaciones de un grupo de 500 alumnos en una prueba de

razonamiento numrico se distribuyen normalmente con una media de 5 y una

desviacin tpica de 2.

a) Qu porcentaje de alumnos obtiene una nota inferior a 9? Cuntos

alumnos son?

b) Cuntos alumnos tienen una puntuacin mayor de 3?

Solucin


Ejercicio 5.9. (PAU) Alfonso es un estudiante de Bachillerato que va andando desde su casa al

instituto todos los das. El tiempo que tarda en recorrer ese trayecto es una variable normal

con media de 14 minutos y desviacin tpica de 2,5 minutos.

a) Cul es la probabilidad de que tarde ms de 20 minutos en ir desde su casa al centro?

b) Alfonso sale siempre de su casa a las 8:45. Qu porcentaje de das llegar ms tarde

de las 9:00.

Solucin

Ejercicio 5.10. (PAU) El peso medio de los estudiantes de un colegio es de 60 kg, y la

desviacin tpica es de 6 kg. Suponiendo que los pesos estn normalmente

distribuidos:

a) Cul es la probabilidad de que un estudiante pese menos de 64 kg?

b) Cul es la probabilidad de que un estudiante pese 57 kg o ms?

c) Si los estudiantes son 200, cuntos cabe esperar que pesen ms de 57 kg

y menos de 64?

Solucin


Ejercicio 5.11. Una compaa de autobuses realiza un estudio sobre el nmero de

veces que semanalmente utilizan el autobs los usuarios. Se sabe que los datos

siguen una distribucin normal N(10, 3). Calcula la probabilidad de que un

usuario utilice el autobs:

a) Ms de 11 veces.

b) Menos de 8 veces.

Solucin

Ejercicio 5.12. Supn que en cierta poblacin peditrica, la presin sistlica de la sangre

en reposo se distribuye normalmente con media de 115 mmHg y desviacin tpica de 15

mmHg.

a) Halla la probabilidad de que un nio elegido al azar en esta poblacin tenga

presin sistlica superior a 145 mmHg.

b) Qu porcentaje de los nios tendr una presin superior a 105 mmHg e inferior

a 125mmHg de los nios?

Solucin


Ejercicio 5.13. (PAU)

Una variable aleatoria X sigue una distribucin normal de media 4 y varianza 9. 1. Calcula 2. Encuentra un valor tal que

Solucin

Solucin


La longitud de cierto tipo de peces sigue la distribucin normal de la figura, en la que la varianza es de 81 mm. Cul es la probabilidad de que uno de esos peces mida entre 82 y 91 mm?

Solucin

Solucin


6. Ajuste de una variable estadstica continua a una distribucin normal.

OBJETIVO 5. Utilizar los datos correspondientes a una muestra aleatoria de una variable estadstica X, para decidir si la variable se ajusta o no a una distribucin normal y en caso afirmativo realizar el ajuste:

Si los datos aleatorios de una variable estadstica X continua cumplen las siguientes propiedades:

1. Se distribuyen de forma simtrica en torno a la media . 2. Se distribuyen de forma creciente hasta la media y decreciente a partir de la media, con una desviacin .

Entonces, diremos que la variable X sigue una distribucin normal y realizaremos el ajuste: , donde son la media y la desviacin de la muestra.

Es decir, para que X sea normal, su histograma de frecuencias relativas deber tener la siguiente forma:

La funcin de densidad de la variable es la curva que aproxima la distribucin emprica de X

El histograma de las frecuencias relativas confirma que los datos se distribuyen de forma simtrica en torno a la media y adems lo hacen de forma creciente para datos inferiores a la media y decreciente para datos superiores a la media.

La expresin analtica de la funcin de densidad de la

variable normal es:

(

)


Ejemplo 1. Con el nimo de conocer la estatura de las chicas adolescentes espaolas se realiza un estudio en el que se toma la altura de una muestra aleatoria de 800 chicas. Los datos obtenidos se agrupan en 9 intervalos y se completa una tabla de frecuencias y parmetros. Representamos el histograma de las frecuencias relativas para justificar si la variable

estadstica X= Altura de las chicas adolescentes sigue una distribucin normal o no.

En caso afirmativo, calculamos la media y la desviacin de la muestra, para realizar el ajuste:

Puntos encestados

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

N de partidos

8 40 80 176 216 160 80 24 16

El histograma de las frecuencias relativas confirma que los datos se distribuyen de forma simtrica en torno a la media y adems lo hacen de forma creciente para datos inferiores a la media y decreciente para datos superiores a la media,

por tanto, X sigue una distribucin normal:

Ejemplo 2. Un jugador de baloncesto cree que su regularidad no es normal y decide hacer un estudio estadstico. Para ello recoge las puntuaciones obtenidas en cada uno de sus ltimos 40 partidos y los agrupa en 7 intervalos. Las frecuencias absolutas de esos intervalos se recogieron en la tabla adjunta.

Puntos encestados

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

N de partidos

6 6 4 10 8 4 2

La tabla de frecuencias relativas muestra que la variable X NO es normal:


Ejercicio 6.1. Para conocer el peso de los alumnos varones de Educacin Secundaria Obligatoria se ha realizado un muestreo a 500 estudiantes de esa etapa. Los pesos muestreados se agruparon en cinco

intervalos y las frecuencias absolutas de cada intervalo se recogieron en la siguiente tabla:

Pesos (kg) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Frecuencias 55 100 200 100 45

1. Completa la tabla de frecuencias y calcula la media y la desviacin tpica. 2. Representa el histograma de las frecuencias relativas. 3. Justifica si la variable estadstica X= Peso de los alumnos varones de ESO sigue una

distribucin normal y, en caso afirmativo, indica cul.

Solucin

1. Tabla de frecuencias. Media y desviacin tpica.

[ ] x f r % xf x2f

[50-54) 52 55 0,11 11% 2860 148720

[54-58) 56 100 0,2 20% 5600 313600

[58-62) 60 200 0,4 40% 12000 720000

[62-66) 64 100 0,2 20% 6400 409600

[66-70] 68 45 0,09 9% 3060 208080

500 1 29920 1800000

2. Histograma de frecuencias relativas.

3. Anlisis de la normalidad de la variable X.


Ejercicio 6.2. Se ha preguntado a 300 nios y nias que cogen el autobs para ir al colegio, cuntos minutos esperan en la parada. Los resultados obtenidos se han agrupado en siete intervalos y las frecuencias absolutas de cada intervalo se recogieron en la siguiente tabla:

Minutos de espera

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Frecuencias 6 36 66 84 66 36 6

1. Completa la tabla de frecuencias y calcula la media y la desviacin tpica. 2. Representa el histograma de las frecuencias relativas.

3. Justifica si la variable estadstica X= Minutos de espera por el autobs sigue una distribucin normal y, en caso afirmativo, indica cul.

Solucin


[ ] x f r % xf x2f

[0 - 1) 0,5 6 0,02 2% 3 1,5

[1 - 2) 1,5 36 0,12 12% 54 81

[2 - 3) 2,5 66 0,22 22% 165 412,5

[3 - 4) 3,5 84 0,28 28% 294 1029

[4 - 5) 4,5 66 0,22 22% 297 1336,5

[5 - 6) 5,5 36 0,12 12% 198 1089

[6 - 7] 6,5 6 0,02 2% 39 253,5

300 1 1050 4203




Ejercicio 6.3. Se ha realizado una encuesta a 200 personas para conocer las horas diarias de TV que consumen los espaoles. Los resultados obtenidos se agruparon en nueve intervalos y las frecuencias absolutas de cada intervalo se recogieron en la tabla adjunta.


3. Justifica si la variable estadstica X= Horas diarias de TV sigue una distribucin normal y, en caso afirmativo, indica cul.

Horas de TV

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Frecuencias 2 8 26 40 44 38 26 12 4

Solucin


[ ] x f r % xf x2f

[0 - 0.5) 0,25 2 0,01 1% 0,5 0,125

[0.5 - 1) 0,75 8 0,04 4% 6 4,5

[1 - 1.5) 1,25 26 0,13 13% 32,5 40,625

[1.5 - 2) 1,75 40 0,2 20% 70 122,5

[2 - 2.5) 2,25 44 0,22 22% 99 222,75

[2.5 - 3) 2,75 38 0,19 19% 104,5 287,375

[3 - 3.5] 3,25 26 0,13 13% 84,5 274,625

[3.5 - 4) 3,75 12 0,06 6% 45 168,75

[4 - ) 4,25 4 0,02 2% 17 72,25

200 1 459 1193,5




Ejercicio 6.4. Se ha hecho un estudio sobre la vida media de un lavavajillas estudiando una muestra aleatoria de 400 modelos diferentes. Los resultados obtenidos se agruparon en 11 intervalos y las frecuencias absolutas de cada intervalo se recogieron en la tabla adjunta.


3. Justifica si la variable estadstica X= Aos de vida de un lavavajillas sigue una distribucin normal y, en caso afirmativo, indica cul.

Aos del lavavajillas

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Frecuencias 4 8 24 52 72 84 72 48 24 8 4

Solucin


[ ] x f r % xf x2f

[0 - 1) 0,5 4 0,01 1% 2 1

[1 - 2) 1,5 8 0,02 2% 12 18

[2 - 3) 2,5 24 0,06 6% 60 150

[3 - 4) 3,5 52 0,13 13% 182 637

[4 - 5) 4,5 72 0,18 18% 324 1458

[5 - 6) 5,5 84 0,21 21% 462 2541

[6 - 7] 6,5 72 0,18 18% 468 3042

[7 - 8) 7,5 48 0,12 12% 360 2700

[8 - 9) 8,5 24 0,06 6% 204 1734

[9 - 10) 9,5 8 0,02 2% 76 722

[10 - 11] 10,5 4 0,01 1% 42 441

400 1 2192 13444




Ejercicio 6.5. Se han recogido las ltimas 100 calificaciones que ha puesto una profesora de Matemticas a sus alumnos y alumnas. Dichas notas se agruparon en 10 intervalos y las frecuencias absolutas de cada intervalo se recogieron en la tabla adjunta.


3. Justifica si la variable estadstica X= Calificaciones de la profe de mates sigue una distribucin normal y, en caso afirmativo, indica cul.

Calificaciones [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Frecuencias 3 5 10 14 20 20 14 8 5 1

Solucin


[ ] x f r % xf x2f

[0 - 1) 0,5 3 0,03 3% 1,5 0,75

[1 - 2) 1,5 5 0,05 5% 7,5 11,25

[2 - 3) 2,5 10 0,1 10% 25 62,5

[3 - 4) 3,5 14 0,14 14% 49 171,5

[4 - 5) 4,5 20 0,2 20% 90 405

[5 - 6) 5,5 20 0,2 20% 110 605

[6 - 7] 6,5 14 0,14 14% 91 591,5

[7 - 8) 7,5 8 0,08 8% 60 450

[8 - 9) 8,5 5 0,05 5% 42,5 361,25

[9 - 10) 9,5 1 0,01 1% 9,5 90,25

100 1 486 2749




Ejercicio 6.6. Se han recogido las ltimas 200 calificaciones que ha puesto un profesor de Educacin Fsica a sus alumnos y alumnas. Dichas notas se agruparon en 10 intervalos y las frecuencias absolutas de cada intervalo se recogieron en la tabla adjunta.


3. Justifica si la variable estadstica X= Calificaciones del profe de E. F. sigue una distribucin normal y, en caso afirmativo, indica cul.

Calificaciones [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Frecuencias 4 6 10 16 16 28 40 30 28 22

Solucin


[ ] x f r % xf x2f

[0 - 1) 0,5 4 0,02 2% 2 1

[1 - 2) 1,5 6 0,03 3% 9 13,5

[2 - 3) 2,5 10 0,05 5% 25 62,5

[3 - 4) 3,5 16 0,08 8% 56 196

[4 - 5) 4,5 16 0,08 8% 72 324

[5 - 6) 5,5 28 0,14 14% 154 847

[6 - 7] 6,5 40 0,2 20% 260 1690

[7 - 8) 7,5 30 0,15 15% 225 1687,5

[8 - 9) 8,5 28 0,14 14% 238 2023

[9 - 10) 9,5 22 0,11 11% 209 1985,5

200 1 1250 8830




Ejercicio 6.7. Una empresa fabrica miles de tornillos y tiene que garantizar cierta precisin en el dimetro

de su rosca. Para hacer el control de calidad se toma una muestra aleatoria de 200 tornillos y se mide su

dimetro, en milmetros. Los resultados obtenidos se presentan en la siguiente tabla de frecuencias

absolutas:

Dimetro (mm)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Frecuencias 10 54 72 56 8

1. Completa la tabla de frecuencias y calcula la media y la desviacin tpica. 2. Representa el histograma de las frecuencias relativas. 3. Justifica si la variable estadstica X= Dimetro de los tornillos sigue una distribucin

normal y, en caso afirmativo, indica cul.

Solucin


[ ] x f r % xf x2f

[11,9-12,1) 12 10 0,05 5 120 1440

[12,1-12,3) 12,2 54 0,27 27 658,8 8037,36

[12,3-12,5) 12,4 72 0,36 36 892,8 11070,7

[12,5-12,7) 12,6 56 0,28 28 705,6 8890,56

[12,7-12,9] 12,8 8 0,04 4 102,4 1310,72

200 1 2479,6 30749,4




Ejercicio 6.8. Para conocer la velocidad de conexin a cierta pgina web se ha medido el tiempo en segundos que han tardado en conectarse 1000 usuarios que queran acceder a ella. Los datos se muestran en la tabla de frecuencias absolutas:


3. Justifica si la variable estadstica X= Tiempo necesario para conectarse sigue una distribucin normal y, en caso afirmativo, indica cul.

Tiempo (segundos)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

N de usuarios

250 240 200 150 100 50 10

Solucin


[ ] x f r % xf x2f

[0 - 30) 15 250 0,25 25% 3750 56250

[30 - 60) 45 240 0,24 24% 10800 486000

[60 - 90) 75 200 0,2 20% 15000 1125000

[90 - 120) 105 150 0,15 15% 15750 1653750

[120 - 150) 135 100 0,1 10% 13500 1822500

[150 - 180) 165 50 0,05 5% 8250 1361250

[180 - 210] 195 10 0,01 1% 1950 380250

1000 1 69000 6885000




Ejercicio 6.9. Con el nimo de conocer la estatura de las chicas adolescentes espaolas se realiza un estudio en el que se toma la altura de una muestra aleatoria de 800 chicas. Los datos obtenidos se agrupan en 9 intervalos. Las frecuencias absolutas de esos intervalos se recogieron en la tabla adjunta.


3. Justifica si la variable estadstica X= Altura de las chicas adolescentes sigue una distribucin normal y, en caso afirmativo, indica cul.

Puntos encestados

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

N de partidos

8 40 80 176 216 160 80 24 16

Solucin 1. Tabla de frecuencias. Media y desviacin tpica.

[ ] x f r % xf x2f

[138 - 142) 140 8 0,01 1% 1120 156800

[142 - 146) 144 40 0,05 5% 5760 829440

[146 - 150) 148 80 0,1 10% 11840 1752320

[150 - 154) 152 176 0,22 22% 26752 4066304

[154 - 158) 156 216 0,27 27% 33696 5256576

[158 - 162) 160 160 0,2 20% 25600 4096000

[162 - 166] 164 80 0,1 10% 13120 2151680

[166 - 170) 168 24 0,03 3% 4032 677376

[170 - 174] 172 16 0,02 2% 2752 473344

800 1 124672 19459840




Ejercicio 6.10. Un jugador de baloncesto cree que su regularidad no es normal y decide hacer un estudio estadstico. Para ello recoge las puntuaciones obtenidas en cada uno de sus ltimos 40 partidos y los agrupa en 7 intervalos. Las frecuencias absolutas de esos intervalos se recogieron en la tabla adjunta.


3. Justifica si la variable estadstica X= Puntuacin en cada partido sigue una distribucin normal y, en caso afirmativo, indica cul.

Puntos encestados

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

N de partidos

6 6 4 10 8 4 2

Solucin 1. Tabla de frecuencias. Media y desviacin tpica.

[ ] x f r % xf x2f

[0 - 5) 2,5 6 0,15 15% 15 37,5

[5 - 10) 7,5 6 0,15 15% 45 337,5

[10 - 15) 12,5 4 0,1 10% 50 625

[15 - 20) 17,5 10 0,25 25% 175 3062,5

[20 - 25) 22,5 8 0,2 20% 180 4050

[25 - 30) 27,5 4 0,1 10% 110 3025

[30 - ] 32,5 2 0,05 5% 65 2112,5

40 1 640 13250




7. Aproximacin de una binomial por una normal.

OBJETIVO 6. Conocer y saber aplicar el teorema de Moivre (Abraham de Moivre 1667-1754) sobre la aproximacin de una variable estadstica binomial mediante una normal:

cuando

Teorema de Moivre (Aproximacin de una Binomial por una normal) El matemtico francs Abraham de Moivre (1667-1754) demostr que si una variable estadstica discreta X sigue una distribucin

binomial y se cumplen las condiciones entonces, se puede realizar una aproximacin por

la distribucin normal

Correccin por continuidad.

Como la binomial es discreta y la normal es continua, al calcular probabilidades

aproximadas habr que introducir una correccin por continuidad de que aumente el intervalo:

Ejemplo

Un examen consta de 300 preguntas de tipo test, con cuatro posibles respuestas cada una, de las cuales solo una es correcta. Un opositor, que no ha estudiado nada responde al azar. Qu probabilidad tiene de contestar correctamente 150 preguntas o menos?

Solucin

Si llamamos X= Nmero de respuestas acertadas tendremos que y como se cumplen las dos condiciones de Moivre:

podemos aproximar la variable binomial por la variable normal , es decir, por la normal

Por tanto: P( Contestar correctamente 150 preguntas o menos) = (

)

(Es seguro que contesta correctamente menos de la mitad)



En un examen tipo test de 200 preguntas de eleccin mltiple, cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contestan ms de 110 respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcula la probabilidad de aprobar el examen.

Solucin


La probabilidad de que determinadas piezas de una mquina sean defectuosas es del 6%. En un almacn se han recibido 2000 piezas. a) Cuntas habr defectuosas por trmino medio? b) Cul ser la desviacin tpica? c) Cul es la probabilidad de que haya ms de 150 piezas defectuosas en esa partida?

Solucin



La probabilidad de que un golfista haga hoyo en un cierto tipo de lanzamiento es de 0,2. Si hiciera 10000 lanzamientos y su capacidad de acierto se mantuviera (ni aumentara por la prctica ni disminuyera por el cansancio), qu probabilidad habra de que acertase ms de 2080 veces?

Solucin


Se sabe que la vacuna antitetnica produce fiebre como efecto secundario en el 0,1% de los casos. a) Calcula la probabilidad de que en un conjunto de 3.000 personas vacunadas se produzca fiebre en, al menos, 4 casos. b) Calcula la probabilidad de que en un total de 25.000 personas vacunadas se den ms de 20 casos de fiebre.

Solucin



Despus de realizar varios sondeos sobre cierta poblacin, se ha conseguido averiguar que nicamente el 15% de la misma es favorable a los tratamientos de psicoterapia. Elegida al azar una muestra de 50 personas de dicha poblacin, se desea saber: a) La probabilidad de que haya ms de 5 personas favorables a dichos tratamientos. b) La probabilidad de que a lo sumo haya 6 personas favorables.

Solucin


Se ha realizado una encuesta sobre una poblacin de escasa cultura, de la que solo un 15% ha ledo ms de tres libros. Elegida al azar una muestra de 60 personas, calcula: a) La probabilidad de que haya ms de cinco personas que han ledo ms de tres libros. b) La probabilidad de que como mximo haya seis personas que han ledo ms de tres libros. Solucin



Se estima que uno de cada cuatro individuos de una zona tiene determinada enfermedad. Si se toma una muestra al azar de 120 individuos, halla: a) El nmero esperado de individuos enfermos. b) La probabilidad de que existan ms de 52 individuos enfermos. c) La probabilidad de que el nmero de individuos enfermos sea, como mximo, igual a 46.

Solucin


Si se extrae una carta al azar 500 veces seguidas de una baraja de naipes espaoles, a) Cul es la probabilidad de obtener un rey en 50 ocasiones o ms? b) Cul es la probabilidad de obtener un rey en 20 ocasiones o menos?

Solucin

Distribuciones continuas. La distribución...

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