DISTRIBUCIONES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS, FUNCION Y GRAFICA1. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS:

Distribucin uniforme discreta: En teora de la probabilidad, la distribucin uniformediscreta es una distribucin de probabilidad que asume un nmero finito de valores con la misma probabilidad.

Caractersticas: Si la distribucin asume los valores reales , su funcin de probabilidad es

y su funcin de distribucin la funcin escalonada

Su media estadstica es

y su varianza

Ejemplos:

Para un dado perfecto, todos los resultados tienen la misma probabilidad 1/6. Luego, la probabilidad de que al lanzarlo caiga 4 es 1/6. Para una moneda perfecta, todos los resultados tienen la misma probabilidad 1/2. Luego, la

probabilidad de que al lanzarla caiga cara es 1/2.

2distribucin binomial: es una distribucin de probabilidad discreta que cuenta el nmero de xitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre s, con una probabilidad fija p de ocurrencia del xito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotmico, esto es, slo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina xito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribucin binomial el anterior experimento se repite n veces,de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado nmero de xitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribucin de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribucin binomial de parmetros n y p, se escribe:Caractersticas:Su funcin de probabilidad es

Donde

Siendo las combinaciones de en ( elementos tomados de en)

Ejemplo:Supongamos que se lanza un dado (con 6 caras) 50 veces y queremos conocer la probabilidad de que el nmero 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sera P(X=20):

distribucin multinomial es similar a la distribucin binomial, con la diferencia de que en lugar de dos posibles resultados en cada ensayo, puede haber mltiples resultados.

3

Ejemplo de distribucin multinomial: a esas elecciones se presentaron 4 partidos polticos: elPOPO obtuvo un 40% de los votos, el JEJE el 30%, el MUMU el 20% y el LALA el 10% restante.Cul es la probabilidad de que al elegir 5 ciudadanos al azar, 3 hayan votado al POPO, 1 al MUMUy 1 al LALA?

La distribucin multinomial sigue el siguiente modelo:

Donde:X1 = x1: indica que el suceso X1 aparezca x1 veces (en el ejemplo, que el partido POPO lo hayan votado 3 personas)n: indica el nmero de veces que se ha repetido el suceso (en el ejemplo, 5 veces)n!: es factorial de n (en el ejemplo: 5 * 4 * 3 * 2 * 1)p1: es la probabilidad del suceso X1 (en el ejemplo, el 40%)

Veamos el ejemplo:

Luego: P = 0,0256

Es decir, que la probabilidad de que las 5 personas elegidas hayan votado de esta manera es tan slo del 2,56%

Nota: 0! es igual a 1, y cualquier nmero elevado a 0 es tambin igual a 1

distribucin hipergeomtrica es el modelo que se aplica en experimentos del siguiente tipo:

En una urna hay bolas de dos colores (blancas y negras), cul es la probabilidad de que al sacar 2 bolas las dos sean blancas?

4Son experimentos donde, al igual que en la distribucin binomial, en cada ensayo hay tan slo dos posibles resultados: o sale blanca o no sale. Pero se diferencia de la distribucin binomial en que los distintos ensayos son dependientes entre s:

Si en una urna con 5 bolas blancas y 3 negras en un primer ensayo saco una bola blanca, en el segundo ensayo hay una bola blanca menos por lo que las probabilidades son diferentes (hay dependencia entre los distintos ensayos).La distribucin hipergeomtrica sigue el siguiente modelo:

Donde:

Ejemplo: en una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. Se sacan 4 bolas Cul es la probabilidad de que 3 sean blancas?Entonces:

N = 12; N1 = 7; N2 = 5; k = 3; n = 4

Si aplicamos el modelo:

Por lo tanto, P (x = 3) = 0,3535. Es decir, la probabilidad de sacar 3 bolas blancas es del 35,3%.

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distribucin multihipergeomtrica es similar a la distribucin hipergeomtrica, con la diferencia de que en la urna, en lugar de haber nicamente bolas de dos colores, hay bolas de diferentes colores.

Ejemplo: en una urna hay 7 bolas blancas, 3 verdes y 4 amarillas: cul es la probabilidad de que al extraer 3 bolas sea cada una de un color distinto?

La distribucin multihipergeomtrica sigue el siguiente modelo:

Donde:

X1 = x1: indica que el suceso X1 aparezca x1 veces (en el ejemplo, que una de las bolas sea blanca)

N1: indica el nmero de bolas blancas que hay en la urna (en el ejemplo, 7 bolas)

N: es el nmero total de bolas en la urna (en el ejemplo, 14 bolas)

n: es el nmero total de bolas que se extraen (en el ejemplo, 3 bolas)

ejemplo:

Luego:

P = 0,2307

Es decir, que la probabilidad de sacar una bola de cada color es del 23,07%

6distribucin de Poisson es una distribucin de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado nmero de eventos durante cierto perodo de tiempo. Concretamente, se especializa en laprobabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeas, o sucesos "raros".

La funcin de masa o probabilidad de la distribucin de Poisson es

Donde:

k es el nmero de ocurrencias del evento o fenmeno (la funcin nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces). es un parmetro positivo que representa el nmero de veces que se espera que ocurra el fenmeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribucin de Poisson con =104 = 40.

e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)

Ejemplo:La probabilidad de tener un accidente de trfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, cul es la probabilidad de tener 3 accidentes?Como la probabilidad " p " es menor que 0,1, y el producto " n * p " es menor que 10, entonces

aplicamos el modelo de distribucin de Poisson. Luego: P (x = 3) = 0,0892Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes de trfico en 300 viajes es del 8,9%

El eje horizontal es el ndice k. La funcin solamente est definida en valores enteros de k. Las lneas que conectan los puntos son solo guas para el ojo y no indican continuidad.

72. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS:

Distribucin normal o de gauss: es el modelo de distribucin ms utilizado en la prctica, ya que multitud de fenmenos se comportan segn una distribucin normal.

Esta distribucin de caracteriza porque los valores se distribuyen formando una campana deGauss, en torno a un valor central que coincide con el valor medio de la distribucin:

Un 50% de los valores estn a la derecha de este valor central y otro 50% a la izquierdaEsta distribucin viene definida por dos parmetros:X: N (m, s 2)m:es el valor medio de la distribucin y es precisamente donde se sita el centro de la curva (de la campana de Gauss).

s2 : es la varianza. Indica si los valores estn ms o menos alejados del valor central: si la varianza es baja los valores estn prximos a la media; si es alta, entonces los valores estn muy dispersos.

Cuando la media de la distribucin es 0 y la varianza es 1se denomina "normal tipificada", y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucin.Adems, toda distribucin normal se puede transformar en una normal tipificada:

Ejemplo: una variable aleatoria sigue el modelo de una distribucin normal con media 10 y varianza4. Transformarla en una normal tipificada.X: N (10, 4)Para transformarla en una normal tipificada se crea una nueva variable (Y) que ser igual a la anterior (X) menos su media y dividida por su desviacin tpica (que es la raz cuadrada de la varianza)

En el ejemplo, la nueva variable sera:

Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada, permitindonos, por tanto, conocer la probabilidad acumulada en cada valor.Y: N (0, 1)

8Distribucin ji-cuadrada (x2): es la distribucin muestral de s2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una poblacin normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendr la distribucin muestral de varianzas.Para estimar la varianza poblacional o la desviacin estndar, se necesita conocer el estadstico X2.Si se elige una muestra de tamao n de una poblacin normal con varianza, el estadstico:

Tiene una distribucin muestral que es una distribucin ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se denota X2 (X es la minscula de la letra griega ji). El estadstico ji-cuadrada est dado por:

Donde n es el tamao de la muestra, s2 la varianza muestral y la varianza de la poblacin de donde se extrajo la muestra. El estadstico ji-cuadrada tambin se puede dar con la siguiente expresin:

Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada1. Los valores de X2 son mayores o iguales que 0.2. La forma de una distribucin X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un nmero infinito de distribuciones X2.3. El rea bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.4. Las distribuciones X2 no son simtricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha;esto es, estn sesgadas a la derecha.5. Cuando n>2, la media de una distribucin X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).6. El valor modal de una distribucin X2 se da en el valor (n-3).La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) = (gl-2).

La funcin de densidad de la distribucin X2 esta dada por:

para x>0La tabla que se utilizar para estos apuntes es la del libro de probabilidad y estadstica de Walpole, lacual da valores crticos (gl) para veinte valores especiales de . Para denotar el valor crtico de una distribucin X2 con gl grados de libertad se usa el smbolo (gl); este valor crtico determina

9a su derecha un rea de bajo la curva X2 y sobre el eje horizontal. Por ejemplo para encontrar

X20.05(6) en la tabla se localiza 6 gl en el lado izquierdo y a o a lo largo del lado superior de la misma tabla.

Ejemplos:

Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobs para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribucin normal con una desviacin estndar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.Solucin:Primero se encontrar el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:

El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el rengln de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un rea a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2)

Distribucin exponencial: es una distribucin de probabilidad continua con un parmetro cuya funcin de densidad es:Su funcin de distribucin acumulada es: Donde representa el nmero e.El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribucin exponencial son:

10La distribucin exponencial es un caso particular de distribucin gamma con k = 1. Adems la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribucin exponencial es una variable aleatoria expresable en trminos de la distribucin gamma.Ejemplo:El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en una cafetera es una variable aleatoria que tiene una distribucin exponencial con una media de 4 minutos. Cul es la probabilidad de que una persona sea atendida antes de que transcurran 3 minutos en al menos 4 de los 6 das siguientes?Solucin:

Lanos indica que la integral va a ser evaluada de 0 a 3x = nmero de das en que un cliente es atendido antes de que transcurran 3 minutos x = 0, 1, 2,...,6 dasp = probabilidad de que un cliente sea atendido antes de que transcurran 3 minutos en un da cualquiera = 0.5276q = probabilidad de que un cliente no sea atendido antes de que transcurran 3 minutos en un dacualquiera = 1- p = 0.4724

Grfica.

= 0.11587 + 0.02157 = 0.13744

Distribucin T de Student: Supongamos dos variables aleatorias independientes, una normal tipificada, Z , y otra con distribucin con grados de libertad, la variable definida segn la ecuacin:

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Tiene distribucin t con grados de libertad.La funcin de densidad de la distribucin t es:

El parmetro de la distribucin t es , su nmero de grados de libertad.Esta distribucin es simtrica respecto al eje Y y sus colas se aproximan asintticamente al eje X. Es similar a la distribucin Z salvo que es platicrtica y, por tanto, ms aplanada.Cuando n tiende a infinito, t tiende asintticamente a Z y se pueden considerar prcticamente iguales para valores de n mayores o iguales que 30.

Ejercicio

Un fabricante de focos afirma que su producto durar un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre t 0.05 y t 0.05, l se encuentra satisfecho con esta afirmacin. Qu conclusin deber l sacar de una muestra de 25 focos cuya duracin fue?:

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Distribucin de Snedecor: s una distribucin de probabilidad de gran aplicacin en la inferencia estadstica, fundamentalmente en la contratacin de igualdad de varianzas de dos poblaciones normales, y , fundamentalmente en el anlisis de varianza, tcnica que permite detectar la existencia o inexistencia de diferencias significativas entre muestras diferentes y que es, por tanto esencial , en todos aquellos casos en los que se quiere investigar la relevancia de un factor en el desarrollo y naturaleza de una caracterstica.

La distribucin se plantea partiendo de dos variables X e Y tales que:

Es decir una chi2 con m grados de libertad

Es decir una chi2 con n grados de libertad ;

de manera que si establecemos el cociente , es decir el cociente entre ambas chi2 divididasa su vez, por sus correspondientes grados de libertad tendremos que la funcin F corresponde a

una distribucin F de Snedecor con m y n grados de libertad ; es decir una13Queda claro por tanto que la distribucin F de Snedecor tiene dos parmetros, que son m y n;grados de libertad del numerador, grados de libertad del denominador.

Dado que se trata de un cociente entre dos chi2 su (grafica de la funcin de la densidad) ser parecida a la de sta distribucin, por lo que estar slo definida para el campo positivo de la variable y su apariencia variar segn los grados de libertad; estando ms prxima la densidad de probabilidad a los valores prximos a cero de la variable, cuando los grados de libertad (sus parmetros) sean bajos.

La funcin de densidad de la F de Snedecor viene dada por

Siendo m y n los parmetros de la funcin (distribucin) y la funcin gamma de Euler.

La media de la distribucin es si n > 2 siendo la varianza cuando n> 4

Lgicamente si su inversa lo que ayuda al clculo de probabilidades para distintos valores de la variable mediante la utilizacin de tablas , caso que no es el nuestro14pues estos los realizamos mediante un programa que concluimos, no obstante ,a modo de ejemplo , plantemos:

Si X y nos interesa el clculo de dicho resultado es 0,13

Luego luego

Como curiosidad tenemos que una F con un grado de libertad en el numerador y n en el denominador, no es ms que el cuadrado de una t de studen con n grados de libertad dado que:

Dado que una: Luego una:

Siendo una: una: Clculo de la prueba F-Snedecor para la igualdad de varianzas Para llevar a cabo el contraste:H0: s1 - s2 = 0H1: s1 - s2 0Mediante la prueba F-Snedecor de comparacin de varianzas se construye el estadstico de contraste experimental F dado por:

Que bajo la hiptesis nula sigue una distribucin F-Snedecor siendo gln los grados de libertad del numerador y gld los grados de libertad del denominador. En el caso de no poder rechazar la hiptesis nula (p-valor > 0.05) se considera que las dos varianzas son iguales (homogneas).

15La distribucin Gamma es una distribucin de probabilidad continua generalizada de la distribucin exponencial utilizada para modelar variables aleatorias continuas con asimetra positiva, es decir aquellas que presentan una mayor densidad de ocurrencia a la izquierda de la media que a la derecha.

VENTAJASDe esta forma, la distribucin Gamma es una distribucin flexible para modelizar las formas de la asimetra positiva, de las ms concentradas y puntiagudas, a las ms dispersas y achatadas. Como ejemplos de variables que se comportan as:- Nmero de individuos involucrados en accidentes de trfico en el rea urbana: es ms habitual quela mayora de partes abiertos den la proporcin de 1 herido por vehculo, que otras proporciones superiores.- Altura a la que se inician las precipitaciones; sucede de forma ms habitual precipitaciones iniciadasa una altura baja, que iniciadas a gran altitud.- Tiempo o espacio necesarios para observar X sucesos que siguen una distribucin de Poisson.- Distribucin de la finura de fibras de lana: la mayora presentan una menor finura que unas pocas fibras ms gruesas.INCONVENIENTESProblemas en la complejidad de algunos clculos, especialmente respecto a la funcin Gamma cuando el parmetro es un valor no entero. Tambin problemas de clculo en la estimacin de los parmetros mustrales. Ambos inconvenientes se pueden abordar satisfactoriamente con ordenador COMPONENTES DE LA DISTRIBUCIN GAMMA X, es el valor en el que se desea evaluar la distribucin. Alfa, es un parmetro de la distribucin. Beta, es un parmetro de la distribucin. Funcin gama, determina si se presenta convergencia. F(x), representacin de la probabilidad estadstica.

Para valorar la evolucin de la distribucin al variar los parmetros se tienen los siguientes grficos. Primero se comprueba que para =1 la distribucin tiene similitudes con la exponencial.

Si ahora se hace variar el parmetro alfa,

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Y para valores altos de y pequeos de , se observa la convergencia con la normal,

FORMULACIN DE LA DISTRIBUCIN GAMMA. Funcin de distribucin

El valor de la funcin Gamma se obtiene a partir de,

La funcin de densidad de la distribucin Gamma es,

donde x>0 y , son parmetros positivos

Ejemplo 5.En una ciudad se observa que el consumo diario de energa (en millones de kilowatt-hora) es una variable aleatoria que sigue una distribucin gamma con parmetros = 3 y =2. Si la planta de energa que suministra a la ciudad tiene una capacidad diaria de generar un mximo de 12, cul es la probabilidad de que haya un da donde no se pueda satisfacer la demanda?

Donde,

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De forma que,

La probabilidad de que exista 1 exceso,

Resolviendo la integral con ayuda del derive, la probabilidad obtenida es,

Le representacin grfica y verificacin con Excel del clculo

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