Dualidad Gravedad/Teor´ıa Cuantica de Campos´ en el Frente...

Dualidad Gravedad/Teorıa Cuantica de Camposen el Frente de Luz

Guy F. J. de Teramond

Universidad de Costa Rica

Simposio Centroamericano y del Caribe de Fısica

XXVIII CURCCAFUniversidad de Costa Rica

GdT and Brodsky, PRL 102, 081601 (2009)

XXVIII CURCCAF, 27 Julio 2009

Electrodinamica Cuantica (QED)• QED teorıa fundamental de la interaccion de electrones y fotones

• Lagrangiano de QED: ψ(x)→ eiα(x)ψ(x)

LQED = −14

(FµνFµν) + iψDµγµψ +mψψ

• QED describe la electrodinamica, la fısica atomica, la quımica y las propiedades basicas del electron

con precision extraordinaria. Ej. factor g del electron:

gexp = −2.0023193043622(15)

gQED = −2.002319304 . . .


Estructura Interna del Proton: SLAC (1969)• Experimentos a altas energıas (20 GeV) en SLAC revelaron la estructura interna del proton

• Estudio de colisiones profundamente inelasticas (1967-1973): constituyentes puntuales (partones de

Bjorken y Feynman ) identificados con los quarks de Gell-Mann y Zweig

• Interacciones de los constituyentes fundamentales del proton, quarks y gluones, pueden describirse

mediante una generalizacion notable de QED: cromodinamica cuantica (QCD)


Cromodinamica Cuantica (QCD)

(qu = 2

3 , qd = −13

)• QCD teorıa fundamental de la interaccion de quarks y gluones mediante la carga de “color”

• Lagrangiano de QCD ψ(x)→ eiαa(x)Ta

ψ(x)

LQCD = − 14g2

Tr (GµνGµν) + iψDµγµψ +mψψ

• A diferencia de QED los gluones interactuan

entre si: CONFINAMIENTO

• Problema complejo de la dinamica de las interacciones fuertes: determinar la composicion de los

hadrones en terminos de sus constituyentes fundamentales quarks y gluones


Simulacion de QCD(Lattice QCD)

• Simulaciones numericas a escala de

teraflops/sec (resolucion∼ L/a)

• LQCD (2009) > 1 petaflop/sec

–a–

← L →


AdS/QCD• Desarrollos recientes inspirados en la correspondencia AdS/CFT [Maldacena (1998)] entre teorıas de

cuerdas en el espacio de anti-de Sitter (AdS) y teorıas de campo conformes (invariante de escala)

en el espacio-tiempo fısico, han introducido nuevos metodos para el estudio de teorıas de campo

fuertemente acopladas como QCD

• AdS/QCD: Teorıa gravitacional efectiva se construye de manera a incluir propiedades sobresalientes

de QCD (“bottom-up” vs “top-down”)

• Derivacion no-perturbativa reglas de conteo colisiones a altas energıas para teorıas de calibre (gauge)

con confinamiento duales a teorıas de cuerdas en espacio curvo [Polchinski y Strassler (2001)]

• Interacciones fuertes entre quarks y gluones representadas por teorıa semiclasica (sin efectos cuanticos

como creacion y aniquilamiento de partıculas) de gravedad en un espacio de mas dimensiones: AdS5

• Nueva vision del confinamiento de color y predicciones cuantitativas para el espectro de mesones y

bariones y la funcion de onda que describe la estructura de los hadrones


Geometrıa del Espacio AdS• Ejemplo de curvatura positiva esfera: distancia entre cualquier punto y su centro r2 = x2 + y2 + z2

(Euclides 300 AC). Distancia infinitesimal entre dos puntos ds2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2

• Metrica del espacio AdS5:

ds2︸︷︷︸LAdS

=R2

z2

[(dx)2 + (dy)2 + (dz)2 − c2(dt)2︸︷︷︸

LMinkowski

−du2]

• Una distancia LAdS se contrae por el factor

de distorsion R/u medido por un observador

en el espacio de Minkowski (du = 0):

LMinkowski ∼u

RLAdS

• AdS es un espacio de curvatura negativa

cuya frontera asintotica es el espacio

cuadri-dimensional (Minkowski)


Invariancia de Escala y Confinamiento• Metrica AdS invariante a cambios simultaneos en las escalas de distancia y tiempo en el espacio-

tiempo usual xµ → λxµ con el cambio de escala en la quinta dimension de AdS: u→ λu

• Diferentes valores de u corresponden a diferentes escalas a las cuales el proton es examinado

• Intervalos cortos xµxµ → 0 son mapeados a la frontera UV de AdS, u → 0, que corresponde al

lımite Q→∞: distancia cero en 4-dim

• Dimensiones de confinamiento extensas xµxµ ∼ 1/Λ2

QCD son mapeadas a la region IR de AdS

u0 ∼ ~c/ΛQCD: existe una maxima separacion de quarks y un valor maximo de u0 en la frontera IR

• Operadores locales como los operadores de interpolacion O (que crean los hadrones en QCD) y

LQCD estan definidos en terminos de campos de quarks y gluones en la frontera UV

• Utilizamos las isometrıas de AdS para mapear los operadores de interpolacion en la frontera UV de

AdS en los modos que se propagan al interior de AdS


Holografıa en el Frente de Luz• Formulacion usual de AdS/QCD [Erlich, Katz, Son y Stephanov (2005); Da Rold y Pomarol (2005)] no

existe conexion explıcita con la estructura de los constituyentes fundamentales hadronicos

• Cuerdas describen objetos extendidos de spin J (sin quarks). Constituyentes fundamentales de QCD

son partıculas puntuales y los hadrones tienen momento orbital: como pueden estar relacionados?

• Quantizacion en el frente de luz [Dirac (1949)] es el metodo ideal para describir la estructura hadronica

en terminos de quarks y gluones: estructura simple del vacıo permite definicion precisa del contenido

partonico de los hadrones y sus funciones de onda

• Ecuacion Hamiltoniana de movimiento PµPµ|P 〉 = M2|P 〉 independiente del sistema de referen-

cia. Estructura similar a las ecuaciones de movimiento en AdS

• Aproximacion semiclasica a ecuacion Hamiltoniana de estados ligados relativistas en QCD equiva-

lente a ecuaciones de onda en AdS [GdT y Brodsky (2009)] y puede perfeccionarse sistematicamente


Dinamica en el Frente de Luz• Diferentes posibilidades para parametrizar el espacio-tiempo [Dirac (1949)]

• Difieren en la superficie en la cual especificamos las condiciones iniciales. Cada una evoluciona con

“tiempos” diferentes y tiene su propio Hamiltoniano, pero deben llevar a resultados fısicos identicos

• Forma Instantanea: superficie inicial definida por t = 0, la forma usual

• Forma del Frente: superficie inicial tangente al cono de luz τ = t+ z/c = 0

x+ = x0 + x3 tiempo en el frente de luz

x− = x0 − x3 variable espacial longitudinal

k+ = k0 + k3 momento longitudinal (k+ > 0)

k− = k0 − k3 energıa en el frente de luz

k · x = kµxµ = 1

2 (k+x− + k−x+)− k⊥ · x⊥

Relacion de dispersion k2 = kµkµ = m2 implica (capa de masa)

k = (k+, k−,k⊥), k− =k2⊥ +m2

k+


Representacion Partonica en el Frente de LuzGdT and Brodsky, PRL 102, 081601 (2009)

• Generadores de momento en el frente de luz para un proton con momento P = (P+, P−,P⊥) en

terminos de sus partıculas constituyentes con momento q = (q+, q−,q⊥)

P− =∑λ

∫dq+d2q⊥

(2π)3

(q2⊥ +m2

q+

)b†λ(q)bλ(q) + interacciones

P+ =∑λ

∫dq+d2q⊥

(2π)3q+ b†λ(q)bλ(q)

P⊥ =∑λ

∫dq+d2q⊥

(2π)3q⊥ b

†λ(q)bλ(q)

• En el frente el Hamiltoniano P− es dinamico pero los generadores P+ and P⊥ son cinematicos !


Ecuacion de Hamilton Sistema Compuesto• Hamiltoniano invariante en el frente de luz para el sistema compuesto: P 2 = PµP

µ = P−P+−P2⊥

P 2 |ψ(P )〉 =M2 |ψ(P )〉

• Estado hadronico |ψ〉 superposicion QM de estados de Fock |n〉 del Hamiltoniano libre

|ψ〉 =∑n

ψn|n〉, |n〉 =

|uud〉

|uudg〉

|uudqq〉 · · ·

donde k2i = m2

i , ki = (k+i , k

−i ,k⊥i), para cada componente i

• Componentes de Fock ψn(xi,k⊥i) independientes de P+ y P⊥. Dependen unicamente de coor-

denadas partonicas relativas: la fraccion del momento xi = k+i /P

+ y momento transverso k⊥in∑i=1

xi = 1,n∑i=1

k⊥i = 0.


• Computo deM2 a partir del elemento de matriz hadronico

〈ψH(P ′)|P 2|ψH(P )〉=M2〈ψH(P ′)|ψH(P )〉

• Resultado

M2 =∑n

∫ [dxi][d2k⊥i

]∑`

(k2⊥` +m2

`

xq

) ∣∣ψn/H(xi,k⊥i)∣∣2 + interacciones

• Normalizacion del espacio de fase∑n

∫ [dxi] [d2k⊥i

] ∣∣ψn/h(xi,k⊥i)∣∣2 = 1

• En terminos de n−1 coordenadas de impacto transverso independientes b⊥j , j = 1, 2, . . . , n−1,

M2 =∑n

n−1∏j=1

∫dxjd

2b⊥jψ∗n/H(xi,b⊥i)∑`

(−∇2b⊥`

+m2`

xq

)ψn/H(xi,b⊥i)+interacciones

• Normalizacion ∑n

n−1∏j=1

∫dxjd

2b⊥j |ψn(xj ,b⊥j)|2 = 1


Aproximacion Semiclasica a QCD

• Estado ligado de dos partones en el espacio de impacto transverso en el limite mq → 0

M2 =∫ 1

0

dx

1− x

∫d2b⊥ ψ∗(x,b⊥)

(−∇2

b⊥

)ψ(x,b⊥) + interacciones

• Dependencia funcional para un estado de Fock fuera de la capa de masa M2 −M2n

M2n =

( n∑a=1

kµa

)2=∑a

k2⊥a +m2

a

xa→

k2⊥

x(1− x)

• Variable equivalente en espacio transverso de impacto : ζ2 = x(1− x)b2⊥

• Separacion de modos angulares, longitudinales y transversos en terminos de la variable transversa ζ

ψ(x, ζ, ϕ) = eiMϕX(x)φ(ζ)√2πζ

• Resultado (L = |M |)

M2 =∫dζ φ∗(ζ)

√ζ

(− d2

dζ2− 1ζ

d

dζ+L2

ζ2

)φ(ζ)√ζ

+∫dζ φ∗(ζ)U(ζ)φ(ζ)


• Fuerzas de confinamiento de los terminos de interaccion incluidos en el potencial efectivo U(ζ)

• Lımite ultra-relativista mq → 0 los modos longitudinales X(x) se desacoplan y la ecuacion de

autovalores en el frente P 2|φ〉 =M2|φ〉 es una ecuacion de onda para φ

(− d2

dζ2− 1− 4L2

4ζ2︸︷︷︸energia cinetica de partones

+ U(ζ)︸︷︷︸confinamiento

)φ(ζ) =M2φ(ζ)

• Ecuacion de onda de Schrodinger : relativista, independiente sistema de referencia y analıtica

• Autofunciones φ(ζ) determinan espectro hadronico y representan la probabilidad de encontrar n

partones de masa zero a una distancia transversa ζ en el hadron a tiempo igual en el frente de luz

• Normalizacion de autofunciones φ(ζ) = 〈ζ|φ〉

〈φ|φ〉 =∫dζ |〈ζ|φ〉|2 = 1


Modelo de Barrera Infinita• Potencial de barrera infinita (hard wall)

U(ζ) =

0 if ζ ≤ 1ΛQCD

∞ if ζ > 1ΛQCD

• Si L2 ≥ 0 el Hamiltoniano es positivo 〈φ∣∣HL

LF

∣∣φ〉 ≥ 0 y M2 ≥ 0

• Si L2 < 0 el Hamiltoniano no esta limitado por debajo ( Problema de “caıda al centro” en Q.M.)

• Valor crıtico del potencial corresponde a L = 0, el estado estable mas bajo posible

• Soluciones:

φL(ζ) = CL√ζJL (ζM)

• Espectro de modos a partir de condiciones de frontera

φ

(ζ =

1ΛQCD

)= 0

Por consiguiente:

M2 = βLkΛQCD


• Espectro de excitacion del modelo de barrera infinita: Mn,L ∼ L+ 2n

Espectro orbital de los mesones livianos ΛQCD = 0.32 GeV


Mapeo Holografico

• Mapeo holografico en el frente de luz descubierto inicialmente comparando factor de forma electro-

magnetico y gravitacional en AdS y en QCD [Brodsky and GdT (2006, 2008)]

• Substitucion Φ(ζ) ∼ ζ3/2φ(ζ), ζ → u en la ecuacion de onda en el frente de luz(− d2

dζ2− 1− 4L2

4ζ2

)φ(ζ) =M2φ(ζ)

• Solucion [u2∂2

u − 3u ∂u + u2M2 − (µR)2]

Φ(u) = 0

con (µR)2 = −4 + L2, la ecuacion de onda en AdS5 !

• Isomorfismo del grupo SO(4, 2) de transformaciones conformes Pµ,Mµν, D,Kµ con el grupo de

isometrıas del espacio AdS5: xµ → λxµ, u→ λu

• Condicion de estabilidad en AdS de Breitenlohner-Freedman (µR)2 ≥ −4 equivalente a la condicion

de estabilidad QM L2 ≥ 0

• Dimension conforme ∆ del modo Φ en AdS en terminos de la masa 5-dim: (µR)2 = ∆(∆ − 4).

Por consiguiente ∆ = 2 + L de acuerdo al escalamiento en QCD para un objeto de dos partones


Gravedad en AdS• Metrica AdS5 x` = (xµ, u):

ds2 = g`mdx`dxm =

R2

u2(dxµdxµ − du2)

• Accion para la gravedad acoplada con un campo escalar en AdS5

S =∫d4x du

√g( 1κ2

(R− 2Λ)︸︷︷︸SG

+12(g`m∂`Φ∂mΦ− µ2Φ2

)︸︷︷︸

SM

)• Ecuaciones de movimiento

R`m −12g`mR− Λg`m = 0

u3∂u

( 1u3∂uΦ

)− ∂ρ∂ρΦ−

(µRu

)2Φ = 0

• Soluciones fısicas en AdS ΦP (x, u) ∼ e−iP ·x Φ(u) ondas planas a lo largo de las coordenadas

de Poincare con cuadri-momento Pµ y masa hadronica invariante PµPµ =M2

• Sustituyento en la ecuacion de movimiento[u2∂2

u − 3u ∂u + u2M2 − (µR)2]

Φ(u) = 0


Campos de Spin J en AdS• Campo de spin J en AdS representado por un tensor simetrico de rango J : Φ(x, u)`1···`J

[Fronsdal; Fradkin y Vasiliev]

• Accion en AdS5 para un campo de spin J

SM =12

∫d4x du

√g(∂`Φ`1···`J∂

`Φ`1···`J − µ2Φ`1···`J Φ`1···`J + . . .)

• Estado hadronico con spin total J es dual a un modo normalizable en AdS

ΦP (x, u)µ1···µJ = e−iP ·x Φ(u)µ1···µJ

con cuadri-momento Pµ e ındices de spin en las coordenadas fısicas 3 + 1 (PµPµ =M2)

• Para campos con indices en 3+1, Φzµ2···µJ = Φµ1z···µJ = · · · = 0, sistema de ecuaciones

diferenciales acopladas de SM se reduce a ecuacion homogenea para Φ(u)µ1···µJ


• Campo de spin J , Φµ1···µJ , con indices en 3+1 mediante cambio de dimensiones

ΦJ(u) =( uR

)−JΦ(u)

• Normalizacion [Hong, Yoon and Strassler (2006)]

Rd−2J−1

∫ umax

0

du

ud−2J−1Φ2J(u) = 1

• Sustituyendo en la ecuacion de onda escalar para Φ[u2∂2

u − (3−2J)u ∂u + u2M2− (µR)2]ΦJ = 0

• Dimension conforme del modo J : (µR)2 = (∆− J)(∆− d+ J)

• Sustituyendo u→ζ y φJ(ζ)∼ζ−3/2+JΦJ(ζ)

(− d2

dζ2− 1− 4L2

4ζ2

)φµ1···µJ =M2φµ1···µJ

con (µR)2 = −(2− J)2 + L2. Desacople de J en el modelo de barrera infinita


Modelo de Barrera Suave[Karch, Katz, Son and Stephanov (2006)]

• Ecuacion de onda en AdS para ΦJ (Dilaton ϕ(u) = ±κ2u2)[u2∂2

u −(3−2J ∓ 2κ2u2

)u ∂u + u2M2− (µR)2

]ΦJ = 0

• Sustituyendo u→ζ y φJ(ζ)∼ζ−3/2+Jeκ2ζ2/2 ΦJ(ζ) para ϕ(u) = +κ2u2

(− d2

dζ2− 1− 4L2

4ζ2+ κ4ζ2 + 2κ2(L+ S − 1)

)φµ1···µJ =M2φµ1···µJ

• Autofunciones

φnL(ζ) = κ1+L

√2n!

(n+L)!ζ1/2+Le−κ

2ζ2/2LLn(κ2ζ2)

• Autovalores

M2n,L,S = 4κ2

(n+ L+

S

2

)XXVIII CURCCAF, 27 Julio 2009

• Addicion de cuantos

4κ2 for ∆n = 14κ2 for ∆L = 12κ2 for ∆S = 1


1−− 2++ 3−− 4++ JPC

M2

L

Trayectorias de Regge para la familia I = 1 de mesones ρ (rojo)

y la familia I = 0 de mesones ω (negro) para κ = 0.54 GeV


Gravedad de los Bariones en AdS

De Nick Evans

• Modelo de barrera infinita [GdT y Brodsky (2005)]

• Modelo de barrera suave equivalente a ecuacion de Dirac en AdS con potencial lineal[i(uΓ`∂` + 2Γu

)+ µR+ κ2z

]Ψ(x`) = 0.

• Solucion (µR = ν + 1/2)

Ψ+(z) ∼ z52

+νe−κ2z2/2Lνn(κ2z2)

Ψ−(z) ∼ z72

+νe−κ2z2/2Lν+1

n (κ2z2)

• Autovalores

M2 = 4κ2(n+ ν + 1)

• Modo de spin J > 12 , Ψµ1···µJ−1/2

, con indices en 3+1 a partir de Ψ por cambio de dimensiones


4κ2 for ∆n = 14κ2 for ∆L = 1

2κ2 for ∆S = 1

M2

L

Trayectorias de Regge para la familia 56 de baryones N y ∆ para κ = 0.5 GeV


Otras Aplicaciones de Dualidad Calibre/Gravedad

• Rompimiento simetrıa chiral [Erlich, Katz, Son y Stephanov, Da Rold y Pomarol . . . ]

• Espectro Hadronico [Boschi-Filho, Braga, de Paula, Frederico, Vega, ...]

• Factores de forma electromagneticos, gravitacionales y de transicion

[Abidin y Carlson, Grigoryan y Radyushkin, Kwee y Lebed, Brodsky y GdT ...]

• Dispersion profundamente inelastica y fısica del pomeron [Polchinski, Strassler, Brower, Tan, ...]

• Materia de quarks y gluones en condiciones extremas (RHIC, LHC)

[Policastro, Son, Starinets, Kovtun, Gubser, Kim, Sin, Zahed, Caceres, Guijosa, Edelstein, . . . ]

• Fısica de la materia condensada y superconductores [Herzog, Kovtun, Son . . . ]

Aplicaciones futuras de holografıa en el frente de luz

• Introduccion de quarks masivos

• Introduccion de efectos cuanticos: fuerzas de Coulomb por intercambio de gluones, estados de Fock

sobre el estado de valencia . . .


Ejemplo: Factor de forma electromagnetico del pion PRELIMINAR

|π〉 = ψqq/π|qq〉+ ψqqqq/π|qqqq〉

Mρ2 → 4κ2(n+ 1/2)

κ = 0.54 GeV

Γρ = 130, Γρ′ = 400, Γρ′′ = 300 MeV

Pqqqq = 13 %


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