DIVISIBILIDAD COCIENTES NOTABLES FACTORIZACIÓN

I

1. ¿Cuál será aquel polinomio

cuadrático de coeficiente principal 4,

capaz de ser divisible por 12x y

que al ser evaluado en (2) toma el

valor de 5?

A) 24x 4x 3 B) 2

4x 4x 3

C) 24x 4x 3 D) 2

4x 4x 2

E) 24x 4x 2

RESOLUCIÓN

Sea este Polinomio 2

xP 4x ax b :

Por condición: 2

x4x ax b 2x 1 .q '

2

1 14 a b 0

2 2

-a+2b=-2.............................(1)

Además: 2

x4x ax b (x 2)q '' 5

Entonces: 4(2)² + 2a+b = 5

2a+b = 11 .........................(2)

De: 2(1)+(2) : 5b=-15 b=-3

En (2) :2a=-8 a=-4

Conclusión: 2

xP 4x 4x 3

RPTA.: C

2. ¿Para qué valor de “m” el polinomio: 2 2 2 2 2 2 2

x y z x y z mx yz

es divisible por (x+y+z)?

A) 4 B) 2 C) 1

D) -8 E) -4

RESOLUCIÓN

En la base a la identidad:

yzmxzyxzyx2222222

z,y,x'qzyx

Con: x=1 ; y=1; z=-2 evaluando:

(1-1+4)(1+1-4)+m….(-2)=0

-8=2m m=-4

RPTA.: E

3. Busque la relación que debe existir

entre “p” y“q” a fin de que el

polinomio:

3

xP x 3px 2q

Resulte ser divisible por 2

ax

A) 23

qP B) 32

qP C) qP

D) 1q.P E) 2

qP

RESOLUCIÓN

Aplicando dos veces ruffini bajo el principio de divisibilidad.

Si: 0332

Pa

Pa2 3

32

Pa

Reemplazando en: 01

R

3 3 33a 2q a 0 a q

22

3qa

Conclusión: .qP23

RPTA.: A

4. Determine “abc” sabiendo que el

polinomio :

-a

-a

1

1

1

0

-a

-3P

2a

2q

apa 32

-a )pa( 32 3

23 aqap

-a 22a 0

1R

Pa 332-2a

01

R

-a

-a

1

1

1

0

-a

-3P

2a

2q

apa 32

-a )pa( 32 3

23 aqap

-a 22a 0

1R

Pa 332-2a

01

R

432

26 xxxbax)cb(caxP

es divisible por 132

xx

A) -2 B) -34 C) 40

D) -1360 E) 2720

RESOLUCIÓN

Por Teorema de divisibilidad

011

R'qxPxx

012

R''qxPxx

033

R'''qxPxx

Empleando Ruffini ( tres veces)

Si: a+b+c-4=0 a+b+c=4

b+c-6=0 b+c=6

a+b-38=0 a+b=38 en (1) c=-34 en (2) b=40

Luego: abc=2720.

RPTA.: E

5. Si el Polinomio:

;xxxPx

611623 es divisible

por: (x-a), (x-b) y (x-c)

indistintamente.

¿Cuál será el residuo de:

111111

accbbax

Px

?

A) 0 B)1

C) ab + bc + ca D) 1

D) ab + cb + ca

RESOLUCIÓN

Al ser divisible indistintamente lo será también por el producto es decir:

)x(xq)cx)(bx)(ax(P

611623

xxx 3er grado Uno

(monico)

611623

xxx

abcxcabcabxcbax23

De donde: a + b + c = 6

ab +bc + cd= 11 abc= 6

Se pide:

x x xP P P

x 11 1 1 c a bx x

ab bc ca abc

Evaluando en x=1: 01

PR

RPTA.: A

6. ¿Cuál será aquella división notable

que genere al cociente

15253035

a...aaa .

A) 1

136

a

a B)

1

1

5

40

a

a

C) 1

1

5

40

a

a

RESOLUCIÓN

Por principio teórico de signo y

variación de exponente de 5 en 5, es la B.

RPTA.: B

7. Encuentre el valor de: 9

10 1 999

A) 1000001 B) 1010101

1

-1

-2

-2

1

-6

-2

(b+c)

-8

+21

R

-6

2R

(a+b-8)

(c+a)

-8 a+b-8 a+2b+c-8

(a+b)

(a+2b+c-81) 2(a+b+c-4)

6 -a-b+2

3

(a+b-2) b+c-6

-2

-6

-12

-36

a+b-38

3R

C) 1001001 D) 0

E) 1

RESOLUCIÓN

Acondicionando el divisor:

11010110

110

110

110 13

23

3

33

3

9

1001001

RPTA.: C

8. Sabiendo que el cociente de la

división 2

30

yx

yx

n

m

; consta de 10

términos.

Determine el valor de: nm

A) 60 B) 8000 C) 20

3

D) 600 E) 8

RESOLUCIÓN

Por condición:

30 m

10n 2

n=3

m=20

Luego: 20³ = 8000

RPTA.: B

9. Se desea conocer de cuántos

términos está constituido el cociente

de : 1

1

x

xsabiendo que

236

1005010xTTT

A) 396 B) 133 C) 132

D) 236 E) 131

RESOLUCIÓN

1 2 3 kx 1x x x ...x ... 1

x 1

2

T 3

T k

T

10

10T x 10 50 100 236

x .x .x x

50

50T x

100

100T x 3 160 236

x x

De donde: 2361603 3963 132

Luego: # términos=132+1=133

RPTA.: B

10. Si la división indicada: P

P

yx

yx

3

432

genera un cociente notable. Averigüe

al término antepenúltimo

A) 92

yx B) 6 324x y

C) 36 360x y D) 0

E) x6 y314

RESOLUCIÓN

Si la división indicada es notable, debe cumplir que:

P 432

3 P

2P 3.432

2 3 4P 3.3 .2

2 2P 3 .2 36

Luego:

12 123 36

36 432

3 36 1 13 36

x yx y

x y x y

1 2 10 11 12

T T ... T T T

antepenúltimo

12 10 10 1

3 36 6 324

antep 10T T x y x y

RPTA.: B

11. Después de dividir el cociente de

1

116

x

xn

; Nn . Entre ;x 1 se

obtiene un nuevo cociente que al ser

dividido por 12

xx obtendremos

como residuo.

A) 0 B) -x C) x+1

D) x-1 E) 1

RESOLUCIÓN

Efectuando la división notable

6n

6n 1 6n 2 6n 3 2x 1x x x x x 1

x 1

Luego en: 6n 1 6n 2 6n 3 2

x x x ... x x 1

x 1

Aplicando Ruffini

Existen “6n” términos

Existen “6n-1” términos

6n 2 6n 4 6n 6 4 2

xq x x x ... x x 1

Finalmente en: 2

xq x x 1

Según el teorema del residuo

Si: 2x x 1 x

Que al evaluarlo en este valor

2R q 1 0

Cero

RPTA.: A 12. Factor Primo de:

b,aQ 1+b+c+a(1+b+c+bc)+bc

será: A) 1+c B) 1+b C) 1+ab

D) 1+bc E) 1+abc

RESOLUCIÓN

Asociando:

bccbabccbQb,a

11

Extrayendo factor común

abccbQb,a

11

abcbQb,a

111

a,b

Q 1 c 1 b 1 a

Constante

RPTA.: B

13. ¿Cuántos factores primos binómicos

admite el polinomio;

.Nn;xxxxXPnn

x1

232

A) 1 B) 2 C) 3

D) n E) ninguno

RESOLUCIÓN

Asociando de 2 en 2:

1232

xxxxx.xPnn

x

n 2 2 2

xP x (x 1) x(x 1) (x 1)

112

xx)x(Pn

x

n

xP (x 1)(x 1) x x 1

RPTA.: B

14. Uno de los divisores de:

bcaddcba 22222

Será:

A) a-b+c-d B) a+b-c+d

-1

1 1 1

-1 0

1 0 1

-1

... 1 1

...0 1

1

-1

00 … …...... ….....

C) a-b-c + d D) a+b+c-d

E) a-b-c-d

RESOLUCIÓN

Asociando convenientemente

2 2 2 2a b c d 2ad 2bc a =

2 2 2 2a 2ad d b 2bc c =

2 2

a d b c

a d b c a d b c

RPTA.: A

15. ¿Cuál será el divisor trinomio del

polinomio en variables: m,n,p.

3 3 3m n P n P m P m n ?

A) m-n-P B) m+n-P

C) m-n+P D) m+n+P

E) mn+nP+Pn

RESOLUCIÓN

Mediante la distribución en el

segundo y tercer término:

nPmPmnPnPnm33333

Asociando:

)pn(mpnnPPnm33223

PnPn 22

PnpnPn

(n-P) 3 2 2 2m n P nP mn² mnP mP

(n-P) nmPnmnPnmm222

(m+n)(m-n) 22

PnPmnmnm)Pn(

Pm(n)PmPmnm)Pn(

PnmPmnm)Pn(

RPTA.: D 16. El Polinomio:

1133

yxxyyxy,xM

Será divisible por:

A) 122

yxyxyx

B) 122

yxyxyx

C) 122

yxyxyx

RESOLUCIÓN

Asociando convenientemente

1313

yxxyyxy,xM

Diferencia de cubos 2

M x, y x y 1 x y x y 1

-3xy(x+y-1)

Extrayendo el factor común 2 2

M x, y x y 1 x xy y x y 1

RPTA.: C

17. Un factor primo racional de:

27933

abbaRa

; será:

A) a+b+3

B) a-b+3

C) ab-3(a+b)

D) 9322

baabba

E) 9322

baabba

RESOLUCIÓN 333

333abbaR

a

Corresponde a la identidad Gaussiana, que proviene de:

baabbaba 3333222

baabbacba 3922

RPTA.: D

18. Cuántos divisores admitirá el

Polinomio:

… …

…......

…...... …......

82423342yabyxabbxaP

y;x

A) 8 B) 7 C) 15

D) 4 E) 3

RESOLUCIÓN

Empleando el aspa simple:

82423342yaby.xabbxaP

y,x

22

xa 42

yb

2

bx 4

ay

424222aybxybxaP

y,x

4222aybxbyaxbyaxP

y,x

Nº divisores: (1+1)(1+1)(1+1)

RPTA.: A

19. Halle la suma de los elementos de

aquellos Polinomios irreductibles que

se desprenden de:

2

2222242 yxzyxzQ

z,y,x

A) 4x B) 4y C) 4z

D) 2(x-y) E) 2(x+y)

RESOLUCIÓN

Mediante un aspa simple

2

2222242 yxzyxzQ

2z

2

yx

2z

2

yx

2222

yxzyxzQ

yxzyxzyxzyxzQ

z,y,x

Sumando estos elementos =4z

RPTA.: C

20. Un divisor del Polinomio:

x,y

P 2x 2x 7y 3y(5y 12) 48x

será:

A) 3x-4y B) 4x-3y C)2x-3y

D) 2x-3x E) 2x-5y+12

RESOLUCIÓN

Buscando la forma de un aspa doble:

036481514822

yxyxyxPy,x

4x -3y 0 2x 5y 12

125234 yxyxPy,x

RPTA.: B