Algunas Distribuciones DiscretasLa importancia de las distribuciones de probabilidad es que estas sirven para modelar el comportamiento de variables que se presentan en la vida cotidiana como tambin de los fenmenos que se presentan en la naturaleza. Tipos de distribuciones de v.a. Discretas: Uniforme discreta Bernoulli Binomial Poisson Geomtrica Binomial Negativa, etc

Ejemplo X: puntuacin obtenida al tirar un dado. N=6, entonces P(X=x)=1/6 E(X)=7/2 V(X)=35/12

EjemploUn agente de seguros dedicado a la venta de seguros de vida realiza visitas a posibles clientes con el fin de contratar un seguro de vida. Se sabe de su trayectoria como agente que en el 60% de las visitas tiene xito y contrata un seguro. Definir la variable aleatoria asociada a este experimento aleatorio y obtener la media y varianza.

SolucinEl experimento aleatorio es realizar la visita a una posible cliente, y hay dos resultados posibles: conseguir que el cliente contrate el seguro (suceso xito) o no conseguirlo (suceso fracaso). La variable aleatoria X asociada al experimento toma los valores X=1 X=0 si el cliente contrata el seguro si el cliente no contrata el seguro.

Es, por tanto, una variable de tipo Bernouilli, y su funcin de probabilidad ser P (X = 1)=0,6 = p P (X = 0)=1 0,6 = 0,4 = q Por consiguiente, la media y la varianza valen E(X) = p = 0,6 Var(X) = pq = 0,6 0,4 = 0,2

EjercicioEn un proceso de seleccin de personal se tendrn en cuenta las siguientes caractersticas: estudios superiores, experiencia laboral de ms de un ao, dominio de idiomas, conocimiento de informtica. La probabilidad de cada una de estas caractersticas es 0.5, 0.7,0.3 y 0.4 respectivamente. a. Define las correspondientes v.a. de Bernoulli y calcula su esperanza y varianza. b. Suponiendo que estas caractersticas son independientes, cual es la probabilidad de que un entrevistado sea contratado si ha de cumplir todas ellas?

Funcin de distribucin:

ObservacinSi designamos por X e Y las variables aleatorias binomiales que representan el nmero de xitos y de fracasos, respectivamente, que se tienen cuando realizamos n repeticiones independientes de una prueba de Bernouilli con probabilidad de xito p, entonces tenemos: P (X = x) = P (Y = n x), ya que la probabilidad de obtener x xitos lgicamente coincide con la probabilidad de obtener n x fracasos.

EjercicioSea X una variable aleatoria con funcin de probabilidad. Obtener su esperanza matemtica y varianza por definicin

Solucin

Luego, podemos obtener

(tres grficas con n=5 y diferentes valores p)

EjemploCul es la probabilidad de obtener 4 caras o ms al tirar 6 veces una moneda (equilibrada)?

Solucin Podemos interpretar cada moneda como una v.a. Bernoulli con prob. de cara (xito) =0.5 6 Entonces la v.a X: nmero total de caras. X = X ii=1

Es B(n=6, p=0.5) puesto que 1) las tiradas son independientes y 2) la probabilidad de cara es la misma en cada tirada. Por tanto: P(X 4) = P(4) + P(5) + P(6).

6 6 P( X = k ) = / 2 P( X 4) = (15 + 6 + 1) / 26 = 21 / 32. k

EjemploUn jugador apuesta a un nmero del 1 al 6. Se tiran tres dados. Si el nmero apostado aparece k veces, k = 1, 2, 3, entonces el jugador gana k unidades; si dicho nmero no aparece ninguna vez, el jugador pierde una unidad. Se trata de un juego justo para el apostador?

Solucin Sea X: nmero de veces que al lanzar los dados el nmero apostado aparece. X es una binomial con parmetros n=3 y p=1/6. X puede tomar 4 valores 0, 1,2 y 3. Entonces 3 1 0 5 3 3 1 1 5 2 125 75 P(X = 0) = = , P(X = 1) = = 216 216 0 6 6 1 6 6 3 1 2 5 1 3 1 3 5 0 15 1 P(X = 2) = = , P(X = 3) = = . 216 216 2 6 6 3 6 6

Definimos la v.a. Y: ganancia del juego. Para saber si el juego es justo, calculamos su esperanza: Recuerda que E(Y)=yip(X=xi)E(Y ) = 1* 125 75 15 1 + 1* + 2* + 3* . 216 216 216 216

El juego no es justo, en media, el jugador pierde en cada partida 17/216

EjemploUn examen de opcin mltiple contiene 10 preguntas. Cada pregunta tiene cuatro opciones de las cules solo una es la correcta. El examen se aprueba si se responden correctamente al menos seis preguntas. Si el estudiante adivina las preguntas, conteste las siguientes preguntas: Cul es la probabilidad de aprobar el examen? b) Si el estudiante adivina al menos tres de las preguntas, Cul es la probabilidad de reprobar el examen? c) Halle E[X] y V[X]

SolucinSea X : # preguntas con respuesta correcta de las 10

Funcin de distribucin:

InterpretacinLa distribucin hipergeomtrica se aplica con cierta frecuencia en el control estadstico de calidad de una fabricacin en serie. As pues, si el lote bajo control contiene A elementos buenos y B = N A elementos defectuosos, cuando tomamos una muestra de tamao n sin reemplazamiento estaremos interesados en saber el nmero de elementos buenos que han aparecido en la muestra de tamao n para as determinar la calidad del proceso de fabricacin.

si

n 0.05 T

Ejemplo

Solucin

P ( X = 0) = P ( X 1) =

X: Nro. de premios obtenidos

EjemploUn estudio considera la baja autoestima en nios escolares en relacin a la ausencia de padres en el ambiente familiar. Una escuela tiene inscritos a 60 nios de 8 a 10 aos. El 20% de los alumnos sealaron la ausencia de uno o ambos padres en el hogar y el 80% restante indicaron la presencia de ambos padres en el ambiente familiar. Si se pregunta a 5 nios elegidos al azar para describir su caso, cul es la probabilidad de que ninguno de ellos describa una baja autoestima?

SolucinSea X = Nro. de alumnos en la muestra con baja autoestima X H(60, 12, 5)

12 48 0 5 P( X = 0) = = 0.31352 60 5

EjemploEn un laboratorio se reciben lotes de 70 tubos de ensayo, de los cuales 10 son defectuosos. A la recepcin de uno de tales lotes se realiza una inspeccin del mismo consistente en examinar 6 tubos, rechazndose el lote si el nmero de tubos defectuosos detectados en esa inspeccin es mayor o igual que 2. Cul es la probabilidad de rechazar un lote? Solucin X: Nro. de tubos defectuosos en una inspeccin de 6 unidades Rx = { 0, 1, 3, 4, 5, 6 } Los tubos inspeccionados se seleccionan sin devolucin X~ H(70, 10, 6) 10 60 Por tanto 6 x 1 x P(X 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)] = 1 - = 0.20136 70 x =0 6

EjemploSuponga que un lote contiene 1500 arandelas de las cuales 200 son inaceptables. Se selecciona al azar 5 arandelas y sea X : # de arandelas inaceptables en la muestra

Debido a que n es muy pequeo respecto a N, las probabilidades de xito (seleccionar una arandela inaceptable) son aproximadamente iguales.

cuando

EjercicioUn producto industrial particular se enva en lotes de 20 artculos. La prueba para determinar si un artculo es defectuoso es costosa, as que el fabricante obtiene muestras de la produccin en vez de utilizar un plan de inspeccin al 100%. Un plan de muestreo diseado para minimizar el nmero de artculos defectuosos empleados necesita que se extraigan 5 artculos de cada lote y un lote es rechazado si entre las cinco piezas hay ms de una defectuosa. Suponga que un lote en particular contiene cuatro artculos defectuosos. Calcule: a) La probabilidad de que el lote sea rechazado. b) El nmero esperado de unidades defectuosas en la seleccin. c) La varianza del nmero de unidades defectuosas en la seleccin. d) La probabilidad de que un lote con slo 2 unidades defectuosas sea rechazado. e) La probabilidad de que un lote con 5 piezas defectuosas no sea rechazado

Proporcional a la longitud del intervalo

En ocasiones se tiene una situacin fsica en la cual cierto evento es recurrente, tal como las llamadas que se reciben en cierto intervalo de tiempo en una central telefnica o el nmero de defectos en un tramo de cable. Si la probabilidad de ocurrencia de un evento de este tipo es proporcional al tamao del intervalo, rea, volumen, etc. entonces la variable aleatoria X, el nmero de eventos observados en una unidad (de tiempo, de longitud, etc.) sigue una distribucin conocida como Poisson.

Funcin de distribucin:

EjemploEl nmero medio de aviones que usan una pista de aterrizaje en un aeropuerto es 2 cada media hora. Suponiendo que siguen una ley de Poisson. a) Cul es la probabilidad de que el nmero de llegadas sea 5 o mayor? b) Cul es la probabilidad de que en un cuarto de hora aterricen 4 aviones?

Solucina) P(X 5) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)] =1

e 2 2 x x! x =04

= 1 - 0.9473 = 0.052.

b) Sea Y el nmero de aviones que aterrizan en esa pista cada cuarto de hora. Entonces Y es una Poisson de parmetro 1. Por tanto, P( Y > 4) = P(Y 5) = 1 - [P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2) + P(Y=3) + P(Y=4)] =1

e 11x x! y =04

= 1 0.9963 = 0.0037

Ejemplo

EjemploLa probabilidad de que en una pgina de 1 libro haya una errata es 0.02. Cul es la probabilidad que en libro de 200 pginas haya 3 erratas?

SolucinSea X=nmero de erratas en el libro. Lo podemos interpretar como una binomial, entonces X es b(200, 0.02). Por tanto la probabilidad que nos piden es:

200 (0.02) 3 (0.98)197 P ( X = 3) = 3

Tambin podramos calcularlo usando la distribucin de Poisson. En efecto: p= 0.02 < 0.1 y E(X) = np = 200*0.02 = 4 < 5 Tenemos, que X sigue una distribucin P(=4), por tanto:

P ( X = 3) = ( e 4 4 3 ) / 3! = 0 .1954

EjemploEl nmero de nacimientos en un hospital constituye un proceso de Poisson con intensidad de 21 nacimientos por semana. Cul es la probabilidad de que se produzca al menos tres nacimientos el prximo lunes?

SolucinX : Nro. de nacimientos por semana, X ~ P(t=21), por tanto

e 21t (21t ) x p( x) = x!

x = 0, 1, 2,... ; t = 1 (una semana)

P(X 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)], cuando t=1/7

e 21/ 7 (21 / 7) x = 1 = 1 - 0.4232 = 0.5768. x! x =02

.. (1)

Funcin de distribucin:

ObservacinSi X1 y X2 son dos variables aleatorias independientes distribuidas segn BN (r1, p) y BN (r2, p) respectivamente, entonces la variable X = X1+X2 se distribuye segn BN (r1 + r2, p).

Alternativamente podemos definir otra funcin

Distribucin de Pascal

. (2)

Caractersticas de (1)E[ X ] = rq p

V[X ] =

rq p2

En el caso de la distribucin de Pascal: X ~ B (k, p) P(X n) = P(Y k) donde n = x + k P(X > n) = P(Y < k)

Ejemplo:

Solucin

concluir =

=

Observacin Si X ~Geo (p), donde X: Nro. de ensayos hasta conseguir un exito

Ejemplo

Ejemplo

Solucin

Ejemplo

Solucin

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS