1

OBJETIVOS

- Identificar el algoritmo de la división.

- Identificar el grado del dividendo, divisor, cociente

y residuo.

- Reconocer y diferenciar si un polinomio es

completo y ordenado.- Efectuar la división de dos polinomios.

DIVISIÓN ALGEBRAICA

Es la operación que tiene como objetivo calcular una expresión llamada cociente (q) y otra llamada residuo (R), conociendo otras denominadas dividendo (D) y divisor (d).

Esquema clásico

D

R

d

q

Se conoce

Por conocer

: D y d

: q y R

Se cumple: D = dq + R

Propiedades

1. El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

qº = Dº - dº

2. El grado máximo del resto es el grado del divisor disminuido en uno.

Rº = dº - 1MÁX.

RºMÁX Grado máximo del resto.

3. La propiedad fundamental de la división en el Álgebra forma una identidad.

D = dq + R D d . q + R (x) (x) ( x) (x)

4. Si la división es exacta, el resto es un polinomio idénticamente nulo.

R 0(x)

Ejemplo:

D x + x + 2x - 3(x) 8 4

d x - 7(x) 5

8°

5°

q° = 8 - 5 = 3

R° = 5 - 1 = 4MÁX

Para dividir dos polinomios tenemos el siguiente criterio:

1. Ordenar el dividendo y divisor, según una misma variable, colocando cero para los términos que faltan.

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor obteniendo el primer término del cociente.

3. Se multiplica el primer término obtenido del cociente por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para ello se coloca cada término de este producto debajo de su semejante cambiándole de signo. Luego se suma algebraicamente.

4. Se efectúan las operaciones como en los pasos anteriores continuando hasta que el residuo sea un polinomio de grado menor que el divisor.

• Ejemplo 1:

Dividir: 4x5 - 12x4 + 13x3 + 12x2 - x + 1 entre: 2x2 - 3x + 1

Resolución:

4x - 12x + 13x + 12x - x + 15 4 3 2

-4x + 6x - 2x5 4 3

-6x + 11x + 12x4 3 2

+6x - 9x + 3x4 3 2

2x + 15x - x3 2

-2x + 3x - x3 2

18x - 2x + 12

-18x + 27x - 92

25x - 8

2x - 3x + 12

2x - 3x + x + 93 2

Luego:

- El polinomio cociente es: 2x3 - 3x2 + x + 9- El polinomio residuo es: 25x - 8

• Ejemplo 2:Efectuar la división: x3 - 27 x + 3

Resolución:

SESIÓN 1DIVISIÓN

ALGEBRAICA I

2

En este caso el dividendo carece de término en x2 y en "x", por lo cual los supliremos con coeficiente cero.

x + 0x + 0x - 273 2 x + 3

-x - 3x3 2 x - 3x + 92

-3x + 0x2

+ 3x + 9x2

9x - 27-9x - 27

- 54

Finalmente:

Cociente: x2 - 3x + 9Residuo: -54

• Ejemplo 3:

Efectuar la siguiente división:(x2 + 7x + 12) (x + 3)

Resolución:

x + 7x + 122 x + 3

-x - 3x2 x + 4

4x + 12

-4x - 12

0

Luego el cociente es x + 4 y la división es exacta pues el residuo es 0.

• Ejemplo 4:

Efectuar la siguiente división:(x2 - x3 + x4 - 3x + 2) (x2 + x + 2)

Resolución:

Ordenamos el dividendo según las potencias decrecientes de "x".

x - x + x - 3x + 24 3 2 x + x + 22

-x - x - 2x4 3 2 x - 2x + 12

-2x - x - 3x3 2

2x +2x + 4x3 2

x + x + 22

-x - x - 22

0

Finalmente:

Polinomio cociente: x2 - 2x + 1Polinomio residuo: 0

MÉTODO DE COEFICIENTES SEPARADOS

En la división de polinomios, podemos prescindir de la parte literal.

• Ejemplo:

Dividir: 10x4 + 6x3 - 37x2 + 36x - 12entre: 5x2 - 7x + 3

Resolución:

Como el polinomio dividendo y divisor están completos y ordenados en forma decreciente podemos distribuir sólo coeficientes.

10-10

6+ 14

-37- 6

36 -12

20-20

-43+ 28

36-12

-15

15

24-21

-12+ 9

3 -3

5 - 7 32 4 -3

Luego:

- El polinomio cociente es: 2x2 + 4x - 3- El polinomio residuo es: 3x - 3

1. Sea la siguiente división:

nx2x3

m2xx2x72

56

además:

A: grado del dividendoB: grado del divisorC: grado del cociente

Efectuar: (A - C)B

TALLER DE APRENDIZAJE PREVIO

3

2. En la división:

1x3x5

3xx2x73

2n

Si el grado del cociente es 2007, hallar el valor de "n"

3. Indicar el residuo de la siguiente división:

(x2 - 12x + 35) (x - 5)

4. Efectuar: (x2 - 5x + 4) (x - 1)e indicar el cociente

5. Indicar el cociente, luego de dividir:

3a2a

7a6a5a22

23

6. Indicar la suma de coeficientes del residuo en la división:

4x2x

8x20x9x52

234

1. Al dividir:

1x5x3x2

5x8x11x7x13x623

2456

Señalar el cociente:

a) 3x3 + 2x2 + x + 2 b) x3 + 2x2 + x + 2c) x3 + x2 + x + 1 d) x3 - 2x2 + 3x - 2e) 8x2 + x + 3

Del problema anterior:

2. Señalar el residuo:

a) x2 + 2x + 2 b) 3x3 + 2x2 + x + 2c) 8x2 + x + 3 d) x2 - x + 1e) 2

3. El coeficiente del término lineal del cociente es:

a) 1 b) 2 c) 3d) 0 e) 4

4. La suma de coeficientes del cociente:

a) 4 b) 7 c) 6d) 5 e) 8

5. Hallar el residuo de la siguiente división:

PROBLEMAS PARA LA CLASE

4

3y2y

5y7y5y2

23

a) y + 5 b) y2 + 3 c) y + 3

d) -10y + 14 e) 10y + 14

6. Hallar el residuo de la división:

1z3z

5zz2z3z2

234

a) z2 + 1 b) -2 c) 4z

d) -6 e) 4z - 6

7. Hallar "A + B", si la siguiente división:

2x3x

BAxx2x3x2

24

3

; es exacta.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

8. Calcular "m + n + p", si la división:

7y5y4y3

pnymyy7y17y623

2345

; es exacta.

a) 22 b) 18 c) 17d) 25 e) 28

9. En la siguiente división exacta:

2mm

bm5amm4m22

234

; calcular "a + b".

a) 2 b) 13 c) 9

d) 8 e) 19

10. Determinar "a + b"; si la división:

1xx

baxx5x32

34

;

deja como residuo: 5x + 7.

a) 28 b) 24 c) 20

d) 16 e) 12

11. Calcular "m + n + p", si la división:

2zz2z3

pnzmzz12z2z3z923

23456

arroja como residuo "6z2 + 4z + 3"

a) 10 b) 18 c) 9d) 25 e) 15

12. Hallar la suma del cociente y el residuo en:

1y4y

8y9y3y4y2

234

a) y2 + 6y - 6 b) y2 + 17y - 8

c) y2 + 15y - 7 d) y2 - 17y + 7

e) y2 - 15y - 8

13. Hallar "A+B", en la siguiente división:

3x2x

BAxx10x5x2

234

; exactaa) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 18

1. Calcular el polinomio cociente, luego de dividir:

1x

1x3x3x 23

a) x2 - x +1 b) x2 - 2x + 1

c) x2 + 2x + 1 d) x2 + x + 1

e) x2 + x

2. Efectuar la división:

(x4 - 16) (x + 2),

Indicar verdadero (V) o falso (F).

I. El polinomio cociente es: x3 - 2x2 + 4x + 8

II. El polinomio residuo es: 0

III. El polinomio cociente es: x3 - 2x2 + 4x - 8

a) FVV b) FFF c) FVF

d) VFF e) VVV

3. Indicar el cociente, luego de dividir:

(2a3 - 3a2 + 4a - 5) (a - 2)

a) 2a2 + a + 1 b) 2a2 + a + 3

c) 2a2 + a + 4 d) 2a2 + a + 5

e) 2a2 + a + 6

TAREA DOMICILIARIA

5

4. Efectuar: (-63 + 2x + x2) (x + 9)

Indicar el cociente.

a) x - 4 b) x - 5 c) x - 6

d) x - 7 e) x - 8

5. Efectuar:

2xx

6x5x2x2

23

Indicar el polinomio cociente.

a) x + 2 b) x + 3 c) x + 4

d) x + 5 e) x + 6

6. Dada la división:

(x4 - 4x2 + 16) (x2 + 4)

Indicar verdadero (V) o falso (F).

I. El cociente es: x2 - 8.

II. El residuo es -48.

III. La división es exacta.

a) FVV b) VVV c) FFF

d) VFF e) VFV

7. Indicar el cociente, luego de dividir.

(12x4 - 10x3 + 8x2 - 6x + 4) (x2 + 1)

a) 12x2 - 10x - 4 b) 12x2 - 10x - 3

c) 12x2 - 10x - 2 d) 12x2 - 10x - 1

e) 11x2 - 10x

8. Hallar el cociente de la siguiente división:

2xx

7x6x3x2

23

a) x - 2 b) x + 2 c) x - 1d) 2x - 3 e) 2x + 3

9. Al efectuar la siguiente división:

5x3x2

6x9x5x4x42

234

Indicar el cociente.

a) x2 + x - 1 b) x2 - 1 c) 2x2 + x - 1d) x + 11 e) 2x2 - 2x – 1

10. Hallar el residuo de la siguiente división:

1xx

1x4x5x2x323

245

a) x2 + 3x + 1 b) x2 + 3x c) x2 - 3xd) x2 + 5x e) x2 - 5x + 1

11. Hallar "m + n", si la división:

1x2x

nmxx2

6

Deja como residuo a "2x"

a) 9 b) 7 c) 5d) 11 e) 13

OBJETIVOS:

- Identificar coeficientes del dividendo y divisor.

- Reconocer y diferenciar si un polinomio es

completo y ordenado.- Realizar la división de dos polinomios utilizando el

método de Horner.

MÉTODO DE HORNER

Como ya sabes, las cuatro operaciones aritméticas fundamentales son:

SUM A

+RESTA

-M ULT I PLI CACI ÓN

×DI VI SI ÓN

De igual manera, en el Álgebra se verán estas cuatro operaciones.

Así por ejemplo:

SUM Ay

R ESTA•

Fueron vistas en los dos primeroscapítulos del bimestre (operacio-nes con po linom ios I y I I ) .

PR O DU CT O•

Fue visto durante las dos últimas clases (Capítulos I I I y I V: P roduc-tos Notables I y I I ) .

D I V I S I Ó N• ¡¡Es el capítulo de hoy!!

Parte teórica

Para dividir polinomios, existen tres métodos:

1. Método clásico.2. Método de Willian Horner.3. Método de Paolo Ruffini.

SESIÓN 2DIVISIÓN

ALGEBRAICA II

6

Sin embargo, sea cual fuere el método que usemos, es necesario que los polinomios a dividir estén completos y ordenados en forma descendente.

• Polinomio completo (con respecto a una

variable)

Significa que el polinomio debe poseer todas las potencias, de la variable en referencia, inferiores a su grado.

Ejemplo:

1. P(x) = 5x2 - 2 + 7x + 9x32.

11x)x(2x

2

7x2)x(Q 2223

3. S(z) = z3 + 5 - 6z + z2

• Polinomio ordenado (con respecto a una

variable)Es aquel polinomio donde los exponentes de sus variables van aumentando o van disminuyendo a partir del primer término.

Ejemplos:

1. P(x) = 2x + 7x + 1

2. Q(y) = y + y + y + 1

3. R(x) = x + 4x + 5x

4. S(z) = z + z + z - 1

2

4 2

2 3 7

3 2

Observa los exponentes de lasvariables.Los tres primerospolinomios estánordenados.El último no.¿Por qué?

Método de Horner

En la división:D(x)

R(x)

d(x)

Q(x)

• D(x) es el DIVIDENDO. • d(x) es el DIVISOR.• Q(x) es el COCIENTE. • R(x) es el

RESIDUO.En el método de Horner, se hará uso del siguiente diagrama:

el cuál será llenado de la siguiente manera:

CO E FI C I E N T E S D EL D I VI DE N DOC

OEF.

DEL

DIVISOR

Estecoeficienteno cambiade signo.

Estoscoeficientessi cam biande signo.

Aqu í irán los coeficientesdel cociente

Aqu í irán loscoeficientes del residuo

1. Dividir:

2xx

2x3xxx2

432

Resolución:Ordenando el polinomio dividendo:

2xx

2x3xxx2

234

1

-1

-2

1

1

-1

-1

-2

1

-2

2

1

-3

4

-1

0

2

-2

0

del esquema:

Cociente: Q(x) = x2 - 2x + 1Resto: R(x) = 0

2. Efectuar la división de polinomios:

3xx4

2x3x16x5x14x82

2345

Resolución:

4

-1

-3

8

2

14

-2

3

5

-6

-3

-1

16

-9

1

2

3

3

-2

4

2

-6

-4

Cociente: Q(x) = 2x3 + 3x2 - x + 2Residuo: E(x) = 4x - 4

3. Hallar "m", "n" y "p"; si la división no deja resto:

6x2x3

pnxmxx14x9x123

2345

Resolución:

PROBLEMAS RESUELTOS

7

0

(-m+30)

3

0

-2

6

12

4

-9

0

-3

14

-8

0

2

-m

24

6

0

0

(n-22)

n

-18

-4

0

(-p+12)

-p

12

Como la división no deja resto, entonces:

-m + 30 = 0 m = 30n - 22 = 0 n = 22

-p + 12 = 0 p = 12

4. Calcular "p" y "q", si la división es exacta:

4 2

2

x px q

x 6x 5Resolución:

Ordenando y completando

5x6x

qx0pxx0x2

234

p+ 31

1

6

-5

1

1

0

6

6

p

-5

36

0

-30

6p+ 186

(6p+ 156)

-5p- 155

(-5p+ q-155)

q

Como es exacta:

1566p 156 0 p p 26

6 -5p + q - 155 = 0 -5(-26) + q - 155 = 0 q = 25

5. Efectuar la siguiente división:

22

54322345

yxy2x4

yxy6yx6yx5yx2x4

Resolución:

Como los polinomios están completos y ordenados hacemos el esquema y efectuamos por Horner.

4

-2

+ 1

4

1

2

-2

0

-5

1

0

-1

6

0

2

2

6

-1

-4

1

1

2

3Luego:

- El polinomio cociente es:Q(X) = 1x3 - 0x2y - 1xy2 + 2y3 = x3 - xy2 +

2y3

- El polinomio residuo es:R(x) = xy4 + 3y5

1. Calcular la suma de coeficientes del cociente al dividir:

2x3x

3x5x2

24

2. Hallar el residuo al dividir:

1xx

x2

5

3. Hallar el cociente de la siguiente división:

6xx

2x10x3x2

23

4. Calcular "a - b", si la siguiente división:

TALLER DE APRENDIZAJE PREVIO

8

1x3x4

baxx9x10x82

234

, es exacta.

5. Hallar el residuo de la división:

2x2x

3xxx2x2

234

6. Calcular el cociente al dividir:

1x2x2

mnxx3x2x22

234

1. Hallar la suma de coeficientes del cociente al dividir:

2xx2

8x4x2x5x22

234

a) 2 b) 5 c) 7d) 9 e) 13

2. Calcular la suma de coeficientes del cociente luego de dividir:

2x6x5

3x7x6xx52

345

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

3. La suma de los coeficientes del cociente y residuo de la siguiente división:

3x2x

3xx3x2

23

; es:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Hallar el residuo al dividir:

2xx3

9x7x10x18x7x623

2345

;

dar como respuesta un término del residuo.

a) -x2 b) -x c) 2d) -1 e) x

5. Si la división:

2xx

nmxx5x3x2

234

; es exacta, hallar "mn".

a) 80 b) 90 c) 100d) 110 e) 120

6. Calcular el valor de "" para que:(x5 - 3x4 + 2x2 + 4) sea divisible por "x - 2".

a) 1 b) 4 c) 3d) 2 e) 6

7. Hallar "m + n + p", si la división:

7x5x4x3

pnxmxx7x17x623

2345

es exacta.

a) 22 b) 18 c) 17d) 25 e) 28

8. Hallar "a" para que el residuo de la división:

PROBLEMAS PARA LA CLASE

9

13a5sea;2ax

aaxaxx 223

.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9. Determinar "mnp", si la división es exacta:

1

3

1

-3

1

1

-2

3

1

-6

1

3

-2

m

-3

1

-6

n

-3

-2

p

6

* * *

a) -30 b) -120 c) 120d) -240 e) 240

10. Del esquema de Horner:

1

2

-1

1

1

-2

2

0

4

-1

0

3

-4

0

6

2

1

-3

4

2

-1

-2

-3

donde la única variable es "x"

El polinomio cociente es :______El polinomio residuo es :______El polinomio divisor es :______

11. Hallar la suma de coeficientes del cociente en la siguiente división:

1x2x

2007x2

101

a) 2007 b) 5050 c) 2020d) 4040 e) 3030

1. Hallar "A + B" si la división:

3x2x2

BAxx3x22

24

; es exacta.

a) 2 b) 4 c) 5d) 12 e) 13

2. Calcular el cociente de la siguiente división:

1xx3

BAxx2x5x32

234

a) (x - 1)2 b) (x + 1)2 c) x2

d) x2 - 1 e) x2 + 1

3. Indicar el cociente de la siguiente división:

1x3x2

6x2xx9x22

234

a) (x + 3)2 b) (x - 3)2 c) x2 + 3d) x2 - 3 e) x2

4. Determinar "A + B" en la siguiente división exacta:

1x5x

BAx8x2x9x22

234

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. La siguiente división:

1xx

mxmxx4x32

234

; deja como resto 4.

Calcular "m".

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6. La siguiente división:

1xx

mx4mxx3x52

234

Deja como residuo (x + 3), calcular "m".

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7. Calcular "n" en la siguiente división exacta:

4x2x

4x6nxnxnx2

234

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

8. Calcular "n" en la siguiente división exacta:

2x3x

32x52nx3nx2nx2

234

a) 1 b) 2 c) 3

TAREA DOMICILIARIA

10

d) 4 e) 5

9. Determinar "AB", si en la siguiente división el cociente y residuo son idénticos.

2x2x

BAxx6x2

23

a) 130 b) 132 c) 134d) 136 e) 138

10. Determinar "AB", si en la siguiente división el cociente y residuo son idénticos.

3xx

BAxx2x2

23

a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5

11. Dividir:

2x5x3

5x3x25x62

23

, el residuo es:

a) 2x - 5 b) -26x + 5 c) x + 5d) -6x + 25 e) 5x - 2

12. Al dividir:

5x3

9x18x19x6 23

, su cociente es:

a) 2x2 - 3x + 1 b) 2 + 3x + x2

c) 2x2 + 3x + 1 d) 4e) x2 - x + 1