Dsitribucion de Probabilidades_cesar

ESTADISTICADistribución de Probabilidad

Utilizando Mathematica Cesar Carrasco Bocangel

2012

Dr(c) César Carrasco Bocangel

Distribución de Probabilidad

CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Conceptos generales

Uno de los objetivos de la estadística es el conocimiento cuantitativo de una determinada parcela de larealidad. Para ello, es necesario construir un modelo de esta realidad particular objeto de estudio,partiendo de la premisa de que lo real es siempre más complejo y multiforme que cualquiermodelo que se pueda construir. De todas formas, la formulación de modelos aceptados por las institu-ciones responsables y por los usuarios, permite obviar la existencia del error o distancia entre la reali-dad y el modelo.

Los modelos teóricos a los que se hace referencia se reducen en muchos casos a (o incluyen en suformulación) funciones de probabilidad. La teoría de la probabilidad tiene su origen en el estudio de losjuegos de azar, que impulsaron los primeros estudios sobre cálculo de probabilidades en el sigloXVI, aunque no es hasta el siglo XVIII cuando se aborda la probabilidad desde una perspectivamatemática con la demostración de la “ley débil de los grandes números” según la cual, al aumentar elnúmero de pruebas, la frecuencia de un suceso tiende a aproximarse a un número fijo denominadoprobabilidad. Este enfoque, denominado enfoque frecuentista, se modela matemáticamente en elsiglo XX cuando Kolmogorov formula la teoría axiomática de la probabilidad1. Dicha teoríadefine la probabilidad como una función que asigna a cada posible resultado de un experimento aleato-rio un valor no negativo, de forma que se cumpla la propiedad aditiva. La definición axiomáticaestablece las reglas que deben cumplir las probabilidades, aunque no asigna valores concretos.

Uno de los conceptos más importantes de la teoría de probabilidades es el de variable aleatoria que,intuitivamente, puede definirse como cualquier característica medible que toma diferentes valorescon probabilidades determinadas. Toda variable aleatoria posee una distribución de probabilidad quedescribe su comportamiento (vale decir, que desagrega el 1 a lo largo de los valores posibles de lavariable). Si la variable es discreta, es decir, si toma valores aislados dentro de un intervalo, su distribu-ción de probabilidad especifica todos los valores posibles de la variable junto con la probabilidad deque cada uno ocurra. En el caso continuo, es decir, cuando la variable puede tomar cualquiervalor de un intervalo, la distribución de probabilidad permite determinar las probabilidades correspon-dientes a con subintervalos de valores. Una forma usual de describir la distribución de probabilidad deuna variable aleatoria es mediante la denominada función de densidad, en tanto que lo que se conocecomo función de distribución representa las probabilidades acumuladas2-7.

Una de las preocupaciones de los científicos ha sido construir modelos de distribuciones de probabili-dad que pudieran representar el comportamiento teórico de diferentes fenómenos aleatorios queaparecían en el mundo real. La pretensión de modelar lo observable ha constituido siempre unanecesidad básica para el científico empírico, dado que a través de esas construcciones teóricas, losmodelos, podía experimentar sobre aquello que la realidad no le permitía. Por otra parte, un mod-elo resulta extremadamente útil, siempre que se corresponda con la realidad que pretende represen-tar o predecir, de manera que ponga de relieve las propiedades más importantes del mundo que nosrodea, aunque sea a costa de la simplificación que implica todo modelo.En la práctica hay unas cuantas leyes de probabilidad teóricas, como son, por ejemplo, la ley binomial ola de Poisson para variables discretas o la ley normal para variables continuas, que sirven de modelopara representar las distribuciones empíricas más frecuentes.

Así, por ejemplo, la variable “talla de un recién nacido” puede tener valores entre 47 cm y 53 cm, perono todos los valores tienen la misma probabilidad, porque las más frecuentes son las tallas próximas alos 50 cm. En este caso la ley normal se adapta satisfactoriamente a la distribución de probabilidadempírica, que se obtendría con una muestra grande de casos.

2 | Distribición de Probabilidad con Mathematica


CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Conceptos generales

Uno de los objetivos de la estadística es el conocimiento cuantitativo de una determinada parcela de larealidad. Para ello, es necesario construir un modelo de esta realidad particular objeto de estudio,partiendo de la premisa de que lo real es siempre más complejo y multiforme que cualquiermodelo que se pueda construir. De todas formas, la formulación de modelos aceptados por las institu-ciones responsables y por los usuarios, permite obviar la existencia del error o distancia entre la reali-dad y el modelo.

Los modelos teóricos a los que se hace referencia se reducen en muchos casos a (o incluyen en suformulación) funciones de probabilidad. La teoría de la probabilidad tiene su origen en el estudio de losjuegos de azar, que impulsaron los primeros estudios sobre cálculo de probabilidades en el sigloXVI, aunque no es hasta el siglo XVIII cuando se aborda la probabilidad desde una perspectivamatemática con la demostración de la “ley débil de los grandes números” según la cual, al aumentar elnúmero de pruebas, la frecuencia de un suceso tiende a aproximarse a un número fijo denominadoprobabilidad. Este enfoque, denominado enfoque frecuentista, se modela matemáticamente en elsiglo XX cuando Kolmogorov formula la teoría axiomática de la probabilidad1. Dicha teoríadefine la probabilidad como una función que asigna a cada posible resultado de un experimento aleato-rio un valor no negativo, de forma que se cumpla la propiedad aditiva. La definición axiomáticaestablece las reglas que deben cumplir las probabilidades, aunque no asigna valores concretos.

Uno de los conceptos más importantes de la teoría de probabilidades es el de variable aleatoria que,intuitivamente, puede definirse como cualquier característica medible que toma diferentes valorescon probabilidades determinadas. Toda variable aleatoria posee una distribución de probabilidad quedescribe su comportamiento (vale decir, que desagrega el 1 a lo largo de los valores posibles de lavariable). Si la variable es discreta, es decir, si toma valores aislados dentro de un intervalo, su distribu-ción de probabilidad especifica todos los valores posibles de la variable junto con la probabilidad deque cada uno ocurra. En el caso continuo, es decir, cuando la variable puede tomar cualquiervalor de un intervalo, la distribución de probabilidad permite determinar las probabilidades correspon-dientes a con subintervalos de valores. Una forma usual de describir la distribución de probabilidad deuna variable aleatoria es mediante la denominada función de densidad, en tanto que lo que se conocecomo función de distribución representa las probabilidades acumuladas2-7.

Una de las preocupaciones de los científicos ha sido construir modelos de distribuciones de probabili-dad que pudieran representar el comportamiento teórico de diferentes fenómenos aleatorios queaparecían en el mundo real. La pretensión de modelar lo observable ha constituido siempre unanecesidad básica para el científico empírico, dado que a través de esas construcciones teóricas, losmodelos, podía experimentar sobre aquello que la realidad no le permitía. Por otra parte, un mod-elo resulta extremadamente útil, siempre que se corresponda con la realidad que pretende represen-tar o predecir, de manera que ponga de relieve las propiedades más importantes del mundo que nosrodea, aunque sea a costa de la simplificación que implica todo modelo.En la práctica hay unas cuantas leyes de probabilidad teóricas, como son, por ejemplo, la ley binomial ola de Poisson para variables discretas o la ley normal para variables continuas, que sirven de modelopara representar las distribuciones empíricas más frecuentes.

Así, por ejemplo, la variable “talla de un recién nacido” puede tener valores entre 47 cm y 53 cm, perono todos los valores tienen la misma probabilidad, porque las más frecuentes son las tallas próximas alos 50 cm. En este caso la ley normal se adapta satisfactoriamente a la distribución de probabilidadempírica, que se obtendría con una muestra grande de casos.

Distribución de Bernoulli

Experimento de Bernoulli: solo son posibles dos resultados: éxito o fracaso. Podemos definir unavariable aleatoria discreta X tal que: éxito ® 1fracaso ® 0Si la probabilidad de éxito es p y la de fracaso 1 - p, podemos construir una función de probabilidad:Un típico experimento de Bernoulli es el lanzamiento de una moneda con probabilidad p para cara y (1-p) para cruz

PDF@BernoulliDistribution@pDD

FunctionBx..,

1 - p x.. � 0

p x.. � 1

0 True, ListableF

RandomVariate@[email protected], 10D80, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1<

Mean@BernoulliDistribution@pDDp

Variance@BernoulliDistribution@pDDH1 - pL p

Distribución de Probabilidad con Mathematica| 3


DiscretePlot@Table@PDF@BernoulliDistribution@pD, xD,

8p, 80.3, 0.5, 0.7, 0.9<<D, 8x, 0, 1<, AxesOrigin ® 81 � 2, 0<,

PlotMarkers ® AutomaticD

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Distribución BinomialDistribución Binomial (n,p)

La distribución binomial es una distribución discreta muy importante que surge en muchas aplicacionesbioestadísticas.

Esta distribución aparece de forma natural al realizar repeticiones independientes de un experimentoque tenga respuesta binaria, generalmente clasificada como “éxito” o “fracaso”. Por ejemplo, esarespuesta puede ser el hábito de fumar (sí/no), si un paciente hospitalizado desarrolla o no una infec-ción, o si un artículo de un lote es o no defectuoso. La variable discreta que cuenta el número de éxitosen n pruebas independientes de ese experimento, cada una de ellas con la misma probabilidad de“éxito” igual a p, sigue una distribución binomial de parámetros n y p. Este modelo se aplica a pobla-ciones finitas de las que se toma elementos al azar con reemplazo, y también a poblaciones conceptual-mente infinitas, como por ejemplo las piezas que produce una máquina, siempre que el proceso deproducción sea estable (la proporción de piezas defectuosas se mantiene constante a largo plazo) y sinmemoria (el resultado de cada pieza no depende de las anteriores).Un ejemplo de variable binomial puede ser el número de pacientes ingresados en una unidadhospitalaria que desarrollan una infección nosocomial.

Un caso particular se tiene cuando n=1, que da lugar a la distribución de Bernoulli.

Valores:x: 0, 1, 2, ..., n

Parámetros:n: número de pruebas, n > 0 enterop: probabilidad de éxito, 0 < p < 1

Tablero de Galton o quincunx

Sir Francis Galton (1822-1911)



Distribución Binomial (n,p)

La distribución binomial es una distribución discreta muy importante que surge en muchas aplicacionesbioestadísticas.

Esta distribución aparece de forma natural al realizar repeticiones independientes de un experimentoque tenga respuesta binaria, generalmente clasificada como “éxito” o “fracaso”. Por ejemplo, esarespuesta puede ser el hábito de fumar (sí/no), si un paciente hospitalizado desarrolla o no una infec-ción, o si un artículo de un lote es o no defectuoso. La variable discreta que cuenta el número de éxitosen n pruebas independientes de ese experimento, cada una de ellas con la misma probabilidad de“éxito” igual a p, sigue una distribución binomial de parámetros n y p. Este modelo se aplica a pobla-ciones finitas de las que se toma elementos al azar con reemplazo, y también a poblaciones conceptual-mente infinitas, como por ejemplo las piezas que produce una máquina, siempre que el proceso deproducción sea estable (la proporción de piezas defectuosas se mantiene constante a largo plazo) y sinmemoria (el resultado de cada pieza no depende de las anteriores).Un ejemplo de variable binomial puede ser el número de pacientes ingresados en una unidadhospitalaria que desarrollan una infección nosocomial.

Un caso particular se tiene cuando n=1, que da lugar a la distribución de Bernoulli.

Valores:x: 0, 1, 2, ..., n

Parámetros:n: número de pruebas, n > 0 enterop: probabilidad de éxito, 0 < p < 1

Tablero de Galton o quincunx

Sir Francis Galton (1822-1911)

PDF@BinomialDistribution@n, pDD

FunctionBx..,

H1 - pL-x..+n px

.

. Binomial@n, x..D 0 £ x

.

. £ n

0 True, ListableF

RandomVariate@BinomialDistribution@5, 0.3D, 10D82, 3, 0, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1<

Mean@BinomialDistribution@n, pDDn p

Variance@BinomialDistribution@n, pDDn H1 - pL p



DiscretePlot@Evaluate�Table@PDF@BinomialDistribution@40, pD, kD,

8p, 80.1, 0.5, 0.7<<D, 8k, 36<, PlotRange ® All,


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5 10 15 20 25 30 35

0.05

0.10

0.15

0.20

Ejemplo Demostrativo

¿Cuál es la probabilidad de que en una familia de 4 hijos exactamente 2 sean niñas?

Probability@x == 2, x é BinomialDistribution@4, 0.5DD0.375

Distribución Multinomial

Cuando hay más de dos acontecimientos posibles (A1, A2, A3 ...) con probabilidades p1 , p2 , p3 ...constantes y tales que:

PDF@MultinomialDistribution@n, 8p1, p2<D, 8x, y<DBinomial@n, yD p1

x p2y x + y � n && x ³ 0 && y ³ 0

0 True



RandomVariate@MultinomialDistribution@5, 80.1, 0.7, 0.2<D,

10D880, 4, 1<, 81, 4, 0<, 80, 2, 3<, 80, 5, 0<, 80, 5, 0<,

80, 4, 1<, 81, 2, 2<, 81, 3, 1<, 80, 5, 0<, 80, 3, 2<<

Probability@x1 > 0 && x2 > 0 && x3 > 0,

8x1, x2, x3< é MultinomialDistribution@5, 81 � 3, 1 � 3, 1 � 3<DD

ProbabilityBx2 > 0 && x3 > 0,

83, x2, x3< é MultinomialDistributionB5, : 1

3,

1

3,

1

3>FF

Mean@MultinomialDistribution@n, 8p1, p2<DD8n p1, n p2<

Variance@MultinomialDistribution@n, 8p1, p2<DD8n H1 - p1L p1, n H1 - p2L p2<


Un método de diagnóstico tiene 3 resultados posibles: positivo (P), negativo (N) y dudoso (D). Se sabeque, en la población, el 10% de los sujetos son positivos, el 70% negativos y el resto dudosos. ¿Quéprobabilidad hay de, en una muestra de 5 individuos, obtener exactamente 1 positivo, 1 negativo y 3dudosos ?

Probability@x1 � 1 && x2 � 1 && x3 � 3,

8x1, x2, x3< é MultinomialDistribution@5, 80.10, 0.70, 0.20<DD0.0112

Distribución Geométrica

Supóngase, que se efectúa repetidamente un experimento o prueba, que las repeticiones son independi-entes y que se está interesado en la ocurrencia o no de un suceso al que se refiere como “éxito”, siendola probabilidad de este suceso p. La distribución geométrica permite calcular la probabilidad de quetenga que realizarse un número k de repeticiones hasta obtener un éxito por primera vez. Así pues, sediferencia de la distribución binomial en que el número de repeticiones no está predeterminado, sinoque es la variable aleatoria que se mide y, por otra parte, el conjunto de valores posibles de la variablees ilimitado.



Supóngase, que se efectúa repetidamente un experimento o prueba, que las repeticiones son independi-entes y que se está interesado en la ocurrencia o no de un suceso al que se refiere como “éxito”, siendola probabilidad de este suceso p. La distribución geométrica permite calcular la probabilidad de quetenga que realizarse un número k de repeticiones hasta obtener un éxito por primera vez. Así pues, sediferencia de la distribución binomial en que el número de repeticiones no está predeterminado, sinoque es la variable aleatoria que se mide y, por otra parte, el conjunto de valores posibles de la variablees ilimitado.

CDF@GeometricDistribution@pDD

FunctionBx..,

1 - H1 - [email protected] x

.

. ³ 0

0 True, ListableF

RandomVariate@[email protected], 10D86, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 1<

data = RandomVariate@[email protected], 10 000D;

Show@Histogram@data, 8-0.5, 40.5, 2<, "PDF"D,

DiscretePlot@PDF@d, xD, 8x, 0, 40<,

PlotStyle ® PointSize@MediumDDD

0 10 20 30 40

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Mean@GeometricDistribution@pDD

-1 +1

p

Variance@GeometricDistribution@pDD1 - p

p2


La probabilidad de que una muestra de aire contenga una molécula rara es 0.01. Si se supone que lasmuestras son independientes respecto a la presencia de la molécula. Determine cuál es la probabilidadde que sea necesario analizar 125 muestras antes de detectar una molécula rara



La probabilidad de que una muestra de aire contenga una molécula rara es 0.01. Si se supone que lasmuestras son independientes respecto a la presencia de la molécula. Determine cuál es la probabilidadde que sea necesario analizar 125 muestras antes de detectar una molécula rara

Probability@x � 125, x é [email protected]

Distribución Binomial Negativa

Puede definirse como una generalización del modelo Geométrico o de Pascal. Así, dado un suceso A ysu complementario Ac, cuando X representa el número de veces que se da Ac (ausencias, fallos, etc.)hasta que se produce r veces el suceso A, en una serie de repeticiones de la experiencia aleatoria encondiciones independientes, decimos que X sigue la distribución Binomial negativa. Nótese que,cuando r = 1, tenemos exactamente el modelo geométrico.

Este modelo queda definido por dos parámetros p (la probabilidad de A: p = P(A)) y r (el número deveces que debe producirse A para que detengamos la experiencia).

La función de densidad viene dada por:

donde q representa el complementario de p: q = 1 - p.

Propiedades del modelo Binomial negativo

1) Esperanza: E(X) = r ´ q/p

2) Varianza: V(X) = r ´ q/p2

3) Se cumplen las siguientes propiedades respecto la función de densidad:

4) Este modelo se ajusta bien a contajes (números de individuos por unidad de superficie) cuando seproduce una distribución contagiosa (los individuos tienden a agruparse).

5) La distribución Binomial negativa puede definirse con mayor generalidad si tomamos r como unnúmero real positivo cualquiera (no necesariamente entero). Pero, en dicho caso, se pierde el carácterintuitivo del modelo y se complican ligeramente los cálculos. Por dichas razones, se ha excluido dichaposibilidad en esta presentación.



PDF@NegativeBinomialDistribution@n, pDD

FunctionBx..,

H1 - pLx.. pn Binomial@-1 + x

.

. + n, -1 + nD x.. ³ 0

0 True, ListableF

RandomVariate@NegativeBinomialDistribution@5, 0.3D,

10D815, 12, 7, 38, 20, 3, 37, 5, 15, 4<

Mean@NegativeBinomialDistribution@n, pDDn H1 - pL

p

Variance@NegativeBinomialDistribution@n, pDDn H1 - pL

p2

DiscretePlot@Table@PDF@NegativeBinomialDistribution@2, pD, kD,

8p, 80.1, 0.2, 0.3<<D, 8k, 25<, PlotMarkers ® AutomaticD

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5 10 15 20 25

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12


Una aeronave tiene 3 computadoras idénticas. Sólo una de ellas se emplea para controlar la nave, lasotras 2 son de reservas por si falla la primera. Durante una hora de operación la probabilidad de falla0.0005

¿Cuál es la probabilidad de que las 3 fallen durante un vuelo de 3 horas?



Probability@x == 3, x é NegativeBinomialDistribution@3, 0.0005DD

1.24813 ´ 10-9

Distribución de Poisson

La distribución de Poisson, que debe su nombre al matemático francés Simeón Denis Poisson(1781-1840), ya había sido introducida en 1718 por Abraham De Moivre como una forma límite de ladistribución binomial que surge cuando se observa un evento raro después de un número grande derepeticiones10. En general, la distribución de Poisson se puede utilizar como una aproximación de labinomial, Bin(n, p), si el número de pruebas n es grande, pero la probabilidad de éxito p es pequeña;una regla es que la aproximación Poisson-binomial es “buena” si n 20 y p 0,05 y “muy buena” si n100 y p 0,01.

La distribución de Poisson también surge cuando un evento o suceso “raro” ocurre aleatoria-mente en el espacio o el tiempo. La variable asociada es el número de ocurrencias del evento en unintervalo o espacio continuo, por tanto, es una variable aleatoria discreta que toma valores enteros de 0en adelante (0, 1, 2,...). Así, el número de pacientes que llegan a un consultorio en un lapso dado, elnúmero de llamadas que recibe un servicio de atención a urgencias durante 1 hora, el número de célulasanormales en una superficie histológica o el número de glóbulos blancos en un milímetro cúbico desangre son ejemplos de variables que siguen una distribución de Poisson. En general, es unadistribución muy utilizada en diversas áreas de la investigación médica y, en particular, en epidemi-ología.

El concepto de evento “raro” o poco frecuente debe ser entendido en el sentido de que la probabilidadde observar k eventos decrece rápidamente a medida que k aumenta. Para que una variable recuento siga una distribución de Poisson deben cumplirse varias condiciones:

1. En un intervalo muy pequeño (p. e. de un milisegundo) la probabilidad de que ocurra un evento esproporcional al tamaño del intervalo.2. La probabilidad de que ocurran dos o más eventos en un intervalo muy pequeño es tan reducidaque, a efectos prácticos, se puede considerar nula.

3. El número de ocurrencias en un intervalo pequeño no depende de lo que ocurra en cualquier otrointervalo pequeño que no se solape con aquél.

Estas propiedades pueden resumirse en que el proceso que genera una distribución de Poisson esestable (produce, a largo plazo, un número medio de sucesos constante por unidad de observación) yno tiene memoria (conocer el número de sucesos en un intervalo no ayuda a predecir el número desucesos en el siguiente).

El parámetro de la distribución, lambda, representa el número promedio de eventos esperadospor unidad de tiempo o de espacio, por lo que también se suele hablar de lambda como “la tasa deocurrencia” del fenómeno que se observa.

A veces se usan variables de Poisson con “intervalos” que no son espaciales ni temporales, sino de otrotipo. Por ejemplo, para medir la frecuencia de una enfermedad se puede contar, en un período dado, elnúmero de enfermos en cierta población, dividida en “intervalos” de, por ejemplo, 10.000 habitantes.Al número de personas enfermas en una población de tamaño prefijado, en un instante dado, se ledenomina prevalencia de la enfermedad en ese instante y es una variable que sigue una distribuciónde Poisson. Otra medida para la frecuencia de una enfermedad es la incidencia, que es el número depersonas que enferman en una población en un periodo determinado. En este caso, el intervalo es depersonas- tiempo, habitualmente personas-año, y es también una variable con distribución de Poisson.Habitualmente, ambas medidas se expresan para intervalos de tamaño unidad o, dicho de otro modo, enlugar de la variable número de enfermos, se usa el parámetro lambda (el riesgo, en el caso de la preva-lencia, y la densidad de incidencia, en el de incidencia).

La distribución de Poisson tiene iguales la media y la varianza. Si la variación de los casos observadosen una población excede a la variación esperada por la Poisson, se está ante la presencia de un prob-lema conocido como sobredispersión y, en tal caso, la distribución binomial negativa es más adecuada.

Valores:x: 0, 1, 2, ...

Parámetros:lambda: media de la distribución, lambda > 0



La distribución de Poisson, que debe su nombre al matemático francés Simeón Denis Poisson(1781-1840), ya había sido introducida en 1718 por Abraham De Moivre como una forma límite de ladistribución binomial que surge cuando se observa un evento raro después de un número grande derepeticiones10. En general, la distribución de Poisson se puede utilizar como una aproximación de labinomial, Bin(n, p), si el número de pruebas n es grande, pero la probabilidad de éxito p es pequeña;una regla es que la aproximación Poisson-binomial es “buena” si n 20 y p 0,05 y “muy buena” si n100 y p 0,01.

La distribución de Poisson también surge cuando un evento o suceso “raro” ocurre aleatoria-mente en el espacio o el tiempo. La variable asociada es el número de ocurrencias del evento en unintervalo o espacio continuo, por tanto, es una variable aleatoria discreta que toma valores enteros de 0en adelante (0, 1, 2,...). Así, el número de pacientes que llegan a un consultorio en un lapso dado, elnúmero de llamadas que recibe un servicio de atención a urgencias durante 1 hora, el número de célulasanormales en una superficie histológica o el número de glóbulos blancos en un milímetro cúbico desangre son ejemplos de variables que siguen una distribución de Poisson. En general, es unadistribución muy utilizada en diversas áreas de la investigación médica y, en particular, en epidemi-ología.

El concepto de evento “raro” o poco frecuente debe ser entendido en el sentido de que la probabilidadde observar k eventos decrece rápidamente a medida que k aumenta. Para que una variable recuento siga una distribución de Poisson deben cumplirse varias condiciones:

1. En un intervalo muy pequeño (p. e. de un milisegundo) la probabilidad de que ocurra un evento esproporcional al tamaño del intervalo.2. La probabilidad de que ocurran dos o más eventos en un intervalo muy pequeño es tan reducidaque, a efectos prácticos, se puede considerar nula.

3. El número de ocurrencias en un intervalo pequeño no depende de lo que ocurra en cualquier otrointervalo pequeño que no se solape con aquél.

Estas propiedades pueden resumirse en que el proceso que genera una distribución de Poisson esestable (produce, a largo plazo, un número medio de sucesos constante por unidad de observación) yno tiene memoria (conocer el número de sucesos en un intervalo no ayuda a predecir el número desucesos en el siguiente).

El parámetro de la distribución, lambda, representa el número promedio de eventos esperadospor unidad de tiempo o de espacio, por lo que también se suele hablar de lambda como “la tasa deocurrencia” del fenómeno que se observa.

A veces se usan variables de Poisson con “intervalos” que no son espaciales ni temporales, sino de otrotipo. Por ejemplo, para medir la frecuencia de una enfermedad se puede contar, en un período dado, elnúmero de enfermos en cierta población, dividida en “intervalos” de, por ejemplo, 10.000 habitantes.Al número de personas enfermas en una población de tamaño prefijado, en un instante dado, se ledenomina prevalencia de la enfermedad en ese instante y es una variable que sigue una distribuciónde Poisson. Otra medida para la frecuencia de una enfermedad es la incidencia, que es el número depersonas que enferman en una población en un periodo determinado. En este caso, el intervalo es depersonas- tiempo, habitualmente personas-año, y es también una variable con distribución de Poisson.Habitualmente, ambas medidas se expresan para intervalos de tamaño unidad o, dicho de otro modo, enlugar de la variable número de enfermos, se usa el parámetro lambda (el riesgo, en el caso de la preva-lencia, y la densidad de incidencia, en el de incidencia).

La distribución de Poisson tiene iguales la media y la varianza. Si la variación de los casos observadosen una población excede a la variación esperada por la Poisson, se está ante la presencia de un prob-lema conocido como sobredispersión y, en tal caso, la distribución binomial negativa es más adecuada.

Valores:x: 0, 1, 2, ...

Parámetros:lambda: media de la distribución, lambda > 0

PDF@PoissonDistribution@Μ1D, kDã-Μ1 Μ1k

k!k ³ 0

0 True

RandomVariate@PoissonDistribution@5D, 10D82, 10, 11, 4, 6, 4, 5, 2, 5, 7<

Mean@PoissonDistribution@Μ1DDΜ1

Variance@PoissonDistribution@Μ1DDΜ1



DiscretePlot@Evaluate�Table@PDF@PoissonDistribution@ΛD, kD,

8Λ, 85, 10, 20<<D, 8k, 0, 30<, PlotRange ® All,


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0.05

0.10

0.15

Ejemplo Demostrativo Se necesita estimar la cantidad de llegadas a la ventanilla de servicio en automóviles de un banco, durante un período de 15 minutos en lasmañanas de los días hábiles. Los datos históricos indican que en este período la cantidad de automóviles en promedio es 10. A la gerenciale interesa saber cual es la probabilidad exacta de que lleguen 5 automóviles en 15 minutos

Probability@x � 5, x é [email protected]



Distribución de Probabilidad ContinuaDistribución Normal

La distribución normal es, sin duda, la distribución de probabilidad más importante del Cálculo deprobabilidades y de la Estadística. Fue descubierta por De Moivre (1773), como aproximación de ladistribución binomial. De todas formas, la importancia de la distribución normal queda totalmenteconsolidada por ser la distribución límite de numerosas variables aleatorias, discretas y continuas, comose demuestra a través de los teoremas centrales del límite. Las consecuencias de estos teoremasimplican la casi universal presencia de la distribución normal en todos los campos de las cien-cias empíricas: biología, medicina, psicología, física, economía, etc. En particular, muchas medi-das de datos continuos en medicina y en biología (talla, presión arterial, etc.) se aproximan a ladistribución normal.

Junto a lo anterior, no es menos importante el interés que supone la simplicidad de sus características yde que de ella derivan, entre otras, tres distribuciones (Ji-cuadrado, t y F) que se mencionarán másadelante, de importancia clave en el campo de la contrastación de hipótesis estadísticas.

La distribución normal queda totalmente definida mediante dos parámetros: la media (Μ) y ladesviación estándar (Sigma).

Campo de variación:- < x <

Parámetros:Mu: media de la distribución, -< Μ <Sigma: desviación estándar de la distribución, Sigma > 0

PDF@NormalDistribution@Μ, ΣD, xD

ã-

Hx-ΜL2

2 Σ2

2 Π Σ

RandomVariate@NormalDistribution@5, 0.3D, 10D85.11104, 5.51797, 4.83107, 5.2136, 5.01697,

4.72921, 5.43523, 5.02684, 4.63002, 5.08949<

Mean@NormalDistribution@Μ, ΣDDΜ



Variance@NormalDistribution@Μ, ΣDD

Σ2

Plot@Evaluate�Table@CDF@NormalDistribution@0, ΣD, xD,

8Σ, 8.75, 1, 2<<D, 8x, -6, 6<, Filling ® AxisD

-6 -4 -2 2 4 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Distribución LogNormal

La variable resultante al aplicar la función exponencial a una variable que se distribuye normal conmedia Mu y desviación estándar Sigma, sigue una distribución lognormal con parámetros Μ (escala) ySigma (forma). Dicho de otro modo, si una variable X se distribuye normalmente, la variable lnX, sigueuna distribución lognormal.

La distribución lognormal es útil para modelar datos de numerosos estudios médicos tales como elperíodo de incubación de una enfermedad, los títulos de anticuerpo a un virus, el tiempo de superviven-cia en pacientes con cáncer o SIDA, el tiempo hasta la seroconversión de VIH+, etc.

Campo de variación:0 < x <

Parámetros:Mu: parámetro de escala, - < Μ <Sigma: parámetro de forma, Sigma > 0

PDF@LogNormalDistribution@Μ, ΣD, xD

ã-

H-Μ+Log@xDL2

2 Σ2

2 Π x Σ

x > 0

0 True



RandomVariate@LogNormalDistribution@5, 0.3D, 10D8182.329, 108.517, 166.293, 182.373, 167.425,

220.786, 149.573, 113.878, 136.898, 104.271<

Mean@LogNormalDistribution@Μ, ΣDD

ãΜ+

Σ2

2

Variance@LogNormalDistribution@Μ, ΣDD

ã2 Μ+Σ2 I-1 + ã

Σ2M

Plot@Table@PDF@LogNormalDistribution@Μ, 2D, xD,

8Μ, 8-1, 2, 3<<D, 8x, 0, 4<, Filling ® Axis, PlotRange ® 80, 1<D

0 1 2 3 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Distribución Logistica

La distribución logística se utiliza en el estudio del crecimiento temporal de variables, en particular,demográficas. En biología se ha aplicado, por ejemplo, para modelar el crecimiento de célulasde levadura, y para representar curvas de dosis respuesta en bioensayos.

La más conocida y generalizada aplicación de la distribución logística en Ciencias de la Salud se funda-menta en la siguiente propiedad: si U es una variable uniformemente distribuida en

el intervalo [0,1], entonces la variable X ln U1-U

sigue una distribución logística. Esta transformación,

denominada logit, se utiliza para modelar datos de respuesta binaria, especialmente en el contextode la regresión logística.


Parámetros:a: parámetro de posición, - < a <b: parámetro de escala, b > 0



La distribución logística se utiliza en el estudio del crecimiento temporal de variables, en particular,demográficas. En biología se ha aplicado, por ejemplo, para modelar el crecimiento de célulasde levadura, y para representar curvas de dosis respuesta en bioensayos.

La más conocida y generalizada aplicación de la distribución logística en Ciencias de la Salud se funda-menta en la siguiente propiedad: si U es una variable uniformemente distribuida en

el intervalo [0,1], entonces la variable X ln U1-U

sigue una distribución logística. Esta transformación,

denominada logit, se utiliza para modelar datos de respuesta binaria, especialmente en el contextode la regresión logística.


Parámetros:a: parámetro de posición, - < a <b: parámetro de escala, b > 0

PDF@LogisticDistribution@Μ, ΒD, xD

ã-

x-Μ

Β

J1 + ã-

x-Μ

Β N2

Β

RandomVariate@LogisticDistribution@5, 2D, 10D86.05017, 10.0082, 5.49693, 3.7554, 0.532909,

3.29606, 4.33103, 8.45216, 11.4307, 21.0462<

Mean@LogisticDistribution@Μ, ΒDDΜ

Variance@LogisticDistribution@Μ, ΒDDΠ2 Β2

3

Plot@Evaluate�Table@PDF@LogisticDistribution@Μ, 2D, xD,

8Μ, 8-2, 0, 3<<D, 8x, -10, 10<, Filling ® AxisD

-10 -5 5 10

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

Distribución Beta

La distribución beta es posible para una variable aleatoria continua que toma valores en el intervalo[0,1], lo que la hace muy apropiada para modelar proporciones. En la inferencia bayesiana, por ejem-plo, es muy utilizada como distribución a priori cuando las observaciones tienen una distribu-ción binomial.

Uno de los principales recursos de esta distribución es el ajuste a una gran variedad de distribucionesempíricas, pues adopta formas muy diversas dependiendo de cuáles sean los valores de los parámetrosde forma p y q, mediante los que viene definida la distribución.

Un caso particular de la distribución beta es la distribución uniforme en [0,1], que se corre-sponde con una beta de parámetros p=1 y q=1, denotada Beta(1,1).

Campo de variación:0 x 1

Parámetros:p: parámetro de forma, p > 0q: parámetro de forma, q > 0



La distribución beta es posible para una variable aleatoria continua que toma valores en el intervalo[0,1], lo que la hace muy apropiada para modelar proporciones. En la inferencia bayesiana, por ejem-plo, es muy utilizada como distribución a priori cuando las observaciones tienen una distribu-ción binomial.

Uno de los principales recursos de esta distribución es el ajuste a una gran variedad de distribucionesempíricas, pues adopta formas muy diversas dependiendo de cuáles sean los valores de los parámetrosde forma p y q, mediante los que viene definida la distribución.

Un caso particular de la distribución beta es la distribución uniforme en [0,1], que se corre-sponde con una beta de parámetros p=1 y q=1, denotada Beta(1,1).

Campo de variación:0 x 1

Parámetros:p: parámetro de forma, p > 0q: parámetro de forma, q > 0

PDF@BetaDistribution@Α, ΒD, xDH1-xL-1+Β x-1+Α

Beta@Α,ΒD 0 < x < 1

0 True

RandomVariate@BetaDistribution@5, .5D, 10D80.976758, 0.685592, 0.594925, 0.966064, 0.996464,

0.975684, 0.959573, 0.970067, 0.796784, 0.967393<

Mean@BetaDistribution@Α, ΒDDΑ

Α + Β

Variance@BetaDistribution@Α, ΒDDΑ Β

HΑ + ΒL2 H1 + Α + ΒL



Plot@Table@PDF@BetaDistribution@2, ΒD, xD, 8Β, 81 � 4, 2, 4<<D,

8x, 0, 1<, Filling ® AxisD

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Distribución Gamma

La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está interesado en la ocurrenciade un evento generado por un proceso de Poisson de media lambda, la variable que mide el tiempotranscurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma con parámet-ros a= n lambda (escala) y p=n (forma). Se denota Gamma(a,p).

Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duración de elementosfísicos (tiempo de vida).

Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta razón, es muyutilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en unaconsulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”).


Parámetros:a: parámetro de escala, a > 0p: parámetro de forma, p > 0

PDF@GammaDistribution@Α, ΒD, xD

ã-

x

Β x-1+Α Β-Α

Gamma@ΑD x > 0

0 True



RandomVariate@GammaDistribution@6, 2D, 10D818.3091, 7.78838, 10.827, 8.80372, 9.52106,

13.1389, 7.80144, 16.481, 15.3635, 11.497<

Mean@GammaDistribution@Α, ΒDDΑ Β

Variance@GammaDistribution@Α, ΒDD

Α Β2

Plot@Evaluate�Table@PDF@GammaDistribution@2, ΒD, xD,

8Β, 82, 4, 6<<D, 8x, 0, 20<, Filling ® AxisD

5 10 15 20

0.05

0.10

0.15

Distribución Exponencial

La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Esta leyde distribución describe procesos en los que interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinadoevento; en particular, se utiliza para modelar tiempos de supervivencia. Un ejemplo es el tiempo quetarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento de la ley que sigue este evento seutiliza, por ejemplo, para la datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica delcarbono 14.

Una característica importante de esta distribución es la propiedad conocida como “falta de memoria”.Esto significa, por ejemplo, que la probabilidad de que un individuo de edad t sobreviva x años más,hasta la edad x+t, es la misma que tiene un recién nacido de sobrevivir hasta la edad x. Dicho demanera más general, el tiempo transcurrido desde cualquier instante dado t0 hasta que ocurre elevento, no depende de lo que haya ocurrido antes del instante t0.

La distribución exponencial se puede caracterizar como la distribución del tiempo entre sucesos consecu-tivos generados por un proceso de Poisson; por ejemplo, el tiempo que transcurre entre dos heridasgraves sufridas por una persona. La media de la distribución de Poisson, lambda, que representa la tasade ocurrencia del evento por unidad de tiempo, es el parámetro de la distribución exponencial, y suinversa es el valor medio de la distribución.

También se puede ver como un caso particular de la distribución gamma(a,p), con a=lambda yp=1.

El uso de la distribución exponencial ha sido limitado en bioestadística, debido a la propiedadde falta de memoria que la hace demasiado restrictiva para la mayoría de los problemas.


Parámetros:lambda: tasa, lambda > 0



La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Esta leyde distribución describe procesos en los que interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinadoevento; en particular, se utiliza para modelar tiempos de supervivencia. Un ejemplo es el tiempo quetarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento de la ley que sigue este evento seutiliza, por ejemplo, para la datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica delcarbono 14.

Una característica importante de esta distribución es la propiedad conocida como “falta de memoria”.Esto significa, por ejemplo, que la probabilidad de que un individuo de edad t sobreviva x años más,hasta la edad x+t, es la misma que tiene un recién nacido de sobrevivir hasta la edad x. Dicho demanera más general, el tiempo transcurrido desde cualquier instante dado t0 hasta que ocurre elevento, no depende de lo que haya ocurrido antes del instante t0.

La distribución exponencial se puede caracterizar como la distribución del tiempo entre sucesos consecu-tivos generados por un proceso de Poisson; por ejemplo, el tiempo que transcurre entre dos heridasgraves sufridas por una persona. La media de la distribución de Poisson, lambda, que representa la tasade ocurrencia del evento por unidad de tiempo, es el parámetro de la distribución exponencial, y suinversa es el valor medio de la distribución.

También se puede ver como un caso particular de la distribución gamma(a,p), con a=lambda yp=1.

El uso de la distribución exponencial ha sido limitado en bioestadística, debido a la propiedadde falta de memoria que la hace demasiado restrictiva para la mayoría de los problemas.


Parámetros:lambda: tasa, lambda > 0

PDF@ExponentialDistribution@ΛD, xDã-x Λ Λ x ³ 0

0 True

RandomVariate@[email protected], 10D82.52593, 38.3246, 30.0242, 18.2917, 2.30441,

0.848802, 3.51018, 48.6254, 37.0882, 16.4061<

Mean@ExponentialDistribution@ΛDD1

Λ

Variance@ExponentialDistribution@ΛDD1

Λ2



Plot@Table@PDF@ExponentialDistribution@ΛD, xD,

8Λ, 81 � 2, 1, 2<<D, 8x, 0, 3<, Filling ® Axis, PlotRange ® AllD

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Distribución Xi-Cuadrado

Un caso especial, muy importante, de la distribución Gamma se obtiene cuando a=1/2 y p=n/2. Ladistribución resultante se conoce con el nombre de Ji-cuadrado con n grados de libertad. Es la distribu-ción que sigue la suma de los cuadrados de n variables independientes N(0,1).

La Ji-cuadrado es una distribución fundamental en inferencia estadística y en los tests estadísti-cos de bondad de ajuste. Se emplea, entre muchas otras aplicaciones, para determinar los límitesde confianza de la varianza de una población normal, para contrastar la hipótesis de homogeneidad o deindependencia en una tabla de contingencia y para pruebas de bondad de ajuste.La distribución Ji-cuadrado queda totalmente definida mediante sus grados de libertad n. Campo devariación:0 x <

Parámetros:n: grados de libertad, n>0

PDF@ChiSquareDistribution@ΝD, xD2-Ν�2 ã-x�2 x-1+

Ν

2

GammaA Ν

2E

x > 0

0 True

RandomVariate@ChiSquareDistribution@2D, 10D80.581388, 1.36556, 2.625, 0.298062, 0.887185,

2.18523, 0.0268979, 5.94243, 1.3175, 0.506867<



Mean@ChiSquareDistribution@ΝDDΝ

Variance@ChiSquareDistribution@ΝDD2 Ν

Plot@Table@PDF@ChiSquareDistribution@ΝD, xD, 8Ν, 80.5, 3, 5<<D,

8x, 0, 6<, Filling ® AxisD

1 2 3 4 5 6

0.1

0.2

0.3

0.4

Distribución t student

La distribución t de Student se construye como un cociente entre una normal y la raíz de una Ji-cuadrado independientes. Esta distribución desempeña un papel importante en la inferenciaestadística asociada a la teoría de muestras pequeñas. Se usa habitualmente en el contraste de hipótesispara la media de una población, o para comparar las medias de dos poblaciones, y viene definida porsus grados de libertad n.

A medida que aumentan los grados de libertad, la distribución t de Student se aproxima a una normalde media 0 y varianza 1 (normal estándar).


Parámetros:n: grados de libertad, n>0



CDF@StudentTDistribution@Μ, Σ, ΝD, xD

12

Ν BetaA Ν

2, 1

2E +

Hx-ΜL Hypergeometric2F1B 1

2,

1+Ν

2,

3

2,-

Hx-ΜL2

Ν Σ2F

Σ

Ν BetaA Ν

2, 1

2E

RandomVariate@StudentTDistribution@5, 0.3, 2D, 10D84.041, 5.38102, 2.88493, 5.17437, 4.66216,

6.01129, 4.98512, 4.80281, 5.19653, 5.05095<

Mean@StudentTDistribution@Μ, Σ, ΝDD

¶ Μ Ν > 1

Indeterminate True

Variance@StudentTDistribution@Μ, Σ, ΝDDΝ Σ2

-2+ΝΝ > 2

Indeterminate True

Plot@Evaluate�Table@PDF@StudentTDistribution@1, 2, ΝD, xD,

8Ν, 80.1, 0.5, 4<<D, 8x, -3, 5<, Filling ® AxisD

-2 2 4

0.05

0.10

0.15

Distribución F

Otra de las distribuciones importantes asociadas a la normal es la que se define como el cociente de dosvariables con distribución Ji-cuadrado divididas por sus respectivos grados de libertad, n y m. En estecaso la variable aleatoria sigue una distribución F de Snedecor de parámetros n y m. Hay muchasaplicaciones de la F en estadística y, en particular, tiene un papel importante en las técnicas del análisisde la varianza y del diseño de experimentos.

Campo de variación:0 x <

Parámetros:n: grados de libertad del numerador, n>0m: grados de libertad del denominador, m>0



Otra de las distribuciones importantes asociadas a la normal es la que se define como el cociente de dosvariables con distribución Ji-cuadrado divididas por sus respectivos grados de libertad, n y m. En estecaso la variable aleatoria sigue una distribución F de Snedecor de parámetros n y m. Hay muchasaplicaciones de la F en estadística y, en particular, tiene un papel importante en las técnicas del análisisde la varianza y del diseño de experimentos.

Campo de variación:0 x <

Parámetros:n: grados de libertad del numerador, n>0m: grados de libertad del denominador, m>0

PDF@FRatioDistribution@n, mD, xD

mm�2 nn�2 x-1+n

2 Hm+n xL1

2H-m-nL

BetaA n

2,

m

2E

x > 0

0 True

RandomVariate@FRatioDistribution@5, 10D, 10D82.00449, 0.272982, 0.762358, 1.60316, 2.47143,

0.516527, 0.541773, 1.50007, 2.14559, 0.449475<

Mean@FRatioDistribution@n, mDDm

-2+mm > 2

Indeterminate True

Variance@FRatioDistribution@n, mDD2 m2 H-2+m+nL

H-4+mL H-2+mL2 nm > 4

Indeterminate True

Plot@Table@PDF@FRatioDistribution@n, 10D, xD, 8n, 82, 5, 20<<D,

8x, 0, 2<, PlotRange ® 80, 1<, Filling ® Axis, Exclusions ® NoneD

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



Plot@Table@PDF@FRatioDistribution@10, mD, xD, 8m, 81, 5, 20<<D,

8x, 0, 2<, PlotRange ® 80, 1<, Filling ® Axis, Exclusions ® NoneD

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



BIBLIOGRAFÍA

1. Kolmogorov AN. Grundbegriffe der Wahrscheinlichtkeitsrechnung. Berlin: Springer-Verlag;1933. (Traducido al inglés: Morrison N. Foundations of the Theory of Probability. New York:Chelsea; 1956).

2. Martín Pliego FJ, Ruiz-Maya L. Estadística I: Probabilidad. Madrid: Editorial AC; 1997.

3. Meyer PL. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. México: Addison-WesleyIberoamericana; 1986.

4. Peña D. Modelos y métodos. 1. Fundamentos. Madrid: Alianza Universidad Textos; 1993.

5. Katz DL. Epidemiology, Biostatistics and Preventive Medicine Review. USA: W.B.SaundersCompany; 1997.

6. Doménech JM. Métodos Estadísticos en Ciencias de la Salud. Barcelona: Signo; 1997.

7. Hospital Ramón y Cajal. Material docente de la unidad de bioestadística clínica.Disponible en: http://www.hrc.es/bioest/M_docente.html8. Biggeri A. Negative Binomial Distribution. En: Armitage P, Colton T editores. Encyclopediaof Biostatistics. Vol. 4. Chichester: John Wiley & Sons; 1998. p. 2962-7.

9. Kemp AW, Kemp CD. Accident Proneness. En: Armitage P, Colton T editores.Encyclopedia of Biostatistics. Vol. 1. Chichester: John Wiley & Sons; 1998. p. 35-7.

10. Palmgren J. Poisson Distribution. En: Armitage P, Colton T editores. EncyclopediaofBiostatistics. Vol. 4. Chichester: John Wiley & Sons; 1998. p. 3398-3402.

11. Lehmer DH. Mathematical methods in large-scale computing units. En: Proceedings of theSecond Symposium on Large Scale Digital Computing Units Machinery. Cambridge, Mass.:Harvard University Press; 1951. p. 141-6.



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