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DRX – Notación y Grupos Espaciales
Presentado por: Heiddy Paola Quiroz Gaitán
Grupo de Materiales Nanoestructurados y sus Aplicaciones
2017
Contenido
1. Repaso sobre el Refinamiento.
2. Resultados del refinamiento.
3. Redes de Bravais e Índices de Miller.
4. Operaciones de Simetrías.
5. Notación.
6. Referencias.
Identificación de FasesMétodo Rietveld
Ajustar teóricamente
los parámetros
estructurales
Deslizamientos
atómicos
Parámetros
de red
Parámetros
experimentales
Suponiendo que el
difractograma es la suma de un
número de reflexiones de Bragg
Factores
Identificación de FasesMétodo Rietveld
Ajuste por
gaussianas
Refinamiento factores y
ajuste por mínimos
cuadrados
Comparación
con bases
teóricasRefinamiento
Rietlved:
identificación
fases,
parámetros
cristalinos,
etc.
RESULTADOSParámetros Cristalinos
a (Å) b (Å) c (Å) Grupo Espacial N° Grupo Espacial4,53 4,53 2,92 I42/amd 136α (°) β (°) ϒ (°) Volumen (Å3) Sistema Cristalino90 90 90 56,94 Tetragonal
Posiciones atómicasElemento x y z
Ti 0 0 0O 0,3039 0,3039 0
Redes de Bravais e Índices de Miller
Especifica cómo las
unidades básicas
que lo componen
(átomos, grupos de
átomos o moléculas)
se repiten
periódicamente a lo
largo del cristal.
Redes de Bravais e Índices de MillerPara que se cumpla la ley de
Bragg para un grupo de
planos de reflexión paralelos,
estos deben cruzar los ejes de
la celda unitaria un número
entero de veces. Las
reflexiones cristalinas se
identifican mediante tres
números h, k y l iguales al
número de intersecciones de
los planos con los ejes a, b y c
de la celda. Estos números
enteros reciben el nombre de
índices de Miller.
Con los sistemas de red hexagonal y romboédricos, es posible utilizar el sistema de Bravais-Miller, que utiliza cuatro índices (h k i ℓ) que obedecen la restricción
h + k + i = 0.
Aquí h, k y ℓ son idénticos a los correspondientes índices de Miller, e i es un índice redundante.
Redes de Bravais e Índices de Miller
Con los sistemas de red hexagonal y romboédricos, es posible utilizar el sistema de Bravais-Miller, que utiliza cuatro índices (h k i ℓ) que obedecen la restricción
H + k + i = 0.
Aquí h, k y ℓ son idénticos a los correspondientes índices de Miller, e i es un índice redundante.
Redes de Bravais e Índices de Miller
a ∞ -a c
1 ∞ -1 1
1 0 -1 1
(1011)
(hkil)
Redes de Bravais e Índices de MillerC
a1
a3
a2El inverso
Índice de Miller
𝑐 ≠ 𝑎
Operación de Simetrías
La identidad, que es la operación más simple de todas.
La reflexión es la operación de simetría que ocurre cuando colocamos un objeto frente a un espejo.
La inversión, que ocurre a través de un punto único en el espacio, denominado centro de inversión. Cada parte del objeto se mueve a lo largo de una línea recta, que pasa por el centro de inversión, hasta alcanzar la misma distancia que lo separa de dicho punto.
Las operaciones de rotación (las llamadas propias e impropias) son giros que ocurren alrededor de una línea denominada eje de rotación. a) Una rotación propia es aquella que ocurre girando 360°/n, en donde n es el llamado orden del eje. b) Una rotación impropia se realiza por giro de 360°/n seguida de una reflexión a través de un plano perpendicular al eje de rotación.
Notación
La notación internacional es la notación Hermann –Mauguin que es la utilizada para representar los elementos de simetría en los grupos puntuales, grupos de planos y espaciales.
NotaciónParámetros Cristalinos
a (Å) b (Å) c (Å) Grupo Espacial N° Grupo Espacial4,53 4,53 2,92 I42/amd 136α (°) β (°) ϒ (°) Volumen (Å3) Sistema Cristalino90 90 90 56,94 Tetragonal
Notación Hermann –Mauguin
NotaciónParámetros Cristalinos
a (Å) b (Å) c (Å) Grupo Espacial N° Grupo Espacial4,53 4,53 2,92 I42/amd 136α (°) β (°) ϒ (°) Volumen (Å3) Sistema Cristalino90 90 90 56,94 Tetragonal
Notación Hermann –Mauguin
Grupos espaciales:
P – primitivaI – cuerpo centradoF – cara centradaA – base centrada sobre la cara AB – base centrada sobre la cara BC – base centrada sobre la cara CR - romboedral
NotaciónParámetros Cristalinos
a (Å) b (Å) c (Å) Grupo Espacial N° Grupo Espacial4,53 4,53 2,92 I42/amd 136α (°) β (°) ϒ (°) Volumen (Å3) Sistema Cristalino90 90 90 56,94 Tetragonal
Notación Hermann –Mauguin
Eje helicoidal: El primer número es de acuerdo al ángulo de rotación, el cual tiene una translación como un subíndice a lo largo del eje en una posición paralela del vector de red.
NotaciónParámetros Cristalinos
a (Å) b (Å) c (Å) Grupo Espacial N° Grupo Espacial4,53 4,53 2,92 I42/amd 136α (°) β (°) ϒ (°) Volumen (Å3) Sistema Cristalino90 90 90 56,94 Tetragonal
Notación Hermann –Mauguin
Grupos de planos: son de deslizamiento que implican reflexión seguido de una translación paralela al plano:
• a, b o c: translaciones a lo largo de la mitad del vector de red.
• n: translación a lo largo de la mitad de la cara diagonal.
• d: con translación a lo largo de un cuarto de la cara diagonal
• Planos espejos que se representan con m
• Reflexiones de deslizamiento que se denotan con g
NotaciónGrupos puntual: Los ejes de rotación propias son denotados por 1, 2, 3, 4 y 6, donde el ángulo de rotación está dado por:
𝜑 =360°
𝑛
Mientras que las rotaciones impropias, son rotaciones seguidas por una reflexión en un plano perpendicular al eje de giro. Son denotadas como 1, 2, 3, 4 y 6.
Si un eje de rotación n y un plano espejo m tiene la misma dirección, se denotan como una fracción
𝑛
𝑚o Τ𝑛 𝑚
ResumenLa notación internacional o notación Hermann– Mauguin:
Grupo
espacial
Ejes
helicoidales
o Grupo
puntual
Grupos
de
planos
Notación
I 42/ amd
ReferenciasLibros:
[1] B.D. Cullity y S.R. Stock, Elementos de Difracción de Rayos X, 3 ª ed., Prentice-Hall Inc., pp. 167-171, (2001).
[2] Norma F. M. Henri, Kathleen Lonsdale, International tables for x-ray crystallography, International Union of Cristalraphic, (1969).
Artículos:
[3] Heiddy P. Quiroz, A. Dussan, “Synthesis of Self-Organized TiO2
Nanotube Arrays: Microstructural, Stereoscopic, and Topographic Studies”, Journal of Applied Physics (2016), ISSN: 0021-8979, Vol. 120, p.p 051703.
Páginas Web:
[4] http://www.xtal.iqfr.csic.es/Cristalografia/parte_03.html