UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

Divisin de Vectores

Primero habra que preguntarnos, si, la divisin entre vectores est definida?

En realidad la divisin de vectores no est definida, es una operacin que no existe desde el punto de vista del lgebra.

Por otra parte la multiplicacin de un vector por un escalar est definida, existe y su resultado es otro vector de la misma direccin que el original cuyo mdulo es proporcional al mdulo del vector dado. Por ejemplo el vector desplazamiento del campo elctrico se obtiene multiplicando la permitividad del medio por el vector campo elctrico E, es decir, D = EPero esto no autoriza a decir que D / E = .En el ejemplo anterior el vector D es colineal con el vector E.

Ahora bien, en fsica existen propiedades que aplicadas a un cierto vector lo transforman en otro que tiene diferente direccin, en ese caso no es un nmero, es un TENSOR.

El producto de un tensor por un vector hace que ste se transforme en otro vector de diferente direccin y mdulo, pero, repito, el cociente entre el vector producto y el resultado NO EXISTE, no est definido, solo se lo puede mencionar como un "abuso del lenguaje matemtico".Un tensor es un campo vectorial con un valor definido para cada punto. Como tal es un operador con propiedades.

Los tensores se emplean como representaciones matemticas a las consecuencias de ciertos fenmenos, como la presin de una estructura sobre un material maleable. Son una herramienta matemtica que permite obtener un anlisis ms sencillo de procesos complejos, parecido, en el mismo sentido, a lo que permiten analizar las grficas.

Los campos vectoriales pueden representarse con una matriz, que a su vez representa varias cualidades o caractersticas de un fenmeno que son representadas por ecuaciones diferenciales. Para simplificar stas operaciones se emplean los tensores.

Como tal lo dice Golstein, la divisin entre vectores no est definida como tal, lo que se define es su interpretacin o consecuencia (lo que fsicamente es resultado).

En sntesis, la divisin de vectores no cumple la propiedad de cerradura (no nos genera otro vector)

Divisin de Vectores

En el lgebra vectorial, la divisin no est definida, esto se debe a que algunas veces el resultado podra ser escalar y otras un vector.Adems, hay otro problema. Dado que la divisin es el inverso a la multiplicacin, en el caso vectorial, cul es el producto que debemos de usar? El producto punto o el producto cruz?Imaginemos que pudisemos definir una divisin opuesta al cruz, y otra al producto punto.Tomando al producto cruz, analicemos el caso de dividir k/j, supongamos que V es un nmero (no sabemos de qu clase), tal que jV = 1. Entonces, tendramos que la igualdad ij = k, puede convertirse en ijV = kV, donde kV por definicin es k/j. De aqu que con esta definicin k/j = i.Por otro lado apliquemos exactamente la misma idea a la igualdad 2(3i) = 6i, de aqu se desprendera que 6i/3i = 2Por lo tanto, la divisin de dos vectores no cumple con la propiedad de cerradura, pero este problema se complica an ms si empleamos al producto punto:ii = 1 nos lleva a que 1/i = i, pero ij = 0 nos lleva a que 0/j = i. Esto es mucho peor que el producto cruz, pues de emplear estas definiciones, las divisiones vectoriales estaran plagadas de contradicciones como que 1/0 = 0, o que 0 por 0 = 1.Por lo tanto, la divisin no puede ser la operacin inversa a ningn producto parcial (como el cruz o el punto), sino a un producto completo como el grassmaniano. Definimos entonces la divisin de Grassman como la operacin inversa al producto de Grassman, y la simbolizamos como un cociente normal.En este caso, decimos simplemente que un cuaternio dividido entre otro cuaternio nos da como resultado bajo cualquier circunstancia un tercer cuaternio (exceputuando si el dividendo es 0).Lo primero que se necesita es el concepto de inverso multiplicativo.

Inverso multiplicativo de un cuaternioSea A un cuaternio cualquiera diferente de 0, entonces el inverso multiplicativo de A, simbolizado como , es un nmero tal que .Adems, tenemos que la divisin debe cumplir con este principio, para inclur a los nmeros reales y a los complejos: "Todo cuaternio diferente de 0, dividido entre s mismo, da como resultado 1". Ntese que el producto A(1/A) = (1/A)A = 1, y esto no es problema a pesar de la anticonmutatividad, pues los cuaternios s son conmutativos con los reales, o cuando el resultado del producto en cualquier orden es real. Esto quedar ms claro al plantear la frmula para el inverso.Recordemos la forma de obtener el inverso de un nmero complejo cualquiera, digamos a + bi. Si multiplicamos ambos miembros del cociente por el conjugado, tenemos:

Todo cuaternio puede expresarse con la forma w + s, donde es una unidad imaginaria arbitraria que en principio debe comportarse exactamente igual a cualquier otra. Por lo tanto, podemos repetir el truco anterior para obtener el inverso de un cuaternio, digamos que buscamos 1/Q, donde Q = w + xi + yj + zk:

Aunque multiplicamos por la derecha, el resultado no cambia si lo hubiramos hecho por la izquierda, pues en el denominador, un multiplicando es 1, y los cuaternios son conmutativos con los reales. En el denominador, sabemos que el producto de un nmero por su conjugado nos da un resultado independiente del orden: (Q*)(Q) = (Q)(Q*) = |Q|^2Entonces podemos reexpresar lo anterior de la siguiente manera:

Ya acostumbrados a trabajar con lgebra vectorial, tendramos que buscamos 1/Q, dado que Q = (w, V):

Por ltimo, el inverso multiplicativo de un vector sera:

Sin embargo, aunque el inverso del vector sera otro vector, slo anula a la multiplicacin si consideramos la parte real que se genera durante el producto. Por lo tanto, forzosamente necesitamos que exista en el espacio R4. Sin embargo, el concepto de inverso es til al analizar rotaciones.

Divisin completa de GrassmanNo tenemos ningn problema para asegurar que A/A = 1 para cualquier nmero diferente de 0, pero dado que los cuaternios en general no son conmutativos, tenemos dos opciones para definir A/B:

Por lo cual, para evitar ambigedades, se define simplemente que:

Entonces, hay que tener cuidado al momento de despejar ecuaciones cuaterninicas. Supongamos que partimos de una ecuacin como C = AB, y queremos despejar tanto a A como a B.

Pudimos estar tentados a despejar a B = C/A, pero eso no es correcto. Debido a la no conmutatividad de los cuaternios, ocurre que:

Entonces, debemos recordar que: "Dividir entre un cuaternio es la operacin inversa a multiplicar por la derecha".Este es un ejemplo de divisin:

Por ltimo, es importante notar algo interesante. 1/i = -i, entonces segn el principio de que las unidades imaginarias son idnticas con respecto a los reales, se desprende que 1/ = - para toda unidad imaginaria.Entonces, el inverso multiplicativo de cualquier nmero imaginario puro s, es simplemente -(1/s), donde s desde luego, es real.Divisiones parciales de GrassmanAs como en el producto de Grassman, distinguamos una parte simtrica y una antisimtrica, tambin en la divisin existen estos conceptos. Sin embargo, dado que ya se escribi la deduccin de estos componentes al hablar del producto, vayamos directamente a la definicin:Divisin simtrica de Grassman: Es simplemente el producto interno de Grassman del primer cuaternio y el inverso multiplicativo del segundo. Es decir:

Divisin antisimtrica de Grassman:

Es el producto externo de Grassman del primer cuaternio y el inverso multiplicativo del segundo:

Por supuesto, debe cumplirse que:

Divisiones total y parciales de EuclidesAs como existe la operacin inversa al producto grassmaniano, existe tambin el inverso del producto eucldeo, y es la divisin Euclidiana. Se escribe como A\B, y emplea el mismo concepto de inverso multiplicativo:

As mismo, tiene su simtrico y su antisimtrico.

DIVISIN DE VECTORES3