1. 1. TPICI Tema: Matemtica Responsable: Lic. Irma No Equipo n 8 Alumnos: Duran Laura, Chaca Romn Segundo cuatrimestre, 2014
2. 2. Procedimiento general para el diseo de domos Geodsicos
3. 3. 1. Se elige un poliedro base. En este caso se considera como poliedro base octaedro de radio unitario y centrado en el origen.
4. 4. a) Se considera una de las caras de la fraccin elegida del poliedro. b) Se dividen todas las aristas de est cara en partes iguales, marcando con un punto cada divisin. c) Considrese una de estas aristas como base (el segmento de recta formado por e1e2) , despus se unen los puntos de las dos caras restantes con segmentos de recta paralelos a la arista base. Se repiten el paso 2 b) y 2 c), con las aristas restantes como base, para obtener la cara totalmente dividida. Al terminar se repite el paso 2 con el resto de las caras de la fraccin del poliedro. se le conoce como frecuencia. 2. Se particionan las caras de una fraccin del poliedro.
5. 5. Se considera la cara perteneciente al primer octante de la fraccin elegida del poliedro.
6. 6. Se dividen todas las aristas de est cara en =4 partes iguales, marcando con un punto cada divisin. Despus se trazan las paralelas a la arista .
7. 7. Repitiendo lo anterior sobre todas las aristas restantes como base se tiene:
8. 8. Se observa que despus de particionar las caras del poliedro aparecen nuevos puntos, a partir de las intersecciones de las lneas paralelas a cada arista, los que se llamarn Vij y se calculan de la siguiente manera: + + m = , , = , , Donde u, m son los vectores que parten desde e1 a e2 y e3 respectivamente y se calcula como u = e2 - e1 y m = e3 - e1 y es la frecuencia elegida para el domo geodsico. Para saber cul punto es el Vij , se pondr especial cuidado en la diferencia entre i y j. i nos indica la posicin sobre la fila j. j nos indica el nivel en el que est el punto, es decir, es el nmero de la fila paralela a u en el que se encuentra el punto. 3. Calcular las coordenadas de los nuevos puntos.
9. 9. 04 = (0,0,1) 03 = 1 4 , 0, 3 4 , 13 = 0, 1 4 , 3 4 02 = 1 2 , 0, 1 2 , 12 = 1 4 , 1 4 , 1 2 , 22 = 0, 1 2 , 1 2 01 = 3 4 , 0, 1 4 , 11 = 1 2 , 1 4 , 1 4 , 21 = 1 4 , 1 2 , 1 4 , 31 = 0, 3 4 , 1 4 00 = 1,0,0 , 10 = 3 4 , 1 4 , 0 , 20 = 1 2 , 1 2 , 0 , 30 = 1 4 , 3 4 , 0 , 40 = 0,1,0 Los clculos se encuentran disponibles en: https://drive.google.com/file/d/0B4zbBXeluN3YY28zTnZYR1hSc1k/edit?usp=sharing En nuestro caso luego de realizar los clculos se obtiene:
10. 10. Localizacin de los puntos Vij correspondientes al primer octante.
11. 11. Para poder proyectar cada punto en la esfera de radio 1 y centrada en el origen es necesario normalizar cada vector formado del origen a cada uno de los punto Vij, al punto proyectado se le llama wij. Normalizar cada vector del origen a Vij, es dividir el vector sobre su propia norma, es decir, wij 1 ij 2 + ij 2 + ij 2 . (ij , ij , ij ) 4. Se proyecta cada punto de la particin en la esfera.
12. 12. w04 = (0,0,1) w03 = 1 10 , 0, 3 10 , w13 = 0, 1 10 , 3 10 w02 = 1 2 , 0, 1 2 , w12 = 1 6 , 1 6 , 2 3 , w22 = 0, 1 2 , 1 2 w01 = 3 10 , 0, 1 10 , w11 = 2 3 , 1 6 , 1 6 , w21 = 1 6 , 2 3 , 1 6 , w31 = 0, 3 10 , 1 10 w00 = 1,0,0 , w10 = 3 10 , 1 10 , 0 , w20 = 1 2 , 1 2 , 0 , w30 = 1 10 , 3 10 , 0 , w40 = 0,1,0 Los clculos se encuentran disponibles en: https://drive.google.com/file/d/0B4zbBXeluN3YY28zTnZYR1hSc1k/edit?usp=sharing En nuestro caso luego de realizar los clculos se obtiene:
13. 13. Localizacin de los puntos wij correspondientes al primer octante.
14. 14. 5. Se calcula las nuevas longitudes de los segmentos, es decir, la distancia euclidiana. En la literatura se hacen diseos de domos de distintas maneras, se presenta la siguiente propuesta de etiquetas para los distintos segmentos, que depende del nivel y posicin en el que se encuentre el segmento. Se etiqueta en orden alfabtico empezando por la letra A, siendo la etiqueta del segmento del nivel ms alto de la cara, es decir, el segmento localizado entre los puntos w0,h-1, y w1,h-1. Si el segmento se encuentra en las orillas del tringulo original no lleva un subndice, de lo contrario se le pondr un subndice iniciando en 2 y aumentando a medida que el segmento se encuentre ms cerca del centro del tringulo original, as se sabr que tan interno es el nivel en el que se encuentra el segmento. La distancia euclidiana se calcula de las siguiente forma: w, w = (w w )2 + (w w )2 +(w w )2
15. 15. Propuesta de etiquetas para el domo. Mapa de etiquetas completo
16. 16. Se calculan las distancias euclidianas aproximadas de los puntos normalizados. Calculando solamente las longitudes A,B,C, ,D, w, w Segmentos Distancia w03 , w13 A 0.447214 w02 , w12 B 0.517638 w01 , w11 C 0.438871 w11 , w21 C2 0.57735 w00 , w10 D 0.320364 w10 , w20 D2 0.459506 Los clculos se encuentran disponibles en: https://drive.google.com/file/d/0B4zbBXeluN3YY28zTnZYR1hSc1k/edit?usp=sharing
17. 17. Finalmente el Domo queda de la siguiente forma:
18. 18. Nuestro Domo:
19. 19. Bibliografa Dueas Osuma, Alejandro (2013). El problema de corte unidimensional aplicado a la obtencin de elementos longitudinales de domos geodsicos. Universidad de Sonora, Divisin de Ciencias Exactas y Naturales.