e-lectoibris

lVicenta Calvo Roselló, Alfred Peris Manguillot

y Francisco Ródenas Escribá

Diagonalización

y cálculo multivariable

con Mathematica

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2

Vicenta Calvo esProfesora Titular dela UniversitatPolitècnica deValència y doctoraen CienciasMatemáticas. Impartedocencia en la EscolaTècnica Superior

d’Arquitectura. Ha participado en variosproyectos de investigación financiadospor el Gobierno Español y por laGeneralitat Valenciana. En los últimosaños su investigación se centra en elcampo de las aplicaciones gráficas delas Matemáticas a la Arquitectura.Especialista en programas demodelización matemática de curvas ysuperficies, aplicándolos principalmentea la modelización de bóvedasarquitectónicas y puentes.

Francisco Ródenases Profesor Titularde la UniversitatPolitècnica deValència. Con ampliaexperiencia docente,imparte docencia enla Escuela Superiorde Arquitectura así

como en el Máster de InvestigaciónMatemática (INVESTMAT). Haparticipado en varios proyectos deinvestigación financiados por elGobierno Español y la ComunidadEuropea y es autor de numerosostrabajos de investigación en diversosámbitos de las matemáticas, uno deellos es la aplicación de diferentestécnicas, en particular el uso deecuaciones en derivadas parciales, altratamiento de imágenes médicas. Sudirección electrónica esfrodenas@mat.upv.es.

Alfred Peris esCatedrático

de Universidad enel Departamento de

Matemática Aplicadade la Universitat

Politècnica deValència. Se doctoró

en Matemáticas por la Universitat deValència en 1992 y ha sido Profesor

Visitante en Michigan State University(2000-2001). Con amplia experienciadocente, ha dirigido varios proyectos

competitivos de investigaciónfinanciados por el Gobierno Español,por la Generalitat Valenciana y por la

Universitat Politècnica de València.Investiga en el comportamiento caóticode sistemas dinámicos, especialmente

de operadores en espacios dedimensión infinita, y en modelos

matemáticos para la arquitectura eingeniería. Ha publicado numerosos

trabajos de investigación originales enrevistas de alto impacto internacional y

dirigido varias tesis doctorales. Editorasociado del Journal of Mathematics,

ISRN Mathematical Analysis,International Journal of Functional

Analysis and Applications, y Surveys inMathematics and Mathematical

Sciences. Es AcadémicoCorrespondiente de la Société Royale

des Sciences de Liège desde 1997. Sudirección electrónica es

aperis@mat.upv.es

Primera edición

e-lectoibris

A.M.S. Mathematics Subject Classification (2010): 26B10, 26B12, 26B15, 26B20

Código IBIC: PBK, TBJCódigo CDU: 517

Diseño de cubierta: Juan Pedro Cascales Sandoval y Ana Martínez MartínezDiseño y composición: Ediciones Electolibris S.L.Compuesto con LATEX con tipos Computer Modern Fonts, Lucida Handwriting,

Luximono y Helvetica

c! Vicenta Calvo Roselló, Francisco Ródenas Escribá y Alfred Peris Manguillot

c! Ediciones Electolibris, S. L. (2013)C.I.F. B-73749186Pablo Neruda, 730820 Murcia (España)www.electolibris.es

c! Real Sociedad Matemática Española (R.S.M.E.)C.I.F. G-28833523

Todos los derechos reservados.Queda prohibida, salvo excepción prevista en la Ley, sin la autorización por escritode los titulares de los correspondientes derechos de la propiedad intelectual o de suscesionarios, cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública ymodificación, parcial o total, en cualquier tipo de soporte o medio de esta obra.No obstante, los propietarios del Copyright de este libro digital autorizan a loscompradores individuales del mismo a realizar copias impresas de él para su usopersonal.

e-ISBN: 978-84-940688-0-5Depósito legal: MU 218-2013

Puede obtener información adicional sobre esta obra y otras publicadas porEdiciones Electolibris S.L. en

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ejercicio

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La soluciónincluye una

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Índice general conhipervínculos internos

1. Espacios de Hilbert 1

1.1. Espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Espacios normados de dimensión finita . . . . . . . . . . . . . 11

1.3. Ejemplos de espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1. Espacios de Hilb

1.1. Espacios de

1.2. Espacios normados

1.3. Ejemplos de

Pestañas de acceso acapítulos: en color intenso

el capítulo actual

Índice de capítulos conhipervínculos internos

1.1. Espacios de Banach

1.2. Espacios normados de dimensión

1.3. Ejemplos de espacios de Banac

1.4. Espacios de Hilbert

1.5. Mejor aproximación. Teorema

1.1. Espacios de Banac

1.2. Espacios normados

1.3. Ejemplos de espacios

1.4. Espacios de Hilb

Hiperenlace externos

Laurent Schwartz (1915–2002)brillante matemático francésdialmente conocido por habría de distribuciones, [13y [62]. La idea de derivadavéase (1.23), que ya estabaSobolev, encuentra su marcoespacios de las distribucionesque se definen como espaciospacios de funciones infinitamencon una cierta topología.trabajar con derivadas generalizadas

trar soluciones débiles para algunas ecuacionesque en situaciones adecuadas conducen a solucionesde distribuciones le supuso a Schwartz el premio

matemáticas que es la Medalla Fields (1950); como glosaleer en la página web de la International Mathematical

organización que otorga las medallas, lo siguiente: “Schwartzof distributions, a new notion of generalize

the Dirac delta-function of theoretical physics”.

situaciones adecuadas conducendistribuciones le supuso a Sch

la Medalla Fields (1950);página web de la International

otorga las medallas, lo siguiendistributions, a new notion of

delta-function of theoretic

Laurent Schwartz (1915–2002)brillante matemático francésdialmente conocido porría de distribuciones, [13y [62]. La idea de derivadavéase (1.23), que ya estabaSobolev, encuentra su marcoespacios de las distribuciones

Hipervínc

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intern

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Acceso a la web paraejecutar Maxima

0

0.2

0.4

0 0.2

Polinomios de Bersteinpara la función

Aproximar funciones por polinomios

jados no es una buena estrategia, y

interpolación en [a, b] siempre se puede

cuyos polinomios de interpolación en

0

0.2

0 0.2

Polinomios depara la función

ximar funciones por polinomios

una buena estrategia,

Índice terminológico conhipervínculos a páginas

. . . . . . . . . . . . . . 143

. . . . . . . . . . . . . . . 28

. . . . . . . . . . . . . . . 28

. . . . . . . . . . . . . . . 28

. . . . . . . . . . . . . . . 30. . . . . . . . . . . . . . . . 14. . . . . . . . . . . . . . . .30. . . . . . . . . . . . . . . 38

c0 . . . . . . . . . . . . . .c00 . . . . . . . . . . . . .d(x, S) . . . . . . . . .spanA . . . . . . . . .H (D) . . . . . . . . .

A

aglomeración, punaplicación lineal

. . . . . . 143

. . . . . . . 28

. . . . . . . 28

. . . . . . . 28

c0 . . . . . . . .c00 . . . . . . .d(x, S) . . .spanA . . .H (D) . . . .

1. Diagonalización de matrices 3

1.1. Autovalores y autovectores. Diagonalización . . . . . . . . . . 41.2. Cálculo de los autovalores y autovectores de una matriz . . . 51.3. Diagonalización de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Diagonalización de matrices simétricas . . . . . . . . . . . . . 121.5. Potencias de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6. Algunas aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Cónicas y cuádricas 20

2.1. Breve introducción a las cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. Dibujar una cónica. El comando ContourPlot . . . . . . . . . 222.3. Clasificación gráfica y ecuación reducida de una cónica . . . . 262.4. Breve introducción a las superficies cuádricas . . . . . . . . . 312.5. Dibujar una cuádrica. El comando ContourPlot3D . . . . . . 332.6. Clasificación gráfica de una cuádrica. . . . . . . . . . . . . . 362.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3. Funciones de varias variables. Derivadas parciales 43

3.1. Funciones de varias variables. Derivadas parciales . . . . . . . 443.2. Representación de la gráfica de funciones de dos variables . . 463.3. Curvas de nivel y mapas de contorno . . . . . . . . . . . . . . 493.4. Cálculo de derivadas parciales y derivadas parciales sucesivas 533.5. Derivada de la función compuesta: regla de la cadena . . . . . 543.6. Vector gradiente de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . 55

Índice general vi

3.7. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.8. Plano tangente a la gráfica de una función . . . . . . . . . . . 563.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4. Extremos relativos de funciones escalares 60

4.1. Extremos relativos de campos escalares . . . . . . . . . . . . . 614.2. Cálculo de los puntos críticos. Comando Solve . . . . . . . . 644.3. Clasificación de los puntos críticos . . . . . . . . . . . . . . . 664.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5. Integración múltiple 78

5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2. Cálculo de integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.3. Cálculo de integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.5. Cambios de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6. Integración curvilínea y de superficie 94

6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.2. Representación de curvas paramétricas . . . . . . . . . . . . . 986.3. Cálculo de integrales curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.4. Representación de superficies paramétricas . . . . . . . . . . . 1046.5. Cálculo de integrales de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Este manual está dedicado a mostrar de forma práctica la aplicación delprograma mathematica de Wolfram a la resolución de problemas en algunostemas concretos de las matemáticas de utilidad en el ámbito de los estudiosde ingeniería y arquitectura.

La utilidad de wolfram mathematica como asistente para el cálculoprácticamente en cualquier ámbito de las matemáticas está de sobra demos-trada. Por ello, pensando en que el lector o estudiante de carreras técnicas,pueda tener una selección de aplicaciones a unos temas concretos, hemos se-leccionado un número reducido de temas y hemos mostrado de forma sencilla,ilustrándolo con gran variedad de ejemplos, cómo aplicar mathematica ala resolución de problemas.

El uso de un asistente matemático a la hora de resolver problemas tienemuchas ventajas, entre ellas queremos destacar:

• Mejoran la visualización de los problemas matemáticos, al poder repre-sentar gráficamente el objeto con el que se está tratando. Por ejemplo:las gráficas de las funciones en 2D y 3D, curvas, superficies, sólidosen 3D,...

• Agilizan la resolución de problemas, ya que el alumno puede utilizarla herramienta matemática adecuada, pero no tiene que ocuparse de laparte más farragosa del cálculo.

• Lo capacitan para enfrentarse a problemas más complejos.

En particular, el asistente matémático que hemos elegido, el mathemati-

ca de Wolfram (en la versión 8.0), está especialmente diseñado para que sea

Índice general 2

de uso sencillo e intuitivo al estudiante, tiene una gran potencia de cálculosimbólico, permite representar objetos de diferentes maneras, etc.

El contenido del libro sigue los temas que de forma sucinta aparecen enel título: diagonalización de matrices, cálculo multivariable e integración defunciones de varias variables con mathematica. La selección de estos temasse ha realizado atendiendo a que son temas interesantes que suelen estudiarseen los primeros cursos de cualquier grado en ingeniería o arquitectura. Encada capítulo se incluye una breve introducción teórica al tema matemático,seguido de una explicación de los comandos de mathematica que resultanútiles para la resolución de los problemas de dicho tema. La utilización decada comando se ilustra con una gran cantidad de ejemplos resueltos. Al finalde cada capítulo se incluye una lista de ejercicios propuestos al lector.

Vicenta Calvo

Alfred Peris

Francisco Ródenas

1.1. Autovalores y autovectores. Diagonalización

1.2. Cálculo de los autovalores y autovectores de una matriz

1.3. Diagonalización de matrices

1.4. Diagonalización de matrices simétricas

1.5. Potencias de una matriz

1.6. Algunas aplicaciones

1.7. Ejercicios

1.1. Autovalores y autovectores. Diagonalización 4

En este capítulo se estudiará el cálculo de autovalores y autovectoresy la diagonalización de matrices usando mathematica. Este tema es muyimportante desde el punto de vista de la arquitectura, ingeniería o cualquierestudio técnico, ya que muchos de los problemas, tanto académicos como desituaciones reales en la vida profesional, se resuelven mediante la búsquedade los autovalores o autovectores de una matriz.

El esquema que seguiremos será el mismo que en el resto de capítulos:comenzaremos con una breve introducción teórica en la que se revisarán losconceptos más importantes, para después, analizar los comandos de mathe-

matica que permitan con su ayuda resolver problemas.Los objetivos más importantes que se persiguen en este capítulo son:

1. calcular valores propios y vectores propios de una matriz cuadrada;

2. comprobar si una matriz es diagonalizable;

3. diagonalizar una matriz cuadrada;

4. algunas aplicaciones: matriz de inercia y matriz de tensiones.

1.1. Autovalores y autovectores. Diagonalización

Dada una matriz cuadrada real A ! Mn(R), se dice que el numero real! ! R es un valor propio (o autovalor) de la matriz A, si existe un vector nonulo v ! Rn, tal que:

A · v = !v

En este caso, el vector v se dice que es un vector propio (o autovector) de Aasociado al valor propio !.

Para localizar los valores propios de una matriz, se hace uso de la siguientepropiedad:

! es un valor propio de A "# det(A$ !I) = 0

Se llama polinomio característico de A a p(!) = det(A$!I). Los valorespropios de A son las raíces del polinomio característico.

Los vectores propios de A asociados a un valor propio ! forman un subes-pacio vectorial E!, llamado subespacio propio.

Los vectores propios cumplen las siguientes propiedades.