DOCUMENTO DE TRABAJO - 2007-02 · 2012. 5. 3. · B. Construcción de Escenarios 7 C. Estimación...

DOCUMENTO DE TRABAJO - 2007-02

1

APLICACIÓN DEL ANÁLISIS DE COMPONENTESPRINCIPALES PARA SIMULACIÓN DEESCENARIOS DE TASAS DE INTERÉS

Roberto E. Arévalo

Documento de Trabajo No. 2007 - 02

Segundo Semestre de 2007

Documento de Trabajo

4


2007

DEPARTAMENTO DE INVESTIGACIÓN ECONÓMICA Y FINANCIERA

Banco Central de Reserva de El SalvadorAlameda Juan Pablo II, entre 15 y 17 Avenida Norte

San Salvador, El Salvador, C. A.

El Banco Central al publicar esta serie de Documentos de Trabajo, pretende facilitar ladifusión de estudios económicos y financieros que contribuyan al mejor conocimiento

de la realidad salvadoreña.

Las interpretaciones, análisis y conclusiones de estos trabajosrepresentan las ideas de los autores y no coinciden necesariamente

con el criterio de este Banco Central.

Prohibida la reproducción total o parcial de este documento,sin previa autorización del Departamento de Investigación Económica y

Financiera del Banco Central de Reserva de El Salvador.ISSN 1810-8903


5

RUtilizando la técnica estadística de Análisis de

Componentes Principales y con base al procedimiento

propuesto por Jamshidian y Zhu (1997), se presenta

un método simplificado para simular escenarios de

tasas de interés para una o más curvas de rendimiento,

con el objeto de identificar la distribución de retornos

de inversiones realizadas en portafolios de renta fija

representativos de dichas curvas, sin necesidad de

utilizar los recursos de cálculo demandados por una

simulación Monte Carlo.

En el documento se describe inicialmente la técnica

del Análisis de Componentes Principales.

Posteriormente se desarrolla el modelo de simulación

de escenarios de tasas de interés y con base en estos

resultados, se propone un procedimiento para la

estimación de retornos de los plazos clave de cualquier

curva de rendimiento. Finalmente, se realiza un ejemplo

práctico que permite obtener los escenarios de tasas de

interés para dos curvas de rendimiento, su distribución

de retornos y otras medidas de riesgo utilizadas

comúnmente para la construcción de portafolios.

Using the statistical approach of Principal Component

Analysis and based on the procedure given by

Jamshidian y Zhu (1997), this paper presents a

simplified method to simulate interest rates scenarios

related with a group of yield curves, which are used to

obtain a distribution of returns representative of fixed

income investments of these curves, without all the

resources needed on a traditional Monte Carlo

simulation.

The document describes initially the Principal

Component Analysis technique. Next, there is

explained the model of interest rates scenarios and

based in these results, a procedure is proposed to

estimate returns related with every key term of the yield

curve. Finally, an example for two yield curves is

developed, obtaining a returns distribution and others

useful risk measures for portfolio constructions.

A bstractesumen

i

6


Pág.

INTRODUCCIÓN 1

I. ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES 2

II. ESPECIFICACIÓN DEL MODELO 5

A. Modelación de la Curva de Rendimiento 5

B. Construcción de Escenarios 7

C. Estimación de Retornos para Portafolios de Renta Fija 11

III. ESCENARIOS PARA UN PORTAFOLIO INVERTIDO EN EMISIONES DELTESORO DE LOS ESTADOS UNIDOS Y BONOS CORPORATIVOS BBB 12

IV. CONCLUSIONES 18

BIBLIOGRAFÍA 19

ANEXOS

1. Escenarios discretos de tasas de interés

2. Matriz de Correlación de Tasas Clave

Contenido

ii


7

Introducción

Los análisis de Asignación Estratégica de Activosson útiles para definir el perfil riesgo-retorno delargo plazo de un inversionista. Sin embargo, en suformulación más simple, este tipo de estudiospueden carecer de una visión a futuro sobre elcomportamiento de los mercados financieros. Unaalternativa eficiente para resolver este problema esutilizar la información histórica del comportamientode las tasas de interés con el objeto de generarescenarios simulados que permitan valuar diferentesposiciones en activos financieros y su impacto enportafolios de inversión.

En este documento se propone una metodologíade simulación de tasas de interés basada en elnovedoso artículo propuesto por Jamshidian yZhu (1997) y su aplicación para estimar ladistribución de retornos de inversiones vinculadaa dichas tasas de interés. La metodología seimplementa utilizando la técnica estadística deAnálisis de Componentes Principales y generandovariables aleatorias multinomiales, con el objetode obtener una aproximación discreta de ladistribución normal. Con estos dos elementosintegrados se puede replicar una simulaciónMonte Carlo tradicional, reduciendo

1

significativamente la demanda de cálculos ypudiendo aplicar los resultados a una variedadimportante de activos financieros.

El documento está organizado de la siguientemanera: en el capítulo I se presenta una brevedescripción del Análisis de ComponentesPrincipales para ilustrar el proceso de reducciónde la información que permite implementar dichoanálisis. En el capítulo II se desarrolla el modelode simulación de escenarios de tasas de interés quepuede generalizarse para cualquier número decurvas de rendimiento de diferentes sectoresrepresentativos del mercado y con base a estosresultados, se propone un procedimiento para laestimación de retornos de cada plazo clave decualquier curva de rendimiento. En el capítuloIII se muestra un ejemplo hipotético de unportafolio invertido en dos sectores de mercado,obteniéndose los escenarios de tasas de interés, ladistribución de retornos y otras medidas de riesgoutilizadas comúnmente para la construcción deportafolios. Finalmente, en el capítulo IV seresumen las principales conclusiones del estudioy algunas de sus aplicaciones y debilidades másimportantes que han sido documentadas.

8


2

Análisis de Componentes PrincipalesI

El Análisis de Componentes Principales (ACP) es unatécnica estadística de síntesis de la información, oreducción de la dimensión (número de variables). Esdecir, ante un banco de datos con muchas variables, elobjetivo será reducirlas a un menor número perdiendola menor cantidad de información posible. Los nuevoscomponentes principales o factores serán unacombinación lineal de las variables originales, y ademásserán independientes entre sí.

El ACP permite reducir la dimensionalidad de los datos,transformando un conjunto de p variables originales enotro conjunto de q variables incorrelacionadas (q ≤ p)llamadas componentes principales.

En el ACP existe la opción de usar la matriz decorrelaciones o bien, la matriz de covarianzas del conjuntode variables en análisis. En la primera opción se le estádando la misma importancia a todas y a cada una de lasvariables; esto puede ser conveniente cuando elinvestigador considera que todas las variables sonigualmente relevantes. La segunda opción se puedeutilizar cuando todas las variables tengan las mismasunidades de medida y además, cuando el investigadorjuzga conveniente destacar cada una de las variables enfunción de su grado de variabilidad.

Las q nuevas variables son obtenidas como combinacioneslineales de las variables originales y los componentes seordenan en función del porcentaje de varianza explicada.

En este sentido, el primer componente será el másimportante por ser el que explica un mayor porcentajede la varianza de los datos.

Algebraicamente, el ACP se basa en la identificación delos vectores y raíces característicos de una matriz A queresuelven el siguiente sistema de ecuaciones:1

(1)

Las soluciones son los vectores característicos c y las raícescaracterísticas λ. Nótese que si c es cualquier vectorsolución, kc también lo será para cualquier valor de k.Por esta indeterminación, con frecuencia se normaliza cde modo que

En particular, una matriz simétrica de KxK tiene Kvectores característicos diferentes, c

1, c

2, ..., c

K. Las raíces

características correspondientes, λ1, λ

2, ..., λ

K, aunque

reales, no tienen por qué ser distintas. Además, para elcaso de matrices simétricas se puede demostrar que losvectores característicos son ortogonales entre sí. Estoimplica que para cada i≠j, c

i’c

j=0. Además, es conveniente

agrupar los K vectores característicos en una matriz KxKcuya i-ésima columna es el c

i correspondiente a λ

i,

1 Las soluciones para matrices de orden mayor a dos no son triviales, por lo que normalmente se recurre a programas estadísticos queencuentran los vectores y raíces características más eficientemente.


93

y las K raíces características en el mismo orden, en unamatriz diagonal,

Entonces, el conjunto total de ecuaciones Aci=λλλλλici estácontenido en

AC=CΛΛΛΛΛ (2)

Adicionalmente, al suponer que C’C=I (para normalizarlos vectores característicos), se puede demostrar que:

A=CΛΛΛΛΛC´ (3)

Esta formulación implica una descomposición espectralde la matriz A en sus respectivos vectores propios, queson utilizados para aproximar linealmente las relacionesestablecidas en la matriz A. De hecho, se puede demostrarque la explicación de la varianza de la matriz A es unafunción directa de los valores característicos de dichamatriz.2

Para ilustrar la implementación de esta descomposiciónpodemos utilizar el siguiente conjunto de datos comoejemplo:3

x = [0.69, -1.31, 0.39, 0.09, 1.29, 0.49, 0.19, -0.81, -0.31, -0.71]’

y = [0.49, -1.21, 0.99, 0.29, 1.09, 0.79, -0.31, -0.81, -0.31, -1.01]’

Cuya matriz de correlación es:

La cual tiene los siguientes vectores y valorescaracterísticos:

En el gráfico 1 se muestran los puntos correspondientesa las series x e y así como la generalización de los 2 vectorescaracterísticos (c1 y c2) encontrados para S. Como puedeobservarse, los vectores característicos son ortogonalesentre sí y equivalen a hacer un cambio de coordenadas alos datos analizados. De hecho, para implementar estaconversión de coordenadas es suficiente con multiplicarlas series originales con la matriz de vectorescaracterísticos:

(4)

El nuevo sistema de coordenadas utilizando los dosvectores característicos de S puede verse en el gráfico 2.En este caso, el eje a (asociado al primer vectorcaracterístico c

1) parece describir en mayor grado el

comportamiento de los datos, mientras que el eje bsolamente describe la “pequeña” dispersión de los mismosrespecto al eje a.

ΛΛΛΛΛ

2 El desarrollo matemático de esta optimización puede verse en Greene (1998), pp.268-270.3 Este ejemplo es tomado de Smith (2002).

Gráficos 1 y 2. Coordenadas originales y transformadas a través de vectores característicos

10


Esta “explicación” puede cuantificarse utilizando los datosproporcionados en la matriz ΛΛΛΛΛ. La traza de ΛΛΛΛΛ (la sumatoriade sus elementos diagonales) se interpreta como la variacióntotal de los datos correspondientes a la matriz S, por lo queal dividir cada valor característico de dicha matriz entre sutraza, se puede identificar la contribución de cada vectorcaracterístico a la variabilidad de todos los datos en suconjunto.4 Para nuestro ejemplo, el primer vectorcaracterístico de C explica un 96% de la variabilidad totalde los datos originales [1.9259/(1.9259+0.0741)], mientrasque el segundo explica el restante 4%.

Este criterio es el que permite reducir la dimensionalidadde los datos al elegir un número de vectores característicos“principales” menor al total disponible en los datosoriginales, de tal manera que se pierda la menor cantidadde información posible. En este ejemplo, si nosotroscreemos que el comportamiento de las variables x e ypuede ser suficientemente bien representado por el 96%de la información que almacena el vector característicoc1, podemos reducir el tamaño de la matriz C en la

ecuación (4), utilizando solamente la columnacorrespondiente al vector c

1 (denominado primer

componente principal por aportar la mayor contribución ala variabilidad de los datos), reduciendo el universo defactores a la mitad, a costa de perder solamente un 4% de lainformación disponible en la totalidad de los factores.

Esta transformación es mostrada en el gráfico 3, y aunquesu “volatilidad vertical” ha sido suprimida, la tendenciay mayor dispersión de los datos siguen siendorepresentativos. Ahora, simplemente deben reconvertirselos nuevos datos a la estructura de coordenadas originalesinvirtiendo la ecuación (4). Los datos transformados sonmostrados en el gráfico 4.

Obviamente, con dos dimensiones los esfuerzos parareducir los factores explicativos talvez no sean necesarios.Sin embargo, el mismo procedimiento es utilizadocuando el número de factores analizados es mayor,evidenciándose más claramente el beneficio obtenido alreducir el número de variables a modelar.

4 En general, la proporción de variación explicada (Vi) por cada vector característico ci es:

Gráficos 3 y 4. Reducción de Factores y Reconversión a datos originales ajustados.

4


11

specificación del ModeloII

ELa formulación de este modelo es dividida en tres etapas:las primeras dos son basadas en el artículo de Jamshidian yZhu (1997 y 2006) e incluyen la modelación de la curva derendimiento a través de la aplicación del ACP y la simulaciónreducida de escenarios de tasas de interés a través de unaaproximación discreta de la distribución normalmultivariada para un conjunto de curvas de rendimientocorrelacionadas.5 La tercera etapa implementa una aplicaciónde la valuación de bonos cupón cero para estimar retornosvinculados a cada uno de los puntos incluidos en una curvade rendimiento, de tal forma que se pueda estimar unadistribución de retornos y otras medidas de riesgo demercado relacionadas con cada punto de dicha curva derendimiento.

A. Modelación de la Curva de RendimientoSupondremos que la curva de rendimiento puededescribirse a través de un vector de n tasas cupón cero y:

(5)

Cada tasa de rendimiento tiene una distribución lognor-mal, representada por la siguiente ecuación diferencial:

(6)

Donde zi(t) se distribuye normalmente con media cero y

desviación estándar t para todo i=1, 2, ..., n.

Al integrar la ecuación (6) se tiene:

(7)

Donde Ui(t) es una función que expresa las expectativas

sobre el comportamiento de las tasas de interés. Dichafunción puede tomar diversos valores, aunquenormalmente se utiliza alguna forma que involucra laparticipación de tasas forward [F

i(t)]:

(8a)

(8b)

Además, zi(t) muestra una estructura de correlación

equivalente a la existente entre las variaciones de las tasasde rendimiento:

(9)

Así, para implementar la ecuación (7) se requieredeterminar la matriz de correlación S que describe losmovimientos conjuntos entre cada una de las tasas clavedefinidas en (5).6 Por ejemplo, al contar con una muestrade T observaciones mensuales de y’, agrupadas en unamatriz Y

Txn, podemos estimar la matriz de correlaciones

a través del siguiente procedimiento:

1. Encontrar las variaciones de cada tasa de interésaplicando la siguiente función:

(10)

5 Aunque la descripción del modelo es basada en los artículos de Jamshidian y Zhu, la nomenclatura matricial es más similar a lasexplicaciones dadas por Abken (2000).

6 Se utiliza la matriz de correlaciones para evitar los problemas de escala que pueden presentarse al utilizar la matriz de varianzas ycovarianzas. Sin embargo, los resultados finales deberían ser similares.

5

12


6

2. Almacenar los T-1xn datos encontrados en el pasoanterior en una matriz X y calcular a dichas series,su matriz de varianzas y covarianzas:7

(11)

3. Estimar la matriz de correlaciones a través de lasiguiente relación:

S= Ω= Ω= Ω= Ω= Ω−1ΣΩΣΩΣΩΣΩΣΩ−1 (12)

Donde ΩΩΩΩΩ es una matriz diagonal que incluye en suselementos no nulos las desviaciones estándar de cada tasade interés clave (es decir, la raíz cuadrada de los elementosde la diagonal de ΣΣΣΣΣ).

Dada la matriz S, se pueden encontrar sus raíces y vectorescaracterísticos, que de acuerdo a la ecuación (2) puedenresumirse en la siguiente relación:

SB=BΛΛΛΛΛ (13)

Donde Bnxn

es una matriz que incluye en cada columnalos n vectores característicos de S y Λ

nxn es la matriz

diagonal que contiene los valores característicoscorrespondientes a cada vector incluido en B.

Puesto que S es una matriz definida no negativa, todoslos valores característicos deberían ser mayores o igualesque cero y como además es una matriz simétrica, se puededemostrar que los vectores característicos son ortogonalesentre sí. De esta manera, como proponen Jamshidian yZhu, se normaliza la matriz B a través de la siguienterestricción:8

B´B= Λ (14)

Además, sin pérdida de generalidad se puede suponerque los valores característicos en Λ están ordenados deacuerdo a la siguiente relación:

(15)

Así, el primer vector columna de B (b1) se denomina

“primer componente principal”, el segundo (b2),

“segundo componente principal” y así sucesivamente.

Posteriormente, Jamshidian y Zhu definen los factoresprincipales dwnx1 como:

(16)

Lo que permite obtener dz en función de dw, aplicandola relación (14) y obteniendo:

(17)

La ecuación (17) implica utilizar la totalidad de lainformación aportada por las tasas clave y para modelarsu comportamiento dinámico (n factores). Sin embargo,muchos estudios empíricos han mostrado que losprimeros tres componentes principales cubren más del95% de la varianza total de los datos.9 Por lo tanto, sepuede suponer que:

(18)

De esta forma, la ecuación (17) puede ser aproximadamediante la siguiente relación:

(19)

Donde la interacción de la matriz βββββ y el vector dvproducen un modelo que incluye solamente tres factores,los cuales normalmente son asociados a los tresmovimientos básicos que caracterizan eficientementecualquier curva de rendimiento:

a. Nivel: explicada por el primer componente princi-pal y vinculada a la sensibilidad lineal (proporcional)entre tasas de interés y precios de activos.

7 La ecuación (11) supone que la variación esperada en las tasas de interés es cero.8 Nótese que la normalización de B implica que los vectores característicos tienen una magnitud no necesariamente igual a la unidad.9 Loretan (1997) presenta en su artículo diferentes aplicaciones del ACP, encontrando que para una variedad de curvas de rendimiento

más del 90% de los datos son explicados por los primeros 3 componentes principales.

ΛΛΛΛΛ

βββββdv


137

b. Pendiente: explicada por el segundo componenteprincipal y vinculada a la inclinación de la estructurade tasas de interés.

c. Curvatura: asociado al tercer componente principal yque genera pequeñas concavidades o convexidades enzonas específicas de la curva de rendimiento.

Así, al integrar la ecuación (19) y sustituirla en la ecuación(7) se obtiene:

(20)

que en forma matricial puede ser descrita de la siguientemanera:

(21)

Donde v es un vector de variables independientesnormalmente distribuidas.

B. Construcción de EscenariosLa utilización del enfoque de ACP permitió reducir elsistema de ecuaciones (7) de n a 3 factores, lo que generaun ahorro sustancial de recursos en la modelación devariables. Sin embargo, como Jamshidian y Zhuargumentan, implementar esta modelación a través delpopular método de simulación Monte Carlo implica eluso de una “fuerza bruta” de casi medio millón deescenarios para solo tres resultados posibles en larealización de las variables aleatorias vinculadas a unmodelo de 12 factores. Si las variables a modelar seincrementan a 5, los escenarios generados llegan casi aun número cercano a los 200 millones.

Gráfico 5. Conversión de distribución de probabilidadcontinua a discreta.

Para reducir la exigencia de cálculos para la simulaciónde escenarios de tasas de interés, Jamshidian y Zhuproponen un cambio novedoso: asignar a un estado par-ticular de cada variable aleatoria wi una proporción deprobabilidades de la distribución normal. Así porejemplo, en lugar de generar un gran número deescenarios entre la región w

A y w

B del gráfico 5 (que es

una porción de la distribución de probabilidad normal),se genera uno solo (w

x) que es proporcional a los estados

infinitos entre wA y w

B y tiene su misma probabilidad

(αAB

). 10

Jamshidian y Zhu proponen utilizar la distribución mul-tinomial como una aproximación de la distribución nor-mal multivariada. En general, esta distribución suponela existencia de m+1 estados (ordenados de 0 a m) conprobabilidades calculadas de acuerdo a la siguientefunción:

(22)

Así, si para una variable aleatoria se eligen 7 estados(m=6), donde las probabilidades de cada estado son:

Estado 0 1 2 3 4 5 6Probabilidad 1/64 3/32 15/64 5/16 15/64 3/32 1/64

Además, la relación entre las probabilidades de ladistribución normal y la multinomial implica que secumple la siguiente igualdad:

(23)

Por lo tanto, al definir el límite inferior del integrala

0 = –∝, el límite a

1 deberá ser aquel punto que genere

un área de probabilidad en la distribución normal igualal primer estado de la distribución multinomial. Loslímites siguientes son construidos siguiendoconsecutivamente el mismo procedimiento.

10 Nótese que este modelo sigue las metodologías tradicionales de simulación Monte Carlo que incluyen: generar escenarios de preciosde activos, valuar las posiciones de un portafolio vinculadas a los precios simulados y obtener la distribución de los resultados delportafolio. Sin embargo, el ahorro de cálculos se logra en la etapa de generación de escenarios al sustituir una distribución deprobabilidad continua por una discreta.

ΩβΩβΩβΩβΩβv

14


8

En el gráfico 6 se presenta una ilustración de esteprocedimiento para 7 estados de la distribución multi-nomial. El primer intervalo de la curva normal definidoentre (-∞ , 2.15] tiene una probabilidad de 1/64, valorequivalente a la probabilidad del primer estado de los 7modelados. De igual forma, para el segundo estado setiene una probabilidad acumulada de 7/64 (3/32+1/64),equivalente a un valor normalizado de -1.23. Con estosdatos se construye el segundo intervalo comprendidoentre (-2.15, -1.23], al que le corresponde la mismaprobabilidad individual del segundo estado (3/32). Elresto de los intervalos se construyen siguiendo la mismalógica.

De esta forma, cualquier variable aleatoria normal x (conmedia cero y desviación estandar unitaria) puede serasociada a una distribución de probabilidades multino-mial de acuerdo a la siguiente relación:

(24)

Adicionalmente, la variable f(x,m) que representa unestado en particular, puede ser normalizada mediante lasiguiente función:11

(25)

Con este procedimiento de normalización discreta,cualquier realización de la variable x puede ser asignadaal rango finito definido por la función φ(x,m). En par-ticular, Jamshidian y Zhu con base en informaciónempírica, proponen definir 7 estados para la modelacióndel primer componente principal (w

1), 5 para el segundo

(w2) y 3 para el tercero (w

3). De esta forma, como cada

componente principal es independiente respecto a losotros dos, se puede inferir que deben generarse solamente105 escenarios discretos (7x5x3 estados) para representarde forma equivalente la totalidad de los escenarioscontinuos implícitos en la combinación de las tresdistribuciones normales.

Como producto final se obtiene una tabla de búsquedaque resume todos los resultados posibles del vector v comola mostrada en la tabla 1. Cada escenario para w

i se

encuentra calculando la ecuación (25) suponiendo quef(x,m) es igual a cada estado i= 0, ..., m; donde m=6para w

1, 4 para w

2 y 2 para w

3. Estos insumos son

suficientes para calcular la fórmula (21), encontrandolas curvas de rendimiento para cada realización del vec-tor v.12

Este procedimiento es aplicable cuando se modela unasola curva de rendimiento vinculada a un sector demercado en particular. Sin embargo, en la mayoría deprocesos de inversión los portafolios están conformadospor títulos de más de un sector o país emisor, cuyasvariaciones en sus respectivas curvas de rendimiento sonfrecuentemente interdependientes.

Dicha estructura de dependencia se puede representar através de la matriz de correlación global entre las tasasclave de todos los sectores modelados. Sin embargo, conel enfoque de ACP planteado anteriormente, se requiereque dicha matriz de correlación sea transformada a lascoordenadas correspondientes a los componentesprincipales de cada sector por modelar.13

Gráfico 6. Normalización de 7 estados de la distribuciónmultinomial.

11 La media de la distribución binomial es m/2 y su varianza es m/4.12 Nótese que esta definición implica que el horizonte de inversión t, es igual a 1. Cuando se modelan horizontes de inversión mayores, los

valores de v simplemente deben escalarse por el valor de t.13 Nótese que aunque los componentes principales son ortogonales dentro de una misma curva de rendimiento (la correlación entre

vectores característicos es cero), esto no necesariamente se cumple entre componentes principales de dos curvas de rendimientodiferentes.


159

Esta transformación se puede implementar de formaequivalente a la factorización realizada en la ecuación (16).Para esto supondremos la modelación de s sectores(curvas de rendimiento) a los que se les han encontradosus respectivas matrices de vectores característicosB

i

i=1,...,s y valores característicos ΛΛΛΛΛi

i=1,...,s

. Además,utilizando las ecuaciones (10) a (12) se puede calculartambién la matriz de correlación global entre las tasasclaves de todos los sectores por analizar (M

nsxns).

Con estos datos conocidos, se definen las matricesdiagonales por bloques V y L:

Tabla 1. Tabla de búsqueda para simulación deComponentes Principales.

Λ

Λ

Λ

La matriz de correlación Ψ3sx3s reducirásignificativamente la demanda de cálculos para lasimulación de escenarios y se convierte en el insumo clavepara obtener realizaciones correlacionadas entre losvectores v de cada curva de rendimiento por modelar.

El procedimiento para la obtención de realizacionesaleatorias correlacionadas es el siguiente:

1. Generar q=3xs vectores fila que almacenen prealizaciones de variables aleatorias con distribuciónnormal estándar (media 0 y desviación estándar 1)y almacenarlos en la matriz Eqxp.

Encontrándose la matriz de correlación factorizada Q,en función de los componentes principales mediante lasiguiente relación:

(26)

Cada submatriz Qij contiene la matriz de correlación entrelos componentes principales de los sectores i y j,cumpliéndose que Q

ii=I.

La matriz Q incluye la información disponible en todoslos componentes principales de los sectores modelados.Sin embargo, la ventaja de la formulación definida en laecuación (21) es que solamente se requieren los primerostres componentes principales de cada curva derendimiento. Para esto, basta particionar cada submatrizmatriz Q

ij y tomar sus primeras tres filas y columnas que

denominaremos submatriz Ψij correspondientes a lascorrelaciones entre los primeros tres componentesprincipales de cada par de sectores ij:

ΨΨΨΨΨ

ΨΨΨΨΨ11 ΨΨΨΨΨ12 . . . ΨΨΨΨΨ1s

ΨΨΨΨΨ21 ΨΨΨΨΨ22 . . . ΨΨΨΨΨ2s

ΨΨΨΨΨs1 ΨΨΨΨΨs2 . . . ΨΨΨΨΨss

. . .

. . .

. . .

. .

.

16


10

Cada submatriz Ei de orden 3xp tiene una

distribución N(0,I) y es independiente con el restode matrices E

j≠i.14

2. Encontrar la matriz triangular superior A derivadade la descomposición de Cholesky aplicada a lamatriz Ψ.15

Donde:(27a)

(27b)

3. Encontrar la matriz de vectores correlacionadosNqxp a través de la siguiente relación:

(28)

La matriz N tiene una distribución N(0,ΨΨΨΨΨ) ycada vector columna v

xy incluido en las submatrices

Ni contiene las realizaciones correlacionadas de

las tres variables aleatorias continuas incluidas en elvector v utilizado en la ecuación (21).

4. Como los datos de la matriz N han sido generadosde una distribución de probabilidad continua, elpaso final requiere transformar dichos datos a unadistribución discreta, aplicando la ecuación (25) ala matriz N:

(29)

Donde mi es la variable asociada al número de m

i+1

estados de la distribución multinomial de loscomponentes principales i=1,2 y 3. Cada submatriz ΦΦΦΦΦi

contiene ahora p realizaciones discretas y correlacionadaspara cada una de las tres variables aleatorias incluidas enel vector v de la ecuación (21).

Encontrada la matriz ΦΦΦΦΦ, y dados Ui

i=1,...,s , ΩΩΩΩΩi

i=1,...,s

yβββββi

i=1,...,s

; cada uno de los p vectores columna de cadasubmatriz Φ

i es sustituido en la ecuación (21) aplicada a

cada sector i, obteniendo las curvas de rendimientocorrelacionadas entre los sectores simulados.

Nótese que aunque p implica un número de realizacionesaleatorias grande, el número de curvas de rendimientopor sector están limitadas por el número de estados (m

i+1)

definidos en el proceso de simulación. Por ejemplo, sim

1=6, m

2=4 y m

3=2 (correspondientes a 7, 5 y 3 estados

por sector), el número curvas de rendimiento posiblessiempre serán 105 por cada sector, independientementedel número de simulaciones (p) que se hayan generado.

14 Nótese que dichas realizaciones provienen de una distribución de probabilidad continua.15 La descomposición de Cholesky implica que la matriz Ψ puede factorizarse utilizando la matriz triangular superior A mediante la relación

ΨΨΨΨΨ =A’A. Esta factorización es eficiente sí y solo si la matriz Ψ es definida positiva. Si no se cumple esta condición, las factorizacionesdeben realizarse con vectores característicos o descomposición de valores singulares. En el apéndice E del documento técnico de RiskMetrics (1996) se muestran ejemplos de estas opciones de descomposición.


1711

Una aplicación relevante de estos resultados será valuarposiciones de activos financieros de un portafolio de talmanera que se pueda establecer una distribución deprobabilidad específica, que permita cuantificar el perfilriesgo-retorno de dicho portafolio, en un horizonte deinversión dado. En la siguiente sección se desarrolla unapropuesta para hacer estas estimaciones.

C. Estimación de Retornos para Portafoliosde Renta Fija

La estimación de retornos de esta sección se basa en laconstrucción de la curva de rendimiento definida en lasección A aplicada a un portafolio de instrumentos derenta fija sin opcionalidades.

En general, el precio de un bono cupón cero de plazo i(en años), vinculado a una tasa de rendimiento y

i es:

(30)

Por lo tanto, el retorno de este bono en un horizonte deinversión ∆τ es aproximadamente:

(31)

La ecuación (31) es más exacta a medida ∆τ sea máspequeña. Efectivamente, cuando ∆τ se amplifica, puedensurgir errores de estimación importantes derivados de ladinámica en el comportamiento de las tasas de interés enel horizonte de inversión. De hecho, cuando se suponeque un cambio de tasas se da exactamente en t+∆τ, unopuede sobreestimar retornos en escenarios de tasas

crecientes o subestimarlos en ambientes de tasas a la bajacuando ∆τ es grande.

Una opción para “suavizar” la estimación de la ecuación(31) es dividir ∆τ en horizontes más pequeños donde sesuponga una dinámica de convergencia de las tasas deinterés entre t y t+∆τ. Por ejemplo, si la matriz decorrelaciones de la ecuación (12) es calculada con seriesde tiempo de periodicidad mensual, nuestro ∆τ mínimoes también de un mes, y para horizontes de mayor plazo,se define una convergencia lineal mensual en elcomportamiento de las tasas de interés.

Un último aspecto por resolver es la estimación de lastasas de rendimiento diferentes a las tasas claves simuladasmediante el procedimiento explicado en la sección B[y

i-∆τ(t+∆τ)], las cuales se pueden obtener de una

interpolación lineal entre dos tasas claves específicas. Así,cualquier tasa mayor a Minyi puede ser mapeada entrelas tasas claves y

L (tasa clave próxima inferior a y

i-∆τ ) y

yH (tasa clave próxima superior a y

i-∆τ ), de tal forma que

la tasa interpolada es:

(32)

De esta forma, la ecuación (31) puede ser implementadacompletamente pudiéndose calcular la distribución deretornos para los plazos claves de cualquier curva derendimiento conocida. Además, si se hace necesariosimular más de un sector de mercado, la fórmula (31) nocambia al considerar que la generación de curvas derendimiento descrita en la sección anterior ya incluyeuna estructura de dependencia entre las curvas derendimiento simuladas. Por lo tanto, los retornos portasa clave también estarán acotados dentro de los(m

1+1)x(m

2+1) x (m

3+1) resultados posibles para cada

curva de rendimiento simulada.

18


12

Escenarios para un Portafolio Invertido enEmisiones del Tesoro de los Estados Unidos y

Bonos Corporativos BBB

III

Con el objeto de clarificar el modelo teórico definido enel capítulo anterior, a continuación se desarrolla unejercicio hipotético aplicado a la parte corta de la curvade rendimiento de las emisiones del Tesoro de los EstadosUnidos y Bonos Corporativos BBB denominados en USdólares.

Las tasas clave utilizadas son las correspondientes a losplazos de 1 día, 3 y 6 meses, 1, 2, 3, 4 y 5 años (el n de laecuación (5) es igual a 8). Los datos históricos para laestimación de la matriz de correlación se obtienen de losíndices de rendimientos cupón cero publicados porBloomberg y abarcan un período muestral de datosmensuales entre marzo de 1998 y octubre de 2006.16

En la tabla 2 se muestra un resumen de las matricesde correlación de las tasas clave de los dos sectores y laforma en que los vectores característicos explican lavariabilidad total de los datos. Como se puede observar,

los primeros dos componentes principales explican másdel 80% de la variabilidad de los datos. El tercercomponente principal permite que la explicaciónacumulada llegue por lo menos a un 95% y a partir deallí, el resto de vectores característicos tienen un aportemarginal a la explicación de la variabilidad total de losdatos.

Estos resultados se pueden confirmar también en elgráfico 7, el cual muestra las variaciones en las curvas derendimiento analizadas, en función de sus tres primeroscomponentes principales para el mes de octubre de 2006.En ambos sectores se evidencian los tres movimientostradicionales que explican las variaciones en una curvade rendimiento (nivel para el primer componente prin-cipal, pendiente para el segundo y curvatura para eltercero), lo que sugiere que el uso de estos tres factores essuficiente para modelar el comportamiento de dichascurvas.17

16 Los tickers de Bloomberg para los plazos a partir de tres meses son de las curvas I111 y F009. El plazo de 1 día para las emisiones delTesoro es aproximado por el rendimiento de las tasas de Reporto respaldados por US Treasuries y para los corporativos BBB, el papelcomercial A2/P2 de 1 día +20pb.

17 Esta descomposición se implementa al conocer el vector de variaciones en cada punto de la curva de rendimiento (x) que es calculadomediante la ecuación (10) y que es proyectado en un “nuevo” sistema de coordenadas (vector de componentes principales) mediantela relación p = xBΠ−1, donde Π = Λ. Posteriormente, se eligen uno a uno los primeros tres componentes del vector p y se revierte elsistema coordenadas mediante la relación xi =pi(biπππππi

-1)’ , que corresponde a la factorización de cada componente principal i.


1913

Con base a estas descomposiciones y siguiendo lapropuesta de Jamshidian y Zhu, se eligen los primerostres vectores característicos (componentes principales)para conformar la matriz β. Los datos de desviacionesestándar se utilizan para implementar la matriz Ω y paraencontrar las realizaciones del vector v, se definen 7estados para el primer componente principal, 5 para elsegundo y 3 para el tercero.

Los valores de la tabla de búsqueda se obtienen para unhorizonte de un año (t=12) a partir del cierre de octubre.Como función U(t), se definen las tasas forward [f(t)]correspondientes a cada tasa clave para el cierre de octubrede 2006 (tabla 3).

Tabla 2. Matriz de Correlaciones por Sector y sus Componentes Principales.

Gráfico 7. Descomposición por componentes principales de variaciones en curvas de rendimiento.

Tabla 3. Rendimientos cupón cero y tasas forward para un año al 31 de octubre de 2006.

20


14

Utilizando las realizaciones estandarizadas del vector v(equivalente a los datos de la tabla 1) y aplicando laecuación (21) se obtienen las 105 curvas de rendimientodiscretas por cada sector, las cuales son mostradas en elgráfico 8.18 Los datos correspondientes a estos gráficospueden revisarse con detalle en el anexo 1.

diagonales por bloques V y L. Con estos datos, se calculacon la ecuación (26) la matriz de correlación de factoresQ, de cuya partición se obtiene la matriz de correlaciónde los primeros tres componentes principales Ψ (estasmatrices se muestran en el anexo 2).

Gráfico 8. Escenarios discretos para Curvas de Rendimiento.

Como puede observarse, el rango de variación de las tasasde interés en un horizonte de un año es mayor en lacurva de rendimiento del tesoro (entre 2 y 10%) que enla de los bonos corporativos BBB (entre 2 y 8%), resultadoexplicado principalmente por la mayor volatilidadhistórica experimentada en las tasas de interés del mercadode US Treasuries, especialmente en los plazos más largosy por la fuerte tendencia plana en la curva de rendimientodel sector corporativo. Además, de forma consistente conlos datos históricos, las simulaciones presentan variosescenarios de curvas invertidas en el sector de US Trea-suries y levemente empinadas en los corporativos.

Para poder estimar la distribución de retornos de unportafolio invertido en ambas curvas de rendimiento deberealizarse una simulación “ampliada” como la descrita enla sección B. Para esto, las matrices de correlación de latabla 2 deben completarse con las correlaciones cruzadasentre sectores para calcular la matriz M y utilizar lasmatrices B y ΛΛΛΛΛ de cada sector para construir las matrices

Con la matriz ΨΨΨΨΨ es factible obtener la descomposiciónde Cholesky aplicando la ecuación (27) y generarrealizaciones correlacionadas para los 3 factores incluidosen el vector v de los dos sectores simulados, utilizando laecuación (28). Para este proceso se generaron 10,000realizaciones normales estándar por cada uno de los 6componentes principales, que fueron almacenadas en elvector E.

La ecuación (29) es aplicada a la matriz N derivadamediante la fórmula (28), obteniendo la matriz ΦΦΦΦΦ queincluye las 10,000 realizaciones correlacionadas y discretasdel vector v de cada sector. Con estos insumos y conocidaslas matrices βββββ y ΩΩΩΩΩ de cada sector, simplemente debecalcularse la ecuación (21) para cada realización simuladadel vector v y con base a estos resultados, obtener con laecuación (31) el retorno de cada punto clave de las curvasde rendimiento, que al ordenarlos permiten encontrar ladistribución de probabilidades de un portafolio en par-ticular.

18 Nótese que dichos escenarios implican una relación independiente entre las curvas de rendimiento simuladas.


2115

Como resultado general, en el gráfico 9 se presentan lasdistribuciones por percentiles de los retornos asociados acada duración clave de las dos curvas de rendimientosimuladas. Se resaltan los percentiles 5, 50 y 95 comoescenarios representativos de cada distribución deprobabilidad. Además, como los retornos provienen derealizaciones de variables correlacionadas, su distribuciónde probabilidad ha sido generada mediante unadistribución conjunta de la estructura de tasas de interés.

bono corporativo BBB de casi 4 años. Como se mencionóanteriormente, la menor volatilidad histórica de la curvaBBB aunada a su marcada pendiente plana, favorece lageneración de escenarios menos riesgosos que los factiblespara el mercado de emisiones del Tesoro.19

Otro resultado relevante es la baja volatilidad identificadaen inversiones menores de dos años en los dos sectoresanalizados: el retorno esperado para todos los plazos es

Gráfico 9. Escenarios discretos de retornos por sector.

Un resultado interesante es la relación entre duración yvolatilidad de los retornos. Aunque teóricamente losbonos del Tesoro son menos riesgosos que emisiones concalificación BBB, los resultados de la simulación muestranque las inversiones en emisiones del Tesoro tienen unamayor probabilidad de retornos negativos que lasinversiones en corporativos, sugiriendo un mayor riesgode mercado en las inversiones de dicho sector.Efectivamente, al analizar las curvas correspondientes alpercentil 5, una Nota del Tesoro de aproximadamente 3años tiene una probabilidad de pérdida similar a la de un

prácticamente el mismo (5% para emisiones del Tesoroy 5.75% para corporativos) modificándose solamente lavolatilidad de los retornos a medida se incrementa laduración de las inversiones. Estos resultados sugieren laconveniencia de estructurar portafolios de duración corta,al no identificarse ganancias importantes por alargarduración.20

Otras aplicaciones directas de los resultados de lasimulación se relacionan con la construcción de

19 Otra interpretación sería que la prima por riesgo pagada por los bonos corporativos justifican su elección respecto a títulos comparablesde emisiones del Tesoro.

20 Esta conclusión es una implicación directa de la forma de las curvas forward utilizadas en el análisis.

22


16

Utilizando los retornos de la simulación y lasponderaciones asignadas a cada plazo clave, se puedeobtener el retorno del portafolio (R

p) para cada escenario

simulado, implementando la siguiente fórmula:

(33)

Donde ωiT ( ω

iC)es la proporción del portafolio invertida

en el sector de emisiones del tesoro (corporativos) de plazoclave i y r

iT (r

iC), su respectivo retorno estimado con la

ecuación (31).

En el gráfico 10 se muestra la distribución de retornosdel portafolio correspondiente a los 10,000 escenariosde tasas de interés generados previamente. Dichadistribución se caracteriza por un retorno promedio del5.3%, resultado que sugiere pocas variaciones implicadaspor las curvas forward. Asimismo, las simulaciones delportafolio implican una desviación estándar del 2.3%,encontrándose los retornos mínimos y máximos acotadosentre un -3% y 10.9%.

Gráfico 10. Distribución de Retornos para PortafolioHipotético.

Con esta información se pueden calcular también lospercentiles inferiores que se vinculan directamente a lamedición del VaR del portafolio para un horizonte deinversión de un año. En la tabla 4 se muestran estosresultados, agregando el VaR en dólares para un portafoliocon un valor de mercado de US$200 millones.

Tabla 4. Valor en Riesgo para horizonte de 1 año.

21 Aunque en este ejemplo se eligen discrecionalmente las ponderaciones asignadas a cada plazo clave, existen diferentes técnicas demapeo que permiten transformar cualquier estructura de un portafolio en posiciones equivalentes en plazos claves. Ver el documentotécnico de Risk Metrics (1996) y el libro de Jorion (1995) como una ilustración.

portafolios y la estimación de medidas de riesgo demercado ex-ante como el Valor el Riesgo (VaR) y elTracking Error (TE).

Por ejemplo, si suponemos un portafolio hipotéticoinvertido de acuerdo a las siguientes ponderaciones porcada plazo clave:21

-3.0

%

-2.0

%

-1.0

%

-0.1

%

0.9%

1.9%

2.9%

3.8%

4.8%

5.8%

6.7%

7.7%

8.7%

9.7%

10.6

%

Retorno

Fre

cuen

cia


2317

El gráfico 11 muestra la serie Rp-R

b (valor

agregado) de nuestra simulación, encontrándoseun Tracking Error anualizado de 34pb y un valoragregado promedio anual de 19pb sobre elbenchmark.

Una aplicación útil y complementaria a los dosprocedimientos anteriores, aunque nodesarrollada en este artículo, es la construcciónde portafolios óptimos. Su implementaciónbásica consiste en formular un problema demaximización de una función objetivo como elretorno absoluto o relativo de un portafolio,sujeto a restricciones como límites en duracióno sectores y niveles máximos de VaR o TrackingError. El problema puede resolverse como lamayoría de optimizaciones al estilo Markowitz.Sin embargo, al tener caracterizadas lasdistribuciones de retornos por cada plazo clave,el análisis se puede enriquecer al poder evaluarriesgos de subdesempeño respecto a un bench-mark o simular el comportamiento de portafoliosalternativos ante movimientos extremos en lastasas de interés (stress testing).

De igual forma, si definimos un benchmark compuestopor un 50% de inversiones en emisiones del Tesoro de3 años y 50% en bonos corporativos del mismo plazo,el Tracking Error ex-ante de nuestro portafolio puedeser calculado mediante la fórmula:

(34)

Donde σ(x) es la desviación estándar de la serie x y Rx

se calcula de forma equivalente a la ecuación (33).

Gráfico 11. Estimación de Tracking Error Ex-Ante.

TE=34pb

24


18

Conclusiones

IV

En este trabajo se ha explicado la metodología propuestapor Jamshidian y Zhu para simular el comportamientode una o más curvas de rendimiento con el objeto deestimar la distribución de retornos asociados a inversionesen dichas curvas. Instituciones con tecnologías avanzadaspueden implementar fácilmente ejercicios similares contodos los requerimientos demandados por la simulaciónMonte Carlo tradicional. Sin embargo, la metodologíade Jamshidian y Zhu puede ser aplicada fácilmente acualquier estación de trabajo estándar, obteniendoresultados eficientes para un buen número de mercadosfinancieros.

Un primer ahorro se obtiene al utilizar el Análisis deComponentes Principales para caracterizar los tresmovimientos más representativos de una curva derendimiento: cambios paralelos, de pendiente y curvatura,los cuales son asociados normalmente en el mismo ordenal primer, segundo y tercer componente principal de lamatriz de correlación entre tasas claves de una curva derendimiento. Posteriormente, al aplicar la creativapropuesta de Jamshidian y Zhu para hacer discreta unadistribución normal a través de su aproximación multi-nomial, la necesidad de generar un número demasiadogrande de simulaciones se reduce también en formasignificativa, facilitándose la valuación de portafolios oactivos financieros más complejos.

Con este modelo definido, nuestro ámbito de aplicación

se limitó a la valuación de portafolios de renta fija tipo“bullet”, obteniéndose información valiosa para analizary validar tendencias en las tasas de interés, estimardistribuciones de retornos de portafolios representativosde las curvas de rendimiento modeladas y formularestrategias de inversión que permitan construir portafoliosrobustos y consistentes con un número razonable deescenarios de tasas de interés. Así, siempre que se cuentecon un conjunto de datos suficientes para caracterizar elcomportamiento de una o más curvas de rendimiento,el análisis propuesto debería poder ser replicado, inclusopara mercados de economías emergentes.

Finalmente, es justo mencionar que Jamshidian y Zhuproponen su método de simulación de tasas de interéspara valuar un amplio universo de activos financieroscomo instrumentos derivados e incluso, aplicarlo alanálisis de riesgo crediticio. Al respecto, algunos autoreshan encontrado en ciertas aplicaciones problemas decontinuidad que hacen lenta la convergencia de lasdistribuciones de probabilidad, pudiéndose subestimarmedidas de riesgo como el VaR o la volatilidad deposiciones con instrumentos derivados o estructurados(ver Abken, 2000 y Gibson y Pritsker, 2000). Por estarazón, siempre resulta recomendable y convenientevalidar los resultados entre modelos alternativos con elobjeto de asegurar una mejor calidad en los insumosutilizados para la toma de decisiones en procesos deinversión más sofisticados.


25

B ibliografía

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evaluation of Value at Risk by Scenario

Simulation”. Risk Analysis Division

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• Smith, Lindsay (2002): “A tutorial on

Principal Components Analysis”. 26 de febrero

de 2002.

19

26


Esc Estados Comp Principales Emisiones del Tesoro USA Corporativos BBB (US$)

i1 i2 i3 w1 w2 w3 ON 3M 6M 1A 2A 3A 4A 5A ON 3M 6M 1A 2A 3A 4A 5A

1 0 0 0 -2.45 -2.00 -1.41 1.94% 2.76% 2.76% 2.51% 2.55% 2.75% 2.95% 3.14% 5.95% 5.87% 6.12% 6.13% 6.27% 6.38% 6.49% 6.55%2 1 0 0 -1.63 -2.00 -1.41 2.04% 3.01% 3.10% 3.01% 3.16% 3.36% 3.53% 3.69% 6.48% 5.75% 6.00% 6.21% 6.29% 6.38% 6.44% 6.50%3 2 0 0 -0.82 -2.00 -1.41 2.14% 3.29% 3.49% 3.60% 3.91% 4.10% 4.23% 4.34% 5.89% 5.86% 6.09% 6.16% 6.23% 6.33% 6.40% 6.47%4 3 0 0 0.00 -2.00 -1.41 2.25% 3.59% 3.92% 4.31% 4.85% 5.01% 5.06% 5.10% 5.87% 5.88% 5.96% 6.11% 6.22% 6.29% 6.37% 6.44%5 4 0 0 0.82 -2.00 -1.41 2.36% 3.91% 4.41% 5.16% 6.00% 6.13% 6.06% 5.99% 7.04% 5.86% 6.01% 6.13% 6.27% 6.32% 6.46% 6.54%6 5 0 0 1.63 -2.00 -1.41 2.48% 4.26% 4.95% 6.18% 7.43% 7.49% 7.25% 7.04% 6.01% 5.75% 5.83% 5.76% 5.70% 5.73% 5.88% 5.94%7 6 0 0 2.45 -2.00 -1.41 2.61% 4.65% 5.57% 7.39% 9.20% 9.15% 8.68% 8.27% 6.18% 5.55% 5.58% 5.50% 5.41% 5.49% 5.59% 5.66%8 0 1 0 -2.45 -1.00 -1.41 2.45% 3.21% 3.06% 2.59% 2.42% 2.54% 2.72% 2.90% 6.34% 5.68% 5.74% 5.71% 5.75% 5.81% 5.86% 5.95%9 1 1 0 -1.63 -1.00 -1.41 2.57% 3.50% 3.45% 3.10% 3.00% 3.10% 3.25% 3.41% 5.87% 5.86% 6.07% 5.99% 6.01% 6.04% 6.13% 6.27%10 2 1 0 -0.82 -1.00 -1.41 2.70% 3.81% 3.87% 3.71% 3.72% 3.79% 3.90% 4.00% 5.92% 5.60% 5.70% 5.79% 5.94% 6.08% 6.15% 6.28%11 3 1 0 0.00 -1.00 -1.41 2.84% 4.16% 4.35% 4.44% 4.60% 4.63% 4.66% 4.71% 5.63% 5.39% 5.51% 5.65% 5.77% 5.91% 5.96% 6.11%12 4 1 0 0.82 -1.00 -1.41 2.98% 4.53% 4.89% 5.31% 5.70% 5.66% 5.58% 5.53% 5.08% 5.63% 5.81% 6.05% 6.39% 6.51% 6.62% 6.71%13 5 1 0 1.63 -1.00 -1.41 3.14% 4.94% 5.50% 6.36% 7.06% 6.92% 6.68% 6.50% 5.12% 5.37% 5.55% 5.74% 6.02% 6.21% 6.32% 6.47%14 6 1 0 2.45 -1.00 -1.41 3.30% 5.39% 6.18% 7.61% 8.74% 8.45% 8.00% 7.64% 5.38% 5.49% 5.74% 5.90% 6.18% 6.35% 6.51% 6.61%15 0 2 0 -2.45 0.00 -1.41 3.09% 3.72% 3.40% 2.67% 2.30% 2.35% 2.51% 2.68% 5.23% 5.54% 5.89% 6.20% 6.53% 6.74% 6.90% 6.95%16 1 2 0 -1.63 0.00 -1.41 3.25% 4.05% 3.83% 3.19% 2.85% 2.87% 3.00% 3.15% 5.20% 5.60% 6.09% 6.31% 6.64% 6.81% 6.96%` 7.05%17 2 2 0 -0.82 0.00 -1.41 3.41% 4.42% 4.30% 3.82% 3.53% 3.50% 3.59% 3.70% 6.31% 5.69% 6.12% 6.46% 6.74% 6.97% 7.15% 7.26%18 3 2 0 0.00 0.00 -1.41 3.59% 4.82% 4.83% 4.57% 4.37% 4.28% 4.30% 4.35% 5.36% 6.06% 6.55% 6.73% 7.02% 7.23% 7.39% 7.56%19 4 2 0 0.82 0.00 -1.41 3.77% 5.26% 5.43% 5.47% 5.41% 5.23% 5.15% 5.11% 5.89% 6.06% 6.36% 6.69% 6.99% 7.18% 7.28% 7.40%20 5 2 0 1.63 0.00 -1.41 3.96% 5.73% 6.11% 6.55% 6.70% 6.39% 6.16% 6.00% 5.78% 6.29% 6.68% 6.92% 7.20% 7.34% 7.50% 7.67%21 6 2 0 2.45 0.00 -1.41 4.16% 6.25% 6.87% 7.84% 8.30% 7.81% 7.37% 7.06% 5.67% 6.43% 6.89% 7.11% 7.33% 7.46% 7.61% 7.75%22 0 3 0 -2.45 1.00 -1.41 3.90% 4.31% 3.78% 2.75% 2.19% 2.17% 2.31% 2.47% 6.07% 6.58% 7.01% 7.35% 7.52% 7.72% 7.80% 7.88%23 1 3 0 -1.63 1.00 -1.41 4.10% 4.70% 4.25% 3.29% 2.71% 2.65% 2.76% 2.91% 5.84% 6.92% 7.22% 7.49% 7.76% 7.93% 8.07% 8.20%24 2 3 0 -0.82 1.00 -1.41 4.31% 5.12% 4.78% 3.94% 3.35% 3.24% 3.31% 3.42% 6.21% 7.14% 7.45% 7.70% 7.81% 7.91% 8.04% 8.13%25 3 3 0 0.00 1.00 -1.41 4.53% 5.59% 5.37% 4.71% 4.15% 3.95% 3.96% 4.01% 6.15% 7.07% 7.46% 7.55% 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-0.82 1.00 0.00 5.48% 4.81% 4.43% 3.80% 3.39% 3.35% 3.43% 3.53% 1.76% 2.60% 2.58% 2.67% 3.27% 4.03% 4.53% 4.90%60 3 3 1 0.00 1.00 0.00 5.76% 5.25% 4.98% 4.55% 4.20% 4.09% 4.11% 4.15% 1.64% 2.31% 2.39% 2.47% 2.94% 3.59% 4.10% 4.32%61 4 3 1 0.82 1.00 0.00 6.05% 5.72% 5.60% 5.44% 5.21% 5.00% 4.92% 4.88% 1.63% 2.22% 2.28% 2.32% 2.94% 3.66% 4.20% 4.43%62 5 3 1 1.63 1.00 0.00 6.36% 6.24% 6.30% 6.51% 6.45% 6.11% 5.89% 5.73% 1.69% 2.19% 2.28% 2.30% 2.92% 3.64% 4.16% 4.47%63 6 3 1 2.45 1.00 0.00 6.68% 6.80% 7.08% 7.79% 7.98% 7.47% 7.05% 6.74% 1.69% 2.06% 2.06% 2.16% 2.58% 3.08% 3.47% 3.78%64 0 4 1 -2.45 2.00 0.00 6.26% 4.69% 3.90% 2.73% 2.10% 2.07% 2.21% 2.36% 1.65% 1.66% 1.78% 2.00% 2.49% 2.92% 3.42% 3.79%65 1 4 1 -1.63 2.00 0.00 6.58% 5.11% 4.38% 3.27% 2.60% 2.53% 2.64% 2.78% 1.62% 1.93% 2.08% 2.24% 2.87% 3.43% 4.17% 4.54%66 2 4 1 -0.82 2.00 0.00 6.92% 5.58% 4.92% 3.91% 3.22% 3.09% 3.17% 3.26% 1.62% 1.92% 2.01% 2.25% 3.24% 3.92% 4.49% 4.96%67 3 4 1 0.00 2.00 0.00 7.27% 6.08% 5.54% 4.68% 3.99% 3.78% 3.79% 3.83% 1.37% 1.89% 1.97% 2.07% 2.60% 3.17% 3.82% 4.31%68 4 4 1 0.82 2.00 0.00 7.64% 6.63% 6.22% 5.60% 4.94% 4.62% 4.54% 4.50% 1.37% 1.79% 1.88% 2.04% 2.79% 3.41% 4.11% 4.55%69 5 4 1 1.63 2.00 0.00 8.02% 7.23% 6.99% 6.71% 6.12% 5.65% 5.43% 5.29% 1.37% 1.72% 1.84% 2.20% 2.99% 3.61% 4.22% 4.63%70 6 4 1 2.45 2.00 0.00 8.43% 7.89% 7.86% 8.03% 7.58% 6.90% 6.50% 6.22% 1.31% 1.71% 1.79% 2.01% 2.78% 3.42% 4.07% 4.55%71 0 0 2 -2.45 -2.00 1.41 3.14% 2.44% 2.38% 2.34% 2.62% 2.94% 3.18% 3.36% 1.31% 1.70% 1.78% 1.89% 2.74% 3.28% 3.93% 4.19%72 1 0 2 -1.63 -2.00 1.41 3.30% 2.66% 2.67% 2.80% 3.24% 3.60% 3.80% 3.94% 1.21% 1.66% 1.69% 1.85% 2.50% 3.04% 3.59% 4.02%73 2 0 2 -0.82 -2.00 1.41 3.46% 2.90% 3.01% 3.35% 4.01% 4.39% 4.55% 4.63% 1.25% 1.54% 1.62% 1.82% 2.47% 2.93% 3.46% 3.93%74 3 0 2 0.00 -2.00 1.41 3.64% 3.16% 3.38% 4.01% 4.97% 5.37% 5.45% 5.45% 1.29% 1.75% 1.89% 2.50% 3.15% 3.72% 4.30% 4.52%75 4 0 2 0.82 -2.00 1.41 3.82% 3.45% 3.80% 4.80% 6.15% 6.56% 6.52% 6.40% 1.29% 1.86% 2.13% 2.71% 3.43% 4.01% 4.54% 4.98%76 5 0 2 1.63 -2.00 1.41 4.02% 3.76% 4.27% 5.75% 7.62% 8.02% 7.81% 7.52% 1.29% 2.06% 2.38% 2.92% 3.59% 4.05% 4.54% 4.96%77 6 0 2 2.45 -2.00 1.41 4.22% 4.10% 4.80% 6.88% 9.43% 9.80% 9.35% 8.84% 1.29% 2.14% 2.38% 2.81% 3.48% 3.95% 4.42% 4.82%78 0 1 2 -2.45 -1.00 1.41 3.96% 2.83% 2.64% 2.41% 2.49% 2.72% 2.93% 3.10% 1.82% 2.29% 2.40% 2.72% 3.20% 3.62% 4.05% 4.43%79 1 1 2 -1.63 -1.00 1.41 4.16% 3.08% 2.97% 2.89% 3.08% 3.32% 3.51% 3.64% 1.83% 2.37% 2.61% 3.02% 3.46% 3.75% 4.19% 4.54%80 2 1 2 -0.82 -1.00 1.41 4.37% 3.36% 3.34% 3.45% 3.81% 4.06% 4.20% 4.28% 1.83% 2.51% 2.68% 2.96% 3.30% 3.68% 4.11% 4.45%81 3 1 2 0.00 -1.00 1.41 4.59% 3.66% 3.75% 4.13% 4.72% 4.96% 5.02% 5.03% 2.12% 2.77% 2.99% 3.37% 3.74% 4.11% 4.49% 4.75%82 4 1 2 0.82 -1.00 1.41 4.83% 4.00% 4.22% 4.95% 5.84% 6.06% 6.01% 5.91% 2.30% 2.86% 3.18% 3.55% 3.77% 4.05% 4.45% 4.61%83 5 1 2 1.63 -1.00 1.41 5.07% 4.36% 4.74% 5.92% 7.24% 7.41% 7.20% 6.95% 2.45% 3.14% 3.42% 3.77% 3.98% 4.18% 4.51% 4.64%84 6 1 2 2.45 -1.00 1.41 5.33% 4.75% 5.33% 7.09% 8.96% 9.06% 8.62% 8.16% 2.76% 3.35% 3.61% 3.97% 4.29% 4.48% 4.73% 4.84%85 0 2 2 -2.45 0.00 1.41 5.00% 3.28% 2.93% 2.48% 2.36% 2.51% 2.70% 2.86% 2.85% 3.40% 3.75% 4.21% 4.49% 4.68% 4.93% 5.03%86 1 2 2 -1.63 0.00 1.41 5.25% 3.57% 3.30% 2.97% 2.92% 3.07% 3.23% 3.36% 2.85% 3.69% 3.89% 4.16% 4.41% 4.56% 4.75% 4.84%87 2 2 2 -0.82 0.00 1.41 5.52% 3.90% 3.71% 3.56% 3.62% 3.75% 3.87% 3.95% 3.09% 3.91% 3.98% 4.25% 4.38% 4.55% 4.66% 4.77%88 3 2 2 0.00 0.00 1.41 5.80% 4.25% 4.17% 4.26% 4.48% 4.58% 4.63% 4.65% 3.29% 4.13% 4.25% 4.32% 4.41% 4.49% 4.57% 4.70%89 4 2 2 0.82 0.00 1.41 6.09% 4.63% 4.68% 5.10% 5.55% 5.60% 5.54% 5.46% 3.29% 4.22% 4.41% 4.61% 4.82% 4.96% 5.01% 5.12%90 5 2 2 1.63 0.00 1.41 6.40% 5.05% 5.26% 6.10% 6.87% 6.85% 6.64% 6.42% 3.63% 4.27% 4.37% 4.48% 4.60% 4.69% 4.71% 4.84%91 6 2 2 2.45 0.00 1.41 6.73% 5.51% 5.92% 7.30% 8.51% 8.37% 7.94% 7.54% 3.81% 4.44% 4.59% 4.80% 4.95% 5.02% 5.12% 5.16%92 0 3 2 -2.45 1.00 1.41 6.31% 3.80% 3.26% 2.56% 2.24% 2.32% 2.49% 2.64% 4.14% 4.81% 4.96% 5.08% 5.19% 5.32% 5.43% 5.47%93 1 3 2 -1.63 1.00 1.41 6.63% 4.14% 3.66% 3.06% 2.78% 2.84% 2.98% 3.11% 4.30% 4.86% 5.01% 5.17% 5.28% 5.29% 5.40% 5.54%94 2 3 2 -0.82 1.00 1.41 6.97% 4.52% 4.12% 3.66% 3.44% 3.47% 3.56% 3.65% 4.30% 5.04% 5.08% 5.08% 5.23% 5.23% 5.27% 5.35%95 3 3 2 0.00 1.00 1.41 7.32% 4.93% 4.63% 4.39% 4.26% 4.24% 4.27% 4.29% 4.29% 5.10% 5.18% 5.24% 5.35% 5.39% 5.46% 5.50%96 4 3 2 0.82 1.00 1.41 7.69% 5.37% 5.20% 5.25% 5.27% 5.18% 5.11% 5.04% 4.74% 5.18% 5.33% 5.37% 5.43% 5.50% 5.57% 5.64%97 5 3 2 1.63 1.00 1.41 8.08% 5.86% 5.85% 6.28% 6.53% 6.33% 6.12% 5.93% 4.81% 5.28% 5.46% 5.57% 5.67% 5.71% 5.79% 5.83%98 6 3 2 2.45 1.00 1.41 8.49% 6.39% 6.57% 7.52% 8.08% 7.73% 7.32% 6.96% 4.81% 5.46% 5.58% 5.66% 5.73% 5.78% 5.88% 5.96%99 0 4 2 -2.45 2.00 1.41 7.97% 4.40% 3.62% 2.63% 2.13% 2.14% 2.29% 2.44% 4.99% 5.56% 5.77% 5.79% 5.88% 5.92% 5.99% 6.06%100 1 4 2 -1.63 2.00 1.41 8.37% 4.80% 4.07% 3.15% 2.64% 2.62% 2.74% 2.87% 5.32% 5.77% 6.00% 6.04% 6.06% 6.06% 6.10% 6.17%101 2 4 2 -0.82 2.00 1.41 8.79% 5.24% 4.57% 3.77% 3.26% 3.20% 3.29% 3.37% 5.65% 5.94% 5.98% 5.92% 5.86% 5.87% 5.94% 6.07%102 3 4 2 0.00 2.00 1.41 9.24% 5.71% 5.14% 4.52% 4.04% 3.91% 3.93% 3.96% 5.58% 5.72% 5.79% 5.69% 5.61% 5.58% 5.66% 5.81%103 4 4 2 0.82 2.00 1.41 9.71% 6.23% 5.78% 5.41% 5.00% 4.78% 4.71% 4.66% 5.58% 5.61% 5.71% 5.65% 5.54% 5.50% 5.56% 5.71%104 5 4 2 1.63 2.00 1.41 10.20% 6.79% 6.49% 6.47% 6.20% 5.84% 5.64% 5.47% 5.53% 5.82% 5.83% 5.63% 5.47% 5.44% 5.50% 5.65%105 6 4 2 2.45 2.00 1.41 10.72% 7.41% 7.30% 7.75% 7.67% 7.14% 6.75% 6.43% 10.72% 7.41% 7.30% 7.75% 7.67% 7.14% 6.75% 6.43%

ANEXO 1.Escenarios discretos de tasas de interés

20


27

ANEXO 2.

Matriz de Correlación de Tasas Clave

Matriz de Vectores Característicos de la Matriz de Correlación de Tasas Clave.

Matriz de Valores Característicos de Matriz de Correlación de Tasas Clave.

21

Cor

pora

tivo

s B

BB

Teso

ro U

SAC

orpo

rati

vos

BB

BTe

soro

USA

Cor

pora

tivo

s B

BB

Teso

ro U

SA

28


Matriz de Correlación entre Componentes Principales.

Matriz de Correlación de primeros tres Componentes Principales.

22

Cor

pora

tivo

s B

BB

Teso

ro U

SA

BB

BT

. USA


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