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2 Ecuaciones Atmosféricas 59
CAPÍTULO
DOS
ECUACIONES ATMOSFÉRICAS
2.1 INTRODUCCIÓN
Las condiciones de contorno en la interfase suelo-atmósfera, dependen del equilibrio
entre los flujos de energía que tienen lugar en la superficie, como ilustra la Figura 2.1.
Este equilibrio puede expresarse matemáticamente como:
N fgR G H h E− = + (2.1)
donde NR es el flujo radiativo neto en la superficie, G el flujo de calor en el suelo, y la
suma del flujo de calor sensible H y latente fgh E , ( fgh es el calor latente de
vaporización), es la energía disponible, debida al transporte turbulento de calor y
humedad entre la superficie del suelo y la atmósfera. Todo los flujos tienen dimensiones
de W/m2, y el cociente entre el flujo de calor sensible y latente se suele definir como la
relación de Bowen (1926) fgH h Eβ = . Esta relación puede determinarse, si se suponen
condiciones estacionarias, homogeneidad horizontal, y considerando que las resistencias
aerodinámicas turbulentas del calor latente y sensible son iguales (Oke, 1987). En este
2 Ecuaciones Atmosféricas 60
caso, la relación de Bowen, puede calcularse a partir de los gradientes de temperatura y
presión de vapor de agua en la atmósfera, cerca de la superficie:
atm p
fg v
p C Th p
βε
∂=∂
(2.2)
donde pC (0.24 cal g-1 ºC-1, 1.01 KJ Kg-1 K-1) es el calor específico del aire a presión
constante, atmp la presión atmosférica, 0.622ε= la relación entre los pesos
moleculares del vapor de agua y aire seco, fgh el calor latente de vaporización, T la
temperatura absoluta y vp la presión de vapor.
Tanto el flujo en el suelo como la radiación, son cantidades que dependen de
magnitudes que varían lentamente, por lo que serán más fáciles de caracterizar que la
energía disponible, ya que ésta es de naturaleza turbulenta, pues es en la capa superficial
atmosférica donde tienen lugar los transportes de humedad y temperatura.
Figura 2.1 Balance de energía en la superficie.
solarR
solaraR
4sup supTε σ
fgh E H
G
Temperatura Humedad
4atm atmTε σ
( ) 41 sup atm atmTε ε σ−
2 Ecuaciones Atmosféricas 61
En la Figura 2.1, todos los flujos de energía están en W/m2, considerando positivos los
que inciden sobre la superficie, y negativos si salen de ésta. El flujo radiativo neto NR
es ( )atm atm supsup1N solar solar L L LR R aR R R Rε= − + − − + , donde 4atm
L atm atmR T= ε σ es el
flujo de radiación de onda larga, debido principalmente a la emisión térmica del agua
atmosférica, y sup supsup 4LR Tε σ= la radiación térmica perdida por la superficie. En el
apartado 2.6 se da una explicación acerca de los flujos de radiación. El flujo de calor en
el suelo G, es proporcional a la tangente del perfil térmico en la superficie, H depende
de la diferencia de temperatura entre la atmósfera y la superficie, y la evaporación E es
función de la diferencia entre las presiones de vapor entre la superficie y la atmósfera.
2.2 ENERGÍA CINÉTICA TURBULENTA: TRANSPORTE SUPERFICIAL DE
MASA Y ENERGÍA
El flujo interfacial entre el suelo y la atmósfera se puede parametrizar mediante modelos
de la capa límite atmosférica, que tienen en cuenta el transporte de energía cinética
turbulenta cerca de la superficie. Los métodos utilizados para obtener los perfiles de
humedad, temperatura y velocidad, se resumen en representaciones globales, que
utilizan los números adimensionales apropiados (Garrat, 1994).
La estructura de la capa superficial puede dividirse en tres regiones principales. La
primera es la región exterior, cuyas propiedades no se ven afectadas por la naturaleza y
el carácter del fondo, siendo este la interfase entre el fluido y el medio sólido o líquido.
El flujo de aire se va modificando, cuando se desplaza sobre una superficie rugosa, de
forma que se crea una nueva capa en la parte inferior de la capa superficial, la segunda
región, denominada capa límite interna, capa interior o de pared, dominada por la
2 Ecuaciones Atmosféricas 62
geometría de la superficie. La tercera región, llamada subcapa interfacial o viscosa, se
desarrolla en la parte más baja de la capa límite interna, y en ésta el flujo de momento es
prácticamente constante. El espesor δ de esta zona, no suele superar el 15% de la altura
de la capa límite interna. Aquí se distinguen dos partes: la subcapa rugosa, próxima a la
superficie del suelo, cuya estructura está influenciada por la geometría de los elementos
rugosos y su disposición, siendo la difusión molecular el principal mecanismo de
transporte, y sobre ésta, la subcapa inercial, donde el flujo de momento es constante
con la altura, y el perfil de velocidad es logarítmico. En ésta es donde se recomienda
realizar las medidas micrometeorológicas, pues en esta zona, la turbulencia es la
responsable del transporte de masa y energía entre la superficie y la atmósfera. En la
Figura 2.2 se representan esquemáticamente estas regiones.
Figura 2.2 Representación esquemática del desarrollo de la capa
límite interna debido a la rugosidad en la superficie.
En la Figura 2.2, la línea superior señala la transición entre el flujo no modificado
(parte superior) y el modificado por el fondo. Bajo la línea inferior, en la subcapa
viscosa, el transporte de momento calor y humedad, permanecen prácticamente
constantes.
Z
Xmulch de grava
δ
capa límite interna
subcapa viscosa
( ),U z x
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El desarrollo de las expresiones para los flujos de temperatura, humedad y velocidad del
viento, parten de la ecuación de la energía cinética turbulenta, y de hipótesis acerca de
la dependencia de éstos flujos con algunos parámetros turbulentos, mediante teorías de
similitud. A continuación haremos un breve repaso de los conceptos fundamentales, que
nos llevarán a las expresiones utilizadas en los modelos numéricos, para parametrizar la
energía disponible (flujos de calor latente y sensible) entre la superficie del suelo y la
atmósfera.
El transporte de calor, humedad y momento cerca de la superficie, se deduce a partir de
las ecuaciones para el flujo medio, de Navier-Stokes, de la conservación de la entalpía
(o calor sensible) y del vapor de agua:
2
3 2
1 2i i ij i j i ijk j k
j j i j
u u upu u u g ut x x x x
δ ε η υρ
∂ ∂ ∂∂ ∂′ ′+ = − − − − Ω +∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(2.3)
2
2
1 jj j T
j j j p j
Ru u k
t x x x C xθ θ θθ
ρ∂∂ ∂ ∂ ∂′ ′+ = − + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.4)
2
2j j Vj j j
q q qu q u kt x x x
∂ ∂ ∂ ∂′ ′+ = − +∂ ∂ ∂ ∂
(2.5)
donde los campos se definen como suma de un término medio y una fluctuación
c c c′= + (2.6)
Las covarianzas, i ju u′ ′ , juθ ′ ′ , jq u′ ′ derivadas de los términos no lineales
( )j i ju u x∂ ∂ , ( )j ju xθ∂ ∂ , ( )j ju q x∂ ∂ se definen como flujos, debido a la analogía con
el transporte molecular, y representan el transporte turbulento de momento, calor y
humedad, debido a las fluctuaciones de los campos.
2 Ecuaciones Atmosféricas 64
Al promediar las ecuaciones nos encontramos con nuevas incógnitas. Estas son las
covarianzas o momentos de segundo orden a las que nos hemos referido anteriormente.
Si utilizamos las mismas técnicas de promediado para resolver estos momentos,
volveríamos a encontrarnos con nuevas incógnitas en forma de momentos de tercer
orden. La única manera de conseguir un conjunto de ecuaciones cerrado, es
parametrizar los momentos de alto orden en función de cantidades conocidas. Un
esquema de primer orden utiliza, en analogía con la ley de Newton para la fricción,
coeficientes de transferencia turbulentos o difusividades K, para relacionar los flujos
turbulentos con gradientes medios locales de las cantidades que están siendo
transportadas. Así, para una cantidad s, el flujo turbulento o covarianza se puede
expresar en términos del gradiente medio local js x∂ ∂ como s ju s K s x′ ′ = − ∂ ∂ , donde
sK es positiva. Los flujos turbulentos verticales de momento, calor y humedad en un
esquema de primer orden se escriben de la siguiente manera:
x Mu w K u zτ ρ ρ′ ′= − = ∂ ∂ (2.7)
y Mv w K v zτ ρ ρ′ ′= − = ∂ ∂ (2.8)
v p v p H vH C w C K zρ θ ρ θ′ ′= = − ∂ ∂ (2.9)
WE q w K q zρ ρ′ ′= = − ∂ ∂ (2.10)
donde vθ es la temperatura potencial virtual ( ) d pR Cv v RT p pθ −= , que tiene en cuenta el
vapor de agua a través de la temperatura virtual ( )1 0.61vT T q= + , donde q es la
humedad específica, d v wp R T R Tρ ρ= = , /d dR R M= , siendo R la constante de los
gases perfectos y dM el peso molecular del aire seco.
2 Ecuaciones Atmosféricas 65
En contraste con el caso molecular, la difusividad turbulenta MK , no solo depende del
fluido, sino también de otras cantidades como la posición y la velocidad del flujo. La
dependencia de este coeficiente con la estructura de flujo es su mayor inconveniente,
además, este esquema sólo es válido para escalas más pequeñas que el gradiente medio.
Estas desventajas pueden superarse en parte, si tenemos en cuenta una ecuación para la
evolución de la energía cinética turbulenta. Ésta se define como:
( )2 2 2 22 2ie u u v w′ ′ ′ ′= = + + (2.11)
Se puede demostrar que su evolución temporal es:
( ) 1i j i j i j v i i j i ive t u e x u u u x g u eu x p u xθ θ ρ ε−′ ′ ′ ′ ′ ′ ′∂ ∂ + ∂ ∂ = − ∂ ∂ + − ∂ ∂ − ∂ ∂ −
(2.12)
Si despreciamos los flujos horizontales tendremos homogeneidad horizontal, y la
ecuación anterior queda de la siguiente manera:
( ) ( )v ve t u w u z v w v z g w ew p w zθ θ ρ ε′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′∂ ∂ = − ∂ ∂ − ∂ ∂ + − ∂ + ∂ − (2.13)
donde ( )22 2i i j i ju u x u xε υ υ′ ′ ′= − ∂ ∂ ≈ ∂ ∂ es la velocidad de disipación molecular viscosa,
que está relacionada con la disipación térmica de los vórtices más pequeños en los
movimientos atmosféricos.
2 Ecuaciones Atmosféricas 66
2.3 PARÁMETROS DE ESTABILIDAD ATMOSFÉRICA
2.3.1 Número de Richardson
En la ecuación anterior, y suponiendo que nos encontramos cerca de la superficie, el
termino de corte u w u z v w v z′ ′ ′ ′− ∂ ∂ − ∂ ∂ es positivo, por lo que representa producción
de energía turbulenta, mientras que la flotabilidad ( )v vw gθ θ′ ′ , puede ser una fuente o
un sumidero de energía, dependiendo de las condiciones de estabilidad. En el caso de
inestabilidad térmica, es decir cuando 0v zθ∂ ∂ < , contribuirá al aumento de energía
cinética turbulenta (ECT). El cociente entre estos dos términos se define como el
número de Richardson de flujo Rf, y puede utilizarse para definir la estructura local y la
evolución de la turbulencia, además de caracterizar la estabilidad térmica del flujo:
( ) ( )/ /v vRf g w u w u z v w v zθ θ′ ′ ′ ′ ′ ′= ∂ ∂ + ∂ ∂ (2.14)
Alternativamente, podemos definir el número de Richardson del gradiente Ri, utilizando
los esquemas de cierre de primer orden citados anteriormente:
( )H MRf K K Ri= (2.15)
donde
( ) ( ) ( )2 2vRi g z u z v zθ θ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ (2.16)
Este número ha sido muy utilizado como parámetro de estabilidad térmica en la capa
atmosférica superficial. En el caso de inestabilidad térmica, éste es negativo, y positivo
en caso contrario.
2.3.2 Longitud de Monin-Obukhov
Es conveniente introducir un nuevo parámetro de estabilidad, deducido por Monin y
Obukhov (1954) a partir de la ECT. Podemos comprobar, que conforme la altura z
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aumenta desde la superficie, el término de corte tiende a decrecer con mayor celeridad
que la flotabilidad. La altura a la cual la flotabilidad se iguala con el corte, es una
longitud relevante en condiciones no neutrales. En el caso de inestabilidad, estos
términos se igualan cuando 1Rf = − . Si elegimos los ejes a lo largo del flujo medio
( )0v = , entonces para 1Rf = − tendremos, cerca de la superficie:
( ) ( ) vvou w u z g wθ θ′ ′ ′ ′− ∂ ∂ = (2.17)
de manera que si aceptamos que el gradiente de flujo medio ( )*ou z u kz∂ ∂ = Φ es una
función conocida, los términos serán iguales a la altura z L= −Φ , donde L es la longitud
de estabilidad definida por Obukhov como:
( ) ( )3 2* * *vo v o v v oL u k g w u k gθ θ θ θ ′ ′= − = (2.18)
donde el número adimensional /z Lζ ≡ se usa muy a menudo como parámetro de
estabilidad térmico.
Para tener en cuenta el vapor de agua en la atmósfera, podemos utilizar la expresión
propuesta por Paulson (1970):
( ) ( )( )3* 0.61a pa atmL u kg H c T Eρ = − + (2.19)
i. Si 0Ri ζ= = ⇒ Condiciones neutrales o de convección forzada.
ii. Si Ri y ζ → −∞ ⇒ Condiciones de convección libre.
iii. Si 0 critico
critico
Ri Ri Flujo Laminar Ri y
Ri Ri Flujo Turbulentoζ
> ⇒> < ⇒
donde cRi es el número critico de Richardson. Para la capa limite atmosférica,
0.2 0.25cRi ≈ − ; valor que fue deducido formalmente por Miles (1961).
2 Ecuaciones Atmosféricas 68
2.4 TEORÍA DE SIMILITUD DE MONIN-OBUKHOV
Partiendo de la hipótesis de Prandtl, y en condiciones de homogeneidad horizontal, para
una capa superficial en condiciones neutrales ( 0v zθ∂ ∂ = ) se deduce que
*ou z u kz∂ ∂ = , donde k es la constante de von Karman, *ou la velocidad de fricción,
relacionada con el estrés superficial oτ mediante la relación:
( ) ( )1/ 22 22
*o o o ou u w v wτ ρ ′ ′ ′ ′= = +
(2.20)
Si elegimos el eje x de tal manera que 0v u v′ ′= = entonces, teniendo en cuenta que
x Mu w K u zτ ρ ρ′ ′= − = ∂ ∂ , obtenemos para el gradiente medio de la velocidad, la
expresión:
*ou z u kz∂ ∂ = (2.21)
De manera similar, podemos obtener las expresiones para los gradientes de humedad y
temperatura potencial virtual:
*oq z q kz∂ ∂ = (2.22)
*v v oz kzθ θ∂ ∂ = (2.23)
Si queremos calcular los flujos en condiciones no neutrales, podemos utilizar la teoría
de similitud de Monin-Obukhov, para calcular los flujos de calor sensible y latente entre
la superficie terrestre y la atmósfera.
Para incluir los efectos de la estratificación, en la descripción del transporte turbulento y
perfiles medios, Monin y Obukhov (1954), plantean la hipótesis de que algunas
características adimensionales de la turbulencia dependen de * , ,o vu z g θ y ( )v owθ′ ′ , a
través de z Lζ = .
2 Ecuaciones Atmosféricas 69
Por tanto, en condiciones no neutrales, la forma de los gradientes medios, serán
funciones del parámetro ζ :
( ) ( )*o Mkz u u z ζ∂ ∂ = Φ (2.24)
( ) ( )*v o v Hkz zθ θ ζ∂ ∂ = Φ (2.25)
( ) ( )*o Wkz q q z ζ∂ ∂ = Φ (2.26)
De estas relaciones, se deduce que:
( )21H MRi fζ ζ= Φ Φ = (2.27)
( )2t H M M HP K K f ζ= = Φ Φ = (2.28)
*M o MK ku z= Φ (2.29)
*H o HK ku z= Φ (2.30)
donde el cociente M HK K se define como el número turbulento de Prandtl tP . De las
funciones Φ solo puede predecirse su comportamiento asintótico, y para evaluarlas, hay
que recurrir a medidas experimentales.
2.4.1 Límites asintóticos
2.4.1.1 Límite neutral: en este caso el parámetro ζ tenderá a cero, de manera que la
función Φ puede ser expresada como una serie de Taylor en torno a 0ζ = :
( ) 21 2 11 ... 1ζ β ζ β ζ β ζΦ = + + + ≈ + (2.31)
esta expresión es utilizada en la práctica, para el rango comprendido entre 0 1ζ< <
mientras que para valores negativos 5 0ζ− < < , suelen utilizarse las siguientes:
( ) ( ) 1 411M ζ γ ζ −Φ = − (2.32)
( ) ( ) ( ) 1 221H Wζ ζ γ ζ −Φ = Φ = − (2.33)
2 Ecuaciones Atmosféricas 70
con 1 2 16γ γ≈ ≈ y 1 5β ≈ .
2.4.1.2 Límite estable: en condiciones de alta estabilidad ( )ζ → ∞ , los movimientos
turbulentos verticales están fuertemente limitados por la estratificación térmica positiva,
estando el tamaño de los remolinos limitado exclusivamente por la estabilidad, y no por
la distancia hasta la superficie. Cabe esperar que los gradientes dependan sólo de la
longitud de Monin-Obukhov L.
2.4.1.3 Límite inestable: en altas condiciones de inestabilidad ( )ζ → −∞ , estaremos en
condiciones de convección libre. En este caso, el corte del viento es despreciable con
respecto a las fuerzas de flotabilidad, y los parámetros escalares para la velocidad y
temperatura de la teoría de similitud de Monin-Obukhov, se reemplazan por los
parámetros definidos por Wyngaard et al. (1971):
( )( )1 3
f v v ou z g wθ θ ′ ′= (2.34)
( ) ( )1 32
of v vw z gθ θ θ ′ ′= (2.35)
En este caso, los gradientes dependen de tres variables ( ) ( )( ), , v v oz g wθ θ′ ′ , a través
de una constante, como puede deducirse a partir del teorema de Buckingham:
( ) 1f vz zθ θ α∂ = − (2.36)
donde 1 0α > , como predijo Priestley (1954) a partir de argumentos dimensionales. Por
desgracia, las medidas en condiciones de convección libre son muy dificultosas, y las
observaciones tienden analizarse a partir de valores finitos de ζ y Ri. Bajo tales
2 Ecuaciones Atmosféricas 71
condiciones el parámetro *ou puede ser importante. La combinación de la ecuación
anterior, teniendo en cuenta la función ( ) ( )*M okz u u zζΦ = ∂ ∂ , nos lleva a:
( ) ( )1 34 31H kζ α ζΦ = − (2.37)
Los observaciones sugieren un valor 1 0.7α ≈ , e indican que la convección libre ocurre
a partir de valores comprendidos entre 1ζ ≈ − a -2 (Kader y Yaglom, 1990).
2.5 FLUJOS DE MOMENTO, CALOR Y HUMEDAD
2.5.1 Coeficientes de transferencia
Los flujos de calor latente y sensible en la superficie, pueden expresarse en función de
la diferencia de los valores de la temperatura y humedad en la superficie y en un nivel
de referencia z, además de características propias de la superficie, a través de las
rugosidades superficiales. Para obtener la proporcionalidad entre los flujos y las
diferencias entre los valores de los campos, denominados coeficientes de transferencia,
integraremos las funciones MΦ , HΦ y WΦ .
Si tenemos en cuenta cada uno de los casos descritos anteriormente, podemos llegar a
las siguientes expresiones:
Condiciones inestables:
( ) ( )( )
( )
2
1 41
( ) 2 ln 1 2 ln 1 2 2 ( ) 2
( ) 2 ln 1 2 0
( ) ( )
1
m
h
v h
x x x arctag x
x xSi
x x
x
π
ζ
γ ζ
Ω = + + + − + Ω = + <
Ω = Ω
= −
(2.38)
2 Ecuaciones Atmosféricas 72
Condiciones estables:
[ ]1
1
1 0
1 ln >1 m h v
m h v
siSi
siβ ζ ζ
ζβ ζ ζ
Ω = Ω = Ω = − ≤> Ω = Ω = Ω = − + (2.39)
De esta forma, los campos pueden expresarse como:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1*/ ln 1 ln lno M o M o mku u d z z d z z xζ ζ ζ ζ ζ−′ ′ ′ ′ ′= Φ = − − Φ ≈ − Ω ∫ ∫
(2.40)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1*/ lnv o v o H T hk d z z xθ θ θ ζ ζ ζ−′ ′ ′− = Φ ≈ − Ω∫ (2.41)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1*/ lno v o W q vk q q q d z z xζ ζ ζ−′ ′ ′− = Φ ≈ − Ω∫ (2.42)
donde las rugosidades superficiales oz , Tz y qz se definen de manera que
( ) 0ou z = , ( )s o v Tzθ θ θ= = y ( )s o qq q q z= = , es decir, que los flujos superficiales, a los
que nos referimos con el subíndice s, se anulen a esas alturas. Estas rugosidades se
tratan con más detalle en el apartado 2.5.3.
Los coeficientes de transferencia para el momento, calor y humedad, se definen como
sigue:
( )2*D oC u u≡ (2.43)
( ) ( )H v o voC w uθ θ θ′ ′= − (2.44)
( ) ( )E v ooC w q u q q′ ′= − (2.45)
que pueden expresarse en función de las formas integrales:
( ) ( ) 22 lnD o mC k z z ζ= − Ω (2.46)
( ) ( ) ( ) ( )2 ln lnH o m T hC k z z z zζ ζ= − Ω − Ω (2.47)
( ) ( ) ( ) ( )2 ln lnE o m q wC k z z z zζ ζ = − Ω − Ω (2.48)
2 Ecuaciones Atmosféricas 73
2.5.2 Resistencias aerodinámicas
Para algunas aplicaciones en micrometeorología, y sobre superficies vegetales o suelos,
se reemplazan los coeficientes de transferencia por parámetros resistivos. Se utiliza la
analogía con la ley de Ohm en electricidad, de manera que la resistencia aerodinámica
se define como ( )a s a sr Fψ ψ= − , donde ( )s aψ ψ− es la diferencia de concentración y
sF es el flujo:
( ) 12*( ) ( )aM o o Dr u z u z u C uρ τ −= = = (2.49)
( ) ( ) ( ) 1* *aH p o v vo v o o v o Hr C H u C uρ θ θ θ θ θ −= − = − = (2.50)
( ) ( ) ( ) 1* *aV o o o o v o Er q q E q q u q C uρ −= − = − = (2.51)
Para condiciones de convección libre, el flujo de calor sensible hφ puede ser estimado a
partir de la formulación de Priestley (1959), con * 1.27h = , y el flujo de vapor vφ , puede
ser expresado como función de hφ , a través de la relación de Bowen, calculada entre la
superficie del suelo y el nivel de referencia z. En la Figura 2.3 podemos ver la variación
de las resistencias aerodinámicas con /z Lζ = .
Región de estabilidad
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
500
1000
1500
2000
2500
3000
z/L
Resi
sten
cia
aero
diná
mic
a (s
/m) raV
raM
raH
Variación de las resistencias aerodinámicas con z/L
Límite de neutralidad
Convección libre
Convección forzada
Flujo laminar
Flujo turbulento
Ric r it ico = 0.2
Región de inestabilidad Región de estabilidad
Figura 2.3 Variación de las resistencias aerodinámicas con /z Lζ = .
2 Ecuaciones Atmosféricas 74
En la Figura 2.3 se resumen las condiciones de estabilidad atmosférica discutidas en la
sección 2.3.2. Las condiciones inestables se han calculado con la ecuación 2.38 cuando
0 2ζ> >− , la ecuación 2.39 para 0ζ > , y la integración de la ecuación 2.37, para el
caso de convección libre 2ζ <− .
2.5.3 Rugosidades superficiales
Cuando la subcapa viscosa es mayor que las protuberancias existentes en superficies
rugosas (flujos laminares), los experimentos muestran que *0.11o oz uυ= (Hinze 1975,
Capítulo 7), de manera que zo es independiente de la geometría del elemento rugoso. Un
valor típico de zo para flujos laminares es de 0.01 mm para valores de u*o=0.165 m/s.
Para el caso de flujos dinámicamente rugosos sobre elementos inmóviles, zo es una
función complicada de la geometría de la superficie, y en el caso de elementos móviles,
puede depender de la velocidad del viento. Para el caso particular de superficies
arenosas, la variación de zo con la velocidad del viento fue descrita por Charnock (1955)
2*o c oz u gα= , donde cα se conoce como la constante de Charnock, y su valor,
obtenido a partir de datos experimentales, es 0.016cα = .
En los perfiles de humedad y temperatura de la capa superficial, vimos que aparecían
dos longitudes escalares definidas como zT y zq. Los valores de la temperatura y
humedad en la superficie eran considerados en estos puntos. La diferencia entre zo, zT y
zq es debida a los diferentes mecanismos de transporte para el momento, calor y
humedad, en el caso de flujos turbulentos cerca de la superficie. La transferencia de
momento se ve alterada por las fluctuaciones de presión, introducidas por los elementos
rugosos de la superficie, que no afecta a la transferencia de vapor de agua y calor. En el
caso de superficies rugosas, la analogía de Reynolds deja de ser válida, y la resistencia a
2 Ecuaciones Atmosféricas 75
la transferencia de momento entre la superficie y algún nivel de referencia sobre la
misma, debe ser menor que la resistencia a la transferencia de calor y vapor de agua.
La relación entre estas tres rugosidades escalares se puede establecer considerando la
estructura de subcapa interfacial, que es la capa de aire adyacente a la superficie, en la
que la forma de los perfiles de la capa superficial y la analogía de Reynolds dejan de
tener validez, debido a fluctuaciones de presión inducidas por los elementos rugosos, o
a diferencias en la distribución de fuentes y sumideros de momento, calor y vapor de
agua en la superficie.
Para flujos laminares esta capa es equivalente a la subcapa viscosa, donde la
transferencia molecular es importante. En flujos completamente turbulentos, el perfil de
velocidad en la subcapa interfacial, también denominada subcapa rugosa, depende de la
naturaleza y distribución de los elementos rugosos en la superficie.
Por analogía con la forma de los perfiles adimensionales en la subcapa inercial, en la
subcapa rugosa, los perfiles pueden ser representados en término de algunas variables
adimensionales; dz z , donde dz es la profundidad de la subcapa viscosa, * *Re o du h ν=
es el número de Reynolds rugoso, r TP kν= es el número de Prandtl y c VS kν= el
número de Schmidt. También se ha de considerar el tipo de superficie, pero como éste
es muy variado, se consideran tres tipos principales, constituidos por elementos suaves,
permeables, y periódicos equidistribuidos. En la práctica, las superficies naturales serán
casos intermedios o tránsitos entre estos tres.
Para tratar de describir la subcapa interfacial (Brutsaert 1982 ,Capítulo 4) es necesario
definir un coeficiente de arrastre interfacial 2 20 *D o dC u u= , un coeficiente de calor
interfacial ( )0 *v o vd voSt θ θ θ= − (número de Staton), y un coeficiente de transferencia de
2 Ecuaciones Atmosféricas 76
masa interfacial (número de Dalton), ( )0 *o d oDa q q q= − . Para vincular la forma de los
perfiles entre la interfase y la subcapa inercial se toma una región próxima a hd. De esta
manera los coeficientes de transporte DC , HC y EC vistos anteriormente, pueden ser
descompuestos en ambas regiones. Así, si elegimos el nivel dz h= , las variables du ,
vdθ y dq pueden ser eliminadas, obteniendo las siguientes relaciones:
( ) ( )1 1* lnv o v o H oB k z zθ θ θ − −− = + (2.52)
( ) ( )1 1* lno o V oq q q B k z z− −− = + (2.53)
donde
( )1 1 1 2 10 0 lnH D o TB St C k z z− − − −= − = (2.54)
( )1 1 1 2 10 0 lnV D o qB Da C k z z− − − −= − = (2.55)
Las siguientes expresiones se desarrollaron para el caso de flujos turbulentos, donde
**Re o ou z ν= es el número de Reynolds rugoso. Además, se tiene en cuenta que para el
aire Pr 0.71= y 0.60Sc = .
2.5.3.1 Superficies suaves
Para este tipo de elementos, Brutsaert (1982, Capítulo 4) encuentra que:
1 2 313.6Pr 12HB− ≈ − (2.56)
1 2 313.6 12VB Sc− ≈ − (2.57)
de manera que
0.5o Tz z ≈ (2.58)
0.3o qz z ≈ (2.59)
2 Ecuaciones Atmosféricas 77
2.5.3.2 Superficies con elementos periódicos
Según Brutsaert (1982, Capítulo 4):
1 1 4 1 2 1 4* *7.3Re Pr 5 6.2Re 5HB− ≈ − = − (2.60)
1 1 4 1 2 1 4* *7.3Re 5 5.7 Re 5VB Sc− ≈ − = − (2.61)
obteniendo las siguientes expresiones para las rugosidades:
( ) 1 4*ln 2.48Re 2o Tz z = − (2.62)
( ) 1 4*ln 2.28Re 2o qz z = − (2.63)
Para tener en cuenta flujos laminares y turbulentos, Brutsaert (1975) calcula las
rugosidades superficiales para el momento, vapor y calor en función del número de
Reynold rugoso:
*, ,*
*, ,
= 0.624 Re Re 0.13
= 0.395 Re o h o m
o v o m
z zSi
z z
<
(2.64)
( )( )
*1/4, ,*
*1/4, ,
=7.4 exp -2.46 Re Re 2
=7.4 exp -2.25 Re
o h o m
o v o m
z zSi
z z
>
(2.65)
Para valores de Re* comprendidos entre 0.13 y 2, en la zona de transición entre flujo
laminar y turbulento, aplicamos una interpolación lineal para determinar los valores de
,o hz y ,o vz .
2.5.3.3 Superficies con elementos permeables
Según Garratt y Francey (1978):
( ) ( )1 1 ln ln 2H V o T o qkB kB z z z z− −= = = ≈ (2.66)
En estos dos últimos casos, se puede comprobar que ,o T qz z z>> sobre la superficie del
suelo. Esto se corresponde con una transferencia más eficiente del momento, comparado
2 Ecuaciones Atmosféricas 78
con el flujo de vapor de agua y calor. En contraste, sobre la superficie del mar, oz es
comparable, o incluso menor, a las rugosidades escalares Tz y qz .
En nuestro caso, las rugosidades para las gravas fina y media, tomando como referencia
el trabajo de Chambers y Sabatier (2002), son:
2 5 mm_ _ .o grava finaz = , 5 6 mm_ _ .o grava mediaz = (2.67)
y para las rugosidades térmica y de humedad, se suponen válidas las expresiones para
superficies periódicas, ecuaciones 2.62, 2.63. Tomando estos valores, en la Figura 2.4
hemos representado los flujos de calor sensible y latente en función del parámetro de
estabilidad atmosférica /z Lζ = , el número de Reynold rugoso, y la temperatura en el
suelo. La velocidad, temperatura atmosférica y humedad relativa de la atmósfera y del
suelo, son las que aparecen en las Figuras 2.4a y 2.4b.
-4 -2 0 2
-50
0
50
100
150
-4 -2 0 2
6
8
10
12
14
16
18
Num
ero
de R
eyno
ld
6 8 10 12 14 16 18-100
-50
0
50
100
150
20 25 30 35 40 45 50
-50
0
50
100
150
H
E
Fluj
o de
ene
rgía
(W/m
2 )
R*e
H
E
Fluj
o de
ene
rgía
(W/m
2 )
z/L z/L
Tsoil (ºC)
Tatm= 20ºC
U = 1m/s
hra = 70%hsoil =10%
hfg
hfg
Variación del calor latente y sensible con Tsoil
Variación del calor latente y sensible con z/L Variación del número de Reynold con z/L
Variación del calor latente y sensible con R*e
R*e
Fluj
o de
ene
rgía
(W/m
2 )
H
hfg E
a b
c d
Figura 2.4 Para esta Figura, suponemos que la superficie del mulch de grava volcánica está constituida
por elementos periódicos, como vimos en la sección 2.5.3.2. Para calcular el número de Reynolds,
utilizamos las ecuaciones 2.62 y 2.63, los coeficientes de transferencia, con las ecuaciones 2.40, 2.41 y
2.42, las resistencias aerodinámicas con las ecuaciones 2.49, 2.50, 2.51 del apartado 2.5.2, y para la
estabilidad, se han integrado las ecuaciones 2.37 para la convección libre, 2.38 para el caso inestable y la
2.39 para la estabilidad atmosférica.
2 Ecuaciones Atmosféricas 79
Podemos observar en la Figura 2.4, que los flujos para pequeños números de Reynolds
son despreciables respecto a grandes números de Reynold. En este caso, la convección
libre es el mecanismo eficaz que transporta calor y humedad desde la superficie del
suelo hacia la atmósfera.
2.6 FLUJO RADIATIVO
La radiación neta NR que aparece en la ecuación 2.1, es el resultado de la combinación
de radiaciones de onda larga LR y de onda corta solarR . Las primeras son debidas a la
emisión térmica desde la atmósfera y la superficie del suelo, mientras que en la solarR
interviene el sol, la atenuación atmosférica y la orientación relativa entre la superficie y
la radiación incidente:
( )ε= − + − − +atm atm supsup1N solar solar L L LR R aR R R R (2.68)
donde a es el albedo de la superficie para onda larga, atm 4L atm atmR Tε σ= es la radiación
de onda larga que llega a la superficie desde la atmósfera, εsup es la emisividad de onda
larga de la superficie debido principalmente al contenido de vapor de agua,
( )ε− atmsup1 LR es la radiación atmosférica reflejada en la superficie, y sup 4
sup supLR Tε σ=
es la radiación térmica desde la superficie hacia el cielo.
El flujo de radiación emitida por un cuerpo negro ( )1ε= , viene dado por la ley de
Stefan-Boltzmann:
4R Tσ= (2.69)
donde 8 2 45.67 10 Wm Kσ − − −= es la constante de Stefan-Boltzmann.
2 Ecuaciones Atmosféricas 80
La emisión térmica de las superficies reales, es corregida respecto al comportamiento
ideal del cuerpo negro mediante la emisividad, que siempre es menor que la unidad.
2.6.1 Modelo matemático para la radiación solar
Para determinar la radiación solar neta que incide sobre una superficie orientada
arbitrariamente, necesitamos conocer la hora local H, la longitud λ , la latitud ϕ y el
ángulo α que forma la superficie con respecto al plano del horizonte. Si definimos
como _solar oR la radiación solar que llega a la superficie terrestre, e i el ángulo que
forma con la normal a la superficie sobre la que incide, el flujo normal será:
_ cossolar solar oR R i= (2.70)
El ángulo i coincide con el ángulo cenital cuando 0ºα= . La radiación solar _solar oR
tiene componentes de radiación directa y difusa, debido al scattering de Rayleigh por
las moléculas de la atmósfera, a partículas suspendidas y a condiciones de nubosidad.
Estos factores se tienen en cuenta en la siguiente expresión (Hoffert y Storch, 1979,
Kaufmann y Weatherred, 1982):
( ) ( )( )_2
solar o solar aR S r 1-0.65CN 1+τ µ= (2.71)
donde 2870solarS Wm−= es la constante solar, aτ es la transmisividad atmosférica, que
varia entre 0.8 para cielos despejados, y 0.1 para cielos completamente cubiertos.
µ es la proporción de radiación difusa respecto a la radiación solar directa:
( )cos0.05+0.10 1- iµ= (2.72)
CN es el grado de nubosidad en el cielo, y 2r es un factor de corrección que tiene en
cuenta la excentricidad de la órbita de la tierra alrededor del sol:
( )2r =0.9998+0.0014 180/π δ (2.73)
2 Ecuaciones Atmosféricas 81
cos i se define como el factor geométrico, y su valor viene dado por la expresión:
cos cos sin sin cosh cos= +i hα α ψ (2.74)
siendo h la elevación solar y ψ el acimut. Estos ángulos están representados en la
Figura 2.5, y en la Figura 2.6 se refleja la trayectoria del sol sobre la esfera celeste.
La elevación solar, a su vez, puede formularse en términos de la declinación solar δ , la
latitud ϕ , y el ángulo horario del sol Ω :
sin sin sin cos cos cos= + Ωh ϕ δ ϕ δ (2.75)
donde el ángulo horario del sol, es:
( )( ) ( )( )12H ET AO /12 /15 /12 π λ πΩ= − + − − (2.76)
ET es tiempo universal en horas, y viene dado por:
= [ 0.000075 + 0.001868cos( ) 0.032077sin( )ET ζ ζ− − −
( )0.014615cos(2 ) - 0.04089sin(2 )] 229.18 / 60 ζ ζ (2.77)
donde Jζ η= , 30 / 24J M D H= + + es el día juliano, 180=η π , 30( 1)= − +d M D ,
=M número del mes (de 1 a 12) , =D número del dia (de 1 a 31)
y H hora local (de 1 a 24)= .
Para la declinación δ (rad) en el ecuador, utilizamos la relación:
[0.006918- 0.399912cos( ) 0.070257sin( ) 0.006758cos(2 )=δ ζ ζ ζ+ −
0.000907sin(2 ) 0.002697cos(3 ) 0.00148sin(3 )]ζ ζ ζ+ − + (2.78)
El ángulo de declinación es el que forma el plano de rotación y traslación (eclíptica) de
la tierra. Para tener en cuenta el cambio horario, definimos CH de manera que vale 1
desde el uno de abril hasta el uno de noviembre, y cero el resto del año.
2 Ecuaciones Atmosféricas 82
Con las ecuaciones anteriores, podemos calcular las horas civiles de salida y puesta del
sol: 12torto= / +12-ET+CH+ /15ω π λ (2.79)
12 /tocaso=2 +tortoω π (2.80)
Figura 2.5 Representación esquemática de las direcciones y ángulos que
intervienen en el cálculo de la radiación solar incidente, sobre una superficie
inclinada.
Para la longitud y latitud geográficas de la isla de Lanzarote, tomamos los valores:
18º28º
WN
λϕ==
(2.81)
En la Figura 2.7, vemos las horas de salida y puesta del sol en función del tiempo
universal, calculadas a partir de las fórmulas 2.74 y 2.75.
Figura 2.6 Representación esquemática del acimut terrestre y la elevación solar.
_o solarR n
i
hψ α
Sur
Sur
Este
Acimut
Elevación Solar
Horizonte
h
oψ
Esfera celeste
Cenit
2 Ecuaciones Atmosféricas 83
0 2 4 6 8 10 1217.5
18
18.5
19
19.5
20
Tiem
po U
nive
rsal
(hor
as)
Evolución anual de la hora del ocaso del sol
0 2 4 6 8 10 125.5
6
6.5
7
7.5
8
Meses
Tiem
po U
nive
rsal
(hor
as)
Evolución anual de la hora de la salida del sol
λ = 18 ϕ = 28
ºW ºN
ϕ = 28 λ = 18 ºW
ºN
Figura 2.7 Horas de salida y puesta del sol, para la isla de Lanzarote,
18ºWλ= 28º Nϕ = .
0 50 100 150 200 250 300 350450
500
550
600
650
700
750
Dia del año
Fluj
o so
lar e
n su
perf
icie
W/m2
0 2 4 6 8 10 12-30º
-20º
-10º
0º
10º
20º
30º
Mes
solsticio de verano
solsticio de invierno
equinocio de primaveraequinocio de otoño
τa = 0.8 Ssolar = 870 W/m2
Ang
ulo
de d
eclin
ació
n so
lar
λ = 18
ϕ = 28
ºW
ºN
Figura 2.8 Angulo de declinación solar y flujo de radiación solar en la superficie.
Ambas Figuras están calculadas para las coordenadas geográficas de la isla de
Lanzarote.
2 Ecuaciones Atmosféricas 84
Como el cielo en Lanzarote es bastante despejado, tomamos un factor de
transmisividad atmosférica.
0.8aτ = (2.82)
En la Figura 2.8 se representa la evolución del ángulo de declinación del sol, ecuación
2.73, a lo largo del año, y la radiación solar incidente, ecuación 2.70, en la superficie,
para el caso de un superficie horizontal ( 0ºα= ).
2.6.2 Modelo matemático para la radiación térmica
Para calcular la radiación térmica, necesitamos conocer las emisividades de la superficie
y de la atmósfera. La emisividad superficial de la grava volcánica se calculó
experimentalmente, como se muestra en el capítulo 5, mientras que para la atmósfera, se
ha utilizado la expresión propuesta por Buchan (1982):
( ) ( ) ( )41 1 1 1c c c cctatm c atm c atm atm c atm c
k
Tf f f fT
ε ε ε ε ε ∆ = + − + − − ≈ + −
(2.83)
donde cf es la fracción de cielo despejado, ctT∆ es el promedio de la diferencia de
temperatura entre la altura de pantalla y la base de la nube, que se ha considerado
despreciable 0∆ ≈ctT , kT es el promedio de temperatura en el rango esperado, y catmε
es la emisividad de la atmósfera sin nubes, que según Idso (1980) se calcula como:
0 _ _0.0000595 exp 1500 /catm v atm k atmn p Tε = + (2.84)
donde 0n es un factor que varía entre 0.7 para zona continental, y 0.6 para zonas
oceánicas. _v atmp y _k atmT son la presión media de vapor (en mb) y la temperatura media
de la atmósfera, tomadas en la altura de pantalla. cf puede determinarse como:
( )1 1max
1cSf n n
S= + − (2.85)
2 Ecuaciones Atmosféricas 85
donde S es el valor medio de la radiación solar, maxS es el máximo valor de S , y 1n
tiene en cuenta el hecho de que bajo cielo cubierto, 0S ≠ .
2.7 MÉTODO COMBINADO DEL BALANCE DE ENERGÍA Y
AERODINÁMICO
La variedad de los modelos utilizados para calcular el calor latente y sensible, se debe a
la diferencia significativa de diferentes situaciones climatológicas, al estado del suelo
(humedo, seco), y a sus características físicas. Lo ideal sería medir los calores latente y
sensible, pues los modelos teóricos no abarcan de forma general todas las situaciones
posibles. Sin embargo, cuando esto no es posible, pueden utilizarse métodos
combinados.
Los dos factores principales que influyen en la evaporación desde una superficie abierta
de agua son; el suministro de energía para proveer el calor latente de vaporización,
siendo la radiación solar la principal fuente de energía calórica, y la habilidad para
transportar el vapor fuera de la superficie de evaporación. Este último mecanismo lo
hemos estudiado con algún detalle en las secciones anteriores, y hemos visto que la
habilidad de transporte del vapor fuera de la superficie de evaporación depende de la
velocidad del viento sobre la superficie y del gradiente de la humedad específica en el
aire por encima de ella.
La evaporación del agua en la superficie terrestre, comprende la evaporación directa
desde la superficie del suelo y el suministro de humedad desde el suelo hacia la
superficie de evaporación.
2 Ecuaciones Atmosféricas 86
Cuando el suministro de vapor de agua no es limitante (superficie saturada), se suele
aplicar el método de balance de energía para calcular la tasa de evaporación desde una
superficie hacia la atmósfera. En este caso, no es fácil calcular el campo de flujo de
calor sensible. Pero como el calor se transfiere por convección a través del aire que se
localiza encima de la superficie, y el vapor de agua se transfiere por convección, de
forma similar puede suponerse que el campo de flujos de calor sensible y latente son
proporcionales. La constante de proporcionalidad es la relación de Bowen (ecuación
2.2).
La ecuación del balance de energía para la evaporación, se puede expresar como:
( )N fg lE R H G h ρ= − − (2.86)
Si el campo del flujo de calor sensible H y el campo de flujo de calor de suelo G son
despreciables respecto a la radiación solar neta, entonces la tasa de evaporación E puede
calcularse como la tasa a la cual toda la radiación neta de entrada se absorbe por la
evaporación:
N fg lE R h ρ= (2.87)
En el método aerodinámico, teniendo en cuenta las condiciones atmosféricas, las
diferencias de temperatura y humedad entre la superficie del suelo y la atmósfera a una
determinada altura de referencia rz , la rugosidad del terreno oz , y considerando que las
rugosidades para la temperatura y humedad son iguales a zo, la evaporación se puede
expresar mediante la siguiente relación:
( )( ) ( )aa s o rE B q z q z= − (2.88)
donde
( )
2
2
0.622 ( )ln
a r
w r o
k u zBp z z
ρ
ρ=
(2.89)
2 Ecuaciones Atmosféricas 87
Cuando los dos niveles se toman en la superficie de evaporación oz y en la corriente de
aire por encima de ésta rz respectivamente, puede demostrarse que la tasa de
evaporación calculada a partir de la radiación neta y de la tasa de evaporación, que se
calcula utilizando el método del balance de energía en combinación con el
aerodinámico, es (Penman,1948):
r aE E Eγγ γ
∆= +
∆ + ∆ + (2.90)
donde γ es la constante psicrométrica, y ∆ es el gradiente de la curva de presión de
saturación del vapor, a la temperatura del aire aT .
Si disponemos de la información meteorológica, y todas las suposiciones se satisfacen,
el método de combinación es el más preciso para el cálculo de la evaporación. Las
principales hipótesis para aplicar adecuadamente el método del balance de energía son:
que prevalezca un flujo de energía de estado permanente, y que el cambio de
almacenamiento de calor en el volumen considerado no sea significativo. Estas
suposiciones limitan la aplicación del método a intervalos de tiempo diarios o mayores,
y situaciones que no involucren grandes capacidades de almacenamiento de calor, como
las que posee un lago grande. La principal suposición del método aerodinámico está
asociada con la forma del coeficiente de transferencia de vapor B. Se han propuesto
muchas formas empíricas para este coeficiente, que se ajusta localmente con
información del viento y otros parámetros meteorológicos.
El método de combinación es apropiado para aplicarse a áreas pequeñas, con
información climatológica detallada. La información requerida incluye la radiación
neta, la temperatura del aire, la humedad relativa, la velocidad del viento y la presión
2 Ecuaciones Atmosféricas 88
del aire. Cuando parte de esta información no está disponible, deben utilizarse las
ecuaciones de evaporación más simples que requieran menos variables. En el caso de
evaporación en grandes áreas, las consideraciones de balance de energía se utilizan para
calcular la tasa de evaporación. Para tales casos, Priestley y Taylor (1972) encontraron
que el segundo término de la ecuación de combinación es aproximadamente el 30% del
primero, rescribiendo la ecuación de evaporación de Priestley-Taylor:
rE Eαγ
∆=
∆ + (2.91)
donde 1.3α = .
2.8 RELACIONES TERMODINÁMICAS PARA EL AIRE HÚMEDO
El agua atmosférica existe principalmente como gas o vapor, pero breve y localmente
puede convertirse en líquido en la lluvia, o en las pequeñas gotas de agua de las nubes, o
puede convertirse en sólido en la nieve, o en el granizo y en los cristales de hielo en las
nubes. La cantidad de vapor de agua en la atmósfera es menor que una parte en 100.000
de toda el agua de la Tierra, pero cumple una función vital en el ciclo hidrológico.
La ley de presiones parciales de Dalton, establece que la presión que ejerce un gas es
independiente de la presencia de otros gases. La presión de vapor de agua está dada por
la ley del gas ideal:
v v vp R Tρ= (2.92)
2 Ecuaciones Atmosféricas 89
donde T es la temperatura absoluta en Kelvin, y Rv es la constante de los gases para el
vapor de agua. Si la presión total que ejerce el aire húmedo es p, entonces la presión
parcial debida al aire seco será:
v d dp p R Tρ− = (2.93)
donde dρ es la densidad de aire seco y Rd es la constante de los gases para el aire seco
(287J/KgK). La densidad del aire húmedo aρ es la suma de las densidades del aire seco
y del vapor de agua, es decir, a d vρ ρ ρ= + , y / 0.622v dR R= , donde 0.622 es la
relación entre el peso molecular del vapor de agua y el peso molecular promedio del
aire seco. Estos valores son 287.1 /dR J Kg K= y 461.5 /vR J Kg K= .
Si se combinan las expresiones anteriores, la presión total es:
0.622v
d dp R Tρρ = + (2.94)
La humedad específica, definida como la relación entre las densidades de vapor de agua
y aire húmedo se puede expresar como:
0.622v vv
a
pqp
ρρ
= = (2.95)
Igualmente, se puede expresar en términos de la constante de los gases para el aire
húmedo, Ra, como:
a ap R Tρ= (2.96)
La relación entre las constantes de los gases para aire húmedo y aire seco está dada por:
( ) [ ]1 0.608 /a d vR R q J Kg K= + ⋅ (2.97)
2 Ecuaciones Atmosféricas 90
Este valor se incrementa con la humedad específica, pero aún para una humedad
específica grande (por ejemplo, qv-= 0.03 kg de agua/ kg de aire húmedo), la diferencia
entre las aR y dR es sólo alrededor del 2%.
Para una temperatura de aire dada, existe un máximo contenido de humedad que el aire
puede tener, y la presión de vapor correspondiente se denomina presión de vapor de
saturación ps. A esta presión de vapor, las tasas de evaporación y condensación son
iguales. Sobre una superficie de agua la presión de vapor de saturación puede
relacionarse con la temperatura del aire, mediante expresiones aproximadas, como por
ejemplo las desarrolladas por Raudkivi (1979):
( ) .exp.s
Tp TT
= + 17 27611
237 3 (2.98)
donde ps está en pascales (Pa=N/m2) y T en grados Celsius °C. El gradiente de la curva
de presión de vapor de saturación se encuentra diferenciando la expresión anterior:
( )2
4098237.3
spT
∆ =+ (2.99)
La humedad relativa rh es la relación entre la presión de vapor real y su valor de
saturación a una temperatura de aire dada:
vh
s
prp
= (2.100)
La temperatura a la cual el aire se satura para una humedad específica dada, es la
temperatura del punto de rocío Td.
2 Ecuaciones Atmosféricas 91
2.9 CONDICIONES DE CONTORNO ATMOSFÉRICAS
La definición de flujos de calor sensible y latente, la encontramos en las ecuaciones 2.9
y 2.10. Para calcularlos en función de los parámetros atmosféricos, utilizamos la teoría
de similitud de Monin-Obukhov de la sección 2.4, con las resistencias aerodinámicas de
la sección 2.5.2, obtenidas a partir de parámetros integrados de estabilidad atmosférica
de la sección 2.5.1.
La longitud de Monin-Obukhov utilizada fue la propuesta por Paulson (1970):
( ) ( )( )3* 0.61a pa atmL u kg H c T Eρ = − + (2.19)
donde
( ) ( )* ,lna a o m m au u k z z z L = −Ω (2.49)
2 Ecuaciones Atmosféricas 92
Tabla 2.1 Condiciones de contorno atmosféricas
Ecuaciones de continuidad en la superficie, z = 0
( ) ( )4 4sup sup1h solar atm atm fgq R a T T H h Eε ε σ σ= − − − − − +
mq E=
Expresión para los flujos
( )vs va aVE rρ ρ= −
( )a pa s a aHH c T T rρ= −
Resistencias aerodinámicas
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2, ,ln lnaH a o h h a a o m m a ar z z z L z z z L k u = −Ω −Ω
(2.50)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2, ,ln lnaV a o v v a a o m m a ar z z z L z z z L k u = −Ω −Ω
(2.51)
Condiciones inestables:
( ) ( )( )
( )
2
1 41
( ) 2 ln 1 2 ln 1 2 2 ( ) 2
( ) 2 ln 1 2 0
( ) ( )
1
m
h
v h
x x x arctag x
x xSi
x x
x
π
ζ
γ ζ
Ω = + + + − + Ω = + <
Ω = Ω
= − (2.38)
1 16γ = , /az Lζ =
Condiciones estables:
[ ]1
1
1 0
1 ln >1 m h v
m h v
siSi
siβ ζ ζ
ζβ ζ ζ
Ω = Ω = Ω = − ≤> Ω = Ω = Ω = − + (2.39)
Donde az es la altura, en metros, a la que se miden la velocidad del aire au y la
temperatura de aire aT , fgh E y H son los calores latente y sensible, vsρ y vaρ las
2 Ecuaciones Atmosféricas 93
densidades de vapor de agua en la superficie del mulch y en la atmósfera, k = 0.4, la
constante de von Karman, y o mz , , o vz , y o hz , las rugosidades superficiales para el
momento, vapor y calor respectivamente:
*, ,*
*, ,
= 0.624 Re Re 0.13
= 0.395 Re o h o m
o v o m
z zSi
z z
<
(2.64)
( )( )
*1/4, ,*
*1/4, ,
=7.4 exp -2.46 Re Re 2
=7.4 exp -2.25 Re
o h o m
o v o m
z zSi
z z
>
(2.65)
Para valores de Re* comprendidos entre 0.13 y 2, en la zona de transición entre flujo
laminar y turbulento, se aplica una interpolación lineal, para determinar el valor de ,o hz
y ,o vz . Los valores para ,o mz (Chambers y Sabatier, 2002) son:
2 5 mmo m grava finaz =, _ _ . , 5 6 mmo m grava mediaz =, _ _ . (2.67)