PROBLEMAS DE TEOREMA DE LA DIVERGENCIAENUNCIADO DEL TEOREMASea E una regin simple slida cuya superficie frontera S tiene una orientacin positiva (hacia afuera). Sea F un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una regin abierta que contiene a E. Entonces: S EdV div F dS FRecordar que otra notacin para div F es FPROBLEMAS RESUELTOS1) Evaluar el flujo del campo vectorialF(x;y;z) = xyi +(y2 + 2xze)j +sen(xy)ka travs de la superficie frontera de la regin E acotada por el cilindro parablico z = 1 - x2 y los planos z = 0, y = 0, y + z = 2.SOLUCINEl problema invita a la transformacin de la integral de flujo en algn otro tipo de integral paraevitar lascomplejidadesquesurgirandeparametrizar el segundotrminodela segunda componente del campo vectorial, y tambin para hacer una sola integral en vez de cuatro. y = 2 - zz = 1 -x2 yPara aplicar el teorema de la divergencia calculamos:div F = y + 2y = 3yEvaluaremos la integral de volumen de esta funcin escalar tomando el dominio como una regin de tipo 3; esto es, una regin encerrada entre dos funciones de un dominio bidimensional ubicado sobre el plano xz.3 3 div351841110202 x zE E Sydydzdx ydV dV F dS Fs(0;2;0) y = 2 - zz = 1 -x2(1;0;0)(0;0;1) yxz2) Verificar el teorema de la divergencia para el campo vectorial F = |r|r y la superficie esfrica x2 + y2 + z2 = 9.SOLUCIN:Elvectorreselvectorposicin(x;y;z).De modoqueen trminos delasvariables cartesianas el campo vactorial dado puede expresarse como:) ; ; (2 2 2z y x z y x + + FLa superficie dada puede parametrizarse a travs de coordenadas esfricas:' 2 00, cos 3sen sen 3cos sen 3zyxCon esta parametrizacin tenemos:) cos sen 9 ; sen sen 9 ; cos sen 9 ( sen 3 sen cos 3 cos cos 30 cos sen 3 sen sen 32 2 k j ir rEs sta una normal exterior? Probmoslo con un punto. En (0;3;0) tendramos = = /2, y para tales valores el PVF calculado da (0;-9;0), o sea una normal interna. Por lo tanto la normal externa vendr dada por el PVF calculado haciendo el producto vectorial en el orden opuesto, esto es:) cos sen 9 ; sen sen 9 ; cos sen 9 (2 2 r rEvaluando ahora F en funcin de esta parametrizacin es:F(;) = 3(3sencos; 3sensen; 3cos)y:F(r r) = = 81senAs que:[ ] 324 cos 81 sen 81 ) ( ) ; (20 02020 d d d d dD Sr r F dS FHemos hecho un clculo bastante complejo por integrales de superficie. Veamos ahora cmoreduciendoestoaunaintegral devolumenconel teoremadeladivergenciael clculo se simplifica notablemente.Calculemos en primer lugar la divergencia:( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2div z y x xxz y x yyz y x xx+ ++ + ++ + + FCalculando las derivadas parciales por separado y sumando miembro a miembro se tiene:( )( )( )2 2 22 2 22 2 22 2 22 2 222 2 2 2 2 22 2 222 2 2 2 2 22 2 222 2 2 2 2 24 3 div z y xz y xz y xz y xz y xzz y x z y x zzz y xyz y x z y x yyz y xxz y x z y x xx+ + + ++ ++ + + + ++ + + + ++ ++ + + + ++ ++ + + + +FSi ahora llevamos esto a coordenadas esfricas tenemos:Haciendo los clculos obtenemos: 324 div dVEFHemos obtenido el mismo resultado por los dos caminos, verificando as el teorema de la divergencia.sd d d d d dVE sen44 sen 4 div3020 030 02042 1]1

F3) Calcular el flujo del campo F(x; y;z) =(0;esenxz+ tanz;y2) a travs del semielipsoide superior 2x2 + 3y2 + z2 = 6, z 0 con su normal apuntando hacia arriba.SOLUCINResolveremos este problema por el teorema de la divergencia. Si observamos que div F = 0, y llamando (ver figura) S = S1 S2 y V el volumen encerrado por S, podemos plantear:00div. por teor.0 serpor ; SS VVdVdVdS FdS F FFF(1)Nos interesa la integral no sobre toda la superficie S, sino slo sobre S2. Puesto que la integral es un concepto aditivo respecto al dominio de integracin, tendremosOyzxS1S2623 + 1 2 2 10(1) ec. porS S S S SdS F dS F dS F dS F dS F(2)Vemos que la integral sobre S2es la misma que la integral sobreS1cambiada de signo. Calcularemos, pues, esta ltima, que aparenta ser ms sencilla, dado que la normal es un vector vertical y adems la superficie carece de componente z.S1es una elipse sobre el planoxy, 2x2+3y2=6, quepuedeser parametrizadadirectamenteencoordenadas cartesianas como T(x; y) = (x(x; y); y(x; y); z(x; y)), donde:' 232232- 2 - 23 3 ,0x y xxzy yx x ,donde los lmites para xy yhan sido despejados de la ecuacin de la elipse. Para esta parametrizacin, tenemos que el producto vectorial fundamental ser:kk j iT T N 0 1 00 0 1y xSi ejecutramosel PVFenel ordeninverso, nosdara-k. Cul debemoselegir?El enunciado nos pide que la normal de la superficie elipsoidal apunte hacia arriba, lo cual significa que apunte hacia el exterior del volumen indicado en la figura, que es el que usamosparaplantearelteoremade la divergencia. Por lotanto,para la base tambin deberemos tomar la normal exterior a dicho volumen, esto es, -k.Por lo tanto la integral que buscamos vendr expresada por:( ) ( ) 238273294332 / 322 / 33231- 3 3 / 2- 3 3 / 23333133- 3 3 / 2- 3 3 / 2233(2/3) - 2(2/3) - 2233(2/3) - 2(2/3) - 22tablas- 3 2) 1 ; 0 ; 0 ( ) ; 0 ; 0 (2222221221 dx x dydx y dydx ydydx y dydx y dSxxxxxxSxxSN F dS FLuego, reemplazando en (2) tenemos 231 2 S SdS F dS FQuees el resultadoquebuscbamos. Podranhaberseutilizadotambincoordenadas elpticas, que hubieran simplificado la integral pero a costa de una mayor complejidad en el clculo del PVF, lo que significaba aproximadamente el mismo trabajo que operando en cartesianas.s p p0 L - zz L y p p0 L - zz L y4) Hidrosttica. A partir del principio de Pascal, demostrar el de Arqumedes.Principio de Pascal: p = p0 + ghPrincipio de Arqumedes: Empuje = Peso de lquido desplazado (en mdulo).SOLUCIN:Si E es un slido con superficie frontera S sumergido en un lquido de densidad consante , en cuya interfase con la atmsfera reina una presin ambiente p0, y si adoptamos un sistemadecoordenadascomoel delafigura, el principiodePascal nosdicequela presin en el diferencial de superficie indicado, ubicado a una profundidad L - z, vendr dada por:p = p0 + g(L - z)Por definicindepresin, la fuerza queel fluidoejercer sobrecadaelemento de superficiedel slidovendrdadaenigual direccinysentidocontrarioalanormal externa a este ltimo, siendo:dF = -pdSLa componente vertical de esta fuerza vendr dada por:dFz = dF(0;0;1) = -pdS(0;0;1) = -[p0 + g(L - z)](0;0;1)dSSiintegramosestediferencial defuerzasobretodoel dominio, estoes, sobretodala superficie S, obtendremos la componente vertical de la fuerza resultante: + + S Szgz gL p z L g p F dS dS ) ; 0 ; 0 ( ) 1 ; 0 ; 0 ))( ( (0 0Notemosahoraqueestaltimaesunaintegral deflujo, yquepodemosporlotanto aplicarle el teorema de la divergencia:gM dV g dV gdV gz gL p gz gL p FE EE Sz

) ; 0 ; 0 ( div ) ; 0 ; 0 (0 0 + + dSDonde M es la masa del lquido que ocupara un volumen igual al del objeto sumergido. La fuerza vertical total, pues, es igual al peso del lquido desplazado. Se deja al lector demostrar por un razonamiento similar que las componentes x e y de la fuerza son nulas. Por lo tanto el empuje total del lquido es igual al peso del lquido desplazado, con lo cual hemos demostrado el principio de Arqumedes.sxdFdS p p0 L - zz L yzSEPROBLEMAS PROPUESTOS1) Calcule mediante el teorema de la divergencia el flujo exterior del campo F(x; y; z) = 3xyi + y2j- x2y4ksobre la superficie del tetraedro con vrtices (0;0;0), (1;0;0), (0;1;0), y (0;0;1).2) Usar el teorema de la divergencia para evaluar la integral del campo vectorialF(x; y; z) = z2x i +(31y3 + tanz) j + (x2z + y2) ksobre la mitad superior de la esfera x2 + y2 + z2 = 1. 3) Verificar la validez del teorema de la divergencia para el campo F(x; y; z) = zx i +yz j + 3z2 k y el slido E acotado por el paraboloide x2 + y2 = z y el plano z = 1.4) Encontrar la densidad de flujo (Flujo/rea) del campo de fuerzasF(x; y; z) = (xy2 + cosz) i +(xy2 + senz) j + ez ksobre la superficie frontera del slido limitado por el cono 2 2y x z + y el plano z = 4.5) Si integramos el campo de velocidades de un fluido sobre una superficie obtenemos el caudal que atraviesa la misma. Sea un lquido sometido a un campo de velocidades dado porv(x; y; z) = z tan-1(y2) i +z3 ln(x2 + 1) j + z k,queincluyeensuformulacintodoslosefectosdebidosarozamientos, viscosidady demsfactoresdisipativos. Hallarel caudaldeestelquidoqueatraviesaunfiltrode forma paraboloidal que consta de la parte de la superficiex2+ y2= 1 -zque est por encima del plano z = 1. Tomar el filtro orientado hacia arriba.6)Ley de Gauss.Demostrar el siguiente resultado, de importancia trascendente en electromagnetismo. Sea E una regin simple slida en R3 y S su frontera. Sea tambin r el vector posicin (x;y;z). Entonces si (0;0;0) S, tenemos:' E siES(0;0;0) 0(0;0;0) si 43dSrrIDEA.Notar que si el origen pertenece aEnopodemos aplicar el teorema de la divergencia, pues el campo vectorial no es suave all. Aplicar el teorema de la divergencia a toda la regin salvo una pequea bola de radio centrada en el origen, y luego calcular el flujo sobre la frontera de esta ltima.7) Demostrar que si Ees una regin en R3 limitada por una superficie S, donde tanto E como S cumplen las condiciones del teorema de la divergencia, entonces 0 rot SdS FparacualquiercampovectorialFconderivadasparcialesdesegundo orden continuas.8) Usar el teorema de la divergencia para evaluar( )dS z y xS + +22 2 ,donde S es la esfera unitaria centrada en el origen.