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Dossier 4º ESO Mate Académicas CIENCIAS: “OBLIGATORIO”

by Javi Aura 1

Dossier 4º ESO Matemáticas Académicas

CIENCIAS

“OBLIGATORIO”

Índice • Tema 1: números reales • Tema 2: expresiones algebraicas • Tema 3: ecuaciones y sistemas • Tema 4: inecuaciones • Tema 5: trigonometría • Tema 6: vectores • Tema 7: límites y continuidad • Tema 8: combinatoria • Tema 9: probabilidad • Tema 10: estadística


by Javi Aura 2

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅ dcba 7532811410 1264

Tema 1: números reales Ejercicio 1: ¿Cuáles de los siguientes números son irracionales?

a) 3,1416 b) c) d) e) 2,12333…. f) g) Pi h) -6

Ejercicio 2: Realiza las siguientes operaciones simplificando al máximo:

a) b) c) 5 + -8 +

Ejercicio 3: Transforma las siguientes expresiones en logaritmos:

a) A=

b)

c)

Ejercicio 4: : Calcula el valor de “a,b,c y d” en:

Ejercicio 5: Sabiendo que: log(5)=0.7 log(2)=0.301 y que log(4)=0.6; calcula:

a) log( )

b) log(0.2)

c) log(2)

d) log(0.2)

e) 5log

f)

81 271

11 375

33

63

)1( −xba

9163

332 yxyx 12 27 75 48

2

3100tyx

52

43

3 2

t

zyxB

⋅⋅=

5

243zyxW =

625

160log


by Javi Aura 3

g)

h)

i)

j)

Ejercicio 6: Encuentra el valor de “x” en los siguientes logaritmos:

a)

b)

c)

d)

3 16log

1281log

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 3 364log

( )04.0log

x=3

101 100000log

x81log41=−


by Javi Aura 4

Tema 2: expresiones algebraicas

Ejercicio 1: Si P (0)=-7. ¿Puede el ser ? Razona tu respuesta. Ejercicio 2: Sea A un número impar. Lo elevamos al cuadrado. Le restamos 1. ¿El nuevo número es múltiplo de…?

Ejercicio 3: Sea el polinomio a) ¿Es P(x) divisible por “x”?

b) ¿Ex P(x) divisible por “x-1”? c) ¿ Ex P(x) divisible por “x-1”?Prueba que es divisible por x y por (x-1)

d)¿Cuál es el término independiente de P(x)? Ejercicio 4: Calcula el resto de la división , sabiendo que M(6)=3. Justifica tu respuesta.

Ejercicio 5: La suma de los cuadrados de tres números pares consecutivos más 4 es divisible entre…

Ejercicio 6: Halla a y b para que R(x) sea divisible entre A(x) en los siguientes casos:

a) y b) 𝑅 𝑥 = 2𝑥! + 𝑎𝑥! − 𝑥! − 𝑏𝑥 + 1 𝑦 𝐴 𝑥 = 𝑥! − 1

Ejercicio 7: Dados los polinomios , ,

Calcula: A(x)+2B(x)-3C(x)

Ejercicio 8: Factoriza los polinomios e indica cuáles son sus raíces:

a) b) c) d) e)

93)( 23 +++= bxaxxxR 9)( 2 −= xxA

353)( 2 −−= xxxA 1321)( 2 ++= xxxB 2

31)( 2 +−= xxxC

xxxxxP 241622)( 234 +−−=

2013136)( 23 −−+= xxxxKxxxxxxP 122393)( 2345 −−−+=

xxxxxP 2356)( 234 −−+=24 182)( xxxR −=


by Javi Aura 5

f) R g)

Ejercicio 9: ¿Es (x+1) un factor del polinomio ? Justifica tu respuesta

Ejercicio 10: Calcula el valor que debe tener “k” para que el polinomio sea divisible entre

171 −x

44)( 2345 −+−++= xxxkxxxP )4( −x


by Javi Aura 6

Tema 3: ecuaciones y sistemas

Ejercicio 1: Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 02016 234 =−−− xxxx

b) 0365 24 =−− xx

c) 2152 +=++ xxx

d) 093109 =+⋅− xx

e) )ln()2ln()1ln( xx =−+

f) 1031

58

23

2 −+

+=

++

+− xxx

xx

g) 6420 24 −=− xx

h) 321

354

+=

+

xx

i) )3log()log()2log(21 −+=⋅+ xx

j) 08232 12 =+⋅− +xx

Ejercicio 2: Encuentra las soluciones de los siguientes sistemas:

a) ⎩⎨⎧

=−

−=−

7212

22 xyyx

b) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+⋅

−=−⋅ ++

7352629523 12

yx

yx

c) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=+

4log

5loglog

2

3

3

yx

yx

d) ⎩⎨⎧

=+

−=−−

124624

yxyx


by Javi Aura 7

e) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅+

−=−+

++

32382132

1

11

yx

yx

Ejercicio 3: Las personas que asistieron a una reunión se estrecharon la mano. Una de ellas advirtió que los

apretones de mano fueron 66 ¿Cuántas personas asistieron a la reunión?

R) 12 personas

Ejercicio 4: La clase de Pedro va a vallar un trozo rectangular del jardín del centro para estudiar los insectos de su entorno. El perímetro del recinto mide 14 metros y su diagonal 5 metros. ¿Cuáles son sus dimensiones?

R) 4*3


by Javi Aura 8

Tema 4: inecuaciones

Ejercicio 1: Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 451

3−<

++ xxx

b) 0)2)(14(7 <+−+− xx

c) 064)5)(2(≥

−

+−

xxx

d) 25

43)12(5 −≤−+−−xx

e) 25)3(4

3)15(2

+−−≤+ xx

f) )23(23132 −≥

+− xxx

g) 092

2

2

≥−

−

xxx

h) 032 23 <−− xxx

i) 23 46 xxx −≤+

j) 08823

2

≤−

++

xxxx

Ejercicio 2: Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con una única incógnita:

a) ⎩⎨⎧

+≤−

+>+

xxxx2523

1012

b) 010262

≥−

−−

xxx

c) 0)4)(7(3 2 <−+− xxx


by Javi Aura 9

d)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−≤−

>−

3154

21

5)21(3

xx

x

e) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−≥+

−≥

22012210

215xx

xx

f)

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>−−

−≥−

−

≥+

1323

31

312

02

xx

xxx

x


by Javi Aura 10

Tema 5: trigonometría

Ejercicio 1: Las puntas de las ramas de un compás distan 7 cm y cada rama mide 12 cm. Halla el ángulo que forman las ramas del compás.

Ejercicio 2: Desde cierto lugar se ve el punto más alto de una torre bajo un ángulo de 35º. Si se retrocede 200 metros, se ve la misma torre pero bajo un ángulo de 20º. Calcula la altura de la torre.

Ejercicio 3: Se quiere medir la altura de una estatua colocada en el centro de un lago circular. Para ello, se mide la visual al extremo superior de la estatua desde el borde del lago y resulta ser de 50º. Nos alejamos 45dm y volvemos a medir la visual, obteniendo un ángulo de 35º. Averigua la altura de la estatua y la superficie del lago.

Ejercicio 4: Antonio está descansando en la orilla de un río mientras observa un árbol que está en la orilla opuesta. Mide el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 35º. Retrocede 5 metros y mide el nuevo ángulo, obteniendo en este caso un ángulo de 25º. Calcula la altura del árbol y la anchura del río.

Ejercicio 5: ¿Existe algún ángulo agudo α tal que ( ) ( )33cos

62

== αα ysen ? Justifica tu respuesta.

Ejercicio 6: Halla el área de un octógono regular de lado 20 m

Ejercicio 7: La base de un triángulo isósceles mide 64 cm, y el ángulo que se forma entre los lados iguales es de 40°. Calcula el perímetro y el área del triángulo.

Ejercicio 8: Se quiere medir la altura de una estatua colocada en el centro de un lago circular. Para ello, se mide la visual al extremo superior de la estatua desde el borde del lago y resulta ser de 50°; nos alejamos 45 dm y volvemos a medir la visual, obteniendo un ángulo de 35°. Averigua la altura de la estatua y la superficie del lago.


by Javi Aura 11

Ejercicio 9: Dos torres de 198 m y 203 m de altura están unidas en sus puntos más altos por un

puente bajo el cual hay un río. Calcula la longitud del puente y la anchura del río sabiendo que el

ángulo que hay entre el puente y la torre más alta es de 75°.

Ejercicio 10: Dos ambulancias, distanciadas 8 km en línea recta, reciben una llamada de urgencia

de una casa. Observa la figura y calcula la distancia que separa a cada ambulancia de la casa:


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Tema 6: vectores

Ejercicio 1: Se consideran las rectas r: y=x-3

s: determinada por los puntos A(7,5) y B(-4,1)

¿Cuál es la posición relativa de ambas rectas?

Ejercicio 2: Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,2) y es paralela a la recta de la ecuación

5x + 3y + 7=0. Escríbela en forma general

Ejercicio 3: Sea el vector a=(7,2) y el vector c=(4,2)

a) ¿Cuáles serán las coordenadas cartesianas del vector b, si el vector a=3b-2c?

b) ¿Calcula el ángulo formado por los vectores a y c?

Ejercicio 4: Halla la ecuación general de la recta que pasa por el punto (2,-3) y es paralela a la recta que une los puntos (4,1) y (-2,2)

Ejercicio 5: La recta 073 =−+≡ nyxr pasa por el punto A(3,2) y es paralela la recta 0132 =−+≡ ymxs. Calcula m y n.

Ejercicio 6: Siendo el vector ),4( xu = halla el valor de x en cada una de las siguientes situaciones:

a) Si el módulo de u mide 20 unidades b) Si el producto escalar de u y )5,3( −=v es igual a 2

Ejercicio 7: Estudia si los vectores )3,2(=u , )1,3( −=v , )1,8(=w son linealmente dependientes.

Ejercicio 8: Halla los coordenadas del punto C, sabiendo que B(2,-2) es el punto medio de del segmento AC, siendo A(-3,1)


by Javi Aura 13

Ejercicio 9: Un barco lanza un mensaje de socorro. Su posición viene dada por el punto A (19,57). Dos barcos situados en B (95,19) y C (-38,-38) acuden en su ayuda. Si los dos navegan a la misma velocidad y en línea recta hacia A, ¿cuál llegará primero?

Ejercicio 10: Calcula el área del triángulo de vértices A(-3,2), B(1,-2) y C(-6,-3)

Ejercicio 11: Halla el ángulo que forman las siguientes rectas: 17

33

−

+=

−

+≡

yxr y 214

47 −=

−

+≡

yxs

Ejercicio 12: Los puntos )6,18(−A y )17,4(B son los extremos del diámetro de una circunferencia. Determina el centro, el área de la misma. Detalla claramente los pasos que vas realizando.

Ejercicio 13: ¿Podemos escribir el vector )6,4( −−=→

u como combinación lineal de los vectores )1,3(−=→

v y

)1,8( −−=→

w ? Justifica tu respuesta, explicando si los tres vectores son linealmente dependientes o no lo son.

Ejercicio 14: Halla la ecuación general de la recta “s” que es paralela a la recta 47

127 −=

−

−≡

yxr y que

además pasa por el punto )9,11( −A

Ejercicio 15: Calcula los valores del parámetro “n” para que la distancia entre los puntos )1,1( −−A y ),5( nB sea de 10 unidades de longitud.


by Javi Aura 14

Tema 7: límites y continuidad

Ejercicio 1: Calcula los siguientes límites:

a) 54

2

2

2)3(

+−

∞→ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −x

x xximℓ

b) 42

36 −

∞→⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−x

x xximℓ

c) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−+→ xx

xximx 2

12222

2

2ℓ

d) x

x xxxxim ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

++∞→ 2

2 1ℓ

e) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

+

−∞→ x

xxxxim

x 22

21 22

ℓ

f) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

+−→ 4

32

2

2 xxxim

xℓ

Ejercicio 2: Estudia las posibles discontinuidades de la siguiente función y aclara de qué tipo son.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥

<<−−

−<+

=

23

214

11

)(3

2

xsixxsixx

xsixx

xf

Ejercicio 3: ¿Qué tipo de discontinuidad presenta la función 2149)(

2

−

+−=

xxxxf ?

Ejercicio 4: El dominio de una función f(x) es { }2−ℜ y 1)(2

−=→

xfimxℓ . ¿Es continua en x=2? Si la

respuesta es negativa indica el tipo de discontinuidad que presenta. Justifica tu respuesta.


by Javi Aura 15

Ejercicio 5: La función f es continua en todo R y f(5)=9. ¿Cuál es )(5

xfimx→ℓ ? Justifica tu respuesta

Ejercicio 6: Calcula el valor de los siguientes límites:

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−−

+

+∞→ 1

111lim

22

xx

xx

x

b) 32

1313lim

+

∞→⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−x

x xx

c) xxx

xxx +−

+−→ 34

3

1 223lim

d) 42

2

2

1213lim

−

∞→ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−x

x xx

e) xxxxx

x 75152lim 2

24

−

−+−∞→

f) 12432lim

2

0 −

−−→ x

xxx

g) 3

4

0

2limxx

x

−→

h) ( )xxxxx

22lim 22 −−+∞→

Ejercicio 7: Estudia la continuidad y las asíntotas de la siguiente función: 965)( 2

2

−

+−=

xxxxh

Ejercicio 8: Estudia la continuidad de la siguiente función:

] [[ ]] ]⎪

⎩

⎪⎨

⎧

∈

−∈+

−−∈−

=

5,11,2312,412

)(2 xsix

xsixxsix

xf


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Tema 8: combinatoria Ejercicio 1: En una clase de 4º ESO se realiza la elección del delegado, subdelegado y ‘encargado de tizas’ entre 7 alumnos.

a) ¿Cuántos resultados diferentes existen?

b) Si Miguel es uno de los candidatos, ¿en cuántos de los resultados anteriores es elegido como ‘encargado de tizas’?

Ejercicio 2: Con las letras de la palabra JAVIER

a) ¿Cuántos grupos de 4 letras se pueden formar?

b) ¿Cuántos de ellos acaban en vocal?

Ejercicio 3: José Mourinho dispone en su plantilla de 23 jugadores (3 porteros, 7 defensas, 7 mediocampistas y 6 delanteros) ¿De cuántas maneras diferentes puede alinear a todos sus jugadores si usa la siguiente táctica en todos los partidos: “ 1-4-4-2 ”? Suponemos que no hay jugadores polivalentes.

Ejercicio 4: Una persona se ha olvidado su clave de la tarjeta de crédito. Sólo recuerda que empieza por 7 y que es un número impar.

a) ¿Qué posibilidad tiene de encontrarla sabiendo que las claves son de cuatro cifras con posible repetición?

b) ¿Y si la clave también fuese de 4 cifras, pero sin repetición?

Ejercicio 5:

a) ¿Cuántos números distintos de 6 cifras existen en los que aparecen dos veces el 6, dos veces el 7 y dos veces el 8?

b) ¿Cuántos de esos números son impares?

Ejercicio 6:

a) ¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 amigos que acuden al cine en una fila de 5 asientos?

b) ¿Y si el amigo de mayor edad siempre se sienta en la segunda butaca de la fila?


by Javi Aura 17

Ejercicio 7: Con las 27 letras independientes del alfabeto:

a) ¿Cuántos grupos de 5 letras distintas se pueden formar?

b) ¿Cuántos empiezan y terminan con vocal?

c) ¿Cuántos empiezan en consonante y terminan en vocal?

Ejercicio 8:

a) ¿Cuántos números de cuatro cifras constituir con los dígitos 2, 4, 6, 8 y 9?

b) ¿Cuántos de ellos son pares?

c) ¿Cuántos de ellos se podrían formar sin repetir ningún dígito?

Ejercicio 9: Una persona se ha olvidado su clave de la tarjeta de crédito. Sólo recuerda que empieza por 3 y

que es el número es un múltiplo de 5.

a) ¿Qué posibilidad tiene de encontrarla sabiendo que las claves son de cuatro cifras? b) ¿Y si la clave fuese también de cuatro cifras, pero sin repetición?

Ejercicio 10: En un concurso de matemáticas participan 32 colegios distintos de una misma comunidad.

a)¿Cuántas finales distintas se pueden jugar?

b) ¿De cuántas maneras distintas se pueden distribuir los tres primeros puestos en la clasificación final?

Ejercicio 11: Un monovolumen tiene 3 asientos delanteros y 3 traseros. En un grupo de 6 amigos, dos tienen permiso de conducir y uno de los que no tiene permiso se marea y por consiguiente no se puede sentar detrás. ¿De cuántas maneras distintas se pueden organizar los 6 amigos en el vehículo?

Ejercicio 12:

a) ¿Cuántos números distintos de 7 cifras existen en los que aparecen dos veces el 6, dos veces el 7, dos veces el 8 y una única vez el 5?

b) ¿Cuántos de esos números son impares?


by Javi Aura 18

Ejercicio 13: En un barracón de un cuartel hay 8 soldados. Todas las noches 3 de ellos hacen guardia de manera que el primero estará en la garita, el segundo en la puerta de entrada y el tercero en el pasillo de las habitaciones.

a) ¿Cuántas guardias diferentes de tres soldados se pueden formar? b) Supongamos que uno de ellos se llama Juan. ¿En cuántas guardias estará Juan?

Ejercicio 14: Una familia formada por los padres y tres hijos se van de excursión en bicicleta y van en fila india.

a) ¿De cuántas maneras pueden ir ordenados?

b) ¿Y si los padres van en los extremos

Ejercicio 15: Un hombre que vive en un pueblo quiere comprar un teléfono móvil, pero dónde él vive sólo tienen cobertura tres compañías de telefonía móvil: A,B,C. Si cada compañía le ofrece 4 modelos de teléfono distintos: x,y,z,w. Todos ellos están disponibles en 2 colores: Blanco y negro. ¿Cuántas opciones tiene para comprarse el teléfono? Dibuja un diagrama de árbol.


by Javi Aura 19

Tema 9: probabilidad Ejercicio 1: Se lanzan 3 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 caras?

Ejercicio 2: Se lanzan 5 monedas al aire. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente una cruz?

Ejercicio 3: Se saca al azar una carta de una baraja española, que está formada por 40 cartas, diez de

cada uno de los cuatro palos. Halla la probabilidad de los sucesos:

a) Salir un oro que no sea figura

b) Salir un oro o una espada

c) Salir un basto mayor que 5 o una figura de cualquier palo

d) Salir un as o una espada

Ejercicio 4: Una baraja de cartas infantil consta de 5 familias de colores numeradas del 1 al 6. Los colores de las 5 familias son rojo, verde, azul, amarillo y negro. Se definen los sucesos:

A= Salir un 5

B= Salir un número impar

C= Salir una carta de la familia rojo

D= Salir un múltiplo de dos

Calcula la probabilidad de:

a) b) c) d)

Ejercicio 5: En un grupo de siete amigos, 5 juegan al fútbol y dos al baloncesto; de los cuáles, uno de

ellos también juega al fútbol. Halla la probabilidad de que se elija una persona al azar y juegue al fútbol

o al baloncesto.

Ejercicio 6: ¿Qué es más probable?

CB∪ DA∩ DC ∩ BC ∩


by Javi Aura 20

a) Que aparezca un tres al tirar un dado de seis caras.

b) Que salga una espada al extraer una carta.(baraja de 40 cartas)

c) Que acabe en ocho el premio gordo de la lotería nacional.

Ejercicio 7:

a) Si lanzo una moneda 9 veces y aparece cara en todos los lanzamientos, ¿es más probable que a la décima salga cruz en lugar de cara? Razona tu respuesta. b) En un experimento aleatorio se ha obtenido que la probabilidad de un suceso A es 0,57 y la de un suceso B es 0,43, ¿podemos asegurar que A y B son sucesos contrarios? Razona la respuesta.

Ejercicio 8: Tenemos una urna con 3 bolas negras numeradas del 1 al 3, 5 bolas rojas numeradas del 4

al 8 y 2 bolas verdes con los números 9 y 10. Si se extrae una bola al azar, calcula:

a) P (Salir bola roja o número par)

b) P (Salir bola verde o número múltiplo de 3)

Ejercicio 9: En un grupo de 50 amigos hay 10 que tienen 14 años, 13 que tienen 15 años, 17 que tienen 16 años y 10 que tienen 17 años. Se elije uno de ellos al azar. Halla la probabilidad de que tenga 15 ó 16 años.

Ejercicio 10: En un grupo de 30 alumnos hay 14 que hacen natación y ocho que usarla. Se sabe que tres de las personas que hacen natación también usan gafas. ¿Cuál es la probabilidad de que elegida una persona al azar use gafas o haga natación?

Ejercicio 11: La probabilidad de que un alumno de 4º ESO apruebe Matemáticas es del 80/100. Se sabe que de cada 100 alumnos aprueban Castellano 70 y que 3 de cada 5 aprueban las dos. ¿Cuál es la probabilidad de que elegido un alumno al azar apruebe Matemáticas y Castellano?

Ejercicio 12: En un armario de cocina hay 5 refrescos de cola, 3 de limón y 6 de naranja. Se escogen dos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean de naranja?


by Javi Aura 21

Tema 10: estadística

En proceso

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