Jordi Canals

Nom i cognoms Grup

nombres enters

Els nombres enters permeten resoldre situacions de la vida quotidiana que no es poden solucionar només amb els naturals: numerar les plantes subterrànies de l’aparcament d’un edifici, expressar temperatures per sota de 0º C, escriure una quantitat de diners que es deu a algú, diferenciar alçades de muntanyes i fondàries de fosses submarines... Els nombres enters són una ampliació del conjunt dels nombres naturals (positius): hi afegim els oposats o negatius.

Dins del conjunt dels nombres enters serà necessari un punt-frontera, una separació concreta entre els positius i els negatius o, dit d’una altra manera, un nombre ni positiu ni negatiu: el 0 (zero). Quan acabem aquesta unitat hauràs de ser capaç de ...

Identificar els nombres enters sobre la recta dels nombres.

Ordenar i comparar els nombres enters.

Identificar i resoldre les operacions bàsiques.

Calcular operacions combinades tenint en compte les propietats de les operacions i la seva jerarquia.

Utilitzar les operacions adequades a l’hora de resoldre problemes numèrics.

2

ÍNDEX

1. Els nombres enters 3

2. Suma de nombres enters i propietats 6

3. Resta de nombres enters 11

4. Multiplicació de nombres enters i propietats 13

5. Divisió de nombres enters 17

6. Comparació i ordenació de nombres enters 19

7. Operacions combinades 20

8. Solucions dels exercicis 26

nombres enters

1. Representació gràfica dels nombres enters

ExempleObserva les temperatures màximes i mínimes enregistrades a Manresa el dia 25 de desembre de 2008.

Ciutat T mínima T màximaManresa -3 7

Quants graus tèrmics (ºC) hi ha entre la temperatura màxima i la mínima? La resposta a aquesta qüestió ens obliga a definir l’operació de resta següent: Tmàx – Tmín, és a dir, la diferència entre temperatura màxima i temperatura mínima.

Conseqüentment,

a Manresa, la diferència de temperatura ha estat de 7- (-3) ºCAlerta! En matemàtiques mai no pots escriure dos signes d’operació seguits. Per tant, mai no podem escriure 7 - -3 !

Però, com es fa aquesta operació de resta amb nombres positius i negatius?Hi ha algun mètode que ens ho faciliti (o ens ho estalviï)?

La resposta a la segona pregunta és que sí, hi ha un mètode gràfic, de posicionament numèric que ens permetrà respondre la qüestió plantejada.

Per fer-ho cal una recta numèrica (on situarem els diferents nombres), el 0 com a punt-frontera entre els nombres positius i els negatius i fixar una unitat separadora (normalment d’1 unitat) entre nombre i nombre:

0

unitat separadora

3

nombres enters

Ara només cal decidir on situem els nombres positius i a on els negatius. Per conveni s’ha establert situar a la dreta els positius i a l’esquerra els negatius. Fixa’t que els límits els marcaran els infinits ( - i + ).

Amb tot això ja podem resoldre la nostra pregunta:

Situem el -3 i el 7 a la nostra recta numèrica; definim la unitat separadora, en aquest cas 1ºC, ...

- -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 +

i comptem quantes unitats hi ha entre les dues temperatures: 10.

Com que la unitat separadora és 1ºC, la diferència de temperatures a Manresa (Tmàx – Tmín) el 25 de desembre de 2008 va ésser de 10ºC.

I també podem concloure, a nivell purament matemàtic, que 7 – ( - 3) = 10

ExempleVolem representar aquests nombres: 1 , 3 , -2 , -4 , 7 , -5 amb una unitat separadora de 1

ExempleVolem representar aquests nombres: 1 , 3 , -2 , -4 , 7 , -5 amb una unitat separadora de 2

4

0 1

0 2

nombres enters

exercici 1Representa sobre la recta aquests nombres:

-2 , -4 , 5 , 3 , 2 , -1

0 1

Representa els mateixos nombres sobre aquesta recta:

0 2

Representa en una recta, on hagis fixat un origen i una unitat, els nombres enters següents:

-5 , 4 , 3 , 6 , -4 , -2 , 3 , -1

5

nombres enters

En l’exemple anterior hem vist com resoldre una operació, concretament una resta, entre positius i negatius utilitzant un mètode gràfic. Aquest mètodes són molt lents i laboriosos. Per tant, caldrà conèixer com operar amb enters d’una manera purament analítica (nombres i operacions).

2. Suma de nombres enters i propietats

Suma d’enters positius.

Aquesta suma no presenta cap problema perquè és l’operació que has estat fent des de sempre. No cal ni exemple!

Suma d’enters negatius.

Quan sumem enters negatius, sumarem els respectius valors absoluts i situarem el signe – davant.

Recorda: el valor absolut és el nombre sense signe, com si fos positiu!

Exemple-2 + (-4) + (-5)= -11

[sumem 2, 4 i 5 (valors absoluts de -2, -4 i -5) i situem el signe – davant]

Alerta! Recorda que mai no pots tenir dos signes d’operació seguitsPer tant, mai no podem escriure -2 + -4 + -5 !!!!

Suma de dos enters de signe diferent.

Quan hem de sumar enters positius amb enters negatius, sumarem primera tots els positius, després tots els negatius, restarem aquests dos nombres (els seus valors absoluts) i posarem el signe “del més gran” (en valor absolut!) o “del que guanya”.Atenció que això ja es complica!

Exemple3 + (-2) + 5 + (-1) + (-6) = sumo positius i negatius

= 8 + (-9) = resto i signe “del més gran o que guanya” (el 9)= -1

6

nombres enters

Exemple12 + (-11) + 11 + 15 + (-25) + 30 =

Exemple1 + (-21) + 31 + 41 + (-50) + 30 =

Per anar més ràpid però amb més risc...

Si els nombres són petits i depenen de la capacitat de càlcul i la concentració de cadascú, es pot sumar d’esquerra a dreta aplicant la idea d’un ascensor o d’un termòmetre que puja (positius) o baixa (negatius) a partir del primer nombre de l’operació.

Exemple3 + (-2) + 4 + 1 + (-5) = 1

1 5

61

Imaginant l’ascensoro el termòmetre...

7

3

1

56

1

nombres enters

Per acabar la suma, omple els següents espais d’aquest petit esquema. T’ajudarà a estudiar i recordar!

Signe del resultat Resultat numèric

Tots positius

Mateix signe

Tots negatiusSuma

Diferent signe

exercici 2Fes aquestes operacions:

–6 + (-4) =

–9 + 2 =

–11 + (-5) =

–46 + (-17) =

–3 + 12 =

–198 + 199 =

–3 + (-4) =

–8 + 2 =

–46 + (-127) =

9 + (-5) =

–4 + 8 =

–198 + 103 =

8

nombres enters

exercici 3Efectua les sumes següents agrupant els termes del mateix signe...

a) 16 + (-29) + (-4) + 9 + 22 + (-13) =

b) –15 + 29 + (-13) + (-2) + 13 + (-11) =

c) –17 + (-12) + 7 + (-4) + (-1) =

Prova de fer-ho d’esquerra a dreta, mentalment i amb concentració!

d) 2 + (-8) + (-9) + 8 + (-13) + 11 =

e) –5 + (-2) + 3 + (-4) + 7 =

f) –5 + (-6) + 4 + (-10) + 3 + 7 =

g) 6 + (-9) + (-4) + 9 + 2 + (-3) =

h) –15 + 29 + (-3) + (-2) + 13 + (-1) =

9

nombres enters

3. Resta de nombres enters

Amb aquesta operació entrem dins del món més complicat dels nombres enters... Cal estar molt atent i intentar entendre tot el que fem!

Per a restar nombres enters cal tenir molt clar que restar és sumar l’oposat.

és a dir a – b = a + (-b) o a – (-b) = a + b

Exemples5 – 3 = 5 + (-3) = 2 4 – (-2) = 4 + 2 = 6

-3 – 6 = -3 + (-6) = -9 -5 – (-6) = -5 + 6 = 1

Alerta! Cal no confondre els signes – de restar (operació) amb els signes – dels nombres negatius! Molta atenció!

Tenint clar tot l’anterior podem dissenyar un mètode per a restar enters:

1r) Cal que observis i diferenciïs clarament que hi ha dos tipus de signes:

El signe - d’operació (la resta).

El signe - de nombre enter negatiu.

Per mirar si està clar, marca tots els signes d’operació de restar.

–17 - (-12) - 7 + (-4) + (-1) – (-1) + (-3) - 5 =

2n) Canvia’ls per un signe de sumar però, a la vegada i immediatament!, canvies també el signe del nombre de darrera (si és positiu el poses negatiu, i al revés). Recorda que restar és sumar l’oposat. Prova-ho:

3r) Ara ja saps com es continua, perquè tens una suma amb nombres enters positius i negatius. Per tant, el resultat és:

10

nombres enters

Exemples–41 - (-42) - 1 + (-4) - (-4) + 32 – 24 =

2 + (-2) – 2 – 2 – (-2) + (-2) – 2 + (-2) =

exercici 4Calcula. Fixa’t que es comencen a barrejar operacions de suma i resta!

a) –22 + (-32) – 2 + (-12) =

b) –33 + (-11) – 11 – (-11) =

11

nombres enters

exercici 5Fes les operacions següents amb la màxima seguretat.

a) –1 + (-1) – 1 – (-1) – (-1) =

b) 11 – 12 – (-13) – 14 – (-15) =

c) 4 – (-5) + (-8) – (-3) =

d) 10 – 9 + (-8) – 7 + (-6) – 4 + (-3) – 2 + (-1) =

12

nombres enters

4. Multiplicació de nombres enters

La multiplicació d’enters presenta un d’aquells aspectes on caldrà fer un “petit acte de fe”; és a dir, creure’s sense masses demostracions algun “detallet”. Si volem multiplicar dos nombres enters seguirem aquest mètode:

1r) Multiplicarem els valors absoluts dels dos nombres enters (com si fossin nombres naturals, sense tenir en compte el signe). 2n) El signe final de l’operació, però, dependrà del signe dels factors que multipliquem, i el sabrem per la Regla dels signes (importantíssim!)

La Regla dels signes

· + -+ + -- - +

és a dir,si multipliquem un positiu per un positiu, el resultat és ...

si multipliquem un positiu per un negatiu, el resultat és...

si multipliquem un negatiu per un positiu, el resultat és...

si multipliquem un negatiu per un negatiu, el resultat és...

Per recordar aquesta important Regla dels signes, pot anar bé el següent:

13

Si multipliquem dos signes iguals, el resultat és positiu.

Si multipliquem dos signes diferents, el resultat és negatiu.

nombres enters

Exemples2 · (-3) = -6 -2 · (-3) = 6 -2 · 3 = -6 ...

Recorda que no es poden posar dos signes d’operació seguits! -2 · -3 mai! Atenció als parèntesis!

Abans d’acabar aquest apartat,permeteu-nos una petita demostració de...

per què -1 · (-1) = 1?

Per la demostració es parteix del producte (-1) · [(-1) + 1] , operació que dóna 0 ja que el claudàtor [(-1) + 1] = 0 i, per tant (-1) · 0 = 0.

Ara bé, aquest producte també es pot resoldre aplicant la propietat distributiva i si ho fem, tenim que

(-1) · [(-1) + 1] = (-1) · (-1) + (-1) · 1 = (-1) · (-1) + (-1)

Sabem que aquest producte val 1i com que el resultat ha d’ésser 0,no hi ha més solució que (-1) · (-1) = 1 que és el que volíem demostrar! Uf!

exercici 6Posa els parèntesis que calen perquè aquestes operacions estiguin ben escrites. a) 4 + - 3 · 2 - - 5

b) 4 · -3 · - 2 · - 1

14

nombres enters

c) –2 · - 3 + - 2 · 3

exercici 7Digues quin signe tenen els resultats d’aquestes multiplicacions:

a) 3 · (-12) Signe:

b) –15 · (-5) Signe:

c) 196 · (-1) Signe:

d) –3 · 0 Signe:

e) –60 · (-3) Signe:

f) –125 · (-2) Signe:

Ara, calcula el resultat d’aquestes multiplicacions:

g) 3 · (-12) =

h) –15 · (-5) =

i) 196 · (-1) =

j) –3 · 0 =

k) –60 · (-3) =

15

nombres enters

l) –125 · (-2) =

16

nombres enters

I si el producte és de més de dos factors?

El mètode és molt similar al cas de dos factors però caldrà parar molta atenció amb el signe del resultat (com sempre!).

1r) Es multipliquen tots els valors absoluts dels factors que participen en el producte (com si fossin nombres naturals).

2n) El signe es determina de dues maneres:

2.1) Anem multiplicant els signes d’esquerra a dreta

Exemple-2 · (-3) · 4 · (-5) = - 120(multiplico els valors absoluts i determino signe)

Signe: - · - · + · - = -+

+-

2.2) Mirem únicament el nombre de factors negatius:

2.2.1) Si tenim un nombre parell de factors negatius, el resultat és positiu.

Exemple(-1) · 2 · (-3) · 4 = 24

(nombre parell de factors negatius = resultat positiu)

2.2.2) Si tenim un nombre imparell de factors negatius, el resultat és negatiu.

Exemple(-1) · (-2) · (-3) · 4 = -24

(nombre imparell de factors negatius = resultat negatiu)

17

nombres enters

exercici 8Indica el signe que tindrà el resultat i explica el perquè, no cal que facis el càlcul.

a) (-7) · (-5) · 2 · (-11) Signe:Per què?

b) (-3) · 5 · (-2) · (-11) Signe:Per què?

c) 7 · (-5) · 2 · (-11) Signe:Per què?

d) (-7) · 5 · 2 · (-11) Signe:Per què?

18

nombres enters

5. Divisió de nombres enters

Abans de començar aquest apartat cal recordar una altra relació entre operacions bàsiques. En aquest cas cal dir que dividir és multiplicar per l’invers (recorda el tema de fraccions).

és a dir a : b = a · 1/b

Exemple:4 : 2 = 4 · 1/2 = 4 · 0.5 = 2

(evidentment el resultat s’obté directament. Tot això és per confirmar la fórmula general)

Aquesta relació entre dividir i multiplicar servirà per ajudar a determinar el signe de la divisió entre enters.

Dit això, si volem dividir dos nombres enters

1r) Dividim els valors absoluts (com si fossin naturals).

2n) El signe, igual que en la multiplicació i recordant la relació d’aquesta amb la divisió, dependrà del signe dels nombres que dividim (o que multipliquem!) i, per la Regla dels signes...

: + -+ + -- - +

és a dir,si dividim un positiu per un positiu, el resultat és ...

si dividim un ...

si dividim un ...

si dividim un ...

19

nombres enters

Veus, doncs, que la Regla dels signes (i el truquet per recordar-la) per al producte de nombres enters també és vàlida per a la seva divisió.

Exemples:25 : 5 = 5

-25 : 5 =

25 : (-5) =

-25 : (-5) =

Alerta! Com sempre, atenció a no escriure dos signes d’operació seguits i bla, bla, bla...

exercici 9Indica si la divisió dóna un nombre enter i en cas afirmatiu calcula’n el quocient. Atenció amb el signe!

a) 48 : 8 =

b) –48 : (-5) =

c) 45 : (-5) =

d) 27 : (-3) =

e) –57 : 2 =

f) 459 : (-17) =

20

nombres enters

exercici 10Contesta raonadament les preguntes següents:

a) Quin nombre dividit per 8 dóna com a quocient –7?

b) En una divisió el dividend és 96 i el quocient –12. Troba’n el divisor.

6. Comparació i ordenació de nombres enters

Per comparar i ordenar nombres enters va molt bé el mètode gràfic de la recta numèrica presentat al principi del dossier. Cal estar una mica atent i concentrat sobretot si els nombres enters de treball són negatius.

Ara sí, això és bufar i fer ampolles! Ni exemple!

Per si de cas, recorda que els signes de comparació de nombres són dos:

A > B i que es llegeix “A és més gran que B”o mirat al revés “B és més petit que A”

A < B i que es llegeix “A és més petit que B”o mirat al revés “B és més gran que A”

21

nombres enters

exercici 11Escriu el signe < o > segons convingui:

a) –7 ... 0 b) –4 ... 9 c) –8 ... –9

d) –10 ... –18 e) 8 ... –6 f) 0 ... –3

exercici 12Són certes aquestes desigualtats? Fes-ne la correcció, si cal.

a) –99 < -100 si no b) –12 > -14 si no

Correcció: Correcció:

c) 0 > -12 si no d) –120 < -2 si no

Correcció: Correcció:

exercici 13Ordena de menor a major els següents nombres enters (separa els nombres amb el signe de desigualtat corresponent)

-12, 23, -41, 33, 15, 0, -6, 100

22

nombres enters

7. Operacions combinades

Quines operacions són prioritàries?

exemple:12 + 3 · (-2) =

Si ens trobem un parèntesi?

exemple-12 + (3 · 2 + 5) =

Quin mètode seguirem per resoldre operacions combinades?- ...

- ...

- ...

exemple12 + [ 3·2 + ( 5 + (-2)·3 ) ] =

23

nombres enters

24

nombres enters

exemple2· (9 – 5) -7 + [3 – (3 – (-1)] =

exercici 14Calcula: -8 + [6 – (-3)] = –15 – (-9 + 13) =

–[6 – (3 – 4) – (9 + 3)] – 1 = 3 · [-8 – (-4) + (-3) – (-11)] =

exercici 15Calcula: 8 · (-2) : 4 = 10 – 8 : 4 – 6 = 4 : 2 – 6 · 5 =

13 + 20 · (-15) – (-9) : 3 = –15 – 3 · (-5) + 90 : (-3) =

25

nombres enters

Exercicis de repàs

Els nombres enters (SUMA)

Fes aquestes operacions:1 + (-2) = 3 + (- 4) =

- 2 + (- 5) = 2 + (- 5) =

- 2 + 5 = 5 + (- 2) =

-6 + (- 11) = 12 + (- 5) =

14 + (- 12) = - 15 + (-2) =

13 + (- 18) = - 12 + 3 =

2 + (- 3) + (- 2) = - 2 + (- 3) + 2 =

5 + (- 2) + 12 = -5 + 2 + (- 12) =

-3 + 5 + (- 5) + (- 2) = 2 + (- 21) + 13 + (- 21) - 13 =

2 + (- 1) + 5 + (- 8) + (- 3) = 4 + (- 11) + 4 + (- 7) + (- 30) =

5 + (- 2) + (- 3) + (- 4) + (- 5) = 6 + 7 + (- 6) + (- 7) =

26

nombres enters

23 + (- 11) + 123 + (- 434) + 121 + 234 + (- 213) =

23 + 33 + (- 21) + 23 + (- 22) + 12 + 13 + (-22) + 23 =

15 + (- 22) + 234 + (- 212) + (- 323) + (- 1) + 212 + 323 =

12 + (- 2) + (- 2) + 12 + 2 + (- 2) =

2 + (- 2) + (- 2) + 2 + 2 + (- 2) + 2 =

1 + (- 2) + (- 3) + 4 + 5 + (- 6) + (- 7) + 8 + 9 =

11 + 111 + (- 111) + ( -11) + (- 111) + (-111) + 11 + (- 11) =

27

nombres enters

Els nombres enters (RESTA)

Fes aquestes operacions:1 - (-2) = 3 - (- 4) =

- 2 - (- 5) = 2 - (- 5) =

- 2 - 5 = 5 - (- 2) =

-6 - (- 11) = 12 - (- 5) =

14 - (- 12) = - 15 - (-2) =

13 - (- 18) = - 12 - 3 =

2 - (- 3) - (- 2) = - 2 - (- 3) - 2 =

5 - (- 2) - 12 = -5 - 2 - (- 12) =

-3 - 5 - (- 5) - (- 2) = 2 - (- 21) - 13 - (- 21) - 13 =

2 - (- 1) - 5 - (- 8) - (- 3) = 4 - (- 11) - 4 - (- 7) - (- 30) =

28

nombres enters

5 - (- 2) - (- 3) - (- 4) - (- 5) = 6 - 7 - (- 6) - (- 7) =

23 - (- 11) - 123 - (- 434) - 121 - 234 - (- 213) =

24 - 33 - (- 21) - 23 - (- 22) - 12 - 13 - (-22) - 23 =

15 - (- 22) - 234 - (- 212) - (- 323) - (- 1) - 212 - 323 =

Aquí tens una barreja de sumes i restes...:

12 – (- 2) + (- 2) + 12 – 2 + (- 2) =

2 + (- 2) + (- 2) + 2 – 2 – (- 2) + 2 =

1 + (- 2) – (- 3) + 4 – 5 + (- 6) – (- 7) + 8 – 9 =

11 – 111 + (- 111) – ( -11) + (- 111) + (-111) – 11 – (- 11) =

29

nombres enters

8. Solucions dels exercicis

2. -10 , -7 , -7 , -6 , -16 , -173 , -63 , 4 , 9 , 4 , 1 , -95

3. 1 , 1 , -27 , -7 , -1 , -7 , 1 , 21

4. -68 , -44

5. -1 , 13, 4, -30

6. 4+(-3)·2-(-5)=3 , 4·(-3)·(-2)·(-1)=-24 , -2·(-3)+(-2)·3=0

7. -, +, -, 0, +, + // -36 , 75 , -196 , 0 , 180 , 250

8. - , - , + , +

9. 6 , no és enter , -9 , -9 , no és enter , -27

10. -56 , -8

11. < , < , > , > , > , >

12. Fals , cert , cert , cert

13. -41<-12<-6<0<15<23<33<100

14. 1 , -19 , 4 , 12

15. -4 , 2 , -28 , -284 , -30

Exercicis de repàs (suma): -1 , -1 , -7 , -3 , 3 , 3 , -17 , 7 , 2 , -17 , -5 , -9 , -3 , -3 , 15 , -9 , -5 , -40 , -5 , -40 ,

-9 , -0 , -157 , 40 , 226 , 20 , 2 , 9 , -222

Exercicis de repàs (resta):3 , 7 , 3 , 7 , -7 , 7 , 5 , 17 , 26 , -13 , 31 , -15 , 7 , -1 , -5 , 5 , -1 , 18 , 9 , 48 , 19 ,

12 , 203 , -104 , -196 , 20 , 2 , 1 , -422

30