Dossier de Funcions.

Funcions de proporcionalitat directa i

Funci af.

I.E.S. Rafael del Campalans

Departament de Matemtiques.

1. Funci de proporcionalitat directa

Al mercat, a les botigues, o a l'hipermercat s un bon moment per exercitar el clcul mental.

Quant val una poma que pesa 250 grams si el quilo va a 2 ? A quant surt el quilo d'un pernil que va a 1,65 els 100 grams? Una llauna de tonyina val 0,75 , l'oferta s 3 llaunes per 2 , quin estalvi suposa?

Magnituds directament proporcionals

A banda d'ofertes o descomptes, els preus de molts productes sn proporcionals al seu pes. Per exemple, si un quilo de pomes val 2 , dos quilos valdran 4 , tres quilos 6 , i aix successivament. En la segent taula de valors es recullen els preus per diferents pesos.

En aquest cas, el preu i el pes sn dues magnituds proporcionals i si es representen aquests valors en uns eixos de coordenades resulten punts alineats, la recta que passa per aquests punts mostra la relaci entre el preu i el pes.

Preu per quilo: 2 Pes en quilos Preu

0 0 0,5 1 1 2

1,5 3 2 4

El preu s igual al doble del seu pes, s a dir:

Preu = 2 Pes Si x representa el pes, la frmula de la

funci corresponent s:

f(x) = 2 x

En aquest exemple la variable independent x representa el pes i no pot prendre valors negatius, per tant la grfica queda restringida al primer quadrant.

Aquest tipus de funci s'anomena funci de proporcionalitat directa i es caracteritza per:

Tenir una frmula del tipus f(x) = m x La grfica s una recta que passa per l'origen de coordenades.

Completa la taula de valors corresponent a la funci g(x) = 3 x

x g(x)

-3

-2

-1

0

1

2

3

Situa els punts en el tauler grfic de la dreta i desprs dibuixa la recta corresponent.

En el teu dossier escriu les taules de valors corresponents a les funcions f(x) = x i g(x) = 4x dibuixa en uns mateixos eixos de coordenades les rectes corresponents a les dues funcions. Per dibuixar una recta n'hi ha prou amb dos punts per per tal d'evitar errors i comprovar les propietats agafa com a valors de x dos de positius i dos de negatius.

Pendent de la recta

Els senyals de trnsit que tenen forma triangular, fons blanc i vora vermella adverteixen que cal circular amb especial atenci. El senyal segent indica una pujada amb pendent del 10%. Aquesta xifra vol dir que per cada 100 metres en horitzontal se'n pugen 10. Com ms gran sigui aquesta xifra ms inclinaci t la carretera i ms dificultat tindria un ciclista en pujar-la.

En les funcions de proporcionalitat directa de frmula f(x) = m x , al coeficient m de la x se l'anomena pendent de la recta i indica la seva inclinaci. Observa com, de forma similar als senyals de trnsit, el pendent de la recta indica quantes unitats es pugen en relaci a quantes unitats s'avancen en horitzontal.

Recta de pendent m = 3

Variaci del pendent

Fixa't que les tres rectes de la imatge segent estan situades al primer i tercer quadrants, aix passa sempre que el pendent sigui un nombre positiu. En aquest cas, com ms gran sigui el pendent de la recta ms inclinaci tindr respecte de l'eix d'abscisses, i com ms petit sigui el pendent menys inclinaci.

1-. La recta ms inclinada s: a-. f(x)= 3x b-. f(x) = x c-. f(x)=0.2x

2-. La recta de pendent ms petita s:

a-. f(x)= 3x b-. f(x) = x c-. f(x)=0.2x

3-. La recta del mig t pendent:

Rectes amb pendent negatiu Les carreteres amb un cert pendent de baixada sn menys dures pels ciclistes per potser ms perilloses.

Les funcions de proporcionalitat directa de frmula f(x) = m x amb el pendent m negatiu tenen per grfica una recta amb una certa baixada i estan situades en el segon i quart quadrant.

Per tal de mesurar la inclinaci de les rectes de pendent negatiu ens fixarem en el valor absolut del seu pendent, s a dir en el valor numric del pendent prescindint del seu signe: com ms gran s aquest valor ms inclinaci, com menys valor menys inclinaci.

1-. La recta que t una inclinaci ms gran s:

a-. f(x)= - 3x b-. f(x) = - x c-. f(x)= - 0.2x

2-. El pendent ms gran en valor absolut correspon a la recta :

a-. f(x)= - 3x b-. f(x) = - x c-. f(x)= - 0.2x

3-. Si s deixs lliscar una bola per cadascuna de les tres rectes, lliscaria ms lentament per:

a-. f(x)= - 3x b-. f(x) = - x c-. f(x)= - 0.2x

Rectes simtriques

Les rectes segents representen el perfil de dues carreteres de pendent 50%. La blava t un pendent de pujada del 50%, la vermella un pendent de baixada del 50%.

Les dues rectes tenen el mateix pendent en valor absolut, la blava de signe positiu, la vermella de signe negatiu. Les dues rectes son simtriques l'una de l'altra respecte l'eix d'ordenades

El pendent i langle

Una forma precisa de mesurar la inclinaci de les rectes s a partir de l'angle que formen amb el semieix positiu d'abscisses. Observa la segent taula que relaciona l'angle, el signe del pendent, el creixement i la posici de les rectes corresponents a les funcions de proporcionalitat directa.

f(x) = mx Angle De 0 a 90 De 90 a 180 Pendent m > 0 m < 0 Situaci 1r i 3r quadrant 2n i 4t quadrant Funci Creixent Decreixent

1. 2-. Funci af

En els ltims anys ha proliferat la venda de tot tipus de productes per Internet. Ofereixen un descompte sobre el preu normal i te'ls porten a casa. Sn uns grans avantatges, per tamb t els seus inconvenients com s que et cobren el cost del transport i no tens l'assessorament del personal de la botiga. Anem a analitzar la part econmica en un cas concret.

Compres per internet

La Marta s aficionada a les plantes i necessita fertilitzant. A la botiga val 3,5 el kg i comprant-ho per Internet 2,5 el kg per li cobren 5 pel transport de tota la comanda. (Nota: a la botiga accepten devolucions, a Internet tamb, per no et tornen els diners del transport).

Completa els espais:

A la botiga Per Internet Preu del kg:: 3,5 Transport:: 0 Preu del kg:

Transport: Pes (kg) Import ()

0 0 1 3,5 2 7 3 10,5 4 14

Pes (kg) Import ()

0 5 1

2

3 12,5 4 15

Observa que si la Marta compra el doble de fertilitzant haur de pagar el doble.

Observa que no es compleix que si compra el doble de fertilitzant pagar el doble.

La frmula d'aquesta funci s: Import = 3,5 pes f(x) = 3,5 x

La frmula d'aquesta funci s: Import = pes + f(x) = x +

A la dreta tens representada la grfica de la funci corresponent a la compra feta a la botiga.

Dibuixa la grfica corresponent a la compra per Internet. Primer dibuixa els punts corresponents als valors de la taula, desprs traa una lnia que els uneixi.

Quan creus que li resultar ms avantatjs, econmicament parlant, comprar fertilitzant per Internet?

Observa que en el primer cas tenim una funci de proporcionalitat directa doncs:

Si doblem, tripliquem,... el pes, aleshores l'import queda duplicat, triplicat,... La frmula s del tipus f(x) = m x. La grfica s una recta que passa per l'origen de coordenades.

En canvi en el segon cas no passa cap d'aquestes coses i per tant es tracta d'un nou tipus de funci. Aquest nou tipus de funci s'anomena funci af i es caracteritza per:

Tenir una frmula del tipus f(x) = m x + n. La grfica s una recta que no necessriament passa per l'origen de

coordenades.

Seguidament anem a estudiar a fons aquest tipus de funci.

Funci af: Pendent i ordenada a lorigen

Anem a dibuixar simultneament aquestes 5 funcions:

f(x) = 2x + 8 f(x) = 2x + 5 f(x) = 2x f(x) = 2x - 2 f(x) = 2x - 6

Haurs observat que la tercera recta correspon a una funci de proporcionalitat directa i les altres en sn paralleles, s a dir, tenen la mateixa inclinaci.

Observa tamb que en totes les frmules el nombre que multiplica a la x s tamb el mateix (2). Aquest nombre, l'anomenarem pendent, igual que en les funcions de proporcionalitat directa.

La diferncia entre les grfiques s el punt de tall amb l'eix d'ordenades. Unes el tallen ms amunt i d'altres ms avall. Hem posat en una taula la frmula de la funci i les coordenades del punt de tall amb l'eix d'ordenades.

funci punt de tall amb l'eix d'ordenades f(x) = 2x + 8 (0 , 8) f(x) = 2x + 5 (0 , 5) f(x) = 2x (0 , 0) f(x) = 2x - 2 (0 , -2) f(x) = 2x - 6 (0 , -6)

Observa que la primera coordenada (abscissa) s 0 i que la segona coordenada (ordenada) coincideix amb el nombre que no multiplica a la x dins la frmula (terme independent). Per aix a aquest nombre l'anomenem ordenada a l'origen.

Aix tenim que la frmula d'una funci af s del tipus: f(x) = mx + n, on m s el pendent i n s l'ordenada a l'origen. La m determina la inclinaci de la recta, de la mateixa manera que en les funcions de proporcionalitat directa, i la n determina el punt de tall amb l'eix d'ordenades.

Representa les funcions segents. Dibuixa-les totes a la vegada amb colors diferents. El resultat ha de ser semblant a la illustraci de sota.

f(x) = -3x + 3 f(x) = -x + 3 f(x) = 0,5x + 3 f(x) = 2x + 3 f(x) = 6x + 3

Donada la grfica trobar la frmula

Donada la grfica d'una funci af, com podem saber la seva frmula? s a dir com podem determinar el pendent (m) i l'ordenada a l'origen (n)? Clica els botons i podrs observar dues animacions que descriuen el procs:

Volem saber la frmula daquesta

fucnci. Comenarem trobant lordenada

a lorigen ( n)

La n ve determinada per la segona

coordenada del punt de tall de la grfica amb

leix de coordenades.

Ara busquem el pendent. Triarem un punt sobre la recta del qual en sapiguem les

coordenades.

Posem el pendent a partir dels valors obtinguts

Donada la frmula dibuixar la grfica

Per representar grficament una funci af podem crear una taula de valors, representar els punts i unir-los. Donat que el resultat ser una recta, amb dos valors n'hi ha prou; per s recomenable fer una taula amb tres perqu si ens equivoquem ho puguem detectar.

En el cas de les funcions afins, aquesta no s la nica forma. Vegem-ne un exemple. Volem representar grficament la funci f(x) = 4x-3. Ens fixarem en l'ordenada a l'origen i en el pendent, tal i com pots veure en les animacions segents:

Lordenada a lorigen s -3 per tant tallar

leix dordenades en el punt (0,-3).

Marque-hi un punt.

El pendent s 4. Aix implica que partint

del punt vermell si ens desplacem una

unitat cap a la dreta haurem de pujar-ne 4

per trobar-nos una altra vegada amb la

grfica.

La grfica s una recta que passa per aquests dos punts. Unim-los.

Funcions constants Un cas especial de funci af sn les funcions constants. Un exemple podria ser la relaci entre el temps (en hores) que estem en un parc temtic i el preu que ens cobren. Sigui quina sigui l'estona que estiguem haurem de pagar el mateix preu, 36. Taula de valors:

Temps (h)

Preu ()

1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 7 36

Frmula: f(x) = 36

Observa:

a la taula, que la imatge de qualsevol valor s 36. a la grfica, que la representaci grfica s una recta horitzontal a la frmula, que no hi ha x, doncs el pendent s 0: (f(x) = 0x + 36)

Aquestes sn les caracterstiques de les funcions constants.

Representa grficament aquestes quatre funcions

frmulay = -3 y = 1 y = 4 y = -2