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PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES
PAGE 231
INTRODUCCIN AL PROCESAMIENTO DE SEALES
La Ingeniera electrnica se define como la rama de la ciencia que se encarga de la transmisin de informacin por medio de seales elctricas. El uso de tales seales se debe fundamentalmente a la velocidad con la que viajan (cercana a la de la luz) y a la facilidad con la que pueden ser manipuladas.
El trabajo en la electrnica est relacionado con un sistema de comunicaciones, cuya finalidad es la transmisin de informacin de manera eficiente, el cual puede visualizarse de manera esquemtica por medio del diagrama de bloques mostrado en la figura 1.
Figura 1: Diagrama de bloques de un sistema de comunicacin.
El sistema de comunicaciones se puede dividir en tres bloques fundamentales, como se aprecia en la figura 2, los cuales se describen de manera breve a continuacin:
Figura 2: Diagrama en bloques de un sistema de comunicaciones. EL CANAL: Es el medio de enlace entre el transmisor y el receptor y puede consistir en cables (alambres), guas de onda, aire, vaco, tierra, fibra ptica, etc. Es el causante de la mayora de los problemas en la comunicacin, incluidos los siguientes:
Atenuacin.
Desfases (retardos).
Distorsiones generadas por alinealidades.
Respuesta en frecuencia no apropiada (Debido a que no hay respuesta instantnea a variaciones de energa y a que esta respuesta es distinta a diferentes frecuencias, lo que tiene que ver con el concepto de anchura de banda).
Ruido e interferencia (Lo que se cuantifica con el concepto de razn S/N).
El principal problema que genera el canal es que este trata de cambiar la forma de la seal y por lo tanto su contenido de informacin.
EL TRANSMISOR: Es la parte del sistema que se encarga de codificar apropiadamente la seal tal que supere eficientemente las limitaciones del canal (Amplifica, filtra, modula, codifica, etc.).
EL RECEPTOR: Realiza las operaciones inversas a las del transmisor, tomando la mejor decisin acerca de lo que se le envi (Al hacer esto puede equivocarse, lo que conduce al concepto de rata de error de bit (BER)).
De lo anterior se concluye que se necesita conocer (caracterizar o analizar) las seales y los sistemas y la forma como estos modifican a aquellas, lo que normalmente se realiza en tres dominios diferentes:
DOMINIO TIEMPO: En este dominio se analiza la relacin entrada salida del sistema mediante las siguientes herramientas: Las ecuaciones integro-diferenciales que caracterizan la relacin entrada salida del sistema.
La correlacin que mide la velocidad de variacin de una seal o el parecido con otra.
La convolucin que permite conocer la salida de un sistema en trminos de la entrada y su respuesta al impulso.
Los promedios temporales.
En estos casos se analiza como cambia la seal al pasar por el sistema y que tan rpidamente varia la seal con el tiempo.
DOMINIO DE LA FRECUENCIA: En ste se pueden evaluar: La respuesta en frecuencia .
El contenido espectral de la seal.
En este caso se analiza cuales son las componentes ms importantes de la seal en cuanto a que aportan la mayor cantidad de energa (Ancho de banda de la seal), cuales son los componentes de sta que el sistema favorece y cuales desfavorece (Ancho de banda del sistema). Adems se visualiza qu sucede con los componentes de la seal cuando se realizan ciertas operaciones sobre ella (Modulacin, multiplicacin de una seal por otra, muestreo, etc.).
DOMINIO ESTADISTICO: Debido a que las seales de informacin (Y an los sistemas) tienen un comportamiento netamente aleatorio (Si no fuera as no seran seales de informacin), se concluye que stas slo pueden ser conocidas con base en promedios. La estadstica tiene herramientas que permiten conocer de manera muy apropiada este comportamiento (Promedios estadsticos, funcin densidad de probabilidad, etc.).
Con estas herramientas se pueden disear la seal y el sistema (Sntesis) tal que el proceso de comunicacin sea eficiente desde varios puntos de vista:
Costos (Uso ptimo de los canales).
Velocidad de transmisin de la informacin.
Complejidad.
Confiabilidad (En el sentido que la informacin que se reciba sea la que se envi).
Privacidad.
Seguridad.
Los procesos de anlisis y sntesis pueden realizarse en dos ambientes diferentes:
ANALOGO: La seal existe (O sea tiene importancia) en todos los instantes de tiempo y tiene infinitos posibles valores dentro de un rango determinado (Rango dinmico de la seal). El sistema se construye exclusivamente de hardware (Activo y pasivo) y maneja infinitos posibles estados (ASP), para realizar operaciones sobre la seal tales como el filtrado, la amplificacin, la modulacin, etc.
DIGITAL: La seal existe (O tiene importancia) slo en momentos discretos del tiempo y tiene un nmero finito de valores dentro de un rango determinado. El sistema es una mezcla de hardware y software digital con interfaces anlogas con el mundo real (DSP), que realizan operaciones de clculo y lgicas para extraer informacin de una seal digital o modificarla.
En algunos casos los sistemas son hbridos en el sentido de que a pesar de que manejan seales digitales utilizan una representacin anloga de esas seales para su transmisin, por ejemplo con el uso de seales sinusoidales de diferentes frecuencia (FSK) o fases (PSK).
La tendencia en este momento va en la direccin de realizar todas las operaciones que antes se hacan en ASP, y otras nuevas, con dispositivos o sistemas DSP, esto se debe entre otras a las siguientes razones:
1. Ha habido grandes avances en los ordenadores en los ltimos aos de tal manera que stos presentan mayor potencia (Hacen ms cosas), mayor fiabilidad en los clculos, menor tamao, son ms rpidos y baratos, tienen menor consumo de potencia, no presentan variacin con la temperatura o la edad.
2. Algunas seales son inherentemente digitales.
3. Se han dado enormes desarrollos en el diseo de circuitos integrados, MSI, LSI, VLSI.
4. Tambin ha habido grandes adelantos en el diseo de software (FFT).
5. El DSP permite realizar muchas operaciones imposibles o difciles de realizar en ASP (Filtrado con desfase lineal, supresin de ecos, encriptacin, etc.).
6. Flexibilidad en la reconfiguracin de operaciones. Si se desea cambiar el comportamiento de un ASP hay que redisear el hardware; en DSP slo se necesita cambiar el programa (Software).
7. Reproducibilidad perfecta: Los sistemas DSP presentan desempeo idntico de unidad a unidad (No hay problemas de tolerancia).
8. Precisin garantizada: En ASP la tolerancia de los componentes no permite un buen control de esta; por el contrario en DSP se pueden especificar la precisin de los conversores A/D, la longitud de la palabra, el tipo de aritmtica usada, etc. y estas slo dependen del nmero de bits usados en los conversores A/D y D/A y en el procesador.
9. Adems con DSP se tiene fcil transportabilidad y almacenamiento en medios magnticos sin deterioro o prdida de la fiabilidad, adems de procesamiento en tiempo real (La seal digital es menos susceptible al ruido que la seal anloga).
10. Baja sensibilidad al ruido.
Sin embargo el uso de sistemas DSP presenta algunas desventajas, tales como:
1. Se requiere mayor ancho de banda para la transmisin de seales digitales.
2. Velocidad y costo (En los conversores A/D y D/A y en los procesadores digitales), lo que genera problemas con seales de gran ancho de banda.
3. Tiempo de diseo: Los diseos de DSP son consumidores de tiempo y en algunos casos imposibles de realizar.
4. Problemas con la longitud finita de palabra: Lo que implica degradacin seria de las seales, hace imposible reconstruir exactamente la seal analgica a partir de sus muestras y tambin degrada el desempeo de los DSP (Produciendo deriva e inestabilidad).
5. Se requiere sincronizacin en la transmisin de seales digitales.
SISTEMAS DSP
Un procesador DSP (Ya sea un procesador de propsito general o especializado ms software) requiere a su entrada una seal digital o sea discreta en el tiempo (que slo exista en instantes discretos del tiempo) y discreta en amplitud (solo tiene un nmero finito de niveles), denotada por y produce a la salida, luego de procesada una seal que es tambin de naturaleza discreta. Ver figura 3.
Tal procesador de DSP puro no est en capacidad de procesar seales provenientes de fenmenos del mundo real, las cuales son esencialmente anlogas porque estn definidos en todo instante del tiempo y tienen un continuo de amplitudes en cualquier intervalo finito.
Figura 3: Sistema DSP
Se requiere, entonces, que hayan interfaces entre el mundo real y el DSP que conviertan las seales anlogas en discretas (Dispositivos ADC) y viceversa (Dispositivos DAC), tal como se muestra en la figura 4; aunque en algunos casos es posible que no se necesiten uno o ambos procesos.
Figura 4: Sistema DSP completoA continuacin se entra a analizar cada uno de los tres bloques. PROCESO DE CONVERSION DE ANALOGO A DIGITAL (ADC)
En este caso el sistema ADC toma una seal anloga proveniente de algn fenmeno fsico y entrega una discreta o digital al sistema DSP.
De manera terica, el proceso de conversin ADC requiere de cuatro pasos como se muestra en la figura 5.
Figura 5: Diagrama de bloques del proceso de conversin anlogo a digital.
La idea fundamental es que en este proceso se conserve la informacin de la seal de entrada; la herramienta que permite predecir que en efecto esto se da se llama el teorema del muestreo el cual se enuncia a continuacin.
TEOREMA DEL MUESTREO
Una seal de banda limitada a B Hz (Es decir sin contenido espectral apreciable por encima de esta frecuencia) puede determinarse de manera unvoca a partir de sus muestras tomadas a intervalos no mayores a .
Esto significa que para que no haya prdida de la informacin contenida en la seal se deben tomar muestras a una rata mayor a muestras/s.
En la figura 6 se muestran la seal anloga y sus respectivas muestras.
Figura 6: Muestreo de una seal anloga.
El proceso de muestreo puede verse como el producto de la seal por un tren peridico de pulsos como el que se muestra a continuacin en la figura 7:
Figura 7: Tren de pulsos.
Esta seal puede representarse por medio de una serie de Fourier as:
Con:
y,
La seal muestreada estar dada, entonces, por la siguiente expresin:
Se debe recordar que el espectro de est dado por:
Y el espectro de por:
Intercambiando el orden de la integral y la sumatoria se tiene:
La ltima integral representa a o sea el espectro de la seal desplazado alrededor de la frecuencia de muestreo y sus infinitos armnicos.
De esta manera:
Si el espectro original de tiene la forma mostrada en la figura 8,
Figura 8: Espectro de la seal antes del muestreo.
La forma del espectro de la seal resultante, luego del muestreo, ser como se muestra en la figura 9:
Figura 9: Espectro de la seal despus del muestreo.
Se observa que, en este caso, se puede recuperar el espectro de la seal original (Y por tanto la seal) usando un filtrado pasabajos ideal que elimine los componentes espectrales que aparecieron en el muestreo, dado que no hubo superposicin de estos con el original porque se escogi adecuadamente la frecuencia de muestreo .
Si la frecuencia de muestreo no hubiese sido escogida adecuadamente, el espectro resultante pudiera haber quedado como se muestra en la figura 10:
Figura 10: Espectro con aliasing de una seal muestreada.
En este caso es imposible recuperar el espectro original por medio del filtrado pasabajos ya que se produjo lo que se denomina aliasing o solapamiento en la frecuencia.
La frecuencia mnima de muestreo har que las distintas componentes espectrales queden juntas como se muestra en la figura 11:
Figura 11: Espectro resultante con la frecuencia mnima de muestreo.
Esta frecuencia mnima se puede calcular as:
Esto nos indica que la frecuencia mnima de muestreo (Frecuencia de Nyquist) ser:
Por ejemplo, en telefona se limita en banda a 3.4 KHz y se utiliza una rata de muestreo de 8000 muestras/s, lo que da una banda de guarda de 1200 Hz.
En la prctica siempre ocurrir aliasing debido a que las seales nunca son de banda limitada y tambin a que siempre hay ruido presente, el cual tiene un gran ancho de banda.
La idea es mantener el aliasing tan bajo como sea posible y tambin reducir la rata de muestreo al mnimo para bajar las exigencias de velocidad al conversor anlogo digital y del procesador, y disminuir las exigencias de ancho de banda del sistema, lo cual se logra filtrando la seal antes del muestreo.
En el caso de seales pasa banda con un espectro como el que se muestra en la figura 12:
Figura 12: Espectro de una seal de banda pasante.
Se puede probar que la frecuencia de muestreo debe estar en el intervalo
, lo cual depende de la frecuencia ms baja del espectro original como se muestra en la figura 13.
Figura 13: Frecuencia de muestreo en trminos de la frecuencia ms baja y el ancho de banda de seales pasabanda.
En donde el ancho de banda B esta dado por:
En algunos casos es conveniente sobre muestrear la seal con el objetivo de usar un conversor de baja resolucin, aprovechando el hecho de que hay una alta correlacin entre muestras sucesivas y por tanto una menor varianza de la diferencia entre dichas muestras que la de la seal misma, como se ver ms adelante. Sobremuestrear tambin es til para reducir la complejidad del filtro o permitir usar un filtro comn para varias seales de diferente ancho de banda.
En la figura 14 se observa el diagrama en bloques de un conversor A/D.
Figura 14: Diagrama de bloques de un conversor A/D.
El comportamiento del dispositivo de muestreo y retencin (Sample and Hold: S/H) se observa en la figura 15.
Figura 15: Respuesta de un circuito S/H.
CUANTIZACION
En el proceso de cuantizacin se ajusta el valor de la muestra anloga a uno de valores (niveles de cuantizacin), en donde B es el nmero de bits del conversor.
Este proceso de ajuste introduce un error irreversible llamado error (o ruido) de cuantizacin, el cual es funcin de B y es, como mximo, igual a la mitad del LSB (BIT menos significativo). En la figura 16 se muestra la caracterstica de transferencia de un cuantizador de redondeo.
Figura 16: Caracterstica entrada(salida de un cuantizador con redondeo.
Errores del conversor:
Error de offset: La primera transicin no ocurre exactamente en de LSB.
Error de factor de escala (o de ganancia): La diferencia entre los valores en los cuales ocurre la primera y la ltima transicin no son iguales a .
De linealidad: Las diferencias entre los valores de transicin no son todas iguales o cambian uniformemente.
En la cuantizacin se divide el rango de amplitud en L intervalos, se asignan niveles de decisin ( para y para ) y L niveles de cuantizacin. como se muestra en la figura 17:
Figura 17: Diferenciacin entre niveles de cuantizacin y de decisin.
Si se asigna el cero a un nivel de cuantizacin, el cuantizador se llama de redondeo y si se fija el cero a un nivel de decisin el cuantizador es de truncamiento.
El intervalo entre niveles de cuantizacin tiene un tamao dado por:
En donde R es el rango de escala completa del ADC con seales de entrada bipolares. La diferencia entre la muestra real y la muestra cuantizada o error de cuantizacin (e), tiene un comportamiento aleatorio, con una funcin densidad de probabilidad uniforme en el intervalo , como se muestra en la figura 18.
Figura 18: Funcin densidad de probabilidad del ruido de cuantizacin.
La potencia de ruido est dada por su varianza:
El parmetro que permite determinar qu tan bueno es el proceso de cuantizacin es la relacin seal a ruido de cuantizacin, , la cual preferiblemente debe tener un valor alto.
La relacin depender del comportamiento estadstico de la seal (que tambin es aleatoria), sin embargo, se pueden adelantar algunas conclusiones utilizando una seal de prueba sinusoidal de amplitud A; en este caso:
La potencia de la seal (S), est dada por:
Por tanto la relacin seal a ruido de cuantizacin, est dada por la siguiente expresin:
Con:
Se tiene:
Expresada en decibelios:
Como se observa, este parmetro depende del nmero de bits del conversor y por tanto del nmero de niveles de cuantizacin.
El nmero de bits usados depende de factores tales como la velocidad, la relacin seal a ruido inherente de la seal anloga de entrada y los costos. En la mayora de las aplicaciones de DSP una resolucin del ADC entre 12 y 16 bits es adecuada.
Ejemplo:
Telefona: 8 bits.
CD: 16 bits/canal.
En el caso de que la seal de entrada al cuantizador sea aleatoria, con una varianza :
Debido a problemas de fabricacin la es menor que la dada por esta ecuacin y por tanto los bits efectivos son menores que el nmero de bits del conversor.
Por otro lado las seales con potencia instantnea mayor tendrn mayor . En este caso se procesa la seal de tal manera que se distorsione antes de someterla al muestreo y la cuantizacin, amplificando ms las amplitudes pequeas que las grandes, tal proceso se denomina compresin del rango dinmico. En la conversin de digital a anlogo se debe hacer lo contrario o sea la expansin. El proceso completo se denomina compansin.
En el sistema telefnico a nivel mundial se utilizan dos esquemas diferentes de compansin denominadas ley ( y ley A por el parmetro que utilizan en la curva de transferencia de los compresores.
El siguiente programa en Matlab simula el proceso de cuantizacin:
function vq=fxquant(v, bit, rmode, lmode)
%
%fxquant simula la aritmtica de punto flotante
%uso: vq=fxquant(V,BIT,RMODE,LMODE)
%Retorna la seal de entrada V reducida a una longitud de palabra
%de BIT bits y limitada en el rango [-1,1]. El tipo de
%reduccin en la longitud de palabra y la limitacin puede escogerse %con
%RMODE: 'ROUND' redondea al nivel ms cercano
%
'TRUNC' truncamiento en complemento a 2
%
'MAGN' truncamiento en magnitud(Es decir al valor ms %cercano a cero)
%
'CEIL' redondeo hacia mas infinito
%LMODE:
'SAT' limitador saturado
%
'OVERFL' sobre flujo en complemento a 2
%
'TRIANG' limitador triangular
%
'NONE' sin limitador.
if biteps;
error('La longitud de palabra debe ser un nmero positivo');
end;
plus1=2^(bit-1);
vq=v*plus1;
ifstrcmp(rmode,'round');vq=round(vq);
elseif strcmp(rmode,'trunc');vq=floor(vq);
elseif strcmp(rmode,'ceil');vq=ceil(vq);
elseif strcmp(rmode,'magn');vq=fix(vq);
elseerror('Especificacin de reduccin de palabra desconocida');
end;
ifstrcmp(lmode,'sat');
vq=min(plus1-1,vq);
vq=max(-plus1,vq);
elseif strcmp(lmode,'overfl');
vq=vq+plus1*(1-2*floor((min(min(vq),0))/2/plus1));
vq=rem(vq,2*plus1)-plus1;
elseif
strcmp(lmode,'triang');
vq=vq+plus1*(1-2*floor((min(min(vq),0))/2/plus1));
vq=rem(vq,4*plus1)-plus1;
f=find(vq>plus1);
vq(f)=2*plus1-vq(f);
f=find(vq==plus1);
vq(f)=vq(f)-1;
elseifstrcmp(lmode,'none');
elseerror('Especificacin de limitacin desconocida');
end;
vq=vq/plus1;
CODIFICACION
Las muestras digitales que en la mayora de los casos estn en forma binaria son luego codificadas de manera adecuada para su posterior manipulacin. Codificar significa asignar cdigos discretos a muestras cuantizadas. Las representaciones ms comunes son en punto fijo (complemento a 2), punto flotante y punto flotante por bloques. (Ver tabla 9.1, pgina 761 de Proakis).
FILTRADO ANTIALIASING
Para reducir los efectos del aliasing (solapamiento espectral) se usan normalmente filtros de corte agudo que limiten el ancho de banda de la seal, y/o se incrementa la frecuencia de muestreo para ampliar la separacin entre el espectro de la seal y sus imgenes.
Idealmente el filtro antialiasing debera rechazar todas las frecuencias por encima de la de plegado (foldover ), como se muestra en la figura 19 (a) pero en la realidad se usan filtros como el mostrado en la figura 19 (b) en donde y son las frecuencias de corte y de rechazo de banda respectivamente, en las figuras 19 (b) y 19(c) se observa que hay una distorsin de amplitud en la seal porque la respuesta en la banda de paso no es plana y las frecuencias por encima de no son atenuadas completamente. Debido a la respuesta no ideal de los filtros prcticos, la frecuencia de Nyquist efectiva se toma como .
Figura 19: Caractersticas ideal (a) y real (b), (c) y (d) del filtro antialiasing.
La atenuacin mnima del filtro, est relacionada con la resolucin del ADC pues se busca que la seal atenuada en la banda de rechazo sea menor que el ruido de cuantizacin.
Suponiendo una seal de prueba sinusoidal de amplitud A y de frecuencia variable, la atenuacin mnima en la frecuencia se puede calcular as:
Es decir,
El valor rms de ruido est dado por:
Y el valor rms de la seal
Luego, la atenuacin est dada por
Para que la seal quede atenuada por debajo del ruido de cuantizacin se usa:
Expresada en decibelios
Como se muestra en la figura 19 (d) una distorsin adicional es la de fase, en la cual los componentes de la seal no estn igualmente retardados (o sea, no estn linealmente desfasados en proporcin a su frecuencia). La cantidad de distorsin depende de las caractersticas del filtro, incluyendo la cada en la banda de transicin, la cual mientras ms abrupta sea mayor es la distorsin de fase. Sin embargo, el uso de una banda de transicin ms estrecha permite bajar la rata de muestreo, y por lo tanto se pueden usar conversores ms baratos y lentos.
La tendencia en DSP en tiempo real es la de usar frecuencias de muestreo altas, lo cual requiere ADC rpidos aunque caros. Las razones para hacer esto son las siguientes:
Se requieren filtros antialiasing simples, lo que minimiza la distorsin de fase y permite reducir los costos para sistemas multicanal.
El sobremuestreo combinado con DSP adicional conduce a mejorar la relacin seal a ruido.
Para sistemas DSP que trabajen en diferentes aplicaciones, la frecuencia de corte del filtro necesita ser variable y usar sobremuestreo permite el empleo de tcnicas de conversin de ratas de muestreo para alcanzar fcilmente los requerimientos de frecuencia de corte variable ya que los filtros anlogos programables no tienen buen desempeo y para sistemas multicanal son caros.
En los conversores de sobremuestreo se incrementa la tasa de muestreo tal que se pueda usar un cuantizador de baja resolucin, porque se reduce el rango dinmico de la seal de entrada.
La varianza del error de cuantizacin:
con
El rango dinmico de la seal se debe adaptar a R y por tanto q es proporcional a .
Esto implica que para un nmero dado de bits, el ruido de cuantizacin es proporcional a la varianza de la seal que se va a cuantificar y por tanto si se disminuye sta se puede reducir el nmero de bits del cuantizador.
Para esto se usa un esquema de cuantizacin diferencial como el que se muestra en la figura 20:
Figura 20: Esquema de cuantizacin diferencial.
En donde:
, Filtro transversal.
El error de cuantizacin:
Por tanto, el error para la seal reconstruida es igual al error de cuantizacin para la muestra , el cual es mucho menor que el error de cuantizacin de la muestra de .
La forma ms simple de modulacin diferencial es la modulacin delta (DM) en donde el cuantizador es de 1 bit y el predictor es de primer orden (Ver la figura 21), con una salida consistente en la entrada retrasada una vez.
En este caso se produce una versin en escalera de la seal (Lo que conduce a distorsiones por sobre pendiente y granular).
Figura 21: Esquema de modulacin diferencial (Modulacin Delta).
De la figura 21 se obtiene:
: Integrador (Acumulador ideal).
: Integrador con prdidas.
En la figura 22 se puede observar el esquema de modulacin diferencial en forma analgica:
Figura 22: Esquema de modulacin diferencial en forma analgica.
El filtro pasabajas (FPB) es necesario para eliminar los componentes entre B y.
Para disminuir el ruido por sobrecarga de pendiente y granular se usa un integrador a la entrada, como se puede observar en la figura 23.
Figura 23: Esquema de modulacin diferencial en forma analgica con integrador a la entrada.
Esto incrementa la correlacin entre muestras y reduce la variacin de la seal de entrada, adems evita el uso del integrador a la salida ya que tambin se tendra que poner un derivador.
Como los integradores afectan las dos seales de entrada, se pueden remplazar por uno solo, as como se muestra en la figura 24:
Figura 24: Esquema de modulacin diferencial que usa un solo integrador.En la figura 25 se aprecia el caso discreto:
Figura 25: Modulador diferencial discreto.Se puede probar que el ruido de cuantizacin en este conversor est dado por:
: Potencia de ruido de cuantizacin.
CONVERSIN DIGITAL A ANALGICA (DAC)
La reconstruccin de la seal se logra de manera terica usando un filtro pasabajas ideal, ver figura 26.
Figura 26: Filtro de reconstruccin ideal.
La respuesta al impulso de este filtro:
O sea que si la entrada a este filtro es
Entonces la salida reconstruida, consistir en la superposicin de las respuestas a los diferentes impulsos ponderados equivalentes a cada muestra:
En donde la funcin:
Se llama frmula de interpolacin ideal.
Como esta interpolacin requiere de un filtro pasabajas ideal, no es realizable fsicamente y se usan algunas otras tcnicas de interpolacin prcticas como las siguientes:
MUESTREO Y MANTENIMIENTO (Mantenedor de orden cero, Sample and Hold: S/H):
En la figura 27 se presenta el diagrama en bloques de un conversor digital analgico que usa un circuito de muestreo y mantenimiento.
Figura 27: Sistema conversor digital(analgico con sample and hold (S/H).
La relacin entrada(salida ideal de este conversor se muestra en la figura 28; pero en la realidad sufre los mismos problemas del conversor ADC.
Figura 28: Funcin de transferencia ideal del conversor DAC.
Un parmetro importante del DAC es su tiempo de establecimiento (Settling time) que se define como el tiempo requerido para que la salida del DAC alcance y se mantenga dentro de una fraccin dada (Normalmente LSB) del valor final, despus de la aplicacin de la palabra cdigo de entrada. Con frecuencia esto produce una transicin de gran amplitud denominada glitch, lo que normalmente se resuelve con un circuito S/H diseado para servir como un deglitcher.
La funcin del S/H es mantener la salida del DAC igual al valor de la salida previo hasta que la nueva muestra en la salida del DAC alcance el estado estacionario, lo cual produce una versin en escalera como se muestra en la figura 29 (a).
Figura 29: (a) Versin en escalera de una seal, obtenida mediante la funcin S/H.
(b) Respuesta al impulso del S/H.
En la figura 29 (b) se muestra la respuesta al impulso del S/H y en la figura 30 su respuesta en frecuencia, comparada con la del pasabajo ideal.
Figura 30: Respuesta en frecuencia del S/H y del filtro reconstructor ideal.
Como consecuencia del proceso de sample and hold, el espectro de las muestras es multiplicado por una funcin seno sobre su argumento modificando el espectro de banda base y produciendo una distorsin denominada distorsin por efecto de apertura con la aparicin de componentes espectrales imgenes del espectro original que se deben eliminar con un filtro pasabajos.
El error por efecto de apertura se puede eliminar aplicando un filtro digital con caracterstica tiempo(frecuencia a la seal discreta antes de aplicarla al DAC.
MANTENEDOR DE PRIMER ORDEN
Para suavizar la seal de salida del DAC se utilizan otros tipos de interpolacin tales como el de primer orden en el cual la seal de salida es aproximada a mediante segmentos de recta cuya pendiente est dada por la muestra actual y la muestra anterior tal como se muestra en la figura 31.
En este caso:
Figura 31: Seal reconstruida con un mantenedor de primer orden.
La respuesta al impulso de este mantenedor se muestra en la figura 32 y est dada por:
Figura 32: Respuesta al impulso del mantenedor de primer orden.
Ya que
La correspondiente respuesta en frecuencia es (Ver figura 33):
Con
Figura 33: Respuesta en frecuencia del mantenedor de primer orden.
En este caso tambin aparecen componentes de alta frecuencia que deben atenuarse con un filtro pasabajos.
INTERPOLADOR LINEAL CON RETARDO
Se evitan los saltos de aadiendo un retardo a la muestra en el proceso de reconstruccin (Ver figura 34):
Figura 34: Reconstruccin de una seal con un interpolador lineal con retardo.
La respuesta al impulso es como se muestra en la figura 35 y est dada por:
Figura 35: Respuesta al impulso del interpolador lineal con retardo.
Su correspondiente respuesta en frecuencia es (Ver figura 36):
Figura 36: Respuesta en frecuencia del interpolador lineal con retardo.
En este caso la respuesta en frecuencia cae rpidamente lo mismo que los lbulos laterales, adems que se introduce un desfase lineal con la frecuencia; los componentes por encima de se eliminan con un filtro pasabajos de corte abrupto.
PROCESADORES DE SEALES DIGITALES
Los sistemas DSP se caracterizan por una rata efectiva alta de datos (o throughput) y por el uso de algoritmos intensivos en operaciones aritmticas (Multiplicacin y suma o multiplicacin y acumulacin), que producen un flujo pesado de datos a travs del procesador. Por esta razn, la arquitectura de los microprocesadores estndar es inapropiada para el procesamiento digital de seales, lo que ha conducido a la creacin de nuevas clases de procesadores cuya arquitectura y conjunto de instrucciones se disean especficamente para operaciones DSP. Algunas de estas caractersticas incluyen:
Multiplicadores en hardware interno (Built(in) para multiplicaciones rpidas. Los nuevos chips DSP incorporan instrucciones de multiplicacin(acumulacin en un solo ciclo y algunos tienen varios multiplicadores trabajando en paralelo.
Buses y memoria separados para programa y datos (Arquitectura Harvard) lo que permite solapamiento de Fetch de instruccin y ejecucin.
Instrucciones que salvan ciclos para ramificacin y enlazado (Branching and looping), como por ejemplo, en el TMS320C25 se tienen las siguientes instrucciones:
RPTK N: Repite la siguiente instruccin N veces.
MACD: Mueve datos en la memoria, multiplica y acumula con retardo.
Velocidad en bruto (Raw) rpida. El TMS320C25 usa un reloj de 40 MHz y tiene un tiempo de ciclo de 100 ns.
Uso del pipeline, lo que reduce el tiempo de instruccin e incrementa la velocidad.
Los DSP ms nuevos son ms rpidos y verstiles. Algunos ya tienen capacidades de aritmtica de punto flotante e incorporan caractersticas encontradas en microprocesadores estndar, tales como una lnea serial, espacio de memoria extendida, timers e interrupciones multinivel.
SEALES EN TIEMPO DISCRETO
Las seales en tiempo discreto pueden originarse de dos maneras:
1. Tomando muestras de una seal anloga y luego cuantificndola.
2. Acumulando una variable a lo largo de un determinado perodo de tiempo. (Ver figura 1.7, pgina 10 de Proakis).
En ambos casos se genera una secuencia de nmeros en funcin de la variable independiente n (nmero de muestra) el cual es el equivalente discreto del tiempo.
La seal puede representarse de varias maneras:
Representacin funcional:
Representacin tabular:
...(25314...
n...(10123...
Representacin como secuencia:
En este caso la flecha ( ( ) indica el origen de coordenadas (Es decir, ).
SEALES ELEMENTALES EN TIEMPO DISCRETO
Impulso unitario:
Figura 37: Funcin impulso unitario.
La figura 37 se puede obtener en Matlab empleando una funcin como la del ejemplo M2:
Ejemplo M2:
function x=impulso(long,k)
%La seal x generada por esta funcin es un impulso de longitud long
%y desplazado k unidades de tiempo.
if k2 %Se repite recursivamente el clculo de la mariposa
%hasta que se hace por pares.
y1=fft_diez_frec(y(1:N/2).');
y2=fft_diez_frec(y(N/2+1:N).');
y=[y1(:).',y2(:).'];
else
y=y(:).';
end
Ejemplo:
La siguiente secuencia muestra paso a paso los resultados del clculo de la FFT mediante el uso del programa anterior:
Vector al que se le calcula la mariposa:
Resultado de la mariposa:
Vector al que se le calcula la mariposa:
Resultado de la mariposa:
Vector al que se le calcula la mariposa:
Resultado de la mariposa:
Resultados parciales en orden binario invertido:
Vector al que se le calcula la mariposa:
Resultado de la mariposa:
Resultados parciales en orden binario invertido:
Resultados parciales en orden binario invertido:
Vector al que se le calcula la mariposa:
Resultado de la mariposa:
Vector al que se le calcula la mariposa:
Resultado de la mariposa:
Resultados parciales en orden binario invertido:
Vector al que se le calcula la mariposa:
Resultado de la mariposa:
Resultados parciales en orden binario invertido:
Resultados parciales en orden binario invertido:
Resultado definitivo:
Como se puede observar el resultado est en orden binario invertido.
DISEO DE FILTROS DIGITALES
Para proceder al diseo de un filtro digital se realizan los siguientes pasos:
Se especifica la caracterstica deseada en el dominio de la frecuencia.
Se elige el tipo de filtro (FIR o IIR) dependiendo de la naturaleza del problema y de las caractersticas en frecuencia deseadas:
Filtros FIR
Se usan donde se desea desfase lineal con la frecuencia, Sin embargo si no es esto lo que se desea, entonces se puede usar un FIR o un IIR.
Filtros IIR
Este tipo de filtros tiene lbulos laterales menores en la banda de rechazo que los FIR y se prefieren porque involucran menos parmetros, menos memoria y menor complejidad computacional.
Se determinan los coeficientes del filtro que aproximan las especificaciones de respuesta en frecuencia.
Se escoge la estructura adecuada que tenga en cuenta lo siguiente:
Efectos de cuantificacin (Longitud finita de palabra).
Complejidad computacional.
Requisitos de memoria.
Tipo de aritmtica.
CONSIDERACIONES GENERALES
En los apartes que siguen se muestra por qu un filtro ideal, a pesar de tener una respuesta en frecuencia deseable no puede realizarse fsicamente.
CAUSALIDAD Y SUS IMPLICACIONES
Sea un filtro ideal pasabajo con una respuesta en frecuencia dada por:
Su correspondiente respuesta al impulso est dada por:
Este filtro es no causal y por tanto no realizable, adems requiere infinitos coeficientes y posiciones de memoria.
A continuacin, basados en el teorema de Paley(Wiener se plantean las condiciones necesarias y suficientes para que una respuesta en frecuencia dada produzca un filtro causal.
TEOREMA DE PALEY(WIENER
Si tiene energa finita y para , entonces:
Recprocamente, si es cuadrticamente integrable y si la integral previa es finita, entonces se puede asociar a una respuesta en fase tal que el filtro con respuesta en frecuencia:
es causal.
De este teorema se puede concluir que puede ser cero en algunas frecuencias pero no en un intervalo de frecuencias y tambin que cualquier filtro ideal es no causal.
Por otro lado se puede probar que hay una fuerte dependencia entre y o de manera equivalente, entre la magnitud y la fase y por lo tantos stas no se pueden especificar independientemente.
Sea:
De tal manera que si es causal:
Pero,
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Sistema
de comunicaciones
EMBED Equation.3
Transmisor
Receptor
Canal
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
DSP
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
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EMBED Equation.3
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EMBED Equation.3
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EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
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DSP
ADC
DAC
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
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EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Circuito
Lgico
EMBED Equation.3
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Codificador
Cuantizador
EMBED Equation.3
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EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
x
Palabras cdigo en
complemento a dos
Niveles de
cuantificacin
Rango pico a pico
Rango R=RFS
Niveles de decisin
Salida EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Niveles de
cuantizacin
Niveles de
decisin
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
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EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
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EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 Error!Objeto incrustado no vlido.
EMBED Equation.3 Error!Objeto incrustado no vlido.
EMBED Equation.3
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EMBED Equation.3 Error!Objeto incrustado no vlido.
EMBED Equation.3 Error!Objeto incrustado no vlido.
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EMBED Equation.3 Error!Objeto incrustado no vlido.
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Predictor
Predictor
EMBED Equation.3
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FPB
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Reloj
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FPB
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Reloj
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FPB
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Reloj
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D/A
S/H
Filtro
Suavizador
EMBED Equation.3
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DFT
de
4 puntos
DFT
de
4 puntos
EMBED Equation.3
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EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
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