5a DUALIDAD

El problema Dual de un problema de Programacin Lineal, corresponde a una formulacin alternativa que nos permite conseguir similares resultados de los que obtendramos al resolver directamente el problema original o primal.Esta formulacin dual nos permite rescatar la solucin del problema primal, luego es una alternativa eficiente de usar a nuestro juicio cuando el esfuerzo en identificar el problema dual y resolverlo es menor a resolver directamente el problema primal.La bibliogrfia nos provee los fundamentos tericos y prcticos en la utilizacin de la dualidad en Programacin Lineal y bsicamente componen un captulo o aparto especial en los libros de introduccin a la Investigacin de Operaciones como Hiller y Libermann.En trminos matriciales la relacin entre el problema primal y dual de un modelo de Programacin Lineal se resume por:

Uno de los resultados tericos ms importantes al respecto es el que nos entrega elTeorema de Dualidad Fuerte.Six* = (x1*, x2*, ..., xn*)T, es una solucin ptima problema primal P), entonces el problema dual D) tiene solucin ptimap* = (p1*, p2*, ..., pm*)Tque satisface:

Adems, siP)es no acotado, entoncesD)es infactible.SiD)es no acotado, entoncesP)es infactible. Para una revisin detallada de la teora de dualidad se recomienda visitarDualidad en Programacin Lineal.EJEMPLO:Considere el siguiente problema de Programacin Lineal. Luego formule su problema dual y mediante su resolucin obtenga la solucin y valor ptimo de P).1. P) MAX 10X + 16Y1. S.A. 2X + 2Y = 0Siguiendo la notacin y resultados anteriores podemos identificar:1. Dado que P) es de Max, D) ser de Min.2. El vector de "lados derechos" de P) ser el vector de los coeficientes de la funcin objetivo de D).3. Los coeficientes de la funcin objetivo de P) sern los lados derechos de D).4. Restricciones del tipo "=0" en el dual de Minimizacin.5. Variables ">=0" en el primal de Maximizacin definen restricciones ">=" en el dual de Minimizacin.En consecuencia, el modelo dual de P) sera:1. D) MIN 8X + 6Y1. S.A. 2X + Y >= 101. .......2X + 2Y >= 161. ..... ..X>= 0, Y>= 0Con Solucin ptimaX=2,Y=6y Valor ptimoV(P)=52. Luego, por el Teorema de Dualidad FuerteV(P)=V(D)=52. La Solucin ptima de P) corresponder a los Precios Sombra de las restricciones 1 y 2 respectivamente en el Dual (en ambos casos es igual a 2). Finalmente, la Solucin ptima del primal esX=2 e Y=2.Sugerencia:Verifique utilizando el Mtodo Simplex que los costos reducidos asociados a las variables de holgura de las restricciones 1 y 2 de P) corresponde a las variables duales ptimas en D)PREGUNTAS FRECUENTES DUALIDAD (FAQ)1. Qu se obtiene al definir el dual de un problema dual?R: El dual de un problema dual resulta ser el problema primal o uno equivalente a este.2. Si se resuelve directamente el problema primal y se verifica que una de las restricciones no esta activa en el ptimo, Qu implicancias tiene esto en el modelo primal?R: El Teorema de Holguras Complementarias nos seala que de verificarse esta situacin, la variable primal asociada a la restriccin dual no activa vale cero en el ptimo.3. Si resuelvo el problema primal directamente, Dnde puedo obtener las variables duales ptimas?R: Hay varias opciones que difieren en su complejidad y conveniencia de aplicacin segn sea el caso. Por ejemplo, al obtener grficamente el precio sombra asociado a una restriccin (primal), dicho valor corresponde al valor de la variable dual asociada a dicha restriccin. Ahora si utilizamos elMtodo Simplex, podemos rescatar las variables duales ptimas observando los costos reducidos o precios sombra asociados a las variables de holgura en el caso de un problema primal de maximizacin.Ejemplo:Tabla Final del Simplex para el ejemplo de 3 restricciones:X1X2S1S2S3

101/40-1/1015

003/41-11/1025

01-1/403/1015

001/401/2105

MTODO SIMPLEX DUALes una estrategia algortmica que nos puede resultar ser til en diversos escenarios. El ms evidente es cuando para llevar el modelo a su forma estndar debemos agregar varias variables de exceso (para restricciones del tipo >=) y otras tanto artificiales, de modo de tener una solucin bsica factible inicial en estas ltimas. Esto nos define un modelo para ser resuelto porSimplex de 2 Fasesque para un importante nmero de variables puede resultar engorroso.Tambin podemos aplicar el Mtodo Simplex Dual como apoyo al anlisis de sensibilidad o post optimal. Especialmente para cambios en el vector del "lado derecho" o la inclusin de una nueva restriccin al problema. Mayores referencias enMtodo Simplex Dual.Consideremos el siguiente ejemplo:1. MIN 8X + 6Y1. S.A. 2X + Y >= 101. .......2X + 2Y >= 161. ..... ..X>= 0, Y>= 0Llevamos el modelo a su forma estndar, agregandoS1yS2comovariables de excesoa la restriccin 1 y 2, respectivamente. (Lo que claramenteNOdefine una solucin bsica factible inicial).XYS1S2

21-1010

220-116

86000

La tabla anterior no es ptima, debido a queS1=-10,S2=-16que no cumplen con las restricciones de no negatividad y criterio bsico para la aplicacin del Mtodo Simplex. Primero, multiplicaremos por -1 la fila 1 y 2 para que la negatividad quede asociado al lado derecho:XYS1S2

-2-110-10

-2-201-16

86000

Consideramos como variable bsica que deja la base aquella asociada a la fila del lado derecho ms negativo. En nuestro caso S2 asociado a fila 2. La variable que entra a la base ser la del mnimo cuociente entre el negativo de los costos reducidos de las variables no bsicas y los coeficientes de stas asociados a la fila 2. En consecuencia: Min {-8/-2; -6/-2}=3. Por tanto, Y entra a la base. (Se ha marcado con azul el pivote).Posteriormente se actualiza la tabla siguiendo la forma normal del Mtodo Simplex:XYS1S2

-101-1/2-2

110-1/28

2003-48

Aun queda un lado derecho negativo asociado a la fila 1. Luego la actual variable bsica asociada a la fila 1 (S1) deja la base. En seguida se calcula Min {-2/-1; -3/-1/2}=2. En consecuencia, X entra a la base.XYS1S2

10-11/22

011-16

0022-52

Finalmente se obtiene la solucin ptima dondeX=2,Y=6conV(P)=-52(Ntese que el valor ptimo se obtiene con signo cambiado). Un resultado interesante a considerar es que el costo reducido asociado a las variables de exceso de la restriccin 1 y 2 representan el valor de las variables duales ptimas al modelo que hemos resuelto. (Ver ejemplo Sillas y MesasAQUI)INTERVALO DE VARIACIN LADO DERECHOFrecuentemente es til conocer un intervalo de variacin para cada parmetro del lado derecho por separado de modo que se conserve la actual base ptima. Por ejemplo si consideramos la tabla final del ejemplo de"1. Cambio en el "lado derecho" de las restricciones"X1X2X3X4X5

0-151-120

14-10110

0110220

Cul es el intervalo de variacin para b2 (actualmente b2=10) que mantiene la actual base ptima?Consideramos la columna asociada a X5 que corresponde a la variable de holgura asociada a la restriccin 2. Luego, para encontrar el intervalo de variacin calculamos:Max {-10/1}