UNIDAD IIIUNIDAD III

MODELOS DE MODELOS DE PROBABILIDAD BINOMIAL, PROBABILIDAD BINOMIAL,

HIPERGEOMÉTRICO, HIPERGEOMÉTRICO, POISSON, NORMAL, POISSON, NORMAL,

EXPONENCIAL, EXPONENCIAL, LOGNORMAL Y WEIBULLOGNORMAL Y WEIBUL

MODELO BINOMIALMODELO BINOMIALCaracterísticas:Características:

1)1) Hay n ensayos independientes (Hay n ensayos independientes (muestreo muestreo c/reemplazo c/reemplazo ó sin reemplazo de una ó sin reemplazo de una población muy grande)población muy grande)

2)2) Cada ensayo tiene sólo 2 posibles resultados: Cada ensayo tiene sólo 2 posibles resultados: éxito o fracasoéxito o fracaso

3)3) La probabilidad de éxito es p y la del fracaso La probabilidad de éxito es p y la del fracaso es q= 1-pes q= 1-p

4)4) La variable aleatoria binomial, X, es el número La variable aleatoria binomial, X, es el número de ensayos exitosos. X puede tomar cualquier de ensayos exitosos. X puede tomar cualquier valor entero de 0 a n, por lo tanto es discreta.valor entero de 0 a n, por lo tanto es discreta.

Función de probabilidad Función de probabilidad binomialbinomial

La función de probabilidad binomial con La función de probabilidad binomial con parámetros n>0 y 0<p<1 es parámetros n>0 y 0<p<1 es

La media y varianza de la distribución La media y varianza de la distribución binomial sonbinomial son

nxppx

nxp xnx ,...,1,0)1()(

)1(y 2 pnpnp

Para calcular probabilidades Para calcular probabilidades relacionadas con la variable relacionadas con la variable binomial, del tipo se binomial, del tipo se utliza la fórmula:utliza la fórmula:

xXP

knkx

k

ppk

nxXP

1

0

Usos de la distribución Usos de la distribución BinomialBinomial

En Ingeniería de Calidad se utiliza En Ingeniería de Calidad se utiliza en muestreo de aceptación. Es en muestreo de aceptación. Es apropiada para muestrear apropiada para muestrear poblaciones infinitamente grandes. poblaciones infinitamente grandes. En ellas, p representa la proporción En ellas, p representa la proporción de artículos defectuosos o no de artículos defectuosos o no conformes en la población y n conformes en la población y n representa el tamaño de la muestra.representa el tamaño de la muestra.

EjemploEjemplo

Se toma una muestra de n=10 artículos de Se toma una muestra de n=10 artículos de una población grande donde se sabe que una población grande donde se sabe que aproximadamente 7% de los artículos son aproximadamente 7% de los artículos son defectuosos, p=.07. ¿Cuál es la defectuosos, p=.07. ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra 2 de probabilidad de que en la muestra 2 de los 10 artículos sean defectuosos o no los 10 artículos sean defectuosos o no conformes? conformes?

Sea X el número de artículos que resultaron Sea X el número de artículos que resultaron defectuosos al revisar los 10 artículos de defectuosos al revisar los 10 artículos de la muestra.la muestra.

12339.93.)07(.2

10)2( 2102

XP

Gráficas de BinomialesGráficas de Binomiales

Cuando n, el tamaño de la muestra es Cuando n, el tamaño de la muestra es pequeña y p, la probabilidad de pequeña y p, la probabilidad de éxito, es extrema (cercana a 0 o a 1), éxito, es extrema (cercana a 0 o a 1), la distribución es sesgada.la distribución es sesgada.

0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

Total

Level

489

355

120

25

2

991

Count

0.49344

0.35822

0.12109

0.02523

0.00202

1.00000

Prob

5 Levels

Frequencies

Binomial(10,.07)

Distributions

Cuando n es grande (n>30), aunque p Cuando n es grande (n>30), aunque p sea extrema, el sesgo disminuye, la sea extrema, el sesgo disminuye, la forma de la distribución se va forma de la distribución se va haciendo simétricahaciendo simétrica

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Total

Level

33

104

168

257

198

123

53

37

10

5

3

991

Count

0.03330

0.10494

0.16953

0.25933

0.19980

0.12412

0.05348

0.03734

0.01009

0.00505

0.00303

1.00000

Prob

11 Levels

Frequencies

Binomial(50,.07)

Distributions

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Total

Level

2

3

16

49

77

128

160

160

125

107

66

56

25

9

6

2

991

Count

0.00202

0.00303

0.01615

0.04945

0.07770

0.12916

0.16145

0.16145

0.12614

0.10797

0.06660

0.05651

0.02523

0.00908

0.00605

0.00202

1.00000

Prob

16 Levels

Frequencies

Binomial(100,.07)

Distributions

La proporción muestralLa proporción muestral

Una variable aleatoria de uso frecuente esUna variable aleatoria de uso frecuente es llamada “proporción muestral defectuosa llamada “proporción muestral defectuosa

o no conforme” y X es la variable o no conforme” y X es la variable binomial.binomial.

La distribución de es: La distribución de es:

La media y varianza de son:La media y varianza de son:

n

Xp ˆ

na

x

xnx ppx

n

naXpan

XPapP

0

)1(

)()ˆ(

npp

p)1(

y 2

p̂

p̂

Modelo Hipergeométrico

Imagine una caja que contiene r bolas rojas y b bolas negras. Se extrae una muestra de tamaño n sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que esta muestra contenga exactamente k bolas rojas ( y por lo tanto n-k bolas negras)?

Para resolver el problema, razonamos como sigue: estamos interesados solo en el número total de bolas rojas y bolas negras en la muestra y no en el orden en el cual estas bolas fueron extraidas.

Esto es, estamos trabajando con muestreo sin reemplazo y sin considerar el orden de extracción. Podemos por lo tanto, tomar nuestro espacio de probabilidad para este problema como la colección de todas las muestras de tamaño n que pueden ser

extraídas de esta forma de las b+r bolas de la población. Debemos ahora calcular el número de formas en las cuales una muestra de tamaño n puede ser extraída de modo que tenga exactamente k bolas rojas. Las k bolas rojas pueden ser escogidas de las r bolas rojas en

formas sin considerar el orden, y las n-k bolas negras

n

rb

k

r

pueden ser elegidas de las b bolas negras sin considerar el orden de formas.

Ya que cada elección de k bolas rojas

puede ser combinada con cada elección de n-k bolas negras hay entonces un total de posibles elecciones.

Entonces la probabilidad de encontrar exactamente k bolas rojas en la muestra es

kn

b

kn

b

k

r

n

br

kn

b

k

r

El modelo hipergeométrico se usa también en El modelo hipergeométrico se usa también en el muestreo de aceptación. Como en el modelo el muestreo de aceptación. Como en el modelo binomial, para calcular una probabilidad del binomial, para calcular una probabilidad del tipotipo

, donde X es el número de , donde X es el número de elementos de la muestra con éxito, se utliza la elementos de la muestra con éxito, se utliza la fórmula fórmula

Los valores posibles de X son 0,1,2,…,n-bLos valores posibles de X son 0,1,2,…,n-b

xXP

x

i

n

br

in

b

i

r

xXP0

MODELO POISSONMODELO POISSON

Distribución discretaDistribución discreta

La distribución Poisson esLa distribución Poisson es

donde el parámetrodonde el parámetro λλ>0. La media y >0. La media y varianza de la distribución Poisson sonvarianza de la distribución Poisson son

,...1,0!

)(

xx

exp

x

2y

GráficaGráfica

Distribución sesgadaDistribución sesgada. . ConformeConforme λλ aumenta, la apariencia de la aumenta, la apariencia de la distribución se hace simétrica.distribución se hace simétrica.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Poiisson(lamda=2)

Distributions

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Poisson(lamda=4)

Distributions

λλ=8, =8, λλ=16=16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

20

Poisson(lamda=8)

Distributions

5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

Poisson(lamda=16)

Distributions

Aplicaciones de la Aplicaciones de la PoissonPoisson

Modelación del número de defectos o Modelación del número de defectos o no conformidades que ocurren en una no conformidades que ocurren en una unidad de producto e incluso en una unidad de producto e incluso en una unidad de área, volumen o tiempo.unidad de área, volumen o tiempo.

Ej.: El número de defectos por unidad Ej.: El número de defectos por unidad en la conexión de alambres que en la conexión de alambres que ocurre en un dispositivo ocurre en un dispositivo semiconductor sigue una distribución semiconductor sigue una distribución Poisson con Poisson con λλ=4.=4.

Ej.Ej.

La probabilidad de que un dispositivo La probabilidad de que un dispositivo seleccionado al azar contenga dos o seleccionado al azar contenga dos o menos defectos en la conexión esmenos defectos en la conexión es

2380.1464.0733.0183.!4

)2(2

0

4

x

x

xe

xp

MODELO NORMALMODELO NORMALProbablemente sea la distribución más Probablemente sea la distribución más

importante tanto en teoría como en aplicacionesimportante tanto en teoría como en aplicaciones

La densidad normal esLa densidad normal es

La media y varianza sonLa media y varianza son

La media indica el centro de la curva de densidad La media indica el centro de la curva de densidad y la varianza indica la amplitud de dicha curva.y la varianza indica la amplitud de dicha curva.

x-

2

1)(

2

2

1

x

exf

02

Ejemplo de tres densidades Ejemplo de tres densidades NormalesNormales

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

z

Overlay Y's

Y Normal(0,1) Normal(1,1) Normal(0,.75)

Overlay Plot

PropiedadesPropiedadesNotación: significa “x tiene Notación: significa “x tiene

distribución normal con media distribución normal con media μμ y varianza y varianza σσ²”²”

La curva normal es simétrica alrededor de la La curva normal es simétrica alrededor de la media, tiene forma de campana (Gauss)media, tiene forma de campana (Gauss)

),(~ 2Nx

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Norm

al(0,1

)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

z

Smoothing Spline Fit, lambda=0.01

Bivariate Fit of Normal(0,1) By z

68.26

95.46

99.73

6826. xP

95.22 xP

9973.33 xP

Distribución acumulada Distribución acumulada NormalNormal

Es Es

Estandarización. Si xEstandarización. Si x~N(~N(μμ,,σσ²), ²), la variable la variable transformadatransformada

tiene distribución normal con media tiene distribución normal con media μμ=0 y =0 y varianza varianza σσ²²=1 (distribuci=1 (distribucióón normal estn normal estáándar)ndar)

De modo queDe modo que

dxeaaxPxa

2

2

1

2

1)(

xz

aa

zPaxP

EjemploEjemplo

La resistencia de tensión del papel La resistencia de tensión del papel empleado para hacer bolsas para víveres, empleado para hacer bolsas para víveres, x, tiene distribución Normal con media de x, tiene distribución Normal con media de 40 lbs/plg2 y desviación de 2 lb/plg2.40 lbs/plg2 y desviación de 2 lb/plg2.

El comprador requiere que El comprador requiere que

P(cumpla la especificación o la exceda)?=1-P(cumpla la especificación o la exceda)?=1-P(no cumpla..)P(no cumpla..)

2plg/35 lbx

0062.5.25.22

403535)cumplano(

zPzPxPP

9938.00062.1)cumplano(1)ciónespecificalacumpla( PP

MODELO EXPONENCIALMODELO EXPONENCIAL La distribución exponencial esLa distribución exponencial es

donde donde λλ>0 es una constante. La media y la >0 es una constante. La media y la varianza de la distribución exponencial varianza de la distribución exponencial sonson

y y

respectivamenterespectivamente

0)( xexf x

1 2

2 1

GráficaGráfica

La distribución exponencial acumulada La distribución exponencial acumulada eses

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

F(a

)=1-e

xp(-

lam

da*a

)

0 5 10 15 20 25 30 35

a

Bivariate Fit of F(a)=1-exp(-lamda*a) By a

AplicacionesAplicaciones

En ingeniería de confiabilidad se usa En ingeniería de confiabilidad se usa para modelar el tiempo hasta la falla para modelar el tiempo hasta la falla de un componente o sistema.de un componente o sistema. λλ es el es el índice de falla del sistema y a la índice de falla del sistema y a la media media μμ = = 1/ 1/ λλ, se le llama tiempo , se le llama tiempo medio hasta una falla.medio hasta una falla.

EjemploEjemplo

Un componente electrónico de un sistema de Un componente electrónico de un sistema de radar en vuelo tiene vida útil descrita por radar en vuelo tiene vida útil descrita por una distribución Exponencial conuna distribución Exponencial con parámetroparámetro λλ=.0010=.0010

1/ 1/ λλ=10,000 h.=10,000 h.

¿P (componente falle antes de la media)?¿P (componente falle antes de la media)?

/1

0

1 63212.11

edtexP t

MODELO LOGNORMALMODELO LOGNORMAL

Si X es variable aleatoria con Si X es variable aleatoria con distribución Normal, entonces distribución Normal, entonces exp(X) tiene distribución Lognormal.exp(X) tiene distribución Lognormal.

Una variable puede modelarse como Una variable puede modelarse como lognormal si puede considerarse lognormal si puede considerarse como producto multiplicativo de como producto multiplicativo de muchos pequeños factores muchos pequeños factores independientes.independientes.

La distribución Lognormal tiene como La distribución Lognormal tiene como función de densidadfunción de densidad

Para x>0, donde Para x>0, donde μμ y y σσ son la media y la son la media y la desviación estándar del logaritmo de la desviación estándar del logaritmo de la variable (ln (X)).variable (ln (X)).

Esto es, E[ln(X)]=Esto es, E[ln(X)]=μμ, V[ln(X)]= , V[ln(X)]= σσ².².

El valor esperado es E(X)=exp[El valor esperado es E(X)=exp[μμ+ + σσ²/2] y la ²/2] y la varianza es Var(X)=[exp(varianza es Var(X)=[exp(σσ²)-1]exp(2²)-1]exp(2μμ+ + σσ²)²)

22 2/ln

2

1),;(

xe

xxf

La distribución Lognormal se ajusta a La distribución Lognormal se ajusta a ciertos tipos de falla (fatiga de ciertos tipos de falla (fatiga de componentes metálicos), vida de componentes metálicos), vida de aislamientos eléctricos, procesos aislamientos eléctricos, procesos continuos y puede representar bien los continuos y puede representar bien los tiempos de reparación de un sistema.tiempos de reparación de un sistema.

a) La distribución representa la evolución a) La distribución representa la evolución con el tiempo de la tasa de fallas, con el tiempo de la tasa de fallas, λλ(t), en (t), en la primera fase de vida de un la primera fase de vida de un componente, lacomponente, la correspondiente a las correspondiente a las fallas infantiles en la “curva de bañera”.fallas infantiles en la “curva de bañera”.

Entendiéndose como tasa de fallas, la Entendiéndose como tasa de fallas, la probabilidad de que un componente probabilidad de que un componente que ha funcionado bien hasta el que ha funcionado bien hasta el instante t, falle entre t y t+dt. instante t, falle entre t y t+dt.

b) Describe la dispersión de las tasas b) Describe la dispersión de las tasas de fallas de componentes, de fallas de componentes, ocasionada por diferente origen de ocasionada por diferente origen de los datos, distintas condiciones de los datos, distintas condiciones de operación, entorno, etc.operación, entorno, etc.

Curva de bañera. Curva Curva de bañera. Curva típica de la evolución de la típica de la evolución de la

tasa de fallas.tasa de fallas.

Problema No. 1Problema No. 1

Considere un lote grande que contiene el Considere un lote grande que contiene el 10% de artículos defectuosos. Se toma 10% de artículos defectuosos. Se toma una muestra de 50 artículos y se una muestra de 50 artículos y se observa cuántos son defectuosos. ¿Cuál observa cuántos son defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 2 ó 3 es la probabilidad de encontrar 2 ó 3 defectuosos en la muestra?.defectuosos en la muestra?.

Solución. Observe que el número de Solución. Observe que el número de artículos defectuosos es una variable artículos defectuosos es una variable binomial (lote grande=ensayos binomial (lote grande=ensayos independientes) con parámetros n=50 y independientes) con parámetros n=50 y p=.10. p=.10.

Nos preguntamos P(2≤X ≤3)=?.Nos preguntamos P(2≤X ≤3)=?.Dado que (n)(p)=(50)(.10)=5 la aproximación Dado que (n)(p)=(50)(.10)=5 la aproximación

Normal a la Binomial será buena. EntoncesNormal a la Binomial será buena. Entonces

= = ΦΦ[-0.707]- [-0.707]- ΦΦ[-1.65][-1.65]=.2389-.0495=.1894=.2389-.0495=.1894Comparemos este resultado con la Comparemos este resultado con la

probabilidad exacta:probabilidad exacta:

npq

npa

npq

npbbXaP 2

121

)9(.5/)5

21

2()9(.5/)521

3()32( XP

Para obtener la probabilidad exacta usamos Para obtener la probabilidad exacta usamos la distribución binomial:la distribución binomial:

Observamos una diferencia de alrededor de Observamos una diferencia de alrededor de 3 centésimas entre la probabilidad exacta 3 centésimas entre la probabilidad exacta y la probabilidad aproximada.y la probabilidad aproximada.

La aproximación mejora a medida que el La aproximación mejora a medida que el producto np es más grande.producto np es más grande.

)50(3

2

9.1.50

)32( xx

x xXP

2165.9.1.3

509.1.

2

50 )350(3)250(2

Problema No. 2Problema No. 22-17(Montgomery). Un ensamblaje mecatrónico 2-17(Montgomery). Un ensamblaje mecatrónico

se somete a una prueba final de se somete a una prueba final de funcionamiento. Suponer que los defectos en funcionamiento. Suponer que los defectos en estos ensamblajes ocurren aleatoriamente y estos ensamblajes ocurren aleatoriamente y que los defectos ocurren de acuerdo con la que los defectos ocurren de acuerdo con la distribución Poisson con parámetro distribución Poisson con parámetro λλ=0.02.=0.02.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un a) ¿Cuál es la probabilidad de que un ensamblaje tenga exactamente un defecto?ensamblaje tenga exactamente un defecto?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un b) ¿Cuál es la probabilidad de que un ensamblaje tenga uno o más defectos?ensamblaje tenga uno o más defectos?

c) Suponer que el proceso se mejora de tal c) Suponer que el proceso se mejora de tal modo que el índice de ocurrencia de defectos modo que el índice de ocurrencia de defectos se reduce a la mitad (se reduce a la mitad (λλ=0.01). ¿Qué efecto =0.01). ¿Qué efecto tiene esto sobre la probabilidad. de uno o más tiene esto sobre la probabilidad. de uno o más defectos?defectos?

SoluciónSolución

Sea X el número de defectos en un Sea X el número de defectos en un ensamblaje.ensamblaje.

Solución a) Solución a)

X tiene distribución Poisson(X tiene distribución Poisson(λλ=0.02) =0.02)

P(X=1) = [exp(-.02)](.02)/1!P(X=1) = [exp(-.02)](.02)/1!

=[.9802](.02)/1=[.9802](.02)/1

≈≈.0196.0196

Solución b)Solución b) P(X≥1) = 1-P(X<1)=1-P(X=0)P(X≥1) = 1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-{[exp(-.02)](.02)=1-{[exp(-.02)](.02)º/0!}º/0!}=1-{(.9802)(1)/1}=1-{(.9802)(1)/1}≈≈.0198.0198Solución c) Solución c) P(X≥1)= 1-P(X=0)P(X≥1)= 1-P(X=0)=1-{[exp(-.01)](.01)=1-{[exp(-.01)](.01)º/0!}º/0!}=1-.99005=1-.99005=.00995 ≈.01 ¡La probabilidad se =.00995 ≈.01 ¡La probabilidad se

reduce a la mitad también!.reduce a la mitad también!.

Problema No. 3Problema No. 32-21. Un fabricante de calculadoras 2-21. Un fabricante de calculadoras

electrónicas ofrece un año de garantía. Si electrónicas ofrece un año de garantía. Si la calculadora falla por cualquier razón la calculadora falla por cualquier razón durante este periodo, será reemplazada. El durante este periodo, será reemplazada. El tiempo hasta una falla está bien modelado tiempo hasta una falla está bien modelado por la siguiente distribución de por la siguiente distribución de probabilidad:probabilidad:

a)¿Qué porcentaje de las calculadoras fallará a)¿Qué porcentaje de las calculadoras fallará dentro del periodo de garantía? dentro del periodo de garantía?

0125.0)( 125.0 xsiexf x

b) El costo de fabricación de una calculadora b) El costo de fabricación de una calculadora es de 50 dólares y la ganancia por venta es es de 50 dólares y la ganancia por venta es 25 dólares. ¿Cuál es el efecto de la garantía 25 dólares. ¿Cuál es el efecto de la garantía de reemplazo sobre la ganancia?de reemplazo sobre la ganancia?

Solución a) Observemos que f(x) es la Solución a) Observemos que f(x) es la densidad exponencial con parámetro densidad exponencial con parámetro λλ=.125=.125

P(X≤1) =F(1)P(X≤1) =F(1)

donde F es la distribución acumulada exponencialdonde F es la distribución acumulada exponencial

=1- exp{-.125(1)}=1- exp{-.125(1)}

=1-exp(-.125)=1-exp(-.125)

=.1175 =.1175

Esto es, aproximadamente fallará el 11.75% de Esto es, aproximadamente fallará el 11.75% de las calculadoras producidaslas calculadoras producidas

El efecto de la garantía es que por El efecto de la garantía es que por cada 100 calculadoras vendidas, cada 100 calculadoras vendidas, aproximadamente fallarán 12 y aproximadamente fallarán 12 y tendrán que gastarse 75 dólares tendrán que gastarse 75 dólares adicionales en su reposición. Es adicionales en su reposición. Es decir se emplearán (12)(75)=900 decir se emplearán (12)(75)=900 dólares adicionales en promedio por dólares adicionales en promedio por cada 100 calculadoras vendidas.cada 100 calculadoras vendidas.

Problema No. 4Problema No. 42-22. El contenido neto en onzas de un 2-22. El contenido neto en onzas de un

refresco en lata es una variable aleatoria refresco en lata es una variable aleatoria con distribucióncon distribución

Encontrar la probabilidad de que una lata Encontrar la probabilidad de que una lata contenga menos de 12 onzas del contenga menos de 12 onzas del producto.producto.

SoluciónSolución

75.1225.12)75.12(4

25.1275.11)75.11(4)(

xx

xxxf

12

75.11)75.11(4)12( dxxXP

125.0)472()12(12

75.11

2 xxXP

Problema No. 5Problema No. 5

2-23 Un proceso de producción opera con 2-23 Un proceso de producción opera con una salida disconforme de 2%. Cada hora una salida disconforme de 2%. Cada hora se toma una muestra de 50 unidades del se toma una muestra de 50 unidades del producto y se cuenta el número de producto y se cuenta el número de unidades disconformes. Si se encuentran unidades disconformes. Si se encuentran una o más unidades disconformes, el una o más unidades disconformes, el proceso se detiene y el técnico de control proceso se detiene y el técnico de control de calidad debe buscar la causa de la de calidad debe buscar la causa de la producción disconforme. Evaluar el producción disconforme. Evaluar el desempeño de esta regla de decisión.desempeño de esta regla de decisión.

SoluciónSoluciónX es binomial con n=50 y p=.02X es binomial con n=50 y p=.02

P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)

La probabilidad de que exista al menos 1 La probabilidad de que exista al menos 1 disconforme es alta. Significa que es disconforme es alta. Significa que es probable que el proceso se detenga luego probable que el proceso se detenga luego de cada muestra, lo que volvería muy de cada muestra, lo que volvería muy costoso el proceso. costoso el proceso.

6358.3642.1)98(.)02(.0

501)1( 480

XP

Problema No. 6Problema No. 6Se selecciona una muestra de 50 unidades Se selecciona una muestra de 50 unidades

de un proceso de producción que es 2% de un proceso de producción que es 2% disconforme. ¿Cuál es la probabilidad de disconforme. ¿Cuál es la probabilidad de que excederá la verdadera fracción que excederá la verdadera fracción disconforme por k desviaciones estándar, disconforme por k desviaciones estándar, donde k=1, 2 y 3?.donde k=1, 2 y 3?.

Solución: para k=1, k desviaciones Solución: para k=1, k desviaciones estándar de es igual a: estándar de es igual a:

p̂

p̂

020.50

)98)(.02(. n

pq

)04.ˆ(1)04.ˆ()020.02.ˆ( pPpPpP

P=1- .922=.079P=1- .922=.079

Para k=2, 2 desviaciones estándar de sería:Para k=2, 2 desviaciones estándar de sería:

2*.02=.042*.02=.04

=1-0.9822=.0178=1-0.9822=.0178

Para k=3, 3 desviaciones estándar de sería:Para k=3, 3 desviaciones estándar de sería:

3*.02=.063*.02=.06

= 1-.997=.003= 1-.997=.003

)50(

)04(.50

0

98.02.50

)04(.( xx

xx

nXP

p̂

)08.ˆ(1)08.ˆ()06.02.ˆ( pPpPpP

)06.ˆ(1)06.ˆ()04.02.ˆ( pPpPpP

p̂

Problema No. 7Problema No. 7

La resistencia de tensión de una pieza La resistencia de tensión de una pieza metálica sigue una distribución normal metálica sigue una distribución normal con media de 40 libras y desviación con media de 40 libras y desviación estándar de 8 libras. Si se producen estándar de 8 libras. Si se producen 50,000 piezas, ¿cuántas dejarían de 50,000 piezas, ¿cuántas dejarían de cumplir con el límite de la cumplir con el límite de la especificación mínima de 34 libras de especificación mínima de 34 libras de resistencia de tensión?. ¿Cuántas resistencia de tensión?. ¿Cuántas tendrían una resistencia de tensión en tendrían una resistencia de tensión en exceso de 48 libras?. exceso de 48 libras?.

SoluciónSolución

XX~N(40,8)~N(40,8)

P(X<34)=P(X<34)=ΦΦ[(34-40)/8]= [(34-40)/8]= ΦΦ(-(-0.75)=.22660.75)=.2266

De las 50,000 piezas, aproximadamente De las 50,000 piezas, aproximadamente 50,000(.2266)=11,330 piezas no 50,000(.2266)=11,330 piezas no cumplirán la especificación.cumplirán la especificación.

P(X>48)=1-P(X ≤48)=1-P(X>48)=1-P(X ≤48)=1-ΦΦ[(48-40)/8][(48-40)/8]

=1- =1- ΦΦ(1)(1)

=1-.8413=1-.8413

=.1587=.1587

Solo el 15.87% de las piezas Solo el 15.87% de las piezas aproximadamente resistirá más de 48 aproximadamente resistirá más de 48 libras.libras.

Problema No. 8Problema No. 8(tomado de Walpole)(tomado de Walpole)

Se sabe que históricamente la Se sabe que históricamente la concentración de contaminantes concentración de contaminantes producidos por plantas químicas exhiben producidos por plantas químicas exhiben un comportamiento que se asemeja a una un comportamiento que se asemeja a una distribución Lognormal. Esto es distribución Lognormal. Esto es importante cuando se consideran importante cuando se consideran problemas con respecto a la obediencia de problemas con respecto a la obediencia de las regulaciones gubernamentales. las regulaciones gubernamentales. Suponga que la concentración de cierto Suponga que la concentración de cierto contaminante, en partes por millón, tiene contaminante, en partes por millón, tiene distribución Lognormal con distribución Lognormal con µ=E(lnX)=3.2 µ=E(lnX)=3.2 y y σσ=desviación estándar del lnX=desviación estándar del lnX=1. =1.

¿Cuál es la probabilidad de que la ¿Cuál es la probabilidad de que la concentración exceda ocho partes por concentración exceda ocho partes por millón?.millón?.

SoluciónSolución

Sea X la concentración de contaminantesSea X la concentración de contaminantes

Como ln(X) tiene distribución normal con Como ln(X) tiene distribución normal con media media µ=3.2 y µ=3.2 y σσ=1, entonces=1, entonces

EntoncesEntonces

)8(1)8( XPXP

1314.0)12.1(1

2.3)8ln(8

XP

8686.1314.1)8( XP

Problema No. 9Problema No. 9

Suponga que la vida de servicio, en años, Suponga que la vida de servicio, en años, de la batería de un aparato para sordos de la batería de un aparato para sordos es una variable aleatoria que tiene una es una variable aleatoria que tiene una distribución Weibull con distribución Weibull con

¿Cuánto tiempo se puede esperar que dure ¿Cuánto tiempo se puede esperar que dure la batería?la batería?

¿Cuál es la probabilidad de que tal batería ¿Cuál es la probabilidad de que tal batería esté en operación después de 2 años?esté en operación después de 2 años?

22/1 y

SoluciónSolución

Sea la variable aleatoria X la duración de Sea la variable aleatoria X la duración de la batería, en años.la batería, en años.

Tiempo de duración esperado= E(X)Tiempo de duración esperado= E(X)

=(.7071)=(.7071)ΓΓ(3/2)=(.7071)(0.8862)=.6267 (3/2)=(.7071)(0.8862)=.6267 años≈229 díasaños≈229 días

Nota: Nota:

21

1)7071(.1

12/1)(

XE

11)1( si

8862.021

21

21

23