Division
Transcript of Division
CEDART
“DAVID ALFARO SIQUEIROS”
TRABAJO FINAL DE ALGEBRA
PROFESOR: Víctor Manuel Morales Arzaga
ALUMNO: Gilberto Guzmán Carillo
GRUPO: 1 A
DICIEMBRE 2010
Objetivo general
Este trabajo tiene como propósito hacer que el alumno desarrolle,
explore, domine y aprenda más del álgebra que se nos enseña en el
salón de clases, para que futuramente se le faciliten este tipo de
problemas.
Además se espera que el resultado de la calificación que se obtenga
del trabajo, contribuya a que el alumno que lo realiza tenga una
calificación aprobatoria para el semestral.
División
1. Definir la división algebraica.
La división algebraica representa la razón de cambio entre dos funciones.
La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un
producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el
producto de ambos factores llamado dividendo.
2. Propiedades de la división.
Propiedad 1. Operación No Interna:
El resultado de dividir dos números naturales (esto es, su cociente) no tiene por qué salir otro número natural. Por esto se dice que el cociente de números naturales no es una propiedad interna, el resultado final puede pertenecer a otro conjunto numérico.
Por ejemplo, esto ocurre cuando el segundo término es mayor que el primero, ¿qué pasaría si hiciéramos 2/4 en lugar de 4/2? El resultado es 0.5
Propiedad 2. No Conmutativa:
El orden de los sumandos influye mucho en el resultado de una división. Como ya hemos visto: 2/4 no es igual que 4/2
Propiedad 3 . Elemento Neutro:
Un elemento Neutro es un número que hace que al dividir "no ocurra nada", o sea,
cuando tenemos un número y lo dividimos entre su elemento neutro, nos sigue
apareciendo el mismo número. Así el 1 es el elemento neutro de la división porque
cuando a un número cualquiera lo dividimos entre 1, se sigue quedando el mismo
número. Por ejemplo: 3/1=1
Propiedad 4 . El cero y la d iv is ión:
Cero dividido entre cualquier número siempre da 0.
Propiedad 5, División exacta:
En una d ivis ión exacta e l d iv idendo es igual a l d iv isor por el coc iente. D = d · c
Propiedad 6. División externa:
En una d ivis ión entera e l d iv idendo es igual a l d iv isor por e l coc iente más e l resto.
D = d · c + r
3. Elementos (partes) de la división. Dividendo: Es lo que se desea dividir Divisor: Es en cuantas partes se quiere dividir Cociente: Es en cuantas veces queda dividido Resto: Es lo que sobra de la división.
4. Resolver:
(Nota) las operaciones de polinomios entre polinomios fueran hechas en
cuaderno, debido a que no supe como poner exactamente la fórmula
como se nos mostró en clase.
5. Si un espacio rectangular tiene un área de y la
anchura es ¿Cuánto mide la base?
6. Expresar conclusiones personales sobre la primera unidad
“Operaciones algebraicas”.
Creo que es interesante la manera en que se desarrollan los temas, al igual
que las operaciones, en parte porque los podemos utilizar para resolver
problemas que se nos plantean a la hora de hacer un trabajo, puede ser el
de medir un terreno, entre otros.
Me fije en que también se puede resolver un problema con distinto
método, por ejemplo en la división, creo que en los otros no se puede, no
estoy seguro, pero por lo menos en las mencionadas. Las divisiones que se
pueden hacer con otro método son las de “monomio entre monomio”, se
pueden resolver de la misma manera que las de “polinomio entre
polinomio”, de hecho es hacer lo mismo pero acomodando el problema de
otra manera.
Es muy importante la manera en que se aplican, dividen, o multiplican los
signos porque si en una operación, por ejemplo en resta, no se cambian los
signos dentro del paréntesis (en caso de que el signo de la izquierda del
paréntesis sea negativo), el resultado estará equivocado.
Productos notables
1. Definir qué son los productos notables.
Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.
Ejemplo:
2. Indicar las reglas para la resolución de cada uno de los productos
notables vistos en clase (5 tipos).
Binomios a una potencia:
Los binomios a una potencia es la multiplicación de n veces un mismo
binomio.
Ejemplo:
Binomio al cuadrado:
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se
suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos.
Binomio al cubo:
Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término,
con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el
triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del
segundo término.
Binomios con término común:
Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma
el cuadrado del término común con el producto del término común por la
suma de los otros (por los términos no comunes), y al resultado se añade el
producto de los términos diferentes.
Binomios a potencia superior:
Triangulo de Pascal
(Usando el triangulo de Pascal)
El primero inicia con la potencia indicada y luego baja hasta cero.
El segundo inicia con potencia cero y aumenta hasta la potencia que se
indica.
A continuación podremos ver algunos de los ejemplos de resolución de
cada tipo de los productos notables.
5. Expresar conclusiones personales sobre la segunda unidad
“productos notables”
Creo que son muy difíciles pero interesantes de hacer, pero la mayoría
tienen métodos más sencillos y uno en especial es más complejo (el de
binomios a potencia superior). Aún así pienso que si uno se pone a
desarrollar este tipo de operaciones puede llegar a entretenerse porque le
llega a gustar, como me pasó a mí.
Multiplicación
a) Indica la ley de los signos en la multiplicación.
(+)(+)=(+) (+)(-)=(-) (-)(-)=(+) (-)(+)=(-)
b) Explica la ley distributiva de la multiplicación (utiliza un ejemplo).
La operación o es distributiva por la derecha respecto de la operación si se cumple
que dados tres elementos cuales quiera a, b, c, entonces:
(boc) a= ab+ac
Lo que nos quiere decir la ley distributiva es la manera en que se multiplican las letras,
por así decirlo, las letras que están adentro del paréntesis multiplican en orden a la/las que
están afuera del paréntesis, en este caso, “b” multiplica primero a “a”, y luego “c”
multiplica por “a” y el resultado quedaría como el ejemplo anterior. Es la manera en queda
multiplicada una operación.
c) Indica la ley de los exponentes en la multiplicación, división, radical y
potencia.
MULTIPLICACION: al multiplicar dos potencias de igual base se copia la base y se
suman los exponentes, para tener el exponente del producto.
DIVISION: al dividir dos potencias de igual base, se copia la base y al exponente del
dividendo se le resta el exponente del divisor, dando el exponente del cociente. Toda
cantidad con un exponente negativo es un número racional, que representa el inverso
multiplicativo de un número entero. Al dividir dos cantidades exactamente iguales que
tengan idéntico exponente, obtendremos una expresión con exponente cero, que también
será equivalente a la unidad.
RADICAL: La expresión es un radical el número a se llama radicando y n es el índice
del radical. El símbolo es un signo radical.
Si
POTENCIA: al elevar una potencia a un exponente, se copia la base y se multiplican los
exponentes.
d) Resuelve las siguientes multiplicaciones:
e) Un terreno rectangular mide 2x - 4 metros de largo y 5x + 3 metros de
ancho ¿Cuál es el modelo matemático que expresa su área? (agrega
la figura).
(2x-4)(5x+3)
f) En una tienda se compran tres diferentes artículos A, B y C. A cuesta
3x por unidad y se compran 5 unidades, B cuesta 4x + 2 por unidad y
se compraron 3 unidades y C cuesta x por unidad y se compraron
7 unidades. ¿Cuál es el modelo matemático del costo total de la
compra?
5A+3B+7C=
5(3x)+3(4x+2)+7( )
Resta
a) Ejemplifica una aplicación de la resta algebraica (describe el
problema, agrega imagen o esquema y resuelve).
Tengo 8 laptops chicas (m), 5 medianas(n) y 7 grandes (p) y voy
a vender 2 chicas, 3 medianas y 5 grandes, ¿cuántas
computadoras me quedan de cada tamaño?
(8m+5n+7p) - (2n+3n+5p)= 6n+3n+2p trinomio lineal
b) Resuelve las siguientes operaciones.
(5m+4n-7) - (8n-7) + (4m-3n+5) - (-6m+4n-3)=
15m-11n+8 trinomio lineal.
(
.
Diseñar otra resta con fracciones (mínimo trinomio)
=
Álgebra
El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las
relaciones y las cantidades (en el caso del álgebra elemental). Es una de las
principales ramas de la matemática, junto a la geometría, el análisis
matemático, la combinatoria y la teoría de números.
Álgebra elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la
aritmética, en donde solo se usan los números y sus operaciones aritméticas
(como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos
(usualmente a, b, c, x, y, z). Esto es útil porque:
Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b +
a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las
propiedades de los números reales.
Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el
estudio de cómo resolverlas.
Permite la formulación de relaciones funcionales.
Usos
Los usos y costumbres sociales se refieren a las tradiciones que son
memorizadas y pasadas a través de generaciones, originalmente sin la
necesidad de un sistema de escritura.
Si tu trabajo requiere de algún conocimiento mayor entonces el álgebra está
presente en la resolución de pequeñas ecuaciones. por ejemplo cuanto tiempo
tengo que dejar determinado dinero a interés para obtener la cantidad que
necesitas. O ver cuál es el interés que te están cobrando por financiarte un
electrodoméstico y si las cuotas que te cobran son correctas, etc.
Término algebraico:
Es el producto y/o división de una o más variables (factor literal) y un
coeficiente o factor numérico. Por ejemplo:
Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de
operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se
denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten
traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.
Exponentes
El exponente de un número nos dice cuántas veces se usa el número en una
multiplicación.
En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64
Grado
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio de una variable es el máximo exponente que posee
el monomio sobre la variable; Por ejemplo en 2x3 + 4x
2 + x + 7, el término de
mayor grado es 2x3; este término tiene una potencia tres en la variable x, y por
lo tanto se define como grado 3 o de tercer grado. Para polinomios de dos o
más variables, el grado de un término es la suma de los exponentes de las
variables en el término; el grado del polinomio será el monomio de mayor
grado. Por ejemplo, el polinomio x2y
2 + 3x
3 + 4y tiene un grado 4, el mismo
grado que el término x2y
2.
Suma
Resolver:
+
=
Trinomio
cuadrático.
Trinomio cuadrático.
Conclusiones finales.
Personalmente, creo que es un buen ejercicio el que
nos puso nuestro profesor de álgebra, pero lo veo algo
extenso y demasiado difícil cuando no se tiene mucho
tiempo de hacerlo (como en mi caso), no se si sea la
cantidad de problemas más recomendable para aplicar
a personas de nuestro grado, pero lo que sí sé es que
te deja un buen aprendizaje y motivación para seguir
adelante en cualquier situación.
Por otra parte, también saqué la conclusión de que si
tienes un trabajo grande por hacer, más vale empezar
lo más pronto posible como si el trabajo fuera a
entregarse para el siguiente día.
Puede que dé flojera hacer tanto trabajo, pero hay que
agarrar ganas para tomar nuestra responsabilidad y
hacer lo que nos corresponde.
Una cosa que me gusta de estos problemas es que
con sus formulas se pueden resolver problemas y
ecuaciones si algún día se nos llega a ofrecer, y otra
cosa que me gusta es que cuando uno se la pasa
resolviendo estos problemas, llega un punto en el que
ya hay facilidad para llevarlos a cabo y a veces dan
ganas de realizar más de éstos.