Estadística y Probabilidad I

Distribuciones de Frecuencia

Ciclo escolar 2014-2015

Datos sueltos.

• Se les llama datos sueltos a los datos recolectados que no han sido organizados numéricamente.

• Un ejemplo es el conjunto de las estaturas de 100 estudiantes hombres, obtenidas del registro universitario, que esta ordenado en forma alfabética.

Ordenación.

• Una ordenación es un conjunto de datos numéricos en orden creciente o decreciente de magnitud. A la diferencia entre el número mayor y el menor se le conoce como rango de los datos.

• Por ejemplo, si la estatura mayor de los estudiantes es 74 pulg y la menor es 60, el rango es 74-60=14 pulg.

Actividad. • En una ciudad costera, un sábado de agosto, se midió con radar de velocidad en

kilómetros por hora, de 50 motocicletas que pasaron frente a un paso de nivel . Los datos están en la siguiente tabla:

Ordena estos datos de menor a mayor y encuentra: • La velocidad mas baja. • La velocidad mas alta • El rango. • Las cinco velocidades mas altas • Las cinco Velocidades mas bajas

90 85 110 80 75 120 105 100 103 98

96 89 135 108 125 130 120 102 97 86

132 128 115 142 106 102 95 89 96 107

121 132 126 128 134 138 139 110 123 108

102 98 92 90 128 135 138 143 109 133

75 80 85 86 89 89 90 90 92 95

96 96 97 98 98 100 102 102 102 103

105 106 107 108 108 109 110 110 115 120

120 121 123 125 126 128 128 128 130 132

132 133 134 135 135 138 138 139 142 143

Distribuciones de frecuencia.

• Si se reúnen grandes cantidades de datos sueltos es útil distribuirlos en clases o categorías, y determinar el número de individuos que pertenecen a cada categoría, a lo que se le llama frecuencia de clase.

• A una disposición tabular de los datos por clase, con sus correspondientes frecuencias de clase, se le conoce como distribución de frecuencias o tabla de frecuencias.

Distribuciones de frecuencia

• La siguiente tabla es una distribución de frecuencias de las estaturas de 100 estudiantes hombres de cierta universidad.

Estatura (pulg)

Numero de estudiantes

60-62 5

63-65 18

66-68 42

69-71 27

72-74 8

Total 100

Distribuciones de frecuencia.

• A los datos así ordenados y reunidos en clases, como la anterior distribución de frecuencias, se les llama datos agrupados.

• Aunque el proceso de agrupamiento generalmente quita detalles originales de los datos, es muy ventajosa, pues proporciona una visión amplia y clara además de que se obtienen relaciones evidentes.

Elementos de una distribución de frecuencias.

• El símbolo que define una categoría, como el 60-62 de la tabla, se llama intervalo de clase o clase.

• El número de clases es la cantidad de clases (renglones que tiene nuestra distribución de frecuencias).

• A los números 60 y 62 se les conoce como límites de clase; el numero mas pequeño (60) es el límite inferior de clase, mientras que el número mas grande (62) es el límite superior de clase.

Estatura (pulg) Numero de estudiantes

60-62 5

63-65 18

66-68 42

69-71 27

72-74 8

Total 100

Elementos de una distribución de frecuencias.

• Las fronteras de clase son parte de la tolerancia que se permite dentro de una clase. Por lo que el valor 62.8 pertenece a la clase 60-62, y no a la 63-65. Usualmente la frontera inferior de clase corresponde con el límite inferior (60). Y la frontera superior de clase coincide con el límite inferior de la siguiente clase.

• A la diferencia entre las fronteras de clase inferior y superior se le conoce como amplitud, tamaño o longitud de clase. En ocasiones ocurre que no todas las clases tienen el mismo tamaño.

• La marca de clase, es el punto medio entre las fronteras de clase.

Estatura (pulg) Numero de estudiantes

60-62 5

63-65 18

66-68 42

69-71 27

72-74 8

Total 100

Actividad En la tabla se muestra una Distribución de Frecuencia de los salarios semanales de 65 empleados de la empresa P&R. Determinar de esa tabla: • El limite inferior de la sexta clase. • El limite superior de la cuarta clase. • La marca de clase de la tercera clase. • Las fronteras de clase del quinto intervalo. • La anchura del quinto intervalo de clase. • La frecuencia de la tercera clase. • El intervalo de clase con máxima frecuencia (se llama intervalo de

clase modal, a su frecuencia es la frecuencia de clase modal). • El porcentaje de empleados que cobran menos de $280.00 a la

semana. • El porcentaje de empleados que cobran menos de $300.00 pero al

menos $260.00 a la semana.

SalariosNumero de

empleados

$250.00-$259.99 8

$260.00-$269.99 10

$270.00-$279.99 16

$280.00-$289.99 14

$290.00-$299.99 10

$300.00-$309.99 5

$310.00-$319.99 2

Total 65

Reglas para construir distribuciones de frecuencia (de igual tamaño).

• Determinar el mayor y el menor de los datos sueltos con el fin de especificar el rango.

• Dividir el rango en un numero adecuado de intervalos. Suelen tomarse de 5 a 20 intervalos de clase, según los datos.

• Determinar el numero de observaciones que corresponden a cada intervalo de clase; es decir; hallar las frecuencias de clase. Si tenemos datos sueltos es mejor hacerlo con una hoja de recuentos o registros de marcas.

Hoja de recuento y otras tablas de frecuencia.

• Las siguientes calificaciones corresponden a las calificaciones de un examen obtenidas en la universidad. Realice una Distribución de Frecuencias con tamaño de clase 5. También realice una distribución de frecuencias relativas, una de frecuencias acumuladas y una de frecuencias acumuladas relativa.

95 57 76 93 86 80 89

76 76 63 74 94 96 77

65 79 60 56 72 82 70

67 79 71 77 52 76 68

72 88 84 70 83 93 76

82 96 87 69 89 77 81

87 65 77 72 56 78 78

58 54 82 82 66 73 79

86 81 63 46 62 99 93

82 92 75 76 90 74 67

95 57 76 93 86 80 89

76 76 63 74 94 96 77

65 79 60 56 72 82 70

67 79 71 77 52 76 68

72 88 84 70 83 93 76

82 96 87 69 89 77 81

87 65 77 72 56 78 78

58 54 82 82 66 73 79

86 81 63 46 62 99 93

82 92 75 76 90 74 67

Dato Máximo= Dato Mínimo= Rango=

99 46 99-46=53

1

2

4

4

7

9

16

10

7

6

4

Intervalo de

claseConteo Frecuencia

45-49

50-54

55-59

60-64

65-69

70-74

75-79

80-84

85-89

90-94

95-99

Hoja de recuento y otras tablas de frecuencia.

• La frecuencia relativa de una clase, es su frecuencia dividida por la frecuencia total de todas las clases, en ocasiones se expresa como un porcentaje.

• La frecuencia total de todos los valores menores que la frontera de clase superior de un intervalo de clase dado se llama frecuencia acumulada hasta ese intervalo de clase inclusive. Se acostumbra poner en la tabla las palabras “menor que”.

• La frecuencia acumulada relativa, es la frecuencia acumulada dividida por la frecuencia total.

Hoja de recuento y otras tablas de frecuencia.

Hoja de recuento y otras tablas de frecuencia.

Intervalo de

claseFrecuencia

Frecuencia

relativa

45-49

50-54

55-59

60-64

65-69

70-74

75-79

80-84

85-89

90-94

95-99

CalificaciónFrecuencia

acumulada

Frecuencia

acumulada

relativa

menor que 50

menor que 55

menor que 60

menor que 65

menor que 70

menor que 75

menor que 80

menor que 85

menor que 90

menor que 95

menor que 100

1

2

4

4

7

9

16

10

7

6

4

0.0143

0.0286

0.0571

0.0571

0.1000

0.1286

0.2286

0.1429

0.1000

0.0857

0.0571

1

3

7

11

18

27

43

53

60

66

70

0.0143

0.0429

0.1000

0.1571

0.2571

0.3857

0.6143

0.7571

0.8571

0.9429

1.0000

Actividad • Las calificaciones finales en matemáticas de 80

estudiantes figuran en la tabla. Realice una distribución de frecuencias con anchura 10, una distribución de frecuencia relativas, una de frecuencia acumulada y una de frecuencia acumulada relativa.

68 84 75 82 68 90 62 88 76 93

73 79 88 73 60 93 71 59 85 75

61 65 75 87 74 62 95 78 63 72

66 78 82 75 94 77 69 74 68 60

96 78 89 61 75 95 60 79 83 71

79 62 67 97 78 85 76 65 71 75

65 80 73 57 88 78 62 76 53 74

86 67 73 81 72 63 76 75 85 77

34 181 180 106 93 32 72 50 193 191

118 98 39 142 84 115 83 154 153 170

98 138 187 191 65 108 108 80 44 31

58 127 56 51 159 153 74 198 118 194

34 39 143 86 142 45 61 147 53 113

175 173 157 143 95 163 79 32 31 25

189 59 89 24 145 31 162 52 39 88

61 23 89 82 173 120 148 151 164 57

101 155 151 40 147 131 39 46 68 101

72 131 151 140 30 179 153 101 40 152

165 100 164 99 59 118 110 26 100 170

197 194 174 50 122 145 32 141 25 187