Duhamel Ejemplo 2
2
Determine la respuesta de un sistema sin amortiguación, sometido a la condición forzante mostrada en la figura. Se pide la respuesta en los siguientes intervalos: Integral de Duhamel (Ejemplo No. 1) forzante mostrada en la figura. Se pide la respuesta en los siguientes intervalos: π ωτ 2 0 ) < < a P B 2π/ω τ π ωτ π 4 2 ) < < b π ωτ 4 ) > c 4π/ω βτ τ π ω = = 2 B P ω π τ 2 0 < < Ecuación de la recta En el intervalo En el intervalo ( ) pendiente B π ω β 2 = v ( ) βτ τ π ω − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = B B B P 2 2 1 2 ω π τ ω π 4 2 < < ( ) ∫ − = t d t Psen mk x 0 1 τ τ La respuesta se calcula utilizando la siguiente expresión, que es la integral de Duhamel ( ) pendiente 0 = P ω π τ 2 ≥ En el intervalo mk 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − = − = ∫ 2 0 2 0 cos ω β ω τ ω τ ω τ ω β τ τ τ β t sen t t t sen mk d t sen mk x t t a) Primer intervalo ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ 2 ω ω mk Sustituyendo la expresión para la pendiente y simplificando se obtiene: ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = π ω π ω 2 2 t sen t k B x ω π τ 2 0 < < para el intervalo v
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Determine la respuesta de un sistema sin amortiguación, sometido a la condición forzante mostrada en la figura. Se pide la respuesta en los siguientes intervalos:
Integral de Duhamel (Ejemplo No. 1)
forzante mostrada en la figura. Se pide la respuesta en los siguientes intervalos:
πωτ 20) <<aP
B
2π/ω τ
πωτπ 42) <<bπωτ 4) >c
4π/ω
βττπω
==2BP ωπτ 20 <<
Ecuación de la recta
En el intervalo
En el intervalo( )pendiente
Bπωβ
2=v( )βττ
πω
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= BBBP 2
212 ωπτωπ 42 <<
( )∫ −=t
dtPsenmk
x0
1 ττ
La respuesta se calcula utilizando la siguiente expresión, que es la integral de Duhamel
( )pendiente0=P ωπτ 2≥En el intervalo
∫mk 0
( ) ( ) ( )
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
+−
=−= ∫
2
020
cos
ωβ
ωτωτ
ωτωβτττβ
tsent
ttsenmk
dtsenmk
xt
t
a) Primer intervalo
⎟⎠
⎜⎝ 2ωωmk
Sustituyendo la expresión para la pendiente y simplificando se obtiene:
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
πω
πω
22tsent
kBx ωπτ 20 <<para el intervalov
b) Segundo intervalo
( ) ( ) ( )∫∫ −−+−=t
dtsenBdtsenx ωπ
ττβττττβ 221( ) ( ) ( )∫∫ + dtsenB
mkdtsen
mkx
ωπ
ττβττττ20
2
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=
πω
πω
222 tsent
kBx para el intervalo ωπτωπ 42 <<
c) Tercer intervalo
( ) ( ) ( )∫∫ −−+−= dtsenBmk
dtsenmk
x ωπ
ωπ
ωπ
ττβττττβ 4
2
2
0
1
21
( ) ( )∫ −+t
dtsenmk ω
πττ
401
0=x ωπτ 2≥para el intervalo
