División Larga de Polinomios - Precálculoprecalculo.carimobits.com/PrecalcII/Material del...
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Contenido Objetivos Divisi´on larga de polinomios El Teorema del Residuo El Teorema del Factor Divisi´ on Larga de Polinomios Carlos A. Rivera-Morales Prec´ alculo 2 Rivera-Morales, Carlos A. Divisi´on Larga de Polinomios
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ContenidoObjetivos
Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division Larga de Polinomios
Carlos A. Rivera-Morales
Precalculo 2
Rivera-Morales, Carlos A. Division Larga de Polinomios
ContenidoObjetivos
Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Tabla de Contenido
1 Objetivos
2 Division larga de polinomiosAlgoritmo de Division para Polinomios
3 El Teorema del Residuo
4 El Teorema del Factor
Rivera-Morales, Carlos A. Division Larga de Polinomios
ContenidoObjetivos
Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Tabla de Contenido
1 Objetivos
2 Division larga de polinomiosAlgoritmo de Division para Polinomios
3 El Teorema del Residuo
4 El Teorema del Factor
Rivera-Morales, Carlos A. Division Larga de Polinomios
ContenidoObjetivos
Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Tabla de Contenido
1 Objetivos
2 Division larga de polinomiosAlgoritmo de Division para Polinomios
3 El Teorema del Residuo
4 El Teorema del Factor
Rivera-Morales, Carlos A. Division Larga de Polinomios
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Tabla de Contenido
1 Objetivos
2 Division larga de polinomiosAlgoritmo de Division para Polinomios
3 El Teorema del Residuo
4 El Teorema del Factor
Rivera-Morales, Carlos A. Division Larga de Polinomios
ContenidoObjetivos
Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Objetivos:
Discutiremos:
la division larga de polinomios
el Algoritmo de Division para Polinomios
el Teorema del Residuo
el Teorema del Factor
Rivera-Morales, Carlos A. Division Larga de Polinomios
ContenidoObjetivos
Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Objetivos:
Discutiremos:
la division larga de polinomios
el Algoritmo de Division para Polinomios
el Teorema del Residuo
el Teorema del Factor
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Objetivos:
Discutiremos:
la division larga de polinomios
el Algoritmo de Division para Polinomios
el Teorema del Residuo
el Teorema del Factor
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Objetivos:
Discutiremos:
la division larga de polinomios
el Algoritmo de Division para Polinomios
el Teorema del Residuo
el Teorema del Factor
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ContenidoObjetivos
Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
La division larga de polinomios es una herramienta que sepuede utilizar para factorizar completamente un polinomio.
Por lo tanto, 6x3 − 16x2 + 17x− 6 = (3x− 2)(2x2 − 4x + 3)
Rivera-Morales, Carlos A. Division Larga de Polinomios
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
La division larga de polinomios es una herramienta que sepuede utilizar para factorizar completamente un polinomio.
Por lo tanto, 6x3 − 16x2 + 17x− 6 = (3x− 2)(2x2 − 4x + 3)
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
La division larga de polinomios es una herramienta que sepuede utilizar para factorizar completamente un polinomio.
Por lo tanto, 6x3 − 16x2 + 17x− 6 = (3x− 2)(2x2 − 4x + 3)
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Ejemplo:
Dividir: x3 + 4x2 − 3x− 12 por x + 2
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Ejemplo:
Dividir: x3 + 4x2 − 3x− 12 por x + 2
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Algoritmo de Division para Polinomios
Teorema: Si P(x) y D(x) son polinomios tal que D(x) 6= 0 y elgrado de D(x) es menor o igual que el grado de P(x), entoncesexisten polinomios Q(x) y R(x), unicos, tales que
P (x) = D(x) Q(x) + R (x)
donde R (x) = 0 o el grado de R(x) es menor que el grado deD(x). Si R(x) = 0, entonces se dice que D(x) divide a P(x).
P(x): dividendoD(x): divisorQ(x): cocienteR(x): residuo
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ContenidoObjetivos
Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Algoritmo de Division para Polinomios
Teorema: Si P(x) y D(x) son polinomios tal que D(x) 6= 0 y elgrado de D(x) es menor o igual que el grado de P(x), entoncesexisten polinomios Q(x) y R(x), unicos, tales que
P (x) = D(x) Q(x) + R (x)
donde R (x) = 0 o el grado de R(x) es menor que el grado deD(x). Si R(x) = 0, entonces se dice que D(x) divide a P(x).
P(x): dividendoD(x): divisorQ(x): cocienteR(x): residuo
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Algoritmo de Division para Polinomios
Teorema: Si P(x) y D(x) son polinomios tal que D(x) 6= 0 y elgrado de D(x) es menor o igual que el grado de P(x), entoncesexisten polinomios Q(x) y R(x), unicos, tales que
P (x) = D(x) Q(x) + R (x)
donde R (x) = 0 o el grado de R(x) es menor que el grado deD(x). Si R(x) = 0, entonces se dice que D(x) divide a P(x).
P(x): dividendoD(x): divisorQ(x): cocienteR(x): residuo
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Algoritmo de Division para Polinomios
Teorema: Si P(x) y D(x) son polinomios tal que D(x) 6= 0 y elgrado de D(x) es menor o igual que el grado de P(x), entoncesexisten polinomios Q(x) y R(x), unicos, tales que
P (x) = D(x) Q(x) + R (x)
donde R (x) = 0 o el grado de R(x) es menor que el grado deD(x). Si R(x) = 0, entonces se dice que D(x) divide a P(x).
P(x): dividendo
D(x): divisorQ(x): cocienteR(x): residuo
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Algoritmo de Division para Polinomios
Teorema: Si P(x) y D(x) son polinomios tal que D(x) 6= 0 y elgrado de D(x) es menor o igual que el grado de P(x), entoncesexisten polinomios Q(x) y R(x), unicos, tales que
P (x) = D(x) Q(x) + R (x)
donde R (x) = 0 o el grado de R(x) es menor que el grado deD(x). Si R(x) = 0, entonces se dice que D(x) divide a P(x).
P(x): dividendoD(x): divisor
Q(x): cocienteR(x): residuo
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Algoritmo de Division para Polinomios
Teorema: Si P(x) y D(x) son polinomios tal que D(x) 6= 0 y elgrado de D(x) es menor o igual que el grado de P(x), entoncesexisten polinomios Q(x) y R(x), unicos, tales que
P (x) = D(x) Q(x) + R (x)
donde R (x) = 0 o el grado de R(x) es menor que el grado deD(x). Si R(x) = 0, entonces se dice que D(x) divide a P(x).
P(x): dividendoD(x): divisorQ(x): cociente
R(x): residuo
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Algoritmo de Division para Polinomios
Teorema: Si P(x) y D(x) son polinomios tal que D(x) 6= 0 y elgrado de D(x) es menor o igual que el grado de P(x), entoncesexisten polinomios Q(x) y R(x), unicos, tales que
P (x) = D(x) Q(x) + R (x)
donde R (x) = 0 o el grado de R(x) es menor que el grado deD(x). Si R(x) = 0, entonces se dice que D(x) divide a P(x).
P(x): dividendoD(x): divisorQ(x): cocienteR(x): residuo
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Algoritmo de Division para Polinomios
dividendo = (divisor)(cociente) + residuo
P (x) = D(x)Q(x) + R(x)
dividendodivisor = cociente + residuo
divisor
P (x)D(x) = Q(x) + R(x)
D(x)
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Algoritmo de Division para Polinomios
dividendo = (divisor)(cociente) + residuo
P (x) = D(x)Q(x) + R(x)
dividendodivisor = cociente + residuo
divisor
P (x)D(x) = Q(x) + R(x)
D(x)
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Algoritmo de Division para Polinomios
dividendo = (divisor)(cociente) + residuo
P (x) = D(x)Q(x) + R(x)
dividendodivisor = cociente + residuo
divisor
P (x)D(x) = Q(x) + R(x)
D(x)
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Algoritmo de Division para Polinomios
dividendo = (divisor)(cociente) + residuo
P (x) = D(x)Q(x) + R(x)
dividendodivisor = cociente + residuo
divisor
P (x)D(x) = Q(x) + R(x)
D(x)
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Ejemplo:
Dividir: 5x3 − 16− 20x + x4 por x2 − x− 3
Se escribe tanto el dividendo como el divisor en ordendescendente segun las potencias de x.
Se usan marcadores de posicion para los terminos que noaparecen de forma explıcita (i.e. sus coeficientes numericosson cero).
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Ejemplo:
Dividir: 5x3 − 16− 20x + x4 por x2 − x− 3
Se escribe tanto el dividendo como el divisor en ordendescendente segun las potencias de x.
Se usan marcadores de posicion para los terminos que noaparecen de forma explıcita (i.e. sus coeficientes numericosson cero).
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Ejemplo:
Dividir: 5x3 − 16− 20x + x4 por x2 − x− 3
Se escribe tanto el dividendo como el divisor en ordendescendente segun las potencias de x.
Se usan marcadores de posicion para los terminos que noaparecen de forma explıcita (i.e. sus coeficientes numericosson cero).
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Ejemplo:
Dividir: 5x3 − 16− 20x + x4 por x2 − x− 3
Rivera-Morales, Carlos A. Division Larga de Polinomios
ContenidoObjetivos
Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Teorema de Residuo
Teorema: Si el polinomio P(x) se divide por (x− c), entoncesel residuo es P(c).
Razon: Por el Algoritmo de Division para Polinomios existenpolinomios Q(x) y R(x), unicos, tales que:P (x) = (x− c)Q(x) + R(x). Como el grado del residuo R(x) esmenor que el grado del divisor D(x), el residuo es unaconstante. Si se denota esa constante por r, entoncesP (x) = (x− c)Q(x) + r.Si se establece que x = c,P (c) = (c− c)Q(c) + r = 0×Q(c) + c = rPor lo tanto, P(c) = r.
Rivera-Morales, Carlos A. Division Larga de Polinomios
ContenidoObjetivos
Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Teorema de Residuo
Teorema: Si el polinomio P(x) se divide por (x− c), entoncesel residuo es P(c).
Razon: Por el Algoritmo de Division para Polinomios existenpolinomios Q(x) y R(x), unicos, tales que:P (x) = (x− c)Q(x) + R(x).
Como el grado del residuo R(x) esmenor que el grado del divisor D(x), el residuo es unaconstante. Si se denota esa constante por r, entoncesP (x) = (x− c)Q(x) + r.Si se establece que x = c,P (c) = (c− c)Q(c) + r = 0×Q(c) + c = rPor lo tanto, P(c) = r.
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ContenidoObjetivos
Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Teorema de Residuo
Teorema: Si el polinomio P(x) se divide por (x− c), entoncesel residuo es P(c).
Razon: Por el Algoritmo de Division para Polinomios existenpolinomios Q(x) y R(x), unicos, tales que:P (x) = (x− c)Q(x) + R(x). Como el grado del residuo R(x) esmenor que el grado del divisor D(x), el residuo es unaconstante. Si se denota esa constante por r, entoncesP (x) = (x− c)Q(x) + r.
Si se establece que x = c,P (c) = (c− c)Q(c) + r = 0×Q(c) + c = rPor lo tanto, P(c) = r.
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ContenidoObjetivos
Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Teorema de Residuo
Teorema: Si el polinomio P(x) se divide por (x− c), entoncesel residuo es P(c).
Razon: Por el Algoritmo de Division para Polinomios existenpolinomios Q(x) y R(x), unicos, tales que:P (x) = (x− c)Q(x) + R(x). Como el grado del residuo R(x) esmenor que el grado del divisor D(x), el residuo es unaconstante. Si se denota esa constante por r, entoncesP (x) = (x− c)Q(x) + r.Si se establece que x = c,P (c) = (c− c)Q(c) + r = 0×Q(c) + c = rPor lo tanto, P(c) = r.
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ContenidoObjetivos
Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Ejemplo:
Use el Teorema del Residuo para evaluar P (x) = 4x2 − 10x− 21cuando x = 5.
Como el residuo es 29, P(5)= 29.
Rivera-Morales, Carlos A. Division Larga de Polinomios
ContenidoObjetivos
Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Ejemplo:
Use el Teorema del Residuo para evaluar P (x) = 4x2 − 10x− 21cuando x = 5.
Como el residuo es 29, P(5)= 29.
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Ejemplo:
Use el Teorema del Residuo para evaluar P (x) = 4x2 − 10x− 21cuando x = 5.
Como el residuo es 29, P(5)= 29.
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Ejemplo:
Use el Teorema del Residuo para evaluar P (−3) siP (x) = 2x3 − 4x2 + 1.
Como el residuo es -89, P(-3)= -89.
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ContenidoObjetivos
Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Ejemplo:
Use el Teorema del Residuo para evaluar P (−3) siP (x) = 2x3 − 4x2 + 1.
Como el residuo es -89, P(-3)= -89.
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Ejemplo:
Use el Teorema del Residuo para evaluar P (−3) siP (x) = 2x3 − 4x2 + 1.
Como el residuo es -89, P(-3)= -89.
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Teorema del Factor
Teorema: Sea c un numero real. Entonces, (x - c) es un factorlineal de P(x) si, y solo si, P (c) = 0.
De otra forma, (x− c) es un factor lineal de P(x) si, y solo si, ces un cero real de P(x).
Demostracion:
Si P(x) factoriza de la forma P (x) = (x− c)Q(x) entonces,
P (c) = (c− c)×Q(c) = 0×Q(c) = 0
De otra forma, si P (c) = 0, entonces por el Teorema del Residuo
P (x) = (x− c)×Q(x) + 0 = (x− c)×Q(x)
Rivera-Morales, Carlos A. Division Larga de Polinomios
ContenidoObjetivos
Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Teorema del Factor
Teorema: Sea c un numero real. Entonces, (x - c) es un factorlineal de P(x) si, y solo si, P (c) = 0.De otra forma, (x− c) es un factor lineal de P(x) si, y solo si, ces un cero real de P(x).
Demostracion:
Si P(x) factoriza de la forma P (x) = (x− c)Q(x) entonces,
P (c) = (c− c)×Q(c) = 0×Q(c) = 0
De otra forma, si P (c) = 0, entonces por el Teorema del Residuo
P (x) = (x− c)×Q(x) + 0 = (x− c)×Q(x)
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Teorema del Factor
Teorema: Sea c un numero real. Entonces, (x - c) es un factorlineal de P(x) si, y solo si, P (c) = 0.De otra forma, (x− c) es un factor lineal de P(x) si, y solo si, ces un cero real de P(x).
Demostracion:
Si P(x) factoriza de la forma P (x) = (x− c)Q(x) entonces,
P (c) = (c− c)×Q(c) = 0×Q(c) = 0
De otra forma, si P (c) = 0, entonces por el Teorema del Residuo
P (x) = (x− c)×Q(x) + 0 = (x− c)×Q(x)
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Division larga de polinomiosEl Teorema del Residuo
El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Ejemplo:
Determine si (x + 3) es un factor de 3x3 + 4x2 − 18x− 3.
Para determinar si (x + 3) es un factor deP (x) = 3x3 + 4x2 − 18x− 3, se divide P(x) por (x + 3).
Rivera-Morales, Carlos A. Division Larga de Polinomios
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El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Ejemplo:
Determine si (x + 3) es un factor de 3x3 + 4x2 − 18x− 3.
Para determinar si (x + 3) es un factor deP (x) = 3x3 + 4x2 − 18x− 3, se divide P(x) por (x + 3).
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El Teorema del Factor
Division larga de polinomios
Como el residuo no es igual a cero, (x + 3) no es un factorlineal de P(x). Por lo tanto, -3 no es un cero real de P(x).
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