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GUIA DE MATEMATICAS 8

Divisin Sinttica y Regla de Ruffini Pgina 1de 5

DIVISION SITETICA.

La divisin sinttica s e realiza para simplificar ladivisin de un polinomio entre otro polinomio de laforma x c, logrando una manera ms compacta ysencilla de realizar la divisin.

Ilustraremos como el proceso de creacin de ladivisin sinttica con un ejemplo

Comenzamos dividindolo normalmente

Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchostrminos durante el procedimiento, los trminos

restados pueden quitarse sin crearninguna confusin, al igual que no es necesario

bajar los trminos . al eliminar estostrminos repetidos el ejercicio nos queda

Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en

las columnas de cada potencia y colocando 0 en lasfaltantes se puede eliminar el escribir las potenciasde x, as

Como para este tipo de divisin solo se realiza conpara divisores de la forma x c entonces loscoeficientes de la parte derecha siempre son 1 c,

por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y elsigno negativo, tambin se puede lograr una formams compacta al mover los nmeros hacia arriba,nos queda de la siguiente forma

Si ahora insertamos a la primera posicin delltimo rengln al primer coeficiente del residuo(2), tenemos que los primeros nmeros de est e

rengln son los mismos coeficientes del cociente yel ltimo nmero es el residuo, como evitamosescribir dos veces eliminamos el cociente.

Esta ltima forma se llama divisin sinttica, perocmo hacerla sin tanto paso?, ahora lespresentamos los pasos para llevar a cavo la divisin

sinttica1. Se ordenan los coeficientes de los trminos en

un orden decreciente de potencias de x hastallegar al exponente cero rellenando concoeficientes cero donde haga falta

2. Despus escribimos c en la parte derecha delrengln

3. Se baja el coeficiente de la izquierda al tercerrengln.

4.

Multiplicamos este coeficiente por c paraobtener el primer nmero del segundo rengln(en el primer espacio de la izquierda nunca seescribe nada).

5. Simplificamos de manera vertical para obtener

el segundo nmero del tercer rengln.6. Con este ltimo nmero repetimos los pasos

cuatro y cinco hasta encontrar el ltimonmero del tercer rengln, que ser el residuo.

Ejemplos

Donde -108 es el residuo

Div

Donde 748 es el residuo y pese a n

coeficientes vemos que en el resulttodos los coeficientes necesarios pexponentes.Para generalizar hace falta notar qtenga e l divisor no debe ser necesanegativo. Para el uso de este mtopositivo o negativo.

METODO DE RUF

Si el divisor es un binomio de la foentonces utilizamos un mtodo mhacer la divisin, llamado regla deResolver por la regla de Ruffini la di

(x4

3x2

+2) (x 3)1) Si el polinomio no es completo,aadiendo los trminos que faltan2) Colocamos los coeficientes dellnea.

3) Abajo a la izquierda colocamostrmino independendiente del divi4) Trazamos una raya y bajamos ecoeficiente.

5) Multiplicamos ese coeficiente p

colocamos debajo del siguiente tr

6) Sumamos los dos coeficientes.


isin Sinttica y Regla de Ruffini Pgina 2de 5

o tener muchos

ado si aparecenra todos los

e el signo queiamente

do puede ser

INI

rma x a,s breve paraRuffini.isin

lo completamoson ceros.ividendo en una

el opuesto delor.primer

or el divisor y lo

ino.

7) Repetimos el proces

Volvemos a repetir el p

Volvemos a repetir.

8) El ltimo nmero ob9) El cociente es un pouna unidad al dividend

los que hemos obtenid

x3+ 3 x

2+ 6x +18

EJERCICIOS PROPUESTO

1.

(x3+ 2x +70) (x+4)

2. (2x4+ 6x

3+3x

2-x+6)

3. (3-3x3+6x

4) ( x-2)

4.

(2x5+20 ) ( x+2)

5. (2x4- 5x

3-2x

2+x-4)

6. (8 x5+3 x

4-2 x

3+4x

7. (5x4+ x

2- 2x 4)

8. (3x2-2x+1) (x-2)

9.

(5x3+3x2+x-2) (x

10.(x4-7x

3+6x

2-2x+1)

11.(x4-6x

2+3) (x+5)

12.(x6-1) (x+1)

13.

(x3-3x2+2) (x+3)

14.

(x4-6x3+3x2-1) (x

15.(3x3-x+5) (x-2)

16.(6x4-3x

2+9) (x-9)

o anterior.

roceso.

tenido, 56 , es el resto.

inomio de grado inferior eny cuyos coeficientes son

.

:

(x+ 3)

( x-3)

-6) ( x+1)

(x - 2)

+3)

(x+1)

+2)

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TEORIA DEL RESIDUO

El residuo de la divisinde un polinomio P(x), entre un

polinomio de la forma (x a) es el valor numrico de

dicho polinomiopara el valor: x = a.

P(x) Q(x)P(x)= x

4 3x

2+2 Q(x)= x 3

Calculo el resto de l a divisin por el teorema del

resto

P(3) = 34 3 3

2+ 2 = 81 27 + 2 =56

Ejercicios

Halla el resto de las siguientes divisiones:1. (x

5 2x

2 3) (x 1)

R (1) = 15 2 1

2 3 = 4

2. (2x4 2x3+ 3x2+ 5x +10 ) (x + 2)

R (2) = 2 (2)4

2 (2)3

+ 3 (2)2

+ 5(2) + 10 =

= 32 + 16 + 12 10 + 10 = 60

Indica cules de estas divisiones son exactas:

1. (x3 5x 1) (x 3)P (3) = 33 5 3 1 = 27 15 1 0

No es exacta.

2. (x6 1) (x + 1)

P (1) = (1)6 1 = 0

Exacta

3. (x4 2x

3+ x

2+ x 1) (x 1)

P (1) = 14 2 13+ 1 2+ 1 1 = 1 2 + 1 + 1 1 = 0

Exacta

4. (x10 1024) (x + 2)P (2) = (2)10 1024 = 1024 1024 = 0

Exacta

Realiza:

TEOREMA DEL FACTOREl polinomio P(x) es divisible por un polinomio dela forma (x - a) si y s lo si P(x = a) = 0.

Al valorx = ase le llama razo cerode P(x).

Las races o ceros de un polinomioson los valores

que anulan el polinomio.

Ejercicio

Comprueba que los siguientes polinomios tienen

como factores los que se indican:1. (x

3 5x 1) tiene por factor (x 3)

(x3 5x 1) es divisible por (x 3) si y slo si

P(x = 3) = 0.

P(3) = 33 5 3 1 = 27 15 1 0

(x 3) no es un factor.

2. (x6 1) tiene por factor (x + 1)

(x6 1) es divisible por (x + 1) si y slo si P(x =

1) = 0.

P(1) = (1)6 1 = 0

(x + 1) es un factor.

3. (x4 2x

3+ x

2+ x 1) tiene por factor (x 1)

(x4 2x3+ x2+ x 1) es divisible por (x 1 ) si

y slo si P(x = 1) = 0.

P(1) = 14 2 1

3+ 1

2+ 1 1 = 1 2 + 1 + 1

1 = 0

(x 1) esun factor.

4. (x10

1024) tiene por factor (x + 2)

(x10

1024) es divisible por (x + 2) si y slo siP(x = 2) = 0.

P(2) = (2)10

1024 = 1024 1024 = 0



(x + 2) es un factor.

Calculo las races del polinomio:

Q(x) = x2 x 6

Los divisores del trmino independiente son 1, 2,

3.

Q(1) = 12

1 6 0Q(1) = (1)

2 (1) 6 0

Q(2) = 22 2 6 0

Q(2) = (2)2 (2) 6 = 4 +2 +6 = 0

Q(3) = 32 3 6 = 9 3 6 = 0

x = 2 y x = 3 son las races o ceros delpolinomio: P(x) = x

2 x 6, porque P(2) = 0 y

P(3) = 0.

P(x) = (x + 2) (x 3)

Elige la opcin correcta y explcala:

1. Si x = 5 es raz del polinomio P(x) entonces...

P(x) es divisible por (x + 5)

P(5) = 0

Las dos respuestas anteriores son correctas.

2. Hallar las races de un polinomio consiste en...

hacer la raz cuadrada de dicho polinomio.

buscar los nmeros x = a tales que P(a) = 1

buscar los nmeros x = a tales que P(x) esdivisible por (x a)

3. Dado un polinomio del tipo P(x) = x5+ kx

3 2x

+ c, podemos afirmar que...

siempre tiene alguna raz.

todas sus races sern divisores de k.

todas sus races son divisores de c.

4. Dado un polinomio del tipo P(x) = ax3+ bx

2+

cx, podemos afirmar que...

una de sus races es x = 0.

todas sus races son divisores de c.

todas sus races son divisores de a.

5. Un polinomio primo es aquel que...

slo es divisible por 1.

slo puede descomponerse en un factor de la

forma (x a).

no puede descomponerse en factores.

6. El grado del polinomio que tiene porfactorizacin (x 4) (x 5) 2(x2+ 1) es...

5

4

3

7. De los siguientes polinomios aquel que tiene

por races 4, 4 y 5 es...

(x2 4)(x 5)

7(x2 4)(x + 5)

10(x2 16)(x + 5)

Escoge la opcin correcta:

8. A(x) = x2 3x + 2 tiene...

una raz doble x1= 1 y otra simple x2= 2

dos races simples x1= 3 y x2= 2

dos races simples x1= 1 y x2= 2

9. P(x) = 2x3 2x

2 10x 6 tiene...


una raz simple x1= 1 y otra doble x2= 3


10.Un ejemplo de polinomio que ad mite el cerocomo factor es...

(x + 3) (x 2)

(x + 4) x (x 2)(x3- 1)

2x3 3x + 5

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