DSP Carlos Arredondo

Procesamiento Digital de Señales______________________________________________________________________

PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

Nombre del alumno: Carlos Arredondo MonsiváisMatrícula: 1100115Hora: N6Día: 1-3-5Instructor: M.C. Saúl Cantú

Temario:

1. Introducción Elementos básicos del procesamiento digital. Ventajas/desventajas de un sistema digital. Clasificación de las señales.

2. Conversión analógica a digital Muestreo de una señal analógica. Teorema del muestreo. Cuantización de señales. Codificación de muestras.

3. Señales y sistemas en tiempo discreto Clasificación de las señales en tiempo discreto. Clasificación de los sistemas discretos. Representación de una señal en impulsos. Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI). Propiedades de los sistemas LTI. Autocorrelación.

4. Transformada Z Directa. Inversa. Propiedades.

Texto: Tratamiento Digital de SeñalesJohn G. ProakisDimitris G. ManolakisPrentice Hall

1


ÍNDICE DEL CONTENIDO

1. Introducción……………………………………………………………………… 3Procesamiento de Señales…………………………………………………... 3Ventajas/Desventajas de un Sistema Digital………………………………... 3Clasificación de las señales…………………………………………………. 3

Señales senoidales en tiempo continuo…………………………….. 6Señales senoidales en tiempo discreto……………………………… 8

2. Conversión Analógico a Digital…………………………………………………. 11Muestreo de señales analógicas…………………………………………….. 12Teorema del muestreo………………………………………………………. 21

3. Señales y Sistemas en tiempo discreto…………………………………………... 25Señales Básicas……………………………………………………………... 25Señales Periódicas y Aperiódicas…………………………………………... 27Energía y Potencia en Señales Discretas…………………………………… 27Señal Par y Señal Impar…………………………………………………….. 27

Parte par y parte impar de una señal discreta……………………….. 28Operaciones básicas en señales discretas…………………………………… 29Descripción Entrada-Salida de Sistemas…………………………………… 34Representación a bloques de sistemas……………………………………… 35Características y propiedades de los sistemas discretos……………………. 37

Invarianza en el tiempo……………………………………………... 37Propiedad de la linealidad…………………………………………... 38Causalidad…………………………………………………………... 40Memoria……………………………………………………………. 40

Proceso de Convolución……………………………………………………. 41Correlación de una señal discreta…………………………………………... 48

Correlación Cruzada y autocorrelación……………………………... 49

4. Transformada Z………………………………………………………………….. 54Sumas y sumatorias…………………………………………………………. 57Propiedades de la transformada Z…………………………………………... 58

Linealidad………………………………………………………….... 58Desplazamiento en tiempo………………………………………….. 60Escalado en el dominio de Z………………………………………... 62Inversión en tiempo (Temporal)…………………………………….. 63Diferenciación en el dominio de Z………………………………….. 63

2


1. INTRODUCCIÓN

PROCESAMIENTO DE SEÑALES

Sistema Analógico

Sistema Digital

VENTAJAS/DESVENTAJAS DE UN SISTEMA DIGITAL

Sistema Analógico Sistema DigitalVentajas:

Sistema simple. Costo razonable.

Desventajas: Susceptible al ruido (baja calidad). Control limitado de la señal.

Ventajas: Mayor Calidad de la señal. Control total de la trama de la

información.

Desventajas: Requiere de mucho ancho de

banda. Costoso.

CLASIFICACIÓN DE LAS SEÑALES

Señales continuas (Analógicas). Señales discretas (Digitales). Señales determinísticas. Señales aleatorias. Señales reales. Señales complejas.

Señal continua: Para cada instante de tiempo hay un valor.

3


Señal discreta: En un intervalo discreto de muestras tengo un número finito de valores.

Señal discreta digital

Señal discreta continua en el tiempo

Las señales continuas dependen de una ó más variables independientes.

Por ejemplo:x1(t)=5tx2(t)=20t2

s(x,y)=3x+2xy+10y2

La señal de voz no se puede describir funcionalmente mediante alguna expresión anterior.

En general, un segmento de voz puede representarse con un alto grado de exactitud mediante la suma de senoidales de diferente amplitud y frecuencia.

x(t)=Asen(2πFt+θ)Ω=2πF=Frecuencia Angular en rad/seg

Si el procesamiento de una señal es lineal, entonces el sistema es lineal; si el procesamiento es no lineal entonces el sistema es no lineal.

4


donde:x(t)= Señal de entradah(t)= Respuesta al impulso del sistema. Representación matemática.y(t)= Señal de salida

Señal digital

x[n]= Acos(ωn+θ)

Señales reales

x(t)= Asen(3πt) xa(t)= Acos(Ωt+ θ)

Señales complejas

x(t)= Aej3πt xa(t)=Aej(Ωt+θ)

Armónica: Es un múltiplo de la frecuencia fundamental.

Señal armónica: Es aquella que contiene una frecuencia múltiplo de la frecuencia de la señal original.

Señal digital: Tiene valores de tiempo finitos con valores de amplitud finitos.

Grafique la señal x(t)= (0.8)t (t>0)a) Forma analógica.b) Forma digital.

t xa(t)=(0.8)t

0 11 0.82 0.643 0.514 0.45 0.32

5


a)

b)

SEÑALES SENOIDALES EN TIEMPO CONTINUO

xa(t)= Acos(Ωt+θ) -∞<t<∞Ω= 2πF= radianes/seg

Las señales analógicas senoidales poseen las siguientes propiedades:

a) Para todo valor fijo de frecuencia F, xa(t) es periódicaxa(t)=xa(t+Tp)

b) Las señales en tiempo continuo con frecuencias diferentes son diferentes.

1. cos(6πt) ωo=2πfo

2. cos(12πt)

6


ωo1t= 6πtωo2t= 12πt

2πFo1t= 6πt 2Fo1=62πFo2t= 12πt 2Fo2=12

Fo1= 3 Hz Fo2= 6 HzSon diferentes

c) El aumento de la frecuencia F resulta en aumento de la tasa de oscilación.

Esto también aplica para las señales complejas.

xa(t)= Aej(Ωt+θ)

7


SEÑALES SENOIDALES EN TIEMPO DISCRETO

x(n)= Acos(ωn+θ) -∞<n<∞ n=…,-3,-2,-1,0,1,2,3…(entero)

ω= 2πf=radianes/muestra

Propiedades de una senoide digital:

1) Una senoide en tiempo discreto es periódica solo si su frecuencia f es un número racional.

fo=K/N N= período fundamental= Muestras/ciclox(n)= x(n+N)

2) Las senoides de tiempo discreto separadas por un múltiplo de 2π, son idénticas

Cos[(ωo+2π)n+θ]= cos(ωon+θ)

3) La tasa de oscilación mayor en una senoide en tiempo discreto se alcanza cuando ω=π (ó ω=-π)

f= Frecuencia digitalS= frecuencia de muestreo= muestras/seg

N= período de la señal digital=muestras/cicloK= entero

f= K/N= Número racional (debe ser entero con valores enteros para que tenga período)

Ej. Determine si x(n)= Acos(2πfn) es periódica. Si:a) f= .32= 32/100= si es periódica 32/100=K/Nb) f= √3= 1.732658… No es periódica.

Ej. Determine el período común de la señal.x(n)= ej0.2πn+e-j0.3πn

8


NCOMÚN=20 muestras/ciclo

Ej. Grafique la señal x(n)=5cos(ωn+θ)a) ω=π/6; θ=0b) ω=π/6; θ= π/3

a)

b)

9


10


2. CONVERSIÓN ANALÓGICO A DIGITAL

El proceso de conversión de una señal analógica (como la voz, audio, señales sísmicas, biológicas, meteorológicas, etc.) a señal digital se realiza en tres pasos fundamentales:

1. Muestreo2. Cuantización ó cuantificación.3. Codificación.

Muestreo: Es la conversión de una señal de tiempo continuo en una señal de tiempo discreto. Se toman “muestras” de la señal analógica en espacios de tiempo constante.

Cuantificación: Es la conversión de una señal de tiempo discreto con valores de amplitud continuos a una señal de tiempo discreto con valores de amplitud discretos.

Codificación: Cada valor cuantizado se le asigna una cadena binaria de ceros y unos.

Señal analógica

11


Señal muestreada

Señal cuantizada

000 110 101 010 001 000…Codificación

Valor Secuencia0 000

-7.5 001-5 010

-2.5 0112.5 1005 101

7.5 11010 110Señal codificada

MUESTREO DE SEÑALES ANALÓGICAS

12


En el proceso de muestreo, una señal analógica se pasa a través de un muestreador (switch) que toma ciertas muestras en intervalos de tiempo constantes. A este tiempo se le conoce como período de muestreo (T).

La velocidad a la que se toman las muestras se conoce como velocidad ó frecuencia de muestreo (Fs).

Xa(t)= Acos (2πFt + θ)x(n)= Acos(2πFnT + θ)

x(n)=Acos[2πn(F/Fs) + θ)

La frecuencia digital f se puede obtener como:

donde f es un valor que debe oscilar entre -1/2 y ½

-1/2<f<1/2 ó -π<ω<π

Ej. Analice y grafique las señales analógicas x1(t) y x2(t) si se muestrean a una velocidad de Fs= 40 Hz

a) x1(t)=cos(10πt) F1= 5 Hz Fs=40 Hzb) x2(t)=cos(100πt) F2= 50 Hz

13


GRAFICASa)

Señal analógica

Señal muestreada

b)

Señal analógica

14


Señal muestreada (se obtiene el mismo muestreo que la primera señal, aunque esta no corresponde a su señal original)

Ej. La señal x(t)=2cos(40πt) + sen(60πt) se muestrea a 75 Hz. ¿Cuál es el período común de la señal muestreada x[n]? ¿Cuántos períodos completos de x(t) se requieren para un ciclo de x[n]?

Fs= 75 Hz N=?

x1(t)= 2cos(40πt) x2(t)= sen(60πt) F1= 20 Hz F2= 30 Hz

M.C.M= Mínimo Común Múltiplo

a) M.C.M. (15,5)= 15 muestras/ciclo

MCD= Máximo Común Divisor

b) MCD(4,2)=2 períodos de la señal analógica x(t) para formar un ciclo de x[n]

15


Ej. Una senoide x(t) de 100 Hz se muestrea a 240 Hz. ¿Cuántos períodos de x(t) se requieren para obtener un período de la señal muestreada?

F= 100 Hz

Fs=240 Hz

K= 5 períodos de x(t)

Ej. Las señales x1(t)= cos(20πt) y x2(t)= cos(100πt) se muestrean a 40 Hz. Analice las señales muestreadas x1[n] y x2[n].

F1= 10 HzF2= 50 Hz

x2(n) es un alias de x1(n)

16


Ej. Considere la señal analógica

xa(t)= 3cos(100πt)

a) Determine la velocidad de muestreo mínima para evitar el aliasing (réplicas).b) Suponga que la señal se muestrea a una velocidad Fs=200 Hz. ¿Cuál es la señal

en tiempo discreto obtenida tras el muestreo?c) Si Fs= 75 Hz ¿Cuál es la señal discreta obtenida?d) ¿Cuál es la frecuencia 0<f<Fs/2 de una senoide que produce muestras idénticas a

las obtenidas en el inciso c)?

Fs≥ 2 FmaxFs= 2Fmax

a) Fs= 100 muestras/seg

b)

c)

17


d)

18


Ej. Analice las señales x1(t) y x2(t) si se muestrean a 1 Hz y las frecuencias F1=1/8 Hz y F2=-7/8 Hz respectivamente. Ambas son senoidales.

19


Señal x1(n) y x2(n) muestreadas (x2(n) es alias de x1(n) por eso es la misma señal muestreada)

Ej. Si x(t)= 3cos(50πt) + 10sen(300πt) – cos(100πt)a) ¿Cuál sería la tasa de Nyquist?b) Ncomún (MCM)c) ¿Cuántos períodos de x(t) se requieren para formar un período de x(n)? (MCD)

F1= 25 Hz F2= 150 Hz F3= 50 Hz

Fs≥ 2FmaxFs≥ 2(150 Hz)

a) Fs> 300 HzFs= 400 Hz

b) MCM (16, 8, 8)Ncomún= 16

c) MCD (1, 3, 1)Kcomún= 3

TEOREMA DEL MUESTREO

20


Dada una señal cualquiera. ¿Cómo se debe elegir el período de muestreo T ó la velocidad de muestreo Fs?

Se debe conocer cierta información de la señal, por ejemplo: la frecuencia.

Frecuencia MáximaSeñal de voz 3.4 kHzSeñal de TV 5 MHz

Si se concoe la frecuencia máxima de la señal, se puede especificar la velocidad de muestreo necesaria para convertir las señales analógicas a digitales.

Una señal analógica cualquiera se puede representar como una suma de senoides de diferentes amplitudes, frecuencias y fases, es decir:

N= Número de componentes de frecuencia.

Se supone que una señal no debe contener componentes de frecuencia mayores a Fmax.

Si la señal excede a Fmax, entonces se pasa por un filtro que atenúe esas componentes de frecuencia.

El filtrado se realiza ANTES del muestreo.

Para evitar el ALIASING, se debe seleccionar una velocidad de muestreo lo suficientemente alta.

Fmax→frecuencia más alta de la señal analógica.

La condición Fs≥2Fmax garantiza que todas las componentes de la señal analógica corresponderán a una frecuencia en tiempo discreto.

21


Si la frecuencia más alta contenida en una señal analógica Xa(t) es Fmax= B y la señal se muestrea a Fs≥ 2Fmax= 2B, entonces Xa(t) se puede recuperar totalmente a partir de sus muestras mediante la siguiente función de interpolación:

son las muestras de Xa(t)

Cuando el muestreo de Xa(t) se realiza a la tasa mínima de muestreo Fs= 2B, la fórmula de reconstrucción se transforma en:

Tasa de Nyquist→ FN= 2B= 2Fmax

Ej. Considere la señal analógicaXa(t)= 3cos(50πt) + 10sen(300πt) – cos(100πt)

a) ¿Cuál es la tasa de Nyquist para esta señal?b) Analice la señal x(n)

F1= 25 HzF2= 150 Hz←FmaxF3= 50 Hz

FN≥ 2FmaxFN≥ 300 muestras/seg

La componente 10sen(nπ) se cancela dando cualquier valor de π por lo que la señal original no pude ser recuperada. Hay que muestrear a una frecuencia mayor y procurar que

FN> 2Fmax

Ej. Considere la señal analógicaXa(t)= 3cos(2000πt)+ 5sen(6000πt)+ 10cos(12000πt)

22


a) ¿Cuál es la tasa de Nyquist para esta señal? Grafique x(n)b) Suponga que muestreamos ahora a una velocidad Fs= 5000 muestras/seg. ¿Cuál

es la señal en tiempo discreto?c) ¿Cuál es la señal analógica que obtendríamos al reconstruir la señal por

interpolación?

a) FN≥ 2FmaxF1= 1 kHZF2= 3 kHzF3= 6 kHz←Fmax

FN≥ 12 kHz

b)

c)

23


24


3. SEÑALES Y SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO

SEÑALES BÁSICAS

Impulso

Impulso unitario

Escalón unitario

Rampa discreta unitaria

25


0<a<1a=0.81

SEÑALES PERIÓDICAS Y APERIÓDICAS

26


Una señal discreta es periódica si:

x(n)= x(n+N)N= Período digital ó número de muestras.

Si la señal discreta proviene del muestreo de la señal analógica:

x(n)=Acos(2πfn+θ)

ENERGÍA Y POTENCIA EN SEÑALES DISCRETAS

(Joules)

La energía de una señal continua es finita si posee un número finito de muestras.

(Watts)

La potencia promedio se calcula en las señales periódicas.

En una señal continua la energía es finita y la potencia es cero. En una señal periódica, la energía es infinita y la potencia promedio es finita.

SEÑAL PAR Y SEÑAL IMPAR

Señal parx(n)= x(-n)

Señal imparx(n)= -x(-n)

27


PARTE PAR Y PARTE IMPAR DE UNA SEÑAL DISCRETA

Toda señal se forma de la suma de una señal discreta par y otra impar.

x(n)= xe(n)+ xo(n)

Parte par

Parte impar

OPERACIONES BÁSICAS EN SEÑALES DISCRETAS

Reflexión [x(n)→x(-n)] Escalamiento (Compresión/Expansión)

28


Desplazamiento (Adelanto/Retraso)

x(n)

x(-n)n x(-n)-4 x[-(-4)]= x(4)-3 x[-(-3)]= x(3)-2 x[-(-2)]= x(2)-1 x[-(-1)]= x(1)

x(n+2)n x(n+2)-6 x(-6+2)= x(-4)-5 x(-5+2)= x(-3)0 x(0+2)= x(2)1 x(1+2)= x(3)

x(n-3)

29


n x(n-3)-1 x(-1-3)= x(-4)2 x(2-3)= x(-1)3 x(3-3)= x(0)6 x(6-3)= x(3)

x(n)

x(-n+2)n x(-n+2)-2 x[-(-2)+2]= x(4)-1 x[-(-1)+2]= x(3)1 x(-1+2)= x(1)2 x(-2+2)= x(0)

x(-n)

30


n x(-n)-4 x(4)-3 x(3)-2 x(2)-1 x(1)

x(n)

x(2n)n x(2n)-4 x[2(-4)]= x(-8)-3 x(-6)-2 x(-4)-1 x(-2)0 x(0)1 x(2)2 x(4)3 x(6)4 x(8)

Orden de operaciones con señalesa) Reflexionesb) Escalamientoc) Desplazamiento

Ej. Si

31


Determinea) y(n)= x(n) b) y(n)= x(n-1)c) y(n)= x(n+1)d) y(n)= 1/3 {x(n+1)+ x(n)+ x(n-1)}e) y(n)=max{x(n+1), x(n), x(n-1)}

f)

a)

b)

c)

d)

n y(n)-4 1-3 5/3-2 2-1 10 2/31 12 23 5/34 1

e)

32


n y(n)-3 3-2 3-1 20 11 22 33 3

f)

n y(n)-4 0-3 3-2 5-1 60 61 72 93 124 12

DESCRIPCIÓN ENTRADA-SALIDA DE SISTEMAS

Un sistema es aquel que procesa una señal de entrada y se obtiene una respuesta de salida.

x(n)= Señal discreta de entrada.h(n)= Respuesta al impulso.y(n)= Respuesta de salida discreta.

Los sistemas discretos se representan en forma de señal a través de la respuesta al impulso h(n).

El acumulador

Es un sistema que suma el valor presente de la señal discreta x(n) más todos los anteriores.

33


Ej. El acumulador

Se excita por medio de una señal x(n)= nu(n)Obtenga la salida y(n) si:

a) y(-1)= 0b) y(-1)= 1

a)

b)

34


REPRESENTACIÓN A BLOQUES DE SISTEMAS

Sumador: Es un sistema que suma dos señales discretas. No tiene memoria.

Multiplicador De constante

De señales: Es un sistema que multiplica dos señales discretas. No tiene memoria.

35


Retardador de señal: Es un sistema que retarda en una ó “n” posiciones una señal de entrada. Es un sistema que tiene memoria.

Adelantador de señal: Al contrario que el retardador es un sistema que adelanta una posición la señal de entrada.

Ej. Represente a manera de bloques el siguiente sistema:

36


CARACTERÍSTICAS Y PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS DISCRETOS

INVARIANZA EN EL TIEMPO

Los sistemas pueden clasificarse como variantes ó invariantes en el tiempo. Un sistema es invariante en el tiempo si su salida no cambia respecto a la entrada al desplazarla ciertas muestras k en el tiempo.

x(n)→y(n)x(n-k)→y(n-k)

Ej. Determine si los siguientes sistemas son variantes ó invariantes en el tiempo.

a) Diferenciador

b) Multiplicador de tiempo

c) Espejo

d) Modulador

a) y(n)= x(n)-x(n-1)

1. x(n-k)-x(n-1-k)2. y(n-k)= x(n-k)-x(n-k-1)¿Son 1y 2 iguales?: Sí

El sistema invariante en el tiempo.

37


b) y(n)= nx(n)

1. nx(n-k)2. y(n-k)= (n-k)x(n-k) y(n-k)= nx(n-k)-kx(n-k)¿Son 1y 2 iguales?: No

El sistema es variante en el tiempo.

c) y(n)= x(-n)

1. x(-n-k)2. y(n-k)= x[-(n-k)] y(n-k)= x(-n+k)¿Son 1 y 2 iguales?: No


d) y(n)= x(n)cosωon

1. x(n-k)cosωon2. y(n-k)= x(n-k)cos[ωo(n-k)]¿Son iguales?: No


PROPIEDAD DE LA LINEALIDAD

Los sistemas discretas pueden clasificarse en lineales y no lineales. El sistema es lineal si cumple con el teorema de superposición que involucra a la suma ponderada de la señal de salida igual a la suma de señales individuales en la entrada.

SUPERPOSICIÓN

Ej. Determine si los siguientes sistemas de entrada-salida son lineales ó no lineales.

a) y(n)= nx(n)b) y(n)= x(n2)c) y(n)= x2(n)d) y(n)= Ax(n)+ Be) y(n)= ℮x(n)

38


SUPERPOSICIÓN

a) y(n)=nx(n)

1. y1(n)= nx1(n)2. y2(n)= nx2(n)3. y3(n)= nx3(n)= n[x1(n)+x2(n)]= nx1(n)+nx2(n) x3(n)= x1(n)+x2(n)

El sistema es lineal

b) y(n)= x(n2)

1. y1(n)= x1(n2)2. y2(n)= x2(n2)3. y3(n)= x3(n2)= x1(n2)+x2(n2) x3(n)= x1(n)+x2(n)

El sistema es lineal

c) y(n)= x2(n)

1. y1(n)= x12(n)

2. y2(n)= x22(n)

3. y3(n)= x32(n)= [x1(n)+x2(n)]2

y3(n)= x12(n)+2x1(n)x2(n)+x2

2(n)

39


x3(n)= x1(n)+x2(n)

El sistema no es lineal

d) y(n)= Ax(n)+B

1. y1(n)= Ax1(n)+B2. y2(n)= Ax2(n)+B3. y3(n)= Ax3(n)+B y3(n)= A[x1(n)+x2(n)]+B y3(n)= Ax1(n)+Ax2(n)+B

El sistema es no lineal

e) y(n)= ℮x(n)

El sistema es no lineal

CAUSALIDAD

Un sistema puede ser causal ó no causal. Cuando un sistema depende de los valores en el presente y en el pasado, el sistema es causal, si no cumple con lo anterior, es no causal.

y(n)= F[x(n), x(n-1), x(n-2),…]

Ej. Determine la causalidad de los siguientes sistemas:

a) y(n)= x(n)-x(n-1) Causalb) y(n)= 2x(n)+3x(n-1)+4x(n-2) Causalc) y(n)= ax(n) Causald) y(n)= x(n)+3x(n+4) No Causale) y(n)= x(n2) No Causalf) y(n)= x(2n) No Causalg) y(n)= x(-n) No Causal

MEMORIA

Los sistemas se pueden clasificar en estáticos (sin memoria) ó dinámicos (con memoria). Un sistema sin memoria es aquél que depende solo de los instantes presentes de la señal de entrada. Un sistema con memoria es aquél que depende de muestras en el pasado.

Ej. Determine si los siguientes sistemas son sin memoria (estáticos) ó con memoria (dinámicos).

40


a) y(n)= x(n) Sin memoriab) y(n)= x(n)+2x(n-1) Con memoriac) y(n)= ax(n) Sin memoria

d) Con memoria

e) Con memoria

f) y(n)= nx(n)+bx3(n) Sin memoria

PROCESO DE CONVOLUCIÓN

La convolución es la operación que se realiza cuando una señal x(n) es procesada en un sistema, que para nuestro estudio será LINEALMENTE INVARIANTE EN EL TIEMPO (LTI).

La operación genera una respuesta de salida y(n) que puede expresarse de la siguiente forma:

Sumatoria de Convolución

Un sistema que puede ser un circuito eléctrico, electrónico, en general, una “caja negra” es representada por una señal h(n) que será la respuesta del sistema cuando se le aplica un impulso.

Pasos para realizar la convolución

1. Graficar x(k), h(k).2. Reflejar h(k).3. Desplazar h(-k) hacia la derecha e izquierda.4. Multiplicar muestra a muestra x(k)h(n-k)

Ej. Determine la salida del sistema representado por:

cuando tiene una entrada representada por:

41


x(k) h(n-k)= h(-k)

n= 0y(0)= (0)(-1)+(0)(1)+(1)(2)+(2)(1)+(3)(0)+(1)(0)y(0)= 4

n= -1h(-1-k)

y(-1)= (0)(-1)+(0)(1)+(0)(2)+(1)(1)y(-1)= 1

42


n= -2h(-2-k)

y(-2)= 0

n= 1h(1-k)

y(1)= (0)(-1)+(1)(1)+(2)(2)+(3)(1)+(1)(0)y(1)= 8

n= 2h(2-k)

43


y(2)= (-1)(1)+(2)(1)+(2)(3)+(1)(1)y(2)= 8

n=3h(3-k)

y(3)= (0)(1)+(-1)(2)+(1)(3)+(2)(1)+(1)(0)y(3)= 3

n= 4h(4-k)

y(4)= (0)(1)+(0)(2)+(3)(-1)+(1)(1)+(2)(0)+(1)(0)y(4)= -2

44


n= 5h(5-k)

y(5)= (-1)(1)

n=6h(6-k)

y(6)= 0

45


y(n)

Ejercicio:

Ley Conmutativa

x(k)= u(k) h(k)

x(-k) x(1-k)

46


x(2-k) y(n)

y(0)= (1)(1)= 1y(1)= (1)(1)+(1)(a)= 1+ay(2)= (1)(1)+(1)(a)+(1)(a2)= 1+a+a2

y(3)= (1)(1)+(1)(a)+(1)(a2)+(1)(a3)= 1+a+a2+a3

y(n)= 1+a+a2+a3+…+an

Ej. Determine la salida y(n) cuando:

x(n) h(n)

47


CORRELACIÓN DE UNA SEÑAL DISCRETA

La correlación es una operación muy semejante a la convolución. La correlación nos indica el parecido que tiene una señal con otra desplazada ó el parecido contra sí misma desplazada.

Esta propiedad nos permitirá filtrar ruido aleatorio de nuestra señal de información.

y(n)= ax(n-D)+ω(n)

y(n)= Señal recibida ó señal de salida de un sistema.ax(n-D)= Es la señal original modificada por un factor “a” y desplazada D unidades.ω(n)= Señal de ruido.

48


CORRELACIÓN CRUZADA Y AUTOCORRELACIÓN

Cuando una señal se correlaciona con otra diferente, entonces se le llama CORRELACIÓN CRUZADA.

Cuando la señal se correlaciona contra sí misma se llama AUTOCORRELACIÓN.

Ej. Determine la correlación de las siguientes secuencias

l= 0

l= 1

l= -1

49


l= 2

l= -2

l= 3

l= -3

l= 4

l= -4

l= 5

50


l= -5

l= 6

l= -6

l= 7

l= -7

51


Ej. Determine la autocorrelación para

l= 0

l= 1

l= -1

l= 2

l= -2

l= 3

l= -3

52


l= 4

l= -4

l= 5

l= -5

53


4. TRANSFORMADA Z

La transformada Z es una herramienta que nos permite realizar el estudio de una señal ó sistema discreto de forma similar a como lo hace la transformada de Laplace para señales y sistemas en el tiempo continuo.

La transformada Z se emplea para caracterizar señales mediante diagramas de polos y ceros.

La tranformada Z es una serie infinita de potencias que converge en una región (ROC= Region Of Convergente). La ROC es el conjunto de valores de z para los cuales X(z) es finita.

Ej. Determine la transformada Z de las siguientes señales

a)

54


b)

c)

d)

e)

f)

g)

55


Ej.

56


SUMAS Y SUMATORIAS

Serie Aritmética

Serie Geométrica

Serie Trigonométrica

Serie Logarítmica

Serie Exponencial

Serie Binomial

57


PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z

LINEALIDAD

Si

y

Entonces

Ej. Determine la transformada Z de:

x(n)=[3(2n)-4(3n)]u(n)

Converge en

ROC

58


Ej. Determine la transformada Z de:1. cos(ωon)u(n)2. sen(ωon)u(n)

59


DESPLAZAMIENTO EN TIEMPO

Ej. Determine la transformada z para:

1.

x(n) x(n+2)

2.

60


x(n) x(n-2)

Ej. Determine la transformada z de :

61


ESCALADO EN EL DOMINIO DE Z

Ej. Determine la transformada z de:

1.

2.

62


INVERSIÓN EN TIEMPO (TEMPORAL)

Ej. Determine la transformada z de:

DIFERENCIACIÓN EN EL DOMINIO DE Z

63


Ej. Determine la transformada z de

Ej. Determine la transformada z de r(n)Donde r(n)= Rampa unitaria

r(n)=nu(n)

Ej. Determine la señal x(n) a partir de su transformada zX(z)=ln(1+az-1)

64

DSP Carlos Arredondo

Documents

Transcript of DSP Carlos Arredondo